人教版高中数学《函数》全部教案-高中数学教案优秀教案

第二章 函数
第一教时
教材：映射
目的：要求学生了解映射和一一映射的概念，为今后在此基础上对函数概念的理
解打下基础。
过程：
一、复习：以前遇到过的有关“对应”的例子
1? 看电影时，电影票与座位之间存在者一一对应的关系。
2? 对任意实数a，数轴上都有唯一的一点A与此相对应。
3? 坐标平面内任意一点A 都有唯一的有序数对(x, y)和它对应。
4? 任意一个三角形，都有唯一的确定的面积与此相对应。
二、提出课题：一种特殊的对应：映射





A B

开平方

A B

求正弦

A B

1
?1
2
?2
3
?3
求平方

A B

乘以2

9

4

1
3
?3
2
?2
1
?1
30?
45?
60?
90?
1
2
2

2
3
2
1
1

4

9
1

2

3
1
2
3
4
5
6
（1） （2） （3） （4）
引导观察，分析以上三个实例。注意讲清以下几点：
1．先讲清对应法则：然后，根据法则， 对于集合A中的每一个元素，在集
合B中都有一个（或几个）元素与此相对应。
2．对应的形式：一对多（如①）、多对一（如③）、一对一（如②、④）
3．映射的概念（定义）：强调：两个“一”即“任一”、“唯一”。
4．注意映射是有方向性的。
5．符号：f ： A B 集合A到集合B的映射。
6．讲解：象与原象定义。
再举例：1?A={1,2,3,4} B={3,4,5,6,7,8,9} 法则：乘2加1 是映射

2?A=N
+
B={0,1} 法则：B中的元素x 除以2得的余数 是映射
3?A=Z B=N
*
法则：求绝对值 不是映射（
A
中没有象）
4?A={0,1,2,4} B={0,1,4,9,64} 法则：f ：a b=(a?1)
2
是映
射
三、一一映射
观察上面的例图（2） 得出两个特点：
1?对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象 （单射）
2?集合B中的每一个元素都是集合A中的每一个元素的象 （满射）
即集合B中的每一个元素都有原象。
结论：（见P48） 从而得出一一映射的定义。
例一：A={a,b,c,d} B={m,n,p,q}
它是一一映射
例二：P48
A

B

a
b
c
d
f
m
n
p
q
例三：看上面的图例（2）、（3）、（4）及例1?、2?、4? 辨析为什么不是一一
映射。
四、练习 P49
五、作业 P49—50 习题2．1
《教学与测试》 P33—34第16课


第二教时
教材：函数概念及复合函数
目的：要求学生从映射的观点去理解函数的概念，明确决定函数的三个要素。
过程：
一、复习：（提问）
1．什么叫从集合到集合上的映射？
2．传统（初中）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？
二、函数概念：

1．重复初中时讲的函数（传统）定义：“定义域”“函数值”“值域”的
定义。
2．从映射的观点定义函数（近代定义）：
1?函数实际上就是集合A到集合B的一个映射 f：A B 这里 A, B 非
空。
2?A：定义域，原象的集合
B：值域，象的集合（C）其中C ? B
f：对应法则 x?A y?B
3?函数符号：y=f(x) —— y 是 x 的函数，简记 f(x)
3．举例消化、巩固函数概念：见课本 P51—52
一次函数，反比例函数，二次函数
注意：1?务必注意语言规范
2?二次函数的值域应分 a>0, a<0 讨论
4．关于函数值 f(a) 例：f(x)=x
2
+3x+1 则 f(2)=2
2
+3×2+1=11
注意：1?在y=f(x)中 f 表示对应法则，不同的函数其含义不一样。
2?f(x)不一定是解析式，有时可能是“列表”“图象”。
3?f(x)与f(a)是不同的，前者为函数，后者为函数值。
三、函数的三要素： 对应法则、定义域、值域
只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。
例一：判断下列各组中的两个函数是否是同一函数？为什么？
1．
y
1
?
(x?3)(x?5)

x?3
y
2
?x?5
解：不是同一函数，定义域
不同
2
。

y
1
?x?1x?1

y
2
?(x?1)(x?1)
解：不是同一函数，定义域
不同
3
。

f(x)?x

g(x)?x
2

4．
不是同一函数，值域不同

解：
f(x)?x

F(x)?
3
x
3

解：是同一函数
5．
f
1
(x)?(2x?5)
2

f
2
(x)?2x?5
解：不是同一函数，定义域、值域都

不同
例二： P55 例三 （略）
四、关于复合函数
设 f(x)=2x?3 g(x)=x
2
+2 则称 f[g(x)]（或g[f(x)]）为复合函数。
f[g(x)]=2(x
2
+2)?3=2x
2
+1
g[f(x)]=(2x?3)
2
+2=4x
2
?12x+11

例三：已知：f(x)=x?x+3 求
：f(
2
1
) f(x+1)

x
111
解：f(
)=()
2
?
+3

xxx
f(x+1)=(x+1)
2
?(x+1)+3=x
2
+x+3
例四：课本P54 例一
五、小结：从映射观点出发的函数定义，符号f(x)
函数的三要素，复合函数

六、作业：《课课练》P48-50 课时2 函数（一） 除“定义域”等内容
．
第三教时
教材：定义域
目的：要求学生掌握分式函数、根式函数定义域的求法，同时掌握表示法。
过程：
一、复习：
1．函数的定义（近代定义） 2．函数的三要素
今天研究的课题是函数的定义域—自变量x取值的集合（或者说：原象的
集合A） 叫做函数y=f(x)的定义域。
二、认定：给定函数时要指明函数的定义域。对于用解析式表示的函 数如果没有
给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的自变量取
值的集合 。
例一、（P54例二）求下列函数的定义域：
1．
f(x)?
1
2
。

f(x)?3x?2

x?2
解：要使函数有意义，必须： 解：要使函数有意义，必须：

x?2?0
3x+2
≥
0

即
x
? 2 即 x
≥
?
∴函数
f(x)?
是：
2

3
1
的定义域是： ∴函数
f(x)?3x?2
的定义域
x?2
2
??

?
x|x?2
?

?
x|x??
?

3
??
3
。
f(x)?x?1?
1

2? x
?
x?1?0
?
x??1
解：要使函数有意义，必须：
?
?
?

2?x?0x?2
??
∴函数
f(x)?3x?2
的定义域是：
?
x|x??1且x?2
?

例二、求下列函数的定义域：
1．
f(x)?4?x?1
2．
f(x)?
2
x
2
?3x?4

x?1?2
解：要使函数有意义，必须： 解：要使函数有意义，必须：

4?x
2
?1

?
x
2
?3x?4?0
?
x??4或x??1
?< br>?

?
x?1?2?0
x??3且x?1
?
?
即：
?3?x?3

?x??3或?3?x??1或x?4

∴函数
f(x)?4?x?1
的定义域为： ∴函数
f(x)?
2
x
2
?3x?4
的定义
x?1?2
域为：
{
x
|
?3?x?3
} { x|
x??3或?3?x??1或x?4
}
3．
f(x)?
11?
1
1?
1
x

x?0
x?0
1
解：要使函数有意义，必须：
1??0
?
x??1

x
1
x??< br>1
1??0
2
1
1?
x
1
??
∴函 数的定义域为：
?
x|x?R且x?0,?1,?
?

2
??
4．
f(x)?
(x?1)
0
x?x


?
x?1?0
?
x??1

?
?


解：要使函数有意义，必须：
?
x?x?0
x?0
?
?
∴函数
f(x) ?
(x?1)
0
x?x
的定义域为：
?
x|x??1或?1 ?x?0
?

5
。
y?x?2?3?
3
1
3x?7

?
?
x?2?3?0
?
x?R
7

?
?

解：要使函数有意义，必须：
?
x??
?
?
3x?7?0
3
?
即 x<
?
∴函数
y?
77
或 x>
?

33
x?2?3?
3
7
??
的定 义域为：
?
x|x?R,x??
?

3
??
3x?7
1

例三、若函数
y?ax
2
?ax?
1
的定义域是一切实数，求实数
a

的取值范围。
a
a?0
?
1
?
1
解：
ax?ax??0恒成立，等价于
?
?0?a?2

2
??a?4a??0
a
?
a
?
11
例四、若函数
y ?f(x)
的定义域为[?1，1]，求函数
y?f(x?)?f(x?)
的定
44
2
义域。
1
??
5
?1?x??1
??< br>?
4
?x?
4
解：要使函数有意义，必须：
?
??
13
?
?1?x??1
?
??x?
4
??< br>4
3
4
??
3
?x?
3

5
44
4

11
33
??
∴函数
y?f(x? )?f(x?)
的定义域为：
?
x|??x?
?

44
44
??
例五、设
f(x)
的定义域是[?3，
2
]，求函数
f(x?2)
的定义域。
解：要使函数有意义，必须：
?3?x?2?2
得：
?1?x?2?2

∵
x
≥
0 ∴
0?x?2?2

0?x?6?42

∴函数
f(x?2)
的定域义为：
x|0?x?6?42

三、小结： 求（整式、分式、根式）函数定义域的基本法则。

四、 P57 习题2、2 1—3 （其中1、3题为复习上节内容）
《课课练》P49-50 有关定义域内容
《精编》P81 5 P82 15、16、17、18
??
第四教时
教材： 函数的表示法，分段函数，区间。
目的： 要求学生明确函数的三种表示方法，继而要求学生掌握分段函数的概念
和区间的概念。
过程：
一、复习：函数的概念
提出课题：函数的表示法。
常用的函数表示法有三种：解析法、列表法、图象法。
二、解析法：
定义：把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的
解析表达式。
它的优点是：关系清楚，容易求函数值、研究性质。
例：加速度公式：
s?
1
2
gt
（如
s?60t
2
）
2
圆面积公式：
A?
?
r
2
圆柱表面积：
s?2
?
rl

二次函数
y?ax
2
?bx?c

(a?0)

y?x?2
（
x
≥
2）
又例：
y?x?1?x?3
我们可用“零点法”把绝对值符号打开，即：

x??1
?
?4
?

y?x?1?x?3
=
?
2x?2

?1?x?3

?
4
x?3
?
这一种函数我们把它称为分段函数。
三、列表法：
定义：列出表格来表示两个变量的函数关系。
它的优点是：不必通过计算就能知道函数对应值。
例：初中接触过的平方表，平方根表， 立方表，立方根表，三角函数表，
汽车、火车站的里程价目表等等。
又如：1984-1994年国民生产总值表。P52
四、图象法
定义：用函数图象表示两个变量之间的关系。
例：平时作的函数图象：二次函数、一次函数、反比例函数图象。
又如：气象台温度的自动记录器，记录的温度随时间变化的曲线（略）
人口出生率变化曲线 （见P53）略
它的优点是：直观形象地表示出函数变化情况。
注意：函数的图象可 以是直线（如：一次函数）、曲线（如：抛物线），也可
以是折线及一些孤立的点集（或点）。
例四、例五、例六 见P55-56 （略）
（注意强调分段函数概念）
五、区间 见课本P53-54
注意：1）这是（关于区间）的定义
2）今后视题目的要求，可用不等式、区间、集合表示（答案）
3）“闭”与“开”在数轴上的表示
4）关于“+∞”“?∞”的概念
六、小结：三种表示法及优点 练习：P56 练习
七、作业： P57 习题2、2 3，4，5，6
第五教时
教材： 函数的解析式；《教学与测试》第17、18课

目的： 要求学生学会利用换元法、定义法、待定系数法等方法求函数解析式。
过程：
一、复习：函数的三种常用表示方法。
(x?0)
?
0
f(1)? 2;f(?1)?0;f(0)?
?
?
提问：1、已知
f(x)?
?
?

