高中数学选修2-2公开课优秀教案2.2.1《综合法和分析法》

数学：2.2.1《综合法和分析法》教案
教学目标：
（一）知识与技能：
结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合
法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。
（二）过程与方法:
培养学生的辨析能力和分析问题和解决问题的能力；
（三）情感、态度与价值观：
通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

第一课时 2.2.1 综合法和分析法（一）
教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和 综合法；了
解分析法和综合法的思考过程、特点.
教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.
教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.
教学过程：
一、复习准备：
11
??4
”，试请此结论推广猜想.
aa
111
12
?....??

n
2
） （答案：若
a
1
,a
2
.......a
n
?R< br>?
，且
a
1
?a
2
?....?a
n
?1
，则
?
a
1
a
2
a
n
11 1
2. 已知
a,b,c?R
?
，
a?b?c?1
，求证：
???9
.
abc
先完成证明 → 讨论：证明过程有什么特点？
1. 已知 “若
a
1
,a
2
?R
?
，且
a
1
?a
2
?1
，则
二、讲授新课：
1. 教学例题：
① 出示例1：已知a, b, c是不全相等的正数，求证：a(b
2
+ c
2
) + b(c
2
+ a
2
) + c(a
2
+ b
2
) > 6abc.
分析：运用什么知识来解决？（基本不等式） → 板演证明过程（注意等号的处理）
→ 讨论：证明形式的特点
② 提出综合法 ：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，
最后推导出所要证明的结论成 立.
框图表示： 要点：顺推证法；由因导果.
③ 练习：已知a，b，c是全不相等的正实数，求证
④ 出示例2：在△ABC中，三个内角A、B、C的 对边分别为a、b、c，且A、B、C成等差
数列，a、b、c成等比数列. 求证：为△ABC等边三角形.
分析：从哪些已知，可以得到什么结论？ 如何转化三角形中边角关系？
→ 板演证明过程 → 讨论：证明过程的特点.
→ 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件（内角和）
2. 练习：
①
A,B
为锐角，且
tanA?tanB?
b?c?aa?c?b a?b?c
???3
.
abc
3tanAtanB?
A?B?60
. （提示：算
3
，求证：
tan(A?B)
）
- 1 - 4

② 已知
a?b?c,
求证：
3. 小结：综合法是从已知 的P出发，得到一系列的结论
Q
1
,Q
2,
???
，直到最 后的结论是Q. 运
用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.
三、巩固练习：
1. 求证：对于任意角θ，
cos
4
?
?sin
4
?
?cos2
?
. （教材P
100
练习 1题）
（两人板演 → 订正 → 小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程）
2.
?ABC
的三个内角
A,B,C
成等差数列，求证：
3. 作业：教材P
102
A组 2、3题.

第二课时 2.2.1 综合法和分析法（二）
教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和 综合法；了
解分析法和综合法的思考过程、特点.
教学重点：会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.
教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.
教学过程：
一、复习准备：
1. 提问：基本不等式的形式？
2. 讨论：如何证明基本不等式
二、讲授新课：
1. 教学例题：
① 出示例1：求证
3?5?2?6
.
讨论：能用综合法证明吗？ → 如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？
→ 板演证明过程 （注意格式）
→ 再讨论：能用综合法证明吗？ → 比较：两种证法
② 提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻 找使它成立的充分条件，直至最后，把要证
明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、 定义、公理等）为止.
框图表示：
2
114
??.

