高一数学下册全册教案

普通高中课程标准实验教科书—数学第四册[人教版B]

第一章 基本初等函数（II）

1.3.1正弦函数的图像与性质
（第一课时）

教学目标：
1、 理解并掌握作正弦函数图象的方法
2、 理解并熟练掌握用五点法作正弦函数简图的方法
教学重点：掌握作正弦函数图象的方法
教学过程
一、复习引入：
1、 三角函数的概念
2、 三角函数线
3、 函数图像的做法
二、讲解新课：
1、最基本的方法：描点法（列表描点）；
2、几何法：用单位圆中的正弦线——几何画法（多媒体演示）y=sinx x?[0,2?]
(1).先作单位圆，把⊙O
1
十二等分（当然分得越细，图象越精确）;
(2).十二等分后得对应于0,
?
,
6
?
3
,
?
2
,?2?等角，并作出相应的正弦线;
(3).将x轴上从0到2?一 段分成12等份(2?≈6.28)，若变动比例，今后图象将相
应“变形”;
(4).取点，平移正弦线，使起点与轴上的点重合;
(5).描图（连接）得y=sinx x?[0,2?];
(6).由于终边相同的三角函数性质知 y=sinx (x?[2k?,2(k+1)?],k?Z,k?0)与函数
y=sinx (x?[0,2?])图象形状相同，只是位置不同——每次向左（右）平移2?单位
长;




1

-?
2345
6
---
-

3、正弦函数图象的五点作图法]
? ?
432?
y=sinx x?[0,2?
?
?
?
y
o
x


1
? ? ?
- 1 -

介绍五点法: 五个关键点(0,0) (
?
2
,1) (?,0) (
3
?
2
,-1) (2?,0)
上面的五个点,在确定函数图象时起着关键作用.当这五个点描出后,正弦函数
y=sinx x?[0,2?]
的图象的形状就基本上确定了.需要注意的是，用五点法作图其优点是简便，但是< br>得到的是函数的近似曲线，所以只有当精确度要求不高，并且比较熟练的情况下
才能使用.
4、例子：
例1 作下列函数的简图
(1)y=sinx，x∈[0，2π]，
(2)y=1+sinx，x∈[0，2π]，
5、正弦函数的性质
(1)定义域：R，即（
??,??
）
(2)值 域：[-1，1]（有界性）
最 值：
x?
?
2
?2k
?
时，
y
max
?1
；
x??
?
2
?2k
?
时，
y
min
??1
；
(3)周期性 ：由诱导公式
sin(x?2k
?
)?sinx
知，当
k?o,k? Z
时，
2k
?
的每一个值都是
它的周期，
k?1
时 ，使它的最小正周期；
(4) 由sin(－x)＝－sinx
可知：y＝sinx为奇函数
正弦曲线关于原点O对称
(5) 从y＝sinx的图象上可看出：
??
当x∈［－，］时，曲线逐渐上升，sinx的值由－1增大到1
22
当x∈［
?
2
，
3
?
2
］时，曲线逐渐下降，si nx的值由1减小到－1
结合上述周期性可知：
正弦函数在每一个闭区间［－
到1；在每一个闭区间［
1
6、例子
?
2
＋2kπ，
3
?
2
?
2
＋2kπ］ (k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大
?
2
＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都 是减函数，其值从1减小到－
例1 求使y＝sin2x，x∈R取得最大值的自变量x的集合，并说出最大值是什么
例2求y＝1+



1
sinx
的定义域
- 2 -

小结：本节课我们学习了用单位圆中的正弦 线作正弦函数的图象，用五点法作正弦函数的
简图．和正弦函数的性质.
1.3.1正弦函数的图像与性质
（第二课时）

教学目标：
1、理解振幅的定义；理解振幅变换和周期变换的规律;
2、会用“五点法”画
y< br>＝
A
sin(ω
x
＋
?
)的图象；会用图象变换的方 法画
y
＝
A
sin(ω
x
＋
?
)的图象；
教学重点：掌握函数y＝Asin(ωx＋
?
)图象的作法和性质
教学过程
一、复习引入：
正弦函数的图像和性质
二、讲解新课：
例1画出函数y=2sinx x?R；y=
1
2
sinx x?R的图象
注：与y=sinx的图象作比较，结论：
1．y=Asinx，x?R(A >0且A?1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸
长(A>1)或缩短(02．它的值域[-A, A] 最大值是A, 最小值是-A
3．若A<0 可先作y=-Asinx的图象 ，再以x轴为对称轴翻折
例2 画出函数y=sin2x x?R；y=sin
1
2
x x?R的图象
注：1．函数y=sinωx, x?R (ω>0且ω?1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横 坐标
缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的
1
?
倍（纵坐标不变）
2．若ω<0则可用诱导公式将符号“提出”再作图
??
例3 画出函数y＝sin(x＋)，x∈R；y＝sin(x－)，x∈R的简图
34
注：一般地 ，函数y＝sin(x＋
?
)，x∈R(其中
?
≠0)的图象，可以看作把正 弦曲线上所有
点向左(当
?
＞0时)或向右(当
?
＜0时＝平行移动 ｜
?
｜个单位长度而得到
例4 画出函数y＝3sin(2x＋
?
3
)，x∈R的简图
注：由
y< br>＝sin
x
的图象变换出
y
＝sin(ω
x
＋
?
)的图象一般有两个途径，只有区别开这
两个途径，才能灵活进行图象变换
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)
先将
y
＝sin
x< br>的图象向左(
?
＞0)或向右(
?
＜0＝平移｜
?
｜ 个单位，再将图象上各点


- 3 -

的横坐标变为原来的
1
?
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换 倍(ω＞0)，便得
y
＝sin(ω
x
＋
?
)的图象
先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的
(
?
＜0＝平移
例子：
|
?
|
1
?
倍(ω＞0),再沿x轴向左(
?
＞0)或向右
?
个单位，便得y＝sin(ωx＋
?
)的图象
1如图a是周期为2π的三角函数y＝f（x）的图象，那么f（x）可以写成( )
Asin（1＋x)
Bsin（－1－x）
Csin（x－1）
Dsin（1－x）
2如图b是函数y＝Asin(ωx＋φ）＋2的图象的一
部分，它的振幅、周期、初相各是( )
AA＝3，
Ｔ
＝
4
?
3
4
?
3
2
?
3
4
?
3
，φ＝－
?
6< br>3
?
4
3
?
4

图c



BA＝1，
Ｔ
＝，φ＝－
，φ＝－
，φ＝－
CA ＝1，
Ｔ
＝
DA＝1，
Ｔ
＝
?
6

图d
3如图c是函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象的一段，它的解
析式为( )
A
y?
2
3
2
3
sin(2x?
si n(x?
?
3
)
B
y?
2
3
2
3
sin(
x
2
?
?
4
)< br>
)
C
y?
?
3
)
D
y?sin(2x?
2
?
3
4函数y＝Asin（ωx＋φ）（A ＞0，ω＞0）在同一周期内，
当x＝
?
3
图e
时，有y
ｍ
ax
＝2，当x＝0时，有y
min
＝－2?，则函数
表达式是
5如图d是f（x）＝Asin（ωx＋φ），A＞0，｜φ｜＜
?
2
的< br>一段图象，则函数f（x）的表达式为
6如图e，是f（x）＝Asi n（ωx＋φ），A＞0，｜φ｜＜
?
2
的
图f


- 4 -

一段图象，则f（x）的表达式为
7如图f所示的曲线是y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的图象的一部分，求这个函
数的解析式
8函数y＝Asin（ωx＋φ）＋
ｋ
（A＞0，ω＞0）在同一周期 内，当x＝
5
?
3
时，y有最大
值为
7
?
3
，当x＝
11
?
3
时，y有最小值－
2
3
，求此函数的解析式
9已知f（x）＝sin（x＋θ）＋
3
cos（x－θ）为 偶函数，求
θ的值
10．由图g所示函数图象，求y＝Asin（ωx＋φ）
（｜φ｜＜π）的表达式
11．函数y＝Asin(ωx＋φ)?（｜φ｜?＜π＝的图象如
图g
图h，求函数的表达式
小结：函数
y
＝
A
sin(ωx
＋
?
)图象的作法和性质

课堂练习：第52页练习A、B

课后作业：第65页习题1-3A


图h
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第一章 基本初等函数（II）

1.3.3余弦函数、正切函数的图像和性质


教学目标：
1、理解并掌握作余弦函数和正切函数图象的方法．
2、理解并掌握余弦函数、正切函数
教学重点：掌握余弦函数和正切函数图象作法和性质
教学过程
一、复习引入：
正弦函数的图像和性质
二、讲解新课：
1、用单位圆中的余弦线作余弦函数的图象（几何法）：


- 5 -

为了作三角函数的图象，三角函 数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为
实数．在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长 度应该相同，否则所作曲线的形状各不相
同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识．

2、余弦函数y=cosx x?[0,2?]的五个点关键是
(0,1) (
?
2
,0) (?,-1) (
3
?
2
,0) (2?,1)
现在把上述图象沿着x轴向右和 向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就
得到y=cosx，x∈R的图象，
1-6
?-5
?
-4
?
-3
?
-2
?< br>-
?
-1
y
0
?
2
?
3
?
4
?
5
?
6
?
x
f?x? = cos?x?
3、正切函数
y?tanx
的图象：
我们可选择
?
?
?
?

