组合K线公式《因式分解》单元教学设计

单元教学设计




单元课题：因式分解
设计者单位：天水市逸夫实验中学
设计者姓名：水奎海








《因式分解》单元教学设计
【选用教材】

北师大版义务教育教科书《数学》八年级下册

【单元课题】
因式分解

【单元教材内容】

义务教育教科书《数学》（八年级下册，北京师范大 学出版社，2013年12月第1
版）对“因式分解”进行了较大的调整。将“因式分解”安排在课本第 四章。内容包括
“因式分解”、“提公因式法”和“公式法”。
共有三节内容：
第 一节《因式分解》，利用99
3
-99例子突出与因数分解的类比，体会因式分解的必
要性；并用几何图形的拼图解释因式分解。在了解因式分解的基础上，体会因式分解与
整式乘法的关系。
第二节“提公因式法”，它的依据是乘法分配律或者单项式乘多项式的法则，对于
学生来说，难 点是怎样在多项式的各项中发现公式。为此，教材安排学生从简单的多项
式ab+ac中发现相同因式， 由浅入深地体会如何寻找公因式，并以例题示范的形式学习
用提公因式法进行因式分解及其注意事项，形 成基本技能。
第三节“公式法”，其关键是熟悉平方差公式、完全平方公式及其特点，学生初学
时的一个难点是根据一个多项式的特点选择运用恰当的公式。为此，教材将这两个公式
分别分开教学， 然后综合运用学习，加深学生对公式特点的认识。

【单元知识网络】















因式分解的概念
提公因式法
因式分解的方法
公式法
运用完全平方公
式
运用平方差公式
简便计算
因式分解的应用
求代数式的值




2

【单元课标解读】

《数学课程标准（2011年版）》在第28页要求 ：能用提公因式法，公式法（直
接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）。

【单元内容数学分析】

1.因式分解是代数的重要内容，是在学习了“整式的运算 ”之后提出来的内容。因
式分解与整式乘法运算有密切的联系，事实上，它是整式乘法的逆向运用。 < br>2.因式分解是整式的一种重要变形，它在恒等变形、代数式的运算、解方程、函数
中有广泛的应 用。
3. 因式分解为学习分式运算，解方程及方程组及代数式和三角函数式恒等变形提
供必 要的基础。也是分式运算和化简、恒等变形、解高次方程的基础。
4.学习“因式分解”对于与化归的 能力、逆向思维的能力的培养会起到一定的作用，
又在逆向思维品质培养形成等中有着较重要作用和教育 价值。
5.作为今后学习的基础，它起到了承上启下的作用，因式分解及其变形的 应用，几
乎贯穿了整个中学数学乃至大学数学，学好因式分解对于代数知识的后续学习具有相当
重要的意义。
6. 通过探索因式分解的过程，比较和整式乘法的联系与区别，体会逆向思维方法
和转化的数学思想。

【单元教育价值分析】

“因式分解”的教育价值主要体现在：

1. 通过经历借助拼图解释整式变形的过程，体会几何直观的作用，有助于学生从几何角度认识并理解代数的含义。
2. 通过设计因数分解的例子让学生体会因式分解的必要性，发展 学生的类比思想，以
及从特殊到一般地思考问题的方法。
3．通过分析因式分解与整式乘法之间的互逆过程，体会数学知识之间的联系。
4．进一步发展学生观察、归纳、类比、概括等能力，发展有条理思考及语言表达能力。


【单元学情分析】

学生已经熟悉乘法的分配律及其逆运算，并且学习了 整式的乘法运算，因此，对
于因数分解的引入，学生不会感到陌生，它为学习分解因式打下了良好基础． 由整式乘
法寻求因式分解的方法是一种逆向思维过程，而逆向思维对于八年级学生还比较生疏，
接受起来还有一定的困难，通过观察、类比等手段，寻求因式分解与因数分解之间的关
系，为深入学习提 供了必要的基础．所以对于学生来说，寻求因式分解的方法是一个难
点．学生在七年级下册第一章中已经 学习过平方差公式及完全平方公式，将其逆用就是
主体知识．对于公式逆用，分析公式的结构特征，整体 思想换元进行分解因式以及要求
分解彻底等是又一个难点。


