高中数学教学案例设计

高中数学教学案例设计
12、任意角的三角函数（1）
一、教学内容分析：
高一年《普通高中课程标准教科书·数学（必修4）》（人教
版A版）第12页1.2.1任意 角的三角函数第一课时。
本节课是三角函数这一章里最重要的一节课，它是本章的基础，
主要 是从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，
从而很好理解任意角的三角函数的定义。 在《课程标准》中：三角
函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学
和其 他领域中具有重要的作用。《课程标准》还要求我们借助单位
圆去理解任意角的三角函数（正弦、余弦、 正切）的定义。
在本模块中，学生将通过实例学习三角函数及其基本性质，体
会三角函数在解 决具有变化规律的问题中的作用。
二、学生学习情况分析
我们的课堂教学常用“高起点、大 容量、快推进”的做法，忽
略了知识的发生发展过程，以腾出更多的时间对学生加以反复的训
练 ，无形增加了学生的负担，泯灭了学生学习的兴趣。我们虽然刻
意地去改变教学的方式，但仍太多旧时的 痕迹，若为了新课程而新
课程又会使得美景变成了幻影，失去新课程自然与清纯之味。所以
如何 进行《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称课程标准)的
教学设计就很值得思考探索。如何让学 生把对初中锐角三角函数的
定义及解直角三角形的知识迁移到学习任意角的三角函数的定义中？
《普通高中数学课程标准(实验)解读》中在三角函数的教学中，
教师应该关注以下两点： < br>第一、根据学生的生活经验，创设丰富的情境，例如单调弹簧
振子，圆上一点的运动，以及音乐、 波浪、潮汐、四季变化等实例，
使学生感受周期现象的广泛存在，认识周期现象的变化规律，体会
三角函数是刻画周期现象的重要模型以及三角函数模型的意义。

第二、注重三角函数 模型的运用即运用三角函数模型刻画和描
述周期变化的现象（周期振荡现象），解决一些实际问题，这也 是
《课程标准》在三角函内容处理上的一个突出特点。
根据《课程标准》的指导思想，任意角的三角函数的教学应该
帮助学生解决好两个问题：
其一：能从实际问题中识别并建立起三角函数的模型；
其二：借助单位圆理解任意角三角函数的定义并认识其定义域、
函数值的符号。
三、设计理念：
本节课通过多媒体信息技术展示摩天轮旋转及生成的图像，让
学生感 受到数学来源于生活，数学应用于生活，激发同学们学习的
乐趣。并通过问题的探究，体验“数学是过程 的思想”，改变课程
实施过程于强调接受学习，死记硬背，机械训练的现状，倡导学生
主动参与 ，乐于探究，勤于动手，培养学生学生收集和处理信息的
能力，获得新知识的能力，分析与解决问题的能 力以及交流合作的
能力。
四、教学目标：
1.借助摩天轮的情景问题很好地融合初 中对三角函数的定义，
也能很好入在直角坐标系中，很好将锐角三角函数的定义向任
意角的三角 函数过渡，从通过问题引导学生自主探究任意角的
三角函数的生成过程，从而很好理解任意角的三角函数 的定义；
2.从任意角的三角函数的定义认识其定义域、函数值的符号；
3.能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问
题。
五、教学重点和难点：
1.教学重点：任意角三角函数的定义.?
P
2.教学难点：正弦、余弦、正切函数的定义域.
OA
图1

具体设计如下：
六、教学过程
第一部分——情景引入
问 题1:如图是一个摩天轮，假设它的中心离地面的高度为
h
o
，
它的直径为2 R，逆时针方向匀速转动，转动一周需要360秒，若现
在你坐在座舱中，从初始位置OA出发（如图1 所示），过了30秒
后，你离地面的高度
h
为多少？过了45秒呢？过了
t< br>秒呢？
【设计意图】：高中学生已经具有丰富的生活经验和一定的科
学知识，因此选择 感兴趣的、与其生活实际密切相关的素材，此情
景设计应该有助于学生对知识的发生发展的理解。这个数 学模型很
好融合初中对三角函数的定交，也能放在直角坐标系中，很好地将
锐角三角函数的定义 向任意角三角函数过渡，揭示函数的本质。
第二部分——复习回顾锐角三角函数
让学生自主思考如何解决问题：“过了30秒后，你离地面的高
度为多少？”
【分析 】：作图如图2很容易知道：从起始
位置OA运动30秒后到达P点位置，由题意知
?AOP? 30
0
，作PH垂直地面交OA于M，又知MH＝
h
o
，所以本问题 转变成求PH再次转变为求PM。
要求PM就是回到初中所学的解直角三角形的
问题即锐角的三角函数。
问题2：锐角
?
的正弦函数如何定义？
【学生自主探究】：学生很容易得到
sin
?
?
|MP||MP|
?
?
|MP|?Rs in
?
?
|PH|?h
0
?Rsin
?