??
?
2
,
?
的区间作出它的图象
2
?


- 6 -

根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数
y?tanxx? R
，且
x?
?
2
?k
?
?
k?z
?
的图象，称“正切曲线”

4、余弦函数的性质：
（1）、定义域：
余弦函数的定义域是实数集R［或(－∞，＋∞)］，
（2）、值域
余弦函数的值域是［－1，1］
y＝cosx，x∈R
①当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1
②当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1
（3）、周期性
余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π
（4）、奇偶性


- 7 -

y＝cosx为偶函数
余弦曲线关于y轴对称
（5）、单调性
余弦函数 在每一个闭区间［(2
k
－1)π，2
k
π］(
k
∈Z)上 都是增函数，其值从－1增加到
1；在每一个闭区间［2
k
π，(2
k
＋1)π］(
k
∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1
5、正切函数的性质：
(1)．定义域：
?
x|x?
?
?
?
?
? k
?
,k?z
?
，
2
?
(2)．值域：R
(3)．观察：当
x
从小于
k
?
?
当
x
从大于
?
2
?
2
?
k?z
?
，
x???k??
?
2
?
2
时，
tanx ????

?k
?
?
k?z
?
，
x??? ?k
?
时，
tanx?????

(4)．周期性：
T?
?

(5)．奇偶性：
tan
?
?x
?
??tanx
奇函数
(6)．单调性：在开区间
?
?
?
?
?
2
?k
?
,
??
?k
?
?
k?z
内，函数单调递增
2
?
6、例子：
例1 求使
y
＝cos
x
＋1，
x
∈R取得最大值的自变量
x
的集合，并说出最大值是什么
例2求
y
＝
cosx
的定义域
例3求函数
y
＝－cos
x
的单调区间
例4 求
y
＝3cos
x
的周期
23
?
17
?
例5 判断cos(－)－cos(－)大于0还是小于0
54
例6 求函数
y
＝
3cosx?1
cosx?2
的值域
小结：本节课我们学习了余弦函数和正切函数图象作法和性质

课堂练习：第60页练习A、B

课后作业：第65页习题1-3A


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- 8 -

第一章 基本初等函数（II）

1.3.3已知三角函数值求角


教学目标：
1、掌握已知三角函数值求角的解题步骤
2、要求学生初步 （了解）理解反正弦，反余弦，反正切函数的意义，会由已知角的正
弦值、余弦、正切值求出
?
0,2
?
?
范围内的角，并能用反正弦，反余弦，反正切的符号表示角
或角的集合
教学重点：掌握余弦函数和正切函数图象作法和性质
教学过程
一、复习引入：
1、 单位圆与三角函数线
2、 诱导公式
二、讲解新课：
1、已知三角函数求角：
首先应弄清：已知角求三角函数值是单值的;已知三角函数值求角是多值的
2、
ar csinx
、
arccosx
、
arctanx
的含义要清楚
3、例子
例1 (1)已知
sinx?
?
??
?
且x?
?
?,
?
，求
x

2
?
22
?
2
(2)已知
sinx?< br>2
2
,且x?
?
0,2
?
?
，求
x

(3)已知
sinx??
2
2
,且x?R
，求
x

例2 (1)已知
cosx?0.7660且x?
?
0,
?
?
，求
x

(2)已知
cosx??0.7660
，且x?
?
0,2
?
?
，求x的值
(3)已知
cosx??0.7660,且x?R
，求x的值


- 9 -

例3 （1）已知
tanx?1
?
??
?
且x?
?
?,
?
，求x（ 精确到
0.1
?
）
3
?
22
?
（2）已 知
tanx?
（3）已知
tanx?
1
3
1
3且
x?
?
0,2
?
?
，求x的取值集合
且x?R
，求x的取值集合
例4 直角
?ABC
锐角A，B满足：
2cos
2
例5 1?用反三角函数 表示
sinx??
5
6
B
2
?tanA?sinA?1,求 ?A

3?
)
中的角x
2
7?
2?用反三角函数 表示
tanx?5,x?(3?,)
中的角x
2
x
2
?< br>?
3
)??
1
2
,x?(?,
例6已知
co s(
，求角x的集合
例7求
arctan1?arctan2?arctan3
的值
例8求y = arccos(sinx), (
?

?
3
?x?
2?
3
)的值域
小结：本节课我们学 习了已知三角函数值求角的解题步骤,要会由已知角的正弦值、余
弦、正切值求出
?
0 ,2
?
?
范围内的角，并能用反正弦，反余弦，反正切的符号表示角或角的集
合

课堂练习：第64页练习A、B
课后作业：第65页习题1-3A


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第二章 平面向量

2.1.1向量的概念


教学目标：
1、要求学生掌握向量的意义、表示方法以及有关概念，并能作一个向量与已知向量相


- 10 -

等；
2、了解零向 量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，根据图形判定向量是否平行、
共线、相等.
教学重点：掌握向量的意义、表示方法以及有关零向量、单位向量、平行向量、相等向
量等概念
教学过程
一、复习引入：
在物理中，我们会遇到很多量，其中一些量在取 定单位后用一个实数就可以表示
出来，如长度、质量等.还有一些量，如我们所学习的力、位移，是一个 既有大小又
有方向的量，这种量就是我们本章所要研究的向量.
二、讲解新课：
1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量
注意：1?数量与向量的区别：数量只 有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较
大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小
2?从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空
间性质
2.向量有固定向量，自由向量等，我们主要学习自由向量
3.向量的表示方法：
①用有向线段表示；
②用字母
ａ
、
ｂ
等表示；
③用有向线段的起点与终点字母：
AB
；
④向量
AB
的大小――长度称为向量的模，记作|
AB
|.
4.零向量、单位向量概念：
①长度为0的向量叫零向量，记作
00
的方向是任意的
注意
0
与0的区别
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.
说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.
5.平行向量定义：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；
②我们规定0与任一向量平行.
6.相等向量定义：
长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
说明：（1）向量< br>ａ
与
ｂ
相等，记作
ａ
＝
ｂ
；
（2）零向量与零向量相等；


- 11 -

（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向 线段的起
．．．．．．．
点无关.
．．．
7.共线向量与平行向量关系：
平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上.
说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；
（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
说明：1.有向线段是向量最好的模型
2.向量不能比较大小
3.实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘.
8．例：设O是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与向量
OA
、
OB
、
OC
相等的向量

小结：本节课我们学习了已知三角函数值求角的解题步骤,要会由已知角的正弦值、余
弦、正切值求出
?
0,2
?
?
范围内的角，并能用反正弦，反余弦 ，反正切的符号表示角或角的集
合

课堂练习：第84页练习A、B
课后作业：略


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第二章 平面向量

2.1.2向量的加法


教学目标：
要求学生掌握向量加法的意义，并能运用三角形法则和平行四边形法则作几
个向量的和向量。能表述向量加法的交换律和结合律，并运用它进行向量计算

教学重点：用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量.
教学过程
一、复习引入：


- 12 -

1.向量的概念
2.向量的表示方法
二、讲解新课：
1、某人从A到B，再从B按原方向到C，
A B C
则两次的位移和：
AB?BC?AC

2、若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，
则两次的位移和：
AB?BC?AC

3、某车从A到B，再从B改变方向到C，
则两次的位移和：
AB?BC?AC

4、船速为
AB
，水速为
BC
，
则两速度和：
AB?BC?AC



5、 向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法
C A B
C
A B
C
A B
几何中向 量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则
（“首尾相接，首尾连”）和 平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）当向量不共线时，
向量加法的三角形法则和平行四边形法则 是一致的，有三角形法则可以推广得到加法的多边
形法则
说明：（1）两相向量的和仍是一个向量；
（2）当向量
a
与
b< br>不共线时，|
a
+
b
|<|
a
|+|
b|;
（3）当
a
与
b
同向时，则
a
+
b
、
a
、
b
同向，且|
a
+
b
|=|
a
|+|
b
|,当
a
与
b
反向时，
若|
a
|>|
b
|,则
a
+
b
的 方向与
a
相同，且|
a
+
b
|=|
a
|- |
b
|;若|
a
|<|
b
|,则
a
+b
的方向与
b
相同，且|
a
+b|=|
b
|- |
a
|.
（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起 点，可以推广到
n个向量连加----多边形法则
5．向量加法的交换律：
a
+
b
=
b
+
a

6．向量加法的结合律：(
a
+
b
) +
c
=
a
+ (
b
+
c
)


- 13 -

小结：用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量.