(x?0)
则：
f{f[f(?1)]}?< br>?
?1
?
x?1
(x?0)
?
2、已知f(x)=x
2
?1 g(x)=
x?1
求f[g(x)]
解：f[g(x)]=（
x?1
）
2
?1=x+2
x

二、提出问题：已知复合函数如何求
例一、（《教学与测试》P37 例一）
1．若
f(x?1?x?2x)
,求f(x)。
解法一（换元法）：令t=
x?1
则x=t
2
?1, t
≥
1代入原式有

f
(
t
)
?
(
t?
1)
2
?
2(
t?
1 )
?t
2
?
1
∴
f(x)?x
2
?1
（x
≥
1）
解 法二（定义法）：
x?
2
x?
(
x?
1)
2
?
1
∴
f(x?1)?(x?1)
2
?1


x?1
≥
1 ∴f(x)=x
2
?1 (x
≥
1)
1x
2．若
f()?
求f(x)
x1?x
1
11
1
解： 令
t?
则
x?
(t?0) 则
f(t)?
t
?

1
xt
t?1
1?
t
1
∴f(x)= (x?0且x?1)
x?1
例二、已知f(x)=ax+b,且af(x)+b=ax+8 求f(x)
解：（待定系数法）
?
a
2
?9
∵af(x)+b=a(ax+b)+b=a
x+ab+b ∴
?

?
ab?b?8
2
?
a?3
解之
?
或
?
b?2
?
a??3
∴f(x)=3x+2或f(x)=?3x?4
?
?
b??4
例三、已知f(x)是一次函数, 且f[f(x)]=4x?1, 求f(x)的解析式。

解：（待定系数法）设f(x)=kx+b则 k(kx+b)+b=4x?1
?
?
k
2
?4
?
k??2
?
k?2
1
或
?
则
?

?
?
b??
?
b?1< br>?
(k?1)b??1
?
3
?
∴
f(x)?2x?< br>1
或
f(x)??2x?1

3
1
1?x
2
f()
例四、
g(x)?1?2x,f
?
g(x)
?
?
(x?0) 求
2
x
2
(1?t)
2
1?
3?2t ?t
2
1?t
4
?
解一：令
t?1?2x
则
x?
∴
f(t)?

2
(1?t)
2
1?2t?t
2
4
1
1
4
?
15

∴
f()?
1
2
1?1?
4
3? 1?
1
1?()
2
11
1
4
?15

解二：令
1?2x?
则
x?
∴
f() ?
1
24
2
()
2
4
三、应用题：《教学与测试》 思考题
例五、动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发顺次经过B、C、D再
回 到A。设x表示P点的行程，y表示PA的长，求y关于x的函数。
解：如图 当P在AB边上运动时, PA=x
D P C


当P在BC边上运动时 PA=
1?(x?1)
2




当P在CD边上运动时PA=
1?(3?x)
2

P

当P在DA边上运动时PA=4?x
A P B
x
?
?
x
2
?2x?2
?
∴
y?
?
2

?
x?6x?10
?
4?x
?
四、小结：几种常见方法
五、作业： 《教学与测试》 P38 4、5、6、7、8
(0?x?1)
(1?x?2)

(2?x?3)
(3?x?4)

《课课练》 P49 3 P50 8
补充：
1．设
f(x? x
?1
)?x
3
?x
?3
,

g(x?x
?1
)?x
2
?x
?2
求f[g(x)]。
111
解：
f(x?)?(x?)
3
?3(x?)
∴
f(x)?x
3
?3x

xxx
11

g(x?)?(x?
)
2
?
2
∴
g(x)?x
2
?2

xx
∴
f
?
g(x)
?
?
x
6
?
6
x
4
?
9
x
2
?
2

1
1?1?x
2
2
2．已知
f()?x?1?x
(x>0) 求f(x)
()

x
x
3．已知
f(2x?1)?x
2
?2x
求f(x)
4．《精编》 P31 6、7、8
第六教时
（若时间不够，可将部分内容延至第七教时）
教材： 函数图象；《教学与测试》第19课
目的： 要求学生根据函数解析式作出它们的图象，并且能根据图象分析函数的
性质；同时了解 图象的简单变换（平移变换和对称变换）。
过程：
一、复习：函数有哪三种表示方法？
今天主要研究函数的图象。
二、例一、画出下列函数的图象。（《教学与测试》P39）
1
。
y?(?1)
x

x?
?
0,1,2,3
?
2
。

y?x?1?x

y
(x?1)
?
1
解：
1
解：
y?x?1?x?
?

?
2x?1
(x?1)
o
1 2 3
x
?1

y
注意：由于定义域从而导致
函数图象只是若干个孤立点。
1
?1
o
1 2 3
x

1
(x?)
0
2
。
y?
3
x?x

注意：先写成分段函数再作图。
y

1



0.5

?1 ?0.5
o x
1
?
1
?
x??
解：定义域为
?
2

?x?0
且x?
?

2
?
x?x?0
?

强调：定义域十分重要。
三、例二、根据所给定义域，画出函数
y?x
2
?2x?2
的图象。
1
。
x?R
2
。
x?(?1,2]

3
。
x?(?1,2]
且x?Z
y
y


5

5
4
4


3
3


2

2
1
1





?

2

?1 O 1 2 3 4



1

2



3



4
x
x

?2



?

1 O
y

4

3

2
1


?2



?

1 O



1

2



3



4
x

四、关于分段函数的图象
?
3x
2
?2
(x?0)
?
例三、已知
f(x)?
?
?

(x?0)
画出它的图象，并求f(1),f(?2)。
?
?1
(x?0)
y
?
?
解：f(1)=3×1
2
?2=1
f(?2)=?1

五、关于函数图象的变换
1．平移变换 研究函数y=f(x)与y=f(x+a)+b的图象之间的关系
1
例四、函数
y ?(x?1)
2
?2和
y?(x?)
2
?1
的图象分别是由
y?x
2
函数的图象
2
-1
-2
经过如何变化得到的。
解：
y?x
2

1
y?(x?)
2
?1


2
1）将
y?x
2
的图象沿 x轴向左平移1个单
位再沿y轴向下平移2个单位 得
y?(x?1)
2
?2
的图象；

y?(x?1)
2
?2
2）将
y?x
2
的图象沿x轴向右平移
1
个
2< br>单位再沿y轴向上平移1个单位得函数
1
y?(x?)
2
?1
的图象。
2

小结：1
。
将函数
y=f(x)
的图象向左（或向右）平移|k|个单位（k>0向左,k<0
向右）得
y=f(x+ k)
图象；
2．将函数
y=f(x)
的图象向上（或向下）平 移|k|个单位（k>0向上,k<0
向下）得
y=f(x) +k
图象。
2、对称变换 函数
y=f(x)
与
y=?f(x)、y=f(?x)及y=?f( ?x)的
图象分别关于x轴、y轴、
原点对称
1
例五、设
f(x)?
(x>0)作出y=?f(x)、y=f(?x)及y=?f(?x)的图象。
x
y

y
y

y=f(?x)


x
O
x
O
x
O


y=?f(x)
y=?f(?x)

横坐标不变，纵坐标 纵坐标不变，横坐标 横坐标与纵坐标都取
取相反数 取相反数 原来相反数
图象关于轴对称 图象关于轴对称 图象关于原点对称
3、翻折变换 由函数
y=f(x)
的图象作出
y=|f(x)|
与
y=f(|x|)
的图象
例六、作出函数y=|x
2
?2x ?1|及y=|x|
2
?2|x|?1的图象。
解：分析1：

当x
2
?2x?1
≥
0时，y=x
2
?2x?1
当x
2
?2x?1
<
0时，y=?(x
2
?2x?1)

y

步骤：1.作出函数y=x
2
?2x?1的图象

2．将上述图象x轴下方部分以x
2
轴为对称轴向上翻折（上方部分不

变），即得y=|x
2
?2x?1|的图象。
1

?1

O 1 2 3
x

?1

?2



分析2：当x
≥
0时 y=x
2
?2x?1
当x<0时 y=x
2
+2x?1 即 y=(?x)
2
?2(?x)?1

y

步骤：1）作出y=x
2
?2x?1的图象；
3
2）y轴右方部分不变，再将右方部
2
分以y轴为对称轴向左翻折，即得
1
y=|x|
2
?2|x|?1的图象 。

1 2 3

?3 ?2 ?1 O
x
?1

?2

?3


小结： 将y=f(x)的图象，x轴上方部分不变，下方部分以 x轴为对称轴向上翻
折即得y=|f(x)|的图象；
将y=f(x)的图象，y轴右方部分 不变，以y轴为对称轴将右方部分向左
翻折即得y=f(|x|)的图象。
六、作业：
《教学与测试》 P40 7、8
《课课练》 P53 3 P54 9
《精编》 P83 24、25、26
2x?52(x?3)?11
????2?
（第26题应作启发：
y?
）
3?xx?3x?3
第七教时
教材： 续函数图象
目的： 完成第六教时可能没有完成的教学任务，然后进行综合练习。
过程：
例一、 某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余
下的路程。在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下
图四个图形中较符合该生走 法的是哪一种。 （《教学与测试》 备用题1）



O t O t O t O t
d d d d
(A) (B) (C) (D)
解： A、 C图中t=0时d=0即该生一出家门便进家门（与学校距离为0）
应排除，B、D中因该生一开始就跑 步与学校距离迅速减小。故应选D。
例二、设M={x|0
≤
x
≤
2}，N={y|0
≤
y
≤
2} 给出下列四个图形，其中能表示从集合
M到集合N的函数关系有几个？
y
2

1
y
2
1
y
3
2
1
y
2
1

(A) (B) (C) (D)
解：(A)中定义域为[0,1] (C)中值域[0,3]?N (D)中
x
的值(如
x
=1)
有两个
y
值与之对应，不是函数 ∴只有(B)正确。
例三、讨论函数
y?
解：
y?
3x?71
的图象与
y?
的图象的关系。（《精编》 P79）
x?2x
3x?73x?6?11
??3?

x?2
x?2 x?2
可由
y?
11
的图象向左平移两个单位得
y?
的图象 ，再向上平移三
x
x?2
1
?3
的图象。
x?2
个单位得
y?
例四、如图为y=f(x)的图象，求作y= ?f(x)，y=f(?x)， y=|f(x)|，y=f(|x|)的图象。






y??f(x)

y?f(?x)

y?f(x)

y?f(x)

作业：作出下列函数的图象：
(?2?x?0)
?
4?x
2
1.
f(x)?
?
2
2.
y?x
2
?2x?3

(0?x?2)
?
?x?1
O
x
O
x
O
x
O
x
y
3.
y?
7?4x
4.
y?x
2
?2x?3

x?4
第八教时
教材：函数的值域
目的：要求学生掌握利用二次函数、观察法、换元法、判别式法求函数的值域。
过程：

一、复习函数的近代定义、定义域的概念及其求法。
提出课题：函数的值域
二、新授：
1．直接法（观察法）：
x
例一、求下列函数的值域：1?
y?
2?
f(x)?5?1?x

x?1
xx?1?111
??1??0
∴
y?1
解：1?
y?
∵
x?1x?1x?1x?1
即函数
y?
x
x?1
的值域是 {
y
|
y
?R且
y
?1}
（此法亦称部分分式法）
2?
f(x)?5?1?x
∵
1?x?[0,??)

f(x)?[5,??)

