高中数学简析几何-高中数学常用重点公式
高中数学教学设计模板及案例
《必修5》1．1．2余弦定理（第一课时）
教学课题
课标要求
认知层次
知识点
1余弦定理及证明
2用定理解三角形
目标设计
识记
理解
√
应用
√
综合
1.
引导学生用向量独立地推出余弦定理，并能用自已的语言概括这一定理。
2.
要求学生能根据余弦定理解以下两类问题：（1）已知两边夹一角求第三边；（2）已
知三边求三角。
教学情境一：（ 问题引入
）在
?
ABC中，已知两边a,b和夹角C，作出三角形。
联系已学知识，可以解决这个问题。
对应问题1. 第三边c是确定的，如何利用条件求之？
首先用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A
uurr
uurr
uurr
rrr
rr
如图，设
CB
?a
，
CA
?
b
，
AB
?
c
，
那么
c
?
a
?
b
，则
b
c
rrrrrr
c
?
c
?
c
?
a
?
ba
?
b
rrrr
rr
r
?
ab
?
b
?
r
2
a
r
?
b
C
a
B
r
?
2
a
?
r
2
?
a
?
b
?2
a
?
b
2
r
????
从而
c
2
?
a
2
?
b
2
?2ab
cos
C
，同理可证
a
2
?
b
2
?
c
2
?2
bc
cos
A
，
b<
br>2
?
a
2
?
c
2
?2
ac
cos
B
于是得到以下定理
余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他
两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两
倍。即
a
2
?
b
2
?
c
2
?2
bc
cos
A
；
b
2
?
a
2
?
c
2
?2
ac
cos
B
；
c
2
?
a
2
?
b
2
?2
ab
cos
C
教学情境二
对余弦定理的理解、定理的推论
对应问题2 公式有什么特点？能够解决什么问题？
等式为二次齐次形式，左边的边对应右边的角。主要作用是已知三角形的两边及夹角求对边。
对应问题3 从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？
从余弦定理，又可得到以下推论：（由学生推出）
1
高中数学教学设计模板及案例
b
2
?c
2
?a
2
a
2
?c
2
?b
2
b
2<
br>?a
2
?c
2
；
cosB?
；
cosC?
cosA?
2bc2ac2ba
[理解定理]余弦定理及其推论的基本作用为：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角求第三边；
②已知三角形的三条边求三个角。
思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间
的关系，如何看这两个定理之间的关系？
（由学生总结）若
?
ABC中，C=90
o
，则
cosC?0
，这时
c
2
?a2
?b
2
由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。
教学情境三
例题与课堂练习
例题．在
?
ABC中，已知
a?23
，
c
?6?2
，
B?60
0
，求b及A
⑴解：
b
2<
br>?a
2
?c
2
?2accosB
=
(23)
2
?(6?2)
2
?2?23?(6?2)
cos
45
0<
br>=
12?(6?2)
2
?43(3?1)
=
8
∴
b?22.
求
A
可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
b
2
?c
2
?a
2
(22)
2
?(6?2)
2
?(
23)
2
1
0
??,
∴
A?60.
⑵解法一：∵cos
A?
2bc2
2?22
?(6?2)
a233
0
解法二：∵
sinA?sinB?
?sin45
0
=,
又
a
＜
c
，即
0
0
＜
A
＜
90
0
,
∴
A?60.
b2
22
评述：解法二应注意确定A的取值范围。
课堂练习 在
?
ABC中，若
a
2
?
b
2
?
c
2
?
bc
，求角A（答案：A=120°）
教学情境四 课堂小结
（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；
（2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三边。
（3）正、余弦定理从数量关系的角度解释了三角形全等，已知边角求做三角形两类问题，使其化为可以
计算的公式。
习题设计
1．
在
?
ABC中，a=3,b=4,
?C?60?
,求c边的长。
2． 在
?
ABC中，a=3,b=5，c=7,求此三角形的最大角的度数。
3．
若
sinA:sinB:sinC?5:7:8
,求此三角形的最大角与最小角的和的大小。
4． △ABC中，若
a
2
?c
2
?b
2
tanB?3ac
，求角B的大小。
??
ur
r
urr
5
．
?
ABC的三内角
A,B,C
所对边的长分别为
a,b,c
设向量
p?(a?c,b)
,
q?(b?a,c?a)
,若
pq<
br>,求角
C的大小）
（本案例由河北师大附中 刘建良设计，由汉沽五中 纪昌武
在目标设计和习题设计方面略作改动）
编写要求：
1、页面设置：A4，上、下
、左、右边距都为2cm；教学课题：小四宋体加粗；问题设计：课本上没有的
有价值的情境、问题、例
题、习题用五号黑体字，并简要说明设计意图。其他都用五号宋体。“目标设计、
情境设计、问题设计、
习题设计”要加粗。
2、目标设计主要写知识目标的设计。目标要具体明确、具有可操作性、可测性。
2
高中数学教学设计模板及案例
3、习题设计：每节课
的习题5个左右，其中前两个可作为当堂测验题，要求的难度：只要上课能认真参
与的同学基本上都能作
对。后三题可根据各校学生水平适当提高，但应紧扣本节课教学目标，难度最好控
制在0.8左右。对于
所选课本上的题要注明，并具体写出来。
4、把寒假交流的内容，按统一模作板适当修订，并于3月15日前传至学科牵头人处。
3