高中数学教学案例设计(上)

精品教学教案设计 | Excellent teaching plan


教师学科教案
[ 20 – 20 学年度 第__学期 ]


任教学科：_____________
任教年级：_____________
任教老师：_____________

xx市实验学校





育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰

精品教学教案设计 | Excellent teaching plan
高中数学教学设计大赛
获奖作品汇编
（上 部）
目 录

1、集合与函数概念实习作业……………………………………
2、
指数函数的图象及其性质……………………………………
3、对数的概念…………………………………………………
4、对数函数及其性质（1）……………………………………
5、对数函数及其性质（2）……………………………………
6、函数图象及其应用……………………………………
7、方程的根与函数的零点……………………………………
8、用二分法求方程的近似解……………………………………

9、用二分法求方程的近似解……………………………………
10、直线与平面平行的判定……………………………………

11、循环结构 …………………………………………………
12、任意角的三角函数（1）…………………………………
13、任意角的三角函数（2）……………………………………
14、函数
y?As in(
?
x?
?
)
的图象…………………………
15、向量的加法及其几何意义………………………………………
16、平面向量数量积的物理背景及其含义（1）………………
育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰

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17、平面向量数量积的物理背景及其含义（2）……………………
18、正弦定理（1）……………………………………………………
19、正弦定理（2）……………………………………………………
20、正弦定理（3）……………………………………………………
21、余弦定理………………………………………………
22、等差数列………………………………………………

23、等差数列的前n项和………………………………………
24、等比数列的前n项和………………………………………

25、
简单的线性规划问题
………………………………………
26、拋物线及其标准方程………………………………………
27、圆锥曲线定义的运用………………………………………











育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰

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前 言
为了更好地贯 彻落实和科课程标准有关要求，促进广大教师学习
现代教学理论，进一步激发广大教师课堂教学的创新意 识，切实转变
教学观念，积极探索新课程理念下的教与学，有效解决教学实践中存
在的问题，促 进课堂教学质量的全面提高，在2007年由福建省普通
教育教学研究室组织，举办了一次教学设计大赛
活动
。这次活动数学
学科高中组共收到有49篇教学设计文章。获奖文章推荐评审专家 组
本着公平、公正的原则，经过认真的评审，全部作品均评出了相应的
奖项；专家组还为获得一 、二等奖的作品撰写了点评。本稿收录的作
品全部是参加此次福建省教学设计竞赛获奖作者的文章。按照 征文的
规则，我们对入选作品的格式作了一些修饰，并经过适当的整合，以
飨读者。
在此还需要说明的是，为了方便阅读，获奖文章的排序原则，并
非按照获奖名次的前后顺序，而是按照高 中数学新课程必修1—5的
内容顺序，进行编排的。部分体现大纲教材内容的文章则排在后面。
不管你获得的是哪个级别的奖项,你们都可以有成就感,因为那是
你们用心、用汗浇灌出的果实,它记 录了你们奉献于数学教育事业的
心路历程.书中每一篇的教学设计都耐人寻味,都能带给我们许多遐想< br>和启迪.你们是优秀的,在你们未来悠远的职业里程中,只要努力,将有
更多的辉煌在等待着大家 。谢谢你们!
编者
育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰

精品教学教案设计 | Excellent teaching plan
2008-3-23 于福州
1、集合与函数概念实习作业


一、教学内容分析
《普通高中课程标准实验教科书·数学（1）》（人教A版）第44页。- ----
《实习作业》。本节课程体现数学文化的特色，学生通过了解函数的发展历史进
一步感 受数学的魅力。学生在自己动手收集、整理资料信息的过程中，对函数的
概念有更深刻的理解；感受新的 学习方式带给他们的学习数学的乐趣。
二、学生学习情况分析
该内容在《普通高中课程标准 实验教科书·数学（1）》（人教A版）第44
页。学生第一次完成《实习作业》，积极性高，有热情和 新鲜感，但缺乏经验，
所以需要教师精心设计，做好准备工作，充分体现教师的“导演”角色。特别在< br>分组时注意学生的合理搭配（成绩的好坏、家庭有无电脑、男女生比例、口头表
达能力等），选题 时，各组之间尽量不要重复，尽量多地选不同的题目，可以让
所有的学生在学习共享的过程中受到更多的 数学文化的熏陶。

三、设计思想
《标准》强调数学文化的重要作用，体现数学的文 化的价值。数学教育不仅
应该帮助学生学习和掌握数学知识和技能，还应该有助于学生了解数学的价值。
让学生逐步了解数学的思想方法、理性精神，体会数学家的创新精神，以及数学
文明的深刻内涵 。
四、教学目标
1．了解函数概念的形成、发展的历史以及在这个过程中起重大作用的历史
事件和人物；
2．体验合作学习的方式，通过合作学习品尝分享获得知识的快乐；
3．在合作形式的小组学习活动中培养学生的领导意识、社会实践技能和民
主价值观。
五、教学重点和难点
重点：了解函数在数学中的核心地位，以及在生活里的广泛应用；

难点：培养学生合作交流的能力以及收集和处理信息的能力。
六、教学过程设计
【课堂准备】
1．分组：4～6人为一个实习小组，确定一人为组长。教师需要做好协调工< br>作，确保每位学生都参加。
2．选题：根据个人兴趣初步确定实习作业的题目。教师应该到各组 中去了解
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选题情况，尽量多地选择不同的题目。
参考题目：（1）函数产生的社会背景；（2）函数概念发展的历史过程；（3）
函数符号的故事；（4 ）数学家（如：开普勒、伽利略、笛卡儿、牛顿、莱布尼兹、
贝努利、欧拉、柯西、狄里克雷、罗巴契夫 斯基等）与函数；（5）也可自拟题目
3．分配任务：根据个人情况和优势，经小组共同商议，由组长确定每人的具
体任务。
4．搜集资料：针对所选题目，通过各种方式（相关书籍----《函数在你身边》、
《世界函数通史 》、《世界著名科学家传记》等；相关网页---、
http:bjakqnjbsdb8njsxxc
等）搜集素材，包括文字、图片、数据以及音像资料等，并
记录相关资料，写出实习报告。
实习报告 年 月 日
题目

组长及参加人员
教师审核意见及等级
正文
备注

（指出参考文献或相关网页）
5．投影仪、多媒体；
6．把各组的实习报告，贴在班级的学习栏内，让学生学习交流。
【
教学过程
】
1．出示课题：交流、分享实习报告
2．交流、分享：（由数学科代表主持。小组推荐中心发言人；以下记录均为发言
概述）
（1）学生1：函数小史
数学史表明，重要的数学概念的产生和发展，对数学发展起着不可估 量的作
用。有些重要的数学概念对数学分支的产生起着奠定性的作用。我们刚学过的函
数就是这 样的重要概念。在笛卡尔引入变量以后，变量和函数等概念日益渗透到
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精品教学教案设计 | Excellent teaching plan < br>科学技术的各个领域。最早提出函数（function）概念的，是17世纪德国数学家
莱布尼 茨。最初莱布尼茨用“函数”一词表示幂。1755年，瑞士数学家欧拉把给
出了不同的函数定义。中文 数学书上使用的“函数”一词是转译词。是我国清代数
学家李善兰在翻译《代数学》（1895年）一书 时，把“function”译成“函数”的。
我们可以预计到，关于函数的争论、研究、发展、拓广 将不会完结，也正是
这些影响着数学及其相邻学科的发展。
（2）教师带头鼓掌并简单评价
（3）学生2： 函数概念的纵向发展 ：
该同学从早期函数概念——几何观念下的函数到 十八世纪函数概念——代数
观念下的函数讲述了函数概念的发展。其中包括18世纪中叶著名的数学家欧 拉
对函数概念发展的贡献。接着又讲述了十九世纪函数概念——对应关系下的函
数。以及现代函 数概念——集合论下的函数。函数概念的定义经过三百多年的锤
炼、变革，形成了函数的现代定义形式。
（4）教师带头鼓掌并简单评价
（5）学生3：我国数学家李国平与函数
学生3描 述了数学家中国科学院数学物理学部委员．李国平（1910—1996），
的身世和他的成长历程。李 国平1933年毕业于中山大学数学天文系。后历任中
国科学院数学计算技术研究所所长，中国科学院武 汉数学物理研究所所长，中国
数学会理事，中国科学院学部委员等职务。学生还通俗地讲述了李国平先生 在微
分方程复变函数论领域的卓越贡献。
（6）教师带头鼓掌并简单评价
（7）学生4：函数概念对数学发展的影响
该学生从历史上重要数学概念对数学发展的作用是 不可估量的事实出发，讲
述了函数概念对数学发展的深刻影响，可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡 ，
回顾函数概念的历史发展，看一看函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程，
是一件十分 有益的事情，它不仅有助于我们提高对函数概念来龙去脉认识的清晰
度，而且更能帮助我们领悟数学概念 对数学发展，数学学习的巨大作用．
函数概念来源于代数学中不定方程的研究．由于罗马时代的丢番 图对不定方
程已有相当研究，所以函数概念至少在那时已经萌芽．该学生说道，早在函数概
念尚 未明确提出以前，数学家已经接触并研究了不少具体的函数，比如对数函数、
三角函数、双曲函数等等． 1673年前后笛卡儿在他的解析几何中，已经注意到
了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当 时尚未意识到需要提炼一般的
函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学 家还
没有明确函数的一般意义．
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从以上函数概念发展的全过程中，我们体会到，联系实际、联系大量数学素
材，研究、发掘、拓广数学概 念的内涵是何等重要．
（8）教师带头鼓掌并简单评价
（9）学生5：函数概念的历史演变过程
该学生说，数学的抽象完全舍弃了事物的质的内容， 而仅仅保留了它们的量
的属性，即数学抽象的目的只是数量关系和空间形式．这就决定了数学与其它自< br>然科学的区别，也决定了数学的特殊性．如果在两个集合元素之间存在有确定的
对应关系，就称为 是一个映射．
上述函数概念的历史演变过程，就是一系列弱抽象的过程．学生展示了下表：





早期函数概念
在认识自然、改造自然的过程中不断遇到：在数量上描述一些现

象的几个不同的量是 紧密地互相联系的，一个量完全决定于其它
量的值，即通过其它量值的一些代数运算





函数是这样一个量，它是通
代 数 函 数
过其它一些量的代数运算得
到的

世纪函数概18

念



19世纪函数概

念
解 析 函 数
函数是指由一个变量与一些
常量通过任何方式形成的解
析表达式








对于给定区间上的每一个x
变 量 函 数
值，y总有唯一确定的值与
之对应，则称y是x的函数．
近代函数概念
映 射 函 数
设M与N是两个集合，f是
个法则，若对于m中每一个
元素x， 由f总有N中唯一
确定元素y与之对应，则f
是定义在M上的一个函数．
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（10）教师带头鼓掌并简单评价

3．课堂小结：
4．实习作业的评定：
实习作业评价参考意见
级
别
很
好
1．小组配合默契（有计划、任务分配合理、每人积极认真）
2．报告材料丰富、可靠、线索清晰
3．拥有自己的独立见解
1．小组配合良好
好 2．报告材料丰富、可靠、线索较清晰
3．有一定的独立见解
一
般
1．小组配合一般
2．报告材料一般、线索基本清晰
3．有一定的分析
标准
较
1．小组配合欠佳
差
2．报告材料贫乏、线索不够清晰
七、教学反思
实习作业是新课程的一个亮点。是培养学生的团队精神，体验合作学习的方式的重要途径。但事实上，实习作业很容易被教师所忽视，所以想通过该教学设
计引起教师们的重视 。在高一刚开始的时候，如何做好第一次实习作业，是很关
键的。就我们学校条件和学生情况，完全可以 做好实习作业的，事实证明学生做
得很好。可以通过这次实习作业，让学生体验合作学习的方式，通过合 作学习品
尝分享获得知识的快乐。再者，通过对数学家的了解，感受数学家的精神，增加
学好数 学的信心，为今后的学习打下好的基础。

福鼎市第一中学 曹齐平

点 评

该教学设计具有一定的创新性，在教师的引导下，以学生合作学
习的模式，探讨函 数概念的形成、发展的历史以及在这个过程中起重
大作用的历史事件和人物。通过学生的自主学习、探究 活动，学生经
历收集信息，整理资料，并从中提取有用信息的过程，让学生体验数
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学知识发现和创造的历程，对于提高学生的数学表达和交流的能力具
有一定意义。
但该设计中教师的主导地位体现得不够，教师对学生的评价不够
具体（只有鼓掌）。






2、指数函数的图象及其性质

一、 教学内容分析
本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学（1）》（人教A版）第 二
章第一节第二课（2.1.2）《指数函数及其性质》。根据我所任教的学生的实际情
况，我 将《指数函数及其性质》划分为两节课（探究图象及其性质，指数函数及
其性质的应用），这是第一节课 “探究图象及其性质”。 指数函数是重要的基本
初等函数之一，作为常见函数，它不仅是今后学习对数 函数和幂函数的基础，同
时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究。
二、 学生学习况情分析
指数函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基 础上
进行研究的，是学生对函数概念及性质的第一次应用。教材在之前的学习中给出
了两个实际 例子（GDP的增长问题和炭14的衰减问题），已经让学生感受到指数
函数的实际背景，但这两个例子 背景对于学生来说有些陌生。本节课先设计一个
看似简单的问题，通过超出想象的结果来激发学生学习新 知的兴趣和欲望。
三、设计思想
1.函数及其图象在高中数学中占有很重要的位置。如何 突破这个即重要又
抽象的内容，其实质就是将抽象的符号语言与直观的图象语言有机的结合起来，
通过具有一定思考价值的问题，激发学生的求知欲望――持久的好奇心。我们知
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道，函数的表示法有三种：列表法、图象法、解析法，以往的函数的学习大多只
关注 到图象的作用，这其实只是借助了图象的直观性，只是从一个角度看函数，
是片面的。本节课，力图让学 生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方
位的研究，并通过对比总结得到研究的方法，让学生去 体会这种的研究方法,以
便能将其迁移到其他函数的研究中去。
2.结合参加我校组织的两个 课题《对话——反思——选择》和《新课程实施
中同伴合作和师生互动研究》的研究，在本课的教学中我 努力实践以下两点：
⑴.在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的
学习方式。
⑵.在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、
总结、反思，力图在培养 和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究
数学的方法。
3.通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法。
四、教学目标
根据任教班级学生 的实际情况，本节课我确定的教学目标是：理解指数函数
的概念，能画出具体指数函数的图象；在理解指 数函数概念、性质的基础上，能
应用所学知识解决简单的数学问题；在教学过程中通过类比，回顾归纳从 图象和
解析式这两种不同角度研究函数性质的数学方法，加深对指数函数的认识，让学
生在数学 活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要；同时通过本
节课的学习，使学生获得研究函数 的规律和方法；培养学生主动学习、合作交流
的意识。
五、教学重点与难点
教学重点：指数函数的概念、图象和性质。
教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。
六、教学过程：
（一）创设情景、提出问题(约3分钟)
师：如果让1号同学准备2粒米，2号同学准备4粒 米，3号同学准备6粒
米，4号同学准备8粒米，5号同学准备10粒米，……按这样的规律，51号同
学该准备多少米？
学生回答后教师公布事先估算的数据：51号同学该准备102粒米，大约5
克重。
师：如果改成让1号同学准备2粒米，2号同学准备4粒米，3号同学准备
8粒米，4号同学准备16粒 米，5号同学准备32粒米，……按这样的规律，51
号同学该准备多少米？
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【学情预设：学生可能说很多或能算出具体数目】
师：大家能否估计一下，51号同学该准备的米有多重？
教师公布事先估算的数据：51号同学所需准备的大米约重1.2亿吨。
师：1.2亿吨是一 个什么概念？根据2007年9月13日美国农业部发布的最
新数据显示，2007～2008年度我国 大米产量预计为1.27亿吨。这就是说51号
同学所需准备的大米相当于2007～2008年度我国 全年的大米产量！
【设计意图：用一个看似简单的实例，为引出指数函数的概念做准备；同时
通过与一次函数的对比让学生感受指数函数的爆炸增长，激发学生学习新知的兴
趣和欲望。】
在以上两个问题中，每位同学所需准备的米粒数用
y
表示，每位同学的座号
数用
x
表示，
y
与
x
之间的关系分别是什么？
学生很容易得 出y=2x（
x?
N
?
）和
y?2
x
（
x ?
N
?
）
【学情预设：学生可能会漏掉
x
的取值范围，教 师要引导学生思考具体问题
中
x
的范围。】
（二）师生互动、探究新知
1．指数函数的定义
师：其实，在本章开头的问题2中，也有一个与
y?2
x
类似的关系式
y?1.073
x
（
x?N
?
,x ?20
）
⑴让学生思考讨论以下问题（问题逐个给出）：（约3分钟）
①
y?2
x
（
x?
N
?
）和
y?1.073
x
（
x?N
?
,x?20
）这两个解析式有什么共
同特征？
②它们能否构成函数？
③是我们学过的哪个函数？如果不是，你能否根据该函数的特征给它起个恰
当的名字？
【设计意图：引导学生从具体问题、实际问题中抽象出数学模型。学生对比
已经学过一次函数、反比例 函数、二次函数，发现
y?2
x
，
y?1.073
x
是一个 新
的函数模型，再让学生给这个新的函数命名，由此激发学生的学习兴趣。】
引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量。
师：如果可以用字母
a< br>代替其中的底数，那么上述两式就可以表示成
y?a
x
的形式。自变量在指数位 置，所以我们把它称作指数函数。
⑵让学生讨论并给出指数函数的定义。（约6分钟）
对于底数的分类，可将问题分解为：
①若
a?0
会有什么问题？（如
a??2
，
x?
不存在）
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1
则在实数范围内相应的函数值
2

