高中数学片段教学教案

高中数学片段教学教案
【篇一：教学片断与案例】



教学片断与案例

1、综合法和分析法的一个教学片断

师： 合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证
明的．观察、思考下列证明过程各有什么特 点？它们是以怎样的形
式使结论获证的？

引例1已

知a,b0,求证a(b+c)+b(c+a)≥4abc

证明：因为b+c≥2bc,a0，所以a(b+c)≥2abc，

因为c+a≥2ac,b0，所以b(c+a)≥2abc.

因此, a(b+c)+b(c+a)≥4abc.

引例2已知a,b∈

r，求证：

证明：要证+2222222222222222a+b≥

2a+b≥

a+b≥，

2

只需证a+b-

0，只需证2≥0

因为2≥0显然成立，所以原不等式成立．

a,b,c0 引例3已知a+b+c0,ab+bc+ca0,abc0.求证：

证：设a0，∵abc0，∴bc0

又由a+b+c0，则b+c=-a0

∴ab+bc+ca=a(b+c)+bc0，与题设矛盾

又若a=0，则与abc0矛盾，∴必有a0. 同理可证：

b0,c0

设计意图：通过三种证明方法案例的展示，引导学生观察、比较、
辨析、思考三种证明方法的 形式、特点，为归纳、抽象、概括三种
证明方法提供感性认识，也为理解不同证明方法的表述形式打下基
础．引例1、2的方法是本课要学习的重点内容，引例3的方法（反
证法）是下一课的学习任务 ，在此给出引例3有两方面的作用，一
方面，让学生对不同方法有一个整体认识与了解，另一方面，为下
一课的学习作好铺垫．

对三个引例，引导学生分两个层次比较、归 纳．第一层次的比较，
是否直接针对结论进行证明？得出直接证明与间接证明；第二层次
的比较 ，是引例1、2之间，证明的起点及逻辑推理形式，由此可引
导学生归纳、概括出本课重点学习的两种方 法：综合法与分析法．

2、归纳探索的一个教学片断

问题情境：（ 河内塔游戏）传说在古老的印度有一座神庙，神庙中
有三根针和套在一根针上的64个圆环.古印度的天 神指示他的僧侣们
按下列规则,把圆环从一根针上全部移到另一根针上，第三根针起“过
渡”的 作用.

①每次只能移动1个圆环；

②较大的圆环不能放在较小的圆环上面.

如果有一天，僧侣们将这64个圆环全部移到另一根针上，那么世界
末日就来临了.

请你推测：把64个圆环从1号针移到3号针,最少需要移动多少次?

启发性 思考：首先，你是否理解了这个问题？是否理解清楚了圆环
的移动规则？是否明白了问题要求什么？然后 ，你打算怎样考虑这
个问题？能否把问题化简单、化容易一些？怎样的情况会更简单、
更容易呢 ？（为归纳作准备，逐步形成归纳意识）

【评析】这一系列的启发性思考问题，在于引导学 生在面对一个新
问题或较难的问题时，首先要准确理解好问题，然后学会寻找问题
的切入点．< br>
生成预设：片数较少的情况会更简单、更容易，先考虑片数较少的
情况，看看1片、 2片、3片、…，等情况，再找找方法规律或联系，
考虑解决更难、更一般的情况.

操作实验：（1）可先让学生进行适当的思想实验，想明白1片、2
片、3片时的情况，并引进符号an 表示n片圆环的移动次数；

（2）再用课前备好的四个大小不一的圆环，让两位学生对2个 、3
个、4个圆环的情况分别进行实际操作试验，其他学生注意观察并思
考规律．

生成预设：（1）表面的试验观察结果可能只是

a1=1,a2=3,a3=7,a4=15, ，

进而发现规律

1=21-1,3=22-1,7=23-1,15=24-1，…，猜想a64=264-1．

（2）更进一步的试验、观察可能发现：

a1=1,a2=1+2,a3=1+2+4,a4=1+2+4+8, ．

即：对于两个圆环，底下一个只要移动1次，上面一个则要移动2
次；对于3个圆环，由下到上，第1个 只要移动1次，第2个需要
移动2次，第3个则要移动4次；对于4个圆环的情况可作同样解
释 ．

