弧长微分公式因式分解经典题及解析

2013组卷
1．在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和公式法（平方差公式和完全平 方公式），事
实上，除了这两种方法外，还有其它方法可以用来因式分解，比如配方法．例如，如果要因
式分解x
2
+2x﹣3时，显然既无法用提公因式法，也无法用公式法，怎么办呢？这 时，我们
可以采用下面的办法：
x
2
+2x﹣3=x
2
+ 2×x×1+1
2
﹣1﹣3﹣﹣﹣﹣﹣﹣①
=（x+1）
2
﹣2
2
﹣﹣﹣﹣﹣﹣②
=…
解决下列问题：
（1）填空：在上述材料中，运用了 _________ 的思想方法，使得原题变为可以继续用平
方差公式因式分解，这种方法就是配方法；
（2）显然所给材料中因式分解并未结束，请依照材料因式分解x
2
+2x﹣3；
（3）请用上述方法因式分解x
2
﹣4x﹣5．

2．请看下面的问题：把x
4
+4分解因式
分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢
19世纪的法国数学家苏 菲?热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x
2
）
2
+（2
2
）
2
的形
式，要使用公式就必须添一项4x
2
，随即将此项 4x
2
减去，即可得x
4
+4=x
4
+4x
2+4﹣4x
2
=（x
2
+2）
2
﹣4x
2=（x
2
+2）
2
﹣（2x）
2
=（x
2+2x+2）（x
2
﹣2x+2）
人们为了纪念苏菲?热门给出这一解法，就把 它叫做“热门定理”，请你依照苏菲?热门的做法，
将下列各式因式分解．
（1）x
4
+4y
4
；（2）x
2
﹣2ax﹣b
2
﹣2ab ．

3．下面是某同学对多项式（x
2
﹣4x+2）（x
2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．
解：设x
2
﹣4x=y
原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）
=y
2
+8y+16（第二步）
=（y+4）
2
（第三步）
=（x
2
﹣4x+4）
2
（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 _________ ．
A、提取公因式B．平方差公式
C、两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底 _________ ．（填“彻底”或“不彻底”）
若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 _________ ．
（3）请你模仿以上方 法尝试对多项式（x
2
﹣2x）（x
2
﹣2x+2）+1进行因式分解．

4．找出能使二次三项式x
2
+ax﹣6可以因式分解（在整数范围内） 的整数值a，并且将其进
行因式分解．

5．利用因式分解说明：两个连续偶数的平方差一定是4的倍数．

6．已知关于 x的多项式3x
2
+x+m因式分解以后有一个因式为（3x﹣2），试求m的值并将多
项式因式分解．

7．已知多项式（a
2
+ka+25）﹣b
2
，在给定k的值的条件下可以因式分解．请给定一个k值
并写出因式分解的过程．

8．先阅读，后解题：要说明代数式2x
2
+8x+10的值恒大于0还是恒等于0或 者恒小于0，
我们可以将它配方成一个平方式加上一个常数的形式，再去考虑，具体过程如下：
解：2x
2
+8x+10
=2（x
2
+4x+5）（提公因式，得到一个二次项系数为1的二次多项式）
=2（x
2
+4x+2
2
﹣2
2
+5）
=2[（x+2）
2
+1]（将二次多项式配方）
=2（x+2）
2
+2 （去掉中括号）
因为当x取任 意实数时，代数式2（x+2）
2
的值一定是非负数，那么2（x+2）
2
+ 2的值一定
为正数，所以，原式的值恒大于0，并且，当x=﹣2时，原式有最小值2．
请仿 照上例，说明代数式﹣2x
2
﹣8x﹣10的值恒大于0还是恒小于0，并且说明它的最大值< br>或者最小值是什么．

9．老师给学生一个多项式，甲、乙、丙、丁四位同学分别给了一个关于此多项式的描述：
甲：这是一个三次三项式；
乙：三次项系数为1；
丙：这个多项式的各项有公因式；
丁：这个多项式分解因式时要用到公式法；
若已知这四位同学的描述都正确，请你构造一个同时满足这个描述的一个多项式．