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②若

③若

要.）
会有什么问题？（对于
x?0

，
a
x
都无意义）
又会怎么样？（无论

取何值,它总是1,对它没有研究的必
且

. 师：为了避免上述各种情况的发生,所以规定

在这里要注意生生之间、师生之间的对话。
【学情预设： ①若学生从教科书中已经看到指数函数的定义，教师可以问，
为什么要求
a?0，且a?1
；
a?1
为什么不行？
②若学生只给出
y?a
x
，教师可以引导学生通过类比一次函数
k
（
y?kx?b,k?0
）、反比例函数（
y
?,k?0
）、二次函数
x
（
y?ax
2
?bx?c
,
a?
0
）中的限制条件， 思考指数函数中底数的限制条件。】
【设计意图 ：①对指数函数中底数限制条件的讨论可以引导学生研究一个
函数应注意它的实际意义和研究价值；
②讨论出
a?0，且a?1
，也为下面研究性质时对底数的分类做准备。】
接下来教师可以问学生是否明确了指数函数的定义，能否写出一两个指数函
y?3
2x
，
y??2
x
。数？教师也在黑板上写出一些解析式让学生判断，如
y?2? 3
x
，
【学情预设：学生可能只是关注指数是否是变量，而不考虑其它的。】
【设计意图 ：加深学生对指数函数定义和呈现形式的理解。】
2．指数函数性质
⑴提出两个问题（约3分钟）
①目前研究函数一般可以包括哪些方面；
【设计意图 ：让学生在研究指数函数时有明确的目标：函数三个要素（对应
法则、定义域、值域、）和函数的基本性 质（单调性、奇偶性）。】
②研究函数（比如今天的指数函数）可以怎么研究？用什么方法、从什么角
度研究？
可以从图象和解析式这两个不同的角度进行研究；可以从具体的函数入手
（即底数取一些数值）；当然也 可以用列表法研究函数，只是今天我们所学的函
数用列表法不易得出此函数的性质，可见具体问题要选择 适当的方法来研究才能
事半功倍！还可以借助一些数学思想方法来思考。
【设计意图：①让学 生知道图象法不是研究函数的唯一方法，由此引导学生
可以从图象和解析式(包括列表)不同的角度对函 数进行研究；
②对学生进行数学思想方法（从一般到特殊再到一般、数形结合、分类讨论）
的有机渗透。】
⑵分组活动，合作学习（约8分钟）
师：好，下面我们就从图象和解析式这两个不同的角度对指数函数进行研究。
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①让学生分为两大组，一组从解析式的角度入手（ 不画图）研究指数函数，
一组借助电脑通过几何画板的操作从图象的角度入手研究指数函数；
②每一大组再分为若干合作小组（建议4人一小组）；
③每组都将研究所得到的结论或成果写出来以便交流。
【学情预设：考虑到各组的水平可能有所不同，教师应巡视，对个别组可做
适当的指导。】 < br>【设计意图：通过自主探索、合作学习不仅让学生充当学习的主人更可加深
对所得到结论的理解。 】
⑶交流、总结（约10～12分钟）
师：下面我们开一个成果展示会!
教师在 巡视过程中应关注各组的研究情况，此时可选一些有代表性的小组上
台展示研究成果，并对比从两个角度 入手研究的结果。
教师可根据上课的实际情况对学生发现、得出的结论进行适当的点评或要求
学生分析。这里除了研究定义域、值域、单调性、奇偶性外，再引导学生注意是
否还有其它性质？ 师：各组在研究过程中除了定义域、值域、单调性、奇偶性外是否还得到一
1
些有价值的副 产品呢？（如过定点（0，1），
y?a
x
与
y?()
x
的 图象关于y轴对
a
称）
【学情预设： ①首先选一从解析式的角度研究的小组上台汇报；
②对于从图象的角度研究的，可先选没对底数进行分类的小组上台汇报；
③问其它小组有没不 同的看法，上台补充，让学生对底数进行分类，引导学
生思考哪个量决定着指数函数的单调性，以什么为 分界，教师可以马上通过电脑
操作看函数图象的变化。】
【设计意图： ①函数的表示法有三 种：列表法、图象法、解析法，通过这
个活动，让学生知道研究一个具体的函数可以也应该从多个角度入 手，从图象角
度研究只是能直观的看出函数的一些性质，而具体的性质还是要通过对解析式的
论 证；特别是定义域、值域更是可以直接从解析式中得到的。
②让学生上台汇报研究成果，让学生有 种成就感，同时还可训练其对数学问
题的分析和表达能力，培养其数学素养；
③对指数函数的 底数进行分类是本课的一个难点，让学生在讨论中自己解决
分类问题使该难点的突破显得自然。】 师：从图象入手我们很容易看出函数的单调性、奇偶性、以及过定点（0，1），
但定义域、值域却 不可确定；从解析式（结合列表）可以很容易得出函数的定义
域、值域，但对底数的分类却很难想到。
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教师通过几何画板中改变参数
a
的值，追踪
y?a
x
的图象，在变化过程中，
让全体学生进一步观察指数函数 的变化规律。
师生共同总结指数函数的图象和性质，教师可以边总结边板书。



图


象
0a>1
定义域
值 域

过定点（0，1）
非奇非偶
在R上是减函数
（三）巩固训练、提升总结（约8分钟）
性
质
R

在R上是增函数
1．例：已知指数函数
f(x)?a
x
(a?0, 且a?1)
的图象经过点
(3,
?
)
，求
f(0),f(1 ),f(?3)
的值。
解：因为
f(x)?a
x
的图象经过点(3,
?
)
，所以
f(3)?
?

即
a?
?
，解得
a?
?
，于是
f(3)?
?
。
所以
f(0)?1,f(1)?
3
?
,f(?3)?
1
3
1
3
x
3
?
。
【设计意图：通过本题加深学生对指数函数的理解。】
师：根据本题，你能说出确定一个指数函数需要什么条件吗？
师：从方程思想来看，求指数函 数就是确定底数，因此只要一个条件，
即布列一个方程就可以了。
【设计意图：让学生明确底数是确定指数函数的要素，同时向学生渗透
方程的思想。】
1
2．练习：⑴在同一平面直角坐标系中画出
y?3
x
和
y?()
x
的大致图象，
3
并说出这两个函数的性质；
1
⑵求下列函数的定义域：①
y?2
x?2
，②
y?()
x
。
2
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1

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3．师：通过本节课的学习，你对指数函数有什么认识？你有什么收获？
【学情预设：学生可 能只是把指数函数的性质总结一下，教师要引导学
生谈谈对函数研究的学习，即怎么研究一个函数。】
【设计意图：①让学生再一次复习对函数的研究方法（可以从也应该从
多个角度进行），让学生 体会本课的研究方法,以便能将其迁移到其他函数的
研究中去。
②总结本节课中所用到的数学思想方法。
③强调各种研究数学的方法之间有区别又有联系，相互作用，才能融会
贯通。】
4．作业：课本59页习题2．1A组第5题。
七、教学反思
1．本节课改变了以 往常见的函数研究方法，让学生从不同的角度去研究函
数，对函数进行一个全方位的研究，不仅仅是通过 对比总结得到指数函数的性质，
更重要的是让学生体会到对函数的研究方法,以便能将其迁移到其他函数 的研究
中去，教师可以真正做到“授之以渔”而非“授之以鱼”。
2．教学中借助信息技术可 以弥补传统教学在直观感、立体感和动态感方面
的不足，可以很容易的化解教学难点、突破教学重点、提 高课堂效率，本课使用
几何画板可以动态地演示出指数函数的底数的动态过程，让学生直观观察底数对< br>指数函数单调性的影响。
3．在教学过程中不断向学生渗透数学思想方法，让学生在活动中感受 数学
思想方法之美、体会数学思想方法之重要，部分学生还能自觉得运用这些数学思
想方法去分 析、思考问题。
福州十一中 胡鹏程

点评：

本节是指数函 数及其性质概念课，胡老师在教学设计中，让
人印象深刻的是以学生为主体，注重学法指导，重视新旧知 识的
契合，关注知识的类比，学习方法的迁移。胡老师能够抓住学生
的好奇心，将娱乐“计算米 粒”与数学有机地结合在一起，提高
了学生学习本节知识的兴趣。在观察“准备米粒”得到
y?
2
n
和章
开头
y?1.073
x
（
x?N
?
,x?20
）函数关系式后，巧妙而不失时机地
引导学生从具体问题中抽象 出数学模型
y?a
x
，发现指数在变化，
这与以前所学函数（一次函数、二次 函数、反比例函数）都不一
样，把变化的量用
x
表示，不变的量用a表示；通过让学生 给函
育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰

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数命名，举几个指数函数例子这个小环节，增强学 生对指数函数
本质的理解，激发学习兴趣，概念的得到可谓“润物细无声”。
接着，胡老师在设 计中还注重对学生探索能力的培养，让学生类
比一次函数（
y?kx?b,k?0
）、 反比例函数（
y?
k
,
k?
0
）、二次函数
x（
y?ax
2
?bx?c,a?0
）中的限制条件，给出指数函数的定义 及底数
a
的取值范围。
在研究指数函数的性质时，胡老师能够紧扣第一章的函数知< br>识，让学生在研究指数函数时有明确的目标：函数三个要素（对
应法则、定义域、值域、）和函数 的基本性质（单调性、奇偶性）。
通过提问的方法，让学生明白研究函数可以从图象和解析式这两
个不同的角度进行出发，将学生的注意力引向本节的第二个知识
点——图象及其性质。设计中将学生进 行分组，通过学生的自主
探究、合作学习，侧重对解析式、作图象探索。学生的上台报告，
老师 借助几何画板的直观图形，以形助数，以数定形，数形结合
的数学方法，收到了较好的研究效果。





3、对数的概念

一、教学内容分析
本节课是新课标高中数学A版必修①中第二章对数函数内容的第一课时，< br>也就是对数函数的入门。对数函数对于学生来说是一个全新的函数模型，学习起
来比较困难。而对 数函数又是本章的重要内容，在高考中占有一定的分量，它是
在指数函数的基础上，对函数类型的拓广， 同时在解决一些日常生活问题及科研
中起十分重要的作用。通过本节课的学习，可以让学生理解对数的概 念，从而进
一步深化对对数模型的认识与理解，为学习对数函数作好准备。同时，通过对数
概念 的学习，对培养学生对立统一，相互联系、相互转化的思想，培养学生的逻
辑思维能力都具有重要的意义 。

二、学生学习情况分析
现阶段大部分学生学习的自主性较差，主动性不够，学 习有依赖性，且学习
的信心不足，对数学存在或多或少的恐惧感。通过对指数与指数幂的运算的学习，< br>育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰

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学生已多次体会了对立统一、相互联系、相互转化 的思想，并且探究能力、逻辑
思维能力得到了一定的锻炼。因此，学生已具备了探索发现研究对数定义的 认识
基础，故应通过指导，教会学生独立思考、大胆探索和灵活运用类比、转化、归
纳等数学思 想的学习方法。

三、设计思想
学生是教学的主体,本节课要给学生提供各种参与 机会。为了调动学生学习
的积极性，使学生化被动为主动。本节课我利用多媒体辅助教学,教学中我引导
学生从实例出发，从中认识对数的模型，体会引入对数的必要性。在教学重难点
上，我步步设问 、启发学生的思维,通过课堂练习、探究活动,学生讨论的方式来
加深理解,很好地突破难点和提高教学 效率。让学生在教师的引导下，充分地动
手、动口、动脑，掌握学习的主动权。

四、教学目标
1、理解对数的概念,了解对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的互化；< br>理解对数的性质，掌握以上知识并形成技能。
2、通过事例使学生认识对数的模型，体会引入对 数的必要性；通过师生观
察分析得出对数的概念及对数式与指数式的互化。
3、通过学生分组 探究进行活动，掌握对数的重要性质。通过做练习，使学
生感受到理论与实践的统一。
4、培 养学生的类比、分析、归纳能力，严谨的思维品质以及在学习过程中培
养学生探究的意识。
五、教学重点与难点
重点 ：（1）对数的概念；（2）对数式与指数式的相互转化。
难点 ：（1）对数概念的理解；（2）对数性质的理解。

六、教学过程设计
教
学
教学程序及设计 设计意图
环
节
育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰

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引例（3分钟）
1、一尺之棰，日取其半，万世不竭。
（1）取5次，还有多长？
（2）取多少次，还有0.125尺?
分析:
(1)为同学们熟悉的指数函数的模型,易得
创
设
情
境

引
入
新
课
?
1
?
??
?
2
?
5
?
x
1

32
?
1
?
(2)可设取x次,则有
??
?0.125

?
2
?
?
1
?
抽象出:
??
?0.125
?x??

?
2
?
2、2002年我国GPD为a亿元，如果每年平均增
长8%，那么经过多少年GPD是2002年的2倍？
x
(1?8%)?2
分析:设经过x年,则有
x
(1?8%)?2
?x??
抽象出:
x
让学生根据
题意，设未
知数，列出
方程。这两
个例子都出
现指数是未
知数x的情
况，让学生
思考如何表
示x，激发
其对对数的
兴趣，培养
学生的探究
意识。生活
及科研中还
有很多这样
的 例子，因
此引入对数
是必要的。
正确理解对
数定义中底
数的限制，
为以后对数
函数定义域
的确定作准
备。同时注
意对数的书
写 ，避免因
书写不规范
而产生的错
误。













一、对数的概念（3分钟）
一般地，如果a(a>0且a≠1)的b次幂等于N, 就
b
a
是 =N 那么数 b叫做 a为底 N的对数,记作
log
a
N?b
，a叫做对数的底数,N叫做真数。
注意：①底数的限制:a>0且a≠1
②对数的书写格式
log
a
N

育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰

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讲
授
新
课


二、对数式与指数式的互化：（5分钟）
幂底数 ← a → 对数底数
指数 ← b → 对数
幂 ← N → 真数
思考：

①为什么对数的定义中要求底数a>0且a≠1？
②是否是所有的实数都有对数呢？
负数和零没有对数






























让学生了解
对数 与指数
的关系，明
确对数式与
指数式形式
的区别，a、

b 和N位置
的不同，及
它们的含
义。互化体
现了等价转
化这个重要的数学思
想。
三、两个重要对数（2分钟）
①常用对数：
以10为底的对数
log
10
N
,简记为: lgN
②自然对数：
以无理数e=2.71828…为底的对数的对数
log
e
N

简记为: lnN . (在科学技术中,常常使用以e为底的
对数)
注意：两个重要对数的书写
课堂练习（7分钟）
1 将下列指数式写成对数式：
（1）
2
4

这两个重要
对数一定要
掌握，为以< br>后的解题以
及换底公式
做准备。
?16
（2）
3
?3
?
1

27
b
?
1
?
a
（3）
5?20
（4）
??
?0.45

?
2
?
2 将下列对数式写成指数式：
（1）
log
5
125?3
（2）
log
1
3
3??2

（3）
log
10
a??1.069

3 求下列各式的值：
（1）
log
2
64
（2）
log
9
27


本练习让学
生独立阅读< br>课本P69例
1和例2后
思考完成，
从而熟悉对
数式与指数
式 的相互转
化，加深对
对数的概念
的理解。并
要求学生指
出对数式与< br>指数式互化
时应注意哪
些问题。培
养学生严谨
的思维品
质。
育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰

