高中数学教学新课标-章敏毅 高中数学
.
数列教案
一、数列的概念
(1)数列定义:按一定次序排列的一列数叫做数列;
数列中的每个数都叫这个数列的项。记
作
a
n
,在数列第一个位置的项叫第1项(或首项),在第二个位
置的叫第2
项,……,序号为
n
的项叫第
n
项(也叫通项)记作
a
n
;
数列的一般形式:
a
1
,
a
2
,
a
3
,……,a
n
,……,简记作
?
a
n
?
。
例:判断下列各组元素能否构成数列
(1)a, -3, -1, 1, b, 5, 7,
9;
(2)2010年各省参加高考的考生人数。
(2)通项公式的定义:如果
数列
{a
n
}
的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就
叫这个数列的通项公式。
例如:①:1 ,2 ,3 ,4, 5 ,…
②:
1,,,,
…
数列①的通项公式是
a
n
=
n
(
n
?
7,
n?N
?
),
数列②的通项公式是
a
n
=
说明:
①
?
a
n
?
表示数列,
a
n
表示数列中的第
n
项,
a
n
=
f
?
n
?
表示数列的通项公式;
1111
2345
1
(
n?N
?
)。
n
?
?1,n?2k?1
②
同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如,
a
n
=
(?1)
=
?
(k?Z)
;
?1,n?2k
?
n
③不是每个数列都有通项公式。例如,1,1.4,1.41,1.414,……
(3)数列的函数特征与图象表示:
序号:1 2 3 4 5
6
项 :4 5 6 7 8 9
上面每一项序号与这
一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看,数列
实质上是定义域为正整
数集
N
?
(或它的有限子集)的函数
f(n)
当自变量
n<
br>从1开始依次取值时对应的一系列
函数值
f(1),f(2),f(3),
……
,
f(n)
,…….通常用
a
n
来代替
f
?
n
?
,其图象是一群孤立点。
例:画出数列
a
n
?2n?1
的图像.
(4)
数列分类:①按数列项数是有限还是无限分:有穷数列和无穷数列;②按数列项与项之间的大小关
系分:
单调数列(递增数列、递减数列)、常数列和摆动数列。
例:下列的数列,哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列?
(1)1,2,3,4,5,6,… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5,
…
(3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, … (4)a, a, a,
a, a,…
(n?1)
?
S
1
(5)数列{
a
n
}的前
n
项和
S
n
与通项
a
n
的关系:
a
n
?
?
?
S
n<
br>?S
n?1
(n≥2)
例:已知数列
{a
n
}
的前n项和
s
n
?2n?3
,求数列
{a
n
}<
br>的通项公式
练习:
1.根据数列前4项,写出它的通项公式:
(1)1,3,5,7……;
2
.
2
2
?13
2
?14
2
?15
2
?1
(2),,,;
2345
1111
(3)
?
,,
?
,。
1*22*33*44*5
(4)9,99,999,9999…
(5)7,77,777,7777,…
(6)8, 88, 888, 8888…
n
2
?n?1
(n?N
?
)
2.数列
?
a
n
?
中,已知
a
n
?
3
(1)
写出
a
1,
,
a
2
,
a
3
,a
n?1
,
a
n
2
;
(2)
79
2
是否是数列中的项?若是,是第几项?
3
3.(2003京春理14,文15)在某报《自测健康状况》的报道中,自测血压结果与相
应年龄的统计数据如下表.
观察表中数据的特点,用适当的数填入表中空白(_____)内。
4、由前几项猜想通项:
根据下面的图形及相应的点数,在空格及括号中分别填上适当的图形和数,写出点数的通项公式.
(1)
(4)
(7)
(
)
( )
5.观察下列各图,并阅读下面的文字,像这样,10条直线相交,交点的个数最多是(
),其通项公式
为 .
A.40个 B.45个
C.50个 D.55个
2条直线相
交,最多有1
个交点
3条直线相
交,最多有3
个交点
4条直线相
交,最多有6
个交点
二、等差数列
题型一、等差数列
定义:一般地,如果一个数列从第
2
项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这<
br>个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母
d
表示。用递推公
式表示为
a
n
?a
n?1
?d(n?2)
或
an?1
?a
n
?d(n?1)
。
.
例:等差数列
a
n
?2n?1
,
a
n
?a
n?1
?
题型二、等差数列的通项公式:
a<
br>n
?a
1
?(n?1)d
;
说明:等差数列(通常可称为<
br>AP
数列)的单调性:
d
?0
为递增数列,
d?0
为
常数列,
d?0
为递减数列。
例:1.已知等差数列
?
a
n
?
中,
a
7
?a
9
?16,a
4?1,则a
12
等于( )
A.15 B.30 C.31
D.64
2.
{a
n
}
是首项
a
1
?1
,公差
d?3
的等差数列,如果
a
n
?2005
,
则序号
n
等于
(A)667 (B)668 (C)669
(D)670
3.等差数列
a
n
?2n?1,b
n<
br>??2n?1
,则
a
n
为
b
n
为 (填“递增数列”或
“递减数列”)
题型三、等差中项的概念:
定义:如果
a
,
A
,
b
成等差数列,那么
A
叫做
a
与
b
的等差中项。其
中
A?
a?b
2
a
,A
,
b
成等差数列
?
