(2020年整理)初升高暑假数学衔接教材(含答案).doc

学 海 无 涯
初升高暑假数学衔接教材
第一部分，如何做好高、初中数学的衔接
● 第一讲 如何学好高中数学 ●
< br>初中生经过中考的奋力拼搏，刚跨入高中，都有十足的信心、旺盛的求知欲，都有把高中课程学好的愿望。 但经过
一段时间，他们普遍感觉高中数学并非想象中那么简单易学，而是太枯燥、乏味、抽象、晦涩，有 些章节如听天书。
在做习题、课外练习时，又是磕磕碰碰、跌跌撞撞，常常感到茫然一片，不知从何下手 。相当部分学生进入数学学
习的“困难期”，数学成绩出现严重的滑坡现象。渐渐地他们认为数学神秘莫 测，从而产生畏惧感，动摇了学好数
学的信心，甚至失去了学习数学的兴趣。造成这种现象的原因是多方 面的，但最主要的根源还在于初、高中数学教
学上的衔接问题。下面就对造成这种现象的一些原因加以分 析、总结。希望同学们认真吸取前人的经验教训，搞好
自己的数学学习。
一 高中数学与初中数学特点的变化
1 数学语言在抽象程度上突变。不少学生反映，集合、映射等概念难 以理解，觉得离生活很远，似乎很“玄”。确
实，初、高中的数学语言有着显著的区别。初中的数学主要 是以形象、通俗的语言方式进行表达。而高一数学一下
子就触及抽象的集合语言、逻辑运算语言以及以后 要学习到的函数语言、空间立体几何等。
2 思维方法向理性层次跃迁。高中数学思维方法与初中阶段 大不相同。初中阶段，很多老师为学生将各种题建立了
统一的思维模式，如解分式方程分几步；因式分解 先看什么，再看什么。即使是思维非常灵活的平面几何问题，也
对线段相等、角相等,分别确定了各自的 思维套路。因此，初中学习中习惯于这种机械的、便于操作的定势方式。
高中数学在思维形式上产生了很 大的变化，数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。当然，能力的发展是渐进
的，不是一朝一夕的。 这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应，故而导致成绩下降。高一新生一定要能从
经验型抽象思 维向理论型抽象思维过渡，最后还需初步形成辩证型思维。
3 知识内容的整体数量剧增。高中数学在 知识内容的“量”上急剧增加了。例如：高一《代数》第一章就有基本概
念52个，数学符号28个；《 立体几何》第一章有基本概念37个，基本公理、定理和推论21个；两者合在一起仅基本
概念就达89 个之多，并集中在高一第一学期学习，形成了概念密集的学习阶段。加之高中一年级第一学期只有七十
多 课时，辅助练习、消化的课时相应地减少了。使得数学课时吃紧，因而教学进度一般较快，从而增加了教与学的< br>难度。这样，不可避免地造成学生不适应高中数学学习，而影响成绩的提高。这就要求：第一，要做好课后 的复习
工作，记牢大量的知识。第二，要理解掌握好新旧知识的内在联系，使新知识顺利地同化于原有知 识结构之中。第
三，因知识教学多以零星积累的方式进行的，当知识信息量过大时，其记忆效果不会很好 ，因此要学会对知识结构
进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”。如表格化，使知识结构一目了然 ；类化，由一例到一类，由一类到
多类，由多类到统一；使几类问题同构于同一知识方法。第四，要多做 总结、归类，建立主体的知识结构网络。
二 不良的学习状态
1 学习习惯因依赖心理而 滞后。初中生在学习上的依赖心理是很明显的。第一，为提高分数，初中数学教师将各种
题型都一一罗列 ，学生依赖于教师为其提供套用的“模子”；第二，家长望子成龙心切，回家后辅导也是常事。升
入高中 后，教师的教学方法变了，套用的“模子”没有了，家长辅导的能力也跟不上了。许多同学进入高中后，还
象初中那样，有很强的依赖心理，跟随老师惯性运转，没有掌握学习的主动权。表现在不定计划，坐等上课，课 前
没有预习，对老师要上课的内容不了解，上课忙于记笔记，没听到“门道”。
2 思想松懈 。有些同学把初中的那一套思想移植到高中来。他们认为自已在初一、二时并没有用功学习，只是在初
三 临考时才发奋了一、二个月就轻而易举地考上了高中，有的还是重点中学里的重点班，因而认为读高中也不过如< br>此。高一、高二根本就用不着那么用功，只要等到高三临考时再发奋一、二个月，也一样会考上一所理想的 大学的。
存有这种思想的同学是大错特错的。有多少同学就是因为高一、二不努力学习，临近高考了，发 现自己缺漏了很多
知识再弥补后悔晚矣。
3 学不得法。老师上课一般都要讲清知识的来龙去 脉，剖析概念的内涵，分析重点难点，突出思想方法。而一部分
同学上课没能专心听课，对要点没听到或 听不全，笔记记了一大本，问题也有一大堆；课后又不能及时巩固、总结、
寻找知识间的联系，只是赶做 作业，乱套题型，对概念、法则、公式、定理一知半解，机械模仿，死记硬背。还有
些同学晚上加班加点 ，白天无精打采，或是上课根本不听，自己另搞一套，结果是事倍功半，收效甚微。

１

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4 不重视基础。一些“自我感觉良好”的 同学，常轻视基础知识、基本技能和基本方法的学习与训练，经常是知道
怎么做就算了，而不去认真演算 书写，但对难题很感兴趣，以显示自己的“水平”，好高骛远，重“量”轻“质”，
陷入题海。到正规作 业或考试中不是演算出错就是中途“卡壳”。
5 进一步学习条件不具备。高中数学与初中数学相比， 知识的深度、广度，能力要求都是一次飞跃。这就要求必须
掌握基础知识与技能为进一步学习作好准备。 高中数学很多地方难度大、方法新、分析能力要求高。如二次函数值
的求法、实根分布与参变量的讨论、 ，三角公式的变形与灵活运用、空间概念的形成、排列组合应用题及实际应用
问题等。有的内容还是初中 教材都不讲的脱节内容，如不采取补救措施，查缺补漏，就必然会跟不上高中学习的要
求。
三 科学地进行学习
高中学生仅仅想学是不够的，还必须“会学”，要讲究科学的学习方法，提高学习效率 ，才能变被动学习为主动学
习，才能提高学习成绩。
1 培养良好的学习习惯。反复使用的方 法将变成人们的习惯。什么是良好的学习习惯？良好的学习习惯包括制定计
划、课前自学、专心上课、及 时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面。
(1)制定计划使学习目的明确，时间 安排合理，不慌不忙，稳扎稳打，它是推动主动学习和克服困难的内在动力。
但计划一定要切实可行，既 有长远打算，又有短期安排，执行过程中严格要求自己，磨炼学习意志。
(2)课前自学是上好新课、 取得较好学习效果的基础。课前自学不仅能培养自学能力，而且能提高学习新课的兴趣，
掌握学习的主动 权。自学不能走过场，要讲究质量，力争在课前把教材弄懂，上课着重听老师讲思路，把握重点，
突破难 点，尽可能把问题解决在课堂上。
(3)上课是理解和掌握基础知识、基本技能和基本方法的关键环节 。“学然后知不足”，课前自学过的同学上课更
能专心听课，他们知道什么地方该详，什么地方可以一带 而过，该记的地方才记下来，而不是全抄全录，顾此失彼。
(4)及时复习是高效率学习的重要一环。 通过反复阅读教材，多方面查阅有关资料，强化对基本概念知识体系的理
解与记忆，将所学的新知识与有 关旧知识联系起来，进行分析比效，一边复习一边将复习成果整理在笔记本上，使
对所学的新知识由“懂 ”到“会”。
(5)独立作业是通过自己的独立思考，灵活地分析问题、解决问题，进一步加深对所学 新知识的理解和对新技能的
掌握过程。这一过程也是对意志毅力的考验，通过运用使对所学知识由“会” 到“熟”。
(6)解决疑难是指对独立完成作业过程中暴露出来对知识理解的错误，或由于思维受阻遗 漏解答，通过点拨使思路
畅通，补遗解答的过程。解决疑难一定要有锲而不舍的精神。做错的作业再做一 遍。对错误的地方要反复思考。实
在解决不了的要请教老师和同学，并要经常把易错的知识拿来复习强化 ，作适当的重复性练习，把求老师问同学获
得的东西消化变成自己的知识，使所学到的知识由“熟”到“ 活”。
(7)系统小结是通过积极思考，达到全面系统深刻地掌握知识和发展认识能力的重要环节。小 结要在系统复习的基
础上以教材为依据，参照笔记与资料，通过分析、综合、类比、概括，揭示知识间的 内在联系，以达到对所学知识
融会贯通的目的。经常进行多层次小结，能对所学知识由“活”到“悟”。
(8)课外学习包括阅读课外书籍与报刊，参加学科竞赛与讲座，走访高年级同学或老师交流学习心得等 。课外学习
是课内学习的补充和继续，它不仅能丰富同学们的文化科学知识，加深和巩固课内所学的知识 ，而且能够满足和发
展兴趣爱好，培养独立学习和工作的能力，激发求知欲与学习热情。
2 循序渐进，防止急躁。由于同学们年龄较小，阅历有限，为数不少的同学容易急躁。有的同学贪多求快，囫囵吞< br>枣；有的同学想靠几天“冲刺”一蹴而就；有的取得一点成绩便洋洋自得，遇到挫折又一蹶不振。同学们要 知道，
学习是一个长期地巩固旧知、发现新知的积累过程，决非一朝一夕可以完成的。为什么高中要学三 年而不是三天！
许多优秀的同学能取得好成绩，其中一个重要原因是他们的基本功扎实，他们的阅读、书 写、运算技能达到了自动
化或半自动化的熟练程度。
3 注意研究学科特点，寻找最佳学习方 法。数学学科担负着培养运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力以及运用
所学知识分析问题、解决问题 的能力的重任。它的特点是具有高度的抽象性、逻辑性和广泛的适用性，对能力要求
较高。学习数学一定 要讲究“活”，只看书不做题不行，只埋头做题不总结积累也不行。对课本知识既要能钻进去，
又要能跳 出来，结合自身特点，寻找最佳学习方法。华罗庚先生倡导的“由薄到厚”和“由厚到薄”的学习过程就
是这个道理。方法因人而异，但学习的四个环节（预习、上课、作业、复习）和一个步骤（归纳总结）是少不了的 。

２

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第二部分，现有初高中数学知识存在以下“脱节”

1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。
2．因式分解初中一般只限于 二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，而且对三
次或高次多项式因式分解几乎不 作要求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。
3．二次根式中对分子、分母有理 化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的
解题技巧。
4．初中教材对 二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。
配方、作简图、求值 域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等
等是高中数学必须掌握的 基本题型与常用方法。
5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在 初中不作要求，此类
题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与 二次方程相互转
化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。
6．图像的对称、平移变 换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右
平移，两个函数关于原点，轴 、直线的对称问题必须掌握。
7．含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而 高中这部分内容视为重难点。
方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。
8．几何部 分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定
理等）初中生大 都没有学习，而高中都要涉及。
另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。
第三部分 初中数学与高中数学衔接紧密的知识点
1 绝对值：
⑴在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。
?
a(a?0)< br>?
⑵正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相反数，0的绝对值是0，即
a??
0(a?0)

?
?a(a?0)
?
⑶两个负数比较大小，绝对值大的反而小
⑷两 个绝对值不等式:
|x|?a(a?0)??a?x?a
；
|x|?a(a?0)?x ??a
或
x?a

2 乘法公式：
⑴平方差公式：
a?b?(a?b)(a?b)

⑵立方差公式：
a?b?(a?b)(a?ab?b)

⑶立方和公式：
a?b?(a?b)(a?ab?b)

⑷完全平方公式：
(a?b)?a?2ab?b
，
222
223322
3322
(a?b?c)
2
?a
2
?b
2
?c
2
?2ab?2ac?2bc

⑸完全立方公式：
(a?b)?a?3ab?3ab?b

3 分解因式：
⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。

３
33223

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⑵方法：①提公因式法，②运用公式法，③分组分解法，④十字相乘法。
4 一元一次方程：
⑴在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。⑵解一元一 次方程的
步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。
⑶关于方程
ax?b
解的讨论
①当
a?0
时，方程有唯一解
x?
b
；
a
②当
a?0
，
b?0
时，方程无解
③当
a?0
，
b?0
时，方程有无数解；此时任一实数都是方程的解。
5 二元一次方程组：
（1）两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
（2）适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
（3）二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。
（4）解二元一次方程组的方法：①代入消元法，②加减消元法。
6 不等式与不等式组
（1）不等式：
①用符不等号（>、≠、<）连接的式子叫不等式。
②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。
③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。
④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。
（2）不等式的解集：
①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
③求不等式解集的过程叫做解不等式。
（3）一元一次不等式：
左右两边都是整式 ，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。（4）一元一次不等
式组：
①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。②一元一次不等式组 中各个不
等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。
③求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。
7 一元二次方程：
ax?bx?c?0(a?0)

①方程有两个实数根
?

??b?4ac?0

2
2
?
??0
?
②方程有两根同号
?

?

c
x
1
x
2
??0
?a
?
?
??0
?
③方程有两根异号
?

?

c
x
1
x
2
??0
?
a
?
④韦达定理及应用：
x
1
?x
2
??
bc
,x
1
x
2
?

aa

４

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?b
2
?4ac
x?x?(x
1
?x
2
)?2x
1
x
2
,
x
1
?x
2
?(x
1
?x
2
)? 4x
1
x
2
?

?
aa
2
12
2
2
2
3322
x
1
?x
2
?(x
1
?x
2
)(x
1
2
?x
1x
2
?x
2
)?(x
1
?x
2
)?
(x?x)?3x
1
x
2
?
12
??

8 函数（1）变量：因变量，自变量。 在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的 数轴上的点自变量，
用竖直方向的数轴上的点表示因变量。（2）一次函数：①若两个变量
y< br>,
x
间的关系式可以表示成
y?kx?b
（
b
为常数，
k
不等于0）的形式，则称
y
是
x
的一次函数。 ②当
b
=0时，称
y
是
x
的正比例函数。（3）一次函数的 图
象及性质
①把一个函数的自变量
x
与对应的因变量
y
的 值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，
所有这些点组成的图形叫做该函数的 图象。
②正比例函数
y
=
k
x
的图象是经过原点的一条直线。
③在一次函数中，当
k
?
0，
b
?
O，则经2、 3、4象限；当
k
?
0，
b
?
0时，则经1、2、4象限； 当
k
?
0，
b
?
0
时，则经1、3、4象限；当
k
?
0，
b
?
0时，则经1、2、3象限。
④当
k
?
0时 ，
y
的值随
x
值的增大而增大，当
k
?
0时，y
的值随
x
值的增大而减少。
（4）二次函数：
b
2
4ac?b
2
b
)?
,
①一般式：
y?ax?bx?c?a(x?
(
a?0
)，对称轴是
x??
2a4a
2a
2
b4ac?b
2
（－,)
； 顶点是2a4a
②顶点式：
y?a(x?m)?k
(
a?0
)，对称轴 是
x??m,
顶点是
?
?m,k
?
；
2
③交点式：
y?a(x?x
1
)(x?x
2
)
(
a ?0
)，其中（
x
1
,0
），（
x
2
,0
）是抛物线与x轴的交点
（5）二次函数的性质
①函数
y?ax?bx ?c(a?0)
的图象关于直线
x??
②
a?0
时，在对称轴 （
x??

