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全国高中数学 青年教师展评课 杨辉三角中的秘密(课堂实录)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-17 10:11
tags:如何学好高中数学

初中数学还是高中数学教师资格证-高中数学齿轮



1.3.2“杨辉三角”中的一些秘密
一:引经据典,步入新课
师:(展示图片) 今天这节课,我们从一幅图画开始,大家认识这两个图案吗?这是我
们华夏传说中的 河图、洛书。“河出图,洛出书,圣人则之”,伏羲根据河图演绎了八卦,大
禹依据洛书划分了九州。由 此可以说河图、洛书是我们华夏文化的起源。可你们知道吗,河
图、洛书其实也是世界上最古老的数阵。


什么是数阵呢?将数字按照一定顺序组合成图形就是数阵。
今天这节课,我们就一起来研究一 下数阵。当然,对于一个新的内容,我们需要一个研
究的载体。所以,我们从一个特殊的三角数阵开始。
大家认识这个数阵吗?(生:杨辉三角)在古代,我们称它为“开方作法本源图”。而在现
代, 它还有另外一个名字——杨辉三角。

杨辉三角在整个数学史中扮演着重要的 角色:北宋的贾宪用它手算高次方根;元朝的朱
世杰用它研究高阶等差级数(垛积术);牛顿用它算微积 分;华罗庚老先生思路更广,差分方
程,无穷级数都谈到了。
那么,我们又能从杨辉三角中探寻到哪些秘密呢?让我们一起来研究一下。
二:复习回顾,总结已知
师:杨辉三角在我们学习二项式系数的性质时已经有所接触。那么, 我们已经学习过杨辉
三角的哪些性质呢?我请一位同学来回答一下。
学生1:杨辉三角中每一个数都是二项式系数。
贾宪在他的《开方作法本源图》中写道:“左衺乃积数,右衺乃隅算,中藏者皆廉”。用今
- 1 -



天的话来讲,就是说杨辉三角中的每一个数都是二项式系数,而二项 式系数都可以写成组合
r?1
数。从而我们就可以把杨辉三角写成以下的形式,其中第n行第r 个数可以写成
a
n,r
?C
n?1

这对我们今天的研究非 常重要。
师:还有吗?
学生1:杨辉三角中每一个数都是两肩上数之和。
师: 非常好!杨辉三角中每一个数都是两肩上数之和,用组合数表示就是:
r?1rr
C
n ?1
?C
n?1
?C
n
,这个结论最早是由南宋时期的杨辉所发现的 ,所以称之为杨辉恒等式。
还有吗?
学生1:没了。
师:那我请你的同桌来补充一下。
学生2:杨辉三角每一行数字之和是2的n次。
师:很好,杨辉三角每一行之和为2的n次用组合数来表示就是:
012rn?1n
C
n
?C
n
?C
n
...?C
n
...? C
n
?C
n
?2
n

rn?r
学生2: 并且杨辉三角是左右对称的:
C
n
?C
n

师:以上几个性质,是我们已经知道的。接下来我们就要研究一下杨辉三角的其他性质
了。
三:小组合作,共探新知
师:当然,在研究之前,我们首先需要来一起探讨一下,我们该如何去研究杨辉三角呢?
苏轼 有一首诗对我很受启发。“横看成岭侧成峰,远近高低各不同。”这是苏轼的《题西林
壁》。这首诗告诉 我们需要从不同的角度看待一项事物。我们研究杨辉三角时,是不是也可以
从这些“横看”、“侧看”、 “远看(整体)”、“近看(局部)”这几个角度出发呢?下面,就让
我们4人为一组,从这四个角度出 发,用数字格式的杨辉三角观察规律,用组合数格式的杨
辉三角总结规律,并加以证明。
1
1 1
1
01
C
1
C
1
1 2 1
012
C
2
C
2
C
2
1 3 3 1

013
C
3
C
3
C
3
2
C
3
1 4 6 4 1
01234
C
4
C
4
C
4
C
4
C
4
1 5 10 10 5 1
0135
C
5
C
5
C
5
2
C
5
C
5
4
C
5
1 6 15 20 15 6 1
0123456
C
6
C
6
C
6
C
6
C
6
C
6
C
6
1 7 21 35 35 21 7 1
............
1 8 28 56 70 56 28 8 1
012r?1rn?20
C
n?1
C
n-1
C
n-1
... C
n-1
C
n-1
... C
n-1
C
n?1
....................
012rn?10
C
n
C
n
C
n
... C C
n
...
n
C
n