10．在对某二次三项式进行因式分解时，甲同学因看错了一次项系数而将其分解为2（x﹣1）
（x ﹣9），而乙同学看错了常数项，而将其分解为2（x﹣2）（x﹣4），请你判断正确的二次
三项式并 进行正确的因式分解．

11．观察李强同学把多项式（x
2
+6x+1 0）（x
2
+6x+8）+1分解因式的过程：
解：设x
2
+6x=y，则
原式=（y+10）（y+8）+1
=y
2
+18y+81
=（y+9）
2

=（x
2
+6x+9）
2

（1）回答问题：这位同学的因 式分解是否彻底？若不彻底，请你直接写出因式分解的最后
结果： _________ ．
（2）仿照上题解法，分解因式：（x
2
+4x+1）（x
2
+4x﹣3）+ 4．

12．（1）写一个多项式，再把它分解因式（要求：多项式含有字母m和n，系数 、次数不
限，并能先用提取公因式法再用公式法分解）．
（2）阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（x+1）+x（x+1）
2
=（1+x）[1+x+x（x+1）]①
=（1+x）
2
（1+x）②
=（1+x）
3
③
①上述分解因式的方法是 _________ ，由②到③这一步的根据是 _________ ；
②若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）
2
+…+x（x+1）
200 6
，结果是 _________ ；
③分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）< br>2
+…+x（x+1）
n
（n为正整数）．

13．阅读下面的材料并完成填空：
因为（x+a）（x+b）=x
2
+（ a+b）x+ab，所以，对于二次项系数为1的二次三项式x
2
+px+q的
因式解 ，就是把常数项q分解成两个数的积且使这两数的和等于p，即如果有a，b两数满
足a﹒b=a+b= p，则有
x
2
+px+q=（x+a）（x+b）．
如分解因式x
2
+5x+6．
解：因为2×3=6，2+3=5，
所以x
2
+5x+6=（x+2）（x+3）．
再如分解因式x
2
﹣5x﹣6．
解：因为﹣6×1=﹣6，﹣6+1=﹣5，
所以x
2
﹣5x﹣6=（x﹣6）（x+1）．
同学们，阅读完上述文字后，你能完成下面的题目吗？试试看．
因式分解：（1）x
2
+7x+12；（2）x
2
﹣7x+12；（3）x
2
+4x﹣1 2；（4）x
2
﹣x﹣12．

答案
1．请看下面的问题：把x
4
+4分解因式
分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢
19世纪的法国数学家苏 菲?热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x
2
）
2
+（2
2
）
2
的形
式，要使用公式就必须添一项4x
2
，随即将此项 4x
2
减去，即可得x
4
+4=x
4
+4x
2+4﹣4x
2
=（x
2
+2）
2
﹣4x
2=（x
2
+2）
2
﹣（2x）
2
=（x
2+2x+2）（x
2
﹣2x+2）
人们为了纪念苏菲?热门给出这一解法，就把 它叫做“热门定理”，请你依照苏菲?热门的做法，
将下列各式因式分解．
（1）x
4
+4y
4
；（2）x
2
﹣2ax﹣b
2
﹣2ab ．

考点：因式分解-运用公式法．
专题：阅读型．
分析：这是要运用添项法因式分解，首先要看明白例题才可以尝试做以下题目．
解答： < br>解：（1）x
4
+4y
4
=x
4
+4x
2< br>y
2
+4y
2
﹣4x
2
y
2
， < br>=（x
2
+2y
2
）
2
﹣4x
2
y
2
，
=（x
2
+2y
2
+2xy）（x
2
+2y
2
﹣2xy）；

（2）x
2
﹣2ax﹣b
2
﹣2ab，
=x
2< br>﹣2ax+a
2
﹣a
2
﹣b
2
﹣2ab，
=（x﹣a）
2
﹣（a+b）
2
，
=（x﹣a+a+b）（x﹣a﹣a﹣b），
=（x+b）（x﹣2a﹣b）．
点评：本题考查了添项法因式分解，难度比较大．