2
b
对称。
2a
bb
）左侧 ，
y
值随
x
值的增大而减少；在对称轴（
x??
）右侧；< br>y
的值随
x
值
2a2a
５

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4ac?b
2
b
的增大而增 大。当
x??
时，
y
取得最小值
4a
2a
③
a?0
时，在对称轴 （
x??
bb< br>）左侧，
y
值随
x
值的增大而增大；在对称轴（
x??
）右侧；
y
的值随
x
值
2a2a
4ac?b
2< br>b
的增大而减少。当
x??
时，
y
取得最大值
4a
2a
9 图形的对称
（1）轴对称图形：①如果一个图形沿一条直线折 叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称
图形，这条直线叫做对称轴。②轴对称图 形上关于对称轴对称的两点确定的线段被对称轴垂直平分。
（2）中心对称图形：①在平面内，一个图 形绕某个点旋转180度，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形
叫做中心对称图形，这个点叫做 他的对称中心。②中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。
10 平面直角坐标系
（1）在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。水平的数轴 叫做
x
轴或横轴，铅直的数
轴叫做
y
轴或纵轴，
x
轴与
y
轴统称坐标轴，他们的公共原点
O
称为直角坐标系的原点。
（2）平面直角坐标系内的对称点：设
M(x
1
,y
1
)
，
M
?
(x
2
,y
2
)
是直角坐标系内的两 点，
①若
M
和
M'
关于
y
轴对称，则有
?
?
x
1
??x
2
。
?
y
1< br>?y
2
②若
M
和
M'
关于
x
轴对称 ，则有
?
?
x
1
?x
2
。
y??y?
12
?
x
1
??x
2
。
?
y
1
??y
2
?
x
1
?y
2
。
y?x
?
12
③若
M
和
M'
关于原点对称 ，则有
?
④若
M
和
M'
关于直线
y?x
对 称，则有
?
?
x
1
?2a?x
2
?
x2
?2a?x
1
x?a
⑤若
M
和
M'
关于直线对称，则有
?
或
?
。
y?yy?y
?
12
?
12
11 统计与概率：（1）科学 记数法：一个大于10的数可以表示成
A?10
的形式，其中
A
大于等于1小 于10，
N
是
正整数。（2）扇形统计图：①用圆表示总体，圆中的各个扇形分别代表 总体中的不同部分，扇形的大小反映部分占
总体的百分比的大小，这样的统计图叫做扇形统计图。②扇形 统计图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应
的扇形圆心角的度数与360度的比。（3）各类统 计图的优劣：①条形统计图：能清楚表示出每个项目的具体数目；
②折线统计图：能清楚反映事物的变化 情况；③扇形统计图：能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。
（5）平均数：对于
N
个数
x
1
,x
2
,
N
,x
N，我们把
1
(
x
1
?x
2
?
N
?x
N
)叫做这个
N
个数的算术平均数，记为
x
。
（6）加权平均数：一组数据里各个数据的重要程度未必相同，因而，在计算这组数据的平均数时往往给每个数 据
加一个权，这就是加权平均数。（7）中位数与众数：①
N
个数据按大小顺序排列， 处于最中间位置的一个数据（或
最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。②一组数据中出现次 数最大的那个数据叫做这个组数据的众数。
③优劣比较：平均数：所有数据参加运算，能充分利用数据所 提供的信息，因此在现实生活中常用，但容易受极端

６

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值影响；中位数：计算简单，受极端值影响少，但不能 充分利用所有数据的信息；众数：各个数据如果重复次数大
致相等时，众数往往没有特别的意义。（8） 调查：①为了一定的目的而对考察对象进行的全面调查，称为普查，其
中所要考察对象的全体称为总体， 而组成总体的每一个考察对象称为个体。②从总体中抽取部分个体进行调查，这
种调查称为抽样调查，其 中从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。③抽样调查只考察总体中的一小部分
个体，因此他的 优点是调查范围小，节省时间，人力，物力和财力，但其调查结果往往不如普查得到的结果准确。
为了获 得较为准确的调查结果，抽样时要主要样本的代表性和广泛性。（9）频数与频率：①每个对象出现的次数为频数，而每个对象出现的次数与总次数的比值为频率。②当收集的数据连续取值时，我们通常先将数据适当分 组，
然后再绘制频数分布直方图。（10）数据的波动：①极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差 。②方差是各个
数据与平均数之差的平方和的平均数。③标准差就是方差的算术平方根。④一般来说，一 组数据的极差，方差，或
标准差越小，这组数据就越稳定。
（11）事件的可能性：①有些事 情我们能确定他一定会发生，这些事情称为必然事件；有些事情我们能肯定他一定
不会发生，这些事情称 为不可能事件；必然事件和不可能事件都是确定的。②有很多事情我们无法肯定他会不会发
生，这些事情 称为不确定事件。③一般来说，不确定事件发生的可能性是有大小的。（12）概率：①人们通常用1
（ 或100%）来表示必然事件发生的可能性，用0来表示不可能事件发生的可能性。②游戏对双方公平是指双方获 胜
的可能性相同。③必然事件发生的概率为1，记作
P
（必然事件）
?1；不可能事件发生的概率为
0
，记作
P
（不
可能事件）
?0
；如果A为不确定事件，那么
0?P(A)?1

第四部分 分章节突破
1.1 数与式的运算
1.１.1．绝对值
绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即
?
a,a?0,
?
|a|?
?
0,a?0,
?
?a,a?0.
?
绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到 原点的距离．
两个数的差的绝对值的几何意义：
a?b
表示在数轴上，数
a
和数
b
之间的距离．
例1 解不等式：
x?1?x?3
＞4．
解法一：由
x?1?0
，得x?1
；由
x?3?0
，得
x?3
；
①若
x?1
，不等式可变为
?(x?1)?(x?3)?4
，
即
?2x?4
＞4，解得x＜0，
又x＜1，
∴x＜0；
②若
1?x?2
，不等式可变为
(x?1)?(x?3)?4
，
即1＞4，
∴不存在满足条件的x；
③若
x?3
，不等式可变为
(x?1)?(x?3)?4
，
即
2x?4
＞4， 解得x＞4．
又x≥3，∴x＞4．
综上所述，原不等式的解为
x＜0，或x＞4．
解法二：如图1．1 －1，
x?1
表示x轴上坐标为x的点P到坐
标为1的点A之间的距离|PA|，即| PA|＝|x－1|；|x－3|表示x轴
上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|＝ |x－3|．

７
|x－3|
P
x
C
0
|x－1|
图1．1－1
A
1
B
D
3 4
x

学 海 无 涯
所以，不等式
x?1?x?3
＞4的几何意义即为
|PA|＋|PB|＞4．
由|AB|＝2，可知
点P 在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧．
x＜0，或x＞4．
练 习
1．填空：
（1）若
x?5
，则x=_________；若
x??4
，则x=_________.
（2）如果
a?b?5
，且
a??1
，则b＝________；若
1?c?2
，则c＝________.
2．选择题：
下列叙述正确的是 （ ）
（A）若
a?b
，则
a?b
（B）若
a?b
，则
a?b
（C）若
a?b
，则
a?b
（D）若
a?b
，则
a??b

3．化简：|x－5|－|2x
－
13|（x＞5）．
1.1.2. 乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
（1）平方差公式
(a?b)(a?b)?a
2
?b
2
；
（2）完全平方公式
(a?b)
2
?a
2
?2ab?b
2
．
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式
(a?b)(a
2
?ab?b
2
)?a
3
?b
3
；
（2）立方差公式
(a?b)(a
2
?a b?b
2
)?a
3
?b
3
；
（3）三数和平方公式
(a?b?c)
2
?a
2
?b
2
?c
2
?2(ab?bc?ac)
；
（4）两数和立方公式
(a?b)
3
?a
3
? 3a
2
b?3ab
2
?b
3
；
（5）两数差立方公式
(a?b)
3
?a
3
? 3a
2
b?3ab
2
?b
3
．
对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．
例1 计算：
(x?1) (x?1)(x
2
?x?1)(x
2
?x?1)
．
222
?
解法一：原式=
(x
2
?1)
?
(x?1)?x
??

=
(x
2
?1)(x
4
?x
2
?1)

=
x
6
?1
．
解法二：原式=
(x?1)(x
2
?x?1)(x?1)(x
2
?x?1)

=
(x
3
?1)(x
3
?1)

=
x
6
?1
．
例2 已知
a?b?c?4
，< br>ab?bc?ac?4
，求
a
2
?b
2
?c
2
的值．
解：
a
2
?b
2
?c
2?(a?b?c)
2
?2(ab?bc?ac)?8
．
练 习
1．填空：
1
2
1
2
11
a?b?(b?a)
（ ）；
9423
22
（2）
(4m?

)?16m?4m?(

)
；
2222
（3）
(a?2b?c)?a?4b?c?(

)
．
（1）
2．选择题：
（1）若
x?

2
1
mx?k
是一个完全平方式，则
k
等于 （ ）
2
８

学 海 无 涯
1
2
1
2
1
2
2
（A）
m
（B）
m
（C）
m
（D）
m

4316
22
（2）不论
a
，
b
为何实数，
a?b?2a?4b?8
的值 （ ）
（A）总是正数 （B）总是负数 （C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数

1.1.3．二次根式
一般地，形如
a(a?0)
的代数式叫做 二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称
为无理式. 例如
3a?a
2
?b?2b
，
a
2
?b
2
等是无理式，而
2x
2
?
是有理式．
1．分母（子）有理化
把分母（子）中的 根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化
因式的概念．两个含有 二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数
式互为有理化因式，例如< br>2
与
2
，
3a
与
a
，
3?6
与
3?6
，
23?32
与
23?32
，等
等． 一般地，
ax
与
x
，
ax?by
与
ax?by，
ax?b
与
ax?b
互为有理化因式．
分母有理化的方法是 分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化
则是分母和分子都乘以分 母的有理化因式，化去分子中的根号的过程
在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多 项式乘法进行，运算中要运用公式
ab?ab(a?0,b?0)
；而对于二次根式的除法，通 常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进
行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化 简的基础上去括号与合并同类二次根式．
2．二次根式
a
2
的意义
2
x?1
，
x
2
?2xy?y
2
，
a< br>2
等
2
a
2
?a?
?
例1
?
a,a?0,

?a,a?0.
?
将下列式子化为最简二次根式：
（1）
12b
； （2）
a
2
b(a?0)
； （3）
4x
6
y(x?0)
．
解： （1）
12b?23b
；
（2）
a
2
b?ab?ab(a?0)
；
（3）
4x
6
y?2x
3
例2 计算：
3?(3?3)
．
解法一：
y??2x
3
y(x?0)
．
3?3
3?(3?3)
＝
(3?3)(3?3)
33?3

9?3
3(3?1)
＝
6
3?1
＝．
2
3?(3?3)
＝
3
解法二：
＝
3?3
3
＝
3(3?1)
1
＝
3?1
＝
＝
９
3?(3?3)
＝
3

3?1

(3?1)(3?1)
3?1
．
2

学 海 无 涯
例3 试比较下列各组数的大小：
（1）
12?11
和
11?10
； （2）
解： （1）∵
12?11?
2
和
22－6
.
6?4
12?11(12?11)(12?11)1
，
??
112?1112?11
11?10(11?10)(11?10)1
，
??
1
11?1011?10

11?10?
又
12?11?11?10
，
∴
12?11
＜
11?10
．
22－6(22－6)(22+6)2
??,

1
22+622+6
又 4＞22，
∴6＋4＞6＋22，
2
∴＜
22－6
.
6?4
例4 化简：
(3?2)
2004
?(3?2)
2005
．
（2）∵
22－6?
解：
(3?2)
2004
?(3?2)
2005

＝
(3?2)
2004
?(3?2)
2004
?(3?2)

?
＝
?
?
(3?2)?(3?2)
?
＝1
2004
?(3?2)
2004
?(3?2)

＝
3?2
．
例 5 化简：（1）
9?45
； （2）
x
2
?

解：（1）原式
?5?45?4


?(5)
2
?2?2?5?2
2

1
1
（2）原式=
(x?)
2
?x?
，
x
x
∵
0?x?1
，
1
∴
?1?x
，
x
1
所以，原式＝
?x
．
x
1
?2(0?x?1)
．
2
x
?(2?5)
2

?2?5
?5?2
．
3?2
,y?
3?2
3?2
解： ∵
x?y??
3?2
例 6 已知
x?
3?
3?
3?
3?
2
，求
3x
2
?5xy?3y
2
的值 ．
2
2
?(3?2)
2
?(3?2)
2
? 10
，
2
3?23?2
??1
，
3?23?2
∴
3x
2
?5xy?3y
2
?3(x?y)
2
?1 1xy?3?10
2
?11?289
．
xy?
练 习
1．填空：

１０

学 海 无 涯
（1）
1?3
＝__ ___；
1?3
（2）若
(5?x)(x?3)
2
?(x?3)5?x
，则
x
的取值范围是_ _ ___；
（3）
424?654?396?2150?
__ ___；
（4）若
x?
2．选择题：
5
x?1?x?1x?1?x?1
，则
??
______ __．
2
x?1?x?1x?1?x?1
xx
成立的条件是 （ ）
?
x?2
x?2
（A）
x?2
（B）
x?0
（C）
x?2
（D）
0?x?2

等式
a
2
?1?1?a
23．若
b?
，求
a?b
的值．
a?1
4．比较大小：2－3 5－4（填“＞”，或“＜”）．
1.1.４．分式

1．分式的意义
形如
AAA
的式子，若B中含有字母，且
B?0
，则称为分式．当M≠0时，分式具有下列性质：
BBB
AA?M
?
；
BB?M
AA?M
．
?
BB?M
上述性质被称为分式的基本性质．

2．繁分式
a
m?n?p
像
b
，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．
2m
c?d
n?p
5x?4AB
??
例1 若，求常数
A,B
的值．
x(x?2)xx?2
ABA(x?2)?Bx( A?B)x?2A5x?4
???
解： ∵
?
，
xx?2x(x?2)x(x?2)x(x?2)
?
A?B?5,
∴
?

