工程预算公式专训1 因式分解的六种常见方法(2)

专训1 因式分解的六种常见方法
名师点金：因式分解的常用方法有：(1)提公因式法；( 2)公式法；(3)提公因式法与公
式法的综合运用．在对一个多项式因式分解时，首先应考虑提公因式 法，然后考虑公式法．对
于某些多项式，如果从整体上不能利用上述方法因式分解，还要考虑对其进行分 组、拆项、
换元等．

提公因式法
公因式是单项式的因式分解
1．若多项式－12x
2
y
3
＋16x
3
y
2< br>＋4x
2
y
2
分解因式，其中一个因式是－4x
2
y
2
，则另一个因
式是( )
A．3y＋4x－1 B．3y－4x－1 C．3y－4x＋1 D．3y－4x
2．【2015·广州】分解因式：2－6＝．
3．把下列各式分解因式：
(1)2x
2
－；
(2)－4m
4
n＋16m
3
n－28m
2
n.









公因式是多项式的因式分解
4．把下列各式分解因式：
(1)a(b－c)＋c－b；
(2)15b(2a－b)
2
＋25(b－2a)
2
.











公式法
直接用公式法
5．把下列各式分解因式：
(1)－16＋x
4
y
4
；
(2)(x
2
＋y
2
)
2
－4x
2
y
2
；
(3)(x
2
＋6x)
2
＋18(x
2
＋6x)＋81.








先提公因式再用公式法
6．把下列各式分解因式：
(1)(x－1)＋b
2
(1－x)；
(2)－3x
7
＋24x
5
－48x
3
.










先局部再整体法
7．分解因式：(x＋3)(x＋4)＋(x
2
－9)．









先展开再分解法
8．把下列各式分解因式：
(1)x(x＋4)＋4；
(2)4x(y－x)－y
2
.









分组分解法
9．观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学的因式分解：
甲：x
2
－＋4x－4y
＝(x
2
－)＋(4x－4y) (分成两组)
＝x(x－y)＋4(x－y) (分别提公因式)
＝(x－y)(x＋4). (再提公因式)
乙：a
2
－b
2
－c
2
＋2
＝a
2
－(b
2
＋c
2
－2) (分成两组)
＝a
2
－(b－c)
2
(运用完全平方公式)
＝(a＋b－c)(a－b＋c). (再用平方差公式)
请你在他们的解法的启发下，把下列各式分解因式：
(1)m
2
－＋－；
(2)x
2
－2＋y
2
－9.








拆、添项法
10．分解因式：x
4
＋.








11．先阅读下面的材料：
我们已经学过将一个多项式分解 因式的方法有提公因式法、运用公式法、分组分解法
，其实分解因式的方法还有拆项法等．
拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后可提公因式或运用公式继续分解的方法．
如：
x
2
＋2x－3
＝x
2
＋2x＋1－4
＝(x＋1)
2
－2
2

＝(x＋1＋2)(x＋1－2)
＝(x＋3)(x－1)．
请你仿照以上方法，分解因式：
(1)x
2
－6x－7；
(2)a
2
＋4－5b
2
.









整体法
“提”整体
12．分解因式：a(x＋y－z)－b(z－x－y)－c(x－z＋y)．







“当”整体
13．分解因式：(x＋y)
2
－4(x＋y－1)．








“拆”整体
14．分解因 式：(c
2
＋d
2
)＋(a
2
＋b
2
)．








“凑”整体
15．分解因式：x
2
－y
2
－4x＋6y－5.







换元法
16．分解因式：
(1)(a
2
＋2a－2)(a
2
＋2a＋4)＋9；
(2)(b
2
－b＋1)(b
2
－b＋3)＋1.
















