合集高中数学教学设计.doc

精品文档
等比数列的前n项和
（ 第一课时）

一． 教材分析。
（1）教材的地位与作用：《等比数列的前n项和》选自《普通高中课程标准数学教科书· 数学
（5），是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期
付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思
想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。
（2）从知识的体系来看：“等比数列的前< br>n
项和”是“等差数列及其前n项和”与“等比数列”
内容的延续、不仅加深对函数思想 的理解，也为以后学数列的求和，数学归纳法等做好铺垫。

二．学情分析。
（1 ）学生的已有的知识结构：掌握了等差数列的概念，等差数列的通项公式和求和公式与方法，等
比数列的 概念与通项公式。
（2）教学对象：高二理科班的学生，学习兴趣比较浓,表现欲较强, 逻辑思维能 力也初步形成，具
有一定的分析问题和解决问题的能力，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺 乏冷静、深
刻，因而片面、不够严谨。
（3）从学生的认知角度来看：学生很容易把本节内容 与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方
面进行类比，这是积极因素，应因势利导。不利因素是：本 节公式的推导与等差数列前n项和公式
的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于 q = 1这一特殊情况，学生往往
容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。

三．教学目标。
根据教学大纲的要求、本节教材的特点和本班学生的认知规律，本节课的教学目标确定为：
（ 1）知识技能目标————理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点，在此
基础上，并 能初步应用公式解决与之有关的问题。
（2）过程与方法目标————通过对公式推导方法的探索与发 现，向学生渗透特殊到一般、类
比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻 辑思维能力和逆向思维的

精品文档
能力．
（3）情感，态度与价值 观————培养学生勇于探索、敢于创新的精神，从探索中获得成功的
体验，感受数学的奇异美、结构的 对称美、形式的 简洁美。

四．重点,难点分析。
教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的运用。
教学难点：公式的推导方法及公式应用中q与1的关系。

五．教法与学法分析.
培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提，是高中新课程改革的主要任务。
如何培养学生学会学习、学会探究呢？建构主义认为：“知识不是被动吸收的，而是由认知主体主动
建构 的。”这个观点从教学的角度来理解就是：知识不是通过教师传授得到的，而是学生在一定的情
境中，运 用已有的学习经验，并通过与他人（在教师指导和学习伙伴的帮助下）协作，主动建构而
获得的，建构主 义教学模式强调以学生为中心，视学生为认知的主体，教师只对学生的意义建构起
帮助和促进作用。因此 ，本节课采用了启发式和探究式相结合的教学方法，让老师的主导性和学生
的主体性有机结合，使学生能 够愉快地自觉学习，通过学生自己观察、分析、探索等步骤，自己发
现解决问题的方法，比较论证后得到 一般性结论，形成完整的数学模型，再运用所得理论和方法去
解决问题。一句话： 还课堂以生命力，还学生以活力。

六．课堂设计

（一）创设情境，提出问题。（时间设定：3分钟）

[利用投影展示
] < br>在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，
对他说：我可以满足 你的任何要求。西萨说：请给我棋盘的64个方格上，第一格放1粒小麦，第二
格放2粒，第三格放4粒 ，往后每一格都是前一格的两倍，直至第64格。国王令宫廷数学家计算，
结果出来后，国王大吃一惊。 为什么呢？
[设计这个情境目的是在引入课题的同时激发学生的兴趣，调动学习的积极性．故事内容 紧扣本节
课的主题与重点]

精品文档
提出问题1：同学们，你们知道西萨要的是多少粒小麦吗？
引导学生写出麦粒总数
1?2?2?2?L?2

（二）师生互动，探究问题[5分钟]
提出问题2：
1+2+2
2
+2
3
+??????+2
63
究竟等于多少呢?