(接下来为6分钟左右的学生探讨)

四:小组展示,分享所得
第一组:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
- 2 -



生3:我们 组发现:3+1+6+4+1=15,4+6+5+10+10=35,将梯形中5个数相加就是下面隔行的数。
师:你们是如何发现的呢?
生3:根据我们所学杨辉三角的每一个数都是上面两个 数之和,那么是不是可以进一步向
上推导,比如15=10+5=(6+4)+(4+1)=6+4+1 +(3+1),就得到了这个结论。
师:从原有的性质中挖掘出新的内容,非常好!当然,如果我们能 用组合数来表示这个结
232344
论更好。以刚才的结论为例
C
3
?C
3
?C
4
?C
4
?C
4
?C
6

rr?1rr?1r?2r?2
写成一般情形
C
n
?C
n
?C
n?1
?C
n?1
?C
n?1
?C
n?3


第二组:
生4:我们组发现: 1+2=3
1+2+3=6
1+2+3+4=10
1+2+3+4+5=15
每一斜行前n个数加起来都是下面一行的第n个数。
师:你们是如何发现这个结论的? 生4:我们是从求和的角度来研究的,既然横的一行相加存在规律,那么斜的一行加加看
是不是也可 以得到一些结论?
师:你能用组合数来表示么?简单点,第二斜行相加用组合数来表示一下。
111112
生4:
C
1
?C
2
?C
3
?C
4
?...C
n?1
?C
n

师:那么推导到一般情形呢?
生4:
师:非常好!

第三组:
生5:我们发现单纯用数字的角度去看的话,每一行都是11的次数。
第 一行11的0次,第二行11的1次,第三行121是11的2次,我们验算了一下,11的
3次正好是 第四行1331,因此我们猜测将杨辉三角第n行数字依次写下来是11的n-1次。
师:11的1次为11,11的2次121, 11的3次1331好像确实是这样。
那么我们一起来帮他们验算一下11的4次?
生:14641
师:那么11的5次是多少呢?我们来一起算一下。
生:11的5次为161051。 师:太可惜了,这是一个多么美好的结论啊,问题出在哪儿呢?我们一起来看一下,同学
们,我们1 1的4次是如何计算的啊?总不会是11×11×11×11得到的吧?
很显然不是,我们是通过13 31×11计算得到的。从这里我们会发现,14641其实是两个
1331错位相加得到的。那么11 的5次是不是也是由两个14641错位相加得到?而在这个过程
中,出现了一个问题,大家发现了没有 ?
生:进位了!
师:非常好,这里产生了进位,于是就出现了问题。所以我们是不是只需要 把这个结论改
一改,将杨辉三角中每一行数字错一位叠加所得到的结果是11的若干次。

第四组:
生6:既然杨辉三角每一行的和存在规律,那么每一行的平方和是不是也有规律呢? 通过
计算,第二行的平方和为2,第三行的平方和为6,第四行的平方和为20,这些数都能在杨辉三角中找到。我们就得到结论:杨辉三角中每一行数的平方和都是杨辉三角中的数。
师:能用组合数来表示吗?
0212n2n
生6:
(C
n
)?(C
n
)?...?(C
n
)?C
2n

rr ?1
C
r
r
?C
r
r
?1
?C
r
r
?2
???C
n?1
?C
n
(n?r)
- 3 -



师:又是一个非常好的结论!通过前面几行验证,我们发现确实 是这样。那么,这个结论
是否正确呢?我们该如何去证明呢?由于时间的关系,我们这里不再做展开。希 望大家在课
后做进一步的研究与探讨。

第五组:
生7:我们组是从斜的 角度去看:杨辉三角中斜的每一行都是一个数列,第一行是一个常
数数列,第二行是等差数列,第三行也 是一个数列,我能写出他的通项公式。
师:这个结论看上去简单,却是一个非常好的结论!通过观察, 我们发现每一斜行都是一
个特殊的数列。

