高中数学教学设计

等比数列的前n项和
（ 第一课时）

一． 教材分析。
（1）教材的地位与作用：《等比数列的前n项和》选自《普通高中课程标准数
学教科书·数学（5）， 是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着
广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计 算等等，而且公式推导过程中所渗透
的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今 后学习和工作
中必备的数学素养。
（2）从知识的体系来看：“等比数列的前
n项和”是“等差数列及其前n项和”
与“等比数列”内容的延续、不仅加深对函数思想的理解，也为 以后学数列的求和，
数学归纳法等做好铺垫。
二．学情分析。
（1）学生的已有的 知识结构：掌握了等差数列的概念，等差数列的通项公式和求和
公式与方法，等比数列的概念与通项公式 。
（2）教学对象：高二理科班的学生，学习兴趣比较浓,表现欲较强, 逻辑思维能力
也初 步形成，具有一定的分析问题和解决问题的能力，但由于年龄的原因，思维尽
管活跃、敏捷，却缺乏冷静 、深刻，因而片面、不够严谨。
（3）从学生的认知角度来看：学生很容易把本节内容与等差数列前n 项和从公式的
形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导。不利因素是：本节公式
的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突
破，另外，对于q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过
程中容易出错。
三．教学目标。
根据教学大纲的要求、本节教材的特点和本班学生的认知规律，本节课的教学

目 标确定为：
（1）知识技能目标————理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公
式 的特点，在此基础上，并能初步应用公式解决与之有关的问题。
（2）过程与方法目标————通过对 公式推导方法的探索与发现，向学生渗透
特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察 、比较、抽象、概
括等逻辑思维能力和逆向思维的能力．
（3）情感，态度与价值观———— 培养学生勇于探索、敢于创新的精神，从探
索中获得成功的体验，感受数学的奇异美、结构的对称美、形 式的 简洁美。
四．重点,难点分析。
教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的运用。
教学难点：公式的推导方法及公式应用中q与1的关系。
五．教法与学法分析.
培 养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提，是高中新课程
改革的主要任务。如何培养学 生学会学习、学会探究呢？建构主义认为：“知识不是
被动吸收的，而是由认知主体主动建构的。”这个 观点从教学的角度来理解就是：知
识不是通过教师传授得到的，而是学生在一定的情境中，运用已有的学 习经验，并
通过与他人（在教师指导和学习伙伴的帮助下）协作，主动建构而获得的，建构主
义 教学模式强调以学生为中心，视学生为认知的主体，教师只对学生的意义建构起
帮助和促进作用。因此， 本节课采用了启发式和探究式相结合的教学方法，让老师
的主导性和学生的主体性有机结合，使学生能够 愉快地自觉学习，通过学生自己观
察、分析、探索等步骤，自己发现解决问题的方法，比较论证后得到一 般性结论，
形成完整的数学模型，再运用所得理论和方法去解决问题。一句话： 还课堂以生命
力，还学生以活力。
六．课堂设计

（一）创设情境，提出问题。（时间设定：3分钟）

[利用投影展示
]
在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国< br>王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求。西萨说：请给我棋盘的64个方格上，
第一格放 1粒小麦，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的两倍，
直至第64格。国王令宫廷数 学家计算，结果出来后，国王大吃一惊。为什么呢？
[设计这个情境目的是在引入课题的同时激发学 生的兴趣，调动学习的积极性．故
事内容紧扣本节课的主题与重点]
提出问题1：同学们，你们知道西萨要的是多少粒小麦吗？
引导学生写出麦粒总数
1?2?2?2?L?2

（二）师生互动，探究问题[5分钟]
提出问题2：
1+2+2
2
+2
3
+??????+2
63
究竟等于多少呢?

有学生会说：用计算器来求（老师当然肯定这种做法，但学生很快发现比较难求。）
提出问题 3：同学们，我们来分析一下这个和式有什么特征？（学生会发现，后一项
都是前一项的2倍）
提出问题4：如果我们把每一项都乘以2，就变成了它的后一项，那么我们若在此等
式两边同以2，得 到另一式：
[[利用投影展示
]

比较（1）(2）两式，你有什么发现？ （学生经过比较发现：（1）、（2）两式有许
多相同的项）
S
64
?2
64
?1
提出问题5：将两式相减，相同的项 就消去了，得到什么呢？。（学生会发现：
2363
[这五个问题的设计意图：层层深入，剖析 了错位相减法中减的妙用，使学生容易接
受为什么要错位相减，经过繁难的计算之苦后，突然发现上述解 法，也让学生感
受到这种方法的神奇]
这时，老师向同学们介绍错位相减法，并

提出问题6：同学们反思一下我们错位相减法求此题的过程，为什

么（1）式两边要同乘以2呢？
[这个问题的设计意图:让学生对错位相减法有一个深刻的认 识，也为探究等比数列
求和公式的推导做好铺垫]
（三）类比联想，解决问题。[时间设定：10分钟]
提出问题7：
设等比数列?
a
n
?
的首项为a
1
,公比为q,求它的前项和S< br>n