课堂练习：第88页练习A、B
课后作业：第100页 1、3，第101页1


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第二章 平面向量

2.1.3向量的减法

教学目标：
⑴了解相反向量的概念；
⑵掌握向量的减法，会作两个向量的减向量
教学重点：掌握向量的减法，会作两个向量的减向量
教学过程
一、复习引入：
1.向量的概念
2.向量的表示方法
3．向量的加法
二、讲解新课：
1、用加法的逆运算定义向量的减法：
向量的减法是向量加法的逆运算：
若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a ? b
2、 “相反向量”定义向量的减法
1?“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量。记作 ?a
2?规定：零向量的相反向量仍是零向量。
任一向量与它的相反向量的和是零向量。a + (?a) = 0
如果a、b互为相反向量，则a = ?b, b = ?a, a + b = 0
3?向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差。
即：
a
?
b
=
a
+ (?
b
) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。
3、减法的三角形法则：在平面内取一点O，
作
OA
= a,
OB
= b, 则
BA
= a ? b
即a ? b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量


- 14 -

注意：1?
AB
表示a ? b强调：差向量“箭头”指向被减数（共起点，方向指向被减）
2?用“相反向量”定义法作差向量，a ? b = a + (?b)
例子：
例1 平行四边形ABCD中，
AB
=
a,
AD
=b
，用
a、b
表示向量
AC,DB

例2 已知向量
a、
b
、
c
、
d
，求作向量
a
?
b
、
c
?
d


小结：用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量.

课堂练习：第90页练习A、B
课后作业：第100页 1、3、6，第101页2、3


普通高中课程标准实验教科书—数学第四册[人教版B]

第二章 平面向量

2.1.4数乘向量


教学目标：
1.掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义；
2.掌握实数与向量的积的运算律
教学重点：掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义
教学过程
一、复习引入：
1.向量的概念
2.向量的表示方法
3．向量的加法，减法及运算律
二、讲解新课：
1．实例引入：已知非零向量a
，作出
a
+
a
+
a
和(?
a
)+(?
a
)+(?
a
)


- 15 -

???????

OC
=
OA?AB?BC
=
a
+
a
+
a
=3
a< br>
????
PN
=
PQ?QM?MN
=(?
a
)+(?
a
)+(?
a
)=?3
a

????< br>（1）3
a
与
a
方向相同且|3
a
|=3|
a
|；（2）?3
a
与
a
方向相反且|?3
a
|= 3|
a
|
2．实数与向量的积的定义：实数λ与向量
a
的积是一个 向量，记作：λ
a
，
λ
a
的长定义为|λ
a
|= |λ||
a
|，λ
a
的方向定义为：λ>0时λ
a
与
a
方向相同；λ<0时λ
a
与
?
a
方向相反.
???????
??
????????
λ=0或
a
=
0时规定：λ
a
=
0

3．数乘的几何意义就是把向量
a
沿向量
a
的方向或反方向放大或缩小
4．运算定律 结合律：λ(μ
a
)=(λμ)
a
①
第一分配律：(λ+μ)
a
=λ
a
+μ
a
②
?
?
?
?
第二分配律：λ(
a
+
b< br>)=λ
a
+λ
b
③
???
??
??
??
结合律证明：
如果λ=0，μ=0，
a
=
0
至少有一个成立，则①式成立
如果λ?0，μ?0，
a
?
0
有：|λ(μ
a
)|=|λ ||μ
a
|=|λ||μ||
a
|
|(λμ)
a
|=|λμ||
a
|=|λ||μ||
a
|
∴|λ(μ
a
)|=|(λμ)
a
|
如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与
a
同向；
如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与
a
反向
?
????
???
??
?
?
从而λ(μ
a
)=(λμ)
a

第一分配律证明：
如果λ=0，μ=0，
a
=
0
至少有一个成立，则②式显然成立
如果λ?0，μ?0，
a
?
0

当λ、μ同号时，则λ
a
和μ
a
同向，
∴|(λ+μ)< br>a
|=|λ+μ||
a
|=(|λ|+|μ|)|
a
| |λ
a
+μ
a
|=|λ
a
|+|μ
a
|=|λ||
a
|+|μ||
a
|=(|λ|+|μ|)|
a
|
∵λ、μ同号 ∴②两边向量方向都与
a
同向


- 16 -

??
?
?
??
???
? ??????
?

即 |(λ+μ)
a
|=|λ
a
+μ
a
|
当λ、μ异号，当λ>μ时 ②两边向量的方向都与λ
a
同向；当λ<μ时 ②两边向 量的
方向都与μ
a
同向，且|(λ+μ)
a
|=|λ
a+μ
a
|
∴②式成立
第二分配律证明：
?
?< br>如果
a
=
0
，
b
=
0
中至少有一个 成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立
?
?
当
a
?
0< br>，
b
?
0
且λ?0，λ?1时
????
?
???
（1）当λ>0且λ?1时在平面内任取一点O，
??
??
作
OA?
a

AB?
b

OA
1
?
λ
a

A
1
B
1
?
λ
b

?< br>?
?
?
则
OB?
a
+
b

OB
1
?
λ
a
+λ
b

由作法知 ，
AB
∥
A
1
B
1
有?OAB=?OA
1
B
1
|
AB
|=λ|
A
1
B
1
|
∴
|OA
1
|
|OA|

∴
?
| A
1
B
1
|
|AB|
?
λ ∴△OAB∽△OA
1
B
1
|OB
1
|
|OB|
?
λ ?AOB=? A
1
OB
1

因此，O，B，B
1
在同一直 线上，|
OB
1
|=|λ
OB
|
OB
1
与λ
OB
方向也相同
?
?
??
∴λ(
a
+
b
)=λ
a
+λ
b
?
?
?
?
当λ<0时 可类似证明：λ(
a
+
b
)=λ
a
+λ
b

∴ ③式成立
注：加框部分为选讲部分
5．例子
1、 设x是未知向量，解方程
5(x+a)+3(x-b)=0
2、凸四边形
AB CD
的边
AD
、
BC
的中点分别为
E
、
F
，求证
EF
＝
1
2
(
AB
+
DC
).
解法一：构造三角形，使
EF
作为三角形中位线，借助于三角形中位线定理解决.


- 17 -

过点
C< br>在平面内作
CG
＝
AB
，则四边形
ABGC
是平行四 边形，故
F
为
AG
中点.
∴
EF
是△
ADG
的中位线，∴
EF
=
1
2
DG
, ∴
EF
＝
1
2
DG
.
而
DG
＝
DC
＋
CG
＝
DC
＋
AB
，
∴
EF
＝
1
2
（
AB
＋
DC
）.
解法二：创造相同起点，以建立向量间关系
如图，连
EB
，
EC< br>，则有
EB
＝
EA
＋
AB
，
EC
＝
ED
＋
DC
，
又∵
E
是
AD
之中点，∴有
EA
＋
ED
＝0.
即有
EB
＋
EC
＝
AB
＋
DC
；
以
EB
与
EC
为邻边作平行四边形
EBGC
，则由
F
是
BC
之中点，可得
F
也是
EG
之中点 .
∴
EF
＝

小结：实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义；实数与向量的积的运算律

课堂练习：第95页练习A、B
课后作业：第100页 4、5，第101页4


普通高中课程标准实验教科书—数学第四册[人教版B]

1
2
EG
＝
1
2
（
EB
＋
EC
）＝
1
2
（
AB
＋
DC
）
第二章 平面向量

2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算
教学目标：
理解向量共线的条件与轴上向量坐标运算
教学重点：向量共线的条件与轴上向量坐标运算
教学过程


- 18 -

一、复习引入：
1. 向量的表示方法
2. 向量的加法，减法及运算律
3．实数与向量的乘法
二、讲解新课：
??
????
1． 若有向量
a
(
a
?
0
)、
b
，实数λ，使
b
=λ
a
则由实数与向量积的定义知：
a
与
?
b
为共线向量
??? ?
?????
若
a
与
b
共线(
a
?
0
)且|
b
|：|
a
|=μ，则当
a
与
b
同向时
b
=μ
a
,
??
? ?
当
a
与
b
反向时
b
=?μ
a