2A?4,
?
解得
A?2,B?3
．
111
??
例2 （1）试证：（其中n是正整数）；
n(n?1)nn?1
111
（2）计算：；
???
1?22?39?10
1111
????
． （3）证明：对任意大于1的正整数n， 有
2?33?4n(n?1)2

１１

学 海 无 涯
11(n?1)?n1
??
（1）证明：∵
?
，
nn?1n(n?1)n(n?1)
111
??
∴（其中n是正整数）成立．
n(n?1)nn?1
（2）解：由（1）可知

111
1?2
?
2?3
??
9?10


?(1?
11111
2
)?(
2
?
3
)? ?(
9
?
10
)


?1?
1
10
＝
9
10
．
（3）证明： ∵
1
2?3
?
1
3?4
??
1
n(n?1 )

＝
(
1
2
?
13
)?(
1
3
?
1
4
)??(
11< br>n
?
n?1
)

＝
11
2
?
n?1
，
又n≥2，且n是正整数，
∴
1
n＋1
一定为正数，
∴
1
2?3
?
1
3 ?4
??
1
1
n(n?1)
＜
2
．
例3 设
e?
c
a
，且e＞1，2c
2
－5ac＋ 2a
2
＝0，求e的值．
解：在2c
2
－5ac＋2a
2
＝0两边同除以a
2
，得
2e
2
－5e＋2＝0，
∴(2e
－
1)(e－2)＝0，
∴e＝
1
2
＜1，舍去；或e＝2．
∴e＝2．
练 习
1．填空题：
对任意的正整数n，
1
n(n?2)
?
(
11
n
?
n?2
)；
2．选择题：
若
2x?y
x?y
?
2
3
，则
x
y
＝
（A）１ （B）
5
4
（C）
4
5

3．正数
x,y
满足x
2
?y
2
?2xy
，求
x?y
x?y
的值．
4．计算
1111
1?2
?
2?3
?
3 ?4
?...?
99?100
．
习题1．1
A 组
1．解不等式：

１２
（ ）
D）
6
5


（

学 海 无 涯
(1)
x?1?3
； (2)
x?3?x?2?7
；
(3)
x?1?x?1?6
．
２．已知
x?y?1
，求
x3
?y
3
?3xy
的值．
3．填空：
（1）
(2?3)
18
(2?3)
19
＝________；
（2）若
(1?a)
2
?(1?a)
2
?2
，则
a
的取值范围是________；
（3）
1
1?2
?
1
2 ?3
?
1
3?4
?
1
4?5
?
1
5?6
?
________．
B 组
1．填空：
（1）< br>a?
1
2
，
b?
1
3
，则
3a2
?ab
3a
2
?5ab?2b
2
?
____ ____；
（2）若
x?xy?2y?0
，则
x
2
?3x y?y
2
22
x
2
?y
2
?
__ __；
2．已知：
x?
1
2
,y?
1
3
，求
yy
x?y
?
x?y
的值．
C 组
1．选择题：
（1）若
?a?b?2ab??b??a
，则 （
（A）
a?b
（B）
a?b
（C）
a?b?0
（D）
b?a?0
（2）计算
a?
1
a
等于 （
（A）
?a
（B）
a
（C）
??a
（D）
?a

2．解方程
2( x
2
?
11
x
2
)?3(x?
x
)?1? 0
．
3．计算：
1111
1?3
?
2?4
?3?5
??
9?11
．
4．试证：对任意的正整数n，有
1< br>1?2?3
?
1
2?3?4
??
1
n(n?1)(n ?2)
＜
1
4
．
1.1.1．绝对值
1．（1）
?5
；
?4
（2）
?4
；
?1
或
3
2．D 3．3x－18
1.1.2．乘法公式
1．（1）
1
3
a?
1
2
b
（2）
1
2
,
1
4
（3）
4ab?2ac?4bc

2．（1）D （2）A
1.1.3．二次根式
1． （1）
3?2
（2）
3?x?5
（3）
?86
（4）
5
．
2．C 3．1 4．＞
1.1.4．分式
1．
1
2．B 3．
2?1
4．
99
2

100

习题1．1
A组

１３
）



）

学 海 无 涯
1．（1）
x??2
或
x?4
（2）－4＜x＜3 （3）x＜－3，或x＞3
2．1 3．（1）
2?3
（2）
?1?a?1
（3）
6?1

B组
1
35
1．（1） （2），或－
5
2．4．
72
C组
36
1
1．（1）C （2）C 2．
x
1
?,x
2
?2
3．
55
2
1111
?[?]
4．提示：
n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)
1．2 分解因式
因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求 根法及
待定系数法．
1．十字相乘法
例1 分解因式：
（1）x
2
－3x＋2； （2）x
2
＋4x－12；
（3）x
2
?(a?b)xy?aby
2
； （4）
xy?1?x?y
．
解：（1）如图1．2－1，将二次项x
2
分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与－2
的乘积，而图中的对角线上的两 个数乘积的和为－3x，就是x
2
－3x＋2中的一次项，所以，有
x
2
－3x＋2＝(x－1)(x－2)．

1
x
x
1 －2
－1
－ay
－1
说明：今后 在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x用1来表示（如
图1．2－2．
2
1
x
所示）
x
1 6
－
－by
－2
（2）由图
图
1．2－3，得
图1．2－3
1．2－1
图1．2－4
图1．2－2
2
x＋4x－12＝(x－2)(x＋6)．
（3）由图1．2－4，得

x
2
?(a?b)xy?aby
2
＝
(x?ay)(x?b y)

（4）
xy?1?x?y
＝xy＋(x－y)－1
＝(x－1) (y+1) （如图1．2－5所示）．
2．提取公因式法与分组分解法
例2 分解因式：
（1）
x
3
?9?3x
2
?3x
； （2）
2x
2
?xy?y
2
?4x?5y?6
．
解： （1）
x
3
?9?3x
2
?3x
=
(x
3
?3x
2
)?(3x?9)
=
x
2
(x?3)?3(x?3)

=
(x?3)(x
2
?3)
．
或
x
3
?9?3x
2
?3x
＝
(x
3
?3x< br>2
?3x?1)?8
＝
(x?1)
3
?8
＝
(x?1)
3
?2
3

＝
[(x?1 )?2][(x?1)
2
?(x?1)?2?2
2
]

＝
(x?3)(x
2
?3)
．
（2）
2x
2
?xy?y
2
?4x?5y?6
=
2x
2
?(y ?4)x?y
2
?5y?6


１４
x
y
－1
1
图1．2－5

学 海 无 涯
=
2x
2
?(y?4)x?(y?2)(y?3)
=
(2x?y?2)(x?y?3)
．
或
2x
2
?x y?y
2
?4x?5y?6
=
(2x
2
?xy?y
2
)?(4x?5y)?6

=
(2x?y)(x?y)?(4x?5y)?6

=
(2x?y?2)(x?y?3)
．
3．关于x的二次三项式ax
2
+bx+c(a≠0)的因式分解．
若关于 x的方程
ax
2
?bx?c?0(a?0)
的两个实数根是
x
1
、
x
2
，则二次三项式
ax
2
?bx?c(a ?0)
就可分
解为
a(x?x
1
)(x?x
2
)< br>.
例3 把下列关于x的二次多项式分解因式：
（1）
x
2
?2x?1
； （2）
x
2
?4xy?4y
2
．
解： （1）令
x
2
?2x?1
=0，则解得
x
1
??1?2
，< br>x
2
??1?2
，
???
∴
x< br>2
?2x?1
=
?
?
x?(?1?2)
??
x?(?1?2)
?

=
(x?1?2)(x?1?2)
．
（2）令x
2
?4xy?4y
2
=0，则解得
x
1
?(?2?22)y
，
x1
?(?2?22)y
，
∴
x
2
?4xy ?4y
2
=
[x?2(1?2)y][x?2(1?2)y]
．
练 习
1．选择题：
多项式
2x?xy?15y
的一个因式为 （ ）
（A）
2x?5y
（B）
x?3y
（C）
x?3y
（D）
x?5y

2．分解因式：
（1）x
2
＋6x＋8； （2）8a
3
－b
3
；
（3）x
2
－2x－1； （4）
4(x?y?1)?y(y?2x)
．
习题1．2
1．分解因式：
（1）
a?1
； （2）
4x?13x?9
；
22
（3）
b?c?2ab?2ac?2bc
； （4）
3x?5xy?2y?x?9y?4
．
22
22
3
42
2．在实数范围内因式分解：
2
（1）
x?5x?3
； （2）
x?22x?3
；
2
（3）
3x?4xy?y
； （4）
(x?2x)?7(x?2x)?12
．
3．
?ABC
三边
a
，
b
，
c
满足
a?b?c?ab?bc?ca< br>，试判定
?ABC
的形状．
4．分解因式：x
2
＋x－(a
2
－a)．

１５
222
22
222

学 海 无 涯
1.2分解因式
1． B
2．（1）(x＋2)(x＋4) （2）
(2a?b)(4a
2
?2ab?b
2
)

（3）
(x?1?2)(x?1?2)
（4）
(2?y)(2x?y?2)
．
习题1．2
1．（1）
?
a?1
?
?
a
2
?a?1
?
（2）< br>?
2x?3
??
2x?3
??
x?1
??
x ?1
?

（3）
?
b?c
??
b?c?2a
?
（4）
?
3y?y?4
??
x?2y?1
?

?
5?13
??
5?13
?
2．（1）
?
； （2）
x?2?5x?2?5
；
x?x?
???
????
2
??
2
??
?
2?7
??
2?7
? （3）
3
?
； （4）
?
x?3
?
(x?1)(x?1?5)(x?1?5)
．
x?yx?y
???
????
33
????
3．等边三角形
4．
(x?a?1)(x?a)

????
2.1 一元二次方程
2.1.1根的判别式
我们知道，对于一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0 （a≠0），用配方法可以将其变形为
b
2
b
2
?4ac
)?

(x?
． ①
2a4a
2
因为a≠0，所以，4a
2
＞0．于是
（1） 当b
2
－4ac＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根
?b?b
2
?4ac
x
1
，
2
＝；
2a
（2）当b
2
－4a c＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根
x
1
＝x
2
＝－
b
；
2a
（3）当b< br>2
－4ac＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边
(x?
b
2
)
一定大于或等于零，因此，原方程没
2a
有实数根．
由此可 知，一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由b
2
－ 4ac来判定，我们把b
2
－4ac叫做一元二次
方程ax
2
＋bx ＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．
综上所述，对于一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0（a≠0），有
（1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根
?b?b
2
?4ac
x
1
，
2
＝；
2a
（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根
x
1
＝x
2
＝－
b
；
2a
（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．
例1 判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．
（1）x
2
－3x＋3＝0； （2）x
2
－ax－1＝0；
（3） x
2
－ax＋(a－1)＝0； （4）x
2
－2x＋a＝0．
解：（1）∵Δ＝3
2
－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根．
（2 ）该方程的根的判别式Δ＝a
2
－4×1×(－1)＝a
2
＋4＞0，所以方 程一定有两个不等的实数根

１６

学 海 无 涯
a?a
2
?4a?a
2
?4
，
x
2
?
．
x
1
?
22
（3）由于该方程的根的判别式为
Δ＝a2
－4×1×(a－1)＝a
2
－4a＋4＝(a
－
2)
2
，
所以，
①当a＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根
x
1
＝x
2
＝1；
②当a≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根
x
1
＝1，x
2
＝a
－
1．
（3）由于该方程的根的判别式为
Δ＝2
2
－4×1×a＝4－4a＝4(1
－
a)，
所以
①当Δ＞0，即4(1
－
a) ＞0，即a＜1时，方程有两个不相等的实数根

x
1
?1?1?a
，
x
2
?1?1?a
；
②当Δ＝0，即a＝1时，方程有两个相等的实数根
x
1
＝x
2
＝1；
③当Δ＜0，即a＞1时，方程没有实数根．
说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着 a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a
的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论． 分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后
的解题中会经常地运用这一方法来解决 问题．
2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）
若一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根
?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4ac

x
1
?
，
x
2
?
，
2a2a
则有

?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4ac?2bb
????
；
x
1
?x
2
?
2a2a2aa
?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4acb
2
?(b
2
?4ac)4acc
???
2
?
．
x
1
x
2
?
2
2a2a4a4aa


所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
如果ax
2
＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x
1
，x
2
，那么x
1< br>＋x
2
＝
?
bc
，x
1
·x
2＝．这一关系也被称为韦达定理．
aa
特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x
2
＋px＋q＝0，若x
1
，x
2
是其两根，由韦达定理可 知
x
1
＋x
2
＝－p，x
1
·x
2
＝q，
即 p＝－(x
1
＋x
2
)，q＝x
1
·x
2
，
所以，方程x
2
＋px＋q＝0可化为 x
2
－(x
1
＋x
2
)x＋x
1
·x
2＝0，由于x
1
，x
2
是一元二次方程x
2
＋px＋q ＝0的两根，
所以，x
1
，x
2
也是一元二次方程x
2－(x
1
＋x
2
)x＋x
1
·x
2
＝ 0．因此有
以两个数x
1
，x
2
为根的一元二次方程（二次项系数为1）是
x
2
－(x
1
＋x
2
)x＋x
1
·x
2
＝0．
例2 已知方程
5x?kx?6?0
的一个根是2，求它的另一个根及k的值．
分析：由于 已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习
了 韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利< br>用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值．
解法一：∵2是方程的一个根，
∴5×2
2
＋k×2－6＝0，
∴k＝－7．
所以，方程就为5 x
2
－7x－6＝0，解得x
1
＝2，x
2
＝－

2
3
．
5
１７

学 海 无 涯
所以，方程的另一个根为－
3
，k的值为－7．
5
63
，∴x
1
＝－．
55
解法二：设方程的另一个根为x
1
，则 2x
1
＝－
3
k
）＋2＝－，得 k＝－7．
5
5
3
所以，方程的另一个根为－，k的值为－7．
5
由 （－
例3 已知关于x的方程x
2
＋2(m
－
2)x＋m
2
＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，
求m的值．
分析： 本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m 的值．但
在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．
解：设x
1
，x
2
是方程的两根，由韦达定理，得
x
1
＋x
2
＝－2(m
－
2)，x
1
·x
2
＝m
2
＋4．
∵x
1
2
＋ x
2
2
－x
1
·x
2
＝21，
∴(x
1
＋x
2
)
2
－3 x
1
·x
2
＝21，
2
即 [－2(m
－
2)]－3(m
2
＋4)＝21，
化简，得 m
2
－16m－17＝0，
解得 m＝－1，或m＝17．
当m＝－1时，方程为x
2
＋6x＋5＝0，Δ＞0，满足题意；
当m＝1 7时，方程为x
2
＋30x＋293＝0，Δ＝30
2
－4×1×293＜0 ，不合题意，舍去．
综上，m＝17．
说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满 足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由“两个实数根
的平方和比两个根的积大21”求出m的 值，取满足条件的m的值即可．
（1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到 根的判别式Δ是否大于或大于零．因为，韦
达定理成立的前提是一元二次方程有实数根．
例4 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．
分析：我们可以设出这两个数分别为x，y，利用二 元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化出一元二次方
程来求解．
解法一：设这两个数分别是x，y，
则 x＋y＝4， ①
xy＝－12． ②
由①，得 y＝4－x，
代入②，得
x(4－x)＝－12，
即 x
2
－4x－12＝0，
∴x
1
＝－2，x
2
＝6．
∴
?
?< br>x
1
??2,
?
x
2
?6,
或
?