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讲

授
新

课

















讲
授
新
课



讲

授

新
课


四、对数的性质（12分钟）
探究活动1
求下列各式的值：
（1）
log
3
1?
0 （2）
lg1?
0
（3）
log
0.5
1?
0 （4） 0
思考：你发现了什么？
“1”的对数等于零，即
log
a
1?0
类比：
a
0
?1

ln1?
探究活动2
求下列各式的值：
（1）
log
3
3?
1 （2）
lg10?
1
（3）
log
0.5
0.5?
1 （4）
lne?
1
思考：你发现了什么？
底数的对数等于“1”，即
log
a
a?1
类比：
a
1
?a

探究活动3
求下列各式的值：
lo g
2
3
log
7
0.6
?
（1）
2
3 （2）
7
log
0.4
89
0.4?
89 （3）
思考:你发现了什么?
?
0.6
log
a
N
a?N
对数恒等式:
探究活动4
求下列各式的值:
5
4
log0.9
log3?
(1) 4 (2)
0.9
3
8
(3)
lne?
8
思考:你发现了什么?
n
对数恒等式:
log
a
a?n


探究 活动由
学生独立完
成后，通过
思考，然后
分小组进行
讨论，最后得出结论。
通过练习与
讨论的方
式,让学生
自己得出结
论,从而 更
能好地理解
和掌握对数
的性质。培
养学生类
比、分析、
归 纳的能
力。最后，
将学生归纳
的结论进行
小结，从而
得到对数的基本性质。
?
5
育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰

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讲
授
新
课











负数和零没有对数
小 “1”的对数等于零，即
log
a
1?0

底数的对数等于“1”，即
log
a
a?1

logN
结 对数恒等式:
a
a
?N

n
对数恒等式:
log
a
a?n

将学生归纳
的结论进行
小结，从而
得到对数的
基本性质。
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巩
固
练
习
（10分钟）
1、课本P70 练习
2、提高训练
(1)已知x满足 等式
log
5
?
log
3
(log
2
x)
?
?0
，求
log
16
x
值
（2）求值 ：
log
2.5
6.25?lg
1
?ln
100
e

巩固指数式
与对数式的
互化，巩固
对数的基本
性质及其应
用。
（3分钟）
1、 引入对数的必要性----对数的概念
一般地，如果a(a>0且a≠1)的b次幂等于N,就是
归
纳
小
结

强
化
思
想



总结是一堂
课内容的概
b
a
=N，那么数b叫做以a为底，N的对数 。记作
括，有利于
学生系统地
log
a
N?b

掌握所学内
2 、指数与对数的关系 容。同时，
将本节内容
纳入已有的知识系统
中，发挥承
上启下的作
用。为下一

课时对数的
运算打下扎
3、对数的基本性质
实的基础。

负数和零没有对数
log
a
1?0

log
a
a?1

对数恒等式:
a
log
a
N
?N

作业是学生
信息 的反
馈，教师可
以在作业中
发现学生在
学习中存在
的问题，弥
补教学中的
不足。

log
a
a
n
?n

一、课本P82 习题2.2 A组 第1、2题
作
业
布
置
3x?2y
log2?x,log3?y
二、已知，求
a
的值
aa
三、求下列各式的值：
2

2

2log
9
51?2log
3
4
3

3

§2.2.1 对数的概念
2log
2
5
? log
2
3
板
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书
设
计
引例1
引例2
一、对数
的定义
二、对数式与指数
式的互化

练习
三、对数的基本
性质

四、小结
五、作业布置

七、
教学反思
< br>本教学设计先由引例出发，创设情境，激发学生对对数的兴趣；在讲授新课
部分，通过结合多媒体 教学以及一系列的课堂探究活动，加深学生对对数的认识；
最后通过课堂练习来巩固学生对对数的掌握。
古田一中 林
宁宁

点评
：
对数概念是高中数学课程 的重要内容。本文目标的制订具体、适
宜，且明确地体现在每一教学环节中，教学思路设计符合教学内容 实
际和学生实际，层次脉络较清晰。强调对数的概念的理解，对数式与
指数式的相互转化，对书 写规格等做了要求，有利于学生作业的规范
化，培养学生严谨的思维品质。高中新课程在教学方面所倡导 的新的
教学理念，对于促进课堂教学中学生学习方式的变革起到了巨大作
用。然而，这些理念在 指导我们重建课堂教学时也表现出限定的有效
性。只有对此有客观和充分的认识，我们才不至于生搬硬套 ，适得其
反，从一个极端走向另一个极端。教无定法，重在得法，只要能激发
学生的学习兴趣， 提高学生的学习积极性，有助于学生思维能力的培
养，有利于所学知识的掌握和运用，达到课堂教学的效 果，都应该是
好的教学方法。


育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰

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4、对数函数及其性质（1）

一、 教材分析
本小节选自《普通高中课程标准数学教科书-数学必修（一）》（人教版）第
二章基本初等函数 （1）2.2.2对数函数及其性质（第一课时），主要内容是学习
对数函数的定义、图象、性质及初步 应用。对数函数是继指数函数之后的又一个
重要初等函数，无论从知识或思想方法的角度对数函数与指数 函数都有许多类似
之处。与指数函数相比，对数函数所涉及的知识更丰富、方法更灵活，能力要求
也更高。学习对数函数是对指数函数知识和方法的巩固、深化和提高，也为解决
函数综合问题及其在实 际上的应用奠定良好的基础。虽然这个内容十分熟悉，但
新教材做了一定的改动，如何设计能够符合新课 标理念，是人们十分关注的，正
因如此，本人选择这课题立求某些方面有所突破。
二、 学生学习情况分析
刚从初中升入高一的学生，仍保留着初中生许多学习特点，能力发展正处于
形象思维向抽象思维转折阶段，但更注重形象思维。由于函数概念十分抽象，又
以对数运算为基础，同时 ，初中函数教学要求降低，初中生运算能力有所下降，
这双重问题增加了对数函数教学的难度。教师必须 认识到这一点，教学中要控制
要求 的拔高，关注学习过程。
三、设计理念
本节课 以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据进行设计的，
针对学生的学习背景，对数函数的教 学首先要挖掘其知识背景贴近学生实际，其
次，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们 提供自主探究、合
作交流的机会，确实改变学生的学习方式。
四、教学目标
1．通 过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数
函数的概念，体会对数函数是一类 重要的函数模型；
2．能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的
单调性与特殊点；
3．通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数
函数的性质，培养 学生运用函数的观点解决实际问题。
五、教学重点与难点
重点是掌握对数函数的图象和性质，难点是底数对对数函数值变化的影响．
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六、教学过程设计
教学流程：背景材料→ 引出课题 → 函数图象→ 函数性质 →问题解决→归纳
小结
（一）熟悉背景、引入课题
1．让学生看材料：
材料1（幻灯）：马王堆女尸千年 不腐之谜：一九七二年，马王堆考古发现震惊
世界，专家发掘西汉辛追遗尸时，形体完整，全身润泽，皮 肤仍有弹性，关节还
可以活动，骨质比现在六十岁的正常人还好，是世界上发现的首例历史悠久的湿尸。大家知道，世界发现的不腐之尸都是在干燥的环境风干而成，譬如沙漠环境，
这类干尸虽然肌肤 未腐，是因为干燥不利细菌繁殖，但关节和一般人死后一样，
是僵硬的，而马王堆辛追夫人却是在湿润的 环境中保存二千多年，而且关节可以
活动。人们最关注有两个问题，第一：怎么鉴定尸体的年份？第二： 是什么环境
使尸体未腐？其中第一个问题与数学有关。

图 4—1
（
如图 4—1在长沙马王堆“沉睡”近2200年的古长沙国丞相夫人辛追，日前奇迹般地“复
活”了）
那么，考古学家是怎么计算出古长沙国丞相夫人辛追“沉睡”近2200年？上
面已经知道考古学家是通过提取尸体的残留物碳14的残留量p，利用
t?logP

1
5730
2
估算尸体出土的年代，不难发现：对每一个碳14的含量的取值 ，通过这个对
应关系，
生物死亡年数t都有唯一的值与之对应，从而t是P的函数；

如
图4—2材料2（幻灯）：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4
个 ……，
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如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到细胞1万个，10万个 ……，
不难发现：分 裂次数y就是要得到的细胞个数x的函数,即
y?log
2
x
；





图 4—2

1.引导学生观察这些函 数的特征：含有对数符号，底数是常数，真数是变量，
从而得出对数函数的定义：函数
y?lo g
a
x(a?0
，且
a?1)
叫做对数函数，其
中
x
是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．

1
对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：注意：○
y?2log
2< br>x
，
y?log
5
x
2
对数函数对底数的限制：
(a?0
， 都不是对数函数．○
5
且
a?1)
．
3．根据对数函数定义填空；
例1 （1）函数 y=log
a
x的定义域是___________ (其中a>0,a≠1)
(2) 函数y=log
a
(4-x) 的定义域是___________ (其中a>0,a≠1)
说明：本例主要考察对数函数定义中底数和定义域的限制，加深对概念的理
解，所以把教材中的解答题改 为填空题，节省时间，点到为止，以避
免挖深、拓展、引入复合函数的概念。
[设计意图： 新课标强调“考虑到多数高中生的认知特点，为了有助于他们对函
数概念本质的理解，不妨从学生自己的 生活经历和实际问题入手”。因此，新课
引入不是按旧教材从反函数出发，而是选择从两个材料引出对数 函数的概念，让
学生熟悉它的知识背景，初步感受对数函数是刻画现实世界的又一重要数学模
型 。这样处理，对数函数显得不抽象，学生容易接受，降低了新课教学的起点]
2
（二）尝试画图、形成感知
1．确定探究问题
教师：当我们知道对数函数的定义之后，紧接着需要探讨什么问题？
学生1：对数函数的图象和性质
教师：你能类比前面研究指数函数的思路，提出研究对数函数图象和性质的方
法吗？
学生2：先画图象，再根据图象得出性质
育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰

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教师：画对数函数的图象是否象指数函数那样也需要分类？
学生3：按
a?1
和
0?a?1
分类讨论
教师：观察图象主要看哪几个特征？
学生4：从图象的形状、位置、升降、定点等角度去识图
教师：在明确了探究方向后，下面，按以下步骤共同探究对数函数的图象：
步骤一：（1）用描点法在同一坐标系中画出下列对数函数的图象

y?log
2
x

y?log
1
x

2
（2）用描点法在同一坐标系中画出下列对数函数的图象

y?log
3
x

y?log
1
x

3
步骤二：观察对数函数
y?log
2
x
、
y?l og
3
x
与
y?log
1
x
、
y?log
1
x
的图象特
23
征 ，看看它们有那些异同点。
步骤三 ：利用计算器或计算机，选取底数
a
(a?0
，且
a?1)
的若干个 不同的值，
在同一平面直角坐标系中作出相应对数函数的图象。观察图象，它们有
哪些共同特征 ？
步骤四：规纳出能体现对数函数的代表性图象

步骤五：作指数函数与对数函数图象的比较
2．学生探究成果
（1）如图 4—3、4—4较为熟练地用描点法画出下列对数函数
y?log
2
x
、
y?log
1
x
、
y?log
3
x
、
y?log
1
x
的图象
2
3

育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰

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图4—3


图4—4


（2）如图4—5学生 选取底数
a
=14、15、16、110、4、5、6、10，并推
荐几位代表上台演 示‘几何画板’，得到相应对数函数的图象。由于学生
自己动手，加上‘几何画板’的强大作图功能，学 生非常清楚地看到了
底数
a
是如何影响函数
y?log
a
x (a?0
，且
a?1)
图象的变化。












图4—5

（3）有了这种画图感知的过程以及学习指数函数的经验，学生很明确y = log
a

x （a>1）、y = log
a
x (0










育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰

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y = log
a
x （a>1） y = log
a


x (0
图4—6

（4）学生相互补充，自主发 现了图象的下列特征：①图象都在y轴右侧，向y
轴正负方向无限延伸；②都过（1、0）点；③当a> 1时，图象沿x轴正向逐
步上升；当0对称，并且能从图象的形状、位置、升降、定点等角度指出指数函数与对数
函数的图象区别；如 图4—7





图4—7






y?log
3
x
与
y?log
1
x
3．拓展探究：（1）对数函数
y?log
2x
与
y?log
1
x
、
2
3
的图象有怎样的对称关系？
（2）对数函数y = log
a
x （a>1），当a值增大，图象的上升“程
度”怎样？
说明：这是学生探究中容易忽略的地方，通过补充学生对对数函数图象感
性认识就比较全面。
[设计意图：旧教材是通过对称变换直接从指数函数的图象得到对数函数图象，
这样处理学生虽 然会接受了这个事实，但对图象的感觉是肤浅的；这样处理
也存在着函数教学忽视图象、性质的认知过程 而注重应用的“功利”思想。
因此，本节课的设计注重引导学生用特殊到一般的方法探究对数函数图象的
形成过程，加深感性认识。同时，帮助学生确定探究问题、探究方向和探究
步骤，确保探究的有 效性。这个环节，还要借助计算机辅助教学作用，增强
学生的直观感受]
（三）理性认识、发现性质
1．确定探究问题
教师：当我们对对数函数的图 象有了直观认识后，就可以进一步研究对数函
数的性质，提高我们对对数函数的理性认识。同学们，通常 研究函数
的性质有哪些途径？
育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰

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学生：主要研究函数的定义域、值域、单调性、对称性、过定点等性质。
教师：现在，请同学 们依照研究函数性质的途径，再次联手合作，根据图象
特征探究出对数函数的定义域、值域、单调性、对 称性、过定点等性
质
2．学生探究成果
在学生自主探究、合作交流的的基础上填写如下表格：
函
y = log
a
x （a>1） y = log
a
x (0数



图 像




定义域
值
域
单调性
过定点
R
+

R
R
+

R
在（0，+
?
）上是减函数
（1，0）即x=1，y=0
00
x>1时，y<0
在（0，+
?
）上是增函数
（1，0）即x=1，y=0
0取值范围 x>1时，y>0

[设计意图：发现性质、弄清性质的来龙去脉， 是为了更好揭示对数函数的本质
属性，传统教学往往让学生在解题中领悟。为了扭转这种方式，我先引导 学生回
顾指数函数的性质，再利用类比的思想，小组合作的形式通过图象主动探索出对
数函数的 性质。教学实践表明：当学生对对数函数的图象已有感性认识后，得到
这些性质必然水到渠成]
（四）探究问题、变式训练
问题一：（幻灯）（教材p79 例8） 比较下列各组数中两个值的大小：
(1) log
2
3.4 , log
2
8.5 （2）log
0.3
1.8 , log
0.3
2.7
（3）log
a
5.1 , log
a
5.9 ( a＞0 , 且a≠1 )
独立思考：1。构造怎样的对数函数模型？2。运用怎样的函数性质？
?log
0
。
3
是减函数 小组交流：（1）
y?log
2
x
是增函数 （2）
y

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X

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（3）y = log
a
x，分
a?1
和
0?a?1
分类讨论
变式训练：1. 比较下列各题中两个值的大小:
⑴ log
10
6 log
10
8 ⑵ log
0.5
6 log
0.5
4
⑶ log
0.1
0.5 log
0.1
0.6 ⑷ log
1.5
0.6 log
1.5
0.4
2．已知下列不等式，比较正数m，n 的大小：
(1) log

3
m < log

3
n (2) log

0.3
m > log

0.3
n
(3) log
a
m < log
a
n (0 a
m > log
a
n (a>1)
问题二：（幻灯）（教材p79 例9）溶液酸碱度的测量。
??
HH
溶液酸碱度是通过pH刻画的。pH的计算公式为pH= —lg[ ]，其中
[ ]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔升。（1）根据对数函数 性质及上述
pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；（2）
1 0
?7
[ ] = - 摩尔升，计算纯静水的pH
H
?
已知纯静水中氢离子的浓度为
独立思考：解决这个问题是选择怎样的对数函数模型？运用什么函数性质 ？
H
?
H
?
H
?
随着[ ]
H
?
的增大，pH 减小，小组交流：pH=-lg[ ]=lg[ ]=lg1[ ],
即溶液中氢离子浓度越大，溶液的酸碱度就越大
[设计意图：1。 这个环节不做为本节课的重头戏，设置探究问题只是从另一层面
上提升学生对性质的理解和应用。问题一 是比较大小，始终要紧扣对数函数模型，
渗透函数的观点（数形结合）解决问题的思想方法；2。旧教材 在图象与性质之
后，通常操练类似比较大小等技巧性过大的问题，而新教材引出问题二，还是强
调“数学建模”的思想，并且关注学科间的联系，这种精神应予领会。当然要预
计到，实际教学中学生理 解这道应用题题意会遇到一些困难，教师要注意引导]
（五）归纳小结、巩固新知
1．议一议：（1）怎样的函数称为对数函数？
（2）对数函数的图象形状与底数有什么样的关系？
（3）对数函数有怎样的性质？
2．看一看：对数函数的图象特征和相关性质

