高中数学一轮视频-高中数学必修1必修2测试题及答案
等比数列的前n项和
( 第一课时)
一. 教材分析。
(1)教材的地位与作用:《等比数列的前n项和》选自《普通高中课程标准数学教科
书·数学
(5),是数列这一章中的一个重要内容,它不仅在现实生活中有着广泛的实际应
用,如储蓄、分期付款
的有关计算等等,而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类
讨论、整体变换和方程等思想方法,都
是学生今后学习和工作中必备的数学素养。
(2)从知识的体系来看:“等比数列的前
n项和”是“等差数列及其前n项和”与“等
比数列”内容的延续、不仅加深对函数思想的理解,也为
以后学数列的求和,数学归纳法
等做好铺垫。
二.学情分析。
(1)学
生的已有的知识结构:掌握了等差数列的概念,等差数列的通项公式和求和公式与
方法,等比数列的概念
与通项公式。
(2)教学对象:高二理科班的学生,学习兴趣比较浓,表现欲较强, 逻辑思维能力也
初步
形成,具有一定的分析问题和解决问题的能力,但由于年龄的原因,思维尽管活跃、敏捷,
却缺乏冷静、深刻,因而片面、不够严谨。
(3)从学生的认知角度来看:学生很容易把本节内容与等
差数列前n项和从公式的形成、
特点等方面进行类比,这是积极因素,应因势利导。不利因素是:本节公
式的推导与等差
数列前n项和公式的推导有着本质的不同,这对学生的思维是一个突破,另外,对于q
= 1
这一特殊情况,学生往往容易忽视,尤其是在后面使用的过程中容易出错。
三.教学目标。
根据教学大纲的要求、本节教材的特点和本班学生的认知规律,本节课的教学目标确
定为: <
br>(1)知识技能目标————理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特
点,在此基
础上,并能初步应用公式解决与之有关的问题。
(2)过程与方法目标——
——通过对公式推导方法的探索与发现,向学生渗透特殊到
一般、类比与转化、分类讨论等数学思想,培
养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维
能力和逆向思维的能力.
(3)情感,态度与价值
观————培养学生勇于探索、敢于创新的精神,从探索中获
得成功的体验,感受数学的奇异美、结构的
对称美、形式的 简洁美。
四.重点,难点分析。
教学重点:公式的推导、公式的特点和公式的运用。
教学难点:公式的推导方法及公式应用中q与1的关系。
五.教法与学法分析.
培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提,是高中新课程改革的
主要任务。
如何培养学生学会学习、学会探究呢?建构主义认为:“知识不是被动吸收的,
而是由认知主体主动建构
的。”这个观点从教学的角度来理解就是:知识不是通过教师传授
得到的,而是学生在一定的情境中,运
用已有的学习经验,并通过与他人(在教师指导和
学习伙伴的帮助下)协作,主动建构而获得的,建构主
义教学模式强调以学生为中心,视
学生为认知的主体,教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。因此
,本节课采用了启
发式和探究式相结合的教学方法,让老师的主导性和学生的主体性有机结合,使学生能
够
愉快地自觉学习,通过学生自己观察、分析、探索等步骤,自己发现解决问题的方法,比
较论
证后得到一般性结论,形成完整的数学模型,再运用所得理论和方法去解决问题。一
句话:
还课堂以生命力,还学生以活力。
六.课堂设计
(一)创设情境,提出问题。(时间设定:3分钟)
[利用投影展示
] <
br>在古印度,有个名叫西萨的人,发明了国际象棋,当时的印度国王大为
赞赏,对他说:我可以满足
你的任何要求。西萨说:请给我棋盘的64个方格上,第一格放
1粒小麦,第二格放2粒,第三格放4粒
,往后每一格都是前一格的两倍,直至第64格。
国王令宫廷数学家计算,结果出来后,国王大吃一惊。为什么呢?
[设计这个情境目的是在
引入课题的同时激发学生的兴趣,调动学习的积极性.故事内容
紧扣本节课的主题与重点]
提出问题1:同学们,你们知道西萨要的是多少粒小麦吗?
引导学生写出麦粒总数
1?2?2?2?L?2
(二)师生互动,探究问题[5分钟]
提出问题2:
1+2+2
2
+2
3
+??????+2
63
究竟等于多少呢?
