高中数学很难应用题-高中数学知识点 圆锥曲线
教学设计示例
加法原理和乘法原理
教学目标
正确理解和掌握加法原理和乘法原理，并能准确
地应用它们分析和解决一些简单的问题，从
而发展学
生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力．
教学重点和难点
重点：加法原理和乘法原理．
难点：加法原理和乘法原理的准确应用．
教学用具
投影仪．
教学过程设计
（一）引入新课
从本节课开始，我们将要学习
中学代数内容中一
个独特的部分
——
排列、组合、二项式定理．它们研
究对象
独特，研究问题的方法不同一般．虽然份量不
多，但是与旧知识的联系很少，而且它还是我们今后
学习概率论的基础，统计学、运筹学以及生物的选种
等都与它直接有关．至于在日常的
工作、生活上，只
要涉及安排调配的问题，就离不开它．
今天我们先学习两个基本原理．
（二）讲授新课
1
．介绍两个基本原理
先考虑下面的问题：
问
题
1
：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘
汽车，还可以乘轮船．一天中，火车有<
br>4
个班次，汽
车有
个班次，轮船有
3
个班次．那么
一天中乘坐这些交通
工具从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？
因为一天中
乘火车有
4
种走法，乘汽车有
2
种走
法，乘轮船有
3
种走法，每种走法都可以完成由甲地
到乙地这件事情．所以，一天中乘坐这些交通工具从
甲地
到乙地共有
4+2+3=9
种不同的走法．
这个问题可以总结为下面的一个基本原理（打出
片子
——
加法原理）：
加法原理：做一件事，完成它可以有几类办法，
在第一类办法中有
m
1
种不同的方法，在第二类办法中
有
m
2
种不同的方法，
……
，在第
n
类办法中有
m
n
种
不同的方
法．那么，完成这件事共有
N=m
1
+m
2
+…+m
n种不同的方法．
请大家再来考虑下面的问题（打出片子
——
问题
2
）：
问题
2
：由
A
村去
B
村的道路有
3
条，由
B
村去
（见下图），从
A
村经
B
村去
C<
br>村，
C
村的道路有
2
条
共有多少种不同的走法？
这里，从
A
村到
B
村，有
3
种不同
的走法，按这
3
种走法中的每一种走法到达
B
村后，再从
B
村到
C
村又各有
2
种不同的走法，因此，从
A
村经
B
村去
C
村共有
3×2=6
种不同的走法．
一般地，有如下基本原理（找出片子
——
乘法原
理）：
乘法原理：做一件事，完成它需要分成
n
个步骤，
做第一
步有
m
1
种不同的方法，做第二步有
m
2
种不同
的
方法，
……
，做第
n
步有
m
n
种不同的方法．那么
，
完成这件事共有
N
＝
m
1
×m
2
×…×
m
n
种不同的方法．
2
．浅释两个基本原理
两个基本原理的用途是计算做一件事完成它的所
有不同的方法种数．
比较两个基本原理，想一想，它们有什么区别？
两个基本原理的区别在于：一个与分类有关，一
个与分步有关．
看下面的分析是否正
确（打出片子
——
题
1
，题
2
）：
题
1
：找
1
～
10
这
10
个数中的所有合
数．第一类
办法是找含因数
2
的合数，共有
4
个；第二类办法是找含因数
3
的合数，共有
2
个；第三类办法是找含因
数
5
的合数，共有
1
个．
1
～
10
中一共
有
N=4
＋
2
＋
1=7
个合数．
题
2
：在前面的问题
2
中，步行从
A
村到
B
村的
北路需要
8
时，中路需要
4
时，南路需要
6
时
，
B
村
到
C
村的北路需要
5
时，南
路需要
3
时，要求步行从
A
村到
C
村的总时数不超过
12
时，共有多少种不同
的走法？
第一步从
A<
br>村到
B
村有
3
种走法，第二步从
B
村到
C<
br>村有
2
种走法，共有
N=3×2=6
种不同走法．
题
2
中的合数是
4
，
6
，
8
，
9
，
10
这五个，其中
6
既含有因数
2
，也含有因数
3
；
10
既含有因数
2
，也含
有因数
5<
br>．题中的分析是错误的．
从
A
村到
C
村总时数
不超过
12
时的走法共有
5
种．题
2
中从
A
村走北路到
B
村后再到
C
村，只有南
路这一种走法．
（此时给出题
1
和题
2
的目的是为了引导学生找
出应用
两个基本原理的注意事项，这样安排，不但可
以使学生对两个基本原理的理解更深刻，而且还可以
培养学生的学习能力）
进行分类时，要求各类办法彼此之间是相互排斥
的，不论哪一类办法中的哪一种方法，都能单独完成
这件事．只有满足这个条件，才能直接用加
法原理，
否则不可以．
如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不
可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而
各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，
下一步都有
m
种不同的方法，那么计算完成这件事的
方法数时，就可以
直接应用乘法原理．
也就是说：类类互斥，步步独立．