3

【单元教学目标】
总目标：经
历
将一个多项式表示成几个整式的 乘积的过程，体会因式分解的意义，发展
运算能力，能用提公因式法，公式法（直接利用公式不超过二次 ）进行因式分
解（指数是正整数）。

知识与技能：
1. 了解因式分解的意义，会判别各项的公因式，能用提取公因式法分解因式。
2. 会用平方差公式、完全平方公式（直接用公式不超过两次）分解因式（指数
是正整数）。
3. 通过对平方差公式、完全平方公式的逆向变形，体会类比、换元思想，提高
处理数学问题的技能。

过程与方法：
1．初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题，并 综合运用数
学知识和方法等解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。
2．经历从 不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法
的多样性，掌握分析问题和解决问题 的一些基本方法。
3．在与他人合作和交流过程中，能较好地理解他人的思考方法和结论。
4．能针对他人所提的问题进行反思，初步形成评价与反思的意识。

情态与价值：
1．积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲。
2．感受成功的 快乐，体验独自克服困难、解决数学问题的过程，有克服困难的
勇气，具备学好数学的信心。
3．在运用数学表述和解决问题的过程中，认识数学具有抽象、严谨和应用广泛
的特点，体会数学的价值 。
4．敢于发表自己的想法、勇于质疑，养成认真勤奋、独立思考、合作交流等学
习习惯，形 成实事求是的科学态度。

【单元教学分析】

1、引导学生多角度理解因式分解的意义
（1）类比因数分解理解因式分解。通过类比数式9 9
3
-99的分解过程，帮助学生理
解a
3
-a的分解，在这一活动 过程中学生可以进一步体会字母表示数，我们要给学生
足够的时间进行观察、思考，引导学生运用类比的 方法进行思考。
（2）通过拼图活动帮助理解因式分解。通过拼图前后图形的面积的变化，可以形象< br>地解释多项式x
2
+2x+1变形为（x+1)
2
,的合理性，以直观 的形象的方式，促进学生对
因式分解的理解。最好引导学生用自己的语言说明变形过程。因式分解与整式 的乘
法是互逆的恒等变形，因此在概念引入时应引导学生观察、对比因式分解与整式乘
法两者的 区别、联系，归纳因式分解与整式乘法的变形特点，真正理解因式分解变
形的目的和意义，在这基础上再 辨别一些似是而非的恒等变形，判断这些较明显恒
等变形是不是因式分解变形，从而掌握因式分解的含义 。让学生感受因数分解到因
式分解的过程，感受类比的方法，经历几何图形解释因式分解的过程，发展几 何直
观。这对学生理解数学思想、掌握数学方法，提高思维能力方面都有其积极的作用，

4

所以对教材的改编一定要慎重，我们不唯教材，但一定要吃透教材安排的意图和 课
标的要求的基础上进行科学的整合和调整。
2、注重发展学生观察、归纳、概括能力。 < br>探索因式分解的方法，事实上是对整式乘法运算的再认识，我们要借助学生已有
的整式乘法运算的 基础，给学生提供丰富的问题情境，留有充分探索与交流的时间和
空间，让他们经历从整式乘法运算到因 式分解的转换过程，并能用符号合理地表示出
因式分解的方法。
3、要坚持用整式乘法帮助学生理解因式分解、培养学生逆向思考问题的习惯。
因式分解的概 念学习和因式分解方法的学习中过程最要坚持运用因式分解和整
式乘法具有互为逆过程的关系，更好地促 进学生领会提公因式法与因式分解与乘法分
配律或单项式乘多项式之间的联系，领会因式分解的公式法与 乘法公式之间的联系，
进一步巩固因式分解的结论是否正确可用整式乘法或乘法公式来检验，从而培养学 生
逆向思考问题的习惯。
4、保证基本运算技能，避免复杂的题型训练
运用提公式 法和公式法因式分解是学习本章内容的一个重要目标。由于因式分解
在后面学习分式、解一元二次方程等 内容中，还可以继续巩固，因此教学中要依据教
材要求，适当地分阶段进行必要的训练，使学生在具备基 本运算技能的同时，能够明
白每一步的算理。本章只要求在有理数范围内因式分解，教学要遵循《课标》 和教材
的要求。教学中要避免过于烦琐的运算，也不要过分追求题目的数量和难度。
因式分解 在分式和一元二次方程的学习中特别重要，学不好因式分解分式的运算
几乎寸步难行，因此，在教学中总 想一步到位，学深、学广，到后继课程运用时得心应
手，这样就无形提高了难度，结果会适得其反，导致 有些同学使去兴趣，或者跟不上。
其实后继课程不仅是因式分解的一个应用过程，更是一个技能熟练和提 高过程，一定要
循序见进。

