高中数学—期望方差学习

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一、基本知识概要：
1、 期望的定义：
一般地，若离散型随机变量ξ的分布列为
ξ
P
x
1

P
1

x
2

P
2

x
3

P
3

…
…
x
n

P
n

…
…
则称Eξ =x
1
P
1
+x
2
P
2
+x
3< br>P
3
+…+x
n
P
n
+…为ξ的数学期望或平均数、 均值，简称期望。
它反映了:离散型随机变量取值的平均水平。
若η=aξ+b(a、b为常数)，则η也是随机变量，且Eη=aEξ+b。 E(c)= c
特别地，若ξ～B(n，P)，则Eξ=nP
2、 方差、标准差定义：
Dξ=( x
1
-Eξ)
2
·P
1
+(x
2
-Eξ)
2
·P
2
+…+(x
n
-Eξ)
2
·P< br>n
+…称为随机变量ξ的方差。
Dξ的算术平方根
D
?
=δξ叫做随机变量的标准差。
随机变量的方差与标准差都反映了:随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。
且有D(aξ+b)=a
2
Dξ,可以证明Dξ=Eξ
2
- (Eξ)
2
。
若ξ～B(n，p)，则Dξ=npq，其中q=1-p.
3、特别注意：在计算离散型随机变量的期望和方差时，首先要搞清其分布特征及分布
列，然后要准确应 用公式，特别是充分利用性质解题，能避免繁琐的运算过程，提高运
算速度和准确度。
考点一 期望与方差
1
2
例1：设随机变量
?
具有分布
P
(
?
＝
k
)＝，
k
＝1,2,3,4,5，求
E< br>(
?
＋2)，
D(2??1)
，
5
?(??1)．







例2：
有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设，为了对重点建设负责，
政府到两建材厂抽样检查，他们 从中各抽取等量的样品检查它们的抗拉强度指数
如下：

?

110 120 125 130 135
P
0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
?
η

100 115 125 130 145
P
0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
其中
?
和
?
分别表示甲 、乙两建材厂材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120的
条件下，比较甲、乙两建材厂材料 哪一种稳定性较好．


.

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考点二 离散型随机变量的分布、期望与方差
例3：如图，一个小球从M处投入，通过管道自上而下落到A或B 或C。已
知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的。某商家按上述投球
方式进行促 销活动，若投入的小球落到A，B，C，则分别设为1，2，3等奖。
（Ⅰ）已知获得1，2，3等奖的 折扣率分别为50%，70%，90%。记随机变量
（k=1，2，3）等奖的折扣率，求随机变量?
的分布列及期望E
?
；
?
为获得k
（Ⅱ）若有3人 次（投入1球为1人次）参加促销活动，记随机变量
?
为获
得1等奖或2等奖的人次， 求P(
?
=2).










2、某同学参加3门课程的考试。假设该同学第一门课程取 得优秀成绩的概率为
4
，第二、
5
第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p
，
q
(
p
＞
q
)，且不同课程是否取得优秀 成绩相
互独立。记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为
ξ 0 1 2 3
p

6

125
a

d

24

125
(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；(Ⅱ)求< br>p
，(Ⅲ)求数学期望
E
ξ。
q
的值；











.

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开锁次数的数学期望和方差
例 有n把看上去样子相同 的钥匙，其中只有一把能把大门上的锁打开．用它们去试
开门上的锁．设抽取钥匙是相互独立且等可能的 ．每把钥匙试开后不能放回．求试开次数
?
的数学期望和方差．









次品个数的期望
例 某批数量较大的商品的次品率是5％，从中任意地连续取出10件，
?
为所含 次品
的个数，求
E
?
．








根据分布列求期望和方差
例 设
??
是一个离散型随机变量，其分布列如下表，求
q
值，并求
E
??
、D
??
．
??

P
－1 0 1
1

2
1?2q

q
2




产品中次品数分布列与期望值
.

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例 一批产品共100件，其中有10件是次品，为了检验其质 量，从中以随机的方式选
取5件，求在抽取的这5件产品中次品数分布列与期望值，并说明5件中有3件 以上（包括
3件）为次品的概率．（精确到0．001）






评定两保护区的管理水平
例 甲、乙两个野生动物保护区有相同的自 然环境，且野生动物的种类和数量也大致
相等．而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的 分布列分别为：
甲保护区：
?

乙保护区：
0 1 2 3
P

0.3 0.3 0.2 0.2
?