?
y
1
?6,
?
y
2??2.
因此，这两个数是－2和6．
解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程
x
2
－4x－12＝0
的两个根．
解这个方程，得
x
1
＝－2，x
2
＝6．
所以，这两个数是－2和6．
说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷．
例5 若x
1
和x
2
分别是一元二次方程2x
2
＋5x－3＝0的两根．
（1）求| x
1
－x
2
|的值；

１８

学 海 无 涯
（2）求
11
?
的值；
22
x
1
x2
（3）x
1
3
＋x
2
3
．
解： ∵x
1
和x
2
分别是一元二次方程2x
2
＋5x－3＝0的 两根，
∴
x
1
?x
2
??

53
，
x
1
x
2
??
．
22
5
2
3
22
497
25
＝＋6＝， ∴| x
1
－x
2
|＝．
42
4
5325
(?)
2
?2?(?)?3
222
x
1
?x
2
(x
1
?x
2
)?2x
1
x
2
1137
22
?
4
（2）
2
?
2
?
2
．
???
3
2
9
x
1
x
2
x
1
?x
2
2
(x
1
x
2
)
2
9
(?)
2 4
（1）∵| x
1
－x
2
|
2
＝x
1
2
+ x
2
2
－2 x
1
x
2
＝(x
1
＋x
2
)
2
－4 x
1
x
2
＝
(?)?4?(?)

（3）x1
3
＋x
2
3
＝(x
1
＋x
2
)( x
1
2
－x
1
x
2
＋x
2
2
)＝(x
1
＋x
2
)[ ( x
1
＋x
2
)
2
－3x
1
x
2
]
＝(－
553215
)×[(－)
2
－3×(
?
)]＝－．
2228
说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这 一个量的问题，为了解题
简便，我们可以探讨出其一般规律：
设x
1
和x< br>2
分别是一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0（a≠0），则
?b? b
2
?4ac?b?b
2
?4ac
，
x
2
?
，
x
1
?
2a2a
?b?b
2
?4a c?b?b
2
?4ac2b
2
?4ac
??
∴| x
1
－x
2
|＝
2a2a2a
b
2
?4ac?

?
．
?
|a||a|
于是有下面的结论：
若x
1
和x
2
分别是一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0（a≠0），则 | x
1
－x
2
|＝
?
（其中Δ＝b
2
－ 4ac）．
|a|
今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．
例6 若关于x的一元二次方程x
2
－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零 ，求实数a的取值范围．
解：设x
1
，x
2
是方程的两根，则
x
1
x
2
＝a－4＜0， ①
且Δ＝(－1)
2
－4(a－4)＞0． ②
由①得 a＜4，
17
由②得 a＜ ．
4
∴a的取值范围是a＜4．
练 习
1．选择题：
（1）方程
x?23kx?3k?0
的根的情况是 （ ）
（A）有一个实数根 （B）有两个不相等的实数根
（C）有两个相等的实数根 （D）没有实数根
（2）若关于x的方程mx
2
＋ (2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是
（ ）
（A）m＜

22
11
（B）m＞－
44
１９

学 海 无 涯
11
（C）m＜，且m≠0 （D）m＞－，且m≠0
44
2．填空:
（1）若方程x
2
－3x－1＝0的两根分别是x
1
和x
2
，则
11
?
＝ ． < br>x
1
x
2
（2）方程mx
2
＋x－2m＝0（m≠0 ）的根的情况是 ．
（3）以－3和1为根的一元二次方程是 ．
3．已知
a
2
?8a?16?|b?1|?0
，当k取何值时， 方程kx
2
＋ax＋b＝0有两个不相等的实数根？
4．已知方程x
2－3x－1＝0的两根为x
1
和x
2
，求(x
1
－3) ( x
2
－3)的值．
习题2.1
A 组
1．选择题:
（1）已知关于x的方程x
2
＋kx－2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（ ）
（A）－3 （B）3 （C）－2 （D）2
（2）下列四个说法：
①方程x
2
＋2x－7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；
②方程x
2
－2x＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；
③方程3 x
2
－7＝0的两根之和为0，两根之积为
?
7
；
3
④方程3 x
2
＋2x＝0的两根之和为－2，两根之积为0．
其中正确说法的个数是 （ ）
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
（3）关于x的一元二次方程a x
2
－5x＋a
2
＋a＝0的一个根是0，则a的值是（ ）
（A）0 （B）1 （C）－1 （D）0，或－1
2．填空:
（1）方程kx
2
＋4x－1＝0的两根之和为－2，则k＝ ． < br>（2）方程2x
2
－x－4＝0的两根为α，β，则α
2
＋β
2
＝ ．
（3）已知关于x的方程x
2
－ax－3a＝0的一个根是－2，则它的另一个根是
．
（4）方程2x
2
＋2x－1＝0的两根 为x
1
和x
2
，则| x
1
－x
2
|＝ ．
3．试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m
2
x
2
－( 2m＋1) x＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个相等的实
数根？没有实数根？
4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x
2
－7x－1＝0各根的相反数．
B 组
1．选择题:
若关于x的方程x
2
＋(k
2
－1) x＋k＋1＝0的两根互为相反数，则k的值为
（ ）
（A）1，或－1 （B）1 （C）－1 （D）0
2．填空:
（1）若m，n是方程x
2
＋2005x－1＝0的两个实数根 ，则m
2
n＋mn
2
－mn的值等于 ．
（ 2）如果a，b是方程x
2
＋x－1＝0的两个实数根，那么代数式a
3
＋a
2
b＋ab
2
＋b
3
的值是 ．
3．已知关于x的方程x
2
－kx－2＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两根为x
1
和x
2
，如果2(x
1
＋x
2
)＞x
1
x2
，求实数k的取值范围．
4．一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0（ a≠0）的两根为x
1
和x
2
．求：
（1）| x
1
－x
2
|和
x
1
?x
2
；
2
（2）x
1
3
＋x
2
3
．
5 ．关于x的方程x
2
＋4x＋m＝0的两根为x
1
，x
2
满 足| x
1
－x
2
|＝2，求实数m的值．
C 组
1．选择题：
２０

学 海 无 涯
（1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x
2
－8x＋7＝0的两根， 则这个直角三角形的斜边长等于
（ ）
（A）
3
（B）3 （C）6 （D）9
x
1
x
2
?
的值为 （ ）
x
2
x
1
3
（A）6 （B）4 （C）3 （D）
2
（2）若x1
，x
2
是方程2x
2
－4x＋1＝0的两个根，则
（ 3）如果关于x的方程x
2
－2(1－m)x＋m
2
＝0有两实数根α，β， 则α＋β的取值范围为
（ ）
（A）α＋β≥
11
（B）α＋β≤ （C）α＋β≥1 （D）α＋β≤1
22
c
＝0的根的情况是
4
（4）已知a，b，c是ΔABC的三边长，那么方程cx
2
＋(a＋b)x＋
（ ）
（A）没有实数根 （B）有两个不相等的实数根
（C）有两个相等的实数根 （D）有两个异号实数根
2．填空：
若方程x
2
－8x＋m＝0的两根为x
1
，x
2
， 且3x
1
＋2x
2
＝18，则m＝ ．
3． 已知x
1
，x
2
是关于x的一元二次方程4kx
2
－4kx＋k＋1＝0 的两个实数根．
（1）是否存在实数k，使(2x
1
－x
2
)( x
1
－2 x
2
)＝－
（2）求使
3
成立？若存在 ，求出k的值；若不存在，说明理由；
2
x
1
x
2
?
－2的值为整数的实数k的整数值；
x
2
x
1
x
（3）若k＝－2，
?
?1
，试求
?
的值．
x
2
m
2
?0
． 4．已知关于x的方程
x?(m ?2)x?
4
2
（1）求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；
（2）若这个方程的两个实数根x
1
，x
2
满足|x
2|＝|x
1
|＋2，求m的值及相应的x
1
，x
2
．
5．若关于x的方程x
2
＋x＋a＝0的一个大于1、零一根小于1，求实数a的取值 范围．
2.1 一元二次方程
练习
1． （1）C （2）D
2． （1）－3 （2）有两个不相等的实数根 （3）x
2
＋2x－3＝0
3．k＜4，且k≠0
4．－1 提示：
(x
1
－3)( x
2
－3)＝x
1
x
2
－3(x
1
＋x
2
)＋9
习题2．1
A 组
1． （1）C （2）B 提示：②和④是错的，对于②，由于方程的根的判 别式Δ＜0，所以方程没
2
有实数根；对于④，其两根之和应为－．
3
（3）C 提示：当a＝0时，方程不是一元二次方程，不合题意．
17
2． （1）2 （2） （3）6 （3）
3

4
11
3．当m＞－，且m≠0时，方程有两个不相等的实数根；当m＝－时，方程有两个相等的实数根；
44

２１

学 海 无 涯
1
时，方程没有实数根．
4
4．设已知方程的两根分别是
x
1
和x
2
，则所求的方程的两根分别是－x
1
和－x
2< br>，∵x
1
＋x
2
＝7，x
1
x
2
＝ －1，∴(－
x
1
)＋(－x
2
)＝－7，(－x
1
)×(－x
2
)＝x
1
x
2
＝－1，∴所求的方程为y< br>2
＋7y－1＝0．

当m＜－
B组
1．C 提示：由于k=1时，方程为x
2
＋2＝0，没有实数根，所以k＝－1．
2．（1）2006 提示：∵
m＋n＝－2005，mn＝－1，∴m
2
n＋mn
2
－mn＝mn(m＋n－1)＝－1×(－2005－1)＝2006．
（2）－3 提示；∵a＋b＝－1，ab＝－1，∴a
3
＋a
2
b＋ab
2
＋b
3
＝a
2
(a＋b)＋b
2
(a＋ b)＝(a＋b)( a
2
＋b
2
)＝(a＋b)[( a＋b)
2
－2ab]＝(－1)×[(－1)
2
－2×(－1)]＝－3．
3．（ 1）∵Δ＝(－k)
2
－4×1×(－2)＝k
2
＋8＞0，∴方程一定有两 个不相等的实数根．
（2）∵x
1
＋x
2
＝k，x
1
x
2
＝－2，∴2k＞－2，即k＞－1．
4．（1）| x
b< br>2
?4ac
x
3abc?b
3
1
－x
2|＝
1
?x
2
b
|a|
，
2
＝
?
2a
；（2）x
1
3
＋x
2
3
＝a
3
．
5．∵| x
1
－x
2
|＝
16?4m?24?m?2
，∴m＝3．把m＝3代入方程，Δ＞0，满足题意，∴m＝3．
C组
1．（1）B （2）A
（3）C 提示：由Δ≥0，得m≤
1
2
，∴α＋β＝2(1－m)≥1．
（4）B 提示：∵
a，b，c是ΔABC的三边长，∴
a＋b＞c，∴Δ＝(a＋b)< br>2
－c
2
＞0．
2．（1）12 提示：∵x
1
＋x
2
＝8，∴3x
1
＋2x
2
＝2(x
1＋x
2
)＋x
1
＝2×8＋x
1
＝18，∴x
1
＝2，∴x
2
＝6，∴
＝x
1
x
2
＝1 2．
3．（1）假设存在实数k，使(2x
3
1
－x
2
)( x
1
－2 x
2
)＝－
2
成立．
∵一元二次方程4kx
2
－4kx＋k＋1＝0有两个实数根，
∴k≠0，且Δ＝16k
2
－16k(k+1)=－16k≥0，∴k＜0．
∵x
1
1
＋x
2
＝1，x
1
x
2
＝
k?
4k
，
∴ (2x
1
－x
2
)( x
1
－2 x
2
)＝2 x
1
2
－5
1
x
2
＋2 x
2
2

＝2(x
9(k?1)
3
1
＋x
2
)
2
－9 x
1
x
2
＝2－
4k
＝－
2
，
即
9(k?1)
9
3
4k
＝
7
2
，解得 k＝
5
，与k＜0相矛盾，所以，不存在实数k，使(2x
1
－x
2
)( x
1
－2 x
2
)＝－
2
成立．
（2）∵
x
1
x
2
2
x
1
?x
2
2
(x
1
?
x
?
－2＝
?2?
x
2
2
)?2x
1
x
2
?2?
(x
1
?x
2
)
2
?4

2
x
1x
1
x
2
x
1
x
2
x
1x
2
＝
4k
k?1
?4?
4k?4(k? 1)
k?1
??
4
k?1
，
∴要使
x
1
x
?
x
2
－2的值为整数，只须k＋1能整除4．而k为整数，
2
x
1
∴k＋1只能取±1，±2，±4．又∵k＜0，∴k＋1＜1， ∴k＋1只能取－1，－2，－4，∴k＝－2，－3，－5．
∴能使
x
1
x
?
x
2
x
－2的值为整数的实数k的整数值为－2，－3和－5．
21
（3）当k＝－2时，x
1
1
＋x
2
＝1，① x
1
x
2
＝
8
， ②
①
2
÷②，得
x
1
x
?
x
2
x
＋2 ＝8，即
?
?
1
?6
，∴
?
2
?6
?
?1?0
，
21
?