进而猜想a64=1+2+22+ +263=264-1．

（3 ）更深入的试验、观察、思考可能发现更本质的移动规律，在理
性的层面上解决问题：移动n个圆环时， 只要化归为移动n-1个圆
环即可，第一步，先把上面的n-1个圆环按要求移到2号针上，需
移an-1次；第二步，把最底下的第n个圆环移到3号针上，需要移
1次；第三步，再把2号针的n- 1个圆环移到3号针，需要再移an-
1次，从而得an=2an-1+1，这样就可依次求得各种圆环 数的移动次
数，或转化为等比数列an+1=2(an-1+1)，结合a1=1，求得通项
a n+1=2?2n-1，即an=2n-1．

【评析】移动3个、4个圆环的情况，学生可 能会有一些困难．要
根据学生的实际情况，给予适当的点拨、提示，或质疑启发．

（1）缺乏思维指导的学生可能只是盲目地、孤立地试验各种情况，
这样，要试验求出a3、a4就更困 难，而求出a3、a4对于归纳猜想
又是关键所在．

（2）预设（2）体现了更进 步的观察、归纳，是注意到试验中每个
圆环的移动次数规律性，从这样的角度，可能更有利于得出a3、 a4．

（3）预设（3）则体现了更深的理性思考，这要从联系与转化的角
度进行观察、思考．

让学生进行实际的试验操作，给学生以感性体验，并通过动手操作，
促进思维领悟，这也体现 了一种思维训练，在这过程中，也能体现
学生不同的思维层次与多种思维品质，对激发学生的探究兴趣也 可
能有积极的作用．另外，从省时的角度，也可考虑运用多媒体课件
进行移动圆环的演示实验， 并引导学生进行观察、思考，这种技术
手段同样能产生较好的直观效果，也有利于学生的观察发现，但这
种观察有一定的被动性．

在教学中，如何挖掘不同层次的学生思维潜能，让学生感 受不同角
度、不同层次的观察、思考，归纳、概括，是值得我们教师下功夫
的地方，相信这对学 生的思维训练是大有好处的．

3、案例

案例1：头上戴的帽子的颜色（华罗庚的例子）

有位老师，想辨别他的3个 学生谁更聪明．他采用如下的方法：事
先准备好3顶白帽子，2顶黑帽子，让他们看到，然后，叫他们闭 上
眼睛，分别给戴上帽子，藏起剩下的2顶帽子，最后，叫他们睁开
眼，看着别人的帽子，说出 自己所戴帽子的颜色．3

个学生互相看了看，都踌躇了一会，并异口同声地说出自己戴的是
白帽子。

聪明的你，想想看，他们是怎样推算出来的呢？他们怎样能够从别
人头上帽子的颜色，正确地推断出自己 头上帽子的颜色的呢？

“为了解决上面的伺题，我们先考虑“2个人，1顶黑帽，2顶白帽 ”
问题．因为，黑帽只有1顶，我戴了，对方立刻会说自己戴的是白
帽．但他踌躇了一会，可见 我戴的是白帽．这样，“3人2顶黑帽，3
顶白帽”的问题也就容易解决了．假设我戴的是黑帽子，则他 们2人
就变成“2人1顶黑帽，2顶白帽”问题，他们可以立刻回答出来，但
他们都踌躇了一会 ，这就说明，我戴的是白帽子，3人经过同样的思
考，于是，都推出自己戴的是白帽子．看到这里。同学 们可能会拍
手称妙吧．

后来，华罗庚还将原来的问题复杂化，“n个人，n-1顶 黑帽子，若
干（不少于n）顶白帽子”的问题怎样解决呢？运用同样的方法，便
可迎刃而解．他 并告诫我们：复杂的问题要善于“退”，足够地“退”，
“退”到最原始而不失去重要性的地方，是学好 数学的一个诀窃．

简化问题：有位老师想辨别他的二个学生谁更聪明. 他采用如下的方< br>法：事先准备好两顶白帽子，一顶黑帽子，让学生们看到，然后让
他们闭上眼睛. 老师给他们戴上帽子，并把剩下的那顶帽子藏起来.
最后让学生睁开眼睛，看着对方的帽子，说出自己所戴帽子的颜色.
两个学生互相望了望，犹豫了一小会儿，然后异口同声地说：“我们
戴的是白帽子” .

聪明的各位，想想看，他们是怎么知道的？

这里的思维方式就是推理.