答案
1．B 2.2m(x－3y)
3．解：(1)2x
2
－＝x(2x－y)．
(2)－4m
4n＋16m
3
n－28m
2
n＝－4m
2
n(m
2
－4m＋7)．
点拨：
如果一个多项式第一项含有“－”号，一般要将“－”号 一并提出，但要注意括号里面的
各项要改变符号．
4．解：(1)原式＝a(b－c)－(b－c)＝(b－c)(a－1)．
(2)原式＝1 5b(2a－b)
2
＋25(2a－b)
2
＝5(2a－b)
2(3b＋5)．
点拨：将多项式中的某些项变形时，要注意符号的变化．
5．解：(1 )原式＝x
4
y
4
－16＝(x
2
y
2
＋ 4)(x
2
y
2
－4)＝(x
2
y
2
＋4 )(＋2)(－2)．
(2)原式＝(x
2
＋y
2
＋2)(x2
＋y
2
－2)＝(x＋y)
2
(x－y)
2
.
(3)原式＝(x
2
＋6x＋9)
2
＝[(x＋3)
2
]
2
＝(x＋3)
4
.
点拨：
因式分解必须分解 到不能再分解为止，如第(2)题不能分解到(x
2
＋y
2
＋2)(x
2
＋y
2
－2)就结束
了．
6．解：(1)原式＝(x－1)－b
2
(x－1)
＝(x－1)(1－b
2
)
＝(x－1)(1＋b)(1－b)．
(2)原式＝－3x
3
(x
4
－8x
2
＋16)
＝－3x
3
(x
2
－4)
2

＝－3x
3
(x＋2)
2
(x－2)
2
.
7．解：原式＝(x＋3)(x＋4)＋(x＋3)·(x－3)
＝(x＋3)[(x＋4)＋(x－3)]
＝(x＋3)(2x＋1)．
点拨：< br>解此题时，表面上看不能分解因式，但通过局部分解后，发现有公因式可以提取，从而将
原多项式 因式分解．
8．解：(1)原式＝x
2
＋4x＋4＝(x＋2)
2
.
(2)原式＝4－4x
2
－y
2
＝－(4x
2
－4＋y2
)＝－(2x－y)
2
.
点拨：
通过观察发现此题不能直接 分解因式，但运用整式乘法法则展开后，便可以运用公式法分
解．
9．解：(1)m
2
－＋－
＝(m
2
－)＋(－)
＝m(m－n)＋x(m－n)
＝(m－n)(m＋x)．
(2)x
2
－2＋y
2
－9
＝(x
2
－2＋y
2
)－9
＝(x－y)
2
－9
＝(x－y＋3)(x－y－3)．
10．解：原式＝x
4
＋x
2
＋－x
2

＝－x
2

＝(x
2
－x＋)．
点拨：
此题 直接分解因式很困难，考虑到添加辅助项使其符合公式特征，因此将原式添上x
2
与－x
2
两项后，便可通过分组使其符合平方差公式的结构特征，从而将原多项式进行因式分解．
11．解：(1)x
2
－6x－7
＝x
2
－6x＋9－16
＝(x－3)
2
－4
2

＝(x－3＋4)(x－3－4)
＝(x＋1)(x－7)．
(2)a
2
＋4－5b
2

＝a
2
＋4＋4b
2
－9b
2

＝(a＋2b)
2
－(3b)
2

＝(a＋2b＋3b)(a＋2b－3b)
＝(a＋5b)(a－b)．
12．解 ：原式＝a(x＋y－z)＋b(x＋y－z)－c(x＋y－z)＝(x＋y－z)(a＋b－c)．
13．解：原式＝(x＋y)
2
－4(x＋y)＋4＝(x＋y－2)
2
.
点拨：本题把x＋y这一整体“当”作完全平方公式中的字母a.
14．解：原式＝
2
＋
2
＋
2
＋
2

＝(
2
＋
2
)＋(
2
＋
2
)
＝(＋)＋(＋)
＝(＋)(＋)．
点拨：本题“拆”开原式中的两个整体，重新分组，可谓“柳暗花明”，出现转机．
15．解：原式＝(x
2
－4x＋4)－(y
2
－6y＋9)
＝(x－2)
2
－(y－3)
2

＝(x＋y－5)(x－y＋1)．
点拨：
这里巧妙地把－5拆成4－9.“凑”成 (x
2
－4x＋4)和(y
2
－6y＋9)两个整体，从而运用公式法
分解因式．
16．解：(1)设a
2
＋2a＝m，
则原式＝(m－2)(m＋4)＋9
＝m
2
＋4m－2m－8＋9
＝m
2
＋2m＋1
＝(m＋1)
2

＝(a
2
＋2a＋1)
2

＝(a＋1)
4
.
(2)设b
2
－b＝n，
则原式＝(n＋1)(n＋3)＋1
＝n
2
＋3n＋n＋3＋1
＝n
2
＋4n＋4
＝(n＋2)
2

＝(b
2
－b＋2)
2
.