A?
a?b
2
即:
2a
n?1
?a
n
?a
n?2
(
2a
n
?a
n?m
?a
n?m
)
例:
1.(06全国I)设
?
a
n
?
是公差为正数的等差数列,若
a
1
?a
2
?a
3
?15
,
a
1
a
2
a
3
?80
,则
a
11
?
a
21
?
31
a?
A.
120
B.
105
C.
90
D.
75
2.设数列
{a
n
}
是单调递增的等差
数列,前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是( )
A.1 B.2
C.4 D.8
题型四、等差数列的性质:
(1)在等差数列
?
a
n
?
中,从第2项起,每一项是它相邻二项的等差中项;
(2
)在等差数列
?
a
n
?
中,相隔等距离的项组成的数列是等差数列;
(3)在等差数列
?
a
a
n
?a
m
n?
中,对任意
m
,
n?N
?
,
a
n<
br>?a
m
?(n?m)d
,
d?
n?m
(m?n);
(4)在等差数列
?
a
n
?
中,若
m,
n
,
p
,
q?N
?
且
m?n?p?
q
,则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
;
题型五、等差数列的前
n
和的求和公式:
S
n(a1
?a
n
)
n(n?1)
1
n
?
2<
br>?na
1
?
2
d
?
2
n
2
?(a?
d
1
2
)n
。
(
S
n
?
An
2
?Bn(A,B为常数)
?
?
a
n
?
是等差数列 )
递推公式:
S
(a
1
?a
n
)
n
(a
m
?a
n?(m?1)
)
n
?
2<
br>?
n
2
例:1.如果等差数列
?
a
n
?
中,
a
3
?a
4
?a
5
?12
,那么
a
1
?a
2
?...?a
7
?
(A)14 (B)21
(C)28 (D)35
2.(2009湖南卷文)设
S<
br>n
是等差数列
?
a
n
?
的前n项和,已知
a
2
?3
,
a
6
?11
,则
S
7<
br>等于( )
A.13 B.35
C.49 D. 63
3.(2009全国卷Ⅰ理) 设
等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
,若
S
9
?72
,则
a
2
?a
4
?a
9
=
) (
.
4.(2010重庆文)(2)在等差数列
?
a
n
?
中,
a
1
?a
9
?10
,则
a
5
的值为( )
(A)5 (B)6
(C)8 (D)10
5.若一个等差数列前3项的和为34,最后3项
的和为146,且所有项的和为390,则这个数列有( )
A.13项 B.12项
C.11项 D.10项
6.已知等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
,若
S
12
?21,
则a
2
?a
5
?a
8
?a
11
?
7.(2009全国卷Ⅱ理)设等差数列
?
a
n
?
的前n
项和为
S
n
,若
a
5
?5a
3则
8.(98全国)已知数列{
b
n
}是等差数列,
b
1
=1,
b
1
+
b
2
+…+
b
1
0
=100.
(Ⅰ)求数列{
b
n
}的通项
b
n
;
9.已知
?
a
n
?
数列是等差数列,
a
1
0
?10
,其前10项的和
S
10
?70
,则其公差
d
等于( )
S
9
?
S
5
A.?
2
3
B.?
1
12
C. D.
3
3
3
10.(2009陕西卷文)设等差数列
?
a
n
?
的前n项和为
s
n
,若
a
6?s
3
?12
,则
a
n
?
S
n
}
n
11.(00全国)设{
a
n
}
为等差数列,
S
n
为数列{
a
n
}的前
n
项和,已知
S
7
=7,
S
15
=75,
T
n
为数列{
的前
n
项和,求
T
n
。
,a
20
?50
12.等差数
列
?
a
n
?
的前
n
项和记为
S
n
,已知
a
10
?30
①求通项
a
n
;②若
S
n
=242,求
n
13.在等差数列
{a
n
}
中,(
1)已知
S
8
?48,S
12
?168,求a
1
和
d
;(2)已知
a
6
?10,S
5
?5,求a
8<
br>和S
8
;(3)
已知
a
3
?a
15
?40,求S
17
题型六.对于一个等差数列:
.
S
奇
a
?
n
;
S
偶
a
n?1
S
n
(2)若项数为奇数,设共有
2n?1
项,则①
S
奇
?
S
偶
?a
n
?a
中
;②<
br>奇
?
。
S
偶
n?1
(1)若项数为偶数,设共有
2n
项,则①
S
偶
?
S
奇
?nd
; ②
题型七.对与一个等差数列,
S
n
,S
2n?S
n
,S
3n
?S
2n
仍成等差数列。
例
:1.等差数列{
a
n
}的前
m
项和为30,前2
m
项和为100,则它的前3
m
项和为( )
A.130
B.170 C.210 D.260
2.一个等差数列前
n<
br>项的和为48,前2
n
项的和为60,则前3
n
项的和为
。
3.已知等差数列
?
a
n
?
的前10项和为100,前
100项和为10,则前110项和为
4.设
S
n
为等
差数列
?
a
n
?