对数函数的图象特征 对数函数的相关性质
a?1

0?a?1

函数图象都在y轴右侧
图象关于原点和y轴不对称
向y轴正负方向无限延伸
a?1

0?a?1

函数的定义域为（0，＋∞）
非奇非偶函数
函数的值域为R
log
1
a
?0
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函数图象都过定点（1，0）
自左向右看， 自左向右看，
图象逐渐上升 图象逐渐下降
第一象限的图第一象限的图
象纵坐标都大象纵坐标都大
于0 于0
第二象限的图第二象限的图
象纵坐标都小象纵坐标都小
于0 于0

















增函数
x?1,log
a
x?0

减函数
0?x?1,log
a
x?0

0?x?1,log
a
x?0

x?1,log
a
x?0

（六）作业布置、课后自评
1．必做题：教材P
82
习题2．2（A组） 第7、8、9、12题．
2．选做题：教材P
83
习题2．2（B组） 第2题．
3．
七、教学反思
从教二十多年，每每设计函数的教学，始终存有困惑的感慨，同时
也有 遇旧如新的喜悦。函数始终是高中数学教学的主线，对数函数始
终是高中数学的难点。高中新课改的春风 ，带来了函数教学设计上的
创新，促使我们在学生学习方法上、教学内容的组织上、教学辅助手
段上率先尝试，但这只是一个起点，目前教学条件还受到制约，如图
形计算器未能普及、课时紧容量大， 都影响函数的正常教学，通过这
次活动希望能引起大家的广泛关注并深入探讨！

【参考文献】1。普通高中数学课程标准，人教社，2003
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2．章建跃，数学课堂教学设计研究。数学通报，2006.7

宁德市霞浦县第六中学 郭星波
点评：
本文教学目标的设计定位准确，教学重点、 难点明确。从两个实
际问题引出对数函数的概念，让学生了解知识产生的背景，初步感受
对数函 数是刻画现实世界的一个重要数学模型。教学设计注重引导学
生用特殊到一般的方法探究对数函数图象的 形成过程，加深感性认
识。同时，帮助学生确定探究问题、探究方向和探究步骤，确保探究
的有 效性。同时借助计算机辅助教学，增强学生的直观感受。
教给学生方法比教给学生知识更重要。本设计 能在前一节刚学过
指数函数的图象与性质的基础上，通过类比，以旧引新，自然过渡到
本节的学 习，用研究指数函数的图象与性质的方法来研究对数函数的
图象与性质。在教学过程中，教师能引导学生 确定探究问题、探究方
向和探究步骤，确保了探究的有效性；让学生动手画图、观察图象，
启发 学生思考、实验、分析、归纳，注重探究的过程与方法。在这里，
教师成为课堂教学的组织者与学生学习 的促进者，而学生成为学习的
主人，学会了学习，学到了 “对比联系”、“数形结合”及“分类讨
论”的思想方法。
另外，教学情景的设置、教学例题 的选用，以及信息技术来动态
演示，都令人耳目一新，体现了教师的良好的素养及丰厚的学科功底。

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5、对数函数及其性质（2）

一、教学内容分析
《普通高中课程标准数学教科书·必修（1）》（人民教育出版社）高中一年
级第二单元2.2.2《对 数函数的图象和性质》第一课时。
函数是高中数学的主体内容——变量数学的主要研究对象之一，是中 学数学
的重点知识，研究函数的一般理论和基本方法，用函数的思想方法解决实际问题，
是函数 教学的主要目标。必修(Ⅰ)2.2.2对数函数及其性质，按课标要求教学时间
为3个学时，本节课为 第1课时，本节课教学是学生在学过正比例函数、一次函
数、二次函数、反比例函数和指数函数的基础上 进一步学习的一种新函数，对对
数函数概念的理解，图象和性质的掌握和应用有利于学生对初等函数认识 的系统
性，有利于进一步加深对函数思想方法的理解。为后面进一步探究对数函数的应
用及指数 函数、对数函数的综合应用起到承上启下的作用。
二、学情与教材分析
对数函数是高中引进 的第二个初等函数，是本章的重点内容。学生在前面的
函数性质、指数函数学习的基础上，用研究指数函 数的方法，进一步研究和学习
对数函数的概念、图象和性质以及初步应用，有利于学生进一步完善初等函 数的
认识的系统性，加深对函数的思想方法的理解，在教学过程中，虽然学生的认知
水平有限， 但只要让学生体验对数函数来源于实践，通过教师课件的演示，通过
数形结合，让学生感受y=log< br>a
x(a>0且a≠1)中，a取不同的值时反映出不同的函
数图象，让学生观察、小组 讨论、发现、归纳出图象的共同特征、函数图象的规
律，进而探究学习对数函数的性质。
最后 将对数函数、指数函数的图象和性质进行比较，以便加深对对数函数的
概念、图象和性质的理解，同时也 为后面教学作准备。
三、设计思想
在本节课的教学过程中，通过古遗址上死亡生物体内碳1 4含量与生物死亡
年代关系的探索，引出对数函数的概念。通过对底数
a
的分类讨论， 探究总结出
对数函数的图象与性质，使学生经历从特殊到一般的过程，体验知识的产生、形
成过 程，通过例题的分析与练习，进一步培养学生自主探索，合作交流的学习方
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式，通过学生经历直观感知，观察、发现、归纳类比，抽象概括等思维过程，落
实培养学生积极 探索学习习惯，提高学生的数学思维能力的新课程理念。
四、教学目标
1、通过对对数函数 概念的学习，培养学生实践能力，使学生理解对数函数
的概念，激发学生的学习兴趣。
2、通 过对对数函数有关性质的研究，渗透数形结合、分类讨论的数学思想。
培养观察、分析、归纳的思维能力 和交流能力，增强学习的积极性。掌握对数函
数的图象与性质，并会初步应用。
3、培养学生 自主学习、数学交流能力和数学应用意识。通过联系观点分析，
解决两数比较大小的问题。
五、教学重点和难点
重点：1、对数函数的定义、图象、性质。
2、对数函数的性质的初步应用。
难点：底数a对对数函数图象、性质的影响。
六、教学过程设计
问题与情境
活动一：
1、你能说出指数函数的概念、图象、
性质吗？
2、（课件演示）
5730
看2.2.1的例6，在t=log
1
2
师生活动

生：回答问题1。
设计意图

通过回顾旧
师：组织学生计算，注知识，使知识得
意引导学生从函数的实际出到联系。
P中，
发，解释两个变量之间的关创设问题情

境，让学生从生
请同学们用计算器计算，在古遗址
系。
上生物体内碳14的 含量P，与之相
教师提出问题，注意引活中发现问题，
对应生物死亡年代t的值，完成下
导学生把解析式概括到激发学生的学习
表：
y=log
a
x形式。 兴趣。
P
t
0.5

0.3

0.01



数特征。

初步建立对
3、你能归纳出这类函数的一般式吗？
学生思考，归纳概括函数函数模形。
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活动二：
归纳给出对数函数的概念



师：(板书)一般地，我

抽象出对数
们把函数
y?log
a
x(a?0
且函数的一般形
其中x式，让学生感受
a?1)
叫做对 数函数，
你知道为什么
a?0
且
a?1
和是自变量，定义域为从特殊 到一般的
x?(0,??)
。
x?0
吗？ 数学思维方法，
维能力。

教学引导学生用对数的发展学生抽象思
定义分析、回答。
活动三：
1、你能用描点法画出
y?log
2
x
和

生：独立画图，同学间
交流。

会用描点法
画出这两个函数
的图象。
y?log
1
x
的图象吗？









2
师：课堂巡视，个别辅
导，展示画得较好的个别同
学图象。图5—1





为对数函数
的图象和性质作
铺垫。
的区别在哪里？图象有什么不同和
联系？



图5—1
2、从画出的图象中，你能发现解析式
生：个别同学尝试回答。
师：引导学生发现、观
察、对比底数不同对函数图
象的影响。
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活动四：
1、你知道下列函数： （1）
y?log
2
x,
y?log
3
x
，< br>y?log
4
x
，
（2）
y?log
1
x
，
y?log
1
x
，
y?log
1
x
234

生：独立思考，小组讨论。

各个函数的图象。

通过学生讨
论，培养学生交

获得对数函
师：用多媒体课件展示流合作能力。
图象吗？观察并回答有什么共同点和

不同点？


2、你能思考并归纳出
y?log
a
x

(a?0
且
a?1)
中，当
a?1
和
生：观察图象讨论、交数的图象和性

明确底数a
的要素，渗透分
类讨论思想。
通过对数函
数图象的观察，分
析总结出对数函
数的性质，有利于
1
x
流合作，归纳出对数函数的质。
共同性质。

数性质去分析。
0?a?1
时，两种图象的特点吗？

师：注意 引导学生从函是确定对数函数
给出对数函数y=log
a
x(a>0且a≠1)的图象 和性质。


图
象
O 1
x
O
图5-2
y
u
a?1


y
u
0?a?1

加深学生对性质
的理解和掌握，使
学生经历从特殊到一般的过程，体
验知识的产生形
成过程，逐步培养
学生的抽象概括
能力 。
定
义
域
值
域

R
过定点（1，0）
在
x?(0,??)
上为增函数 当在
x?(0,??)
上为减函数
当
x?1时，y?0

当
0?x?1时，y?0

x?(0,??)

当
x?1时，y?0

当
0?x?1时，y?0


生：独立完成。
学生存在的问题，集中讲评。

掌握对数函
活动五：
练习，
P
81
，1、画出函数
y?log
3
x
和
y?log
1
x
图象，并且说
3
师：课堂巡视，注意收集数图象的画法。
明这两个函数图象有什么不同点和
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相同点？
活动六：
例1、求下列函数的定义域：。
（1）
y?log
a
x
2

（2）
y?log
a
(4?x)









练习：
P
81
,2，求下列函数的定义域：
1
(1)
y?log
5
(1?x)
(2)
y?

log
2
x


师：（分析 ）函数的定义域
明确真数大
必须使函数的解析式有意义，
于0的条件，掌
根据
y?log
a
x
中
x?0
中，所以
握解题步骤。
①中
x
2
?0
，即
x?
0；②
4?x?0 ,
?x?4
。
师：(板书)解：(1)
?x
2
?0,

即函数
y ?log
a
x
2
的定
?x?0
，
义域为
?
xx?0
?
。(2)
?4?x?0,

?x
2
?0,
?x?4
，即函数
?
xx?4
?
。

y?log
a
(4? x)
的定义域为
生：认真听讲，积极思考，
叙述解例1的步骤。

函数图象性
质，得到进一下
师：请4个同学上台板演。
生：独立完成。
对学生完成情况进行点评。

师：(分析)请同学们观察

利用对 数函
1
(3)
y?log
7
(4)
y?log
3< br>x

1?3x
师：课堂巡视，个别辅导，的巩固和提高。
活动七：
例2，比较下列各组数中两个值
的大小。
(1)
log
2
3.4

log
2
8.5

(2)
log
0.3
1.8

log
0.3
2.7

(3)
log
2
0.5

log
0.3
0.4

(4)
log
5
6

log
6
5

(1)(2)两题，这两个对数底数数的单调性，进< br>相同，因此(1)可认为是行两个函数对数
y?log
2
x
中，x取3 .4和8.5值的大小比较，
时的函数值。(2)可认为是函数的性质得到
y?log
0.3
x
中，x取1.8和2.7初步应用。
的函数值。由
y?loga
x
单调性
可以比较，(3)中底数不相同，
真数也不相同，结合函数图 象，
如何共同探索出比较方法，(4)
根据函数的单调性，可寻找中
间量1进行比较。
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(板书)解：
增函数，且3.4<8.5，
∴
log
2
3.4?log
2
8.5
；
(2) ∵
y?log
0.3
在(0，+∞)







补充的（3）
（4）两小题是为
索出各种比较方
法。
(1)∵
y?log
2
x
在(0，+∞)上是
上是减函数，且1.8<2.7；
∴
log
0.3
1.8?log
0.3
2.7

(3)由
y?log
2
x
图象可知：
log
2< br>0.3?0
由
y?log
0.3
x

图象可知，
log
0.3
0.4?0
， 了更好地共同探
∴
log
2
0.3?log
0.3
0.4
；
(4)∵
log
5
6?log
5
5?1

log
6
5?log
6
6?1
，
∴
log
5
6?log
6
5
。
练习：P
81
3 比较下列各题中的
两个值的大小。
(1)
log
10
6

log
10
8

(2)
log
0.5
6

log
0.5
4

(3)
log
2
0.5

log
2
0.6

(4)
log
1.5
1.6

log
1.5
1.4

活动八：
33


师：请4个同学上台板演，使学生进一

其余同学独立完成。教师在巡步应用对数函数
视中，个别辅导。结合学生完的性质。
成情况，有针对性的点评。

(补充思考题)看谁能解答下题。 师：鼓励学生大胆尝试。 本题是让部
2
分学有余力的同
设
log
a
?1
，则实数
a
取值范
3
教师注意引导学生用分类学积极 去完成。
围是（ ）
讨论思想，应用函数性质去解培养学生探
22
A、
0?a?
B、
?a?1

33
答。 索精神。渗透分
22
类讨论思想。
C、
0?a?或a?1
D、
a?

33
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小结：
1、你能归纳出这节课的学习内
容吗？
2、对数函数及其性质和指数函
数及其性质有什么区别和联系？
3、你能谈谈这节课的收获和体
会吗？

小组讨论，合作交流，由

学生在教学
识，进一步巩固
和提高对数函数
及其性质。
学生代表总结表达，教师补充。 反思中，整理知
七、教学反思
函数内容是学生学习 上的一个难点，本节课的教学设计能通过实例，渗透数
学方法和思想，与指数函数的类比学习，注重学生 探究学习的过程。能够根据教
学内容、学生的认知规律和教学设计的情意原则、过程原则进行设计，突出 教师
的指导和学生自主探究、合作交流的学习理念，使学生对概念的产生、图象的形
成过程有了 较深入的理解。通过对对数函数的图象和性质的研究，对底数
a
的分
类讨论，以达到突 破难点的目的。通过例题的分析和讲解、学生的练习，使函数
的图象和性质得到初步应用。活动八补充的 思考题是让层度较好的同学去完成，
如果课堂时间不允许，可将此部份内容留给学生课后去完成。
漳平二中邓荣庆
点评
本节课是根据学生认知规律设计教学，通过学生实践使学生理 解
对数函数的概念，其过程是主要的，通过对函数
y
?log
2
x< br>和
y?log
1
x
的
2
描点法函数图象的产生，更重 要的是对函数
y
?log
a
x
(a>0且a≠1)的
底数a 的变化，进行观察、分析、归纳等探究活动，形成了对数函数
y?log
a
x
(a>0且a≠1)的底数a>1和0在教师的启发、引导下，结合前面 指数函数的学习方法，数形结合，
让学生小组讨论、合作交流，一起归纳出对数函数的性质。通过教学< br>活动六，使学生对函数的概念更深刻的理解。教学活动七，使学生用
函数图象的单调性解决问题。 例2补充的(3)、(4)两个小题，目的是
使学生从函数的各个角度分析问题，解决问题，培养学生探 索精神。
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最后补充的思考题是让学有余力的同学去完成，使不同层次的学生各
有所得。
通过小结，让学生对建立和研究一个具体函数的方法有较完整的
认识。