即 S
n
?a
1
?a
2
?a< br>3
?L?a
n
学生开展合作学习,讨论交流，老师巡视课堂，发现有典型解
法的，叫同学板书在黑板上。
[设计意图：从特殊到一般,从模仿到创新,有利于学生的知识迁移和能力提高，让学生
在探索过程中， 充分感受到成功的情感体验]
（四）分析比较，开拓思维。[时间设定：5分钟]
将不同的的方法进行分析评价。根据学生的认识状况，可能有如下几种方法：
等比数列
{a
n
}
,公比为
q
,它的前
n
项和
n ?2
?1
错位相减法1：
q
,
n
q
?
{a}
S?a
?
a
aq
2
?
?
?
aq
等比数列,公比为它的前项和
?
aq
n
n1
1
n
1
1
1
错位相减法2
提出公比q
累加法
2
n?2
a
n?1
n
S
n
?
?a
1
?
a
a
q
?
a
a
3
?
?
?
a
a
n?1
?
2
?
n
qSq
aq
q
??
aq
?
?
?
1
,公比为
n
1
1
1
n
项和
q
,它的前1
{a
n
}
等比数列
?a
2
?a
1< br>q
?a
1
?q
(
S
n
?a
1
q
n?1
)
【设计意图：共享学习成果，开拓了思维，感受数学的奇异美】
a
3
?a
2
q
n
?(1?q)S?a?aq
n1 1
（五）．归纳提炼，构建新知。
a
4
?a
3
q
[ 时间设定：3分钟]
a
1
-a
1
q
n
提出问题8 :由
(1-q)s
对不对？这里的
q
能不能等于1？等比数列中
=a
1
-a
1
q
得
s
n
=
a
n
n
?a
n?1
q
1-q
n?3n?2
?
可能也有同学会想到由等比定理得
?a
1
?q(a
?
?aq??? aq?aq)
1111
q
a
n
项和
a
n
等 比数列,公比为,它的前
?(1?
{
q)
}
S?a?q
1n
n?2
S
n
?a
1
?a
1
q?
n
a
1
q
2
???a?a
1
q
n?1
1
q
?
??a
n?1
?a
n
S
n
?a
1
?a
2
?a
3
?
??
n
a
a
?
?
?
a
?
?
3
?
2
?
n
n?1
?
a
n
?
a
nq
?(
1
1)
a
S
3
?a?aq
S< br>n
qS
?a?
?
a
2
q
?a???a
n11
1n?n
?
?
??
n
??
?
a< br>1
???a
n
?q(a
1
?
S
a
?
?
的公比能不能为1
a
？？
a

32
q< br>3
时是什么数列？此时
n
2
???a
n?1
)
?S
n
?a
1
?q(S
n
?a
n
)【设计意图：通过反问精讲，一方面使学生加深对知识的认识，完善知识结构，增
?(1?q)S< br>n
?a
1
?a
n
q
??

强思 维的严谨性】
．
提出问题9:
等比数列的前n项和公式怎样?

?
a
1
(1?q
n
)
?
a
1
?a< br>n
q
,q?1
,q?1
??
?S
n
?
?
1?q
学生归纳出
S
n
?
?
1?q

?
na,q?1
?
?
na
1
,q?1
?< br>1
【设计意图：向学生渗透分类讨论数学思想，加深对公式特征的了解】
（六）层层深入，掌握新知。[时间设定：15分钟]
【设计意图：通过两道简单题来剖析公式中的基本量．进行正反两方面的“短、浅、
快” 练习．通过总结、辨析和反思，强化公式的结构特征．】
题号 a
1
q n
8


a
n


Sn


（1） 12 12
（2） 27
（3）

23
-2
8
-96 -63
【设计意图：渗透方程思想.通过公式的正用和 逆用进一步提高学生运用知识的能力.
掌握公式中”知三求二”的题型】
练习3：求等比数列
1
,
1
,
1
,
1
, ???
前8项和；
24816
63
变式 1、等比数列
1
,
1
,
1
,
1
, ???
前多少项的和是；
24816
64
变式2、等比数列
1
,
1
,
1
,
1
, ???
求第5项到第10项的和；
24816
a
2
,a
3
, ???a
n
,L
求前2n项中所有偶数项的和。 变式3、等比数列
a,< br>（先由学生独立求解，然后抽学生板演，教师巡视、指导，讲评学生完成情况，寻
找学生中的闪光 点，给予热情表扬。)

【设计意图：变式训练,深化认识，增加思维的梯度的同时，提高学 生的模式识别能
力，渗透转化思想
】．
练习4 有一位大学生毕业后到一家私营企 业去工作，试用期过后，老板对这位

大学生很欣赏，有意留下他，就让这位大学生提出待 遇方面的要求，这位学生提出
了两种方案让老板选择，其一：工作一年，月薪五千元；其二：工作一年， 第一个
月的工资为20元，以后每个月的工资是上月工资的2倍，此时，老板不假思索就选
择了 第二种方案，于是他们之间就订了一个劳动待遇合同。请你分析一下，老板的
选择是否正确？
【设计意图：让学生进一步认识到数学来源于生活并应用于生活，生活中处处有数
学．】
（七）总结归纳，加深理解。[时间设定：2分钟]
（1）等比数列的求和公式是什么？应用时要注意什么？
（2）用什么方法可以推导了等比数列的求和公式？
【设计意图：形成知识模块，从知识的归 纳延伸到思想方法的提炼，优化学生的认
知结构】

（八）课后作业，巩固提高。[时间设定：1分钟]
必做：（1）
P66练习1

研究性作业：请上网查阅“芝诺悖论”
选做：求和：
1?2?2?2
2
?3?2
3
?4?2
4< br>?L?n?2
n

【设计意图：为了使所有学生巩固所学知识，布置了“必做题 ”；“选做题”又为学
有余力者留有自由发展的空间，布置了“探究题”以利于学生开展研究性学习，拓
展学生的视野
．】
七、教学反思：
本节课立足课本，着力挖掘，设计合理 ，层次分明。充分体现以学生发展为本，
培养学生的观察、概括和探究能力，遵循学生的认知规律，体现 理论联系实际、循
序渐进和因材施教的教学原则，通过问题情境的创设，激发兴趣，使学生在问题解决的探索过程中，由学会走向会学，由被动答题走向主动探究。在教学思想上既注
重知识形成过程的 教学，还特别突出学生学习方法的指导，探究能力的训练，引导
学生发现数学的美，体验求知的乐趣。