即函数
y
=
f(x)?5?1?x
的值域是 {
y
|
y
≥
5}
2．二次函数法：
例二、1?若
x
为实数，求 y=x
2
+2x+3的值域
解：由题设
x
≥
0
y
=
x
2
+2
x
+3=(
x
+1)
2
+2
当
x
=0 时
y
min
=3 函数无最大值
∴函数
y
=
x
2
+2
x
+3的值域是{
y
|
y
≥
3}
2?求函数
y?2?4x?x
2
的值域
解：由 4
x
?
x
2
≥
0 得 0
≤
x
≤
4
在此区间内 (4
x
?
x
2
)
ma
x
=4 (4
x
?
x
2
)
min
=0
∴函数
y?2?4x?x
2
的值域是{
y
| 0
≤
y
≤2
}
3．判别式法（△法）
例三、求函 数
y?
x
2
?5x?6
x
2
?x?6
的值 域
解一：去分母得 (
y
?1)
x
2
+(< br>y
+5)
x
?6
y
?6=0 (*)
当
y
?1时 ∵
x
?R ∴△=(
y
+5)
2
+4(
y
?1)×6(
y
+1)
≥
0
由此得 (5
y
+1)
2
≥
0
?
1
?5
检验
y??
1
5
时 x??
5
2?(?
6
?2
（代入(*)求根）
5
)
∵2?定义域 {
x
|
x
?2且
x
?3} ∴
y??
1
5

再检验
y
=1 代入(*)求得
x
=2 ∴
y
?1
∴

x
2
?5x?6
综上所述，函数
y?
2
的值域为 {
y
|
y
?1且
x?x?6
y
?
?
}
解二：把已知函数化为函数
y?
(x?2)(x?3)x?36

??1?
(x?2)(x?3)x?3x?3
1
5
(
x
?2 ) 由此可得
y
?1
11
∵
x
=2时
y??
即
y??

55
1
x
2
?5x?6
∴函数
y?
2
的值域为 {
y
|
y
?1且
y
?
?
}
5
x?x?6
4．换元法
例四、求函数
y?2x?41?x
的值域
解：设
t?1?x
则
t
≥
0


x
=1?
t
2

代入得
y
=
f
(
t
)=2
×
(1?
t
2
)+4
t
=?2
t
2
+4
t
+2=?2(
t
?1)
2
+4
∵
t
≥
0 ∴
y
≤
4
三、小结：
1．直接法：应注意基本初等函数的值域
2．二次函数法：应特别当心“定义域”
3．△法：须检验
4．换元法：注意“新元”的取值范围
四、练习与作业：
《课课练》 P51—54中有关值域部分
《教学与测试》 P41—42中有关值域部分


第九教时
教材：函数的单调性
目的：要求学生掌握函数单调性的定义，并掌握判断一些函数单调性的方法。能
利用单调性进一步研究 函数。
过程：
一、复习函数的图象 作y=x
2
y=x
3
y=?x
3




O x
y
y
y=?x
3
y=x
3
y=x
2

O x

二、引导观察：从而得出函数单调性的直观概念。
1、观察讲解时注意：1
。
“在区间上”

2“随着x的?” “相应的y值?”
。
3
。
“我们说函数?在?上是增（减）函数”
2、上升到理性，得出定义： （见P58）
注意强调：1
。
属于定义域I内某个区间上

2任意两个自变量
x
1
,x
2
且
x
12
时
．．
。
3
。
都有
．．f(x
1
)2
)

4
。
可用P58的示意图
3、讲解“单调区间”概念。 同时解释一下“严格”单调的意义。
三、例题：例一 图象法 见P59例一 （略）
例二 定义法 见P59例二 （略）
例三 定义法 见P59-60 例三 （略）
注意：课本中的两个“想一想” 同时强调观察—猜想—讨论的方法。
例四、讨论函数
f(x)?1?x
2
的单调性。
解：定义域 {x|?1
≤
x
≤
1} 在[?1,1]上任取x
1
,x
2
且x
1
2

则
f(x
1
)?1?x
1

f(x
2
)?1?x
2

则
f(x
1)
?
f(x
2
)?1?x?1?x
2
=
22< br>x
2
?x
1
2
1
2
22
22
(1?x
1
)?(1?x
2
)
1?x?1?x
2
1
2
2

=
1?x?1?x
2
1
2
2
?
(x
2
?x
1
)(x
2
?x
1
)
1?x?1?x
2
1
2
2

22
?1?x
2
?0
∵
x
1
?x
2
∴
x
2
?x
1
?0
另外，恒有
1?x
1
∴若?1
≤
x
1
2
≤
0 则 x
1
+x
2
<0 则
f(x
1
)
?
f(x
2
)?0

f(x
1
)
<
f(x
2
)

若 x
1
2
≤1
则 x
1
+x
2
>0 则
f(x
1
)
?
f(x
2
)?0

f(x
1
)
>
f(x
2
)

∴ 在[?1，0]上f(x)为增函数，在[0，1]上为减函数。
四、小结：1.有关单调性的定义；
2.关于单调区间的概念；
3.判断函数单调性的常用方法：定义法
图象观察—猜想—推理论证
五、作业（练习）
P60 练习 P64-65 习题2.3 4、5、6
练习中 1 口答 其中1、2、3 口答
第十教时
教材：函数的奇偶性
目的：要求学生掌握函数奇偶性的定义，并掌握判断函数奇偶性的基本方法。
过程：
一、复习函数单调性的定义、单调区间及判断函数单调性的方法。
二、提出课题：函数的第二个性质――奇偶性
1．依然观察 y=x
2
与 y=x
3
的图象――从对称的角度
．观察结果：
y=x
2
的图象关于轴对称
y=x
3
的图象关于原点对称
3．继而，更深入分析这两种对称的特点：
①当自变量取一对相反数时，y取同一值．
111
f(x)=y=x
2
f(?1)=f(1)=1
f(?)?f()?

224
即 f(?x)=f(x)
再抽象出来：如果点 (x,y) 在函数y=x
2
的图象上，则该点关于y轴的对称点 (?x,y)
也在函数y=x
2
的图象上．
②当自变量取一对相反数时，y亦取相反数．
111
f(x)=y=x
3
f(?1)=?f(1)=?1
f(?)??f()??

228
即 f(?x)=f(x)

再抽象出来：如果点 (x,y) 在函数y=x
3
的图象上，则该点关于原点的对称点
(?x,?y) 也在函数y=x
3
的图象上．
4．得出奇（偶）函数的定义（见P61 略）
注意强调：①定义本身蕴涵着：
函数的定义域必须是关于原点的对称区间――这是奇（偶）函数的必要条件――
前提
②＂定义域内任一个＂：
意味着不存在＂某个区间上的＂的奇（偶）函数――不研究
③判断函数奇偶性最基本的方法：
先看定义域，再用定义――f(?x)=f(x) ( 或f(?x)=?f(x) )
三、例题：例一、（见P61－62 例四）
例二、（见P62 例五）
此题系函数奇偶性与单调性综合例题，比例典型．
小结：一般函数的奇偶性有四种：奇函数、偶函数、即奇且偶函数、
非奇非偶函数
例：
y?
1
y=2x （奇函数）
x
y=?3x
2
+1 y=2x
4
+3x
2
（偶函数）
y=0 （即奇且偶函数）
y=2x+1 （非奇非偶函数）
例三、判断下列函数的奇偶性：
1．
f(x)?(x?1)
1?x

1?x
?x?0
?
?
1
解：定义域：
?
1?x
??1?x?1
关于原点非对称区间
?0
?
?
1?x
∴此函数为非奇非偶函数
2．
f(x)?x
2
?11?x
2

?
x
2
?1?0
?
x?1或x??1
?
?
解：定义域：
?
∴定义域为
x
=±1
2
?
1?x?0
?
?1?x?1

f(?x)?x
2
?11?x
2
?f(x)
且
f
(±1) = 0

∴此函数为即奇且偶函数
?
x
2
?x(x?0)
3．
f(x)?
?

2
?
x?x(x?0)
解：显然定义域关于原点对称
当 x>0时, ?x<0 f (?x) = x
2
?x = ?(x?x
2
)
当 x<0时, ?x>0 f (?x) = ?x?x
2
= ?(x
2
+x)
?
?(x
2
?x)(x?0)
即：
f(?x)?
?
??f(x)

2
?
?(x?x)(x?0)
∴此函数为奇函数
四、奇函数?图象关于原点对称
偶函数?图象关于轴对称
例四、（见P63 例六） 略
五、小结：1．定义 2．图象特征 3．判定方法
六、作业：P63 练习
P65 习题2. 3 7、8、9
第十一教时
教材：函数的单调性与奇偶性综合练习（《教学与测试》第21、22课）
目的：通过对例题（习题）的判析，使学生对函数的单调性与奇偶性有更深刻的
理解。
过程：
一、复习函数单调性与奇偶性的定义、图象的直观形态、单调区间、判定方法等
概念。
二、处理《教学与测试》第21、22课例题
例一．（P43 例一） 注意突出定义域：x?1 然后分区间讨论
例二．（P43 例二） 难点在于：判断 x
2
+ x
1
x
2
+ x
2
> 0 应考虑用配方
法
而且：∵x
1
, x
2
中至少有一个不为0, ∴??
反之，倘若 x
1,
x
2
全为0 x
2
+ x
1
x
2
+ x
2
= 0
例三．（P43 例三） 难点在于：分 a > 0, a = 0, a < 0 讨论

应突出“二次函数”，再结合图象分析
例四．（P45 例一） 1、2题已讲过；
第3题是两个函数之乘积, 尤其后者要利用幂指数概
念
例五．（P45 例二） 此题是常见形式：应注意其中的“转换”关系
．．
例六．（P45 例三） 此题是单调性与奇偶性综合题，注意思路分析。
三、补充：
例七、已知函数f (x), g (x)在 R上是增函数，求证：f [g (x)]在 R上也是增
函数。
证：任取 x
1
, x ? R 且 x
1
< x
2

∵g (x) 在R上是增函数 ∴g (x
1
) 2
)
又∵f (x) 在R上是增函数 ∴f [g (x
1
)] < f [g (x
2
)]
而且 x
1
< x
2
∴ f [g (x)] 在R上是增函数
同理可以推广：
若 f (x)、g (x) 均是R上的减函数，则 f [g (x)] 是R上的增函数
若 f (x)、g (x) 是R上的一增、一减函数，则 f [g (x)] 是R上的减函数
例八、函数 f (x)在 [0,
??
?
上单调递减，求
f(1?x
2
)
的 递减区间。
解：f (x) 定义域：[0,
??
?