（在学
生对问题的分析不是很清楚时，教师及时地归纳小结，能使学生在应用两个基本原理
时，思路进一步清晰
和明确，不再简单地认为什么样的分类都可以直接用加法，只要分步而不管
是否相互联系就用乘法．从而
深入理解两个基本原理中分类、分步的真正含义和实质）
（三）应用举例
现在我们已经有了两个基本原理，我们可以用它们来解决一些简单问题了．
例
1
书架上放有
3
本不同的数学书，
5
本不同的语文书，
6本不同的英语书．
（
1
）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？
（
2
）若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？
（
3
）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法？
（让学生思考，要求依据两个基本原理写出这
3
个问题的答案及理
由，教师巡视指导，并适
时口述解法）
（
1
）从书架上任取一
本书，可以有
3
类办法：第一类办法是从
3
本不同数学书中任取
1<
br>本，
有
3
种方法；第二类办法是从
5
本不同的语文书中任取<
br>1
本，有
5
种方法；第三类办法是从
6
本不同的英语书中任取
一本，有
6
种方法．根据加法原理，得到的取法种数是
N
＝
m
1
＋
m
2
＋
m
3
＝
3
＋
5
＋
6
＝
14
．故从书架上任取一本书的不同取法有<
br>14
种．
（
2
）从书架上任取数学书、语文书、英语书
各
1
本，需要分成三个步骤完成，第一步取
1
本数学书，有
3
种方法；第二步取
1
本语文书，有
5
种方法；第三步取
1
本英语书，有
6
种方法．根
据乘法原理，得到不同的取法种数是
N=m
1
×m
2
×m
3
=3×5×6=90
．故，从书架上取数
学书、语文书、
英语书各
1
本，有
90
种不同的方法．
（
3
）从书架上任取不同科目的书两本，可以有
3
类办法：第一
类办法是数学书、语文书各
取
1
本，需要分两个步骤，有
3×5
种方
法；第二类办法是数学书、英语书各取
1
本，需要分两
个步骤，有
3×6种方法；第三类办法是语文书、英语书各取
1
本，有
5×6
种方法．一共
得到不
同的取法种数是
N=3×5
＋
3×6
＋
5×6=63
．即，从书架任取不同科目的书两本的不同取法有
63
种．
例
2
由数字
0
，
1
，
2
，
3
，
4
可以组成多少个三位整数（各位上的数字允许重复）？
解
：要组成一个三位数，需要分成三个步骤：第一步确定百位上的数字，从
1
～
4
这
4
个数
字中任选一个数字，有
4
种选法；第二步确定十位上的数
字，由于数字允许重复，共有
5
种选法；
第三步确定个位上的数字，仍有
5<
br>种选法．根据乘法原理，得到可以组成的三位整数的个数是
N
=4×5×5=100．
答：可以组成
100
个三位整数．
教师
的连续发问、启发、引导，帮助学生找到正确的解题思路和计算方法，使学生的分析问
题能力有所提高．
教师在第二个例题中给出板书示范，能帮助学生进一步加深对两个基本原理实
质的理解，周密的考虑，准
确的表达、规范的书写，对于学生周密思考、准确表达、规范书写良
好习惯的形成有着积
极的促进作用，也可以为学生后面应用两个基本原理解排列、组合综合题打
下基础
.
（四）归纳小结
归纳什么时候用加法原理、什么时候用乘法原理：
分类时用加法原理，分步时用乘法原理．
应用两个基本原理时需要注意分类时要
求各类办法彼此之间相互排斥；分步时要求各步是相
互独立的．
（五）课堂练习
P222
：练习
1
～
4
．
（对于题
4
，教师有必要对三个多项式乘积展开后各项的构成给以提示）
（六）布置作业
P222
：练习
5
，
6
，
7
．
补充题：
1
．在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的共有多少个？
（提示
：按十位上数字的大小可以分为
9
类，共有
9
＋
8
＋
7
＋
…
＋
2
＋
1=45
个个位数字小于
十位数字的两位数）
2
．某学生填报高考志愿，有
m
个不同的志愿可供选择，若只能按第一、二、三志愿依次填
写
3
个不同的志愿，求该生
填写志愿的方式的种数．
（提示：需要按三个志愿分成三步，共有
m
（
m-1
）（
m-2
）种填写方式）
3
．在所有的三位数中，有且只有两个数字相同的三位数共有多少个？
（提示：可以用下面方法来求解：（
1
）△△
□
，（
2
）△
□
△，（
3
）
□
△
□
，（
1），（
2
），
（
3
）类中每类都是
9×9
种，
共有
9×9+9×9+9×9=3×9×9=243
个只有两个数字相同的三位数）
4
．某小组有
10
人，每人至少会英语和日语中的一门，其中<
br>8
人会英语，
5
人会日语，（
1
）
从中任选一个会外
语的人，有多少种选法？（
2
）从中选出会英语与会日语的各
1
人，有多少种
不同的选法？
（提示：由于
8
＋
5=13
＞10
，所以
10
人中必有
3
人既会英语又会日语．
<
br>（
1
）
N=5
＋
2
＋
3
；（
2
）
N=5×2
＋
5×3
＋
2×3
）