挥发分公式因式分解与应用例题特殊方法

因式分解
定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形
叫做把 这个多项式因式分解，也叫作分解因式。
数字
提供因式 单项式
多项式
因式分解公式法：平方差，完全平方，十字相乘法

分组分解

下面各式的变形中，是否为因式分解，为什么？
(1)x^2-y^2+1=(x+y)(x-y)+1 (2)(x-2)(x+1)=x^2-x-2
(3)6x^2y^3=3xy.2xy^2
意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地
应用于初等数学之中，是我们解 决许多数学问题的有力工具。因
式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握
因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学
生的思维能力，都有着十分独特的作用。 学习它，既可以复习的
整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学
生的观察 、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问
题的能力。分解因式与整式乘法为相反变形
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因式分解的方法
因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中 主要介绍了提公因式
法、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和
十字相乘法 ，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称
多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除 法，除法等。
（实际上就是把见到的问题复杂化）
注意三原则
1 分解要彻底
2 最后结果只有小括号
3 最后结果中多项式首项系数为正
（例如：
-3x^2+x=-x(3x-1)

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基本方法

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⑴提公因式法
各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
如果一个多项式的各项有公因式，可以把 这个公因式提出来，
从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫
做提公因式 法。
具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项
系数的最大公约数；字母 取各项的相同的字母，而且各字母的指
数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。
如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的
第一项的系数成为正数。提 出“-”号时，多项式的各项都要变号。
口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；
提负要变号，变形看奇偶。
例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；
a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。
注意：把2a^2+12变成2(a^2+14)不叫提公因式
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⑵公式法
如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这
种方法叫公式法。
A：平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)；（嵌套考法）
例题：x^(n+2)-2x^(n+1)+3x^n x^4-16 x^4+16(难)
4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2
(c^2-a^2-b^2)^2-4a^2b^2 (x^2-b^2+y^2-a^2)^2-4(ab-xy)^2
B:完全平方公式：a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2；
注意：能运用完全平方公式分解 因式的多项式必须是三项式，
其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两
个数(或式)的积的2倍。
例题：(x^2-2x)^2+2x(x-1)+1
关于完全平方公式的应用：例题 19x^4+mx^2y+16y^2是一个
完全平方式求m的值
特殊方法：如果告诉你一个 式子是完全平方式，那么中间项的系
数的平方等于4倍两个二次式的乘积。
立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)；
立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)；
完全立方公式：a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3=(a±b)^3．
立方和，立方差，完全平方公式在中考中有可能出现，这是
高中必须掌握的公式！
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(3)十字相乘法（又称p，q法）
这种方法有两种情况。
①x^2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解 （称为p,q法）
这类二次三 项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个
数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。因此， 可以直接
将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：
x^2+(p+q)x+pq=(x +p)(x+q) ．
②kx^2+mx+n型的式子的因式分解
如果有k=ac ，n=bd，且有ad+bc=m时，那么
kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d)．
例题：a^4-8a^2+16 m^2-3mn+2n^2 x^2+4xy+3y^2
3x^4+6x^2-9
(4)分组分解法：分组的原则：把各项适当分组，先使因式分解< br>能分组进行，再使因式分解在各组之间进行，并且一直进行到底。
分组分解法德情况：（1）分 组后能直接提公因式。（2）分组
后能直接运用公式（包括上面6个公式）。
例题x^2-y^2-z^2+2yz x^2-4ax+8ab-4b^2
(5)因式分解的应用：用于求参数的范围。
例题1.设x^3+4x^2+mx-10是x-2的倍数，求m的值？
2.若x^3+ax^2+2x+b是（x+1）^2的倍式，求a- b之值？（整
式除法运算，与最高项系数相同除起走）
3.设6x^3+ax^2-13x-b为x+1与2x-3的倍式，求a,b之值？

因式分解的一般步骤：
第一步
第二步
1
2，
提取公因式
看项数
两项式： 平方差公式
三项式：完全平方公式
十字相乘法
3



四项或者四项以上式：分组分解法
不等式应用题
模型一：原材料问题
1 ,某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用
者两种原料生产A,B两种产品共5 0件。已知生产一件A种产品
需用甲种原料9千克，乙种原料3千克，可获得利润700元；生
产一件B种产品，需要甲种原料4千克，乙种原料10千克，可
获利润120元。
（1） 按要求安排A,B两种产品的生产件数，有哪几种方案？
（2） 设生产两种产品获总利润为y元，其 中一种产品件数为x，
试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明
(1)中那种生 产方案总利润最大？最大利润是多少？
2.某地为促进特种水产养殖的发展，决定对甲鱼和黄鳝的养殖 提
供政府补贴。该地区某农户在改建10个I亩大小的水池里分别
养殖甲鱼和黄鳝，因资金有限 ，投入不能超过14万元，并不希
望获得低于10.8万元的收益，相关信息如下表所示：（收益=毛< br>利润-成本+政府补贴）
养殖种类 成本
（万元
亩）
甲鱼
黄鳝
(1)
(2)
(3)
1.5
1
2.5
1.8
0.2
0.1
毛利润
（万元亩）
政府补贴
（万元亩）
根据以上信息，该农户可以怎么安排养殖？
应该怎么样安排养殖，可获得最大收益？
据市场调查，在养殖成本不变的情况下，黄鳝的毛利润相
对稳定，而每亩甲鱼的毛利润将减少m万元。 问该农户又该如
何安排养殖，才能获得最大利润？
模型二 调度问题