又∵
1?x
2
≥
0 ∴只要 1 ? x
2
≥
0 即 x
2
≤
1 ∴ ? 1
≤
x
≤
1
当 x ? [ 0, 1] 时, u =
1?x
2
关于 x 递增, f (u)关于 x 递减
∴单调区间为 [?1，0]
例九、已知函数 f (x) 是定义在 R上的奇函数，给出下列命题：
1．f (0) = 0
2．若 f (x) 在 [0,
??
?
上有最小值 ?1，则 f (x) 在
?
??,0
?
上有最大
值1。
3．若 f (x) 在 [1,
??
?
上为增函数，则 f (x) 在
?
??,?1
?
上为减函数。
4．若 x > 0时，f (x) = x
2
? 2x , 则 x < 0 时，f (x) = ? x
2
? 2x 。

其中正确的序号是： ① ② ④
例十、判断
f(x)?
1?x
2
?x?1
1?x?x?1
2
的奇偶性。
解：∵
1?x
2
?x?1?0
∴函数的定义域为 R
且 f (x) + f (?x)
?
?
1? x
2
?x?1
1?x?x?1
22
2
?
1?(?x )
2
?(?x)?1
1?(?x)
2
?(?x)?1
222 2
222

?0
(1?x)?(x?1)?(1?x)?(x?1)
(1?x?1)?x
∴f (x) = ? f (?x) ∴f (x) 为奇函数
注：判断函数奇偶性的又一途径：f (x) + f (?x) = 0 为奇函数
f (x) + f (?x) = 2 f (x) 为偶函数
四、作业：《教学与测试》 第21、22课中“练习题”
第十二教时
教材：反函数（1）
目的：要求学生掌握反函数的概念，会求一些简单函数的反函数。
过程：
一、复习：映射、一一映射及函数的近代定义。
二、反函数的引入及其定义：
1．映射的例子：①这个映射所决定的函数是： y = 3x
?
1
②这个映射是有方向的：f:：A B ( f：x y = 3x ?
1)
③如果把方向“倒过来”呢？
（写成） f
?1
： A B ( f
?1
：y
x?
④观察一下函数 y = 3x
?
1与函数
x?
y?1
)
3
y?1
的联系
3
我们发现：它们之间自变量与函数对调 了；定义域与值域也对调了，后
者的解析是前者解析中解出来的（x）。
2．得出结论：函数
x?
y?1
称作函数 y = 3x
?
1的反函数。
3

定义：P66 （略）
注意：（再反复强调）：①用 y表示 x
,
x =
?
(y)
②满足函数的（近代）定义
③自变量与函数对调
④定义域与值域对调
⑤写法：x = f
?1
(y)
考虑到“用 y表示自变量 x的函数”的习惯，将 x = f
?1
(y) 写成 y = f
?1
(x)
x?1

3
如上例 f
?1
：
y?
3．几个必须清楚的问题：
1? 如果 y = f (x) 有反函数 y = f
?1
(x)，那么 y = f
?1
(x) 的反函数是 y = f
(x)，它们互为反函数。
2? 并不是所有的函数都有反函数。如 y = x
2
（可作映射说明）
因此，只有决定函数的映射是一一映射，这个函数才有反函数。
3? 两个函数互为反函数，必须：原函数的定义域是它的反函数的值域
原函数的值域是它的反函数的定义域
如：
x?
y
(y?Z)
不是函数 y = 2 x ( x ? Z ) 的反函数。
2
4? 指导阅读课本，包括“举例”“定义”“说明”“表格”以加深印象。
三、求反函数：
1．例题：（见P66—67 例一）
注意：1? 强调：求反函数前先判断一下决定这个函数的映射是否是一一
映射。
2? 求出反函数后习惯上必须将 x、y 对调，写成习惯形式。
3? 求出反函数后必须写出这个函数的定义域——原函数的值域。
2．小结：求函数反函数的步骤：
1?判析 2?反解 3?互换 4?写出定义域
3．补充例题：
1? 求函数
y?1?1?x
2
（?1
≤
x < 0）的反函数。

解：∵ ?1
≤
x < 0 ∴0
<
x
2

≤
1 ∴0
≤
1

?

x
2
<
1
∴ 0
≤
1?x
2
<
1 ∴0
<
y
≤
1
由：
y?1?1?x
2
解得：
x??2y?y
2
(∵ ?1
≤
x < 0 )
∴
y?1?1?x
2
(?1
≤
x < 0)的反函数是：
y??2x?x
2
( 0
<
x
≤
1 )
?
x
2
?1(0?x?1)
2? 求函数
y?
?
2
的反函数。
(?1?x?0)
?
x
解：①当 0
≤
x
≤
1时， ?1
≤
x
2
?1
≤
0 即 0
≤
y
≤
1
由 y = x
2
?1 (0
≤
x
≤
1) 解得
x??y?1
(?1
≤
y
≤
0)
∴ f
?1
(x) =
?x?1
(?1
≤
x
≤
0)
②当 ?1
≤
x < 0时， 0
<
x
2

≤
1 即 0
<
y
≤
1
由 y = x
2
(?1
≤
x < 0) 解得
x??y
(0
<
y
≤
1)
∴ f
?1
(x) =
?x
(0
<
x
≤
1)
?
x?1(?1?x?0)
∴所求反函数为：
y?
?

(0?x?1)
?
?x
四、小结：反函数的定义、求法、注意点。
五、作业：课本 P66练习 1 P66—69 习题2
.
4 1、2
《课课练》 P61“例题推荐”1、2 P62 7、8
第十三、十四教时
教材：反函数
目的：在掌握反函数概念的基础上，初步会求非单调函数在 各不同单调区间上的
反函数；同时掌握互为反函数图象之间的关系。 处理《教学与测试》23课 P53
过程：
六、复习：反函数的概念，求一个反函数的步骤。
七、例一 分别求函数
y?x
2
?6x?2
在各单调区间上的反函数。
小结： 一般，非单调函数在其定义域内无反函数，但在其各单调区间上是存

在反函数的，关键是 求出其单调区间。
例二 求下列函数的反函数：
3?2x
x
2
?1
1．
y?
2
。
y?
2

x?5
x?1
小结：
y?f (x)
的值域就是它的反函数
y?f
?1
(x)
的定义域。因此，往 往求
函数的值域就是转化成求其反函数的定义域。
八、下面研究互为反函数的函数图象间的关系。
例三 P67 略
例四 P67-68 略
九、
第十五教时
教材： 指数（1）
目的：要求学 生掌握根式和分数指数幂的概念，进而掌握有理指数幂的概念及运
算法则，并能具体应用于计算中。
过程：一、复习初中已学过的整数指数幂的概念。
1．概念：
a
n
?a?a?a?a(n?N*)

n个a
1

a
0
?1(a?0)

a
?n
?
n
(a?0,n?N*)

a
2．运算性质：
a
m
?a
n
?a
m?n
(m,n?Z)

(a
m
)
n
?a
mn
(m,n?Z)

(ab)
n
?a
n
?b
n
(n?Z)
3． 两点解释：①
a
m
?a
n
可看作
a
m
? a
?n
∴
a
m
?a
n
=
a
m
?a
?n
=
a
m?n

a
n
a
n
a
n
n?nn?n
②
()
可看作
a?b
∴
()
=
a?b
=
n

bb
b
二、根式：
1．定义：若
x
n
?a(n?1,n?N
?
)
则x叫做a的n次方根。
2．求法：当n为奇数时：正数的n次方根为正数，负数的n次方根为
负数

记作：
x?
n
a
例（略）
当n为偶数时，正数的n次方根有两个（互
为相反数）
记作：
x??
n
a

负数没有偶次方根
0的任何次方根为0
3．名称：
n
a
叫做根式 n叫做根指数 a叫做被开方数
4．公式：
(
n
a)
n
?a
当n为奇数时
n
a
n
?a

当n为偶数时
n
?
a(a?0)

a?a?
?
?a(a?0)
?
n
5．例一 （见P71 例1）
三、分数指数幂
3
5
10
5
2
3
a?a(a?0)
1
2
a
10
?a< br>2
?a(a?0)
推广
b?b
2
(b?0)
1．概 念：导入：
12
?
5
3
a
12
?a
4?a
3
(a?0)
4
c
5
?c
4
(c ?0)
事实上，
(a
k
)
n
?a
kn
若设a>0,
k?
则
(a)?(a)?a
m

kn
m
n
n
m
(n?1,n?N*)

n
由n次根式定义,
a是a的n
次方根，即：
a
同样规定 ：
a
?
m
n
m
n
m
m
n
?
n
a
m

?
1
a
m
n
(a?0,m,n?N*且n?1)

2．0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。
3．整数指数幂的运算性质推广到有理指数幂。
a
r
a
s
?a
r?s
(a?0,r,s?Q)

(a
r)
s
?a
rs
(a?0,r,s?Q)

(ab)r
?a
r
b
r
(a?0,b?0,r?Q)
四、例二 （P72例二）略
例三 （P73例三）略
例四 （P73例四）略

例五 （P73例五）略
五、小结
六、作业： P74-75 练习 习题2、5
《课课练》 课时11

第十六教时
教材： 指数（2） 苏大《教学与测试》第25、26课
目的：复习巩固根式与分数指数幂的概念，并能用以解决具体问题。
过程：
一、根式
例一 （苏大P51例一）写出使下列等式成立的x的取值范围：
1?
??
?
3
1
?
?
1
2?
?
x?3
?
x?3
??
3
(x?5)(x< br>2
?25)?(5?x)x?5

解：1?只须
∞)
1
有意义，即
x
? 3 ∴
x
的取值范围是(?∞,3)∪(3,+
x?3
2? ∵
(x?5)(x
2
?25)?(x?5)
2
(x?5)?x?5x? 5

∴
x?5x?5?(5?x)x?5
成立的充要条件是
?
x?5?0
?
x??5
即：x??5或
?

x?5?0或
?

x?5?5?x
x?5?0
?
?
∴
x
的取值范围是[?5,5]
例二 1?化简
3?3
2?2?3
2?求证：
42?26?
4
18?
4
2

2(3?3)
2?4?23
2(3?3)
2?(3?1)
2
解：1?原式=
??
2(3?3)
3?3

2(3?3)
2
=
?
(3?3)(3?3)
2(12?63)
?22?6

6
（注意复习，根式开平方）

2? 证：∵
(
4
18?
4
2)
2
?(
4
18)
2
?2
4
18?
4
2?(
4
2)
2



?18?2
4
18?2?2?32?2
4
6
2
?2 ?42?26?0

∴由平方根的定义得：
42?26?
4
18?
4
2

例三 画出函数
y?x
2
?2x?1?
3
x
3
?3x
2
?3x?1
的图象。
解：∵
3
x
3
?3x
2
?3x?1?
3
(x?1)
3
?x?1

?
x?1(x??1)

x?2x?1?x?1?
?

?x?1(x??1)
?
2
?
2x(x??1)
∴
y?
?

?
?2(x??1)
二、分数指数幂
例四 （苏大书P53例一）计算下列各式：
1?
2?
7
0
2
2
0.256
3
4
1.5?(?) ?8?2?(2?3)?(?)
3
63
?
1
3

a ?8ab
a?2ab?4b
3
2
3
2
3
4
3
1
3
?(1?2
3
b
3
)?a
a

1
22
3
（）?2
1
?4?27?110
解： 1? 原式=
()
３
?2
4
?2
4
?22
?3
2
?
33
１31
2? 原式=
a(a?8b)
a?2ab?4b
2
3
1
3
1
3
2
3
1
3
?
a
1
3
1
3
1
3
?a?
1
3
a?2b
a(a?8b)
?a

a?8b
例五 先化简，再用计算器求值（结果保留四位有效数字）
1?
(a?45)?2.3
1.4

2?
(m?m?1?m?m?1)?
3
m(其中m?8.3)

22
5
3
1
2
解： 1? 原式=
(5?2)

2?
?
1
2
2
?