?
?
从而得：向量
b
与非零向量
a
共线的充要条件 是：有且只有一个非零实数λ
?
?
使
b
=λ
a

?
?
2.若存在两个不全为0的实数
?
,
?
使 得
?
a?
?
b?0
，那么
a
与
b
为共线向量，
零向量与任意向量共线
3.与向量
a
同方向的
a
的单位向量为
e?
??
a
|a|

4．数轴上的基向量
e
的概念
5、轴上向量的坐标：轴上向量
a< br>，一定存在一个实数x，使得
a?xe
，那么x称为向量
a
的坐标 < br>6、设点A、B是数轴上的两点其坐标分别为
x
1
和
x
2，那么向量
AB
的坐标为
AB?x
2
?x
1

由此得两点A、B之间的距离为
|AB|?|x
1
?x
2
|

7．例子
例1 三角形两边中点的连线平行与第三边并且等与第三边的一半。
已知：如图3-1，
?ABC
中，D，E分别是边AB，AC的中点。


- 19 -

求证：
DEBC
且
DE?
1
2
BC
。
证明：因为D，E分别是边AB，AC的中点，
???
所以
AD?
1
??????
1
???
2
AB
，
AE?
2
AC
。
??????????????????
所以
DE?AE?AD?
1

2
(AC?AB)?
1
2
BC
，
再由D，B不共点 ，故
DEBC
且
DE?
1
2
BC
。

例2 如图3-2，平行四边形OACB中，
BD?
1
3
BC，
OD与BA相交于E。
求证：
BE?
1
4
BA
。
证明：设E’是线段B A上的一点，且
BE'?
1
4
BA
，
???
只要证 E，E’重合即可。设
OA?a
?
???
，
?
OB?b，则
??????
?
BD?
1
3
a
?
，
OD?b?
1
?
3
a
。
??????
?
???
'
?
OE'
?
b
，
E'A?a< br>?
?????????
?
BE?OE'
，
3BE'?E'A< br>，
???
?
??
(OE'?b)?a
?
?
? 3?OE'
，
???
'?
1
?
?
3
?< br>?OE
1
?
4
(a?3b)?
4
(b?
3< br>a)
，
??????
?OE'?
3
4
OD
，
?
O，E’，D三点共线，
?

BE?
1
4
BA
。

- 20 -

B

D

C
?
E
b

E’
O

a
?

A
图3-2

小结：本节课学习了向量共线的条件与轴上向量坐标运算，应注意向量共线，并不是说
表示向量 的有向线段在一条直线上.
课堂练习：第99页练习A、B
课后作业：第100页8，第101页5、6
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第二章 平面向量

2.2.1平面向量基本定理


教学目标：
(1)了解平面向量基本定理的证明
(2)学会用平面内两不共线向量表示平面内任一向量
教学重点：掌握用平面内两不共线向量表示平面内任一向量的方法
教学过程
一、复习引入：
由平面向量的几何表示可知，平面向量
a
、
b的关系：①共线②不共线。若
a
=
o
，则
b
与
a
共线。若
a
≠
o
，则
b
与
a
共 线?有且只有一个实数?，
b
=?
a
.
二、讲解新课：
1、
e
1
、
e
2
不共线，
e
1
、
e
2
中能否有零向量？
a
与
e
1
、
e
2
的关系可能有几种情况？
分析：
e
1
、
e
2
不共线，则
e
1
?
o
且
e
2< br>?
o

(1)
a
与
e
1
共线，则有 且只有一个?
1
，使
a
=?
1
e
1
、 < br>(2)
a
与
e
2
共线，则有且只有一个?
2
，
a
=?
2
e
2

(3)
a
与< br>e
1
、
e
2
都共线，则
a
=
o
(4)
a
与
e
1
、
e
2
都 不共线，
a
能否用
e
1
、
e
2
表示呢？
2、平面向量基本定理：如果
e
1
，
e
2
是同一平 面内的两个不共线向量，那么对于这一平


- 21 -

面内的任一向量
a
，有且只有一对实数λ
1
，λ
2
使
a
=λ
1
e
1
+λ
2
e
2

(1)我们把不共线向量
ｅ
１
、
ｅ
２
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
(2)基底不惟一，关键是不共线；
(3)由定理可将任一向量
ａ
在给出基底
ｅ
１
、
ｅ
２
的条件下进行分解；
(4)基底给定时，分解形式惟一 λ
1
， λ
2
是被
a
，
e
1
，
e
2
唯一确定的数量
??
?
4．例子
例1：如图
OA
、< br>OB
不共线，
AP?tAB(t?R)
，用
OA
、
O B
表示
OP


例2：如图△OAB，其中
OA
=
a
、
OB
=
b
，M、N分别是边
OA
、< br>OB
上的点，且
OM?
量
a,b
表示
OP

?
?
例3在△ABC中，
AB
=
a
,
BC
=
b
AD为边BC的中线，G为△ABC的重心，求向
1
3
a
，
ON?
1
2
b
，设
A N与BM
相交于P，用向
量
AG

例4设
e
1
,
e
2
是两个不共线向量，已知< br>AB
=2
e
1
+k
e
2
,
CB
=
e
1
+3
e
2
,
CD
=2
e
1
?
e
2
,
若三点A, B, D共线，求k的值
例5．如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD且AB=2CD，M, N分别是DC, AB中点，设
AD
=
a
,
?
?
?
AB
=
b
，试以
a
,
b
为基底表示
DC
,
BC
,
MN

?

小结：平面内两不共线向量表示平面内任一向量的方法
课堂练习：第104页练习A、B
课后作业：第112页A 1


第二章



- 22 -

平面向量

2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算


教学目标：
(1) 理解平面向量的坐标的概念；
(2) 掌握平面向量的坐标运算；
（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线
教学重点：平面向量的坐标运算
教学过程
一、复习引入：
平面向量基本 定理：如果
e
1
，
e
2
是同一平面内的两个不共线向量，那 么对于这一平面
内的任一向量
a
，有且只有一对实数λ
1
，λ
2
使
a
=λ
1
e
1
+λ
2
e< br>2

二、讲解新课：
1、平面向量的坐标表示
如图，在直角 坐标系内，我们分别取与
x
轴、
y
轴方向相同的两个单位向量i、j作为基< br>底任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数
x
、
y
，使得
??
1
a=xi+yj????○
我们把
(x,y)
叫做向量a的（直角）坐标，记作
2
a=(x,y)????○
其中
x
叫做a在
x
轴上的坐标，
y
叫做a在
y
轴上的
2
式叫做向量的坐标表示 坐标，○
与
．
a相等的向量的坐标也为
．．．．．．．．．．
(x, y)

特别地，i=(1,0)，j=(0,1)，0=(0,0)
如图，在直角 坐标平面内，以原点O为起点作
OA?a
，
则点
A
的位置由a唯一确 定
设
OA?xi?yj
，则向量
OA
的坐标
(x,y)< br>就是点
A
的坐标；反过来，点
A
的坐标
(x,y)
也 就是向量
OA
的
坐标因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是
可以用 一对实数唯一表示
2、平面向量的坐标运算


- 23 -

（1） 若
a?(x
1
,y
1
)
，
b?(x
2
,y
2
)
，则
a?b
?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
，
a?b
?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)

两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差
设基底为
i
、
j
，则
a?b
?(x
1
i ?y
1
j)?(x
2
i?y
2
j)?(x
1
?x
2
)i?(y
1
?y
2
)j

即< br>a?b
?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
，同理可得
a?b
?(x
1
?x
2
, y
1
?y
2
)

（2） 若
A(x
1,y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)
，则
AB?
?
x
2
?x
1
,y
2
?y
1
?