２２
m

学 海 无 涯
∴
?
?3?22
．
4．（1）Δ＝
2(m?1)?2?0
；
2
m
2
（2）∵x
1
x
2
＝－
≤0，∴x
1
≤0，x2
≥0，或x
1
≥0，x
2
≤0．
4
①若x
1
≤0，x
2
≥0，则x
2
＝－x
1
＋2，∴x
1
＋x
2
＝2，∴m－2＝2，∴m＝4．此时，方程为x2
－2x－4＝0，∴
x
1
?1?5
，
x
2< br>?1?5
．
②若x
1
≥0，x
2
≤0 ，则－x
2
＝x
1
＋2，∴x
1
＋x
2
＝ －2，∴m－2＝－2，
∴m＝0．此时，方程为x
2
＋2＝0，∴x
1< br>＝0，x
2
＝－2．
5．设方程的两根为x
1
，x
2
，则x
1
＋x
2
＝－1，x
1
x
2＝a，
由一根大于1、另一根小于1，得
(x
1
－1)( x
2
－1)＜0， 即 x
1
x
2
－(x
1
＋x
2
)+1＜0，
∴ a－(－1)＋1＜0，∴a＜－2．
此时，Δ＝1
2
－4×(－2) ＞0，
∴实数a的取值范围是a＜－2．
2．2 二次函数
2.2.1 二次函数y＝ax
2
＋bx＋c的图像和性质
问题1 函数y＝ax
2
与y＝x
2
的图象之间存在怎样的关系？
为了研究 这一问题，我们可以先画出y＝2x
2
，y＝
1
2
x，y＝－2x< br>2
的图象，通过这些函数图象与函数y＝x
2
的图象之
2
间的 关系，推导出函数y＝ax
2
与y＝x
2
的图象之间所存在的关系．
先画出函数y＝x
2
，y＝2x
2
的图象．
先列表：
x
x
2
2x
2

…
…
…
－3
9
18
－2
4
8
－1
1
2
0
0
0
1
1
2
2
4
8
3
9
18
…
…

从表中不难看出，要得到2x
2
的值，只要把相应的x
2
的值扩大两倍就可以了．
再描点、连线，就分别得到了函数y＝x
2
，y＝2x2
的图象（如图2－1所示），从图2－
1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数 y＝2x
2
的图象可以由函数y＝x
2
的图
象各点的纵坐标变为原来 的两倍得到．
同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y＝
y＝2x
2

y
y＝x
2

1
2
x，y＝－2x
2< br>的图象，并研究这两个
2
函数图象与函数y＝x
2
的图象之间的关系．
通过上面的研究，我们可以得到以下结论：
二次函数y＝ax
2
(a≠0) 的图象可以由y＝x
2
的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到．在
二次函数y＝ax
2
(a≠0)中，二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的
开口的大 小．
问题2 函数y＝a(x＋h)
2
＋k与y＝ax
2
的图象之间存在怎样的关系？ < br>同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同
学们可以作出函 数y＝2(x＋1)
2
＋1与y＝2x
2
的图象（如图2－2所示），从函数 的
2
同学我们不难发现，只要把函数y＝2x的图象向左平移一个单位，再向上平移一
个单位，就可以得到函数y＝2(x＋1)
2
＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点．
类似地，还可以通过画函数y＝－3x
2
，y＝－3 (x－1)
2
＋1的图象，研究它们图象之
间的相互关系．
通过上面的研究，我们可以得到以下结论：
二次函数y＝a(x＋h)
2
＋ k(a≠0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决
定了二次函数图象的左右平移，而且“ h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图
象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”．
２３

－1
O
图2.2-1
y
x
y＝2(x＋1)
2
＋1
y＝2(x＋1)
2

y＝2x
2


O
图2.2-2
x

学 海 无 涯
由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y＝ax< br>2
＋bx＋c(a≠0)的图象的方法：
2
2
b
b
bb
由于y＝ax
2
＋bx＋c＝a(x
2
＋
x
) ＋c＝a(x
2
＋
x
＋
2
)＋c－
4a
4a
aa
b
2
b
2
?4ac
)?

?a(x?
，
2a4a
所以，y＝ax
2
＋bx＋c(a ≠0)的图象可以看作是将函数y＝ax
2
的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函 数y
＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)具有下列性质：
2
b4ac? b
b
,)
，对称轴为直线x＝－（1）当a＞0时，函数y＝ax
2
＋bx＋c图象开口向上；顶点坐标为
(?
；当
2a4a
2a
bbb
x＜
?
时，y随着x的增大而减小；当x＞
?
时，y随着x的增大而 增大；当x＝
?
时，函数取最小值y＝
2a2a2a
4ac?b
2< br>．
4a
b4ac?b
2
b
2
,)
，对称轴 为直线x＝－（2）当a＜0时，函数y＝ax＋bx＋c图象开口向下；顶点坐标为
(?
；当
2a4a
2a
bbb
x＜
?
时，y随着x的增大而增大；当 x＞
?
时，y随着x的增大而减小；当x＝
?
时，函数取最大值y＝
2a2a2a
4ac?b
2
．
4a
上述二次函数的性质可以分 别通过图2．2－3和图2．2－4直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题
时，可以借助于函 数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．
例1 求二次函数y＝
－
3x2
－6x＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值
时，y随x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．
解：∵y＝
－
3x< br>2
－6x＋1＝－3(x＋1)
2
＋4，
∴函数图象的开口向下；
对称轴是直线x＝－1；
顶点坐标为(－1，4)；
当x＝－1时，函数y取最大值y＝4；
当x＜－1时，y随着x的增大而增大；当x＞－1时，y随着x的增大而减小；
采用描点法 画图，选顶点A(－1，4))，与x轴交于点B
(
23?323?3
,0)
和C
(?,0)
，与y轴的交点为D(0，1)，
33
过这五点画出图象（如 图2－5所示）．
说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关 键点，减少了选点的盲目性，
使画图更简便、图象更精确．


２４

学 海 无 涯
例2 某种产品的成本是120元件，试 销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表
所示：
x 元 130 150 165
y件 70 50 35
若日销售量y是销售价x的一次函数，那 么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时
每天的销售利润是多少？ 分析：由于每天的利润＝日销售量y×(销售价x－120)，日销售量y又是销售价x的一次函数，所以， 欲求每天所获
得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x之间的函数关系，然后，再由它们之 间的函数关系求出每天
利润的最大值．
解：由于y是x的一次函数，于是，设y＝kx＋
（
B
）

将x＝130，y＝70；x＝150，y＝50代入方程，有
?
70?130k?b,

?
50?150k?b,
?
解得 k＝－1，b＝200．
∴ y＝－x＋200．
设每天的利润为z（元），则
z＝(－x+200)(x－120)＝－x
2
＋320x－24000
＝－(x－160)
2
＋1600，
∴当x＝160时，z取最大值1600．
答：当售价为160元件时，每天的利润最大，为1600元．
例3 把二次函数y＝x< br>2
＋bx＋c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y＝x
2
的图像，求b，c
的值．
b
2
b
22
解法一：y＝x＋ bx＋c＝(x+)
?c?
，把它的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到
4
2
2
bb
y?(x??4)
2
?c??2
的图 像，也就是函数y＝x
2
的图像，所以，
24
?
b
??4?0,
?
?
2

?
解得b＝－8，c＝14．
2
?
c?
b
?2?0,
?
4
?
解法二：把二次函数y＝x
2
＋bx＋c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到 函数y＝x
2
的图像，
等价于把二次函数y＝x
2
的图像向下平移2 个单位，再向右平移4个单位，得到函数y＝x
2
＋bx＋c的图像．
由于把二次 函数y＝x
2
的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y＝(x－4)
2
＋2的图像，即为
y＝x
2
－8x＋14的图像，∴函数y＝x
2
－8x＋14与函数y＝x
2
＋bx＋c表示同一个函数，∴b＝－8，c＝14．
说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数 图像的变
换规律．
这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向 的思维来解决的，其运算量相对较大；
而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价 的问题来解，具有计算量小的优点．今后，我们
在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来 解决问题．
例4 已知函数y＝x
2
，－2≤x≤a，其中a≥－2，求该函数的 最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对
应的自变量x的值．
分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a的取值进行讨论．
解：（1） 当a＝－2时，函数y＝x
2
的图象仅仅对应着一个点(－2，4)，所以，函数的最大值和最 小值都是4，
此时x＝－2；
（2）当－2＜a＜0时，由图2．2－6①可知，当x＝－2 时，函数取最大值y＝4；当x＝a时，函数取最小值y＝a
2
；
（3）当0≤a＜ 2时，由图2．2－6②可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝0时，函数取最小值y＝0； （4）当a≥2时，由图2．2－6③可知，当x＝a时，函数取最大值y＝a
2
；当x＝ 0时，函数取最小值y＝0．

２５

学 海 无 涯
y
y
4

4

y
y
a
2

4

O
a
2
x


－2

③

O
a
x

a
－2
a

2
a
2

x
－2


O
①

②
图2.2－6


说明：在本例中，利用了分类讨
论的方法，对a 的所有可能情形
进行讨论．此外，本例中所研究
的二次函数的自变量的取值不
是取任意 的实数，而是取部分实
数来研究，在解决这一类问题
时，通常需要借助于函数图象来
直 观地解决问题．
练 习
1．选择题：
（1）下列函数图象中，顶点不
在坐标轴上的是
（ ）
（A）y＝2x
2
（B）y＝2x
2
－4x＋2
（C）y＝2x
2
－1 （D）y＝2x
2
－4x
（2）函数y＝2(x－1)
2
＋2是将函数y＝2x
2
（ ）
（A）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的
（B）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的
（C）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的
（D）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的
2．填空题
（1）二次函数y＝2x
2
－mx＋n图象的顶点坐标为(1，－2)，则m＝ ，n＝ ．
（2）已知二次函数y＝x
2
+(m－2)x－2m，当m＝ 时，函数图象的顶点在y轴上；当m＝ 时，函数图象
的顶点在x轴上；当m＝ 时，函数图象经过原点．
（3）函数y＝－3(x＋2)
2
＋5的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ；当x＝
时，函数取最 值y＝ ；当x 时，y随着x的增大而减小．
3．求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y随x的变化情况，并画出其图象．
（1）y＝x
2
－2x－3； （2）y＝1＋6 x－x
2
．
4．已知函数y＝－x
2
－2x＋3，当自变量x在下 列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最
大（小）值时所对应的自变量x的值：
（1）x≤－2；（2）x≤2；（3）－2≤x≤1；（4）0≤x≤3．
2.2.2 二次函数的三种表示方式
通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：
1．一般式：y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)；
2．顶点式：y＝a(x＋h)
2
＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．
除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次 函数y＝
ax
2
＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点个数．
当抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有
ax
2
＋bx＋c＝0． ①
并且方程①的解就是抛物线y＝a x
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解 的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b
2
－4ac有关，由此可知，抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ＝b
2
－4ac存在下列关系：
（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点；反过 来，若抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴有
两个交点，则Δ＞0也成立．
（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点（抛物 线的顶点）；反过来，若抛物线y＝ax
2
＋bx
＋c(a≠0)与x轴有一个交点， 则Δ＝0也成立．
（3）当Δ＜0时，抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x 轴没有交点；反过来，若抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴没有
交点，则 Δ＜0也成立．
于是，若抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点 A(x
1
，0)，B(x
2
，0)，则x
1
，x
2
是方程ax
2
＋bx＋c＝0的两根，
所以

２６

学 海 无 涯
bc
，x
1
x
2
＝，
aa
bc
即 ＝－(x
1
＋x
2
)， ＝x
1
x
2
．
aa
bc
2
所以，y＝ax
2
＋bx＋c＝a(
x?x?
)
aa
x
1
＋x
2
＝
?
= a[x
2
－(x
1
＋x
2
)x＋x
1
x
2
]
＝a(x－x
1
) (x－x
2
)．
由上面的推导过程可以得到下面结论：
若抛物 线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(x
1
，0)，B(x2
，0)两点，则其函数关系式可以表示为y＝a(x－x
1
) (x
－x
2
) (a≠0)．
这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：
3．交点式：y＝a(x－x
1
) (x－x
2
) (a≠0)，其中x
1
，x
2
是二次函数图象与x轴交点的横坐标．
今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形 式
中的某一形式来解题．
例1 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x ＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的
解析式．
分析：在解本例时，要充分利 用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再
由函数图象过定点来 求解出系数a．
解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，
∴顶点的纵坐标为2．
又顶点在直线y＝x＋1上，
所以，2＝x＋1，∴x＝1．
∴顶点坐标是（1，2）．
设该二次函数的解析式为
y?a(x?2)
2
?1(a?0)
，
∵二次函数的图像经过点（3，－1），
∴
?1?a(3?2)
2
?1
，解得a＝－2．
∴二次函 数的解析式为
y??2(x?2)
2
?1
，即y＝－2x
2
＋8x－7．
说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后 设出二次函数的顶点式，
最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用 条件简捷地解决问题．
例2 已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式． < br>分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x轴的交点坐标 ，于是
可以将函数的表达式设成交点式．
解法一：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，
∴可设二次函数为y＝a(x＋3) (x－1) (a≠0)，
展开，得 y＝ax
2
＋2ax－3a，
?12a
2
?4a
2
??4a
， 顶点的纵坐标为
4a
由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2，
∴|－4a|＝2，即a＝
?
1
．
2
所以，二次函数的表 达式为y＝
1
2
313
x?x?
，或y＝－
x
2< br>?x?
．
2222
分析二：由于二次函数的图象过点(－3，0)，(1， 0)，所以，对称轴为直线x＝－1，又由顶点到x轴的距离为2，
可知顶点的纵坐标为2，或－2，于 是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(－3，0)，
或(1，0)，就 可以求得函数的表达式．
解法二：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，
∴对称轴为直线x＝－1．
又顶点到x轴的距离为2，
∴顶点的纵坐标为2，或－2．

２７

学 海 无 涯
于是可设二次函数为y＝a(x＋1)
2
＋2，或y＝a(x＋1)
2
－2，
由于函数图象过点(1，0)，
∴0＝a(1＋1)
2
＋2，或0＝a(1＋1)
2
－2．
∴a＝－
11
，或a＝．
22
11
(x＋1)
2
＋2，或y＝(x＋1)
2
－2．
22
所以，所求的二次函数为y＝
－
说明：上述两种解法分别从与x轴的交 点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在
今后的解题过程中，要善于利用条 件，选择恰当的方法来解决问题．
例3 已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．
解：设该二次函数为y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)．
由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得
?
?22?a?b?c,
?