?2.3
1.4
? 5?2?2.3
1.4
?3.445431?933.4145
原式

< br>?
2222
=
?
?
m?m?1?2(m?m?1)(m?m? 1)?m?m?1
?
?m

??
5
6
1
6

?(2m?2)?m?18.6?8.3?12.84979177?12.85

例六 已知
a
x
?a
?x
?u
其中a>0,
x?R
将下列各式分别u用表示出来：
1?
a?a
2?
a?a
?
2

?
x
2
x
2
3x
2
3x
5
6
1
6
5
6
1< br>6
解
1?
a?a
x
2
x
?
2
：
?(a?a
3x
2
x
2
x
?
2
2
)?a
x
?2?a
x
?a
?x
?a
? x
?a
x
?a
?x
?2?u?2

?
x
2
x
2
?
x
2
x
2
2?
a?a
3x
?
2
?(a?a)(a
x
?a ?a
x?x
x
2
?a
?x
)

)?(u?1)u?2

?(a?a?1)(a?a
x
2
?
三 作业 《教学与测试》余下部分
第十七教时
教材： 指数函数（1） — 指数函数的定义、图象
目的： 要求学生掌握指数函数的定义及图象特征。
过程：一、导入新课
P57例（细胞分裂）
又例：某工厂从今年起每年计划增产 8%，设原来的产量为
1，x年后产量为y，则y与x的函数关系式为
y?1.08
x

二、得出指数函数的定义：
函数
y?a
x
(a?0且a?1)
叫做指数函数，其中x是自变
量，函数的定义域是R。
注意：为什么要规定 a>0且a?1：∵a<0时 a
x
不一定有意
义
a=0时，若x>0，a
x
=0；若x<0，则a
x
无意义
a=1时，y=1
x
=1(常量)没有研究必要。
为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a?1。

三、指数函数的图象
1，
y?2
x

,
?
1
?
2．
y?
??
?
2
?x

表（P76 略） 列
列表（P76 略）



2．观察，小结
a a>1
定义域


R

值
域
定
点
单调性 单调递增
单调递减
y?0

0
R


y?0
< br>x?0时，y?1
x?0时，0?y?1
x?0时，0?y?1
x?0时，y? 1

过点(0,1) 过点(0,1)
3．例一（应用问题）见P76例一 （略）
强调：1? 先写出函数式：
y?0.84
x

2? ∵要求出“经过多少年” ∴不能仅作示意图，作图
要力求精确。
3? 列表，作图 注意定义域
x?0
最后得出结
论。
4．例二 （P77例二） 略
利用图形平移，很快得出结论。
四、利用指数函数的单调性比较两个指数值的大小：
例三 （P77 例三）略
例四 《课课练》P73 例一
比较下列各组中数的大小：
1
0
,

0.4
?2.5
,

2
?0.2
，
2.5
1.6

第十八教时
教材： 指数函数（2） — 指数函数的性质
目的： 要求加深对指数函数性质的理解与掌握。
过程：一、复习指数函数的定义与性质
二、例一 求下列函数的定义域和值域：
1
x
1
1．
y?1?a
2．
y?()
?3

2
x
解：1．要使函数有意义，必须 2．要使函数有意义，必
须

1?a
x
?0

a
x
?1

x?3?0
即
x??3

当
a?1
时
x?0
∵
当
0?a?1
时
x?0
∴
1
?0

x?3
1
11
y?()
x?3
?()
0
?1

22
∵
a
x
?0
∴
0?a
x
?1?1
又∵
y?0

∴值域为
0?y?1
∴值域为
y?0
且
y?1

例二 比较下列两个值的大小：
1
?
1．
?
??
?
3
?
?
1
?
??
?
3< br>?
?
3
5
?
3
5
和
4
?< br>3
2
∵
?
1
?
??
?< br>3
?
?
3
5
?1

4
?
3
2
?1
∴
?
4
?
3
2

2．
?
?2
和
3.14
?2
∵指数
?2?0
底数
?
?3.14
∴
?
?2
<
3.14
?2

3．
??
?
1
?
??
?
3
?
?< br>1
2
?
1
?
?
3
?
?
1< br>2
和
??
?
3
?
?
2
?
?
1
2
∵
??
?
1
?
?
3
?
?
1
2
?1

??
?
3
?
?
2
?
?
1
2
?1
∴
>
??
?
3
?
?
2
?< br>?
1
2

?
1
?
y?
???
2
?
x
注意讲
y?2
与
y?3
，

x x
1
?
与
y?
?
??
?
3
?x
图象关系并推广

4．若
a
?3
?a
?4
，求a的取值范围。
解：
a
?3
?a
?4
a
4
??1?a?1

a3
或解：由
a
?3
?a
?4
∵
?3??4
∴
y?a
x
为增函数 ∴
a?1

例三
1
?
求函数
y?
?< br>??
?
2
?
x?2x
2
的单调区间，并证明之。 < br>2
x
2
?2x
2
?
1
?
2
??
x
1
(x
2
?x
1
)(x
2
?x
1
?2)
2
?x
1
?2x
2
?2x< br>1
y
2
?
2
?
?
1
??
1
?
解：设
x
1
?x
2
则 < br>??
??
?
??
2
y
1
?
1
?
x
1
?2x
1
?
2
?
2
??
??
?
2
?
∵
x
1
?x
2
∴
x
2
?x
1
?0

当
x
1
,x
2
?
?
??,1
?
时，
x
1
?x
2
?2?0
这时
(x
2
?x
1
)(x
2
?x
1
?2)?0

即
y
2
?1
∴
y
2
?y
1
，函数单调递增
y
1
当
x
1
,x
2
?
?
1,??
?
时 ，
x
1
?x
2
?2?0
这时
(x
2?x
1
)(x
2
?x
1
?2)?0

即
y
2
?1
∴
y
2
?y
1
，函数单调递减
y
1
∴函数y在
?
??,1
?
上单调递增，在
?
1,??
?
上单调递减。
例四 证明函数
y?a
x
和
y?a
?x

(a?0且a?1)
的图象关于y轴对称。
证：设P
1
(x
1
, y
1
)是函数
y?a
x

(a?0且a?1)
的图象上任意一点
则
y
1
?a
x
而P
1
(x
1
, y
1
)关于y轴的对称点Q是(?x
1
, y
1
)
1
∴
y
1
?a
x
?a
?(?x)
即Q在函数
y?a
?x
的图象上
11
由于P
1
是任意取的
所以
y?a
x
上任一点关于y轴的对称点都在
y?a
?x
的图象上
同理可证：
y?a
?x
图象上任意一点也一定在函数
y?a
x
的图
象上
∴ 函数
y?a
x
和
y?a
?x
的图象关于y轴对称。

三、作业：
《课课练》 P75 例1．2
课时练习 4．5．6．7．8
补充：1．作下列函数图象：
1?
y?2
4?
y??2
x
?2

2．已知函数
y?a
x
?b
的图象过点(0,2)、(?2,11)，求f( x)．
x
2?
?
1
?
y?
? ?
?
2
?
x?1
3?
y?2
x?1

第十九教时
教材：指数函数（3）
目的：复习指数函数的定义和性质，并通过练习以期达到熟练技巧。
过程：
一、复习：定义：形如
y?a
x
?
a?0,a?0
?
的函数称为指数函数。
性质：定义域、值域、单调性、奇偶性 （略）
二、例一、已知函数
?
1
?
y?
??
?
2
?
?
x?1
?
求定义域、值域，并作出其图象。
y
1 ．

．
o 1 x


?
?
1
?
x?1
?< br>?
,x?1
解：
y?
?
?

?
2
?
?
x?1
?
2,x?1
定义域：x?R 值域：
0?y?1

1
?
（其对称性与
y?
?
??
?
2
?
|x|
比较）
例二、求下列函数的单调区间：
1．
y?
?
tg60?
?
x?4x?3
2

1
?
2.
y?
?
??
?
2
?2
1?x?2x?1

解：1．
y?
?
tg60?
?
x?4x?3
2
?3
?
x?2
?< br>?1

∴增区间为
[2,??)
减区间为
(??,2]

??
2
3x
1?x?2x?1
?
?
1
?
?
2．
y?
??
?
?
2
?x?2
?
2
?
?
?
(
1
)
3x
?
?2
(x??1)
1
(?1?x?)

2
1
(x?)
2
∴增区间为
(??,?1]
减区间为
[?1,??)

例三、设函数 f (x)是偶函数，如果函数
y?2
f
?
x
?
在 x>0 时是增函数，则
在x<0
时，是增函数还是减函数？并证明之。
解：是减函数。
设
x
1
?x
2
?a
则
?x
1
??x
2
?0

∵
f
?
x
?
是偶函数, ∴
f
?
?x
?
?f
?
x
?
∴
2
f
?
x
2
?
2
f
?
?x
2
?
2
f
?
x
?
?
1
2
f
?
?x
?

1
∵
y?2
f
?
x
?
在 x>0, 时是增函数，且
?x
1
??x
2
, ∴
2
f
?
?x
2
?
2
f
?
?x
?1
1
?
即
2
f
?
x
2
?
1
?
x
2
?
2
x
1
?
2
f
?
x
?1
, 又：
2
f
?
x
?
?0
,
2
f
?0
∴
2
f
?
x
?
?2
f
?
,
1
?
∴ x<0 时，y是减函数。
例四、已知函数
y?
2
x
?2
?x
2

求：1?函数的定义域、值域 2?判断函数的奇偶性
解：1? 定义域为 R
由
y?
2
x
?2
?x
得
2
2x
2
?2y?2
x
?1?0

∵x?R, ∴△≥0, 即
4y
2
?4?0
, ∴
y
2
?1
, 又∵
y?0
，∴
y?1

2? ∵定义域为 R （是关于原点的对称区间）
又∵
f
?
?x
?
?
2
?x
?2
x
2
?f
?
x
?
, ∴
f
?
x
?
是偶函数。
例五、
2
x
?4
y
?4?0
,
z?4
x
?2?4
y
?5
求 z 的取值范围。
解：由题设：
4
y
?4?2
x
, 代入
z?4
x
?2
?
4?2
x
?
?5

整理得：
z?
?
2
x
?
2
?2?2
x
?3?
?
2
x
?1
?
2
?4

又∵
4
y
?4?2
x
?0
, ∴
0?2
x
?4

f
?
x
?
?2
x
?1?4
在
2
x
?
?
2,4
?
时是增函数
∴
?3?z?21

三、《教学与测试》第27课 P55—56 略
四、作业：《教学与测试》P56 练习题
??
2
第二十教时
教材：对数的基本概念
目的：要求学生理解对数的概念，能够进行对数式与指数式的互化，并 由此求一
些特殊的对数式的值。
进程：
一、引入：从指数导入，见P80例题
假设1995年我国的国民生产总值为 a亿元，如每年平均增长
8%，那么经过多少年国民生产总值是1995年的2倍？
设：经过x年国民生产总值是1995年的2倍
则有
a
?
1?8%
?
x
?2a

1.08
x
?2

这是已知底数和幂的值，求指数的问题。即指数式
a
b
?N
中，已
知a 和N求b的问题。（这里
a?0且a?1
）
二、课题：对数
定义：一般地，如果
a
?
a?0,a?1
?
的b次幂等于N, 就是
a
b
?N
，那么数 b
叫做 a为底 N的对数，记作
log
a
N?b
，a叫做对数的底数，N叫
做真数。
a
b
?N

gN?b

lo
a
1．在指数式中 N > 0 （负数与零没有对数）
2．
?
对任意
a?0
且
a?1
, 都有
a
0
?1
∴
log
a
1?0

ga?1
同样易知：
lo
a
3．如果把
a
b
?N
中的 b写成
log
a
N
, 则有
a
log
a
N
?N
（对数恒等式）
三、对数式与指数式的互换，并由此求某些特殊的对数。
g100?2
例如：
4
2
?16

log
4
16?2

10
2
?100

lo
10
1
4
2
?2

lo
4
g2?

10
?2
?0.01

log
10
0.01??2

1
2
例一、P81 例一、例二
例二、1．计算：
log
9
27
，
log
4
3
81
，
log
?
2?3< br>?
?
2?3
?
，
log
3
5
4625

解：设
x?
log
9
27
则
a
x
?27,

3
2x
?3
3
, ∴
x?