的前
n
项和,
S
4
?14,S
10
?S
7
?30,则S
9
=
5.(06全国II)设
S
n
是等差数列{
a
n
}
的前
n
项和,若
S
3
1
S
=,则
6
=
S
6
3
S
12
D.A.
11
3
B. C.
38
10
1
9
题型八.判断或证明一个数列是等差数列的方法:
①定义法:
a
n?1
?a
n
?d(常数)(n?N
?
)
?
?<
br>a
n
?
是等差数列
②中项法:
2a
n?1
?a
n
?a
n?2
③通项公式法: <
br>(n?N
?
)
?
?
a
n
?
是等差数
列
a
n
?kn?b(k,b为常数)
?
?
a
n<
br>?
是等差数列
④前
n
项和公式法:
S
n
?An
2
?Bn(A,B为常数)
?
?
a
n
?是等差数列
例:1.已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
?a
n?1
?2
,则数列
{a
n
}
为 ( )
A.等差数列
B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断
2.已知数列
{a
n
}
的通项为
a
n
?2n?5<
br>,则数列
{a
n
}
为 ( )
A.等差数列
B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断
3.已知一个数列<
br>{a
n
}
的前n项和
s
n
?2n?4
,则数
列
{a
n
}
为( )
A.等差数列 B.等比数列
C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断
4.已知一个数列
{a
n
}
的前n项和
s
n
?2n
,则数列
{a
n
}
为( )
A.等差数列 B.等比数列
C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断
5.已知一个数列
{a
n
}
满足
a
n?2
?2a
n?1
?a
n?0
,则数列
{a
n
}
为( )
A.等差数列
B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断
2
2
.
6.数列
?
a
n
?
满足
a
1
=8,
a
4
?2,且a
n?2
?2a
n?1
?a
n
?0
(
n?N
?
)
①求数列
?
a
n
?
的通项公式;
2
7.(01天津理,2)设
S
n
是数列{
a
n
}的前
n
项和,且
S
n<
br>=
n
,则{
a
n
}是( )
A.等比数列,但不是等差数列 B.等差数列,但不是等比数列
C.等差数列,而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列
题型九.数列最值
(1)
a
1
?0
,
d?0
时,
S
n
有最大值;
a
1
?0<
br>,
d?0
时,
S
n
有最小值;
(2)
S<
br>n
最值的求法:①若已知
S
n
,
S
n
的最值
可求二次函数
S
n
?an
2
?bn
的最值;
可用
二次函数最值的求法(
n?N
?
);②或者求出
?
a
n?
中的正、负分界项,即:
?
a
n
?0
?
a
n
?0
若已知
a
n
,则
S
n
最值
时
n
的值(
n?N
?
)可如下确定
?
或
?
。
a?0a?0
?
n?1
?
n?1
例:
1.等差数列
?
a
n
?
中,
a
1
?0,S
9
?S
12
,则前 项的和最大。
2.设等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
,已知
a
3
?12,S
12
?0,S
13
?0
①求出公差
d
的范围,
②指出
S
1
,S
2
,?,S
12
中哪一个值最大,并说明理由。
*
3.(02上海)设{
a
n<
br>}(
n
∈N)是等差数列,
S
n
是其前
n
项
的和,且
S
5
<
S
6
,
S
6
=<
br>S
7
>
S
8
,则下列结论错误的
..
是(
)
A.d<0 B.a
7
=0
C.S
9
>S
5
4.已知数列
?
a
n
?
的通项
D.S<
br>6
与
?
S
7
均为S
n
的最大值
n
?98
n?99
(
n?N
),则数列
?
a
n
?
的前30项中最大项和最小项分别是
.
5.已知
{a
n
}
是等差数列,其中
a
1
?31
,公差
d??8
。
(1)数列
{a
n
}
从哪一项开始小于0?
(2)求数列
{a
n
}
前
n
项和的最大值,并求出对应
n
的值.
6.已知
{a
n
}
是各项不为零的等差数列,
其中
a
1
?0
,公差
d?0
,若
S
10<
br>?0
,求数列
{a
n
}
前
n
项和的最大值.
7.在等差数列
{a
n
}
中,
a
1?25
,
S
17
?S
9
,求
S
n的最大值.
题型十.利用
a
n?
?
(n?1)
?
S
1
求通项.
?
S
n
?S
n?1
(n?2)
1.数列
{a
n
}
的前
n
项和
S
n
?n
2
?1
.(1)试写出数列的前5项;(2)数列
{a
n
}
是等差数列吗?(3)你
能写出数
列
{a
n
}
的通项公式吗?
2.已知
数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n<
br>?n
2
?4n?1
则
,
3.(2005湖北卷)设数列
{a
n
}
的前
n项和为S
n
=2n,求数列
{a
n
}
的通项公式;
2
4.已知数列
?
a
n
?
中,
a
1
?3,
前
n
和
S
n
?
①求证
:数列
?
a
n
?
是等差数列
②求数列
?
a
n
?
的通项公式
5.(2010安
徽文)设数列
{a
n
}
的前n项和
S
n
?n
2
,则
a
8
的值为( )
(A) 15
(B) 16 (C) 49 (D)64
1
(n?1)(a
n
?1)?1
2
.