6、函数图象及其应用
一．教学内容分析：
本堂课安排在人教版必修1第二章结束之后，第三章教学之前，对所学常 见
函数模型及其图像进行归纳总结，使学生对函数图像有个系统的认识，在此基础
上，一方面加 强学生的看图识图能力，探究函数模型的广泛应用，另一方面，着
重探讨函数图像与方程的联系，渗透函 数与方程的思想及数形结合思想，为第三
章作了很好的铺垫，承上启下，衔接自然，水到渠成。
学生对函数与方程的关系有一个逐步认识的过程，应遵循由浅入深、循序渐
进的原则．从学生认为较简 单的问题入手，由具体到一般，建立方程的根与函数
图像的联系。另外，函数与方程相比较,一个“动” ，一个“静”；一个“整体”，
一个“局部”，用函数的观点研究方程，本质上就是将局部的问题放在整 体中研
究，将静态的结果放在动态的过程中研究，这为今后进一步学习函数与不等式等
其它知识 的联系奠定了坚实的基础。
二．学生学习情况分析：
学生在学完了第一章《集合与函数概念 》、第二章《基本初等函数》后，
对函数的性质和基本初等函数及其图像有了一定的了解和把握，但学生 素质
参差不齐，又存在能力差异，导致不同学生对知识的领悟与掌握能力的差距
很大。因此进行 本堂课的教学，应首先有意识地让学生归纳总结旧知识，提
高综合能力，对新知识的传授，即如何利用函 数图像解决方程的根的问题，
则应给足学生思考的空间和时间，充分化解学生的认知冲突，化难为易，化
繁为简，突破难点。
高中数学与初中数学相比，数学语言在抽象程度上突变，思维方法向理性 层
次跃迁，知识内容的整体数量剧增，以上这三点在函数这一章中得到了充分的体
现，本章的特 点是具有高度的抽象性、逻辑性和广泛的适用性，对能力要求较高。
因此，在教学中应多考虑初高中的衔 接，更好地帮助学生借由形象的手段理解抽
象的概念，在函数这一章，函数的图像就显得尤其重要而且直 观。
育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰

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三．设计思想：

1．尽管我们 的教材为学生提供了精心选择的课程资源，但教材仅是教师在
教学设计时所思考的依据，在具体实施中， 我们需要根据自己学生数学学习的特
点，联系学生的学习实际，对教材内容进行灵活处理，比如调整教学 进度、整合
教学内容等，本节课是必修1第二章与第三章的过渡课，既巩固了第二章所学知
识， 又为第三章学习埋下伏笔，对教材做了一次成功的加工整合，正所谓磨刀不
误砍材功。
2．树 立以学生为主体的意识，实现有效教学。现代教学论认为，学生的数
学学习过程是一个学生已有的知识和 经验为基础的主动建构的过程，只有学生主
动参与到学习活动中，才是有效的教学。在本节课的设计中， 首先设计一些能够
启发学生思维的活动，学生通过观察、试验、思考、表述，体现学生的自主性和
活动性；其次，设计一些问题情境，而解决问题所需要的信息均来自学生的真实
水平，要么定位在学生 已有的知识基础，要么定位在一些学生很容易掌握的知识
上，保证课堂上大部分学生都能够轻松地解决问 题。随着学生的知识和信息不断
丰富，可以向学生介绍更多类型的问题情境或更难的应用问题情境，渗透 数学思
想，使学生学会问题解决的一般规律。
3．凡事预则立，不预则废。预设是数学课堂教 学的基本要求，但课堂教学
不能过分拘泥于预设的固定不变的程序，应当开放地纳入弹性灵活的成分以及 始
料不及的体验。一堂好数学课应该是一节不完全预设的课，在课堂中有教师和学
生真实的情感 、智慧的交流，这个过程既有资源的生成，又有过程状态的生成，
内容丰富，多方互动，给人以启发。
四．教学目标：

1．通过复习所学函数模型及其图像特征，使学生对函数有一个较直 观的把
握和较形象的理解，缓解因函数语言的抽象性引起的学生的心理不适应及不自觉
的排斥情 绪。
2．通过练习的设置，从解决简单实际问题的过程中，让学生体会函数模型
的广泛适用性 ，贯穿理论联系实际、学以致用的观点，充分体现数学的应用价值，
加强学生的看图识图能力，激发学习 兴趣，引导学生自觉自主参与课堂教学活动。
3．通过对所给问题（例题1、2）的自主探究和合作交 流，使学生理解动与
静，整体与局部的辨证统一关系，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用。
4．结合具体的问题，并从特殊推广到一般，使学生领会函数与方程之间的
内 在联系，体验函数与方程思想、数形结合思想及等价转化思想的意义和价值。
五．教学重点和难点：
教学重点：常见函数模型的图像特征和实际应用。通过课堂师生互动交流，
共同完成对相关知识 的系统归纳，借助多媒体课件演示，增加学生的直观体验，
深化认识，突破重点。
教学难点： 利用函数图像研究方程问题的思想和方法。在教学过程中，通过
学生自主探究学习，在实际问题的解决中 学习将抽象的数学语言与直观的图像结
合起来，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化 繁为简，实现
难点突破。
育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰

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六．教学过程设计：
环节设置
（一）目
标设疑，
学生解
疑，温故
知新（约
8分钟）
问题驱动
提问1：我们学过哪
些基本初等函数？
对它们的大致图像
还有印象吗？
试回忆所学并完成
表格（后附）
练习1．（后附）
提问2：若将“
a?1
”
改为“
a?0
且
，又该如何选
a?1
”
择？
学情预设
回顾常数函数、一次函
数、二次函数、反比例
函数 、指数函数、对数
函数、幂函数
1
（
a?1,2,3,?1,)
的图
2
像。（板书结合多媒体
演示、实物投影）
设计意图
所有的知识 只有
通过学生自身的“再
创造”活动，才能纳入
其认知结构中，才可能
成为下 一个有效的知
识。教师必需尊重学生
的主体性，让学生自主
参与探究，切实掌握本节课的重点。辅以多媒
体直观演示能使教学
更富趣味性和生动性。

试回忆所学并完成表格：
函数名称
常数函数
一次函数
二次函数
函数解析式
y?k(k
为常数）
函数大致图像
平行与x轴的一条直线
一条直线
一条抛物线
y?kx?b(k,b
为常数）
y?ax
2
?bx?c(a,b,c
为常数，
a?0
）
反比例函数
指数函数
对数函数
幂函数
y?
k
(k?0,k
为常数）
x
一条双曲线
（多媒体演示）
（多媒体演示）
（多媒体演示）
y?a
x
(a?0,a?1)

y?log
a
x(a?0,a?1)

y?x
a
(a?0,a
为常数）
练习1．如图6-1当
a ?1
时，在同一坐标系中，函数
y?a
?x
与
y?log
a
x
的图像
是（ D ）



y



O


(A)

y y
y
x
O
x
O
x
O
x
(B)
图6-1

(C)
(D)

育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰

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提问2：若将“
a ?1
”改为“
a?0
且
a?1
”，又该如何选择？
环节设置 问题驱动 学情预设 设计意图
（二）演练练习2．（后附） 以问题为驱动，讲 练结合，（1）新教材为引
巩固，深化提问3：你能否写引入对具体实例的详细剖导学生自主发现、理解，学以出通话收费S析，循序渐进，由浅入深，探索留有比较充
致用（约35（元）关于通话探 讨函数模型的广泛应用分的空间，在教学
分钟） 时间t（分）的函和函数与方程的等价转化，中我们应充分利
数表达式？这样渗透数形结合思想。（板书用这些空白空间，
的函数称为什么结合多媒体演示） 目标问题化，问题
函数？ 练习2：借助具体实例，了设疑化，过程探讨
例1．（后附） 解简 单的分段函数，这是很化，再给予学生发
师：从函数图像重要的一类函数模型，在实挥的空间，促进他< br>上可以分析函数际问题中有较广泛的应用。们主动地学习和
的性质（如定义本题要求写出函数解析 式，发展，让空白的地
域、值域、单调大约5分钟可完成。 方丰富多彩也是
性、奇偶性等）， 例1：借由函数图像解决函学习方式丰富的
除此之外，函数数性质（值域）是函数图像表现。
图像还有什么妙的重要应用，以概念定义方（2）对于学生来
用吗？请看例2。 式呈现，以分段函数的形式说，学习数学的一
例2．（后附） 考察，足见题目设计的新个重要目的是要
适当引导，点拨，颖，对学生较有吸引力和挑学会数学地思考，
引发认知冲突，战性，给足学生 思维、探究、数学能力的提高
学生探究解决。 讨论的时间，大约10分钟离不开解题，解题
变式一：若方程方可完成。 教学重点是向学
例2 ：恰当的问题情境，能生暴露思维过程
x
2
?2x?3?k
引发学生的认知冲 突，使学和展示学生的思
有解，k取何范生产生明显的意识倾向和维过程。例题的设
围？ 情感 共鸣，激发他们的求知计以阶梯式呈现，
提问：一定要画欲和探索精神，引导学生主给学生较为充分出具体的函数图动思考。这个问题涉及本课的时间，自主探究
像吗？不画图有题的核心内容，给学生 充足和解决问题，教师
没有办法直接给的探究时间，大约20分钟在评讲时，有意识
出k的取值 范围可完成。 地渗透数形结合
呢？ 具体可能的认知冲突有二： 的思想方法，从而
师：数和 形是数认知冲突一：方程达到传授知识、培
学的两种表达形养能力的目的，实
x
2?2x?3?k
的根的个数
式，在本例中，现难点的化解与
我们借由函数图判断， 真的要解方程吗？有突破。
像（形）解决方其他办法吗？ （3）学习函数和
程的根的个数判 认知冲突二：如何作函数方程的相互等价
断（数），以形辅转化，注意相关内
y?x
2
?2x?3
与
y?k
的
数，这种思想方容的前后联系，使
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法称为数形结图像？ 学生加深对所学
合。 结合多媒体辅助演 示，作函知识的系统认识，
变式二：依照这促进思维的深刻
数
y?x
2
?2x?3
与
y?k
样的解题方法，性。在潜移默化中
你能否判断方程的图 像，利用函数图像交点培养了学生的科
lnx?x?4
的根个数判断方程根的个数。 学态度和理性精
的个数？ 神。
练习2．某地区电信资费调整后，市话费标准为：通话时间不 超过3分钟收费0.2
元，超过3分钟后，每增加1分钟多收费0.1元（不足1分钟按1分钟收费）。
通话收费S（元）与通话时间t（分）的函数图像可表示为（ B ）

S S S

0.6
0.6
0.6

0.4
0.4
0.4

0.4

0.2 0.2
0.2 0.2

O O
3
6 t 3 6 t 3 6 t

O
3 6 t
O

(A) (B) (D)
(C)


图6-2

提问3：你能否写出通话收费S （元）关于通话时间t（分）
(0?t?6)
的函数表
达式？这样的函数称为什么函数 ？
?
b(a?b)
例1．若定义运算
a?b?
?
，则函数
f(x)?3
x
?3
?x
的值域为（ A ）
?a(a?b)
(A)(0,1](B)[1,??)C.(0,??)D.(??,??)

例2．当
k?
环节设置
（三）理
论升华，
思维拓
展，总结
评价（约
2分钟）

时，方程
x
2
?2x?3?k
有两解？有三解？有四解呢？无解呢？
问题驱动 学情预设 设计意图
提问：这节课我们学习了那总结学习内容，归提纲挈领，理清 基
些内容？哪些方法？哪些纳学习方法，提升本内容，形成知识
数学思想？（课堂小结后数学思 想，拓展学体系，提升数学思
附） 生思维，完成总结想，使本节内容不
课后作业：（后附） 评价。 再浮于表面。
1．写下本节课的学习心得
体会。
2．完成三道课后习题
课堂小结：
本节课复习了常见函数模型及其图像特征，体会到利用函数图像解决函数性
质的形象和直观，学习函数和方程的相互等价转化，体会函数方程思想与数形结
合思想的意义和价值。
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正如华罗庚所说：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔
裂分家万事休。
课后作业：
1．总结本节课的学习心得体会。
波利亚（G·Polya）先生曾指 出“一个重大的发现可以解决一道重大的题目，
但是在解答任何一道题目的过程中都会有点滴的发现”。 可见，习题在数学学习
中具有非常重要的作用。
学莫贵于自得，请你写下本节课的学习心得体会。




2．课后习题：
1．某工厂八年来产品总产量C（即前t年年产量之和）与时间t（年）的函 数如
图6-3，下列四中说法：
C
（1）前三年中，产量增长的速度越来越快；
（2）前三年中，产量增长的速度越来越慢；
（3）第三年后，这种产品停止生产；
（4）第三年后，年产量保持不变；
3 8 t

O
图
6-3
其中，说法正确的是（ A ）
（A）（2）与（3） （B）（2）与（4） （C）（1）与（3） （D）（1）与（4）
2．若关于x的方程x
2
?6x?8?k?0
有且只有两个不同的实根，则（ ）
(A)k?0(B)k?1(C)0?k?1(D)k?1或k?0

3．如图6-4 ，函数的图像由两条射线及抛物线的一部分组成，求函数
f(x)
的解
析式。
变式：讨论方程
f(x)?a
的根的个数。







附：板书设计
函数名称
常数函数
函数解析式
y?k(k
为常数）
2
1
y
O
1 2 3 4
x
图6-4

函数大致图像
……
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一次函数
二次函数
y?kx?b(k,b
为常数）
……
……
y?ax
2
?bx?c(a?0,a,b,c,
为
常数）
反比例函数
指数函数
对数函数
幂函数



1.常见函数模型
2．分段函数
练习2：……
例1．……
例2．……

k
y?(k?0,k
为常数）
x
y?a
x
(a?0,a?1)

y?log
a
x(a?0,a?1)

y?x
a
(a?0,a
为常数）
……
……
……
……














七．教学反思

1．对教学内容的反思：
对于数学教师来说，他要从“教”的角度去看数学去挖掘数学，不仅 要能“做”、
“会理解”，还应当能够教会别人去“做”、去“理解”，因此教师对教学概念的
反思应当从逻辑的、历史的、关系、辨证等方面去展开。
从逻辑的角度看，函数概念主要包含定义域 、值域、对应法则三要素，以及
函数的单调性、奇偶性、对称性等性质和一些具体的特殊函数，如：指数 函数、
对数函数等这些内容是函数教学的基础，但不是函数的全部。
从关系的角度来看，不 仅函数的主要内容之间存在着种种实质性的联系，函
数与其他中学数学内容也有着密切的联系，其中就包 括方程的根与函数的图象之
间的等价转化问题。
2．对学生数学学习活动的反思：
师生之间在数学知识、数学活动经验、兴趣爱好、社会生活阅历等方面存在
很大的差异，这些差异使得 他们对同一个教学活动的感觉通常是不一样的。学生
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的数学学习只有通过自身的操作和主动的参与才可能是有效的，更为进一步的是
学生的数学学习只有通过 自身的情感体验，树立坚定的自信心才可能是成功的。
为此，本节课在教学中着力于为学生提供丰富多彩 的问题情境，关注学生的情感
和情绪体验，让学生投入到现实的、充满探索的数学学习过程中，从而提高 数学
学习的水平，养成正确的学习态度和习惯。
3．对数学教学活动的反思：
教学 设计的难点在于教师把学术形态的知识转化为适合学生探究的认知形
态的知识。学生的认知结构具有个性 化特点，教学内容具有普遍性要求。如何在
一节课中把二者较好地结合起来，是提高课堂教学效率的关键 。本节课致力于提
高课堂教学的有效性，其一，有明确的教学目标，其二，能突出重点、化解难点，其三，善于运用现代化教学手段，其四，根据具体内容，选择恰当的教学方法，
其五，关注学生，及 时鼓励，其六，充分发挥学生主体作用，调动学生的学习积
极性，其七，切实重视基础知识、基本技能和 基本方法，其八，渗透数学思想方
法，提高综合运用能力。在实际教学中应因材施教，用不一样的标准衡 量学生，
尽量做到让不同的学生得到不同的发展。
晋江养正中学 黄培华
点评：