设
x?
log81

4
?
则
?
?
3
?
?81
,
??
x
3
2
4
3

x
3
4
?3
4
, ∴
x?16

令
x?
log
?
2?
x??1

?1
x?1
??
2?3
??
=, ∴, ∴
log 2?3
????
2?3?2?3
3
?
?
2?3
?< br>令
x?
log
3
5
4
x
?
34
?
3
??
625
, ∴
5?625
,
5?5
4
, ∴
x?5

??
??
x
4
2．求 x 的值：①
log
3
x??
②
log
2
x??

③
log
?
2x? 1
?
3x
2
?2x?1?1
④
log
2< br>?
log
3
?
log
4
x
?
??0

2
3
4
5
3
??
解：①
x?3
?
3
4
?
1
4

27
1
②
x?2
?
5
3
?
2

32< br>③
3x
2
?2x?1?2x
2
?1?x
2
? 2x?0?x?0,x??2

?
2x
2
?1?0
?
2
但必须：
?
?
2x?1?1
∴
x?0
舍去
x??2

?
3x
2
? 2x?1?0
?
?
④
log
3
?
log
4
x
?
?1
, ∴
log
4
x?3
,
x?4
3
?64

3．求底数：
log
x
3??
,
lo
x
g2?

?
3
5
3
57
8
解：
x
?
?
5
?
??
? 3?
?
3
3
?
??
??
?
8
?< br>2?2
7
?
?
?
7
?
8
?
3
5
, ∴
x?3
?
5
3

7
x
8
?
?
?
, ∴
x?2

?
?
四、介绍两种特殊的对数：
1．常用对数：以10作底
log
10
N
写成
lgN

2．自然对数：以 e作底 e为无理数，e = 2.71828??

log
e
N
写成
lnN

五、小结：1°定义 2°互换 3°求值
六、作业：（练习）
P
81 练习
P
84 习题2.7 1，2
《课课练》 P79 课时练习 6—10
第二十一教时
教材：积、商、幂、方根的对数
目的：要求学生掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程，
从而能较熟练地运用这些法则解决问题。
过程：
一、 复习：1?对数的定义
log
a
N?b
其中 a 与 N的取值范围。
2?指数式与对数式的互化，及几个重要公式。
3?指数运算法则 （积、商、幂、方根）
二、 积、商、幂、方根的对数
log
a
(MN)?log
a
M?log
a
N1
M
如果 a > 0 , a ? 1 , M > 0 , N > 0 有：
log
a?log
a
M?log
a
N2

N
loga
M
n
?nlog
a
M(n?R)3
证明：1、 3 （略）见 P82
M
?a
p?q
( ∴ a
p
= M , a
q
= N )
N
MM
?p?q
即 ：
log
a
?log
a
M?logN
∴
log
a
NN
证明：2 设log
a
M = p, log
a
n = q , 则
1?语言表达：“积的对数 = 对数的和”??（简易表达——记忆用）
2?注意有时必须逆向运算：如
log
10
5?log
10
2?log
10
10?1

3?注意定义域：
log
2
(?3)(?5)?log
2
(?3)?log
2
(?5)
是不成立的

log
10
(?10)
2
?2log
10
(?10 )
是不成立的
4?当心记忆错误：
log
a
(MN)?loga
M?log
a
N


log
a
(M?N)?log
a
M?log
a
N< br>
三、 例题： P82—83 例三、例四 （略）
补充例题：
1． 计算：
3log
7
2?log
7
9?2log
7
(
3
22
)

2
3
?(
解：原式
?log
7
3
22< br>9
)
2
?log
7
1?0

2． 1?已知 3
a
= 2 用 a 表示 log
3
4 ? log
3
6

解：∵ 3
a
= 2 ∴ a = log
3
2
∴ log
3
4 ? log
3
6 =
log
3
2
?log
3
2?1?a?1

3
2?已知 log
3
2 = a , 3
b
= 5 用 a, b表示
log
3
30

解： ∵3
b
=5 ∴b=log
3
5 又∵log
3
2=a
∴
111
log3
30
=
log
3
?
2?3?5
?
?
?
log
3
2?log
3
3?log
3
5
?
?(a?b?1)

222
3．计算：log
15
5log
15
45+(log
15
3)
2
解一：原式 = log
15
5(log
15
3+1)+(log
15
3 )
2
=log
15
5+log
15
3(log
15
5+log
15
3)
=lo g
15
5+log
15
3?log
15
15=log
15
5+ log
15
3= log
15
15

解二：原式 =
?
log
15
?
?
15
?
2
?
log
15
(15?3)?(log
15
3 )

3
?
=(1-log15
3)(1+log
15
3)+(log
15
3)
2

=1-(log
15
3)< br>2
+(log
15
3)
2
=1
4． 作为机动（有时间可处理）：《课课练》P.81 例三中2,3,4,7
四、 小结：运算法则，注意正反两方面用
五、 作业： P.83练习 P.843,4,5,6 及 《课课练》P.81—P.82
第二十二教时
教材： 换底公式
目的：要求学生掌握对数的换底公式，并能解决有关的化简、求值、证明问题。
过程：
一、复习：对数的运算法则
导入新课：对数的运算的前提条件是“同底”，如果底不同怎么办？
二、换底公式：
log
a
N?
log
m
N
( a > 0 , a ? 1 )
log
m
a
以 m 为底的对数：
证：设 log
a
N = x , 则 a
x
= N
两边取
log
m
a
x?log
m
N?xlog
m
a?log
m
N

从而得：
x?
log
m
Nlog
m
N
∴
log
a
N?

log
m
alog
m
a
n
log
a
b
（ a, b >
m
两个较为常用的推论：
1?
log
a
b?log
b
a?1
2?
log
a
m
b
n
?
0且均不为1）

证：1?
log
a
b?log
b
a?lgblga
??1

lgalgb
lgb
n
nlgbn
2?
log
a
m
b???log
a
b

m
mlgam
lga
n
三、例一、计算：1?
5
1?log
0.2
3
2?
log
4
3?log
1
4
32

2
解：1? 原式 =
5
5
log0.2
3
?
5
5
log
5
1
3
?
5
?15

1
3
115153
log
2
3?log
3
2?log
2
2???

224442
例二、已知 log
18
9 = a , 18
b
= 5 , 求 log
36
45 （用 a, b 表
2? 原式 =
示）
解：∵ log
18
9 = a ∴
log
18
2 = 1 ? a
∵ 18
b
= 5 ∴ log
18
5 = b
∴
log
36
45?
18
?1?log
18
2 ?a
∴log
18
2
log
18
45l o
18
g9?lo
18
g5
a?b

??log
18
361?lo
18
g22?a
111
例三、设
3
x
?4
y
?6
z
?t?1
求证：
??

zx2y
证：∵
3
x
?4
y
?6
z
?t?1

x?
lgtlgtlgt
，y?，z?

lg3lg4lg6
∴
∴
11lg6lg3lg2lg41
??????

zxlgtlgtlgt2lgt2y
例四、若log
8
3 = p , log
3
5 = q , 求 lg 5
解：∵ log
8
3 = p ∴
log
2
3?3p?lg3?3plg2?3p(1?lg5)

又∵
lg5?qlg3?3pq(1?lg5)

log
3
5?
lg5
?q
lg3
∴

∴
(1?3pq)lg5?3pq
∴
lg5?
以下例题备用：
例五、计算：
(log
4
3?lo g
8
3)(log
3
2?log
9
2)?log
1
4
32

2
3pq

1?3pq
解：原式
?(log
2
2
3?log
2
3
3)(l og
3
2?log
3
2
2)?log
1
2

2
5
4
1115
3?log3)(log2?log2)?

?(log

2233
2324
535555
log???

?log
2
3?
3
2?
624442
例六、若
log
3
4?log
4
8?log
8
m ?log
4
2
求 m
解：由题意：
∴
m?3

四、小结：换底公式及其推论
五、作业：
1
lg4lg8lgm1
???
∴
lgm?lg3

2
lg3lg4lg82
1．求下列各式的值：
1?
log
9
2?
25
3?5?3?5
61
log
6
5
1
log
8
7
1

(?)

4
(10)
1
3?
(log
2
5?log
4
0.2)(lo g
5
2?log
25
0.5)

()

4
25
4?
log
9
6
32(log
2
3?log
4
9?log
8
27?log
16
81 ?log
32
243)

()

12
2．已知
2lg(3x?2)?lgx?lg(3x?2)
求
log
x
222
的值。
7
()

4
3．已知 lg 5 = m , lg 3 = n 用 m , n 表示 log
30
8
3(1?m)
()

1?m
1?a
4．已知
log
3
2?
求 log
12
3 (a)
a
?49

5．设 a , b , c 为不等于 1 的正数，若
a
x
?b
y
?c
z
且
111
???0
求证：abc = 1
xy z
6．求值：
lg5?log
7．求值：
2
log
2
10
20?(lg2
2
)
2
?3
log
3
2?1

3)
3
?log
(2?
(7?43)?102?lg2
( ?189)
第二十三教时
教材： 对数（习题课）
目的： 复习对数的概念，运算法则及换底公式处理；《教学与测试》第29、30
课， 使学生对这部分知识达到较熟练的程度。
过程：
六、复习：1．对数的概念。（与指数的互化）
2．对数的运算法则
3．对数的换底公式，及其推论。

二、处理《教学与测试》第29、30课 P59-62
注意：第30课 例一 1 及 例二 已于第二十二教时用过（可视情
况处理）
三、补充例题：
1．（29课备用题）证明：
log
a< br>x
?1?log
a
b

log
ab
x
证明： 设
log
a
x?p
，
log
ab
x?q
，
log
a
b?r

则：
x?a
p

x?(ab)
q
?a
q
b
q

b?a
r

∴
a
p
?(ab)
q
?a
q(1?r)
从而
p?q(1?r)

∵
q?0
∴
p
?1?r
即：
q
l og
a
x
?1?log
a
b
（获证）
log
ab
x

2．（30课备用题1）已知
log
a
1
b
1
?log
a
2
b
2
?
??
?log
a
n
b
n
?< br>?

求证：
log
a
1a
2
?
a
n
(b
1
b
2
?< br>b
n
)?
?