有学生会说：用计算器来求（老师当然肯定这种做法，但学生很快发现比较难求。）
提出问题 3：同学们，我们来分析一下这个和式有什么特征？（学生会发现，后一项都是前一项的2
倍）
提出问题4：如果我们把每一项都乘以2，就变成了它的后一项，那么我们若在此等式两边同以2，
得 到另一式：
[[利用投影展示
]

2363
...S
64
?1?2?2
2
?2
3
?
L
?2
63.........(1)
2S
64
?2?2
2
?2
3
?2
4
?
L
?2
64
.......(2)

比较（1）(2）两式，你有什么发现？（学生经过比较发现：（1）、（2）两式有许多相同的项）
提出问题5：将两式相减，相同的项就消去了，得到什么呢？。（学生会发现：
S
64
?2
64
?1

[这五个问题的设计意图：层层深入，剖析了错位相 减法中减的妙用，使学生容易接受为什么要错
位相减，经过繁难的计算之苦后，突然发现上述解法，也让 学生感受到这种方法的神奇]
这时，老师向同学们介绍错位相减法，并
提出问题6：同学们反思一下我们错位相减法求此题的过程，为什

么（1）式两边要同乘以2呢？
[这个问题的设计意图:让学生对错位相减法有一个深刻的认 识，也为探究等比数列求和公式的推导
做好铺垫]
（三）类比联想，解决问题。[时间设定：10分钟]
提出问题7：
设等比数列?
a
n
?
的首项为a
1
,公比为q,求它的前项和S< br>n

即 S
n
?a
1
?a
2
?a< br>3
?L?a
n
学生开展合作学习,讨论交流，老师巡视课堂，发现有典型解法的，叫同
学板书在黑板上。
[设计意图：从特殊到一般,从模仿到创新,有利于学生的知识迁移和能力提高，让学生在探索过程
中， 充分感受到成功的情感体验]

精品文档
（四）分析比较，开拓思维。[时间设定：5分钟]
将不同的的方法进行分析评价。根据学生的认识状况，可能有如下几种方法：
等比数列
{a
n
}
,公比为
q
,它的前
n
项和
错 位相减法1：



错位相减法2



提出公比q




累加法








S
n
?a
1
?
a
1
q
?
a
1
q
2
?
?
?
a
1
q
n?2
?
a
1q
n?1
n?1
n
a
1
q
?
a
1
q
2
?
?
?
a
1
q
n?2< br>aq
?
1
?
a
1
q
qS
n
?
?(1?q)S
n
?a
1
?a
1
q
n< br>等比数列
{a
n
}
,公比为
q
,它的前
n< br>项和
??
S
n
?a
1
?
a
2
?
a
3
?
?
?
a
n?1
?
a< br>n
qS
n
?
a
2
?
a
3
?
?
?
a
n?1
?
a
n
?
a
n
q
?(1?q)S
n
?a
1
?a
n
q
等比数列
{a
n
}
,公比为
q
,它的前
n
项和
S
n
?a
1
?a
2
?a
3< br>????a
n?1
?a
n
S
n
?a
1
?a
1
q?a
1
q
2
???a
1
qn?2
?a
1
q
n?1
??
?a
1
? q(a
1
?a
1
q???a
1
q
n?3
? a
1
q
n?2
)
?a
1
?q
(
S
n
?a
1
q
n?1
)
?(1?q)S
n< br>?a
1
?a
1
q
n
a
n
}
等比数列
{
?
,公比为
q
,它的前
n
项和
?
S
n
?a
1
?a
2
?a
3
?? ??a
n?1
?a
n
?a
2
?a
1
qa
3
?a
2
q
a
4
?a
3
q
?
?
a
n
?a
n?1
q
?a
2< br>?a
3
???a
n
?q(a
1
?a
2
?a
3
???a
n?1
)
?S
n
?a
1
?q(S
n
?a
n
)
?(1?q)S
n
? a
1
?a
n
q
??
可能也有同学会想到由等比定理得

精品文档
S
n
?a
1
?a
2?a
3
?
L
?a
n
Q
a
a
2
a
3
??
L
?
n
?q
a
1
a
2
a
n?1
a
2
?a
3
?
L
?a
n
??q
a
1
?a
2
?
L< br>?a
n?1
S
n
?a
1
即 ?q
S
n
?a
n
?(1?q)S
n
?a
1
?a
n
q
LL


【设计意图：共享学习成果，开拓了思维，感受数学的奇异美】
（五）．归纳提炼，构建新知。[时间设定：3分钟]
a
1
-a
1
q
n
提出问题8:由
(1-q)s
n
=a
1
-a
1
q
得
s
n
=
对不对？这里的
q< br>能不能等于1？等比数列中的公比能不能为
1-q
n
1？
q?1
时是什么数列？此时
S
n
?
？
【设计意图：通过反问精讲，一方 面使学生加深对知识的认识，完善知识结构，增强思维的严谨性】
提出问题9:
等比数列的前n 项和公式怎样?