在环节（一）中，考虑到学生的知识水 平和理解能力，从学生熟
悉的知识入手，通过适当的问题情景，引导学生在有限的时间内完成
对 所学函数模型及其图像的归纳和总结，让学生思考回顾、动手画图、
课堂交流、亲身实践、温故知新。新 课程理念指出，学生是学习的主
体，所有的知识只有通过学生自身的“再创造”活动，才能纳入其认知结构中，才可能成为下一个有效的知识。
在环节（二）中，通过练习2的设置，使同学认识了分 段函数及
其在实际生活中的应用，拓展学生的思维；在例1、例2的引入和剖
析中，将问题情境 化，过程探讨化，通过精心设计问题情境，不断激
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发学生的学习动机，给学生提供学习的目标、思维和空间，使学生自
主学习真正成为可能。新课程的教学 理念转变为具体的教学行为时
“问题情境”在教学中的设置，显得格外重要，而且随着教学过程的
发展成为一个连续的过程，并通过有效追问形成几个高潮，使学生在
问题的解决中不断的学习。对于学 生来说，学习数学的一个重要目的
是要学会数学的思考，用数学的眼光去看世界去了解世界。而数学能< br>力的提高离不开解题，“解题策略的掌握，思想方法的运用，并不在
于教师讲了多少，而是在于学 生通过自己的认识活动体验、感悟了多
少。”这两个例题尽管较为简单，但蕴含着重要的数学思维方法和 思
想精髓，具有典型性和示范性。不为解题而解题，为的是通过解题，
让学生感悟和体验数学的 理性精神，在潜移默化中渗透数学思想。
新课程在教学方面具有三大核心理念，即建构性、生成性、多 元
性，这些理念对于改造传统的课堂教学起到了巨大作用。然而，这些
理念在指导我们重建课堂 教学时也表现出限定的有效性。只有对此有
客观和充分的认识，我们才不至于生搬硬套，适得其反，从一 个极端
走向另一个极端。教无定法，重在得法，只要能激发学生的学习兴趣，
提高学生的学习积 极性，有助于学生思维能力的培养，有利于所学知
识的掌握和运用，达到课堂教学的效果，都应该是好的 教学方法。




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7、方程的根与函数的零点

一、 教学内容分析
本节课选自《普通高中课程标准实验教课书数学I必修本（A版）》第94-95
页的第三章第一课时3.1.1方程的根与函数的的零点。
函数与方程是中学数学的重要内容，既是 初等数学的基础，又是初等数学与
高等数学的连接纽带。在现实生活注重理论与实践相结合的今天，函数 与方程都
有着十分重要的应用，再加上函数与方程还是中学数学四大数学思想之一，因此
函数与 方程在整个高中数学教学中占有非常重要的地位。
就本章而言，本节通过对二次函数的图象的研究判断 一元二次方程根的存在
性以及根的个数的判断建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，< br>然后由特殊到一般，将其推广到一般方程与相应的函数的情形．它既揭示了初中
一元二次方程与相 应的二次函数的内在联系，也引出对函数知识的总结拓展。之
后将函数零点与方程的根的关系在利用二分 法解方程中（3.1.2）加以应用，通过
建立函数模型以及模型的求解（3.2）更全面地体现函数与 方程的关系，逐步建
立起函数与方程的联系．渗透“方程与函数” 思想。
总之，本节课渗透着重要的数学思想 “特殊到一般的归纳思想” “方程与
函数”和“数形结 合”的思想，教好本节课可以为学好中学数学打下一个良好基
础，因此教好本节是至关重要的。
二 学生学习情况分析
地理位置：学生大多来自市区，学生接触面较广，个性较活跃，所以开 始可
采用竞赛的形式调动学生积极性；学生数学基础的差异不大，但进一步钻研的精
神相差较大 ，所以可适当对知识点进行拓展。
程度差异性：中低等程度的学生占大多数，程度较高与程度很差的学生占少
数。
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知识、心理、能力储备：学生之前已经学习了函数 的图象和性质，现在基本
会画简单函数的图象，也会通过图象去研究理解函数的性质，这就为学生理解函
数的零点提供了帮助，初步的数形结合知识也足以让学生直观理解函数零点的存
在性，因此从学 生熟悉的二次函数的图象入手介绍函数的零点，从认知规律上讲，
应该是容易理解的。再者一元二次方程 是初中的重要内容，学生应该有较好的基
础对于它根的个数以及存在性学生比较熟悉，学生理解起来没有 多大问题。这也
为我们归纳函数的零点与方程的根联系提供了知识基础。但是学生对其他函数的
图象与性质认识不深（比如三次函数），对于高次方程还不熟悉，我们缺乏更多
类型的例子，让学生从特 殊到一般归纳出函数与方程的内在联系，因此理解函数
的零点、函数的零点与方程根的联系应该是学生学 习的难点。加之函数零点的存
在性的判定方法的表示抽象难懂。因此在教学中应加强师生互动，尽多的给 学生
动手的机会，让学生在实践中体验二者的联系，并充分提供不同类型的二次函数
和相应的一 元二次方程让学生研讨，从而直观地归纳、总结、分析出二者的联系。
三 设计思想
教学理念：培养学生学习数学的兴趣，学会严密思考，并从中找到乐趣
教学原则：注重各个层面的学生
教学方法：启发诱导式
四、教学目标
以 二次函数的图象与对应的一元二次方程的关系为突破口，探究方程的根与
函数的零点的关系，发现并掌握 在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方
法；学会在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法。 让学生在探究过程中
体验发现的乐趣，体会数形结合的数学思想，从特殊到一般的归纳思想，培养学生的辨证思维以及分析问题解决问题的能力。
五、教学重点难点
重点：函数零点与方程根之间的关系；连续函数在某区间上存在零点的判定方法。
难点：发现与理解方程的根与函数零点的关系；探究发现函数存在零点的方法。
六、教学程序设计
1 方程的根与函数的零点以及零点存在性的探索

1.1方程的根与函数的零点
问题1：解方程（比赛）：①6
x－
1=0 ；②3
x
2
＋6x
－
1=0 。

再比赛解3
x
3
＋6
x
－1=0
设计意图：问题1（产生疑问，引起兴趣，引出课题）
比赛模式引入，调动积极性，可根据学 分评定中进行过程性评定加分奖励，
充分调动学生积极性和主动性。
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第三题学生无法解答，产生疑惑引入课题：教师介 绍说一次方程、二次方
程甚至三次方程、四次方程的解都可以通过系数的四则运算，乘方与开方等运算来表示，但高于四次的方程一般不能用公式求解，如 3x
5
＋6x－1=0 紧接< br>着介绍阿贝尔（挪威）定理（五次及高于五次的代数方程没有一般的代数解法），
伽罗瓦（法国） 的近世代数理论，提出早在十三世纪的中国，秦九韶等数学家
就提出了高次方程数值解的解法，振奋学生 的民族自豪感，最后引出人们一直
在研究方程的近似解方法二分法引入课题。
问题2：先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图
象：如图7-1 1
方程
x
2
?2x?3?0
与函数
y?x
2< br>?2x?3
○
2
方程
x
2
?2x?1?0
与函数
y?x
2
?2x?1
○
3
方程
x
2
?2x?3?0
与函数
y?x
2
?2x?1
○





[师生互动]
师：教师引导学生解方程、画函 数图象、分析方程的根与图象和
x
轴交点坐
标的关系，推广到一般的方程和函数引出零 点概念。
零点概念：对于函数
y
＝
f
（
x
）（< br>x
∈
D
），把使
f
（
x
）＝0成立的实数< br>x
叫做
函数
y
＝
f
（
x
）（
x
∈
D
）的。
师：填表格
函数
方程的根
y?x
2
?2x?3

y?x
2
?2x?1

y?x
2
?2x?1


图7-1

函数的零点





生：经过独立思考，填完表格
师提示：根据零点概念，提出问题，零点是点吗？零点与函数方程的根有何关
系？
生：经过观察表格，得出第一个结论
师再问：根据概念，函数
y
＝
f
（
x
）的零点与函数
y
＝
f
（
x
）的图象与
x
轴交点
有什么关系
生：经过观察图像与
x
轴交点完成解答，得出第二个结论
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师：概括总结前两个结论（请学生总结）。 1）概念：函数的零点并不是“点”，它不是以坐标的形式出现,而是实数。
例如函数
y? x
2
?2x?3
的零点为x=-1,3
2）函数零点的意义：函数
y?f(x)
的零点就是方程
f(x)?0
实数根，亦即函
数
y?f (x)
的图象与
x
轴交点的横坐标．
3）方程
f(x)?0
有实数根
?
函数
y?f(x)
的图象与
x
轴有交点
?
函数
y?f(x)
有零点。
师：引导学生仔细体会上述结论。
再提出问题：如何并根据函数零点的意义求零点？
生：可以解方程
f(x)?0
而得到（代数法）；
可以利用函数
y?f(x)
的图象找出零点．（几何法）
问题2一方面让学 生理解函数零点的含义，另一方面通过对比让学生再次
加深对二者关系的认识，使函数图象与x轴交点的 横坐标到函数零点的概念转变
变得更自然、更易懂。通过对比教学揭示知识点之间的密切关系。
问题3：是不是所有的二次函数都有零点？
师：仅提出问题，不须做任何提示。
生：根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概
括形成结论．
二次函数
y?ax
2
?bx?c(a?0)
的零点：看△
１）△＞０，方程
ax
2
?bx?c?0
有两不等实根，二次函数的图象与< br>x
轴有
两个交点，二次函数有两个零点．
２）△＝０，方程
ax2
?bx?c?0
有两相等实根（二重根），二次函数的图象
与
x
轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．
３）△＜０，方程
ax
2< br>?bx?c?0
无实根，二次函数的图象与
x
轴无交点，
二次函数无零 点．
第一阶段设计意图
本节的前半节一直以二次函数作为模本研究，此题是从特殊到一般的 升华，也
全面总结了二次函数零点情况，给学生一个清晰的解题思路。进而培养学生归纳
总结能 力。
1.2零点存在性的探索
[师生互动]
师：要求生用连续不断的几条曲线连接如图4
A
、
B
两点，观察 所画曲线与直线
l
的相交情况，由两个学生上台板书：

育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰

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．A


a

b

．B
图4
生：两个学生画出连接
A
、
B
两点的几条曲线后发现这些曲线 必与直线
l
相交。
师：再用连续不断的几条函数曲线连接如图
A
、
B
两点，引导学生观察所画曲线
与直线
l
的相交情况，说明连接A
、
B
两点的函数曲线交点必在区间 (
a
，
b
) 内。
生：观察下面函数
f
（
x
）＝0的图象（如图5）并回答
l

图5
①区间[
a
，
b
]上____ __(有无)零点；
f
（
a
）·
f
（b）_____0（＜ 或＞）。
②区间[
b
，
c
]上______(有无)零点；
f
（
b
）·
f
（
c
）_____0（＜或＞）。
③区间[
c
，
d
]上______(有无)零点；
f
（
c
）·
f
（
d
）_____0（＜或＞）。
师：教师引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情
况，与函数零点是否存在之间 的关系。
生：根据函数零点的意义结合函数图象，归纳得出函数零点存在的条件，并
进行交流 、评析总结概括形成结论）
一般地，我们有：如果函数
y
＝
f
（< br>x
）在区间[
a
，
b
]上的图象是连续不断的
一条曲 线并且有
f
（
a
）·
f
（
b
）<0，那么 函数
y
＝
f
（
x
）在区间（
a
，
b
）内有零
点，即存在
c
∈（
a
，
b
） ，使得
f
（
c
）=0，这个
c
也就是方程
f
（
x
）＝0的根。
第二阶段设计意图：
教师引导学生探索归纳总结函数零点存在定理，培养归纳总结能力和逻辑思维
2、例范研究
例1.已知函数
f
（
x
）= －3
x
5
－6
x
＋1有如下对应值表：
x －2 －1.5 0 1 2
f
（
x
） 109 44．17 1 －8 －107
函数y＝f（x）在哪几个区间内必有零点？为什么？
设计意图通过本例引导探索，师生互动
育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰

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探求1：如果函数
y
＝ f（x）在区间[
a
，
b
]上的图象是连续不断的一条曲线，
并且有
f
（
a
）·
f< br>（b）>0时，函数在区间（
a
，
b
）内没有零点吗?
探求 2：如果函数y＝f（x）在区间[
a
，
b
]上的图象是一条连续不断的曲线 ，
并且有
f
（
a
）·
f
（b）<0时，函数在区间 （
a
，
b
）内有零点，但是否只一个零点？
探求3：如果函数y＝ f（x）在区间[
a
，
b
]上的图象是一条连续不断的曲线，
并且函 数在区间（
a
，
b
）内有零点时一定有
f
（
a）·
f
（b）<0 ？
探求4：如果函数
y
＝
f（
x
）在区间[
a
，
b
]上的图象不是一条连续不断的 曲
线，函数在区间（
a
，
b
）内有零点时一定有
f
（
a
）·
f
（b）<0 ？
图5（反例）

师：总结两个条件：
1）函数
y
＝
f
（
x）在区间[
a
，
b
]上的图象是连续不断的一条曲线
2）在区 间[
a
，
b
]上有
f
（
a
）·
f
（b）<0
一个结论：函数
y
＝
f
（
x< br>）在区间[
a
，
b
]内单调则函数在这个区间内有
且只有一个 零点
补充：什么时候只有一个零点？
（观察得出）函数
y
＝
f< br>（
x
）在区间[
a
，
b
]内单调时只有一个零点
例2．求函数
f(x)?lnx?2x?6
的零点个数．问题：
1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？
2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？
第三阶段设计意图：
教师引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用,应用例1，例
2加深对定理的理 解
3、练习尝试(可根据时间和学生对知识的接受程度适当调整)
1．求函数
y? x
3
?2x
2
?x?2
，并画出它的大致图象．
2．利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：
（1）
x
2
?x?2?0
；（2）
f(x)?e
x
?4x
；
3．利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：
（1）
f(x)??x< br>3
?3x?3
；（2）
f(x)?2xln(x?2)?3
；
[师生互动]
育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰

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师：多媒体演示；结合图象考察零点所在的大致区间与个数，结合函数的单调性
说明零点的个数；让学生 认识到函数的图象及基本性质（特别是单调性）在
确定函数零点中的重要作用．
生：建议学生 使用计算器求出函数的大致区间，培养学生的估算能力，也为下一
节的用二分法求方程的近似解做准备。
第四阶段设计意图：利用练习巩固新知识，加深理解，为用二分法求方程的近似
解做准备

4、探索研究(可根据时间和学生对知识的接受程度适当调整)
讨论：请大家给方程x
2
?e
x
?3?0
的一个解的大约范围，看谁找得范围更小？
[师生互动]
师：把学生分成小组共同探究，给学生足够的自主学习时间，让学生充分研究，
发挥其主观能动性。也可以让各组把这几个题做为小课题来研究，激发学生学
习潜能和热情。老 师用多媒体演示，直观地演示根的存在性及根存在的区间大
小情况。
生：分组讨论，各抒己见。在探究学习中得到数学能力的提高
第五阶段设计意图：

一是为用二分法求方程的近似解做准备

二是小组探究合作学习培养学生的创新能力和 探究意识，本组探究题目就是
为了培养学生的探究能力，此组题目具有较强的开放性，探究性，基本上可 以达
到上述目的。
5课堂小结：
零点概念
零点存在性的判断
零点存在性定理的应用注意点：零点个数判断以及方程根所在区间
6作业回馈
教材P
108
习题3．1（A组）第1、2题；
思考：总结函数零点求法要注意的问题；思考可以用求函数零点的方法求方
程的近似解吗？
教学程序设计框图：



组织探究

二次函数的零点及零点存在性的．
研究二次函数在零点、零点之内及零点外的函数值符
号，并尝试进行系统的总结。
零点存在性为练习重点。
育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰
创设情境
结合实际问题诱发兴趣，结合二次函数引入课

尝试练习
探索研究
进一步探索函数零点存在性的判定。

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分析教材设计意图，探讨教学规律；
教学建议
探索合理教学思想，提出教学建议。