证明：由换底公式
定理得：

lgb
n
lgb
1
lgb
2
??
????
?
由等比
lga
1
lga
2
lgan
lgb
1
?lgb
2
?
?
?lgb
n
?
?
∴
lga
1
?lga
2
?
?
?lga
n
lg(b
1
b
2
?b
n
)
?
?

lg(a
1
a
2
?
a
n
)
∴
log
a
1
a
2
?
a
n
(b< br>1
b
2
?
b
n
)?
lg(b
1b
2
?
b
n
)
?
?

lg(a
1
a
2
?
a
n
)
3． 设
x,y,z?(0,??)
且
3
x
?4
y
?6
z
1? 求证
111
??

x2yz
2?比较
3x,4y,6z
的大小。
1? 证明：设
3
x
?4
y
?6
z
?k
∵
x,y,z?(0,??)
∴
k?1

取对数得：
x?
∴
lgklgklgk

y?

z?

lg4lg6
lg3
11lg3lg42lg3?lg42l g3?2lg2lg61
???????

x2ylgk2lgk2lgk2lgklgkz
2?
64
34lg64?lg81
81
?0

3x?4 y?lgk(?)?lgk??
lg3lg4lg3lg4lg3lg4
lgklg
∴
3x?4y

又：

9
46lg36?lg64
16
?0

4y?6z?lgk(?)?lgk??
lg4lg6lg2lg6lg2lg6
lgk?lg
∴
4y?6z
∴
3x?4y?6z

四、作业： 第29、30课 余下的练习题
《教学与测试》
第二十四教时
教材： 对数函数的定义、图象、性质
目的：要求 学生了解对数函数的定义、图象及其性质以及它与指数函数间的关系，
会求对数函数的定义域。
过程：
一、复习： 指数函数的定义、图象、性质
四、从实例导入：回忆学习指数函数时用的实例。
细胞分裂问题：细胞的个数是分裂次数的指数函数
y?2
x

反之，细胞分裂的次数是细胞个数的函数
y
1
?1
o
1
x
由对数定义：
x?log
2
y
即：次数y是个数x的函数
y?log
2
x

定义：函数
y?log
a
x

(a?0且a?1)
叫做对数函数；它是指数函
数
y?a
x


(a?0且a?1)
的反函数。
对数函数
y?log
a
x

(a?0且a?1)
的定义域 为
(0,??)
，值域为
(??,??)
。
例一、（P87 例一）略

?
1
?
?
1
?
例二、 求函数
y?
??
?2
和函数
y?
??
?< br>5
?
?
2
?
x
x
x
2
?1

?2

(x?0)
的反函数。

?
1
?
解：1?
??
?y?2
∴
f
?1
(x)?lo
1
g(x?2)

(x??2)

?
5
?
5
x
2
? 1
?
1
?
2?
??
?
2
?
?y?2
∴
f
?1
(x)??lo
1
g(x?2)

(2?x?
2
5
)

2
五、对数函数的图象
由于对数函数是指数函数的反函数，所以对数 函数的图象只须由
相应的指数函数图象作关于
y?x
的对称图形，即可获得。
同样：也分
a?1
与
0?a?1
两种情况归纳
以
y?log
2
x
与
y?log
1
x
为例
2
y
y=x
y
y=x
1
o
1
y=log
2
x
x
1
o
1
x
y=
log
1
x

2
例三、作出下列对数函数的图象：
1．
y?log
2
x

y
1
o
1
x
2．
y?log
1
(x?2)

2

六、对数函数的性质
由对数函数的图象，观察得出对数函数的性质。见P87 表 （从略）
定义域：
(0,??)
值域：R 过点 (1,0) 即当
x?1
时
y?0

当
a?1
时 单调递增 当
0?a?1
时 单调递减
由图：
a?1
时
x?(0,1)
时
y?0

x?(1,??)
时
y?0


0?a?1
时
x?(0,1)
时
y?0

x?(1,??)
时
y?0

例四、例五（见P88 例二、例三）
七、小结：对数函数定义、图象、性质
八、作业： P89练习 2、3 习题2．8 1、2、3
第二十五教时
教材： 对数函数性质的应用
目的：加深对对数函数性质的理解与把握，并能够运用解决具体问题。
过程：
一、复习：对数函数的定义、图象、性质
二、例一 求下列反函数的定义域、值域：
1．
y?2
?x
2
?1
?
1

4
2
解：要使函数有意义，必须：
2
?x?1
?
1
? 0

即：
?x
2
?1??2??1?x?1

4
值域：∵
?1?x?1
∴
?1??x
2
?0
从而
?2??x
2
?1??1

∴
1
?2
?x
4
2
?1
?
1
∴
0?2
?x
2
2
?1
?
111
?
∴
0?y?

442
2．
y?log
2
(x
2
?2x?5)

解：∵
x
2
?2x?5
对一切实数都恒有
x
2
?2x?5?4

∴函数定义域为R
从而
log
2
(x
2
?2x?5)?log
2
4?2
即函数值域为
y?2

3．
y?log
1
(?x
2
?4x?5)

3
解：函数有意义，必须：
?x
2
?4x?5?0?x
2
?4x?5?0??1?x?5

由
?1?x?5

∴在此区间内
(?x
2
?4x?5)
max
?9

∴
0??x
2
?4x?5?9

从而
log
1
(?x
2
?4x?5)?log
1
9?? 2
即：值域为
y??2

33

4．
y? log
a
(?x
2
?x)

解：要使函数有意义，必须：
?x
2
?x?0
①
log
a
(?x
2
?x)?0

②
由①：
?1?x?0

由②：当
a?1
时 必须
?x
2
?x?1

x?
?

当
0?a?1
时 必须
?x
2
?x?1

x?R

综合①②得
?1?x?0且0?a?1

当
?1?x?0
时
(?x
2
?x)
max
?
11
∴
0??x
2
?x?

44
∴
log
a
(?x
2
?x)?log
a
例二 比较下列各数大小：
1．
log
0.3
0.7与log
0.4
0.3

1
1

y?log
a

(0?a?1)

4
4
解： ∵
log
0.3
0.7?log
0.3
0.3?1

log
0.4
0.3?log
0.4
0.4?1

∴
log
0.3
0.7?log
0.4
0.3

?
1
?
2．
log
0.6
0.8,log3.4
0.7和
??
?
3
?
?
1
2< br>
?
1
2
?
1
?
解： ∵
0?log
0.6
0.8?1

log
3.4
0.7?0

??
?
3
?
?
1
?
∴log
3.4
0.7?log
0.6
0.8?
??

?
3
?
?
1
2
?1

3．
log
0.3
0.1和log
0.2
0.1

解：
log
0.3
0.1?
1
log
0.1
0. 3
?0

log
0.2
0.1?
1
log0.1
0.2
?0

∵
log
0.1
0.3?log
0.1
0.2
∴
log
0.3
0.1?log
0.2
0.1

例三 已知
f(x)?1?log
x
3
，
g(x)?2log
x
2
试比较
f(x)和g(x)
的大小。

解：
f(x)?g(x)?log
x
3x

4
?1
0?x?1
??
4
?
3
x
?
3x
1? 当
?
x
?x?
或
?
?0?x?1
时
f(x)?g(x)

?10??1
3
??
4
?
4
?
2? 当
3x4
?1即x?
时
f(x)?g(x)

43?00?x?1
??
4
?
x
3
?
x
3? 当
?
?1?x?
或
?
3x
?x?
?
时
f(x)?g(x)

0??1?1
3
??
4
??
4
44
综上所述：
x?(0,1)?(,??)
时
f(x)?g(x)
；
x ?
时
f(x)?g(x)

33
4

x?(1,)时
f(x)?g(x)

3
例四 求函数
y?log
1
(x
2
?3x?18)
的单调区间，并用单调定义给 予证明。
2
解：定义域
x
2
?3x?18?0?x?6或x??3

单调区间是
(6,??)
设
x
1
,x
2
?( 6,??)且x
1
?x
2
则
y
1
?log< br>1
(x
1
?3x
1
?18)

y2
?log
1
(x
2
?3x
2
?18)

2
2
22

(x
1
?3x< br>1
?18)?(x
2
?3x
2
?18)
=
( x
2
?x
1
)(x
2
?x
1
?3)

∵
x
2
?x
1
?6
∴
x
2
?x
1
?0

x
2
?x
1
?3?0

∴x
2
?3x
2
?18?x
1
?3x
1
?18
又底数
0?
∴
y
2
?y
1
?0

y
2
?y
1

∴
y
在
(6,??)
上是减函数。
三、作业：《课课练》 P86 9 P87 “例题推荐” 1 2 3
P88 “课时练习” 8 9

22
22
1
?1

2
第二十六教时
教材： 对数函数（习题课）《教学与测试》P63第31课
目的：通过习题复习、巩固对数函数的图像、性质，逐步达到熟练技巧。

过程：
三、复习：对数函数的图象、性质
题目：比较下列两个对数的大小
1．
log
4
5和log
9
8
2．
log
0.5
0.4和log
2
0.7

(
log
4
5?log
9
8
) (
log
0.5
0.4?log
2
0.7
)
四、处理《教学与测试》 第31课例一、例二
五、补充例题：
1．若
l og
m
3?log
n
3
，求
m和n
的关系。
解：原式可以化为
11

?
log
3
mlog
3
n
当
log
3
m?0
且
log
3
n?0
时， 即
0?log
3
n?log
3
m

∵底数
3?1
∴
m?n?1

当
log
3
m?0
且
log
3
n?0
时，即
log
3
n?log
3
m?0

∵底数
3?1
∴
0?n?m?1

当
log
3
m?0
且
log
3
n?0
时，
0?m?1?n

综上所述
m,n
的关系为m?n?1
或
0?n?m?1
或
0?m?1?n

实际上三种情况可用图形表示：
log
n
3
log
m
3
O
log
m
3
O
O
log
n
3
log
n
3
log
m
3
2．设
x?
?
2,8
?，函数
f(x)?
1

?
，求
a
的值。
8
1
log
a
(ax)?log
a
(a
2
x)
的最大值是1，最小值是
2
解：
f(x)?
11
2
(log
a
x ?1)(log
a
x?2)?log
a
x?3log
a
x? 2

22
??

?
131
(log
a
x?)
2
?

228

13
由题设，∵
[f(x)]
min
??
这时
log
a
x??

2
8
又∵
x?
?
2,8
?
∴
a?(0,1)

∵
f(x)
是关于
log
a
x
的二次函数，
∴函数最大值或最小值必在
x?2或x?8
时取得
?
131
若
(log
a
2?)??1
则
a?2
3

228
3
2
1
?
∵取得最小值时
x ?
?
?
2
?
1
?
3
?
?
?
?
?
?2?2
这时
x?
?
2,8
?舍去
1311
若
(log
a
8?)??1
则
a?
此时取得最小值时
2282
?
1
?

x?
??
?
2
?
?
3
2
?22? [2,8]
符合题意
∴
a?
1

2
六、处理《教学与测试》第31课 例三 （P63）略
作业：《教学与测试》第31课 练习题

第二十七教时

教材：函数的应用举例一
目的：让学生熟悉借助“几何图形”和“计算利润”两种常见类型的应用问题。
过程：
一、应用问题的解答绝大部分是通过建立模型（常常是函数模型）并借助图
象和性质来进行研究的，研究结果再应用于实践。
1．数学模型来源于实践，是实际问题的抽象和概括 ，因此首先必须对实际问
题要有深刻的理解。
2．其次，应不断培养自己的抽象概括能力和坚实的数学基础。
3．最后，当然需要有较强的运算能力。
二、例一 （课本P90）有一块半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的
形
状，下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上。写出这个梯形周
长y

与腰长x间的函数式，并写出它的定义域。
分析：关键是用半径
R
与腰
D


长
x
表示上底
由对称性：
CD=AB?
2
AE
因此只要求
AE

x
A
E
2R
解：设腰长
AD=BC=x
作
DE
?
AB
垂足为
E
连结
BD
B
则?
ADB=
90? 由此：
Rt
△
ADE
∽
Rt
△
ABD

x
2
x
2
∴
AD?AE?AB

AE?
∴
CD?AB?2AE?2R?

2RR
2
C
x
x
2
x
2
?2x?4R
∴周长
y?2R?2x?(2R?)??
RR
∵
ABCD
是圆内接梯形 ∴
AD?0,AE?0,CD?0

x?0
x
2
?0?x|0?x?2R

R
x
2
2R??0
R
??
《课课练》 P98 3 —此题作为作业
例二 如图，已知⊙O的半径为R，由直径AB的端点B作圆的 切线，从
圆周上任一点P引该切线的垂线，垂足为M，连AP设AP=x
1． 写出AP+2PM关于x的函数关系式 2．求此函数的最值
解 ：1．过
P
作
PD
?
AB
于
D
，连
PB
设
AD=a
则
x
2
?2R?a

x
2
x
2

a?

PM?2R?