|OP|R
图2
P
O
M
A
BN
H
P
O
a
M

?
h
?h
0
? Rsin
?

所以学生很自然得到“过了30秒后，过了45秒,你离地面的高
度
h
为多少？”
h
1
?h
0
?Rsin30
0

h
2
?h
0
?Rsin45
0

Y
【教师总结】：
t
在锐角的范围中，
0
P
OMA
X
h?h
0
?Rsint
0

第三部分——引入新课
问题 3：请问
t
的范围呢？随着时间的推
移，你离地面的高度
h
为多少？ 能不能猜想
h?h
0
?Rsint
0
？
B
【分析 】：若想做到这一点，就得把锐角的正弦推广到任意角
的正弦。今天我们就要来学习任意角的三函数角函 数。
问题4：如图建立直角坐标系，设点
P(x
P
,y
P
)
，能你用直角坐标
系中角的终边上的点的坐标来表示锐角
?
的正弦函数的定 义吗？能
否也定义其它函数（余弦、正切）？
【学生自主探究】：
sin
?
?
|MP|
y
P
?

R
|OP|
cos
?
?
|MP|
y
P
|OM|
x
P< br>?
，
tan
?
?

?
|OM|x
P
|OP|R
问题5：改变终边上的点的位置，这三个比值会改变吗？为什
么？

【分析】：先由学生回答问题，教师再引导学生选几个点，计
算比值，获得具体认识， 并由相似三角形的性质证明。
【设计意图】：让学生深刻理解体会三角函数值不会随着终边
上 的点的位置的改变而改变，只与角有关系。
通过摩天轮的演示，让学生感受到第一象限角的正弦可以跟锐
角正弦的定义一样。
问题6：大家根据第一象限角的正弦函数的定义，能否也给出
第二象限角的定义呢？
【学生自主探究】：学生通过上面
已知知识得到
sin
?
?
|MP|
y
P
?

R
|OP|
P
x
yO
学生定义好第二象限角后，让学生
自己算出摩天轮座舱在第150秒时，离
地面 的高度
h
？
通过摩天轮知道：
h?h
0
?Rsin150
0
?h
1
?h
0
?Rsin30
0

由此得到：
sin150
0
?

|MP|
y
P
?
在第二
R
|OP|
1
2
图3
【设计 意图】：通过这个，让学生检验
sin
?
?
象限角是否正确？
问题 7：
sin
?
?
|MP|
在第三象限角或第四象限能成立吗？ |OP|
【设计意图】：让学生通过模型，检验定义是否正确，从中让
学生自己发现正、负 符号的偏差。

（可以让学生取
t?210
，从而
h?h0
?Rsin210
0
,
得到
sin210
0
＝
?
，
发现这与
sin
?
?
|MP|?|MP|< br>不相符，实际上是
sin
?
?
）
|OP||OP|
1
2
【教师总结】：我们通过个模型知道如何在某些范围内如何计
算自已此时离地面的 高度，用数学模型
h?h
0
?Rsint
0
来表示，当摩
天 轮转动，角度的概念也不知不觉地推广到任意角，对于任意角的
正弦不能只是依赖于角所在的直角三角形 中的对边的长度比斜边长
度了，我更应该用点P的横坐标来代替
|MP|
或
? |MP|
，那么这样就
能够很好表示出正弦的函数任意角的定义。
第三部分——给出任意角三角函数的定义
如图3,已知点
P(x,y)
为角
?
终边上的点，点
P
到顶点
O
的距离为
R，则
sin
?
?
y
（
?
?R
）
R
x
（
?
?R
）
R
y
?
（
?
??k
?
）
x 2
cos
?
?
tan
?
?
【分析】：让学生通过刚 才的模型进一步体验任意角三角函数
的定义要点：点、点的坐标、点到顶点的距离。
问题8：当摩天轮的半径R＝1时，三角函数的定义会发生怎样
的变化。
【学生自主 探究】：
sin
?
?y
，
cos
?
?x
，
tan
?
?
y
。
x
教师引导学生进行对比，学生 通过对比发现取到原点的距离为
1的点可以使表达式简化。

教师进一步给出单位圆的定义
给出下列表格，让学生自己补充完整。
三角函数
定义一：
|OP|?1

定义二：
|OP|?R

定义域
sin
?

y

y

R
x

R
?
?R

cos
?

x

y

x
?
?R

?
2
tan
?

y

x
?
??k
?