【单元重难点分析】

通过本单元 的学习，要基本掌握因式分解的常用方法，增强灵活运用因式分解
的方法对多项式进行因式分解的能力， 进一步拓宽提升数学运算的本领。

教学重点：

能准确、熟练、灵活地运用因式分解的基本方法对多项式进行因式分解。

教学难点：

分解要彻底、灵活运用因式分解解决问题

【单元评价分析】

1、关注对因式分解理解的评价

探索因式 分解的方法，注重学生对因式分解的理解，事实上是对整式乘法的再认
识，经历从整式乘法到因式分解的 这种互逆变形的过程，学生不仅能够理解、归纳因式

5

分解变形的特点，同时也可以充分感受到这种互逆变形的过程和数学知识的整体性。

2、关注对因式分解技能的评价

运用提公因式法和公式法分解因式是本单元学习内 容的一个重要目标，使学生在
具备基本的运算技能的同时，能够明白每一步的算理。教学中要避免过多繁 琐的运算，
不追求做题数量和难度（如直接用公式不超过两次，指数都为正整数等）。《标准》中要求学生“能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据，给出理
由或举出反例 。能清晰、有条理地表达自己的思考过程，做到言之有理，落笔有据；能
运用数学语言，合乎逻辑的进行 讨论与质疑。”

3、关注发展学生分析问题解决问题能力的评价。

在 因式分解这一单元的教学中，我们要有意识的培养学生的分析问题解决问题的
推理能力，在用符号表示因 式分解的公式之前，应引导学生对整式乘法与因式分解互逆
变形的规律进行分析、归纳与概括，发现其中 的数量关系，并将得到的因式分解的这个
关系用符号一般性的表示出来。应鼓励学生通过合情推理进行大 胆推测，并经历利用符
号间的运算验证猜测或解决问题这一重要的数学探索过程。

4、关注学生对数学问题逆向思维能力的评价

有意识的培养学生思考问题的习惯， 通过对整式乘法与因式分解之间的互逆关系
的探究过程培养学生有条理的思考、表达与交流的能力，引导 学生在活动中运用类比的
思想进行思考，并自觉地用语言说明变形过程。对学生能想到的有效方法都应及 时予以
充分肯定。

【单元教学规划】

本单元教学时间约6课时：
1. 因式分解 1课时
2. 提公因式法 2课时
3. 公式法 2课时
回顾与思考 1课时

【课时教学设计】

第一课时

[课题] 因式分解

[总体说明]

因式分解是代数的重要内容，它与整式和它在 分式有密切联系，因式分解是在
学习有理数和整式四则运算上进行的，它为今后学习分式运算，解方程及 方程组及代数

6

式和三角函数式恒等变形提供必要的基础。因此学好因 式分解对于代数知识的后继学习
具有相当重要的意义．
本节是因式分解的第1小节，主要让学 生经历从分解因数到分解因式的过程，
让学生体会数学思想——类比的思想，分解的思想，逆向思考的方 法，并体会数学思维
之间的整体联系，最终建立起来因式分解的概念。

[学情分析]

学生的技能基础：学生已经熟悉乘法的分配律及其逆运算，并且学习 了整式的
乘法运算，因此，对于因式分解的引入，学生不会感到陌生，它为今天学习分解因式打
下了良好基础．
学生活动经验基础：由整式乘法寻求因式分解的方法是一种逆向思维过程，而
逆向思维对于八年级学生还比较生疏，接受起来还有一定的困难，再者本节还没有涉及
因式分解的具体方 法，所以对于学生来说，寻求因式分解的方法是一个难点．

[目标分析]
学生在小学已经有过因数分解的经验，但对于因式分解的概念还完全陌生，因
此，本课时在让学生重 点理解因式分解概念的基础上，应有意识地培养学生知识迁移的
数学能力，如：运用类比思想，逆向运算 方法等。
基于以上分析，确立本课时的教学目标如下：