等比数列
等比数列定义
一般地,如果一个
数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数
......<
br>列,这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母
q
表示
(q?0)
,即:
a
n?1
:
a
n
?q(q?0)
。
一、递推关系与通项公式
递推关系:a
n?1
?a
n<
br>q
通项公式:a
n
?a
1
?q
n?1
推广:a
n
?a
m
?q
n?m
1. 在等比数列<
br>?
a
n
?
中,
a
1
?4,q?2
,
则
a
n
?
2. 在等比数列
?
a
n
?
中,
a
7
?12,q?
3
2
,则
a
19
?_____.
3.(07重庆文)在等比数
列{
a
n
}中,
a
2
=8,
a
1
=64,,则公比q为( )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)8
4
.在等比数列
?
a
n
?
中,
a
2
??2<
br>,
a
5
?54
,则
a
8
=
5.在各项都为正数的等比数列
{a
n
}
中,首项
a
1
?3
,前三项和为21,则
a
3
?a
4?a
5
?
( )
A 33 B 72 C
84 D 189
二、等比中项:若三个数
a,b,c
成等比
数列,则称
b
为
a与c
的等比中项,且为
b??ac,注:b?ac
是成等
比数列的必要而不充分条件.
例:1.
2?3
和
2?3
的等比中项为( )
2
(A)1
(B)?1
(C)?1
(D)2
2.(2009重
庆卷文)设
?
a
n
?
是公差不为0的等差数列,
a
1
?2
且
a
1
,a
3
,a
6
成等
比数列,则
?
a
n
?
的前
n
项
和
S
n
=( )
n
2
7nn
2
5nn
2
3n
??
C.
?
A. B.
443324
三、等比数列的基本性质,
D.
n?n
2
1.(1)
若m?n?p?q,则a
m
?a
n
?a
p
?a
q
(其中m,n,p,q?
N)
(2)
q
n?m
?
?
a
n
2
,a
n
?a
n?m
?a
n?m
(n?N
?
)
a
m
(3)
?
a
n
?为等比数列,则下标成等差数列的对应项成等比数列.
(4)
?
a
n<
br>?
既是等差数列又是等比数列
?
?
a
n
?
是
各项不为零的常数列.
例:1.在等比数列
?
a
n
?
中,
a
1
和
a
10
是方程
2x?5x?1?0
的两个根,则
a
4
?a
7
?
( )
2
.
511
2
(A)?
(B)
(C)?
(D)
222
2
2. 在等比数列
?
a
n
?
,已知
a
1
?5
,
a
9
a<
br>10
?100
,则
a
18
= <
br>3.在等比数列
?
a
n
?
中,
a
1
?a
6
?33,a
3
a
4
?32,a
n
?
a
n?1
①求
a
n
②若
T
n
?lga
1
?lga
2
???lga
n
,求Tn
4.等比数列
{a<
br>n
}
的各项为正数,且
a
5
a
6
?a
4
a
7
?18,则log
3
a
1
?log
3
a
2
?
A.12 B.10
C.8 D.2+
log
3
5
?log
3
a
10
?
( )
{a}
a?0,n?1,2,
5.(2009广东卷理)已知等比数列
n
满足
n
2n
a?a?2(n?3)
,则当
n?1
时,
52n?5
,且
log
2
a
1
?log2
a
3
??log
2
a
2n?1
?
( )
22
2
n(2n?1)
(n?1)(n?1)
n
A.
B. C. D.
2.前
n
项和公式
(q?1)
?
na
1
?
S
n
?
?
a
1
(1?q
n
)<
br>a
1
?a
n
q
?
?
1?q1?q
?
(q?1)
例:1.已知等比数列
{a
n
}
的首
相
a
1
?5
,公比
q?2
,则其前n项和
S
n
?
2.已知等比数列
{a
n
}
的首相
a
1
?5
,公比
q?
和
S
n
?
3.设等比数列
{a
n
}的前n项和为
S
n
,已
a
2
?6,
6a
1
?a
3
?30
,求
a
n
和
S
n
4.(2006年北京卷)设
f(n)?2?2?2?2?
A.
1
,当项数n趋近与无穷大时,其前n项
2
2
n
(8?1)
7
?2
3n?10
(n?N)
,则
f(n)
等于(
)
2
n?1
2
n?3
2
n?4
B.
(8
?1)
C.
(8?1)
D.
(8?1)
<
br>777
4710
5.(1996全国文,21)设等比数列{
a
n}的前
n
项和为
S
n
,若
S
3
+S
6
=2
S
9
,求数列的公比
q
;
6.设等比数列
{a
n
}
的公比为q,前n项和为Sn
,若S
n+1
,S
n
,S
n+2
成等差数列
,则q
的值为 .
.
3.若数列
?
a
n
?
是等比数列,
S
n<
br>是其前n项的和,
k?N
*
,那么
S
k
,
S
2k
?S
k
,
S
3k
?S
2k
成
等比数列.
如下图所示:
S
3k
??????????????????
???????
a
1
?a
2
?a
3
?
?<
br>?a
k
?a
k?1
?
?
?a
2k
?
a
2k?1
?
?
?a
3k
??????????
?????????????