有学生会说:用计算器来求(老师当然肯定这种做法,但学生很快发现比较难求。)
提出问题
3:同学们,我们来分析一下这个和式有什么特征?(学生会发现,后一项都是
前一项的2倍)
提出问题4:如果我们把每一项都乘以2,就变成了它的后一项,那么我们若在此等式两边
同以2,得
到另一式:
[[利用投影展示
]
2363
...S
64
?1?2?2
2
?2
3
?
L
?2
63.........(1)
2S
64
?2?2?2?2?
L
?2
.......(2)
23464
比较(1)(2)两式,你有什么发现?(学生经
过比较发现:(1)、(2)两式有许多相同
的项)
提出问题5:将两式相减,相同的项就消
去了,得到什么呢?。(学生会发现:
S
64
?2
64
?1
[这五个问题的设计意图:层层深入,剖析了错位相减法中减的妙用,使学生容易接受为什
么要
错位相减,经过繁难的计算之苦后,突然发现上述解法,也让学生感受到这种方法
的神奇]
这时,老师向同学们介绍错位相减法,并
提出问题6:同学们反思一下我们错位相减法求此题的过程,为什
么(1)式两边要同乘以2呢?
[这个问题的设计意图:让学生对错位相减法有一个深刻的认
识,也为探究等比数列求和公
式的推导做好铺垫]
(三)类比联想,解决问题。[时间设定:10分钟]
提出问题7
:
设等比数列
?
a
n
?
的首项为a
1
,公
比为q,求它的前项和S
n
即 S
n
?a
1
?a
2
?a
3
?L?a
n
学生开展合作学习,讨论交流,老师巡视课堂,发现有典型解法
的,叫同学板书在黑板上。
[设计意图:从特殊到一般,从模仿到创新,有利于学生的知识迁移和能力提高,让学生在探
索过程中,
充分感受到成功的情感体验]
(四)分析比较,开拓思维。[时间设定:5分钟]
将不同的的方法进行分析评价。根据学生的认识状况,可能有如下几种方法:
等比数列
{a
n
}
,公比为
q
,它的前
n
项和
错
位相减法1:
错位相减法2
提出公比q
累加法
S
n
?a
1
?
a
1
q
?
a
1
q
2
?
?
?
a
1
q
n?2
?
a
1
q
n?1
n
?1
n
a
1
q
?
a
1
q
2
?
?
?
a
1
q
n?2
aq
aq
?
1
?
1
qS
n
?
?(1?q)S
n?a
1
?a
1
q
n
等比数列
{a
n<
br>}
,公比为
q
,它的前
n
项和
??
S
n
?a
1
?
a
2
?
a
3
??
?
a
n?1
?
a
n
qS
n
?
a
2
?
a
3
?
?
?
a
n?1
?
a
n
?
a
n
q
?(1?q)S<
br>n
?a
1
?a
n
q
等比数列
{a
n
}
,公比为
q
,它的前
n
项和
S
n
?a
1
?a
2
?a
3
????a
n?1
?a
n
S
n
?a
1
?a
1
q?a
1
q
2
???a
1
q
n?2
?a
1
q
n?1
??
?a
1
?q(a
1
?a
1
q???a
1
q
n?3
?a
1
q
n?2<
br>)
?a
1
?q
(
S
n
?a
1
q
n?1
)
?(1?q)S
n
?a
1
?a
1
q
n
a
n
}
等比数列
{
?
,
公比为
q
,它的前
n
项和
?
S
n
?a1
?a
2
?a
3
????a
n?1
?a
n
?a
2
?a
1
q
a
3
?a
2
q
a
4
?a
3
q
?
?
a
n
?a
n?1
q
?a
2
?a
3
???a<
br>n
?q(a
1
?a
2
?a
3
???a
n?1
)
?S
n
?a
1
?q(S
n
?a
n
)
?(1?q)S
n
?a
1
?a
nq
可能也有同学会想到由等比定理得
S
n
?a
1
?a
2
?a
3
?L
?a
n
a
n
a
2
a
3
Q<
br>??
L
??q
a
1
a
2
a
n?1<
br>?
a
2
?a
3
?
L
?a
n
?q
a
1
?a
2
?
L
?a
n?1
S
n
?a
1
即 ?q
S
n
?a
n
?(1?q)S
n
?a
1
?a
n
q
LL
【设计意图:共享学习成果,开拓了思维,感受数学的奇异美】
(五).归纳提炼,构建新知。[时间设定:3分钟]
a
1
-a
1
q
n
提出问题8:由
(1-q)s
n
=a
1
-a
1
q
得
s
n
=
对不对?这里的
q<
br>能不能等于1?等比数列中的公比能
1-q
n
不能为1?
q?1
时是什么数列?此时
S
n
?