及时归纳总结有利学生对所学知识的巩固和掌握。
第三部分——例题讲解
例1.（ 课本P14例2）已知角
?
终边经过点
P
0
(?3,?4)
，求角
?
的
正弦、余弦和正切值。
【分析】：让学生现学现卖，得用上面的定义二就可以得到答
案。
例2.（课本P14例1）求
5
?
的正弦、余弦和正切值。
3【学生自主探究】：让学生自己思考并独立完成。然后与课本
的解答相对比一下，发现本题的难点。
【教师讲解】：本题题意很简单，但是
如何入手却是难点，关键是对本节课的三角
函数 定义的要点有没有领会清楚（任意角三
角函数的定义要点：点、点的坐标、点到顶
点的距离）， 因此本题的重点之处是如何利
P
M
O
x
y
图4

用单位圆找到这个点P，如图4可以知道
?POM?
象限，得到
P(,?< br>1
2
?
3
，又点P在第四
3
)
，这样就可以 很容易得到本题答案。
2
不妨让学生取
R?|OP|?4
，能否也得到点P 的坐标，得到的三角
函数值是否与单位圆的一样。这样可以让学生更深刻体验三角函数
的定义。
第四部分——巩固练习
练习1.例2变式求
7
?
的正弦、余弦和正切值。
6
练习 2.问题9：通过观察摩天轮的旋转，三角函数的角的终边
所在象限不同，请说说三角函数在各个象限内 的三角函数值的符号?
独立完成课本P15的“探究”。
【设计意图】：练习1、练习2的设 计与例2、例3衔接，主要
目的是帮助学生巩固三角函数的本质特征，引导学生从定义出发利
用 坐标平面内的点的坐标特征自主探究三角函数的有关问题的思想
方法。并在特殊情形中体会数形结合的思 想方法。
第五部分——小结与作业
学生自我总结
作业：P23习题1.2A组 1,2,3

七、教学反思
上述教学设计及具体教学实施过程我认为有以下几点意义：
1. 教学设计紧扣课程标准的要 求，重点放在任意角的三角
函数的理解上。背景创设是学生熟悉的摩天轮，认知过程符合学生
的 认知特点和学生的身心发展规律——具体到抽象，现象到本质，

特殊到一般，这样有利学 生的思考。
2. 情景设计的数学模型很好地融合初中对三角函数的定义，
也能很好引入在直 角坐标系中，很好将锐角三角函数的定义向任意
角的三角函数过渡，同时能够揭示函数的本质。
3. 通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过
程，让学生在情境中活动，在活动 中体验数学与自然和社会的联系、
新旧知识的内在联系，在体验中领悟数学的价值，它渗透了蕴涵在知识中的思想方法和研究性学习的策略，使学生在理解数学的同时，
在思维能力、情感态度与价值观 等多方面得到进步和发展。这和课
程标准的理念是一致的。
4. 《标准》把发展学生的数学应用意识和创新意识作为其
目标之一, 在教学中不仅要突出知识的来龙去脉还要为学生创设应
用实践的空间, 促进学生在学习和实践过程中形 成和发展数学应用
意识,提高学生的直觉猜想、归纳抽象、数学地提出、分析、解决问
题的能力 , 发展学生的数学应用意识和创新意识,使其上升为一种数
学意识,自觉地对客观事物中蕴涵的一些数 学模式作出思考和判断。
在解答问题的过程中体验到从数学的角度运用学过的数学思想、数
学思 维、数学方法去观察生活、分析自然现象、解决实际问题的策
略, 使学生认识到数学原来就来自身边的现实世界, 是认识和解决
我们生活和工作中问题的有力武器, 同时也获得了进行数学探究的
切身体验和能力。增进了他们对数学的理解和应用数学的信心。