必须满足的条件（1）八字型（2） 输入=输出
模型图标：
调度问题
A
C
角码
（X）
B
总





相等
D
同理
总

例题：1,A市与B市分别有库存某种机器12台和6台，现决
定支C市10台和D市8台，已 知从A市调运到C市,D市的运
费每台400元和800元，从B市调运到C市，D市每台300元和500元。
（1） 设B市运往C市机器x台，求运费W关于x的函数关系？
（2） 若总运费不超过9千元，问有几种调运方案？
（3） 求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少元？
2.我市某乡A,B两村盛产柑橘，A村有柑橘20 0吨，B村有柑
橘300吨，先将这些柑橘运到C.D两个冷藏仓库，已知C仓库
可储存240 吨，D仓库可存储260吨从A村运往C.D两处的运
费为每吨20元和25元，从B村运往C.D两处 的运费分别为每
吨15元和18元。设从A村运往C仓库的柑橘重量为x吨，A，
B两村运往两 仓库的柑橘运输费用为yA元和yB元。
（1）请填写下表，并求出yA，yB与x之间的函数关系式;
收地
运地
A
B
总计
C D 总计
x吨

240吨


260吨
200吨
300吨
500吨
（2） 试讨论A,B两村中，那个村的运费较少：
（3） 考虑到B村的经济承受能力，B 村的柑橘运费不得超过
4830元。在这种情况下，请问怎样调运，才能使两村的运
费之和最小 ？求出这个最小值。
模型三：其他不等式符号（>,<,=,>=,<=）
包括：二元一次方程组，不等式组
1.(2009年牡丹江市)某冰箱厂为响应国家“家电下 乡”号召，计划
生产
A
、
B
两种型号的冰箱100台．经预算，两种 冰箱全部售出后，
可获得利润不低于 4.75万元，不高于4.8万元，两种型号的冰箱生
产成本和售价如下表：
型号
成本（元台）
售价（元台）
A
型
2200
2800
B
型
2600
3000
（1）冰箱厂有哪几种生产方案？ < br>（2）该冰箱厂按哪种方案生产，才能使投入成本最少？“家电下乡”
后农民买家电（冰箱、彩电 、洗衣机）可享受13%的政府补贴，
那么在这种方案下政府需补贴给农民多少元？
（3）若 按（2）中的方案生产，冰箱厂计划将获得的全部利润购买三
种物品：体育器材、实验设备、办公用品支 援某希望小学．其中
体育器材至多买4套，体育器材每套6000元，实验设备每套3000
元 ，办公用品每套1800元，把钱全部用尽且三种物品都购买的
情况下，请你直接写出实验设备的买法共 有多少种．
2.(2009年齐齐哈尔市）某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机
影响， 电脑价格不断下降．今年三月份的电脑售价比去年同期每台降
价1000元，如果卖出相同数量的电脑， 去年销售额为10万元，今年
销售额只有8万元．
（1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元？
（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种 型号电脑，已知甲种
电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用
不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有
几种进货方案？
（3） 如果乙种电脑每台售价为3800元，为打开乙种电脑的销路，公
司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客 现金
a
元，要使（2）中所有
方案获利相同，
a
值应是多少？此时， 哪种方案对公司更有利？
3. （2009襄樊市）为实现区域教育均衡发展，我市计划对某县
A
、
B
两类薄弱学校全部进行改造．根据预算，共需资金1575万元．改
造一所
A
类学校和两所
B
类学校共需资金230万元；改造两所
A< br>类
学校和一所
B
类学校共需资金205万元．
（1）改造一所
A
类学校和一所
B
类学校所需的资金分别是多少万
元？
（2）若该县的
A
类学校不超过5所，则
B
类学校至少有多少所？
（3）我市计划今年对该县
A
、
B
两类学校共6所进行改造，改造
资 金由国家财政和地方财政共同承担．若今年国家财政拨付
的改造资金不超过400万元；地方财政投入的 改造资金不少
于70万元，其中地方财政投入到
A
、
B
两类学校的改 造资
金分别为每所10万元和15万元．请你通过计算求出有几种
改造方案？