知识与技能
1.让学生了解因式分解的意义，建立因式分解的概念．
2.明确因式分解与整式乘法 的相互关系——互逆关系（即相反变形），并唤醒学生主
动运用这种关系寻求因式分解的方法．

过程与方法
1.通过对因式分解与整式乘法的观察与比较，让学生体验代数式 的变形与化归的数学
方法，经历综合运用知识分析问题的过程。
2.感悟解决实际问题的 思路，体验解决问题的策略的多样性，有意识的渗透转化的数
学思想，初步发展综合实践能力。

情感与态度：
培养学生接受事物之间矛盾的对立统一性观点。养成独立思考，勇于探索的精神和
实事求是的科学态度。


重点：
因式分解的概念

难点：
难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因
式分解的方法

7


[教学过程设计]

本节课设计了六 个教学流程：情景导入，师生合作交流与自主探究（数→形→式），
引出概念（确认概念属性），类比练 习，巩固练习，小结

教学 时间
教学内容 教师活动 学生活动 设计意图
环节 分配
用简便算法计算 此时学生学生对用简旨在设计问题情景，引5’
①736×95+736×5 对因式分便方法进行入新课。引导学生用简
②-2.67×13 2+25×解还相当计算应该比便方法计算——逆用
2.67+7×2.67 陌生。教较熟悉，通分配 率，类比过渡到正
情
师引导观过简便运算确理解因式分解的概
景
察实例问把一 个式子念上，从而为因式分解
导
题并由浅化成几个数概念的建立搭建一个
入
入 深逐步乘积的形理解上的平台
体会逆用式，尽快计
分配率的算出准确结
意义 果。
(1)99
3
-99能被99整分析共同在学生已有这一环节的设置对学10’
除吗？ 属性：解的认识基础生理解后面因式分解
(2)99
3
-99能被1 00决问题的上，先让学的概念起到了很大帮
整除吗？ 关键是把生解决一些助，体现了知识螺旋上3
（3）99-99还能被一个数式具体的数的升的思想。
师
哪些正整数整除？ 化成了几运算问题，引发学生联想到用字
生
得出
合
(4)议一议：用a表< br>个数的积从知识性的母表示数的方法，
作
的形式。问题过度到
3
a?a ?(a?1)?a?(a?1)
交
示任意一个大于1的
设问：“将思考性的问
流
99换成其题。经历从，这个过程对学生来说
整数，则：
与
他任意一分解 因数到是思维上的一次飞跃，
自
32
a?a?a?a?a

主
个大于1分解因式的是从对具体、个别事物
探
?a?(a
2
?1)
的整数,类比过程。 的认识上升到对一般

究
?a?(a?1)(a?1)
上述结论 事物规律性、结构性的

?(a?1)?a?(a?1)
仍然成立认识，是对学生思维能
吗?” 力水平的一次提高，同

时很自然的从分解因
(4)P92.做一做
数过度到分解因式。
把一个多项式化成讲解概念探究概念本初步树立起学生对因5’
引
几个整式的积的形中的关键质属性。 式分解概念的直观认
出
概
式，这种变形叫做分点 识
念
解因式




8

类
比
练
习






巩
固
练
习
内
容
小
结
1.计算：
（1）3x(x-1)=；
（2）m(a+b-1)= ；
（3）（m+4）(m-4)= ；
（4）（y-3）
2
=；
2.填空：
（1）3x
2
-3x=；
（2）ma+mb-m=
（3）m
2
-16=
（4）y
2
-6y+9=

3.看谁连得准
x
2
-y
2
. (x+3)
2

2
9-25x y(x -y)
x
2
+6x+9(3-5x)(3+x)
xy-y
2
(x+y)(x-y)
4.下列哪些变形是
因式分解，为什么？
（1）（a+3）(a -3)=
a
2
-9
(2)m
2
-4=(m+2)(m-2)
(3)a
2
-b
2
+1=(a+b)(a
-b)+1
（4）2πR+2πr=2π
（R+r）