2．下面是某同学对多项式 （x
2
﹣4x+2）（x
2
﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．
解：设x
2
﹣4x=y
原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）
=y
2
+8y+16（第二步）
=（y+4）
2
（第三步）
=（x
2
﹣4x+4）
2
（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 C ．
A、提取公因式B．平方差公式
C、两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底 不彻底 ．（填“彻底”或“不彻底”）
若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 （x﹣2）
4
．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x
2
﹣ 2x）（x
2
﹣2x+2）+1进行因式分解．

考点：提公因式法与公式法的综合运用．
专题：阅读型．
分析：（1）完全平方式是两数的平方和与这两个数积的两倍的和或差；
（2）x
2
﹣4x+4还可以分解，所以是不彻底．
（3）按照例题的分解方法进行分解即可．
解答：解： （1）运用了C，两数和的完全平方公式；

（2）x
2
﹣4x+4还可以分解，分解不彻底；

（3）设x
2
﹣2x=y．
（x
2
﹣2x）（x
2
﹣2x+2）+1，
=y（y+2）+1，
=y
2
+2y+1，
=（y+1）
2
，
=（x
2
﹣2x+1）
2
，
=（x﹣1）
4
．
点评：本题考查了运用公式法分解因式和学生的模仿理解能力， 按照提供的方法和样式解答
即可，难度中等．

3．找出能使二次三项式x
2
+ax﹣6可以因式分解（在整数范围内）的整数值a，并且将其进
行因式分解．

考点：因式分解-十字相乘法等．
分析：根据十字相乘法的分解方法和特点可知：a是﹣6的两个因数的和，则﹣6可分成3×
（﹣2），﹣3×2，6×（﹣1），﹣6×1，共4种，所以将x
2
+ax﹣6分解因式后有 4种情
况．
解答：
解：x
2
+x﹣6=（x+3）（x﹣2）；
x
2
﹣x﹣6=（x﹣3）（x+2）；
x
2
+5x﹣6=（x+6）（x﹣1）；
x
2
﹣5x﹣6=（x﹣6）（x+1）．
点评：本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并
体会它实质是二项式乘法的逆过程，常数﹣6的不同分解是本题的难点．

4．利用因式分解说明：两个连续偶数的平方差一定是4的倍数．

考点：因式分解的应用．
分析：根据题意设出两个连续偶数为2n、2n+2，利用平方差公式进行因式分解，即可证出
结论．
解答：解：设两个连续偶数为2n，2n+2，则有
（2n+2）
2
﹣（2n）
2
，
=（2n+2+2n）（2n+2﹣2n），
=（4n+2）×2，
=4（2n+1），
因为n为整数，
所以4（2n+1）中的2n+1是正奇数，
所以4（2n+1）是4的倍数，
故两个连续正偶数的平方差一定能被4整除．
点评：本题考查了因式分解的应用，解题的关键是正确设出两个连续正偶数，再用平方差公
式对列出的式子进行整理，此题较简单．

5．已知关于x的多项式3x
2
+x+m因式分解以后有一个因式为（3x﹣2），试求m的值并将多
项式因式分解．

考点：因式分解的意义．
分析：
由于x的多项式3x
2+x+m分解因式后有一个因式是3x﹣2，所以当x=时多项式的值
为0，由此得到关于m的方程 ，解方程即可求出m的值，再把m的值代入3x
2
+x+m
进行因式分解，即可求出答 案．
解答：
解：∵x的多项式3x
2
+x+m分解因式后有一个因式是3x﹣2，
当x=时多项式的值为0，
即3×
∴2+m=0，
∴m=﹣2；
∴3x
2
+x+m=3x
2
+x﹣2=（x+1）（3x﹣2）；
故答案为：m=﹣2，（x+1）（3x﹣2）．
点评：本题主要考查因式分解的意义，有公因式时，要先考虑提取公因式；注意运用整体代
入法求解．

6．已知多项式（a
2
+ka+25）﹣b
2
，在给定k的值的条件下可以因式分解．请给定一个k值
并写出因式分解的过程．

考点：因式分解-运用公式法．
=0，
专题：开放型．
分析：根据完全平方公式以及平方差公式进行分解因式即可．
解答：解：k=±10，
假设k=10，
则有（a
2
+10a+25）﹣b
2
=（ a+5）
2
﹣b
2
=（a+5+b）（a+5﹣b）．
点评：此题主要考查了运用公式法分解因式， 正确掌握完全平方公式和平方差公式是解题关
键．