?
a
1
(1?q
n
)
?
a
1
?a
n
q
,q?1
,q?1
???S
n
?
?
1?q
学生归纳出
S
n
?
?
1?q

?
na,q?1
?
na,q?1
?
1
?
1
．
【设计意图：向学生渗透分类讨论数学思想，加深对公式特征的了解】
（六）层层深入，掌握新知。[时间设定：15分钟]

基础练习1已知
?
a
n
?
是等比数列,公比为q
21
(1)若a
1< br>=,q=,则S
n
?
33
(2).则a
1
?2,q? 1,则S
n
?

练习2 判断是非
(1).1-2+4-8+16-
L
+
?
-2
?
23n
n
1?(1?2n
)
?
1?(?2)
1?(1?2
n
)
(2) .1?2?2?2?
L
?2?
1?2
a(1?a
8
)
238
(3).a?a?a?
L
?a?
1?a

【设计意图：通过两道简单题来剖析公式中的基本量．进行正反两方面的“短、浅、快” 练习．通

精品文档
过总结、辨析和反思，强化公式的结构特征．】
例1 已知数列
?
a
n
?
是等比数列,完成下表

题号 a
1
q
12
23
-2
n
8


a
n


8
-96
Sn


-63
（1） 12
（2） 27
（3）
【设计意图：渗透方程思想.通过公式的正用和逆用进一步提高学生运用知识的能力 .掌握公式中”知
三求二”的题型】
练习3：求等比数列
1
,
1< br>,
1
,
1
, ???
前8项和；
24816
63
变式 1、等比数列
1
,
1
,
1
,
1
, ???
前多少项的和是；
24816
64
变式2、等比数列
1
,
1
,
1
,
1
, ???
求第5项到第10项的和；
24816
a
2
,a
3
, ???a
n
,L
求前2n项中所有偶数项的和。 变式3、等比数列
a,< br>（先由学生独立求解，然后抽学生板演，教师巡视、指导，讲评学生完成情况，寻找学生中的闪光
点，给予热情表扬。)

【设计意图：变式训练,深化认识，增加思维的梯度的同时，提高学 生的模式识别能力，渗透转化思
想
】．
练习4 有一位大学生毕业后到一家私营企 业去工作，试用期过后，老板对这位大学生很欣赏，
有意留下他，就让这位大学生提出待遇方面的要求， 这位学生提出了两种方案让老板选择，其一：
工作一年，月薪五千元；其二：工作一年，第一个月的工资 为20元，以后每个月的工资是上月工资
的2倍，此时，老板不假思索就选择了第二种方案，于是他们之 间就订了一个劳动待遇合同。请你
分析一下，老板的选择是否正确？
【设计意图：让学生进一步认识到数学来源于生活并应用于生活，生活中处处有数学．】
（七）总结归纳，加深理解。[时间设定：2分钟]
（1）等比数列的求和公式是什么？应用时要注意什么？
（2）用什么方法可以推导了等比数列的求和公式？
【设计意图：形成知识模块，从知识的归纳延伸到思想方法的提炼，优化学生的认知结构】

（八）课后作业，巩固提高。[时间设定：1分钟]
必做：（1）
P66练习1

精品文档
研究性作业：请上网查阅“芝诺悖论”
选做：求和：
1?2?2?2
2?3?2
3
?4?2
4
?L?n?2
n

【设 计意图：为了使所有学生巩固所学知识，布置了“必做题”；“选做题”又为学有余力者留有自
由发展的 空间，布置了“探究题”以利于学生开展研究性学习，拓展学生的视野
．】

七、教学反思：
本节课立足课本，着力挖掘，设计合理，层次分明。充分体现以学生发展为本 ，培养学生的观
察、概括和探究能力，遵循学生的认知规律，体现理论联系实际、循序渐进和因材施教的 教学原则，
通过问题情境的创设，激发兴趣，使学生在问题解决的探索过程中，由学会走向会学，由被动 答题
走向主动探究。在教学思想上既注重知识形成过程的教学，还特别突出学生学习方法的指导，探究< br>能力的训练，引导学生发现数学的美，体验求知的乐趣。