S
k
S
2k
?S
k
S
3k
?S
2k
S
9
S
6
S
aS<
br>S
例:1.(2009辽宁卷理)设等比数列{
n
}的前n
项和为
n
,若
3
=3 ,则
6
=
78
A. 2 B.
3
C.
3
D.3
2.一个等比数列前
n
项的和为48,
前2
n
项的和为60,则前3
n
项的和为( )
A.83
B.108 C.75 D.63
3.已知数列
?
a
n
?
是等比数列,且
S
m
?10,S
2m
?30,则
S
3m
?
4.等比数列的判定法
(1)定义法:
a
n?1
?q(常数)?
?
a
n
?
为等比数列;
a
n
2
(2)中项法:
a
n?1<
br>?a
n
?a
n?2
(a
n
?0)?
?
a
n
?
为等比数列;
(3)通项公式法:
a
n
?k?q
n
(k,q为常数)?
?
a
n
?
为等比
数列;
(4)前
n
项和法:
S
n
?k(1?q
n
)(k,q为常数)?
?
a
n
?
为等比数列。
S
n
?k?kq
n
(k,q为常数)?
?
a
n<
br>?
为等比数列。
例:1.已知数列
{a
n
}
的通项
为
a
n
?2
n
,则数列
{a
n
}
为 ( )
A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列
D.无法判断
2.已知数列
{a
n
}
满足
a
n?
1
?a
n
?a
n?2
2
(a
n
?0),则数列
{a
n
}
为 ( )
A.等差数列
B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断
3.已知一个数列<
br>{a
n
}
的前n项和
s
n
?2?2
n?1<
br>,则数列
{a
n
}
为( )
A.等差数列
B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断
(n?1)
?
S
1
5.利用
a
n
?
?
求通项.
S?S(n?2)
n?1
?
n
例:1.(2005北京卷)数列{
a
n
}的前
n
项和为<
br>S
n
,且
a
1
=1,
a
n?1
?<
br>的值及数列{
a
n
}的通项公式.
1
Sn
,
n
=1,2,3,……,求
a
2
,
a3
,
a
4
3
.
2.(2005山东卷
)已知数列
?
a
n
?
的首项
a
1
?5,<
br>前
n
项和为
S
n
,且
S
n?1
?S
n
?n?5(n?N
*
)
,证明数
列
?
a
n
?1
?
是等比数列.
四、求数列通项公式方法
(1).公式法(定义法)
根据等差数列、等比数列的定义求通项
例:1已知等差数列
{a
n
}
满足:
a
3
?7,a
5
?a
7
?26<
br>, 求
a
n
;
2.已知
数列
{a
n
}
满足
a
1
?2,a
n
?a
n?1
?1(n?1)
,求数列
{a
n
}
的
通项公式;
3.数列
?
a
n<
br>?
满足
a
1
=8,
a
4
?2,且a
n?2
?2a
n?1
?a
n
?0
(
n?N
),求数列
?
a
n
?
的通项公式;
?
4.
已知数列
{a
n
}
满足
a
1
?2,
5.
设数列
{a
n
}
满足
a
1
?0
且
6.
已知数列
{a
n
}
满足
a
n?1
?
1
a
n?1
?
1
?2
,求数列
?
a<
br>n
?
的通项公式;
a
n
11
??1
,求<
br>{a
n
}
的通项公式
1?a
n?1
1?a
n
2a
n
,a
1
?1
,求数列
{a
n}
的通项公式。
a
n
?2
.
7. 等比数列
{a
n
}
的各项均
为正数,且
2a
1
?3a
2
?1
,
a
3<
br>?9a
2
a
6
,求数列
{a
n
}
的
通项公式
8. 已知数列
{a
n
}
满足
a
1
?2,a
n
?3a
n?1
(
n?1)
,求数列
{a
n
}
的通项公式;
9. 已知数列
{a
n
}
满足
a1
?2,a
2
?4且a
n?2
?a
n
?an?1
(
n?N
),求数列
?
a
n
?
的通项公式;
2
?
2
?
10. 已知
数列
{a
n
}
满足
a
1
?2,
且
a
n?1
?5
n?1
?2(a
n
?5
n
)
(
n?N
),求数列
?
a
n
?
的通项公式
;
?
11. 已知数列
{a
n
}
满足
a
1
?2,
且
a
n?1
?
5?2
n?1
?2?3(a
n
?5?2
n
?2)
(
n?N
),求数列
?
a
n
?
的通项公
式;
12.数列已知数列
?
an
?
满足
a
1
?
1
,a
n
?4an?1
?1(n?1).
则数列
?
a
n
?
的通
项公式=
2
.
(2)累加法
1、累加法
适用于:
a
n?1
?a
n
?f(n)
a
2
?a
1
?f(1)
若
a
n?1
?a
n
?f(n)
(n?2)
,则
a
3
?a
2
?f(2)
a
n?1
?a
n
?f(n)
两边分别相加得
a
n?1
?a
1
?
例:1.已知数列{a
n
}
满足
a
1
?
?
f(n)
k?1
n
1
,
2
a
n?1
?a
n
?