试评定这两个保护区的管理水平．






0 1 2
P

0.1 0.5 0.4
射击练习中耗用子弹数的分布列、期望及方差
例 某射手进行射击练习，每射击5发子弹算 一组，一旦命中就停止射击，并进入下一
组的练习，否则一直打完5发子弹后才能进入下一组练习，若该 射手在某组练习中射击命中
一次，并且已知他射击一次的命中率为0.8，求在这一组练习中耗用子弹数
??
的分布列，并
求出
??
的期望
E
．
??
与方差
D
??
（保留两位小数）





准备礼品的个数
例 某寻呼台共有客户3000人，若寻呼台准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间
.

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来领取．假设任一客户去领奖的概率为4％．问：寻呼台能否向每一 位顾客都发出奖邀请？
若能使每一位领奖人都得到礼品，寻呼台至少应准备多少礼品？












.

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.

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分析：求
P(
?
?k)
时，由题 知前
k?1
次没打开，恰第k次打开．不过，一般我们应从简单
的地方入手，如
?
?1,2,3
，发现规律后，推广到一般．
解：
?
的可能取值为1，2，3，…，n．
P(
?
?1) ?
1
,
n
11n?111
P(
?
?2)?(1?) ????;

nn?1nn?1n
111n?1n?211
P(
?< br>?3)?(1?)?(1?)?????;?
nn?1n?2nn?1n?2n
1111 1n?1n?2n?3n?k?111
P(
?
?k)?(1?)?(1?)?(1?) ?(1?)???????
nn?1n?2n?k?2n?k?1nn?1n?2n?k?2n?k?1 n
；所以
?
的分布列为：
?

1 2 … k … n
1111

… …
P

nnnn
1111n?1
；
E
?
?1??2??3??? ?n??
nnnn2
D
?
?(1?

?n?1
2
1n?1
2
1n?1
2
1n?1
2< br>1n?1
2
1
)??(2?)??(3?)????(k?)????(n?) ?
2n2n2n2n2n
1
?
2
n?1
2
?
222
(1?2?3???n)?(n?1)(1?2?3???n)?()?n
?

?
n
?
2
?
1
?
1n(n?1)
2
n(n?1)
2
?
n
2
?1
?

?
?
n(n?1)(2n?1)?

?
?
n
?
62412
?
分析：数量较大，意味着每次抽取时出现次品的概率都是0.05，
?
可能取值是：0，1，
2，…，10．10次抽取看成10次独立重复试验，所以抽 到次品数
?
服从二项分布，由公式
E
?
?np
可得解． < br>解：由题，
?
~B
?
10,0.05
?
，所以
E
?
?10?0.05?0.5
．
说明：随机变量
?
的 概率分布，是求其数学期望的关键．因此，入手时，决定
?
取哪些
kk10?k
值及其相应的概率，是重要的突破点．此题
P(
?
?k)?C
10
(0.05)?(1?0.05)
，应觉察
到这是
?
~B
?
10,0.05
?
．
.

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分析：根据分布列的两个性质，先确定q的值，当分布列确定时，
E
??
、D
??
只须按定
义代公式即可．
解： 离散型随机变量的分布满足
（1）
P
i
?0,i ?1,2,3,??,

（2）
P
1
?P
2
?P
3
????1.

?
1
2
?1?2q ?q ?1,
?
2
?
1
.
所以有
?
0?1?2q ?1,
解得
q ?1?
2
?
q
2
?1.
?
?
故
??
的分布列为
??

P
－1 0 1
1

2
2?1

3
?2

2
1
?
3
?
?E
??
?(?1)??0?(2?1)?1?
?
?2
?

2
?
2
?
13
????2?1?2.

22
1
?
3
?
D < br>??
?[?1?(1?2)]
2
??(1?2)
2
?(2?1 )?[1?(1?2)]
2
?
?
?2
?

2
?
2
?
1
?
3
?
?(2?2)
2
??(2?1)
3
?2
?
?2
?< br>
2
?
2
?
?3?22?22?6?32?1?3?22?2?1.

小结：解题时不能忽视条件
P(
?
?k
i
)?p
i
时，
0?p
i?1
，
i?1,2,???
否则取了
q?1

的值后，辛辛苦苦计算得到的是两个毫无用处的计算．
分析：根据题意确定随机变量及其取值 ，对于次品在3件以上的概率是3，4，5三种情
况的和．
解：抽取的次品数是一个随机变量 ，设为
??
，显然
??
可以取从0到5的6个整数．
抽样中，如果恰巧有
k
个（
k ?0,1,2,3,4,5
）次品，则其概率为
.

精品文档 P(
?
?k)?
k5?k
C
10
?C
90C
5
100

按照这个公式计算，并要求精确到0．001，则有
P (
??
?0)?0.583, P (
??
?1)?0.340, P (
??
?2)?0.070,
P (
??
?3)?0.07, P (
??
?4)?0, P (
??
?5)?0.
故
??
的分布列为

??