（1）你能说说什么
是分解因式吗？
（2）应该怎样认识
“因式分解”？
注意：
1.分解的对象必须
是多项式.
2.分解的结果一定
是几个整式的乘积
的形式.
3.要分解到不能分
解为止.
课本第94页习题4.1
课件展示
内容：
P93.
做一做
引导学生
思考互逆
变形，区
分整式乘
法与因式
分解
课件展示
内容：
P93.
随堂练习
指导学生
完成训练
并巡回辅
导
独立完成并
准备陈述答案，体会互
逆变形，加
深对因式分
解的理解
通过两组互逆关系的10’
练习，类比两种不同的
运算，进一步让学生体
会什么是分解因式，这
个时候， 分解因式的概
念已基本在学生头脑
中确立。由整式乘法的
逆运算过渡到因式分
解，发展学生的逆向思
维能力
先独立完成通过学生独立思考和10’
再听讲解，讨论探究，从具体实例
之后互相纠中进一步理解概念，抽
正补充 象出因式分解概念的
本质属性，加深对新概
念的掌握
听学生发
言之后归纳总结，
课件展示
出要点，
说明知识
体系
回忆本节课回顾、总结、提高对知4’
所学内容，识掌握的系统性
在老师引导
下积极发
言，明确因
式分解知识
体系
课
后
作
业
了解掌握学生完成作巩固对所学内容，其中1’
学习情况业(课后) 第3、5两题的设计意
（课后） 图是让学生体会用因
式分解或因数分解解
决问题的简便性
9

[
板书设计
]

第四章 因式分解
4.1因式分解
把一个多项式化成几个因式分解与整式乘法注意：
整式的积的形式，这种变是互逆变形 1.分解的对象必须是多项式
形叫做分解因式 2.分解的结果一定是几个整
式的乘积的形式
3.要分解到不能再分解为止


[
教学设计反思
] 关于如何上好数学概念课一直是数学教学中热点讨论的话题，也是难题，而真正有
效的数学概念课教 学是要让学生从根本上理解概念的意义，并学会灵活运用。
本节课以学生的思维进程发展为主线，采用 逐步渗透，螺旋式类比方法，在概念引
入时，从分解因数到分解因式的类比，到概念强化阶段，又以整式 乘法与分解因式的过
程类比，因式分解过程中正反两例的类比，逐渐加深学生的认识，主要体现在从一开 始
一连串的知识性问题引入，到后来环节中多次提出思考性的问题，启发、引导学生做进
一步的 猜想、探究，这种循序渐进的思维进程有助于学生理解接受新知识。
[
教后记录与反思
]













第二课时
[课题] 提公因式法（1）
略

第三课时
[课题] 提公因式法（2）
略


10

第四课时
[课题] 公式法（1）
略

第五课时
[课题] 公式法（2）
略

第六课时
[课题] 回顾与思考

[学情分析]

学生的知识技能基础：学生已经学习了因式分解的两种方法：提公因 式法与公式
法，逐步认识到了整式乘法与因式分解之间是一种互逆关系，但对因式分解在实际中的
应用认识还不够深，应用不够灵活，对稍复杂的多项式找不出分解因式的策略．因此，
教学难点是确定 对多项式如何进行分解因式的策略以及利用分解因式进行计算及讨论.
学生活动经验基础： 在本章内 容的学习过程中，学生已经经历了观察、对比、类
比、讨论、归纳等活动方法，获得了一些对多项式进行 分解因式以及利用分解因式解决
实际问题所必须的数学活动经验基础，同时在以前的数学学习中学生已经 经历了很多合
作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力．

[目标分析]

在前几节的学习中，学生已经掌握了提取公因式与公式法的用法，本课时安排让
学生 对本章内容进行回顾与思考，旨在把学生头脑中零散的知识点用一条线有机地组合
起来，从而形成一个知 识网络，使学生对这些知识点不再是孤立地看待，而是在应用这
些知识时，能顺藤摸瓜地找到对应的及相 关的知识点，同时能把这些知识加以灵活运用，
因此，本节课的教学目标是：