7．先阅读，后解题：要说明 代数式2x
2
+8x+10的值恒大于0还是恒等于0或者恒小于0，
我们可以将它配 方成一个平方式加上一个常数的形式，再去考虑，具体过程如下：
解：2x
2
+8x+10
=2（x
2
+4x+5）（提公因式，得到一个二次项系数为1的二次多项式）
=2（x
2
+4x+2
2
﹣2
2
+5）
=2[（x+2）
2
+1]（将二次多项式配方）
=2（x+2）
2
+2 （去掉中括号）
因为当x取任 意实数时，代数式2（x+2）
2
的值一定是非负数，那么2（x+2）
2
+ 2的值一定
为正数，所以，原式的值恒大于0，并且，当x=﹣2时，原式有最小值2．请仿照上例，说
明代数式﹣2x
2
﹣8x﹣10的值恒大于0还是恒小于0，并且说明它的最大值或者 最小值是什
么．

考点：配方法的应用；非负数的性质：偶次方．
分析：按照题目提供的方法将二次三项式配方后即可得到答案．
解答：
解：﹣2x
2
﹣8x﹣10
=﹣2（x
2
+4x+5）
=﹣2（x
2
+4x+2
2
﹣2
2
+5）
=﹣2[（x+2）
2
+1]
=﹣2（x+2）
2
﹣2
因为当x取任意实数时，代数式2（x+2）
2
的值一定是非负数，那么﹣2（x+2 ）
2
﹣2
的值一定为负数，所以，原式的值恒小于0，并且，当x=﹣2时，原式有最 大值﹣2．
点评：此题考查了配方法与完全平方式的非负性的应用． 注意解此题的关键是将原代数式准
确配方．

8．老师给学生一个多项式，甲、乙、丙、丁四位同学分别给了一个关于此多项式的描述：
甲：这是一个三次三项式；
乙：三次项系数为1；
丙：这个多项式的各项有公因式；
丁：这个多项式分解因式时要用到公式法；
若已知这四位同学的描述都正确，请你构造一个同时满足这个描述的一个多项式．

考点：提公因式法与公式法的综合运用．
专题：开放型．
分析：能用完全平方公式分解的式子的特点是：三项；两项平方项的符号需相同；有一项是
两底数积的2倍．
解答：解：由题意知，可以理解为：
甲：这是一个关于x三次三项式；
乙：三次项系数为1，即三次项为x
3
；
丙：这个多项式的各项有公因式x；
丁：这个多项式分解因式时要用到完全平方公式法． < br>故多项式可以为x（x﹣1）
2
=x（x
2
﹣2x+1）=x
3
﹣2x
2
+x．
点评：本题考查了提公因式法和公式法分解因式，是开放性题，根据描述按照要求列出这个
多项式．答案不唯一．

9．在对某二次三项式进行因式分解时，甲同学因看错了 一次项系数而将其分解为2（x﹣1）
（x﹣9），而乙同学看错了常数项，而将其分解为2（x﹣2） （x﹣4），请你判断正确的二次
三项式并进行正确的因式分解．

考点：因式分解的应用．
分析：此题可以先将两个分解过的式子还原，再根据两个同学的错误得出正确的二次三项
式，最后进行因式分解即可．
解答：
解：2（x﹣1）（x﹣9）=2x
2
﹣20x+18，2（x﹣2）（x﹣4）=2x
2
﹣12x+16；
由于甲同学因看错了一次项系数，乙同学看错了常数项，
则正确的二次三项式为：2x
2
﹣12x+18；
再对其进行因式分解：2x
2
﹣12x+18=2（x﹣3）
2
．
点评：本题考查了因式分解的应用，题目较为新颖，同学们要细心对待．

10 ．观察李强同学把多项式（x
2
+6x+10）（x
2
+6x+8）+1分解 因式的过程：
解：设x
2
+6x=y，则
原式=（y+10）（y+8）+1
=y
2
+18y+81
=（y+9）
2