七、教学反思

本设计遵循了 由浅入深、循序渐进的原则，分三步来展开这部分
的内容。第一步，从学生认为较简单的一元二次方程与 相应的二次函
数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应的二次函数的
零点的联系， 然后将其推广到一般方程与相应的函数的情形。第二步，
在用二分法求方程近似解的过程中，通过函数图 象和性质研究方程的
解，体现函数与方程的关系。第三步，在函数模型的应用过程中，通
过建立 函数模型以及模型的求解，更全面地体现函数与方程的关系逐
步建立起函数与方程的联系。本节只是函数 与方程的关系建立的第一
步，教学中忌面面具到，延展太深。
恰当使用信息技术：本节的教学 中应当充分使用信息技术。实际
上，一些内容因为涉及大数字运算、大量的数据处理、超越方程求解以及复杂的函数作图，因此如果没有信息技术的支持，教学是不容易
展开的。因此，教学中会加强信 息技术的使用力度，合理使用多媒体
和计算器。
泉州九中陈美珠
点评
本 节课在尝试解答五次方程失败后，教师用浓缩的数学史的简介
活跃了课堂气氛，使学生受到数学文化的熏 陶，并产生探索新知识的
欲望。紧接着，借助二次函数的图象与
x
轴是否有交点的事实 与一元
二次方程的根的关系出发，建立一元二次方程的根与相应的二次函数
的零点的联系，然后 将其推广到一般方程与相应的函数的情形，引入
了函数零点的定义，体现了从具体到一般的思维过程。随 后，利用函
数图像和几个填空题引导探索函数零点的存在，初步得到函数零点存
在的判定方法， 体现了数形结合的思想方法。为了多角度深刻理解函
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数零点存在定理的内涵，教师构造了4个探究问题。4个探究问题是
本节课亮点，例子设计精巧，层层递 进，由此引发了学生积极的思考、
探索与交流。
设计中体现了师生主动参与体验的有机结合， 激发了学生探索新
知的兴趣，重点突出，容量适中，由浅入深，环环相扣。整个教学过
程教师只 是指导、点评，充分展示知识发生、发展的过程，由学生自
主建构，在此过程中获得对知识的亲身体验， 把教学的主动权给了学
生，鼓励学生自主探索、研究性学习，使学生成为真正意义上的学习
主人 。
值得商讨的是，在给出函数零点的概念后，要让学生明确“方程
的根”与“函数的零点”尽 管有密切的联系，但不能将它们混为一谈。
这是个难点，教师未能在此有所突破。



8、用二分法求方程的近似解
一、教学内容分析
本节课选自《普通高中 课程标准实验教科书数学1必修本（A版）》的第三
章3.1.2用二分法求方程的近似解．本节课要求 学生根据具体的函数图象能够借
助计算机或信息技术工具计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种 方法是
求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系；它既是本册书中的
重点内容 ，又是对函数知识的拓展，既体现了函数在解方程中的重要应用，同时
又为高中数学中函数与方程思想、 数形结合思想、二分法的算法思想打下了基础，
因此决定了它的重要地位．


二、学生学习情况分析
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学生已经学习了函数，理解函数零点和方程根的关系, 初步掌握函数与方程
的转化思想．但是 对于求函数零点所在区间，只是比较熟悉求二次函数的零点，
对于高次方程和超越方程对应函数零点的寻 求会有困难．另外算法程序的模式化
和求近似解对他们是一个全新的问题．
三、设计思想 < br>倡导积极主动、勇于探索的学习精神和合作探究式的学习方式；注重提高学
生的数学思维能力，发 展学生的数学应用意识；与时俱进地认识“双基”，强调数
学的内在本质，注意适度形式化；在教与学的 和谐统一中体现数学的文化价值；
注重信息技术与数学课程的合理整合.
四、教学目标
通过具体实例理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方
法，从中体会函数的零 点与方程根之间的联系及其在实际问题中的应用；能借助
计算器用二分法求方程的近似解，让学生能够初 步了解逼近思想；体会数学逼近
过程，感受精确与近似的相对统一；通过具体实例的探究，归纳概括所发 现的结
论或规律，体会从具体到一般的认知过程．
五、教学重点和难点
1．教学重 点：用“二分法”求方程的近似解，使学生体会函数零点
与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理 问题的意识．
2．教学难点：方程近似解所在初始区间的确定，恰当地使用信息技术工具，
利 用二分法求给定精确度的方程的近似解．
六、教学过程设计
（一）创设情境，提出问题 < br>问题1：在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发
生了故障．这是一条1 0km长的线路，如何迅速查出故障所在？
如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多．每查一个点要 爬一次电线杆
子．10km长，大约有200多根电线杆子呢．
想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？
以实际问题为背景，以学生感觉较简单的问题 入手，激活学生的思维，形成
学生再创造的欲望．注意学生解题过程中出现的问题，及时引导学生思考， 从二
分查找的角度解决问题．
[学情预设] 学生独立思考，可能出现的以下解决方法：
思路1：直接一个个电线杆去寻找．
思路2：通过先找中点，缩小范围，再找剩下来一半的中点．
老师从思路2入手，引导学生解决问题：
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如图，维修工人首先从中点C．查用随身带的话机向两个端点测试时， 发现
AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D，这次发现BD段正常，可见故
障在C D段，再到CD中点E来查．每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，
如此查下去，不用几次，就能 把故障点锁定在一两根电线杆附近．
师：我们可以用一个动态过程来展示一下（展示多媒体课件）．
在一条线段上找某个特定点，可以通过取中点的方法逐步缩小特定点所在的
范围（即二分法思想 ）．
[设计意图] 从实际问题入手，利用计算机演示用二分法思想查找故障发生
点，通过 演示让学生初步体会二分法的算法思想与方法, 说明二分法原理源于现
实生活，并在现实生活中广泛应用．
（二）师生探究,构建新知
问题2：假设电话线故障点大概在函数
f(x)?lnx?2x?6
的零点位置， 请同
学们先猜想它的零点大概是什么？我们如何找出这个零点？
1．利用函数性质或 借助计算机、计算器画出函数图象，通过具体的函数图
象帮助学生理解闭区间上的连续函数，如果两个端 点的函数值是异号的，那么函
数图象就一定与
x
轴相交，即方程
f(x)?0
在区间内至少有一个解（即上节课的
函数零点存在性定理，为下面的学习提供理论基础）．引导 学生从“数”和“形”两个
角度去体会函数零点的意义，掌握常见函数零点的求法，明确二分法的适用范 围．
2．我们已经知道，函数
f(x)?lnx?2x?6
在区间（2，3）内有零 点，且
f(2)
＜0，
f(3)
＞0.进一步的问题是，如何找出这个零点？
合作探究：学生先按四人小组探究.（倡导学生积极交流、勇于探索的学习
方式，有助于发挥学 生学习的主动性）
生：如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我
们可以得到零点的近似值.
师：如何有效缩小根所在的区间？
生1：通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围．
生2：是否也可以通过“取三等分点或四等分点”的方法逐步缩小零点所在的
范围？
师：很好，一个直观的想法是:如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么
在一定精确度的要求下，可以 得到零点的近似值.其实“取中点”和“取三等分点或
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四等分点”都能实现缩小零点所在的范围.但是在同样可以实现缩小零点所在范
围的前提下，“取中点” 的方法比取“三等分点或四等分点”的方法更简便.因此，为
了方便，下面通过“取中点”的方法逐步缩 小零点所在的范围.
引导学生分析理解求区间
(a,b)
的中点的方法
x?
a?b
．
2
合作探究：（学生2人一组互相配合，一人按计算器，一人记 录过程．四人
小组中的两组比较缩小零点所在范围的结果．）
步骤一：取区间(2，3)的中 点2.5，用计算器算得
f(2.5)??0.084?0
.
由
f(3)< br>＞0，得知
f(2.5)?f(3)?0
，所以零点在区间(2.5，3)内。
步骤二：取区间(2.5，3)的中点2.75，用计算器算得
f(2.75)?0. 512?0
.因为
f(2.5)?f(2.75)?0
，所以零点在区间(2.5，2 .75)内.
结论:由于(2，3)
(2,3)?(2.5,3)?(2.5,2.75 )
，所以零点所在的范围确实越来
越小了. 如果重复上述步骤，在一定精确度下，我们可以在 有限次重复上述步骤
后，将所得的零点所在区间内的任一点作为函数零点的近似值．特别地，可以将区间端点作为函数零点的近似值．
引导学生利用计算器边操作边认识，通过小组合作探究，得出教 科书上的表
3—2，让学生有更多的时间来思考与体会二分法实质，培养学生合作学习的良
好品 质．
[学情预设]学生通过上节课的学习知道这个函数的零点就是函数图象与x
轴的交点的横 坐标，故它的零点在区间（2，3）内．进一步利用函数图象通过“取
中点”逐步缩小零点的范围，利用 计算器通过将自变量改变步长减少很快得出表
3—2，找出零点的大概位置．
[设计意图]从 问题1到问题2，体现了数学转化的思想方法，问题2有着承
上启下的作用，使学生更深刻地理解二分法 的思想，同时也突出了二分法的特
点．通过问题2让学生掌握常见函数零点的求法，明确二分法的适用范 围．
3.问题3：对于其他函数，如果存在零点是不是也可以用这种方法去求它的
近似解呢？
引导学生把上述方法推广到一般的函数，经历归纳方法的一般性过程之后得
出二分法及用二分法 求函数
f(x)
的零点近似值的步骤．
对于在区间
[a
，
b]
上连续不断且满足
f(a)
·
f(b)
?0
的函数y?f(x)
，通过
不断地把函数
f(x)
的零点所在的区间一分为二， 使区间的两个端点逐步逼近零
点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰

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注意引导学生分化二分法的定义（一是二分法的适 用范围，即函数
y?f(x)
在区间
[a
，
b]
上连续不断 ，二是用二分法求函数的零点近似值的步骤）．
给定精确度
?
，用二分法求函数
f(x)
的零点近似值的步骤如下：
1、确定区间
[a
，
b]
，验证
f(a)
·
f(b)
?0
，给定精确度
?
；
2、求区间
(a
，
b)
的中点
c
；
3、计算
f(c)
：
（1）若
f(c)
=
0
，则
c
就是函数的零点；
（2）若
f(a)
·
f(c)
<
0
，则令
b
=
c
（此时零点
x
0
?(a,c)
）；
（3）若
f(c)
·
f(b)
<
0
，则令
a=
c
（此时零点
x
0
?(c,b)
）；
4、判断是否达到精确度
?
：
即若
|a?b|?
?
，则得到零点零点值
a
（或
b
）；否则重复步骤2—4．
利用二分法求方程近似解的过程，可以简约地用下图表示．













[学情预设] 学生思考问题3举出二次函数外，对照步骤观察函数
结合二次函数图象和标有< br>a
、
b
、
f(x)?lnx?2x?6
的图象去体会二分法的 思想．
x
0
的数轴理解二分法的算法思想与计算原理．
结束
满足精确度
是
否
中点函数值为零
是
否
取新区间
取区间中点
初始区间
[设计意图]以问题研讨的形式替代教师 的讲解，分化难点、解决重点，给学
生“数学创造”的体验，有利与学生对知识的掌握，并强化对二分法 原理的理解．学
生在讨论、合作中解决问题，充分体会成功的愉悦．让学生归纳一般步骤有利于
提高学生自主学习的能力，让学生尝试由特殊到一般的思维方法．利用二分法求
方程近似解的过程，用图 表示，既简约又直观，同时能让学生初步体会算法的思
想．
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（三）例题剖析，巩固新知
例：借助计 算器或计算机用二分法求方程
2
x
?3x?7
的近似解（精确度0.1）.
两人一组，一人用计算器求值，一人记录结果；学生讲解缩小区间的方法和
过程，教师点评.
本例鼓励学生自行尝试，让学生体验解题遇阻时的困惑以及解决问题的快乐.
此例让学生体会用 二分法来求方程近似解的完整过程，进一步巩固二分法的思想
方法.
思考：
问题（1）：用二分法只能求函数零点的“近似值”吗？
问题（2）：是否所有的零点都可以用二分法来求其近似值？
教师有针对性的提出问题，引导学生回答，学生讨论，交流. 反思二分法的
特点，进一步明确 二分法的适用范围以及优缺点，指出它只是求函数零点近似值
的“一种”方法.
[设 计意图]及时巩固二分法的解题步骤,让学生体会二分法是求方程近似解
的有效方法.解题过程中也起到 了温故转化思想的作用．
（四）尝试练习，检验成果
1、下列函数中能用二分法求零点的是（ ）.
y
。
(A)
(B)
(C)
o
(D)
x

[设计意图]让学生明确二分法的适用范围.
2、用二分法求图象是连续不断的函数
y?f(x)
在
x
∈(1,2)内零点近似值的过程
中得到
f(1) ?0
,
f(1.5)?0
,
f(1.25)?0
,则函数的零点落在 区间（ ）.
(A)（1,1.25） (B)（1.25,1.5） (C)（1.5,2） (D) 不能确定
[设计意图]让学生进一步明确缩小零点所在范围的方法.
3．借助计算器或计算机，用二分 法求方程
x?3?lgx
在区间（2，3）内的近似解
（精确度0.1）.
育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰

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[设计意图] 进一步加深和巩固对用二分法求方程近似解的理解.
（五）课堂小结，回顾反思
学生归纳，互相补充，老师总结：
1、理解二分法的定义和思想，用二分法可以求函数的零点 近似值，但要保
证该函数在零点所在的区间内是连续不断；
2、用二分法求方程的近似解的步骤.
[设计意图]帮助学生梳理知识,形成完整的知识结构 .同时让学生知道理解
二分法定义是关键，掌握二分法解题的步骤是前提，实际应用是深化.
（ 六）课外作业
1．[书面作业]第92页习题3.1A组3、4、5；
2．[知识链接]第91页阅读与思考“中外历史上的方程求解”．
3．[课外思考]:如果 现在地处学校附近的地下自来水管某处破裂了,那么怎
么找出这个破裂处,要不要把水泥板全部掀起?
板书设计
§3.1.2用二分法求方程的近似解
1．二分法的定义
2．用二分法求函数的零点近似值的步骤
3．用二分法求方程的近似解


七、教学反思
这节课既是一堂新课又是一堂探究课.整个教学过程,以问题为教学出发点,
以教师为主导，学生为主体，设计情境激发学生的学习动机，激励学生去取得成
功，顺应合理的 逻辑结构和认知结构，符合学生的认知规律和心理特点，重视思
维训练，发挥学生的主体作用，注意数学 思想方法的溶入渗透，满足学生渴望的
奖励结构.整个教学设计中，特别注重以下几个方面：
（1）重视学生的学习体验,突出他们的主体地位.训练了他们用从特殊到一
般,再由一般到特殊的思维 方式解决问题的能力.不断加强他们的转化类比思想.
（2）注重将用二分法求方程的近似解的方法与 现实生活中案例联系起来，让
学生体会数学方法来源于现实生活，又可以解决生活中的问题.
（3）注重学生参与知识的形成过程，动手、动口、动脑相结合，使他们“听”
有所思，“学”有所获， 增强学习数学的信心，体验学习数学的乐趣.
（4）注重师生之间、同学之间互动，注重他们之间的相互协作，共同提高.
福建师大附中 周裕燕

点评：
本节课既是一堂新课又是一堂探究课.如何在数学课堂教学中体< br>育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰

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现新课程理念，本课例进行了有益的探索。整个教 学设计过程,以问
题为出发点,以教师为主导，学生为主体，设计的问题情境顺应合理
的逻辑结 构和认知结构，符合学生的认知规律和心理特点，有效地激
发了学生的学习动机；重视思维训练，注意数 学思想方法的溶入渗透。
本节课采用 “问题情境— 意义建构— 数学理论— 数学运用—
回顾反思” 的教学流程。周老师在课题引入时，以实际问题为背景，
以学生感觉较简单的问题 入手，“让学生找出电话线故障点，”有效
地激发学生学习的欲望和探究的兴趣。采用探究教学方式，在 师生共
同探究的过程中，构建新的知识，既让学生了解数学概念和结论产生
的过程，同时也培养 了学生独立思考和勇于质疑的品质。此外，周老
师在本课例的设计中，能很好地将现代信息技术与数学课 程进行有机
的整合，使“方法建构、技术运用、算法渗透”三者同步发展。
“用二分法求方程 的近似解”是对函数知识的拓展，既体现了函
数在解方程中的重要应用，同时又为高中数学中函数与方程 思想、数
形结合思想、二分法的算法思想打下了基础。周老师不仅注意到本节
知识在这一章中的 重要性，而且还注意将本节知识与现实生活中的案
例联系起来，让学生体会数学方法来源于现实生活，又 可以解决生活
中的问题。


9、用二分法求方程的近似解

一、教学内容分析
本节选自《普通高中课程标准实验教科书 ·数学1》人教A版第三单 元第
一节第二课，主要是分析函数与方程的关系。教材分三步来进行：第一步，从学
生认为较简 单的一元二次方程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元
二次方程的根与相应函数的零点的联 系。然后推广为一般方程与相应函数的情
形；第二步，在用二分法求方程近似解的过程中，通过函数图像 和性质来研究方
程的解，体现方程和函数的关系；第三步，在函数模型的应用过程中，通过函数
模型以及模型的求解，更全面的体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程
的联系。
本节 课是这一小节的第二节课，即用二分法求方程的近似解。它以上节课的
“连续函数的零点存在定理”为确 定方程解所在区间为依据，从求方程近似解这
育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰