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标
AB
=
OB
?
OA
=( x
2,
y
2
) ? (x
1
,y
1
)= (x
2
? x
1
, y
2
? y
1
) < br>（3）若
a?(x,y)
和实数
?
，则
?
a?(?
x,
?
y)

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标
设基底为
i
、
j
，则
?
a
?
?
(xi?yj)?
?xi?
?
yj
，即
?
a?(
?
x,
?
y)

3．例子
例1已知平面上三点的坐标分别为A(?2, 1), B(?1, 3), C(3, 4)，求点D的坐标使这四
点构成平行四边形四个顶点
例2已知三个力
F
1
(3, 4),
F
2
(2, ?5),
F
3
(x, y)的合力
F
1
+
F
2
+
F
3
=
0

求
F
3
的坐标
见课本第108页例子

小结：平面向量的坐标运算
课堂练习：第109页练习A、B
课后作业：第112页A 2、3、4、5、6


普通高中课程标准实验教科书—数学第四册[人教版B]

第二章 平面向量



- 24 -

2.3.1用平面向量坐标表示向量共线条件


教学目标：
理解用坐标表示的平面向量共线的条件
教学重点：理解用坐标表示的平面向量共线的条件
教学过程
一、复习引入：
1、 平面向量基本定理
2、 平面向量的坐标
3、 向量共线
二、讲解新课：
1、 设
a?(x
1
,y
1
)
，
b?(x
2
,y
2
)
，那么
a∥
b
(b?0)
的充要条件是
x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
。
证明：由基本定理可知，
a
∥
b
(b?0)
的充要条件是存在一实数
?
，使
a ?
?
b

?
x
1
?
?
x
2
∴
(x
1
,y
1
)?
?
(x
2
,y
2
)
，即
?

y?
?
y2
?
1
消去
?
后得
x
1
y
2
?x
2
y
1
?0

故知命题成立。
2、[定理]
a
∥
b
(b?0)
的充要条件是
x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
。
3、两向量平行的条件是：对应坐标成比例
4、 例子
例1已知
a?(4 ,2)
，
b?(6,y)
，且
a
∥
b
，求
y

例2已知
A(?1,?1)
，
B(1,3)
，
C(2,5)
，求证
A
、
B
、
C
三点共线
小结：平面向量的坐标运算
课堂练习：第111页练习A、B
课后作业：第112页B 3、4、5


普通高中课程标准实验教科书—数学第四册[人教版B]



- 25 -

第二章 平面向量

2.3.1向量数量积的物理背景与定义


教学目标：
掌握平面向量的数量积的定义及其物理意义
教学重点：平面向量的数量积的定义
教学过程
一、复习引入：
1． 向量共线定理
2．平面向量基本定理：
3．平面向量的坐标表示
4．平面向量的坐标运算
二、讲解新课：
1、力做的功：W = |F|?|s|cos?，?是F与s的夹角
2、两个非零向量夹角的概念
已知非零向量< br>ａ
与
ｂ
，作
OA
＝
ａ
，
OB
＝
ｂ
，则∠
ＡＯＢ
＝θ（０≤θ≤π）叫
ａ
与
ｂ
的
夹角
说明：（1）当θ＝０时，
ａ
与
ｂ
同向；
（2）当θ＝π时，
ａ
与
ｂ
反向；
?
（3）当θ ＝时，
ａ
与
ｂ
垂直，记
ａ
⊥
ｂ
；
2
（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0?≤?≤180?
C

3、向量在轴上的正射影：
作图


- 26 -

定义：|b|cos?叫做向量b在a所在轴上的正射影
正射影也是一个数量，不是向量；当 ?为锐角时正射影为正值；当?为钝角时正射影为负值；
当?为直角时正射影为0；当? = 0?时正射影为|b|；当? = 180?时正射影为?|b|
4、平面向量数量积（内积）的定义：
已知两个非零向量
ａ
与
ｂ< br>，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos?叫
ａ
与
ｂ
的数量积， 记作
a?b，即有a?b = |a||b|cos?，（０≤θ≤π）并规定0与任何向量的数量积为0
?注意：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos?的符号所决定
（2）两个向 量的数量积称为内积，写成a?b；今后要学到两个向量的外积a?b，而a?b是两
个向量的数量的积 ，书写时要严格区分符号“? ”在向量运算中既不能省略，也不能用“?”
代替
（3）在实 数中，若a?0，且a?b=0，则b=0；但是在数量积中，若a?0，且a?b=0，不能推出
b= 0因为其中cos?有可能为0
（4）已知实数a、b、c(b?0)，则ab=bc
?
a=c但是a?b = b?c a = c
如右图：a?b = |a||b|cos? = |b||OA|，b?c = |b||c|cos? = |b||OA|
? a?b = b?c 但a ? c
(5)在实数中，有(a?b)c = a(b?c)，但是(a?b)c ? a(b?c)
显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，
而一般a与c不共线
5、两个向量的数量积的性质：
设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量
1?e?a = a?e =|a|cos?
2?a?b ? a?b = 0
3? a?a = |a|
2
或
|a|?
a?b
|a||b|
a?a

4?cos? =
5?|
a
?
b
| ≤ |
a
||
b
|
6、例子
例1 判断正误，并简要说明理由
①
ａ
?0＝0；②0?
ａ
＝０；③0 －
AB
＝
BA
；④｜
ａ
?
ｂ
｜＝｜
ａ
｜｜
ｂ
｜；⑤若
ａ
≠0，


- 27 -

则对任一非零
ｂ
有
ａ
?
ｂ
≠０；⑥
ａ
?
ｂ
＝０，则
ａ
与ｂ
中至少有一个为0；⑦对任意
向量
ａ
，
ｂ
，с都有（
ａ
?
ｂ
）с＝
ａ
（
ｂ
?с）；⑧
ａ
与
ｂ
是两个单位向量，则
ａ
２
＝
ｂ
２< br>
例2 已知｜
ａ
｜＝３，｜
ｂ
｜＝６，当①
ａ∥
ｂ
，②
ａ
⊥
ｂ
，③
ａ
与
ｂ
的夹角是60°时，
分别求
ａ
?
ｂ

小结：平面向量的数量积的定义及其物理意义
课堂练习：第116页练习A、B
课后作业：第123页A 1、2、3


第二章

平面向量

2.3.2向量数量积的运算律


教学目标：
1.掌握平面向量数量积运算规律；
2掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题
教学重点：平面向量数量积的运算规律
教学过程
一、复习引入：
1．两个非零向量夹角的概念
2．平面向量数量积（内积）的定义
3．两个向量的数量积的性质：
二、讲解新课：
平面向量数量积的运算律
1．交换律：a ? b = b ? a
证：设a，b夹角为?，则a ? b = |a||b|cos?，b ? a = |b||a|cos?
∴a ? b = b ? a
2．数乘结合律：(
?
a)?b =
?
(a?b) = a?(
?
b)
证：若
?
> 0，(
?
a)?b =
?
|a||b|cos?，
?
(a?b) =
?
|a||b|cos?，a?(
?
b) =
?
|a||b|cos?，
若
?
< 0，(
?
a)?b =|
?
a||b|cos(???) = ?
?
|a||b|(?cos?) =
?
|a||b|cos?，
?
(a?b) =
?
|a||b|cos?，
a?(
?
b) =|a||
?
b|cos(???) = ?
?
|a||b|(?cos?) =
?
|a||b|cos?
3．分配律：(a + b)?c = a?c + b?c
在平面内取一点O，作
OA
= a,
AB
= b，
OC
= c，


- 28 -

∵a + b （即
OB
）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，
即 |a + b| cos? = |a| cos?
1
+ |b| cos?
2

∴| c | |a + b| cos? =|c| |a| cos?
1
+ |c| |b| cos?
2

∴c?(a + b) = c?a + c?b 即：(a + b)?c = a?c + b?c
说明： （1）一般地，(
ａ
?
ｂ
)с≠
ａ
（
ｂ
? с）
（2）
ａ
?с＝
ｂ
?с，с≠0
ａ
＝
ｂ

（3）有如下常用性质：
ａ
＝｜
ａ
｜，
（
ａ
＋
ｂ
）（с＋
ｄ
）＝
ａ
?с＋
ａ
?
ｄ
＋
ｂ
?с＋
ｂ
?
ｄ
(
ａ
＋
ｂ
)
２
＝
ａ
２
＋２< br>ａ
?
ｂ
＋
ｂ
２
4、例子
例1 已知
a
、
b
都是非零向量，且
a
+ 3
b
与7
a
? 5
b
垂直，
a
? 4
b
与7
a
? 2
b
垂直，求
a
与
b
的夹角
２２
例2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和
例3求证：菱形对角线互相垂直
小结：平面向量数量积运算规律
课堂练习：第119页练习A、B
课后作业：略


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第二章 平面向量

2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式


教学目标：
⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示
⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及向量的长度、距离和夹角公式
教学重点：向量垂直的坐标表示的充要条件，及向量的长度、距离和夹角公式
教学过程
一、复习引入：
1．平面向量数量积（内积）的定义
2．向量的数量积的几何意义
3．两个向量的数量积的性质
4． 平面向量数量积的运算律