2R
2R
x
2
∴
f(x)?AP?2PM???x?4R

R
P

(0?x?2R)

2．
f(x)??
当
x?
1R17R

(x?)
2
?
R24
A D O
R
17
时
f(x)
max
?R
当
x?2R
时
f(x)
min
?2R

4
2
例三 《教学与测试》34课 例一 （P69） 距离船只A的正北
方向100海里处有一船只B，以每小时20海里的速度，沿
北偏西60?角的方向行驶，A船只以每小时15海里的速度
向正北方向行驶，两船同时出发，问几小时后两船相 距最近？
D
解：设
t
小时后A行驶到点C，B行驶到点D，则BD=20 BC=100-15
t



过D作DE?BC于E DE=BDsin60?=10
3
t
BE=BDcos60?=10
t

∴EC=BC+BE=100-5
t

C
A

CD=
DE
2
?CE
2
?103t?
?
100?5t
?
2
=
325t
2
?1000t?1 0000

∴
t
=
3
20
20
时CD最小 ，最小值为200，即两船行驶小时相距最近。
13
13
13
??
2
例四．《课课练》P.98例二 某超市为了获取最大利润做了一番试验，若
将进货单价为8元的商品按10元一件的价格出售时，每天可 销售60件，
现在采用提高销售价格减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨1
元，其销 售量就要减少10件，问该商品售价定为多少时才能赚得利润最
大，并求出最大利润。
解：设商品售价定为
x
元时，利润为
y
元，则


y
=(
x
-8)[60-(
x
-10)10]=-10[(
x
-12)
2
-16]=-10(
x
-12)
2
+160 (
x
>10)
当且仅当
x
=12时，
y< br>有最大值160元，即售价定为12元时可获最大利润
160元。
三．作业：《课课练》 P.97-98 “例题推荐”1，3 P.995,6,7,8
《教学与测试》P.70 思考题

第二十八教时
教材： 函数的应用举例二
目的： 要求学生熟悉属于“增长率”、“利息”一类应用问题，并能掌握其解法。
过程：
七、新授：
例一、（《教学与测试》 P69 第34课）
某工厂今年1月、2月 、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、
1.3万件，为估计以后每月的产量，以这三个月的产量 为依据，用
一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数可选用
二次函数或
y?a?b
x
?c
(a,b,c为常数)，已知四月份该产品的产量为
1. 37万件，请问：用以上那个函数作模拟函数较好？说明理由。
解：设二次函数为：
y?px
2
?qx?r

?
p?q?r?1
?
p??0.05
??
由已知得：
?
4p?2q?r?1.2?
?
q?0.35

?
9p?3q?r?1.3
?
r?0.7
??
∴
y??0.05x
2
?0.35x?0.7

当 x = 4时，
y
1
??0.05?4
2
?0.35?4?0.7?1. 3

又对于函数
y?a?b
x
?c

?
ab?c?1
?
a??0.8
??
由已知得：
?
ab
2
?c?1.2?
?
b?0.5
∴
?
ab
3
?c?1.3
?
c?1.4
?
?
1
y??0.8?()
x
?1.4

2
1
当 x = 4时，
y
2
??0.8?()
4
?1.4?1.35

2
由四月份的实际产量为1.37万件,
|y
2
?1.37|?0.02?0.07?|y
1
?1.37|

1
∴选用函数
y??0.8?()
x
?1.4
作模拟函数较好。
2
例二、（《教学与测试》 P69 第34课）
已知某商品的价格每上涨x%，销售的数量就减少mx%，其中m为
正常数。
1
1．当
m?
时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额最
2
大 ？
2．如果适当的涨价，能使销售总金额增加，求m的取值范围。
解：1．设商品现在定价a元，卖出的数量为b个。
由题设：当价格上涨x%时，销售总额为
y?a(1?x%)?b(1?mx%)

ab
[?mx
2
?100(1?m)x?10000]

10000
1ab
[?(x?50)
2
?22500]
取
m?
得：
y?
220000
9
当 x = 50时，
y
max
?ab

8
即该商品的价格上涨50%时，销售总金额最大。
ab
[?mx
2
?100(1?m)x?10000]
2．∵二次函数
y?
10000
50(1?m)50(1?m)
]
上 递增，在
[,??)
上递减 在
(?x,
mm
50(1?m)
?0
∴适当地涨价，即 x > 0 , 即
m
就是 0 < m <1 , 能使销售总金额增加。
例三、（课本 91 例二）
按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和
为y，存期为x，写出本利和y 随存期x 变化的函数关系式。如果
存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后本利和是多少？
“复利”：即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期利息。
即
y?
分析：1期后
y
1
?a?a?r?a(1?r)
2期后
y
2
?a(1?r)
2
??

∴ x 期后，本利和为：
y?a(1?r)
x

将 a = 1000元，r = 2.25%，x = 5 代入上式：

y?1000?(1?2.25%)
5
?100?

01.022
5
5
由计算器算得：y = 1117.68（元）
二、如有时间多余，则可处理《课课练》 P101“例题推荐” 3
三、作业：《教学与测试》 P70 第7题
《课课练》 “例题推荐” P100 1，2 P101 7，8
第二十九教时
教材： 函数的应用举例三
目的： 结合物理等学科，利用构建数学模型，解决问题。
过程：
例二、 （课本 P91 例三）
设海拔 x m处的大气压强是 y Pa，y与 x 之间的函数关系式是
y?ce
kx
，其中 c，k为常量，已知某地某天在海平面的大气压为Pa，
1000 m高空的大气压为
0.90?10
5
Pa，求：600 m高空的大气压强。（结
果保留3个有效数字）
解：将 x = 0 , y =
1.01?10
5
；x = 1000 , y = 代入
y?ce
kx
得：
?
1.01?10
5
?ce
k?0
?
c?1.01?10
5
(1)

?

?
?
5k?100051000k
(2)
0.90?10?ce0.90?10?ce
??
将 (1) 代入 (2) 得 ：
0.90?10
5
?1.01?10
5
e
1000k?k?
10.90

?ln
10001.01
?4
由计算器得：
k??1.15?10
?4
∴
y?1.01?10
5
?e
?1.15?10

将 x = 600 代入, 得：
y?1.01?10
5
?e
?1.15?10
由计算器得：
y?1.01?10
5
?e
?1.15?10

例二、（《课课练》 P102 “例题推荐” 1）
一根均匀的轻质弹簧，已知在 600 N的拉力范围内，其长度与所受拉
力
成一次函数关系，现测得当它在 100 N的拉力作用下，长度为 0.55 m ,
在 300 N拉力作用下长度为 0.65，那么弹簧在不受拉力作用时，其
自然长度是多少？
?4
?4
?600

解：设拉力是 x N (0
≤
x
≤
600) 时，弹簧的长度为 y m
设：y = k x + b 由题设：
?
?
0.55?100k?b
?
k?0.0005

?
?
0.65?300k?bb?0.50
??
∴所求函数关系是： y = 0.0005 x + 0.50
∴当 x = 0时，y = 0.50 , 即不受拉力作用时，弹簧自然长度为 0.50
m。
例三、（《课课练》 “例题推荐” 2）
一物体加热到 T
0
?C 时，移入室内，室温保持常温 a?C，这物体逐
渐
冷却，经过 t 分后，物体的温度是 T?C，那么 T 与 t 之间的关系
有
下列形式
T?a?(T
o
?a)?e
?kt
（这里 e =2.71828，k为常数），现有加
热
到 100?C的物体，移入常温为 20?C的室内，经过 20分后，物体
的
温度是 80?C，求：
1．经过 20分后，物体的温度是多少度?（精确到 1?C ）
2．经过多少分（精确到 1分），物体的温度是 30?C？
解：将 T
0
= 100 , T = 80 , a = 20 , t = 10代入关系式
T?a?(T
o
?a)?e
?kt

得：
80?20?(100?20)?e
?10k
化简得：
e
?10k
?0.75

两边取自然对数，并计算得：
?10?k?ln0.75

∴ k = 0.0288
从而可得：
T?20?(100?20)?e
?0.028 8?t
?20?80e
?0.0288?t

(
*
)

6
1．把 t = 20代入
(
*
)

T?20?(100?20)?e
?0 .0288?20
?20?80e
?0.57

由计算器得：T = 64.97 ?C
即经过 20分后，物体的温度约为65度。
2．把 T = 30代入
(
*
)

30?20?(100?20)?e
?0.0
e
?0.0288?t
?0.125

2?t8

8
则
两边取自然对数，并计算得：
t?72.2

即物体冷却到30?C约经过72分钟。
二、作业：《课课练》P103—104 “例题推荐” 3
“练习题” 5，6，7，8

第三十教时
教材：单元复习之一——函数概念、性质、指数运算及指数函数
目的：通过复习与练习要求学生对函数概念、性质、指数、指数函数有更深的理
解
过程：
一、复习：映射、一一映射、函数定义、性质、反函数、指数、指数函数
二、《教学与测试》 P49 第34课 “基础训练题” 1 略
例一、（《教学与测试》 49 例1）
已知函数
f(x)?x
2
?2ax?1
在区间[?1，2]上的最大值
是4， 求 a的值。
解：抛物线对称轴为
x??a
, 区间[?1，2]中点为
1

2
1? 当 2
≥
?a , 即 a
≤
?2时，由题设：f (?1) = 4, 即 1
? 2a +1 = 4, a = ?1
（不合）
2? 当
1
??a?2
, 即
?2?a?1
时，由题设：f (?1) = 4,
2
1
2
1
2
即 a = ?1
3? 当
?1??a?
, 即
??a?1
时，由题设：f (2) = 4,
即 4 + 4a +1 = 4,

a??

4? 当 ?a<
?1
, 即 a>1时，由题设：f (2) = 4, 即 4 +
4a +1 = 4,
a??

（不合）
注：若是已知最小值，此种分类同样适用，也可分 ?a 在
1
4
1
4
?
??,?1
?
,


?
?1,2
?< br>,
?
2,??
?
三个区间。但本题亦可将1?、2?和

3?、4?分别合并成
两个区间讨论。
例二、已知函数 f (x), 当 x , y?R时，恒有f (x + y) = f (x) + f (y) ,
1? 求证： f (x) 是奇函数。
2? 若 f (?3) = a，试用 a 表示 f (24)
3? 如果 x > 0 时，f (x) > 0 且 f (1) < 0，试求 f (x) 在
区间[?2，6]上的

+ f (? x),









最大值与最小值。
解：1? 令 x = y = 0 得 f (0) = 0，再令 y = ? x 得 f (0) = f (x)

∴f (x) = f (? x) ∴f (x)为奇函数
2? 由 f (?3) = a 得 f (3) = ? f(?3) = ?a，
f (24) = f ( 3 + 3 + ?? + 3) = 8 f (3) = ? f (3)

8个 3
3? 设 x
1
< x
2
，则 f (x
2
) = f (x
1
+ x
2
? x
1
) = f (x
1
) + f (x
2
? x
1
) < f (x
1
)，
( ∵ x
2
? x
1
> 0 , f ( x
2
? x
1
) < 0 )
∴f (x) 在区间[?2，6]上是减函数。
∴f (x)
max
= f (?2) = ?f (2) = ?2f (1) = 1
f (x)
min
= f (6) = 6 f (1) = ?3
例三、（《教学与测试》第28课 例一）
求函数
y?
1?2
x
4
x
的值域和单调区间。
解：
y?
1?2
x
1
2
1
4x
?(
2
x
)?
2
x
?[(
1
2
)
x
?
1
2
]
2
?
1
4
??
1
4

∴函数的值域为
?
?
1
4
,??
?
?
?

∵设
u?(
1
2
)
x
, 它在
?
??,??
?
上单调递减，
而二次函数
y?(u?
1
)
2
111
2
?
4
在
u?
2
时是减函数，在
u?
2
时
是增函数令
(
1
2
)
x
?
1
2
，则 x
≥
1 令
(
11
2
)
x
?
2
，则 x
≤
1