1
4n?1
2
,求数列
{a
n
}
的通项公式。
2. 已知数列
{an
}
满足
a
n?1
?a
n
?2n?1,a1
?1
,求数列
{a
n
}
的通项公式。
3. 已知数列
{a
n
}
满足a
n?1
?a
n
?2?3
n
?1,a
1
?3
,求数列
{a
n
}
的通项公式。
2n?1
4. 设数列
{a
n
}<
br>满足
a
1
?2
,
a
n?1
?a
n<
br>?3?2
,求数列
{a
n
}
的通项公式
(3)累乘法
.
适用于:
a
n?1
?f(n)a
n
若
a
n?1
a
a
?f(n)
,则
2
?f(1),3
?f(2),
a
n
a
1
a
2
a,
n?1
?f(n)
a
n
n
a
n?
1
两边分别相乘得,
?a
1
?
?
f(k)
a
1
k?1
例:1. 已知数列
{a
n
}
满足
a
n?1
?2(n?1)5
n
?a
n
,a1
?3
,求数列
{a
n
}
的通项公式。
2.已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
?
3.已知
a
1
?3
,
a
n?1
?
(4)待定系数法
适用于
a
n?1
?qa
n
?f(n)
解题基本步骤:
1、确定
f(n)
2、设等比数列
?
a
n
?
?
1
f(n)
?
,公比为
3、列出关系式
a
n?1
?<
br>?
1
f(n?1)?
?
2
[a
n
?
?
2
f(n)]
2n
a
n
,求
a
n
。 ,
a
n?
1
?
3
n?1
3n?1
a
n
(n?1)
,求
a
n
。
3n?2
.
4、比较系数求
?
1
,
?
2
5、解得数列
?
a
n
?
?
1
f(n)?
的通项公式
6、解得数列
?
a
n
?
的通项公式
例:1. 已
知数列
{a
n
}
中,
a
1
?1,a
n?2a
n?1
?1(n?2)
,求数列
?
a
n
?
的通项公式。
2.(2006,重庆,文,14)在数列
?
a
n
?
中,若
a
1
?1,a
n
?1
?2a
n
?3(n?1)
,则该数列的通项
a
n
?
_______________
3.(2006.
福建
.理22.本小题满分14分)已知数列
?
a
n
?
满足
a<
br>1
?1,a
n?1
?2a
n
?1(n?N
*
).
求数列
?
a
n
?
的通
项公式;
4.已知数列
{a
n
}
满足
a
n?1
?2a
n
?3?5
n
,a
1
?
6
,求数列
?
a
n
?
的通项公式。
解:设
a
n?1
?x?5
n?1
?2(a
n
?x?5
n
)
.
5. 已知数列
{a
n
}
满足
a
n?1
?3a
n
?5?2
n
?4,a
1
?1
,求数列
{a
n
}
的通项公式。
解:设
a
n?1
?x?2
n?1
?y?3(a
n
?x?2
n
?y)
6.已知数列
?
a
n
?
中,
a
1
?
7. 已知数列
{a
n
}
满足
a
n?1
?
2a
n
?3n
2
?4n?5,a
1
?1
,求数列<
br>{a
n
}
的通项公式。
解:设
a
n?1
?
x(n?1)
2
?y(n?1)?z?2(a
n
?xn
2
?
yn?z)
8. 已知数列{a
n
}
满足
a
n?1
?2a
n
?4
?3
n?1
,a
1
?1
,求数列
?
a
n<
br>?
的通项公式。
递推公式为
a
n?2
?pan?1
?qa
n
(其中p,q均为常数)。
先把原递推公式转化为a
n?2
?sa
n?1
?t(a
n?1
?sa
n
)
其中s,t满足
?
9. 已知数列
{a
n
}
满足
a
n?2
?
5a
n?1
?6a
n
,a
1
??1,a
2
?2
,求数列
{a
n
}
的通项公式。
511
n?1
,
a
n?1
?a
n
?()
,求
a
n
6
32
?
s?t?p
st??q
?
.
(5)递推公式中既有
S
n
?
S
1
,n?1
分析:把已知关系通过
a
n<
br>?
?
转化为数列
?
a
n
?
或
Sn
的递推关系,然后采用相应的方法求解。
S?S,n?2
n?1
?
n
1.(2005北京卷)数列
{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
,且
a
1
=1,
a
n?1
?
及数列{
a
n}的通项公式.
2.(2005山东卷)已知数
列
?
a
n
?
的首项
a
1
?5,
前
n
项和为
S
n
,且
S
n?1
?S
n
?n?5
证明数列
?
a
n
?1
?
(n?
N)
*
,
是等比数列.
3.已知数列
?
a
n
?
中,
a
1
?3,
前
n
和
S
n
?
①求证
:数列
?
a
n
?
是等差数列
②求数列
?
a
n
?
的通项公式
1
S
n
,
n
=1,2,3,……,求
a
2,
a
3
,
a
4
的值
3
1
(n
?1)(a
n
?1)?1
2
.
4. 已知数列
{a
n}
的各项均为正数,且前n项和
S
n
满足
S
n
?
列
{a
n
}
的通项公式。
(6)根据条件找
n?1
与
n
项关系
例1.已知数列{a
n
}
中,
a
1
?1,a
n?1
?
C?