- 29 -

二、讲解新课：
1、平面两向量数量积的坐标表示
?
?
?
?
?
?
已知两个非零向量
a?(x
1
,y
1)
，
b?(x
2
,y
2
)
，试用
a< br>和
b
的坐标表示
a?b

设
i
是
x
轴上的单位向量，
j
是
y
轴上的单位向量，那么
?
??
??
?
a?x
1
i?y
1
j
，b?x
2
i?y
2
j

?
?
?
2
?????
2
????
?
?
所以
a?b?(x
1
i?y
1
j)(x
2
i?y
2
j)?x
1
x
2
i?x
1
y
2
i?j?x
2
y
1
i?j?y
1
y
2
j

又
i?i?1
，
j?j?1
，
i?j?j?i?0

?
?
所以
a?b
?x
1
x
2
?y
1
y
2

??
??????
这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和
?
?
即
a?b
?x
1
x
2
?y
1
y
2

2、向量垂直的判定
?
?
?
?
设
a?(x
1
,y
1
)
，
b?(x
2
,y
2
)
，则
a?b

?
x
1
x
2
?y
1
y
2
?0

3. 向量的长度、距离和夹角公式
（1）设
a?(x,y)
，则
|a|
2
?x
2
?y
2
或
|a|?
?
?
?
?
x?y
22
(长度公式)
（2）如果表示向量
a的有向线段的起点和终点的坐标分别为
(x
1
,y
1
)
、
(x
2
,y
2
)
，那么
?
|a|?(x
1
?x
2
)?(y
1
?y
2
)
( 距离公式)
22
?
?
a?b
?
(3) cos? =?
|a|?|b|
x
1
x
2
?y
1
y
2
x
1
?y
1
22
x
2
?y2
22
（
0?
?
?
?
）(夹角公式)
4、例子
?
??
?
例1 设
a
= (5, ?7)，
b
= (?6, ?4)，求
a
?
b

?
?
?
c
a
b
例2 已知(1, 2)，(2, 3)，(?2, 5)，求证：△ABC是直角三角形
?
?
?
?
?
?
?
例3 已知
a
= (3, ?1)，
b

= (1, 2)，求满足
x
?
a

= 9与
x
?
b
= ?4的向量
x

??
??
例4 已知
a
＝（１，
3
），
b
＝（
3
＋１，
3
－１），则
a
与
b
的夹角是多少?


- 30 -

例5 在△ABC中，
AB
=(2, 3)，
AC
=(1, k)，且△ABC的一个内角为直角，求k值
小结：向量垂直的坐标表示的充要条件，及向量的长度、距离和夹角公式
课堂练习：第122页练习A、B
课后作业：第123页A 4、5、6


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第二章 平面向量

2.4.1向量在几何中的应用


教学目标：
掌握向量的应用
教学重点：
掌握向量的应用
教学过程
除课本介绍的例子外可补充：
例1、 求证：直径所对的圆周角为直角。


- 31 -

例2、 用向量证明三角形
- 32 -

三条中线共

点。的

3.求证△ABC的三条高相交于一点。
证法1、设△ABC的AB、AC边高分别为CF、BE，它们交于点H，连接AH（如图3）



- 33 -

为了培养多向思维，本题还可有如下证法。


- 34 -

小结：略
课堂练习：第128页练习A、B
课后作业：第131页A1、2、3、4


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第二章 平面向量

2.4.2向量在物理中的应用




- 35 -

教学目标： 运用向量的有关知识对物理中的问题进行相关分析和计算，并在这个过程中培养学生
探究问题和解决 问题的能力
教学重点：
运用向量的有关知识对物理中的问题进行相关分析和计算
教学过程
除课本提供的材料外可补充：
1两根等长的绳子挂一个物体,绳子受到的 拉力大小
F
1
与两绳子间的夹角
?
的关系
分析：①作图引导学生进行受力分析（注意分析对象）；
②引导学生由向量的平行四边形法则，力的平衡及解直角三角形等知识，得出：
1

cos?
2
2
F
1
③讨论：
?
G
?F
1
?
G
2cos
?
2

?
F
1
当
?
逐渐增大时，
F
1
的大小怎样变化？为 什么？
当
?
为何值时，
F
1
最小，最小值是多少？
当
?
为何值时，
F
1
?G
？
如果
F
1
?588N,G?882N
，
?
在什么范围时，绳子不会断？
请同学们自行设定
F
1
与
G
的大小，研究
F
1
与
?
的关系？
利用结论解释教材上给出的两个物理现象
作出 简单的受力分析图，启发学生将物理现象
G
C
B
D
转化成模型
2 速度与分解问题
一条河的两岸平行，河的宽度d=500m，一艘
船从A处出发 航行到河的正对岸B处船航行的
v
1
?
A
速度
v
1
?10kmh
，水流速度
v
2
?4kmh
v
2那么，
v
1
与
v
2
的夹角
?
(精确到
1
0
)多大时,船才能垂直到达对岸B处? 船行驶多少时间(精
确到01min)?
分析：速度是向量


- 36 -

1启发学生思考：如果水是静止的，则船 只要取垂直于河岸的方向行驶就行了由于水的流动，
船被冲向下游，因而水速
?
2的方向怎样的呢？
2再启发学生思考：此问题要求船实际的行进方向是垂直指向对岸的，这是合速 度
?
的方向
还是
?
1
的方向？为什么？
3启发学 生画出
?
2
和
?
的方向，思考一下向量
?
-
?
2
的方向如何确定？
4启发学生利用三角形法则作出
?
-?
2
（即
?
1
），再把
?
1
的起点平 移到
A
，也可直接用平行
四边形法则作出
?
1

5 让学生完成
?
,
?
,t
的计算（注意
?
和
?
2
的方向垂直）
sin(
?
?90)?
0
|v
2
|
|v
1
|
即
?
?90?arcsin
0
|v
2
|
|v
1
|
0
?114
,
|v|?
22
v
1
?v
2
=
|v
1
|sin
?
?9.2kmh
,
t?
d
|v|
?3.3min

1
2
6让学生完成当船要到达图中的C
和
D
，且
BC,BD
分别为
d,d,2d
时 ，对应的
?
,
?
,t
分
别是多少？
CD
C
D
v
1
v
A
?
v
1
v
v
2
A
v
?
2

(1)求
?
:
|v
1
|
sin135
0
?
|v
2
|
sin(
?
?135)
0
或
|v
1
|
sin45
0
?
|v
2
|
sin(
?
?45)
0
(2)求
v
:
|v
1
|
sin135
0
?
|v|
sin
?
或
|v
1
|
sin45
0
?
|v|
sin
?

6组织学生讨论思考


- 37 -

t?
d
，是否船垂直到达对岸所用时间最少？为什么？
?
1
?sin
?
小结：运用向量的有关知识对物理中的问题进行相关分析和计算
课堂练习：第121页练习A、B
课后作业：第131页A 5


普通高中课程标准实验教科书—数学第四册[人教版B]

第三章 三角恒等变换

3.1.1两角和与差的余弦
（第一课时）

教学目标：
能推导出两角和与差的余弦公式，会初步运用解决具体问题
教学重点：
导出两角和与差的余弦公式
教学过程
1． 复习引入
（1） 向量的运算
（2） 平面上两点间的距离
2． 讲解新课
1、利用向量方法证明公式：

证明:如图在单位圆中做向量
角分别是α、β ，则点A的坐标是
的坐标是，则
，与x轴正向的夹
，点B
，又


- 38 -

，则等式成立。
2、特征
①熟悉公式的结构和特点；
②此公式对任意?、?都适用
③公式记号
C
(
?
?
?
)

3、 以??代?得：
cos(
?
?
?
)?cos
?
co s
?
?sin
?
sin
?

4、以上公式可用口诀：
余余正正符号异
5、可补充：
写出4个点的坐标
P
1
(1,0)
，
P
2
(cos
?
,sin
?
)

P
3
(co s(
?
?
?
),sin(
?
?
?
))，
P
4
(cos(?
?
),sin(?
?
))
，
P
1
P
3
=
P
3
P
2
?
cos(
?
?
cos
?
?
?
)?1
?
?sin(
?
?
?
)

2
2
O
2
P
P
4
1
P
2
P
4
=
?cos(?
?
)
?
?[sin
?
?sin(?
?
)]

2
由
P
1
P
3
=
P
2
P
4
导出公式
?
cos(< br>?
?
?
)?1
?
?sin(
?
?
?
)?
?
cos(?
?
)?cos
?
2
2< br>?
2
?
?
sin(?
?
)?sin
?
?
2

展开并整理得
2?2cos(
?
?
?)?2?2(cos
?
cos
?
?sin
?
sin?
)

所以
cos(
?
?
?
)?co s
?
cos
?
?sin
?
sin
?



