中学高中数学教案直线的方向向量和法向量

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时间
教学
目标

教学
课题


1．理解直线的方向向量和平面的法向量；
2．会用待定系数法求平面的法向量。
重点：直线的方向向量和平面的法向量
难点：求平面的法向量

教时
计划
1
教学
课时
1
重点难
点
教学过程
一、创设情景
1、平面坐标系中直线的倾斜角及斜率，直线的方向向量，直线平行与垂直的判定；
2、如何用向量描述空间的两条直线、直线和平面、平面和平面的位置关系？
二、建构数学
1、直线的方向向量
我们把直线
l
上的向量
e
以 及与
e
共线的向量叫做直线
l
的方向向量
2、平面的法向量 如果表示向量
n
的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n?
?
，如果
n?
?
，那么向量
n
叫做平面α 的法向量。
三、数学运用
1、例1 在正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，求证：
DB
1
是平面
ACD
1
的法向量
证：设正方体棱长为1，以
DA,DC,DD
1
为单位正交基底，
建立如图所示空间坐标系
D?xyz

z
D
1
DB
1
?(1,1,1)
，
AC?(?1,1,0)
，
AD
1
?(?1,0,1)

DB
1
?AC?0
，所以
DB
1
?AC

同理
DB
1
?AD
1

所以
DB
1
?
平面
ACD

从而
DB
1
是平面
ACD
1
的法向量。
A
x
A
1
C
1
B
1
D
C
y
B
2、例2 在空间直角坐标系内，设平面
?
经 过点
P(x
0
,y
0
,z
0
)
，平面?
的法向量为
e?(A,B,C)
，

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M(x,y,z)
为平面
?
内任意一点，求
x,y,z< br>满足的关系式。
解：由题意可得
PM?(x?x
0
,y?y
0
,z?z
0
)


e?PM?0

即
(A,B,C)?(x?x
0
,y?y
0
,z?z
0< br>)?0

化简得
A(x?x
0
)?B(y?y
0)?C(z?z
0
)?0

3、课堂练习
已知点
P< br>是平行四边形
ABCD
所在平面外一点，如果
AB?(2,?1,4)
，
AD?(4,2,0)
，
AP?(?1,2,?1)

（1）求证：
AP
是平面
ABCD
的法向量；
（2）求平行四边形
ABCD
的面积．
（1）证明：∵
AP?AB?(?1,2,?1)?(2,?1,?4)?0
，
AP?AD?(?1,2,?1)?(4,2,0)?0
，
∴
AP?AB< br>，
AP?AD
，又
AB
∴
AP
是平面
ABC D
的法向量．
（2）
|AB|?(2)?(?1)?(?4)?
222AD?A
，
AP?
平面
ABCD
，
21
，< br>|AD|?4
2
?2
2
?0
2
?25
，
∴
AB?AD?(2,?1,?4)?(4,2,0)?6
，
∴
cos(AB,AD)?
63105
，
?
105
21?25
932
?
，
10535< br>∴
sin?BAD?1?
∴
S
ABCD
?|AB|?|AD| sin?BAD?86
．
四、回顾总结
1、直线得方向向量与平面法向量得概念；

2、求平面法向量得方法

课外作业
教学反思

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