1．知识与技能：
（1）使学生进一步了解分解因式的意义及几种因式分解的常用方法；
（2）提高学生因式分解的基本运算技能；
（3）能熟练地综合运用几种因式分解方法．
2．过程与方法：
（1）发展学生对因式分解的应用能力，培养寻求解决问题的策略意识，提高解决问题
的能力；
（2）注重学生对因式分解的理解，发展学生分析问题的能力和推理能力．
3．情感与态度：
通过因式分解综合练习和开放题练习，提高学生观察、分析问题的能力，培养学
生的开放意识； 通过认识因式分解在实际生活中的应用，培养学生运用数学知识解决实
际问题的意识．



11

[教学过程设计]

本节课设计了 七个教学环节：知识回顾——总结归纳——初步运用——总结归纳
——能力提升――灵活运用——加强巩 固．

第一环节 知识回顾
活动内容：1、举例说明什么是分解因式。
2、分解因式与整式乘法有什么关系？
3、分解因式常用的方法有哪些？
4、试着画出本章的知识结构图。


如果一个多项式的各项含

有公因式，那么就可以把

这个公因式提出来，从而

将多项式化成两个因式乘

积的形式，这种分解因式

的方法叫做提公因式法

整式乘法


互

逆

提公因式法

运用平方差公式

22
分解因式 a-b=(a+b)(a+b)
方法


运用公式法


把一个多项式化成几个整

式的积的形式，这种变形运用完全平方公式

叫做分解因式

a
2
±2ab+b
2
=(a±b)
2




如果把乘法公式反过来，那

么就可以用来把某些多项式

分解因式，这种分解因式的

方法叫做运用公式法
设计目的：
学生通过回顾与思考，将本章的主要知识点串联起来．
学法指导：
学生对因式分解 的概念与两种常用方法以及分解因式与整式乘法的互逆关系有了
较清楚的认识与理解，但语言叙述严谨性 不够，有待加强．

第二环节 总结归纳（分五个知识点进行归纳训练）
活动内容：


12

知识点一：对分解因式概念的理解
例1.下列式子从左到右的变形中是分解因式的为（ ）。

A.
y
2
?3y?4?y(y?3)?4
22
B.
1?4x?4x?(1?2x)
22
C.
x?y?(x?y)(x?y)
D.
x?1?x(1?
1
)
x

设计目的：
加深学生对因式分解概念的认识．
学法指导：
引导学生说出相应的理由．
活动内容：
知识点二：利用提公因式法分解因式
例2.把下列各式分解因式
⑴
?27m
2
n?9mn
2
?18mn

⑵
4b(1?b)
3
?2(b?1)
2

知识点三：利用公式法分解因式
例3.把下列各式分解因式
⑴
(m?n)
2
?(m?n)
2

9
x
2
?3x?
⑵
4

⑶
(x?y)
2
?10(x?y)?25

⑷
(2a?b)
2
?8ab

设计目的：
（1）分类讲解分解因式的两种基本方法，加强学生对因式分解的基本技能训练； （2）
增强学生在分解因式过程中运用整体思想进行运算．
学法指导：
前五题学生 完成得较好，但最后一题，有的学生处理时显得有些茫然，教师在讲解
时，应引导学生先化简整理，再考 虑用公式或其它方法进行因式分解。


第三环节 初步运用
活动内容：
练一练：把下列各式分解因式
（1）（a
2
+4）
2
–16a
2


（2）
2

x
2
y
2
?x
4
?y
4


13

设计目的：
连续两次使用公式法进行分解因式。当多 项式形式上是二项式时，应考虑用平方差
公式，当多项式形式上是三项式时，应考虑用完全平方公式。
注意事项：区分两个公式法分解因式。

第四环节 总结归纳
知识点四：综合运用多种方法分解因式
例4.把下列各式分解因式
⑴
x
3
?4x
⑵
(a?b)
2
?4(a?b?1)
⑶
x
2
(y
2
?1)?2x(y
2
?1)?(y2
?1)
⑷
x
2
?9y
2
?4z
2
?4xz

设计目的：
考察学生综合运用各种方法进行分解因式的能力，同时归纳分解因式的一般步骤和
方法。
学法指导：
先观察是否有公因式，若有公因式提出后是否具有平方差公式或完全平方公式特< br>征，若有使用公式法；若都没有，则考虑将多项式进行重新整理或分组后进行分解因式。