?
【设计意图:通过反问精讲,一方
面使学生加深对知识的认识,完善知识结构,增强思维
的严谨性】
.
提出问题9:
等比数列的前n项和公式怎样?
?
a
1(1?q
n
)
?
a
1
?a
n
q
,q?1
,q?1
??
?S
n
?
?
1?q
学生归纳出
S
n
?
?
1?q
?
na,
q?1
?
?
na
1
,q?1
?
1
【设计意
图:向学生渗透分类讨论数学思想,加深对公式特征的了解】
(六)层层深入,掌握新知。[时间设定:15分钟]
基础练习1已知
?
a
n
?
是等比数列,公比为q
21
(1)若a
1
=,q=,则S
n
?
33
(2).则a1
?2,q?1,则S
n
?
练习2 判断是非
(1)
.1-2+4-8+16-
L
+
?
-2
?
23n
n
1?(1?2
n
)
?
1?(?2)
1?(1?2
n
)
(2).1?2?2?2?
L
?2?
1?2
a(1?a<
br>8
)
238
(3).a?a?a?
L
?a?
1?a<
br>
【设计意图:通过两道简单题来剖析公式中的基本量.进行正反两方面的“短、浅、快”
练
习.通过总结、辨析和反思,强化公式的结构特征.】
例1
已知数列
?
a
n
?
是等比数列,完成下表
题号
a
1
q n
8
a
n
8
-96
Sn
-63
(1) 12
12
(2) 27
(3)
23
-2
【设计意图:渗透方
程思想.通过公式的正用和逆用进一步提高学生运用知识的能力.掌握公
式中”知三求二”的题型】 <
br>练习3:求等比数列
1
,
1
,
1
,
1
, ???
前8项和;
24816
63
变式
1、等比数列
1
,
1
,
1
,
1
,
???
前多少项的和是;
24816
64
变式2、等比数列
1
,
1
,
1
,
1
,
???
求第5项到第10项的和;
24816
a
2
,a
3
,
???a
n
,L
求前2n项中所有偶数项的和。 变式3、等比数列
a,<
br>(先由学生独立求解,然后抽学生板演,教师巡视、指导,讲评学生完成情况,寻找学生
中的闪光
点,给予热情表扬。)
【设计意图:变式训练,深化认识,增加思维的梯度的同时,提高学
生的模式识别能力,渗
透转化思想
】.
练习4 有一位大学生毕业后到一家私营企
业去工作,试用期过后,老板对这位大学生
很欣赏,有意留下他,就让这位大学生提出待遇方面的要求,
这位学生提出了两种方案让
老板选择,其一:工作一年,月薪五千元;其二:工作一年,第一个月的工资
为20元,以
后每个月的工资是上月工资的2倍,此时,老板不假思索就选择
了第二种方案,于是他们
之间就订了一个劳动待遇合同。请你分析一下,老板的选择是否正确?
【设计意图:让学生进一步认识到数学来源于生活并应用于生活,生活中处处有数学.】
(七)总结归纳,加深理解。[时间设定:2分钟]
(1)等比数列的求和公式是什么?应用时要注意什么?
(2)用什么方法可以推导了等比数列的求和公式?
【设计意图:形成知识模块,从知识的归纳延伸到思想方法的提炼,优化学生的认知结构】
(八)课后作业,巩固提高。[时间设定:1分钟]
必做:(1)
P66练习1
研究性作业:请上网查阅“芝诺悖论”
选做:求和:
1?2?2?2
2
?3?2
3
?4?2
4<
br>?L?n?2
n
【设计意图:为了使所有学生巩固所学知识,布置了“必做题
”;“选做题”又为学有余力
者留有自由发展的空间,布置了“探究题”以利于学生开展研究性学习,拓
展学生的视野
.】
七、教学反思:
本节课立足课本,着力挖掘,设计合
理,层次分明。充分体现以学生发展为本,培养
学生的观察、概括和探究能力,遵循学生的认知规律,体
现理论联系实际、循序渐进和因
材施教的教学原则,通过问题情境的创设,激发兴趣,使学生在问题解决
的探索过程中,
由学会走向会学,由被动答题走向主动探究。在教学思想上既注重知识形成过程的教学,
还特别突出学生学习方法的指导,探究能力的训练,引导学生发现数学的美,体验求知的
乐趣。
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