1
(a
n
?1)(a
n
?2)
,且
a
2
,a
4
,a
9
成等比数列,求数
6
15
1
,若
C?,b
n
?
,求数列
{b
n
}<
br>的通项公式
a
n
2a
n
?2
1n?1
a<
br>1
?1,a
n?1
?(1?)a
n
?
n
{a
}
n2
2.(2009全国卷Ⅰ理)在数列
n
中,
b
n<
br>?
a
n
n
,求数列
{b
n
}
的通项
公式 (I)设
(7)倒数变换法 适用于分式关系的递推公式,分子只有一项
例:1.
已知数列
{a
n
}
满足
a
n?1
?
2a
n
,a
1
?1
,求数列
{a
n
}
的通项公式。
a
n
?2
.
(8)对无穷递推数列
消项得到第
n?1
与
n
项的关系
例:1. (2004年
全国I第15题,原题是填空题)已知数列
{a
n
}
满足
a
1
?1,a
n
?a
1
?2a
2
?3a
3<
br>?
?(n?1)a
n?1
(n?2)
,求
{an
}
的通项公式。
2n?1
2.设数列
?
a
n
?
满足
a
1
?3a
2
?3a
3
?…?3a
n
?
n
*
,
a?N
.求数列
?
a
n
?
的通项;
3
(9)、迭代法
3(n?1)2
例:1.已知数列
{a
n
}
满足
a
n?1
?a
n
,a
1
?5
,求数列
{a
n
}
的通项公式。
n
3(n?1)2解:因为
a
n?1
?a
n
,所以
n
.
3n?23(n?1)?23n?2
a
n?a
n
?[a]
?1n?2
n?1n?2n?1
3(n?1)?
n?2
?a
n?2
2(n?2)?(n?1)
?[a
?a
?
3(n?2)?2
n?3
3
2
(n?1)?n
?2
(n?2)?(n?1)
n?3
]
3
3
(n?2)(n
?1)n?2
(n?3)?(n?2)?(n?1)
n?3
?(n?3)?(n?2)?(n?1)
?a
1
3
?a
1
3
n?1
?2?3(n?2)?(n?1)?n?2
1?2?n?1
n(n?1)
?n!?2
2
又
a
1
?5
,所以数列
{a
n
}
的通项公式为
a
n
?
5
(10)、变性转化法
3
n?1
?n!?2
n(n?1)
2
。
1、对数变换法 适用于指数关系的递推公式
5
例: 已知数列
{an
}
满足
a
n?1
?2?3
n
?a
n
,
a
1
?7
,求数列
{a
n
}
的
通项公式。
5
解:因为
a
n?1
?2?3
n
?a
n
,a
1
?7
,所以
a
n
?0,a
n?1
?0
。
两边取常用对数得
lga
n?1
?5lg
a
n
?nlg3?lg2
2、换元法 适用于含根式的递推关系
例:
已知数列
{a
n
}
满足
a
n?1
?
1
(1?4a
n
?1?24a
n
),a
1
?1
,求数列
{a
n
}
的通项公式。
16
1
2
(b
n
?1)
24
解
:令
b
n
?1?24a
n
,则
a
n
?
.
五、数列求和
1.直接用等差、等比数列的求和公式求和。
?
na(q?1)
S
n(a?a
n?1)
d
S
?
1
1n
)
n(
n
n
?
2
?na
1
?
2
n
?
?
a
?<
br>1
(1?q)
?
1?q
(q?1)
公比含字母时一定要讨论
(理)无穷递缩等比数列时,
S?
a
1
1?q
例
:1.已知等差数列
{a
n
}
满足
a
1
?1,a<
br>2
?3
,求前
n
项和
{S
n
}
2. 等差数列{
a
n
}中,
a<
br>1
=1,
a
3
+
a
5
=14,其前
n
项和
S
n
=100,则
n
=( )
A.9
B.10 C.11 D.12
3.已知等比数列
{a
n
}
满足
a
1
?1,a
2
?3
,求前
n
项和
{S
n
}
4.设
f(n)?2?2
4
?2
7
?2
10
??2
3n?10
(n?N)
,则
f(n)
等于(
)
A.
2
n
2
7
(8?1)
B.
2
7
(8
n?1
?1)
C.
2
7
(8
n?3
?1)
D.
7
(8
n?4
?1)
2.错位相减法求和
:如:
?
a
n
?
等差,
?
b
n
?
等比,求a
1
b
1
?a
2
b
2
?
??a
n
b
n
的和.
例:1.求和
S
n
?1?2x?3x
2
??nx
n?1
2.求
和:
S
1
n
?
a
?
2
a
?
3n
2
a
3
???
a
n
3
.设
{a
n
}
是等差数列,
{b
n
}
是各
项都为正数的等比数列,且
a
1
?b
1
?1
,
a<
br>3
?b
5
?21
,
a
5
?b
3?13
求
{a
?
a
n
?
n
}
,
{b
n
}
的通项公式;(Ⅱ)求数列
?
b
?的前
n
项和
S
n
.
?
n
?
(Ⅰ)
.
3.裂项相消法求和:把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。
常见拆项:
111
1111
??