知识点五：运用分解因式进行计算和求值
例5.利用分解因式计算：
⑴
100
2

(99
2
?198?1)
2
⑵
1999
2
?1998?2002

⑶（–2）
101
+（–2）
100


例6．已知
x
2
?3x?2?0
，求
2x
3
?6x
2
?4x
的值。

例9图
第五环节 能力提升
知识点六：分解因式的实际应用
例9.如图，在一个半径为R的圆形钢板上，冲去半径为r的七个小圆．
（1）用代数式表示剩余部分的面积；
（2）用简便方法计算：当R=7.5，r=1.25时，剩余部分的面积．

设计目的：
加强因式分解在实际生活中的应用，发展学生对因式分解的应用能力，提高解决问
题的能力．
学法指导：
将数学与实际生活结合到一起是部分学生的薄弱环节，但对于学生是一个有益的尝
试，教师的引导应注意以下两个步骤：先将多项式因式分解；再将数据代入．



14

第六环节 灵活运用
活动内容：
练一练
1.正方形Ⅰ的周长比正方形Ⅱ的周长长96cm，它们的面积相差960cm2.求这两个正方形的边长。
2.当x取何值时，x
2
+2x+1取得最小值？
3.当k 取何值时，100x
2
-kxy+49y
2
是一个完全平方式？
活动目的：
通过设置恰当的、有一定梯度的题目，关注学生知识技能的发展和不同层次的需< br>求．第1题主要考察学生对因式分解的实际应用能力，需要将实际问题转化为数学算式，
再利用因 式分解的特性求解；第2、3题主要考察学生对完全平方式的掌握，中等程度
以上的学生都应该能解答； 但第三题有两种情况需要考虑，部分学生被负号所迷惑只写
了一个答案。
学法指导：
注重学生将实际问题转化为数学问题的能力，同时需正确理解完全平方式的意义。

第七环节： 加强巩固
活动内容：
例10.利用分解因式说明：
25
7
?5
12
能被120整除。
练一练：
2
48
?1
可以被60和70之间某两个自然数整除，求这两个数。
设计目的：
利用分解因式解决数字问题，需要一些小技巧，教师给出一例题讲解，学生效仿学
习。
学法指导：
练一练有一定的难度，学有余力的学生可探究学习。、、
课后练习：
完成课后习题。

[教学设计反思]

在因式分解的几种方法 中，提取公因式法师最基本的的方法，学生也很容易掌握。
但在一些综合运用的题目中，学生总会易忘记 先观察是否有公因式，而直接想着运用公
式法分解。这样直接导致有些题目分解错误，有些题目分解不完 全。所以在因式分解的
步骤这一块还要继续加强。其实公式法分解因式，学生比较会将平方差和完全平方 式混
淆。这是对公式理解不透彻，彼此的特征区别还未真正掌握好。大体上可以从以下方面
进行 区分。如果是两项的平方差则在提取公因式后优先考虑平方差公式。如果是三项则
优先考虑完全平方式进 行因式分解。应该引导学生总结多项式因式分解的一般步骤
① 如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；
② 如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式；
③ 如果用上述方法不能分解，那么可以尝试变形后选择分解方法；
④ 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
⑤ 解题步骤应在黑板上示范，反复强调，在复习时还要加以巩固。
最后，需要反思的是如何培养学生的整 体观念，灵活运用公式的能力。注重总结做
题步骤。这章节知识看起来很简单，但操作性很强的，相同或 者相似的式子比较熟悉而

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需要转化的或者多种公式混合使用的式子就难以入手，基础不好的学生需要手把手的
教，

[
教后记录与反思
]






【单元教学设计后记与反思】

1.《课程标准》对因式分解 的要求有严格的界定，如应用公式法只要求平方差、
完全平方公式，且直接用公式不超过二次。而十字相 乘法不作要求，但我们知道十字相
乘法确实有很重要的用途。从实用价值来说，需要补充十字相乘法。

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?1(?1)(?1)
这样的代数式变2. 因式分解是整式范畴的 概念，因此诸如=
xx
x
2
形不能称之为因式分解，但可以认为是因式分解在 代数式变形中的拓广应用。可以这样
解释。

3.教材中因式分解的定义并不严格， 这样处理意在淡化概念。实际上，多项式被
因式分解以后，每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数 ，要求必须分解到不能再
分解为止，这恰恰与因式分解的数集有关，本单元仅限于在有理数范围内因式分 解。


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