?
?8?c,
?
8?4a?2b?c,
?
解得 a＝－2，b＝12，c＝－8．
所以，所求的二次函数为y＝－2x
2
＋12x－8．
通过上面的几道例题 ，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数
的表达式？
练 习
1．选择题:
（1）函数y＝－x
2
＋x－1图象与x轴的交点个数是 （ ）
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）无法确定
1
（2）函数y＝－ (x＋1)
2
＋2的顶点坐标是 （ ）
2
（A）(1，2) （B）(1，－2) （C）(－1，2) （D）(－1，－2)
2．填空：
（1）已知二次函数的图象 经过与x轴交于点(－1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为y＝a
(a≠0) ．
（2）二次函数y＝－x
2
+23x＋1的函数图象与x轴两交点之间的距离为 ．
3．根据下列条件，求二次函数的解析式．
（1）图象经过点(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)；
（2）当x＝3时，函数有最小值5，且经过点(1，11)；
（3）函数图象与x轴交于两点(1－2，0)和(1＋2，0)，并与y轴交于(0，－2)．
2.2.3 二次函数的简单应用


一、函数图象的平移变换与对称变换
1．平移变换

问题1 在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？
我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改变其形状，< br>因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可．
例1 求把二次函数y＝x
2
－4x＋3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式：
（1）向右平移2个单位，向下平移1个单位；
（2）向上平移3个单位，向左平移2个单位．
分析：由于平移变换只改变函数图象的位置而不改 变其形状（即不改变二次项系数），所以只改变二次函
数图象的顶点位置（即只改变一次项和常数项）， 所以，首先将二次函数的解析式变形为顶点式，然后，再依据平
移变换后的二次函数图象的顶点位置求出 平移后函数图像所对应的解析式．
解：二次函数y＝2x
2
－4x－3的解析式可变为
y＝2(x－1)
2
－1，

２８

学 海 无 涯
其顶点坐标为(1，－1)．
（1）把函数y＝2(x－1)2
－1的图象向右平移2个单位，向下平移1个单位后，其函数图象的顶点坐标是(3，
－ 2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为
y＝2(x－3)
2
－2．
（2）把函数y＝2(x－1)
2
－1的图象向上平移3个单位，向左平移2个单位后，其函数图象的顶点坐标是(－
1， 2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为
y＝2(x＋1)
2
＋2．


2．对称变换

问题2 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有什么特点？依据这一特点， 可以怎
样来研究二次函数的图象平移？
我们不难发现：在把二次函数的图象关于与坐标轴平 行的直线进行对称变换时，具有这样的特点——只改变函
数图象的位置或开口方向、不改变其形状，因此 ，在研究二次函数图象的对称变换问题时，关键是要抓住二次函数
的顶点位置和开口方向来解决问题．
例2 求把二次函数y＝2x
2
－4x＋1的图象关于下列直线对称后所
y
x＝－1
得到图象对应的函数解析式：
（1）直线x＝－1；
（2）直线y＝1．

解：（1）如图2．2－7，把二次函数y＝2x
2< br>－4x＋1的图象关于
直线x＝－1作对称变换后，只改变图象的顶点位置，不改变其形状．
由于y＝2x
2
－4x＋1＝2(x－1)
2
－1，可知，函数 y＝2x
2
－4x＋1
O
x
图象的顶点为A(1,－1)，所以 ，对称后所得到图象的顶点为A
1
(－3，1)，
A(1,－1)
A
1
(－3,－1)
所以，二次函数y＝2x
2
－4x＋ 1的图象关于直线x＝－1对称后所得到
图象的函数解析式为y＝2(x＋3)
2
－1 ，即y＝2x
2
＋12x＋17．
（2）如图2．2－8，把二次函数y＝2x2
－4x＋1的图象关于直线x＝－
图2.2－7
1作对称变换后，只改变图象的顶点位置和开口方向，不改变其形状．
222
由于y＝2x－4x＋1＝2(x－1)－1，可知，函数y＝2x－4x＋1图象的顶点为
A(1,－ 1)，所以，对称后所得到图象的顶点为B(1，3)，且开口向下，所以，二次函
y
2
B(1，3)
数y＝2x－4x＋1的图象关于直线y＝1对称后所得到图象的函 数解析式为y＝－2(x
－1)
2
＋3，即y＝－2x
2
＋4x＋1 ．
二、分段函数

一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数．

例3 在国内投递外埠平信，每封信不超过 20g付邮资80
分，超过20g不超过40g付邮资160分，超过40g不超过60g付
邮 资240分，依此类推，每封xg(0＜x≤100)的信应付多少邮资（单
位：分）？写出函数表达式 ，作出函数图象．
分析：由于当自变量x在各个不同的范围内时，应付邮资的
数量是不同的． 所以，可以用分段函数给出其对应的函数解析
式．在解题时，需要注意的是，当x在各个小范围内（如2 0＜x≤40）
变化时，它所对应的函数值（邮资）并不变化（都是160分）．
解：设每封信的邮资为y（单位：分），则y是x的函数．这
个函数的解析式为

O
A(1,－1)
图2.2－8
y＝1
x

?
80,
?
160
?
?

y??
240,
?
320
?
?
?
400,


x?(0,20]
x?(20,40]
x?940,80]

x?(60,80]
x?(80,100]
２９
由上述的函数解析式，可以得到其图象如图2．2－9所示．

学 海 无 涯

例4如图9－2所示，在边长为2的正方形ABCD的边上有一个动点P， 从点A出发沿折
线ABCD移动一周后，回到A点．设点A移动的路程为x，ΔPAC的面积为y．
（1）求函数y的解析式；
（2）画出函数y的图像；
（3）求函数y的取值范围．
分析：要对点P所在的位置进行分类讨论．
解：（1）①当点P在线段AB上移动（如图2．2－10①），即0＜x≤2时，
1
y＝
AP?BC
＝x；
2
②当点P在线段BC上移动（如图2．2－10②），即2＜x＜4时，
11
y＝
PC?AB
＝
(4?x)?2
＝4－x；
2
2
③当点P在线段CD上移动（如图2．2－10③），即4＜x≤6时，
11
y＝
PC?AD
＝
(x?4)?2
＝x－4；
22
④当点P在线段DA上移动（如图2．2－10④），即6＜x＜8时，
D
C
P
A
图
2.2
－
10
B
2.3 方程与不等式
2.3.1 二元二次方程组解法
方程
x?2xy?y?x?y?6?0

是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最 高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程．其中
22
x
2
,2xy
,
y
2
叫做这个方程的二次项,
x
,
y
叫做一次项,6叫做常数项．
我们看下面的两个方程组：
?
x
2
?4y
2
?x?3y?1?0,

?
?
2x?y?1?0;
?
x
2
?y
2
?20,
?

?
2

2
?
?
x?5xy?6y?0.
第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方 程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像
这样的方程组叫做二元二次方程组．
下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法．
一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解．
例1 解方程组
?
x
2
?4y
2
?4?0,

?

?
x?2y?2?0.
①
②
分析：二元二次 方程组对我们来说较为生疏，在解此方程组时，可以将其转化为我们熟悉的形式．注意到
方程②是一个一 元一次方程，于是，可以利用该方程消去一个元，再代入到方程①，得到一个一元二次方程，从而
将所求 的较为生疏的问题转化为我们所熟悉的问题．
解：由②,得

x＝2y＋2， ③
把③代入①,整理,得
8y
2
＋8y＝0，
即 y(y＋1)＝0．
解得 y
1
＝0，y
2
＝－1．
把y
1
＝0代入③, 得 x
1
＝2；
把y
2
＝－1代入③, 得x
2
＝0．
所以原方程组的解是

３０

学 海 无 涯
?
x
1
?2,

?

y?0，
?
1
?
x
2
?0,

?
y??1.
?
2
说明：在解类似于本例的二元二次方程组时，通常采用本例所 介绍的代入消元法来求解．
例2 解方程组
?
x?y?7,

?

xy?12.
?
解法一：由①，得

x?7?y.
③
把③代入②，整理，得

y?7y?12?0

解这个方程，得

y
1
?3,y
2
?4
．
把
y
1
?3
代入③，得
x
1
?4
；
把
y2
?4
代入③，得
x
2
?3
．
所以原方程的解是

?
2
①
②
解法二：对这个方程组，也可以根据一元二次方程的根
与系数的关系，把
x,y
看作 一个一元二次方程的两个
根，通过解这个一元二次方程来求
x,y
．
这个方程组的
x,y
是一元二次方程

z?7z?12?0

的两个根，解这个方程，得

z?3
，或
z?4
．
所以原方程组的解是
2
?
x
1
?4,

y?3，
?
1
?
x
2
?3,

?
y?4.
?
2
?
x
1
?4,
?
x
2
?3,

?

?

y?3;y?4.
?
1
?
2
练 习
1．下列各组中的值是不是方程组
?
x
2
?y
2
?13,

?
?
x?y?5
的解?
（1）
?
?
x ?2,
?
x?3,
?
x?1,
?
x??2,
（2）
?
（3）
?
（4）
?

?
y?3;
?
y?2;
?
y?4;
?
y??3;
?
y?x?5,
22
2．解下列方程组:
（1）
?
?< br>x?y?625;
?
x
2
y
2
2
?
?1,
?
y?2x,
?
?
（3）
?
5
（4）
?
2

4
2
?
?
x?y?8.?
y?x?3;
?
（2）
?
?
x?y?3,

?
xy??10;
2.3.2 一元二次不等式解法
二次函数y＝x
2
－x－6的对应值表与图象如下：
x
y
－3
6
－2
0
－1
－4
0
－6
1
－6
2
－4
3
0
4
6
由对应值表及函数图象(如图2.3－1)可知
当x＝－2，或x＝3时，y＝0，即x
2
－x＝6＝0；
当x＜－2，或x＞3时，y＞0，即x
2
－x－6＞0；

３１

学 海 无 涯
当－2＜x＜3时，y＜0，即x
2
－x－6＜0．
这就是说，如果抛物线y= x
2
－x－6与x轴的交点是(－2，0)与(3，0)，那么
一元二次方程
x
2
－x－6＝0
的解就是
x
1
＝－2，x
2
＝3；
同样，结合抛物线与x轴的相关位置，可以得到
一元二次不等式
x
2
－x－6＞0
的解是
x＜－2，或x＞3；
一元二次不等式
x
2
－x－6＜0
的解是
－2＜x＜3．
上例表明：由抛物线与x轴的交点 可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解
集．
那么，怎样解一元二次不等式ax
2
＋bx＋c＞0(a≠0)呢？
我们可以用 类似于上面例子的方法，借助于二次函数y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)的图象来解一元二次 不等式ax
2
＋bx
＋c＞0(a≠0)．
为了方便起见，我们先来研究二次项系数a＞0时的一元二次不等式的解．
我们知道，对于一元二次方 程ax
2
＋bx＋c＝0(a＞0)，设△＝b
2
－4ac，它的解的情形按 照△＞0，△=0，△＜0分别
为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有 实数解，相应地，抛物线y＝ax
2
＋bx＋c
（a＞0）与x轴分别有两个公共点、 一个公共点和没有公共点(如图2.3－2所示)，因此，我们可以分下列三种情况
讨论对应的一元二次 不等式ax
2
＋bx＋c＞0（a＞0）与ax
2
＋bx＋c＜0（a＞0） 的解．
（1）当Δ＞0时，抛物线x轴有两个公共点(x
1
，0)和(x
2
，0)，方程
两个不相等的实数根x
1
和x
2
(x
1
＜x
2
)，由图2.3－2①可知
不等式ax
2
＋bx＋c＞0的解为
x＜x
1
，或x＞x
2
；
不等式ax
2
＋bx＋c＜0的解为
x
1
＜x＜x
2
．

３２
y＝ax
2
＋bx＋c（a＞0）与ax
2
＋bx＋c＝0

有

学 海 无 涯
（2）当Δ＝0时，抛 物线y＝ax
2
＋bx＋c（a＞0）与x轴有且仅有一个公共点，方程ax
2
＋bx＋c＝0有两个相等
b
的实数根x
1
＝x
2
＝－ ，由图2.3－2②可知
2a
2
不等式ax＋bx＋c＞0的解为
b
x≠－ ；
2a
不等式ax
2
＋bx＋c＜0无解．
（3）如果△＜0，抛物线y＝ax
2
＋bx＋c（a＞0）与x轴没有公共点，方程ax
2
＋bx＋c＝0没有实数根< br>，
由图2.3
－2③可知
不等式ax
2
＋bx＋c＞0的解为一切实数；
不等式ax
2
＋bx＋c＜0无解．
今后，我们在解一元二次不等式时， 如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二次项系数
小于零，则可以先在不等式两边 同乘以－1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等
式．
例3 解不等式：
（1）x
2
＋2x－3≤0； （2）x
－
x
2
＋6＜0；
（3）4x
2
＋4x＋1≥0； （4）x
2
－6x＋9≤0；
（5）－4＋x－x
2
＜0．

解：（1）∵Δ＞0，方程x
2
＋2x－3＝0的解是
x
1
＝－3，x
2
＝1．
∴不等式的解为
－3≤x≤1．
（2）整理，得
x
2
－x
－
6＞0．
∵Δ＞0，方程x
2
－x
－
6=0的解为
x
1
＝－2，x
2
＝3．
∴所以，原不等式的解为
x＜－2，或x＜3．
（3）整理，得
(2x＋1)
2
≥0.
由于上式对任意实数x都成立，
∴原不等式的解为一切实数．
（4）整理，得
(x－3)
2
≤0.
由于当x＝3时，(x－3)
2
＝0成立；而 对任意的实
数x，(x－3)
2
＜0都不成立，
∴原不等式的解为
x＝3．
（5）整理，得
x
2
－x＋4＞0．
Δ＜0，所以，原不等式的解为一切实数．

３３

学 海 无 涯
2
2
例4 已知不等式
ax?bx?c?0(a?0)
的解是
x?2,或x?3
求不等式
bx?ax?c?0
的解．
2
解：由不等式
ax?bx?c?0( a?0)
的解为
x?2,或x?3
，可知
a?0
，且方程
ax
2
?bx?c?0
的两根分别为2和3，
bc
∴
??5,?6
，
aa
bc
即
??5,?6
．
aa
2
由于
a?0
，所以不等式
bx?ax?c?0
可变为
b
2
c

x?x??0
，
aa
2
即 －
5x?x?6?0,

整理，得

5x?x?6?0,
2
2

所以，不等式
bx?ax?c?0
的解是
6
x＜－1，或x＞ ．
5
说明：本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题．
例5 解关于
x
的一元二次不等式
x?ax?1?0(a
为实数).
分析 对于一元二次不等式,按其一般解题步骤,首先应该将二次项系数变成正数,本题已满足这一要求,欲求一元二< br>次不等式的解,要讨论根的判别式
?
的符号,而这里的
?
是关于未知系 数的代数式,
?
的符号取决于未知系数的取值
范围，因此,再根据解题的需要,对< br>?
的符号进行分类讨论.
解:
?
?a?4
,
2
①当
??0,即a??2或a?2时,

方程x?ax?1?0的解是

2
2
?a?a
2
? 4?a?a
2
?4
x
1
?,x
2
?.
< br>22
?a?a
2
?4
?a?a
2
?4
所以, 原不等式的解集为
x?
；
,
或
x?
22
②当Δ＝0，即a＝±2时，原不等式的解为
a
x≠－ ；
2
③当
??0,即?2?a?2时,原不等式的解
为一切实数 .
综上,当a≤－2，或a≥2时，原不等式的解是
?a?a
2
?4?a?a
2
?4

x?
；
,
或
x?
22
当
?2?a?2时,原不等式的解
为一切实数．
例6 已知函数y＝x
2
－2ax＋1(a为常数)在－2≤x≤1上的最 小值为n，试将n用a表示出来．
分析：由该函数的图象可知，该函数的最小值与抛物线的对称轴的 位置有关，于是需要对对称轴的位置进行分
类讨论．
解：∵y＝(x
－
a)
2
＋1－a
2
，
∴抛物线y＝x
2
－2ax＋1的对称轴方程是x＝a．
（1）若－2≤a≤1，由图2.3-3①可知,当x＝a时，该函数取最小值
n＝1－a
2
；
(2)若a＜-2时, 由图2.3-3②可知, 当x＝-2时，该函数取最小值
n＝4a+5；
(2)若a＞1时, 由图2.3-3③可知, 当x＝1时，该函数取最小值
n＝-2a+2.