P
0
0.583
1
0.340
2
0.070
3
0.007
4
0
5
0
E
??
?0?0.583?1?0.340?2?0.070?3?0 .007?4?0?5?0?0.501.

由分布列可知，
P (
??
?3)?0.007?0?0,
? P (
??
?3)?0.007.

这就是说，所抽取的5件品中3件以上为次品的可能性很小，只有7％．
分析：一是要比较一 下甲、乙两个保护区内每季度发生的违规事件的次数的均值，即数
学期望；二是要看发生违规事件次数的 波动情况，即方差值的大小．（当然，亦可计算
其标准差，同样说明道理．）
解：甲保护区的违规次数
?
1
的数学期望和方差为：
E
?
1
?0?0.3?1?0.3?2?0.2?3?0.2?1.3;

D?
1
?(0?1.3)
2
?0.3?(1?1.3)
2
?0.3?(2?1.3)
2
?0.2?(3?1.3)
2
?0.2?1.2 1;

乙保护区的违规次数
?
2
的数学期望和方差为：
E
?
2
?0?0.1?1?0.5?2?0.4?1.3;

D
?
2
?(0?1.3)
2
?0.1?(1?1.3)
2
?0.5?(2?1.3)
2
?0.4?0.41
；
因为
E
?
1
?E
?
2
,D
?
1
?D< br>?
2
，所以两个保护区内每季度发生的违规平均次数是相同的，
但乙保护区内的 违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违规事件次数相对分散和波动．
（标准差
??1
?
显然，
??
1
?
??
）
说明： 数学期望仅体现了随机变量取值的平均大小，但有时仅知道均值大小还是不够
的，比如：两个随机变量的 均值相等了（即数学期望值相等），这就还需要知道随机变量的
取值如何在均值周期变化，即计算其方差 （或是标准差）．方差大说明随机变量取值分散性
.
D
?
1
?1. 1,
??
2
?D
?
2
?0.64
这两个值在科学计 算器上容易获得，

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大；方差小说明取值分散性小或者说取值比较集中、稳定．
分析：根据随机变量不同的取值确定对应的概率，在利用期望和方差的定义求解．
解： 该组 练习耗用的子弹数
??
为随机变量，
??
可以取值为1，2，3，4，5．
??
＝1，表示一发即中，故概率为
P (
??
?1)?0.8;

??
＝2，表示第一发未中，第二发命中，故
P (
??
?2)?(1?0.8)?0.8?0.2?0.8?0.16;

??
＝3，表示第一、二发未中，第三发命中，故
P (
??
?3 )?(1?0.8)
2
?0.8?0.2
2
?0.8?0.032;

??
＝4，表示第一、二、三发未中，第四发命中，故
P (
??
?4)?(1?0.8)
3
?0.8?0.2
3
?0.8?0.0064
??
＝5，表示第五发命中，故
P (
??
?5)?(1? 0.8)
4
?1?0.2
4
?0.0016.

因此，
??
的分布列为
??

P
1
0.8
2
0.16
3
0.032
4
0.0064
5
0.0016
E
??
?1?0.8 ?2?0.16?3?0.032?4?0.0064?5?0.0016

?0.8?0.32?0.096?0.0256?0.008?1.25,

D
? ?
?(1?1.25)
2
?0.8?(2?1.25)
2
?0.16 ?(3?1.25)
2
?0.032?(4?1.25)
2
?0.0064? (5?1.25)
2
?0.0016

?0.05?0.09?0.098?0.0484?0.0225?0.31.

说明：解决 这类问题首先要确定随机变量的所有可能取值，然后再根据概率的知识求解
对应的概率．
分析 ：可能来多少人，是一个随机变量
?
．而
?
显然是服从二项分布的，用数学期 望来
反映平均来领奖人数，即能说明是否可行．
解：设来领奖的人数
?
?k ,(k?0,1,2,?,3000)
，所以
k
P(
?
?k)?C< br>3000
(0.04)
k
?(1?0.04)
30000?k
，可见
?
~B
?
30000,0.04
?
，所以，
.

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．
E
?
?3000?0.04?1 20
（人）
?100
（人）
答：不能，寻呼台至少应准备120份礼品．
说明：“能”与“不能”是实际问题转到数学中来，即用数字来说明问题．数字期望反
映了随机变量取值的平均水平．用它来刻画、比较和描述取值的平均情况，在一些实际问题
中有重要的价 值．因此，要想到用期望来解决这一问题．
.