案例2：探索活动是如何进行的？（华罗庚的例子）

面对着一个装有不明物的袋子，观察者问自己，这袋子里装的是什
么？于是探索活动开始了。

从一个袋子里摸出的第一个是红玻璃球，第二个是红玻璃球，甚至
第三个、第四个、第五个都 是红玻璃球的时候，我们立刻会出现一
种猜想：“是不是这个袋里的东西全部都是红玻璃球？”但是，当 我
们有一次摸出一个白玻璃球的时候，这个猜想失败了；这时，我们

会出现另一 种猜想：“是不是袋里的东西全都是玻璃球？”但是，当
有一次摸出来的是一个木球的时候，这个猜想又 失败了；那时，我
们又会出现第三个猜想：“是不是袋里的东西

都是球？”这个猜想 对不对，还必须继续加以检验，要把袋里的东西
全部摸出来，才能见个分晓。

袋子 里的东西是有限的，迟早总可以把它摸完，由此可以得到一个
肯定的结论，但是，当东西是无穷的时候， 那怎么办？

如果我们有这样的一个保证：“当你这一次摸出红玻璃球的时候，下
一 次摸出的东西，也一定是红玻璃球”，那么，在这样的保证之下，
就不必费力去一个一个地摸了。只要第 一次摸出来的确实是红玻璃
球，就可以不再检查地作出正确的结论：“袋里的东西全部是红玻璃
球”。

华罗庚举的这个例子，是对简单枚举归纳推理结论性质的一个通俗
说明。

人们应用 简单枚举归纳推理，当然可以从为数不多的事例中推导出
普遍的规律性来，然而这还是一个“猜想”。这 种猜想对不对，还必
须进一步加以验证。因为对于不完全归纳推理来说，结论所断定的
范围超过 了前提所断定的范围，所以，它的结论就不具有必然性，
它可能真，也可能假。

从 一个袋子里摸球，连续摸了五次，摸的都是红玻璃球，这时候，
我们可以通过简单枚举归纳推理得出结论 ：“这个袋子里装的都是红
玻璃球。”但是，你在得出这个结论时，必须清醒地认识到这个结论
是不可靠的。正如这个例子所表明的，你第六次摸出的，却是白玻
璃球了，这就把你的这个结论推翻了。 因此，当你摸了六个球时，
虽然可以得出“这个袋子里装的都是玻璃球”的结论；摸第七个球时，
可以得出“这个袋子里装的都是球”的结论，但必须明白，这些结论
同样都是或然的。总而言之，我们 在进行简单枚举归纳推理时，必
须充分估计到其结论的或然性。

案例3：我国地 质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质
结构类似，而中亚细亚有丰富的石油，由此，他推断松 辽平原也蕴
藏着丰富的石油；

案例4：三角形的内角和为，四边形的内角和为，五 边形的内角和
为，……，所以边形的内角和为

；

【篇二：人教版高中数学《组合》全国一等奖教学设计】

组合教学设计（第一课时）

一、教材分析

本节课的教学内容是选修 2-3（人教a版）1.2.2《组合》第一课
时．本节内容是两个计数原理及排列知识的延续，也是后 续学习二
项式定理，研究二项式系数性质及求等可能事件概率的基础，因此
本节课在整个章节中 起了承上启下的重要作用。本节课主要是借助
学生身边的例子，类比排列的知识探究组合的定义、组合数 的定义、
组合数计算公式及组合数的性质，并从具体情境中体会排列与组合
的区别与联系。通过 对组合教学的探究，让学生体会类比，从特殊
到一般等重要数学思想的应用以及数学来源于生活又服务于 生活的
课程理念。

二、学情分析

从学生的现有知识水平看， 在学习本节前，学生已学习了两个基本
计数原理、排列。绝大多数学生能正确运用两个计数原理，能正确
理解排列、排列数的概念，能比较熟练地应用排列数公式进行计算。
还能遵循先特殊后一般、先 取后排、先分类后分步的原则，解决典
型的排列问题。因此在本节课教学要借助这些已有的知识，通过观
察、分析、类比、归纳，帮助学生理解组合的概念；从能力的角度
看，学生已经具备了一定的分 析问题的能力、思考的能力、探究的
能力、计算的能力、数学表达的能力，教学中要借助学生已有的能< br>力，提供实际问题情境，引导学生进行分析，向学生提供合适的探
究材料，引发学生的主动探究， 借助小组讨论、合作交流，全班展
示等活动培养学生的自主学习、合作学习及数学表达能力。