第六组:
生8:将杨辉三角30°角斜行加起来得到数列1、1、2、3、5、8、13、21、34 、55 、
89 、144 …每一项都是前两项之和。
师:是如何发现的?
生8:通过书上的提示得到的。
师:查找资料也是一种非常好的研究方式。
五:教师补充,再得新知
那么我这边还有一些有趣的结论。
其实我们在研究过程中 ,不要被自己的惯有思维所约束。我们为什么一定要把杨辉三角放
成等边三角的形式呢?有些人就不这么 认为,他把杨辉三角摆放成直角三角,也得到了一些
有趣的结论。再比如,我们在看数的时候,为什么一 定要从数值的角度去研究呢?是不是也
可以从正负的角度或者奇偶的角度去研究呢?当我将杨辉三角中的 奇数涂黑。大家看,是不
是会得到一个有趣的图形?其中第2的k次行均为奇数,奇数行的下面一行除两 端之外均为
偶数。
并且,我将杨辉三角中的奇数用线段连接起来,就可以得到一个有趣的三角 形——歇尔
宾斯基三角。这是一个自相似图形,对歇尔宾斯基三角进行拓展:谢尔宾斯基塔(三棱锥)< br>——谢尔宾斯基地毯(正方形)——谢尔宾斯基海绵(正方体)。我们就诞生了一门新的数学
分支 ——分形数学。
分形数学与我们的生活息息相关,比如说股票的预测、气象预报等。并且有许多优美的
图案,这些图案并不是出自艺术家的手笔,而是数学的杰作!
这就是数学之美,数学中充满了 美!再比如刚才我们得到的斐波那契数列,它也有许多
优美的内容。关于斐波那契数列,我们会在下一堂 课中专门来介绍它。
六、探究小结,盘点新知
师:接下来,我们来总结一下。通过这节课,你收获了些什么?
学生9:通过这节课的研究, 我们发现了杨辉三角的很多秘密。比如,杨辉三角每一斜行都是
一个特殊的数列(高阶等差数列),并且 这些数列的和又是下一行中的数。杨辉三角每一横行
的平方和也是杨辉三角中的数。通过30°的斜行求 和,还可以得到斐波那契数列。
师:总结的很好!当然,我们这节课不仅仅是研究杨辉三角,我们更需 要通过对杨辉三角的
研究,学会对数阵的研究方式。那么通过这节课,你们对数阵的研究又有哪些心得呢 ?
学生10:从杨辉三角的研究中,我发现数阵可以从横的、斜的、竖的这几个角度去看,也可
以局部看、整体看。
师:很好!这是我们这节课关于数阵研究的心得,那么还有没有同学有不同的想法呢?
学生1 1:我发现,数阵其实跟数列很相似。只不过一个是一维的,另一个是二维的。而杨辉
三角的这些性质中 ,近看的第一个就是通项的概念,近看的第二个与第三个是递推的概念,
而横看中的1和3以及侧看中的 1都是从求和角度入手的。所以我就想,我们在研究数阵的
时候,是不是可以借鉴数列的研究方法,从通 项、递推、求和这几方面入手。
师:这是一个意外之喜!我们发现可以从横看、侧看、竖看这几个角度去研究数阵。既然数
- 4 -



阵与数列的概念如此相似,我们是不是也可以借鉴数列的研究方法, 从数阵中的通项、递推、
求和,以及数阵中所蕴含的特殊数列这几个角度来研究数阵。
作业:
最后,我有两个任务。通过今天的研究,我
们已经把杨辉三角的秘密都找到了吗?(生:没有)当然没有,我在课堂的开始就讲过,贾宪用
它手算高次方根,那么它是如何计算的呢?牛顿的微积分与它有一定的关联,关联在哪呢?我希
望大家课后查找资料,并阅读华罗庚先生的《从杨辉三角说起》,去寻找这些答案,看看杨辉三角
中还有哪些我们没发现的秘密。
同时,运用我们今天所学的探究方法,研究莱布尼茨三角,你能从个数阵中发现哪些秘
密呢?
那么最后,我们今天发言的所有同学,每人有一份小礼物,就是华罗庚先生的《从杨辉
三角谈起》,下课。

- 5 -

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