a?bb?ca?c
113
.
??
a?bb?ca?b?c
（讨论 → 板演 → 分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）
a?b
?ab(a?0,b?0)
.
2
要点：逆推证法；执果索因.
1
2
2
3
1
3
3
③ 练习：设x > 0，y > 0，证明不等式：
(x?y)?(x?y)
.
先讨论方法 → 分别运用分析法、综合法证明.
④ 出示例2：见教材P
97
. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论出发，逐步反推）
⑤ 出示例3：见教材P
99
. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论与已知出发，逐步探求）
2. 练习：证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，
那 么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大.
ll
，截面积为
?
()< br>2
，周长为l
2
?
2
?
ll
2
l< br>2
l
2
的正方形边长为，截面积为
()
，问题只需证：
?
()
>
()
.
442
?
4
3. 小结：分析法由要证明的结论Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知
P
1
,P
2,
???
，直到
提示：设截面周长为l，则周长为l的圆的半径为
- 2 - 4

所有的已知P都成立；
比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用 综合法进行书写；或者联合使用
分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可 知”（综合），双管齐
下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径 . （框
图示意）
三、巩固练习：
1. 设a, b, c是的△ABC三边 ，S是三角形的面积，求证：
c
2
?a
2
?b
2
? 4ab?43S
.
略证：正弦、余弦定理代入得：
?2abcosC?4ab?23absinC
， < br>即证：
2?cosC?23sinC
，即：
3sinC?cosC?2
，即证：
sin(C?
2. 作业：教材P
100
练习 2、3题.
第三课时 2.2.2 反证法
教学要求：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的 一种基本方法——反证法；了解反证
法的思考过程、特点.
教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程.
教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.
教学过程：
一、复习准备：
1. 讨论：三枚正面朝上的硬币，每次翻转2枚，你能使三枚反面都朝上吗？（原因：偶次）
2. 提出问题： 平面几何中，我们知道这样一个命题：“过在同一直线上的三点A、B、C不
能作圆”. 讨论如何证明这个命题？
3. 给出证法：先假设可以作一个⊙O过A、B、C三点，
则O在AB的中垂线l上，O又在BC的中垂线m上，
即O是l与m的交点。
但 ∵A、B、C共线，∴l∥m(矛盾)
∴ 过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆.
二、讲授新课：
1. 教学反证法概念及步骤：
① 练习：仿照以上方法，证明：如果a>b>0，那么
a?b

② 提出反证法：一般地 ，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明
假设错误，从而证明了原命题成立.
证明基本步骤：假设原命题的结论不成立 → 从假设出发，经推理论证得到矛盾 → 矛盾
的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立
应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已 知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、
定理、事实矛盾等）.
方法实质：反证法是利 用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆
否命题同真假，通过证明一个命题的逆 否命题的正确，从而肯定原命题真实.
注：结合准备题分析以上知识.
2. 教学例题：
- 3 - 4
C
P
B
A
O
D< br>?
6
)?1
（成立）.

① 出示例1：求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.
分析：如何否定结论？ → 如何从假设出发进行推理？ → 得到怎样的矛盾？
与教材不同的证法：反设AB、CD被P平分，∵P不是圆心，连结OP，
则由垂径定理：O P?AB，OP?CD，则过P有两条直线与OP垂直（矛盾），∴不被P
平分.
② 出示例2：求证
3
是无理数. （ 同上分析 → 板演证明，提示：有理数可表示为
mn
）
证：假设
3
是有理数，则不妨设
3?mn
（m,n为互质正整数），
从而：
(mn)
2
?3
，
m
2
?3n2
，可见m是3的倍数.
设m=3p（p是正整数），则
3n
2
?m
2
?9p
2
，可见n 也是3的倍数.
这样，m, n就不是互质的正整数（矛盾）. ∴
3?mn
不可能，∴
3
是无理数.
③ 练习：如果
a?1
为无理数，求证
a
是无理数.
提示：假设
a
为有理数，则
a
可表示为
pq
（
p,q
为整数 ），即
a?pq
.
由
a?1?(p?q)q
，则
a?1
也是有理数，这与已知矛盾. ∴
a
是无理数.
3. 小结：反证法是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论
正确. 注意证明 步骤和适应范围（“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等
特征的问题）
三、巩固练习： 1. 练习：教材P
102
1、2题 2. 作业：教材P
102
A组4题.

- 4 - 4