=（x
2
+6x+9）
2

（1）回答问题：这位同学的因 式分解是否彻底？若不彻底，请你直接写出因式分解的最后
结果： （x+3）
4
．
（2）仿照上题解法，分解因式：（x
2
+4x+1）（x
2
+4x ﹣3）+4．

考点：因式分解-十字相乘法等．
专题：换元法．
分析：
（1）根据x
2
+6x+9=（x+3）
2
，进而 分解因式得出答案即可；
（2）仿照例题整理多项式进而分解因式得出答案即可．
解答：解： （1）这位同学的因式分解不彻底，
原式=（y+10）（y+8）+1
=y
2
+18y+81
=（y+9）
2

=（x
2
+6x+9）
2

=（x+3）
4
．
故答案为：（x+3）
4
；

（2）设x
2
+4x=y，则
原式=（y+1）（y﹣3）+4
=y
2
﹣2y+1
=（y﹣1）
2

=（x
2
+4x﹣1）
2
．
点评：此题主要考查了因式分解法的应用， 正确分解因式以及注意分解因式要彻底是解题关
键．

11．（1）写一个多项式 ，再把它分解因式（要求：多项式含有字母m和n，系数、次数不
限，并能先用提取公因式法再用公式法 分解）．
（2）阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（x+1）+x（x+1）
2
=（1+x）[1+x+x（x+1）]①
=（1+x）
2
（1+x）②
=（1+x）
3
③
①上述分解因式的方法是 提公因式法分解因式 ，由②到③这一步的根据是 同底数幂
的乘法法则 ；
②若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）
2
+…+x（x+1）
2006
，结果是 （1+x）
2007
；
③分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）
2
+…+x（x+1）
n
（n为正整数）．

考点：因式分解-提公因式法．
分析：（1）根据题目要求可以编出先提公因式后用平方差的式子，答案不唯一；
（2）首 先通过分解因式，可发现①中的式子与结果之间的关系，根据所发现的结论
可直接得到答案．
解答：
解：（1）m
3
﹣mn
2
=m（m
2﹣n
2
）=m（m﹣n）（m+n），
（2）①提公因式法，同底数幂的乘法法则；
②根据①中可发现结论：（1+x）
2007
；
③（1+x）
n+1
．
点评：此题主要考查了因式分解法中的提公因式法分解因式， 公式法分解因式以及分解因式
得根据，考查同学们的观察能力与归纳能力．

12．阅读下面的材料并完成填空：
因为（x+a）（x+b）=x
2
+（ a+b）x+ab，所以，对于二次项系数为1的二次三项式x
2
+px+q的
因式解 ，就是把常数项q分解成两个数的积且使这两数的和等于p，即如果有a，b两数满
足a﹒b=a+b= p，则有
x
2
+px+q=（x+a）（x+b）．
如分解因式x
2
+5x+6．
解：因为2×3=6，2+3=5，
所以x
2
+5x+6=（x+2）（x+3）．
再如分解因式x
2
﹣5x﹣6．
解：因为﹣6×1=﹣6，﹣6+1=﹣5，
所以x
2
﹣5x﹣6=（x﹣6）（x+1）．
同学们，阅读完上述文字后，你能完成下面的题目吗？试试看．
因式分解：（1）x
2
+7x+12；（2）x
2
﹣7x+12；（3）x
2
+4x﹣1 2；（4）x
2
﹣x﹣12．

考点：因式分解-十字相乘法等．
专题：阅读型．
分析：
现规律：二次项系数为1的二次三项式x
2+px+q的因式解，就是把常数项q分解成发
两个数的积且使这两数的和等于p，则x
2
+px+q=（x+a）（x+b）．
解答：
解：（1）x
2
+7x+12=（x+3）（x+4）；

（2）x
2
﹣7x+12=（x﹣3）（x﹣4）；

（3）x
2
+4x﹣12=（x+6）（x﹣2）；

（4）x
2
﹣x﹣12=（x﹣4）（x+3）．
点评：
本题考 查十字相乘法分解因式，是x
2
+（p+q）x+pq型式子的因式分解的应用，应识
记：x
2
+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）．