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个侧面来体现“方程与函数的关系”；而且在“用二分法求函数零点的步骤”中
渗透了算法的思想，为学 生后续学习算法的内容埋下伏笔；充分体现新课程“渗
透算学方法，关注数学文化以及重视信息技术应用 ”的理念。求方程近似解其中
隐含“逼进”的数学思想，并且运用“二分法”来逼近目标是一种普通而有 效的
方法，其关键是逼近的依据。
二、学生学习情况分析

同学们有了 第一节课的基础，对函数的零点具备基本的认识；而二分法来
自生活，是由生活中抽象而来的，只要我们 选材得当，能够激发学生的学习兴趣，
达到渗透数学思想关注数学文化的目的，学生也能够很容易理解这 种方法。其中
运用“二分法”进行区间缩小的依据、总结出“运用二分法求方程的近似解”的
步 骤、将“二分法”运用到生活实际，是需要学生“跳跳”才能摘到的“桃子”。
三、设计理念

本节课倡导积极主动、勇于探索的学习方式，应用从生活实际——理论—
—实际应用 的过程，应用数形结合、图表、信息技术，采用教师引导——学生探
索相结合的教学方法，注重提高学生 数学的提出问题、分析问题和解决问题的能
力，让学生经历直观感知、观察发现、抽象与概括、符号表示 、运算求解、数据
处理、反思与建构等思维过程。
四、教学目标
1、理解二分法的 概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法；利用信
息技术辅助教学，让学生用计算器自己验证求方 程近似值的过程；
2、体会二分法的思想和方法，使学生意识到二分法是求方程近似解的一种
方法；让学生能够了解近似逼近思想，培养学生能够探究问题的能力和创新
能力，以及严谨的科学态度 ；
3、体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法；感受正面解决问题
困难时，通过迂 回的方法得到解决的快乐。
五、教学重点与难点
教学重点是
能够借用计算器，用二 分法求相应方程的近似解。根所在区
间的确定及逼近的思想；难点是对二分法的理论支撑的理解，区间长 度的缩小。
育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰

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六、教学过程设计
1．教学基本流程图
深入探索发现问题提出课题“如
何求函数零点？”
经历游戏过程探索一般规律“二分法”
通过游戏感受身边的数学
解决问题“如何应用二分法求函数的零点”
应用所得方法解决实际问题“求出函数的零点”
通过练习与作业进行巩固与提高
课堂小结将所得到的知识进行归纳整理加入已有的知识链
2．教学情景设计
设计意图
知识链接
[设计意图：
1、利用视 屏与
游戏的形式，学
生会踊跃参与；
商品价格竞猜
也是学生熟悉
的， 竞猜的方法
会很多样，可以
进行竞赛；
2、通过问
题2，启发学生
教学设计 学情预设
1、大家都
看过李 咏主持
的<幸运52>
吧,今天咱也试
一回(出示游
戏)。
1、教 师从学
生熟悉的电视节
目，引导学生体
会、分析、归纳迅
速猜价的方法。 < br>2、学生能够
主动参与游戏，并
且参与游戏的同
学可以比较并总
结经验 。学生会有
很多种方案出来。
育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰

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3、对于“问题2”
学生能够顺利的
得出“主持人的
“高了，低了”的
回答是 判断价格
2、竞猜
中，“高了”、
“低了”的含
义是什么？如
何确定 价格的
最可能的范
围？
3、如何才
能更快的猜中
商品的预定价
格？
4、“二分”
的思路是什
么？
所在区间的依据”
这个结论。
4、此时教师通过“问题3”引
导学生进行比较
哪种方法更快更
好。从中学生可以
得到 用二分法解
决问题的思路—
—二分指的是将
解所在区间平均
地分为两个区间。
寻找确定区间
的依据，为后面
探索“用二分法
求方程近似解”
的时候 埋下伏
笔；
3、通过游
戏，让学生经历
游戏过程，感受
数学来自生 活，
激发学生的学
习兴趣；引导学
生善于发现身
边的数学，培养
学生 的归纳演
绎的能力；学会
将实际情景转
化为数学模型。
4、通过比较不
同的方法得出
最快的竞猜的
方法——二分
法；]
1、上节课
我们 学了什么
定理，它的作
用是什么？还
有什么问题没
有解决？
2、已知函
数
在区间（2，3）
内存在一个零
1、教师通过
“问题1”对上节
课的内容进行复
习引入，点出今天
的课题。并且有前
面游 戏作为伏笔，
学生能够得出“连
续函数零点存在
[设计意图：
1、开门见山，
延续上一节课
的内容继续深
入的研究，使得
知识有一个连
接让学生能 够
很容易的将知
识建构到旧的
知识体系中。
2、运用问题
是判断方 程
f(x)?lnx?2x?6
定理”
的根所在区间的
依据。2、通过“问< br>育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰

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点；如何求出
方程
题2”应用 具体的
题目引导学生进
行思考。学生通过
引导将方程的解
与商品的价格联系到一起，运用刚
才的游戏的经验，
得到缩小区间的
想法。
3、学生对 精
确度的概念可能
有所遗忘。教师可
以借助数轴解释
说明精确度的含
义，引导学生思考
什么时候停止操
作。
4、教师通过
“问题4～6”引导学生将“二分
法”与“零点存在
定理”相结合得到
正确的新的零点
所在 的区间。并确
定结束的时间。
5、学生按照
游戏的方法也就
是按照“二分法 ”
的思路，不断缩小
零点存在的区间，
进行具体操作，填
出（附录1）中的< br>表格。表格刚开始
的前几行学生可
1，将学生的思
路与前面已解
决的问 题联系
起来，引导学生
层层深入，抽丝
拨茧，学习如何
分析问题、如何
利用新的知识
解决问题；培养
分析问题、解决
问题的能力，以
及运用知识、 驾
驭知识的能力。
3、师生的
互动有利于一
边引导一边总
结。将二 分法应
用于解决实际
问题，即将新的
知识应用于解
决新的问题。培
养 学生实际应
用的能力，解决
问题的严谨性，
总结知识的逻
辑性。使得最后方法的总结能
够顺利进行。
4、有了前
面的商品的竞
猜过程的经历，< br>学生比较容易
入手，分析比较
容易到位，从而
lnx?2x?6?0
在 区间（2，3）
的近似解（精
确度为
0.01）？与刚才
的游戏是否有
类似之处？
3、精确度
的含义是什
么？怎样的区
间才算满足设
定的精确度？
4、区间
（2，3）的精
确度为多少？
5、如何将
零点所在的范
围缩小（即如
何将精确度缩
小）？缩小的
依据是什么？
6、如何 利
用今天“猜价
格”——“二
分法”的逼近
思想来将缩小
区间？
7、近似解
是多少？
育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰

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能会比较慢，也有
可能会出错；通过
多次的重复以及
经验的总结，后面
的表格 可以正确
的、快速的回答出
来；使得最后的
“应用二分法求
函数的零点”的方
法的总结更加顺
利。
6、对于“问
题7”学生比较不
容易得到比较 简
洁的结论。教师可
以进行解释说明：
“由于整个区间
内的数均满足精
确度的条件，因此
区间内的所有数
均可以作为近似
解，但，区间端点
a，b 是已知的值，
所以可以取a或b
作为近似解。”，最
后得到方程的近
似解（附 录1的表
格后面的内容）。
1、 我们刚才得求解
过程中有哪些过程是
一直重复出现的？
2、我们取
其一段，大家
看如何用数学
学生经过老
师 “问题1～2”
的提示与引导，可
以得到“取区间的
中点，计算函数
值，比 较符号，确
降低思维的难
度。
知识连接：
1、函数零点存
在定理 如果
函数
y?f(x)
在
区间
[a,b]
上图
像是 连续不断
的一条曲线，并
且有
f(a)?f(b)?0
，
那么，函数
y?f(x)
在区间
内有零点，即存
在
c?(a,b)
，使
得
f(c)?0
，这
个c也就是方程
f(x)?0
的根。
2、精确度
是对同一个量
的不同近似数
的精确程度的
度量。一般是：
一个近似数，四
舍五入到哪一
位，就说这个近
似数精确到哪
一位。]
[设计意图：
1、不断的引导，
将刚才的解题
过程经过“自然
语言— —数学
语言——去其
育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰

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语言来描述？
3、点明求方程
的近似解的
“二分法”：对
于在区间（a，b）上连续不
断、且f（a）·f
（b）<0的函数
y＝f（x），通
过 不断的把方
程的解所在的
区间一分为
二，使区间的
两个端点逐步
逼近 近似解，
进而得到近似
解的方法叫二
分法．
4、进一步
提出问题：运
用二分法求方
程的近似解的
步骤是什么？
5、运用二
分法的前提是
什么（游戏的
开始时要先做
什么工作）？< br>引例条件的内
涵是什么？
6、二分法
的实质是什
么？它有什么
作用?
定新的区间”这样
的相同的过程。
学生根据“二
分法”的定义进行
归纳总结：运用二
分法求方程的近
似解的步骤（附录
2）。其中步骤①
“ 画图或利用函
数值的正负，确定
初始区间(a,b)，
验证
f(a)f(b) <0”；学
生很有可能会有
遗漏。此时可以提
出“问题5”引导
学生回忆、思 考，
从而得到运用二
分法的前提——
即步骤①。
对于“问题
六”较好的学生才
能回答出来。
糟粕取其精华
——具体 步骤”
的过程，帮助学
生学会归纳总
结的方法。
2、课间的
及时总 结有利
于学生对当前
所学的内容进
行升华，了解自
己掌握了什么
知识 ，在后面的
作题中可以有
法可依，可以提
高解题的正确
率，增强自信。 3、问题六
的设计是将学
生的思维得到
升华，不再停留
在技能这一个层次，而是上升
为数学思想方
法的层次。
知识链接：
1、运用二分法
的前提是要先
判断根在某个
所在的区间。
2、二分法
实际上是一种
通过缩小区间
长度寻找解的
一种方法．]
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1．练习：
（1）（2）题为
例 题仿照题，
由同桌协助完
成.（3）（4）考
察二分法的含
义,由同学独立< br>完成,可以寻求
帮助.（附录4）
2．思考：
两道题均为实
际应用题 ,为学
有余力的同学
提高能力。（附
录4）
3． 课后
作业：习题
3.1A组3、4；
B组1、2。
教师通过点
名提 问，学生借助
教师的帮助对整
请同学们回顾一
下本节课的教学过程，
你觉得你 已经掌握了
哪些知识？

节课进行最后的
归纳总结,得到以
下两点 （1）二分
法是一种求一元
方程近似解的通
法。（2）利用二分
法来解一元方 程
近似解的操作步
骤（附录3）。
[设计意图：
学生的归纳总
结的 能力不强
需要不断的培
养；课后的总结
有利于学生对
整节课的内容
进 行升华，了解
自己掌握了什
么知识，养成良
好的学习习惯，
建立自信心。]

练习1.（1）
（2）经过同桌两
位同学合作可以
顺利完成。（3 ）
（4）独立完成如
果有困难的同学
在同伴或老师的
帮助下可以完成。
练习2实际
应用：学有余力的
同学与同伴合作
探讨，也可以解
决。
[设计意图：
1、不同层次的
题目，层层递
进，不断提高学
生的能力 。不仅
巩固新学的知
识，而且让不同
层次的学生得
到不同的收获；
2、培养合
作、互助精神；
3、培养学
生应用与创新
的能力，利用 二
分法的逼近思
想解决实际问
题。]
教学反思 1.
本节课有两 条线，明线：“从生活实际、从学生熟知的现实生活、
从学生喜爱的游戏——“竞猜商品的价格”入手， 引导学生进入深层的思考——
育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰

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如何才能更快更好的赢得游戏？与学生一道进行新知识的探索过程——二分法
的得来；再将二分法充分的 运用在函数零点的求解上；最后将二分法求解函数零
点的过程程序化”；暗线：“生活实际（特殊）—— 二分法的理论（一般）——二
分法的应用（特殊），”。让学生经历知识的形成与应用过程，培养发现问 题、提
出问题、解决问题的能力，体现数学的基础性、时代性、典型性和可接受性，体
会数学来 自生活，应用于生活的最高境界，感受数学之美。2. 引入课题的方式，
（1）从生活中常见现象— —“商品价格的竞猜”引入；（2）开门见山——“继
续前面的研究”引入。
（附录1）解： 设
f(x)?lnx?2x?6x?(2,3)
，先取区间的中点，再计算
中点的函数 值，接着应用“零点存在定理”确定零点所在的区间，从而缩小精确
度，得到下表：
区
2
2.5
2.5
2.5
2.5
2.53125
2.53125
2.53125
2.53125
2.533203125
2.534179688
2.534667969
间
3
3
2.75
2.625
2.5625
2.5625
2.546875
2.5390625
2.53515625
2.53515625
2.53515625
2.53515625
中点
2.5
2.75
2.625
2.5625
2.53125
2.546875
2.5390625
2.53515625
2.533203125
2.534179688
2.534667969
2.534912109
中点函数值
-0.083709268
0.511600912
0.215080896
0.065983344
-0.008786748
0.028617117
0.009919918
0.000567772
-0.004109191
-0.001770635
-0.000601413
-1.68157E-05
精确度
1
0.5
0.25
0.125
0.0625
0.03125
0.015625
0.007813
0.003906
0.001953
0.000977
0.000488
所以，当精确度为0.01时，由于|2.539 062 5-2.531 25|=0.0078125<0.01，因
此我们可以将x=2.25作为函数f(x)?lnx?2x?6
零点的近似值，也即方程
lnx?2x?6?0
根的 近似值。
（附录2）二分法求解方程 f(x)=0[或g(x)= h(x)]近似解的基本步骤：
① 画图或利用函数值的正负，确定初始区间(a,b)，验证f(a)f(b)<0；
a?b
② 求区间(a,b)的中点
x
1
(x
1
?)
；
2
③ 计算f(x
1
)：若f(x
1
)=0，则x
1
就是函数f(x)的零点，x
1
就是f(x)=0的根，
计算终止；
若f(a) f(x
1
)
?
0，则选择区间（a, x
1
）；
若f(a) f(x
1
)
?
0，则选择区间（x
1
，b）；
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④ 循环操作②、③，直到当区间的精确度达到事先指定的精确度
是要求精确到























（附录4）
。
?
两端点精确到同一个近似值时才终止计算）
（附录3）二分法的过程如下图：
?
（若
输入ε，x
1
，x
2

x?
1
(x
1
?x
2
),y?f(x)

2
是
y=0?
否
否
否
x
1
=x
y
1
y<0?
是
x
2
=x
D<ε?
是
打印x
结束
1．练习：（1）应用计算器，求方程x
3
+3x-1=0的一个正的近似解
。
（2）应用计算器，求方程
2
x
?x?4
的近似解。
（3）用二分法判断方程
2
x
?x
2
的根的个数（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
（4）方程
lg(x?4)?10
x
的根的情况 ( )
A.仅有一根 B.有一正根一负根 C.有两负根 D.无实根
2．思 考：(1)从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生
故障，需及时修理，为了尽快 断定故障发生点，一般至少需要检查接点的个数为
几个？
(2)一天，我们泉州七中校区与现 代中学（分校）校区的电缆线路出了故障，
（相距大约10km）电工是怎样检测的呢？
3． 课后作业：习题3.1A组3、4；B组1、2。

泉州七中冯红果
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点评：
一个有经验的的教师，应该对挖 掘课本知识是非常重视的，挖掘
课本知识的根本目的在于让学生学会探索性学习，培养学生的探索能力和创新精神。冯老师本节的教学设计，能够从知识结构、学生的认
知结构展开，充分挖掘和体现了 本课内容所蕴含的知识技能、思想方
法、数学应用、数学文化的教育价值及学习研究解决问题的策略，立
足“方程与函数的关系”，渗透了“算法”和“逼进”的数学思想，
程序化的解决问题的策略。 从生活游戏“猜价格”引入贴切，通过游
戏直观感受二分法的思想，开门见山，延续上一节课的内容继续 深入
的研究，将本节的知识建构在旧知识的体系中。设计中不管是情境的
创设，还是教师的引导 和数学活动的设置，都能从学生的实际出发，
让学生经历了直观感知、观察发现、抽象概括、符号表示、 运算求解、
数据处理、反思建构等思维的全过程。在设计中还注意到数学的应用
意识，思考题中 把“二分法”应用到电缆线故障点的检修，提升了数
学方法的重要性和普遍性，体现了数学与生活的联系 。
纵观本节的整体设计，内容安排简洁精致有层次，教法选择合理
丰富有重点，过程设计紧凑 有序可操作。





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