３４

学 海 无 涯
综上,函数的最小值为
2.3 方程与不等式
2.3.1 二元二次方程组解法
练 习
1.（1）（2）是方程的组解； （3）（4）不是方程组的解．
2． （1）
?
?
x
1
?15,
?
y
1
?20,
?
x
2
??20,
?
x
1
?5,
（2）
??
y??15;
?
2
?
y
1
??2,
?
x
2
??2,

?
?
y
2
?5;
5
?
x?,
?
?
x
1
?2,
?
3
（3）
?
（4）
?

y?2,
4
?
1
?
y??.
?
3
?
?
x
2
?2,

?
y??2.
?
2
2.3.2 一元二次不等式解法
练 习
4
1．（1）x＜－1，或x＞ ； （2）－3≤x≤4； （3）x＜－4，或x＞1；
3
（4）x＝4．
2．不等式可以变为(x＋1＋a)( x＋1－a)≤0，
（1）当－1－a＜－1＋a，即a＞0时，∴－1－a≤x≤－1＋a；
（2）当－1－a＝－1＋a，即 a＝0时，不等式即为(x＋1)
2
≤0，∴x＝－1；
（3）当－1－a＞－1＋a，即a＜0时，∴－1＋a≤x≤－1－a．
综上，当a＞0时，原不等式的解为－1－a≤x≤－1＋a；
当a＝0时，原不等式的解为x＝－1；
当a＜0时，原不等式的解为－1＋a≤x≤－1－a．
习题2．3
A 组
1 024
??
x?,x?,
22
??
x?0,
?
x< br>1
?2,
?
??
1
5
3
1．（1）
?

?
（2）
?

?

?
y
1
?0,
?
y
1
?0,
?< br>y??
12
.
?
y?
4
.
2
2?
?
5
3
?
?
?
?
x
1?3?2,
?
?
x
2
?3?2,
（3）
?

?
?
?
y
1
?3?2,< br>?
?
y
2
?3?2;
?
x
3
??3 ,
??
?
x
1
?3,
?
?
x
2< br>?3,
??
x
4
??3,
（4）
?

???
??
?
y
1
?1,
?
?
y
2
??1,
?
?
y
4
??1.
?
y3
?1,
2323
?x?
2．（1）无解 （2）
?

33
（3）1－2≤x≤1＋2 （4）x≤－2，或x≥2
B 组
1．消去
y
，得
4x?4(m?1)x?m?0
．
当
??16(m?1)?16m?0
,即
m?
22
22
1< br>时，方程有一个实数解．
2
３５

学 海 无 涯
1
?
1
?
x?,
将
m?
代入原方程组，得方程组的解为
?
4

2
?
?
y?1.
2．不等式可变形为(x－1)(x－a)＜0．
∴当a＞1时，原不等式的解为1＜x＜a；
当a＝1时，原不等式的无实数解；
当a＜1时，原不等式的解为a＜x＜1．
C 组
1．由题意，得 －1和3是方程2x
2
＋bx－c＝0的两根，
bc
∴－1＋3＝－ ，－1×3＝－ ， 即b＝－4，c＝6．
22
2
∴等式bx＋cx＋4≥0就为－4 x
2
＋6x＋4≥0，即2 x
2
－3x－2≤0，
1
∴－ ≤x≤2．
2
m
2
m
2
2
2．∵y＝－x ＋mx＋2＝－(x－ )＋2＋ ，
24
mm
2
∴当0≤ ≤2，即0≤m≤4时，k＝2＋ ；
24
m
当 ＜0，即m＜0时，k＝2；
2
m
当 ＞2，即m＞4时，k＝2m－2．
2
m?0,
?
2,
?
2
?
m
∴
k?
?
?2,0?m?4,

?
4
m?4.
?
?
2m?2,

３６

学 海 无 涯
3．1 相似形
3.1.1．平行线分线段成比例定理
在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长 度比的问
题.在数学学习与研究中，我们发现平行线常能产生一些重要的长
度比.
在 一张方格纸上，我们作平行线
l
1
,l
2
,l
3
（ 如图3.1-1），直线
a
交
l
1
,l
2
,l3
于点
A,B,C
，
AB?2,BC?3
，另作直线
b
交
l
1
,l
2
,l
3
于点
A'B 'AB2
??.

B'C'BC3
我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
ABDEABDE
图3.1-1
?
如图3.1-2，
l
1
l
2
l
3
，有.当然，也可以得出.在运用该定理解决问题的过程中，
BCEFACDF
我们一定要注 意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例.
A',B',C'
，不难发现
例1 如图3.1-2，
l
1
l
2
l
3
，
且
AB
解
2,BC3,DF4,
求
DE,EF
.
DE2
,

EF3
28312
DE?DF?,EF?DF?.

2?352?3 5
l
1
l
2
l
3
,
AB
BC图3.1-2
例2 在
ABC
中，
D,E
为边
AB ,AC
上的点，
DEBC
，
求证：
ADAEDE
??
.
ABACBC
DEBC,??ADE??ABC,?AED??ACB,
证明（1）
ADAEDE
??.

ABACBC
证明（2） 如图3.1-3，过
A
作直线
lBC
，
?ADE
∽
ABC
，
?
lDEBC,

ADAE
?
.
ABAC
过
E
作
EFAB
交
AB
于
D
，得
BDEF
，
因而
DE?BF.

AEBFDE
EFAB,???.

ACBCBC
ADAEDE
???.

ABACBC
从上例可以得出如下结论：
?

３７
图3.1-3

学 海 无 涯
平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.
平行于 三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成
比例.
例3 已知
ABC
，
D
在
AC
上，
AD :DC?2:1
，能否在
AB
上找到一点
E
，使得线段
EC
的中点在
BD
上.
解 假设能找到，如图3.1-4，设
EC< br>交
BD
于
F
，则
F
为
EC
的中点， 作
EGAC
交
BD
于
G
.
EGAC,EF?FC
，
?
EGF?CDF
，且
EG?DC
，
1
BEEG1
??,

?EGAD,BEGBAD
，且BAAD2
2
?E
为
AB
的中点.
可见，当
E
为
AB
的中点时，
EC
的中点在
BD
上.
图3.1-4
我们在探索一些存在性问题时，常常先假设其存在，再解之，有解则存在，无解或矛盾则不存在.
ABBD
例4 在
ABC
中，
AD
为
BAC
的平分线，求证：.
ACDC
证明 过C作CEAD，交BA延长线于E，
BABD
ADCE,.

AEDC
AD平分
BAC,
由
ADCE
知
BAD
EACE,即AE
BADDAC,

ACE,

E,DAC
AC,

图3.1-5
ABBD
.
ACDC
例4的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分 线分对边成比例（等于该角的两边之比）.

练习1
1．如图3.1-6，
l
1
l
2
l
3
，下列比例式正确的是（ ）
A．
C．

2．如图3.1-7，
DEBC,EFAB,AD5cm ,DB
AD
DF
CEAD
B．
BCBE
BC

AF
CE
DF
ADAF
D.
BCDF
BE

CE
图3.1-6
3cm,FC2cm,
求
BF
.


3．如图， 在
ABC
中，AD是角BAC的平分线，
AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm ,求BD的长.


３８
图3.1-7
图3.1-8

学 海 无 涯

4．如图，在
ABC< br>中，
BAC
的外角平分线
AD
交
BC
的延长线于点< br>ABBD
.
D
，求证：
ACDC

5．如图，在< br>ABC
的边AB、AC上分别取D、E两点，使BD=CE，
DFAC
DE延长 线交BC的延长线于F.求证：.
EFAB

图3.1-9
3.1．2．相似形
图3.1-10
我们学过三角形相似的判定方法，想一想，有 哪些方法可以判定两个
三角形相似？有哪些方法可以判定两个直角三角形相似？
例5 如 图3.1-11，四边形ABCD的对角线相交于点O，
BACCDB
，求证：
DAC
证明 在
OAB
与
ODC
中，
AOBDOC,OABODC,

CBD
.
OAB
∽
ODC
，
OAOBOAOD
，即.
O DOCOBOC
又
OAD
与
OBC
中，
AODBOC
，
图3.1-11
OAD
∽
OBC
，
DACCBD
.
例6 如图3.1-12,在直角三角形ABC中，
BAC
为直角，
ADBC于D
.
求证：（1）
AB
2
（2）
AD
2
BDBC
，
AC
2
CDCB
；
图3.1-12
BDCD

证明 （1）在
RtBAC
与
RtBDA
中，
BB
，
BABC
,即AB
2
BDBC.

BAC
∽BDA
，
BDBA
同理可证得
AC
2
CDCB
.
（2）在
RtABD
与
RtCAD
中，
C90
o
CADBAD
，
ADDC
,即AD
2
BDDC.

BDAD
我们把这个例题的结论称为射影定理，该定理对直角三角形的运算很有用.
RtABD
∽
RtCAD
，
例7 在
ABC
中 ，
ADBC于D,DEAB于E,DFAC于F
，求证：
AEABAFAC
.
证明
ADBC
，
ADB
为直角三角形，又
DE
由射影定理，知
AD
2

AB
，
AEAB
.
３９

学 海 无 涯
同理可得
AD
2
AFAC
.
AEABAFAC
.
图3.1-13
例8 如图3.1-14，在
ABC
中，
D为边
BC
的中点，
E
为边
AC
上的任意一点，
BE
交
AD
于点
O
.某
学生在研究这一问题时，发现了如下 的事实：
图3.1-14

AO
AD
AO
AD
AO
AD
2
3
2
4
2
5
2
21< br>2
2
2
23
2
（1） 当
AE
AC
AE
AC
AE
AC
1
2
1
3
1
4
1
11
1
12
1
13
AE
AC
时 ，有.（如图3.1-14a）
（2） 当时，有.（如图3.1-14b）
（3） 当时，有
1
1n
.（如图3.1-14c）
AO
的一般结论，并给 出
AD
在图3.1-14d中，当时，参照上述研究结论，请你猜想用n表示
证明（其 中n为正整数）.
解：依题意可以猜想：当
AE
AC
1
1n
时，有
AO
AD
2
2n
成立.
证明 过点D作DFBE交AC于点F，
D是BC的中点，F是EC的中点，
由
AEAC
AO
AD
1
1n
AE
AF
可知
2
2
AE
EC
.

1
，
n
AEEF
2AE
,
nAF
2
2n
.
.
n
AO1AE
?
，则
ADnAC
本题中采用了从特殊到一 般的思维方法.我们常从一些具体的问题中发现一些规律，进而作出一般性
的猜想，然后加以证明或否定 .数学的发展史就是不断探索的历史.
练习2
1．如图3.1-15，D是
ABC
的边AB上的一点，过D点作DEBC交AC于E.
想一想，图3.1-14d中，若
已知AD：DB=2：3，则
S
ADE
:S
四边形BCDE
等于（ ）
图3.1-15

４０
A．
2:3
B．
4:9
C．
4:5
D．
4:21

学 海 无 涯
2．若一个梯形的中位线长为15，一条对 角线把中位线分成两条线段.这两条线段的比是
3:2
，则梯形
的上、下底长分别是_ _________.
3．已知：
ABC
的三边长分别是3，4，5，与其相似的< br>A'B'C'
的最大边长是15，求
A'B'C'
的面
积
S< br>A'B'C'
.


4．已知：如图3.1-16，在四边形ABCD 中，E、F、G、H分别是AB、BC、
CD、DA的中点.
（1） 请判断四边形EFGH是什么四边形，试说明理由；
（2） 若四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD满足什么条件时，
EFGH是菱形？是正方形？


5．如图3.1-17,点C、D在线段AB上，
PCD
是等边三角形，
（1） 当AC、CD、DB满足怎样的关系时，
ACP
∽
PDB
？
（2） 当
ACP
∽
PDB
时，求
APB
的度数.

习题3.1
A组
1．如图3.1-18，
ABC
中， AD=DF=FB，AE=EG=GC，FG=4，则（ ）
A．DE=1，BC=7 B．DE=2，BC=6
C．DE=3，BC=5 D．DE=2，BC=8


2．如图3.1-19，BD、CE是
ABC
的中线，P、Q分 别是BD、CE的中点，则
PQ:BC
等于（ ）
A．1：3 B．1：4
C．1：5 D．1：6


3．如图 3.1-20，
ABCD
中，E是AB延长线上一点，DE交BC于点F，已知
BE： AB=2：3，
S
BEF
图3.1-16
图3.1-17
图3.1-18
图3.1-19
4
，求
S
CDF
.

4．如图3.1-21，在 矩形ABCD中，E是CD的中点，
BE
过F作FGAB交AE于G，求证：
AG2


AFFC
.
AC
交AC于F，
图3.1-20
图3.1-21
B组
1．如图3.1-22，已知
ABC
中，AE：EB=1：3，BD：DC=2：1，AD与 CE相交
EFAF
于F，则的值为（ ）
FCFD

４１

学 海 无 涯
A．
13
B．1 C． D．2
22
图3.1-22

2．如 图3.1-23，已知
ABC
周长为1，连结
ABC
三边的中点构成第二个三 角形，
再连结第二个对角线三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2003个三角形周
长为 （ ）
图3.1-23
A．
1111
B． C．
2002
D．
2003

2002200322
图3.1-24

3．如图3.1-24，已知M 为
ABCD
的边AB的中点，CM交BD于点E，
则图中阴影部分的面积与
A BCD
面积的比是（ ）
1
1
1
5
A． B． C． D．
36
412
4．如图3.1-25，梯形AB CD中，ADBC，EF经过梯形对角线的交点O，
且EFAD.
（1） 求证：OE=OF；
OEOE
（2） 求的值；
ADBC
112
（3） 求证：.
ADBCEF

C组
1．如图3.1-26，
ABC
中，P是边AB上一点，连结CP.
（1） 要使
ACP
∽
ABC
，还要补充的一个条件是____________.
（2） 若
ACP
∽
ABC
，且
AP:PB2:1
，则
BC:PC
=_____.

2．如图3.1-27，点E是四边形A BCD的对角线BD上一点，且
BACBDCDAE
.
（1） 求证：
BEADCDAE
；
BC
（2） 根据图形的特点，猜想可能等于那 两条线段的比（只须写出图中已有
DE
线段的一组比即可）？并证明你的猜想.
< br>3．如图3.1-28，在
RtABC
中，AB=AC，
A90
o，点D为BC上任一点，
图3.1-25
图3.1-26
图3.1-27 < br>DFAB
于F，
DEAC
于E，M为BC的
中点，试判断
ME F
是什么形状的三角形，
并证明你的结论.