- 39 -

6、 例子
例1 计算① cos105? ②cos15? ③cos
例2已知sin?=
3
5
?
5
cos
3
?
10
?sin?
5
sin
3
?
10

，cos?=
12
13
求cos(???)的值
例3已知cos(2α-β)=-
11
14
,sin (α-2β)=
43
7
,且
?
4
<α<
?
2
,0<β<
?
4
,
求cos(α+β)的值
小结：推导出两角和与差的余弦公式，会初步运用解决具体问题
3.1.1两角和与差的余弦
（第二课时）

教学目标：
通过练习加深对两角和与差的余弦公式的理解
教学重点：
通过练习加深对两角和与差的余弦公式的理解
教学过程
1．两角和与差的余弦公式:
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?

2．
求cos75?的值 解：cos75?=cos(45?+30?)=cos45?cos30??sin45?sin30?
=
2
2
?
3
2
?
2
2
?
1
2
?
6?
4
2

3．计算：cos65?cos115??cos25?sin115?
解：原式= cos 65?cos115??sin65?sin115?=cos(65?+115?)=cos180?=?1
4 计算：?cos70?cos20?+sin110?sin20?
原式=?cos70?cos20?+sin70?sin20?=?cos(70?+20?)=0
5．已知锐角?,?满足cos?= cos(?+?)=
?
5
3
5
13
求cos?
解：∵cos?=
3
5
∴sin?=
5
13
4
5

又∵cos(?+?)=
?
∴?+?为钝角


<0
- 40 -

∴sin(?+?)=
12
13

∴cos?=cos[(?+?)??]=cos(?+?)cos?+sin(?+?)sin?
=
?
5
135
?
3
?
12
13 5
?
4
?
1
33
65
（角变换技巧）
6．已知cos(???)=,求(sin?+sin?)
2
+(cos?+cos? )
2
的值
3
解: (sin?+sin?)+(cos?+cos?)=2+2 cos(???)=2+
7．sin?? sin?=?
1
2
22
2
3
=
8
3

?
2
，cos??cos?=
1
2
1
2
，??(0,
1
2
?
2
),??(0,
?
2
),求cos(???)的值
解: ∵sin??sin?=?，cos??cos?=
1
2
2
，??(0,
2
),??(0,
?
2
),
∴(sin??sin?)=(?
∴2-2 cos(???)=

1
2
2
)，(cos??cos?)=(
3
4
1
2
2
)
∴cos(???)=
小结：通过练习加深对两角和与差的余弦公式的理解
普通高中课程标准实验教科书—数学第四册[人教版B]

第三章 三角恒等变换

3.1.2两角和与差的正弦
（第一课时）

教学目标：
能由两角和的余弦公式推导出两角和的正弦公式，并进而推得两角和的 正弦公式，并
运用进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形
教学重点：
由两角和的余弦公式推导出两角和的正弦公式
教学过程
一、习引入
两角和与差的余弦公式:
cos(
?
?
?
)?cos?
cos
?
?sin
?
sin
?

cos
?
(?
?
)?cos
?
cos
?
? sin
?
sin
?

二、讲解新课


- 41 -

1 推导sin(?+?)=cos[< br>?
2
?(?+?)]=cos[(
??)cos?+sin(
?
2
??)??]
??)sin? =cos(
?
2
?
2
=sin?cos?+cos?sin?
即：
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?sin
?
cos
?
（S?+?）
以??代?得：
sin(
?
?
?
)? sin
?
cos
?
?sin
?
cos
?
（S???）
2公式的分析，结构解剖：正余余正符号同
3．例子
例1不查表，求下列各式的值：
1? sin75? 2? sin13?cos17?+cos13?sin17?
?
例2求证：cos?+
3
sin?=2sin(+?)
6
2
3
2
5
例3已知sin(?+?)=,sin(???)= 求
tan
?
tan
?
的值
小结：由两角和的余弦公式推导 出两角和的正弦公式，并进而推得两角和的正弦公式，
并运用进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等 变形
课堂练习：第147页练习A、B

3.1.3两角和与差的正弦
（第二课时）

教学目标：
通过练习掌握两角和的正弦公式的应用
教学重点：
通过练习掌握两角和的正弦公式的应用
教学过程
1 在△ABC中，已知cosA =
5
13
，cosB =
4
5
，则cosC的值为（ A ）
16
65
或
56
65
3
5
（A）
16
65
（B）
56
65
（C） （D）
?
16
65

解：因为C = ? ? (A + B)， 所以cosC = ? cos(A + B)
又因为A,B?(0, ?), 所以sinA =
12
13
, sinB =,


- 42 -

513565
?
3
?
?
3
?
3
?
5
2
已知
?
?
?，
0?
?
?
，
cos(?
?
)??
，
sin(
，
?
?
)?
413
445
44
所以cosC = ? cos(A + B) = sinAsinB ? cosAcosB =
12
13
?
3
?
5
?
4
?
16

求sin(? + ?)的值
解：∵
?
4
?
?
?
3
?
4
∴
3
5
?
2
?
?
4
?
?
?
?

又
cos(
?
4
?
?
)??
∴
sin(
3
?
4
?
3
?
4
?
4< br>?
?
)?
4
5

∵
0?
?
?
又
sin(
3
?
4
?
4
∴
5
13
?
?
?
?

3
?4
?
?
)??
12
13
?
?
)? ∴
cos(

3
?
4
?
?
)]

?
?
)]

∴sin(? + ?) = ?sin[? + (? + ?)] =
?sin[(

??[sin(

??[?(?
5
4
?
4
?
?
)?(
?
4
12
?
?
)cos(
)?
3
5
?
5
3
?
4
]?
?
?
)?cos(
63
65
?4
?
?
)sin(
3
?
4
1313

3已知sin? + sin? =
2
2
，求cos? + cos?的范围
解：设cos? + cos? = t，
则(sin? + sin?)
2
+ (cos? + cos?)
2
=
∴2 + 2cos(? ? ?) =
1
2
1
2
+ t
2
1
2
+ t
2
即 cos(? ? ?) =
1
2
t
2
?
3
4

又∵?1≤cos(? ? ?)≤1 ∴?1≤
14
2
14
2
t
2
?
3
4
≤1
∴
?
≤t≤
1
2

1
10
4已知sin(?+?) =，sin(???) =，求
tan
?
tan
?
的值


- 43 -

3
1
?
?
sin< br>?
cos
?
?
sin
?
cos
?
? cos
?
sin
?
?
?
10

2
?
?
解：由题设：
??
1
1
?
sin
?< br>cos
?
?cos
?
sin
?
?
?
cos
?
sin
?
?
10
5
?
?
从而：
tan
?
tan
?
?
sin
?
co s
?
cos
?
sin
?
?
3
10
?5?
3
2

或设：x =
tan
?
tan
?
∵
sin(
??
?
)
sin(
?
?
?
)
?5

sin(
?
?
?
)tan
?
?
tan
?
?tan
?
tan
?
?tan
?
?tan
?
tan
?
tan
?
tan
?
tan
?
∴
cos
?
cos
?
sin(
?
?
?
)
cos
?
cos
?
?1
?
?1
x?1
x?1
?5

∴x =
3
2
即 =
3
2

?< br>4
5．
求证：cosx+sinx=
2
cos(x
?
证：左边=
2
(
2
2
)
2
cosx+
?
4
2
sinx)=
2
( cosxcos
?
4
+sinxsin
?
4
)
=
2
cos(x
?
)=右边
?
4
又证：右边=
2
( cosxcos+sinxsin
?
4
)=
2
(
2
2
cosx+
2
2
sinx)
= cosx+sinx=左边
6．已知
sin?+sin?=
3
5
① ， cos?+cos?= ②
，求cos(???)
5
9
25
16
4
解： ①
2
: sin
2
?+2sin?sin?+sin
2
?= ③
④ ②
2
: cos
2
?+2cos?cos?+cos
2
?=
25
③+④: 2+2(cos?cos?+sin?sin?)=1
即：cos(???)=


1
2

- 44 -

课堂练习：第147页练习A、B
课后作业：略


普通高中课程标准实验教科书—数学第四册[人教版B]

第三章 三角恒等变换

3.1.3两角和与差的正切


教学目标：
要求学生能根据两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式
教学重点：
能根据两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式
教学过程
一、两角和与差的正切公式
1tan(?+?)公式的推导
∵cos (?+?)?0
tan(?+?)=
sin(
?
?< br>?
)
cos(
?
?
?
)
?
sin< br>?
cos
?
?cos
?
sin
?
cos?
cos
?
?sin
?
sin
?