三、设计思想

《组合》是继排列后的又一特殊的计数模型，是计数问题的延续与
拓展。本节课我的设计理念是：以问题为载体，以学生为主体，创
设有效问题情境，努力营造开 放、民主、和谐的学习氛围，充分调
动学生的兴趣与积极性。让学生在经历“自主、探究、合作”的过程
中，体验从生活中发现数学，并通过观察、分析、对比、归纳、猜
想、证明、展示、交流等一系 列思维活动，在教师的适当引导、组
织下主动地建构数学知识的过程。同时注重渗透“特殊与一般”、“ 分
类讨论”、“转化与化归”等重要数学思想及类比的学习方法，让学生
掌握知识的同时提升数 学素养与思维品质，真正做到“授之以鱼不如
授之以渔”。

四、教学目标 1、知识与技能:

正确理解组合、组合数的概念；会利用排列与组合的关系推导组合
数公式；初步掌握组合数的性质； 2、过程与方法:

借助学生生活中熟悉的例子创设问题情境，学生通过对实际问题的
探究、思考、对比、分析，初步形成组合、组合数的概念；用类比、
归纳的思想得出组合、组合数的概 念，并深刻体会组合、排列的区
别与联系；通过小组讨论、交流合作、成果展示等活动，才用类比、特殊到一般的思想探究推导组合数公式并能进行简单应用；从组合
数的计算中观察、归纳、猜想得到 组合数的性质并进行简单的应用。
3、情感态度与价值观:

学会用联系的观点看 问题，培养良好的个性品质及团队合作意识；
让学生充分感受到数学来源于生活又服务于生活，提高应用 数学的
意识。

五、教学重点：组合的概念、组合数公式、组合数的性质 六、教学
难点：组合数公式的推导.

七、教学方法：启发、引导、自主、合作、探究

【篇三：2.2.2对数函数及其性质片段教学教案】


2.2.2 对数函数及其性质片段教学（第一课时）教案

一、教学目标

1、知识技能

（2）掌握对数函数的图像和性质，并进行简单的应用。

2、过程与方法

（1）形成数学交流能力和与人合作意识；

（2）用联系的观点提出问题、分析问题、解决问题；

（3）从对数函数的学习中渗透数形结合、类比归纳、分类讨论的数
学思想。

3、情感、态度与价值观

（1）类比指数函数通过图像研究对数函数的图象和性质，体会知 识
之间的有机联系，激发学习兴趣.

（2）在教学过程中，对对数函数有关性质的 研究，形成观察、分析、
归纳的思维能力以及数学交流能力，增强学习的积极性，同时形成
倾听 、接受别人意见的优良品质.

二、教学重难点

重点：对数函数的图象和性质。

难点：对数函数性质。

三、教学过程

教

学

环

节

教师活动

学生行为

教学前准

备

1、复习指数函数的图像与性质（见附录），并做成表格放在ppt上；

2、复习指数与对数的互化：；

3、通过互化引出对数函数的概念： 一般而言，函数叫对数函数，
其中是自变量，函数的定义域.；

4、教师引导学生从具体到一般做出对数函数图像。

注：片段教学是在学生已经掌握了课前 准备的内容基础上进行的，
故课前准备的内容不会在课堂上操作。

无

对数函数的图像与性质

活动1：在课前准备的内容的基础上，通过联系对数 函数的概念是
由指数函数化过来的，以及可以通过图像来研究指数函数的性质引
导学生探究对数 函数性质：

图

象

性

质

定义域：

值域：

过点

在上是增函数

在上是减函数

1、能够自然说出对数函数的定义域、值域、单调性、奇偶性和定
点（0,1）；

2、通过老师引导能够发现函数图像与x=1的关系。（时间为5钟）

对

数

函

数

性

质

的

应

用

活动2：通过让学生比较大小，学会应用对数函数的性质

活动2.3：

1、学生在练习本先计算；

2、老师讲评，规范步骤；

3、通过认识逐步掌握数学中分类讨论的思想。

归纳小结

活动3：教师课堂小结:

引导学生从知识、方法、思想三个方面进行总结然后归纳：

1．知识：对数函数的图象和性质。（再次重复，并与指数函数比较
以单调性为例）

2．方法：（1）类比指数函数通过图像研究函数性质；

（2）同底对数比较大小考察对应函数的单调性。

3．思想：（1）数形结合的数学思想；

（2）分类讨论的数学思想。

通过老师的引导对本节课进行小结

（两分钟）

课后作业

1．阅读教材第70～72页；

2．课本习题2.2a 第2、7题

3、做对数函数与指数函数的对照表，归纳它们的异同

4．探究底数是如何影响函数的？

学生课后自主完成作业（1分钟）

四、板书设计

五、附录

指数函数图像与性质

图

象

性

质

定义域：

值域：

过点

在上是增函数

在上是减函数