4．如图3.1-29a，
ABBD,CDBD,
垂足分
图3.1-28 < br>别为B、D，AD和BC相交于E，
EFBD
于
111
F，我们可以证 明成立.
ABCDEF

４２

学 海 无 涯

若将图3.1-29a中的垂直改为斜交，如图3.1-29 b，
ABCD,AD、BC
相交于E，EFAB交BD于F，
则：
（1）
（2）
1
AB
1
CD
ABD
1
还成立吗 ？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
EF
,S
图3.1-29 < br>BCD
请找出
S
和
S
EBD
之间的关系，并给出证明 .
3.1 相似形
练习1
1．D
10
DEADx510
?,??,x?
，即
BF?
. 3
BCABx?283
ABBD535
3．
??,?BD?cm.

ACDC49
ABBDABBD
??
4．作
CFAB
交
AD
于
F
，则，又
?AFC??FAE??FAC
得
AC?CF,
?
.
CFDCACDC
EGCE
ACCEDBDF AC
??,??
5．作
EGAB
交
BC
于
G
，.
CEGCAB,??,
即
ABEGEGEFAB
ABAC
练习2
1．
C

2．设
BF?x,
2．12，18
115
2
??3?4?6,?S?()?6?54.

ABCA'B 'C'
25
1
4．（1）因为
EHBDFG,
所以
EFGH
是平行四边形；（2）当
AC?BD
时，
EFGH
为菱形；当
2
3．
S
AC?BD,AC?BD
时，
EFGH
为正方形 .
5．（1）当
CD?AC?BD
时，
ACP
2o
（2）
?APB?120
.
PDB
；
习题3.1
A组
1．B 2.B 3.
S
CDF
?9

22
4．
BF
为直角三角形
ABC
斜边上的高，
BF?AF?FC
，又可证
AG?BF,
?AG?AF?FC
.
B组
1．C 2.C 3.A
4．（1）
ADBC,?
EOAEDEOFOEO EAEBE
???,EO?OF
.（2）
????1.
（3）由（2）知BCABDCBCADBCABAB
1112
???.

ADBCOEEF
C组
2
1.(1)
AC?AP?AB
或
?ACP??B
.(2)
BC:PC?3:2
.

４３

学 海 无 涯
2．（1）先证
AEBADC，可得
3．连
AD
交
EF
于
O
，连
O M
，
BEAE
BCABAD
；（2）.
?
ADEACB, ???
CDAD
DEAEAC
ABC
为等腰直角三角形，且AEDF为矩形，
?OM
为
RtAMD
斜边的中线，
OM?
形.
1 1
AD?EF,
?MEF
为直角三角形.又可证
BMF?AME
，得
MF?ME
，故
MEF
为等腰直角三角
22
111
EFEFFDBF111
??
，证略.
????1,???.
（2）
S
ABD
S
BCD
S
EBD
ABCDBDBDABCDE F
4．（1）成立，
3.2 三角形
3．2．1 三角形的“四心”
三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.

图3.2-1 图3.2-2
图3.2-3
如图3.2-1 ，在三角形
ABC
中，有三条边
AB,BC,CA
，三个角
A,B,C
，三个顶 点
A,B,C
，在三
角形中，角平分线、中线、高（如图3.2-2）是三角形中的三 种重要线段.
三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重 心在三角形的内部，恰好是
每条中线的三等分点.
例1 求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.
已知 D、E、F分别为
ABC
三边BC、CA、AB的中点，
求证 AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1.
证明 连结DE，设AD、BE交于点G，
1
AB
， D、E分别为BC、AE的中点，则DEAB，且
DE
2
GDE
∽
GAB
，且相似比为1：2，
AG2GD,BG2GE
.
2G'D,CG'2G'F.

图3.2-4
设AD、CF交于点
G'
，同理可得，
AG'
则
G
与
G'
重合，
AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成
2:1
.
三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三
角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.（如图3.2-5）

例2 已知
ABC
的三边长分别为
BCa,ACb,ABc
，I 为
图3.2-5
ABC
的内心，且I在
ABC
的边
BC、 AC、AB
上的射影分别为

４４

学 海 无 涯
ca
.
2
证明 作
ABC
的内切圆，则
D、E、F
分别为内切圆在三边上的切点，
D、E、F
，求证：
AEAF
b
AE,AF
为圆的从同一点作的两条 切线，
AEAF
，
图3.2-6
同理，BD=BF，CD=CE.
bcaAFBFAE
AFAE2AF2AE
CEBDCD

ca
.
2
例3若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形.
已知 O为三角形ABC的重心和内心.
求证 三角形ABC为等边三角形.
证明 如图，连AO并延长交BC于D.
O为三角形的内心，故AD平分
BAC
，
ABBD
（角平分线性质定理）
图3.2-7
ACDC
O为三角形的重心，D为BC的中点，即BD=DC.
AB
1
，即
ABAC
.
AC
同理可得，AB=BC.
ABC
为等边三角形.
三角形的三 条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内
部，直角三角形 的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.（如图3.2-8）
即
AEAF
b
图3.2-8
. 例4 求证：三角形的三条高交于一点

图3.2-9
已知
ABC
中，
ADBC于D,BEAC于E，
AD与BE交于H点.
求证
CHAB
.
证明 以CH为直径作圆，
ADBC,BEAC,HDCHEC90
o
,

D、E
在以CH为直径的圆上，
FCBDEH
.
同理，E、D在以AB为直径的圆上，可得
BED
BCHBAD
，
又
ABD
与
CBF
有公共角
B
，

BAD
.
90
o
，即
CH
CFBADB
４５
AB
.

过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形ABC 的外接圆，圆心O为三角形的外心.

学 海 无 涯
三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.
练习1
1．求证：若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形.
2． （1） 若三角 形ABC的面积为S，且三边长分别为
a、b、c
，则三角形的内切圆的半径是-
__ _________;
（2）若直角三角形的三边长分别为
a、b、c
（其中
c
为斜边长），则三角形的内切圆的半径是-
___________. 并请说明理由.
3.2.2 几种特殊的三角形
等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、高线）合一. 因而在等腰三角形ABC中，三角形的内心I、
重心G、垂心H必然在一条直线上.
例5 在
ABC
中，
AB?AC?3,BC?2.
求
（1）
AB C
的面积
S
ABC
及
AC
边上的高
BE
；
（2）
ABC
的内切圆的半径
r
；
（3）
ABC
的外接圆的半径
R
.
解 （1）如图，作
AD?BC
于
D
.
图3.2-10
AB?AC,?D
为
BC
的中点，
?AD?AB
2
?BD
2
?22,

1
? S
ABC
??2?22?22.
2
又
S
ABC
?< br>42
1
AC?BE,
解得
BE?
.
3
2< br>（2）如图，
I
为内心，则
I
到三边的距离均为
r
，
连
IA,IB,IC
，


S
ABC
图3.2-11
?S
IAB
?S
IBC
?S
IAC
，
即
22?
解得
r?
111
AB?r?BC?r?CA?r
，
222
2
.
2
图3.2-12
（3）
ABC
是等腰三角形，
?
外心
O
在
AD
上，连
BO
，
则
RtOBD
中，
OD?AD?R,
OB
2
?BD
2
?OD
2
,

?R
2
?(22?R)
2
?1
2
,
解得
R?
92
.

8
在直角三角形ABC中，
A
为直角，垂心为直角顶点A， 外心O为斜边BC的

４６
图3.2-13

学 海 无 涯
bca
中点，内心I在三角形的内部，且内切圆的半径为（其中
a, b,c
分别为三角形的三边BC,CA,AB
2
的长），为什么？
该直角三角形的三边长满足勾股定理：
AC
2
例6 如图，在
AP
2
AB
2
AB
2
BC
2
.
ABC
中，AB=AC，P为BC上任意一点.求证：
PBPC
.
证明：过A作
ADBC
于D.
AB
2
AD
2DP
2
在
RtABD
中，
AD
2
在
R tAPD
中，
AP
2
AP
2
AB
2
BD< br>2
BD
2
.
DP
2
.
AB
2
(BDDP)(BDDP).

图3.2-14
ABAC,ADBC,BDDC
.
BDDP
AP
2
AB< br>2
CDDP
PBPC
.
PC
.
正三角形三条边长 相等，三
个角相等，且四心（内心、
重心、垂心、外心）合一，
该点称为正三角形的中 心.
例7 已知等边三角形
ABC和点P，设点P到三
边AB，AC，BC的距 离分
别为
h
1
,h
2
,h
3
，三角形AB C的高为
h
，
“若点P在一边BC上，此时
h
3
0
，可得结论：
h
1
图3.2-15
h
2
h
3
h
.”
请直接应用以上信息解决下列问题：
当（1）点P在
ABC
内（如图b）， （2）点在
ABC
外(如图c)，这两种情况时，上述结论是否还成
立？若成立，请给 予证明；若不成立，
h
1
,h
2
,h
3
与
h
之间有什么样的关
系，请给出你的猜想（不必证明）.
解 （1）当点P在
ABC
内时，
法一 如图，过P作
B'C'
分别 交
AB,AM,AC
于
B',M',C'
，
由题设知
AM'PDPE
，
而
AM'AMPF
，
故
PD
图3.2-16
PEPFAM
，即
h
1< br>h
2
h
3
h
.
法二 如图，连结，


４７

学 海 无 涯
S
ABC
S
PAB
S
PAC
S
PBC
，
1
BCPF
，
2
h
3
h
.
h
2
h
3
图3.2-17
1
BCAM
2
又
ABBC
1
ABPD
2
AC
，
1ACPE
2
h
2
AMPDPEPF
，即
h
1< br>（2）当点P在
ABC
外如图位置时，
h
1
h
1h
2
h
3
h
.
h
不成立，猜想：
注 意：当点P在
ABC
外的其它位置时，还有可能得到其它的结论，
如
h1
h
2
h
3
h
，
h
1
h2
h
3
h
（如图3.2-18，想一想为什么？）等.
图3.2-18
在解决上述问题时，“法一”中运用了化归的数学思想方法，“法二”中灵活地运用了面积的方法.
练习2
1．直角三角形的三边长为3，4，
x
,则
x
________.
2．等腰三角形有两个内角的和是100°，则它的顶角的大小是_________.
3．满足下列条件的
ABC
，不是直角三角形的是（ ）
A．
b
2
a
2
c
2
B．
CAB

C．
A:B:C3:4:5
D．
a:b:c12:13:5

4．已知直角三角形的周长为
3?3
，斜边上的中线的长为1，求这个三角形的面积.
5．证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为一个常量.
习题3.2
A组
1．已知：在
ABC
中，AB=AC，
?BAC?120o
,AD
为BC边上的高，则下列结论中，正确的是（）
A．
AD?
32
1
AB
B．
AD?AB
C．
AD?BD
D．
AD?BD

22
2
2．三角形三边长分别是6、8、10，那么它最短边上的高为（ ）
A．6 B．4.5 C．2.4 D．8
3．如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于_________.
4．已知：
a,b,c
是
ABC
的三条边，
a?7,b?1 0
，那么
c
的取值范围是_________。
8
，且
a
是整数，则
a
的值是_________。 5．若三角形的三边长分别为
1、a、

B组
1．如图3.2-19，等边
ABC
的周长为12，CD是边AB上的中线，E是
CB延长线上一点，且BD=BE ，则
CDE
的周长为（）
A．
6?43
B．
18?123


４８
图3.2-19

学 海 无 涯
C．
6?23
D．
18?43

2．如图3.2-20，在
ABC
中，
? C??ABC?2?A
，BD是边AC上
的高，求
?DBC
的度数。


3．如图3.2-21，
RtABC,?C?90,M
是AB的 中点，AM=AN，
MNAC，求证：MN=AC。

4．如图3.2-22，在< br>ABC
中，AD平分
?BAC
，AB+BD=AC.求
?B:?C的值。


5．如图3.2-23，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E 为BC上一点，且
1
ECBC
，求证：
EFA90
o
.
4

o
图3.2-20
图3.2-21
图3.2-22
C组
1．已知
k?1,b?2k,a?c?2k
2
,ac?k4
?1
，则以
a、b、c
为边的三角形是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．形状无法确定
2．如 图3.2-24，把
ABC
纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，
则< br>?A
与
?1??2
之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，
你发现的规律是（）
A．
?A??1??2
B．
2?A??1??2

C．
3?A??1??2
D．
3?A?2(?1??2)

3．如图3.2-25，已知BD是等腰三角形AB C底角平分线，且
AB=BC+CD，求证：
C

4．如图3.2-26，在 等腰
RtABC
中
?C?90
，D是斜边AB上任一点，
o
图3.2-23
图3.2-24
90
o
.
图3.2-25
图3.2-26
AE?CD
于E，
BF?CD
交CD的延长线于F ，
CH?AB
于H，交AE于
G.求证：BD=CG.
3.2 三角形
练习1
2Sa?b?c
1．证略 2.（1）；（2）.
a?b?c2
练习2
oo
1．5或
7
2.
20
或
80
3.C
22
4．设 两直角边长为
a,b
，斜边长为2，则
a?b?1?3
，且
a?b? 4
，解得
ab?3
，
?S?
1
ab?23
.
2

5.可利用面积证.

４９

学 海 无 涯
习题3.2
A组
1．B 2. D 3.
120
4.
3?c?17
5.8
o
B组
1．A 2.
18

3．连
BM
，证
MAB?AMN
.
4．在AC上取点E，使
o
AE=AB，则
ABD?AED
， ?B??AED
.又BD=DE=EC，
??C??EDC,??B:?C?2:1.
5．可证
ADFFCE
，因而
?AFD
与
?CFE< br>互余，得
?EFA?90
o
.
C组
1．C．不妨设
a?c
，可得
a?k?1,c?k?1,a?b?c
，为直角三角形.
2．B
3．
22222
在AB上取E使BE=BC，则
BCD?B ED
，且AE=ED=DC，
?C??BED?2?A??A??B?180
o
??C,??C?90
o
.

4．先
证明
ACE?CBF
，得CE=BF，再证
CGE?BDF
，得BD=CG.
3．3圆
3．3．1 直线与圆，圆与圆的位置关系
设有直线
l
和圆心为
O
且半径为
r
的圆，怎样判断直线
l
和圆
O
的位置关 系？


观察图3.3-1，不难发现直线与圆的位置关系为：当圆心到直线的距离< br>d
图3.3-1
当圆心到直线的距离
d
O
与直线
l
1
；
图3.3-2
r
时，直线和圆相离，如圆
直线和圆相 切，如圆
O
与直线
l
2
；当圆心到直线的距离
dr
时，
r
时，直线和圆相交，如圆
O
与直线
l
3
.
在直线与圆相交时，设两个交点分别为A、B.若直线经过圆心，则AB为直径；若直线不经过圆心，< br>如图3.3-2，连结圆心
O
和弦
AB
的中点
M
的线 段
OM
垂直于这条弦
AB
.且在
RtOMA
中，
O A
为圆的
半径
r
，
OM
为圆心到直线的距离
d，
MA
为弦长
AB
的一半，根据勾股定理，有
AB
2
r
2
d
2
()
.
2当直线与圆相切时，如图3.3-3，
PA,PB
为圆
O
的切线，可得< br>PA?PB
，

５０

图3.3-3