当cos?cos??0时,

分子分母同时除以cos?cos?得：
t an(
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?< br>1?tan
?
tan
?

以??代?得：
tan(< br>?
?
?
)?
tan
?
?tan
?
1 ?tan
?
tan
?

?
2
,k?Z
其 中
?
?R,
?
?R,
?
,
?
,
?
?
?
都不等于
k
?
?
2．注意：1?必须在定义域 范围内使用上述公式tan?，tan?，tan(?±?)只要有一个不
存在就不能使用这个公式，只 能用诱导公式
2?注意公式的结构，尤其是符号
3．引导学生自行推导出cot(?±?)的公式—用cot?，cot?表示


- 45 -

cot(?+?)=
cos(< br>?
?
?
)
sin(
?
?
?
)
?
cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

当sin?sin??0时,cot(?+?)=
cot
?
cot
?
?1
cot
?
?cot
?

同理，得：cot(???)=
二、例子：
cot
?
cot
?
?1
cot
?
?cot
?

例1求tan15?，tan75?及cot15?的值
例2已知tan?=，tan?=?2 求cot(???)，并求?+?的值，其中0?3
1
求下列各式的值：
例3求下列各式的值：
1?
1?tan75
1?tan75
?
?
2?tan17?+tan28?+tan17?tan28?
课堂练习：第149页练习A、B
课后作业：第150页习题A 5、B 4、5


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第三章 三角恒等变换

3.2.1倍角公式
（第一课时）

教学目标：
1掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；?
2能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明
教学重点：
二倍角公式的推导
教学过程
一、复习引入
复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式：


- 46 -

sin(
?
?
?
)?sin
?< br>cos
?
?cos
?
sin
?
,(
?
?R,
?
?R)

(S
?
?
?
)

cos(
?
?< br>?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
,(
?
?R,
?
?R)

(C
?
?
?
)

tan(
?
?< br>?
)?
tan
?
?tan
?
1?tan
?< br>tan
?
,(
?
,
?
,
?
?
?
?k
?
?
?
2
,k?Z)
(T
??
?
)

二、讲解新课
1、二倍角公式的推导
在公式
(S
?
?
?
)
，
(C
?
?
?
)
，
(T
?
?
?
)
中，当?
?
?
时，得到相应的一组公式：
?
；
(S
2
?
)

sin2
?
?2sin
?
cos
22

cos2
?
?cos
?
?sin
?
；
(C
2
?
)


tan2
?
?
2tan
?
1?tan
?
2
；
(T
2?
)

因为
sin
2
?
?cos< br>2
?
?1
，所以公式
(C
2
?
)
可 以变形为
22
?
?
)

cos2
?
?2cos
?
?1
或
cos2?
?1?2sin
?
(C
2
?
?
)
，
(T
2
?
)
统称为二倍角的三角函数公式，简称为二倍角公公式(S
2
?
)
，
(C
2
?
)
，
(C
2
式．
说明：（１）二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数
（２）凡是符合二倍角关系的就可以应用二倍角公式． “倍角”的意义是相对的
（３）二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角相等时推导出
?
?
)
，
(T
2
?
)
成立的条件是:公式
(T
2
?
)
成立的条件是 （4） 公式
(S
2
?
)< br>，
(C
2
?
)
，
(C
2
?
?R,
?
?k
?
?
?
2
,
?
?k
?
?
?
4
,k?Z
．其他
?
?R

（5） “倍角”与“二次”的关系：升角——降次，降角——升次
（6）特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形：

cos??
21?cos2?
2
,sin
2
??
1?cos2?
2< br> 这两个形式今后常用
2、例子
例1不查表．求下列各式的值


- 47 -

（１）
sin15
?
cos15
?
； （２）
cos
2
2tan22.5
1?tan
2
?
??
8
?sin
2
?
8
；
（３）
22.5
； （４）
1?2sin
2
75
?
．
5
?
1 2
1
5
?
12
5
?
12
4
例2求 值（１）
(sin
（３）
1
5
?
12
?cos?
)(sin?cos)
（２）
cos
?
2
?sin
4
?
2

1?tan
?
1?tan
?
（４）
1?2cos
2
?
?cos2
?

例3若tan ? = 3，求sin2? ? cos2? 的值
小结：理解并掌握二倍角 公式以及推导，能正确运用二倍角的正弦、余弦、正切公式进
行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证 明
课堂练习：第152页练习A、B
课后作业：第155页习题A 1
3.2.1倍角公式
（第二课时）

教学目标：
要求学生能较 熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强学生灵活运用数学知识和
逻辑推理能力
教学重点：二倍角公式的应用
教学过程
三、复习引入
二倍角公式：
si n2
?
?2sin
?
cos
?
；
(S
2< br>?
)


cos2
?
?cos
?
?sin
?
；
(C
2
?
)


?2cos
?
?1?1?2sin
?


tan2
?
?
四、讲解新课
1若270°＜α＜360°，则22
22
2tan
?
1?tan
?
2
；
(T
2
?
)

1
2
?
12
1
2
?
1
2
cos2
?
等于
2求sin10°sin30°sin50°sin70°的值
3求证：8cos
4
θ＝cos4θ＋4cos2θ＋3


- 48 -

4化简：
4sin
?< br>4
?
cos
?
4

5化简
tan40
1?tan
2
40
?

6化简2sin
2
1575? ? 1
?
5
?
7化简
sin

sin
1212
8化简cos20?cos40?cos80?
9求证：[ sin?(1+sin?)+cos?(1+cos?)]?[sin?(1?sin?)+cos?(1?co s?)] = sin2?
10求函数
y?cos
2
x?cosxsinx
的值域
1 1求证：
sin
12化简：
2
??cos?cos(
?
?< br>3
??)?sin(
2
?
6
??)
的值是与?无关的 定值证
1?cos??sin?1?cos??sin?
1?cos??sin?1?cos ??sin?
2sin??cos?
??5
，求3cos 2? + 4sin 2? 13已知
sin??3cos?

14已知
?
2
????
，
?????0
，tan? =
?
22
1
3
，tan? =
?
1
7
，求2? + ?
15已知α、β为锐角，且3sinα＋2sinβ＝1，3sin2α－2sin2β＝0
?
求证：α＋2β＝
2
小结：运用公式进行化简、求值、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力
课堂练习：第152页练习A、B
课后作业：第155页习题A 1


普通高中课程标准实验教科书—数学第四册[人教版B]

第三章 三角恒等变换

3.2.2半角公式


教学目标：
要求学生能较熟练地运用倍角公式推导半角公式，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推


- 49 -

理能力
教学重点：半角公式的应用
教学过程
五、复习引入
二倍角公式：
sin 2
?
?2sin
?
cos
?
；
(S
2?
)

22

cos2
?
?cos
?
?sin
?
；
(C
2
?
)< br>
22

?2cos
?
?1?1?2sin
?


tan2
?
?
六、讲解新课
1、半角公式
sin
?
2
?
2
2tan
?
1?tan
?
2< br>；
(T
2
?
)

??
1?cos ?
2
sin?
?
,cos
?
2
??
1?c os?
2
,tan
?
2
??
1?cos?
1?co s?

tan?
1?cos?
sin?1?cos?

?
证：1?在
cos2??1?2sin
2
?
中，以?代2?，

cos??1?2sin
2
?
2
2
∴
s in
2
?
2
?
2
1?cos?
2
?
2
代? 即得：

2?在
cos2??2cos??1
中，以?代2?，

cos??2cos
2
代? 即得：

?
2
?1
∴
cos
2
2
?2
?
1?cos?
2
3?以上结果相除得：
tan
?
2
?
2
1?cos?
1?cos?

4?
1?cos
?
sin
?
1?(1?2sin
?
2sin
?
2
)
?
sin
cos
?2
?tan
?

?
2
2
?
2
2
?1
cos
?
2
sin
?
1?cos
?
2sin
?
?
2
cos
2
?
?
s in
cos
?
2
?tan
?

?
2
2
- 50 -

1?2cos
?
2
2、例子

1如果｜cosθ｜＝
1
5
，
5
?
2
＜θ ＜3π,则sin
＝a,则sin
?
4
?
2
的值等于
2设5π＜θ＜6π且cos
?
2
等于
3．tan
?
12
－cot
?
12
的值等于 x
2
4．设25sin
2
ｘ
＋sin
ｘ
－24 ＝0且
ｘ
是第二象限角，求tan
小结：运用倍角公式推导半角公式，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力
课堂练习：第154页练习A、B
课后作业：第155页习题B 3





- 51 -