?(?)
n(n?1)nn?1
(2n?1)(2n?1)22n?12n?1
11111111
?(?)?[?]
n(n?2)2nn?2
n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)
n?n!?(n?1)!?n!
n11
i?1ii
??
C
n
?C?C
?1nn?1
(n?1)!n!(n?1)!
数列
?
a
n
?
是等差数列,数列
?
?1
?
?
的前
n
项和
?
a
n
a
n?1
?
例:1.数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
,若
a
n
?
A.1
B.
1
,则
S
5
等于( )
n(n?1)
51
1
C. D.
6630
2.已知数列
{a
n
}
的通项公式为
a
n
?
3.已知数列
{a
n
}
的通项公式为
a
n
?
1
,求前
n
项的和;
n(n?1)
1
n?n?1
,求前
n
项的和.
.
4.已知数列
{a
n
}
的通项公式为<
br>a
n
=
5.求
1?
n?1
11
,设<
br>T
n
???
2
a
1
?a
3
a
2
?a
4
?
1
,求
T
n
.
a
n
?a
n?2
1111
???
?
?,(n?N*
)
。
1?21?2?31?2?3?41?2?3?
?
?n
6.已知
a?0,a?1
,数列
?
a
n
?
是首项为a,公比也为a的等比数列,令
b
n
?a
n
?lga
n
(n?N)
,求数列
?
b
n
?
的前
n
项和
S
n
。
4.倒序相加法求和
例:1. 求
S
?3CC?6??…3nC
nnnn
012n
2.求证:
C
n
?3C
n
?5
C
n
?...?(2n?1)C
n
?(n?1)2
n
12n
3.设数列
?
a
n
?
是公差为
d
,且首项为
a
0
?d
的等
差数列,
求和:
S
n?1
?a
0
C
n
?
a
1
C
n
?
?
?a
n
C
n
01n
.
综合练习:
1.设数列
{a
n
}
满足
a
1
?0
且
(1)求
{a
n
}
的通项公式
(2)设
b
n
?
2.等比数列
{a
n
}
的各项均为
正数,且
2a
1
?3a
2
?1
,
a
3?9a
2
a
6
(1)求数列
{a
n
}
的通项公式
(2)设
b<
br>n
?log
3
1
?log
3
2
?...?l
og
3
n
,求数列
{
3.已知等差数列
{a
n}
满足
a
2
?0
,
a
6
?a
8
??10
.
(1)求数列
{a
n
}
的通项公式及
S
n
(2)求数列
{
aa
a
11
??1
1?a
n?1
1?a
n
1?a
n?1
n
,
记
S
n
?<
br>?
b
k
,证明:
S
n
?1
k?1
n
2
1
}
的前n项和
b
n
a
n
}
的前n项和
2
n?1
.
4.已知两个等比数列<
br>{a
n
}
,
{b
n
}
,满足
a1
?a(a?0)
,
b
1
?a
1
?1
,
b
2
?a
2
?2
,
b
3
?a<
br>3
?3
(1)若
a?1,
求数列
{a
n
}
的通项公式
(2)若数列
{a
n
}
唯一,求
a
的值
5.设数列
{a
n
}
满足
a
1
?2
,
a
n?1
?a
n
?3?22n?1
(1)求数列
{a
n
}
的通项公式
(2)令
b
n
?na
n
,求数列
{b
n
}
的前n项和
S
n
2
6.已知
a
1
=2,点(
a
n
,a
n+1
)在函数
f
(
x
)=<
br>x
+2
x
的图象上,其中=1,2,3,…
(1)
证明数列{lg(1+
a
n
)}是等比数列;
(2)
设
T
n
=(1+
a
1
)
(1+
a
2
) …(1+
a
n
),求
T
n
及数列{
a
n
}的通项;
(3)
记
b
n
=
7.已知等差数列
{an
}
满足:
a
3
?7,a
5
?a
7<
br>?26
,
{a
n
}
的前n项和
S
n
2
11
,求{
b
n
}数列的前项和
S
n<
br>,并证明
S
n
+=1.
?
3T
n
?1a
n
a
n
?2
.
(1)求
a
n
及
S
n
(2)令
b
n
?
8.已知数列
?
a
n
?
中,
a
1
?3,
前
n
和
S
n?
①求证:数列
?
a
n
?
是等差数列
②求数列
?
a
n
?
的通项公式
③设数列
?
1
a
n
?1
2
(
n?N
),求数列{b
n
}
前n项和
T
n
?
1
(n?1)(a
n
?1)?1
2
?
1
?
是否存在实数
M
,使得
T
n
?M对一切正整数
n
都成立?若存在,求
M
?
的前
n
项和为
T
n
,
?
a
n
a
n?1
?
的最小值,若不存在,试说明理由。
9.数列
?
a
n
?
满足
a
1<
br>=8,
a
4
?2,且a
n?2
?2a
n?1
?a
n
?0
(
n?N
),
?
(Ⅰ)求数列
?
a
n
?
的通项公式;
(Ⅱ)设
b
n
?
1
m
(n?N
*
),S<
br>n
?b
1
?b
2
????b
n
,是否存在最
大的整数
m
,使得任意的
n
均有
S
n
?
n
(12?a
n
)
32
总成立?若存在,求出
m
;若不存在,
请说明理由.
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