高中数学教学案例4份

教 学 案 例
1．1集 合
教学目标：
（1）使学生理解集合的含义，知道常用数集的概念及其记法；
（2）使学生初步了解“属于 ”关系和集合相等的意义；初步了解有限集、无限集、空集的
意义；
（3）使学生初步掌握集合的表示方法，并能正确地表示一些简单的集合。
教学重点：
集合的含义及表示方法。
教学过程：
一、问题情境
1．情境：介绍你自己（P .5）；
2．问题：像“家庭”、“学校”、“班级”、“男生”、“女生”等概念有什么共同的特征？
二、学生活动
1．介绍自己：仿照所给例子，让学生做自我介绍（初步体会集合中元素与集合的关系）；
2．列举生活中的集合实例（了解集合中元素的确定性）；
3．分析、概括各种集合实例的共同特征。
三、建构数学
1．引导学生自己总结给出集合的含义（描述性概念）；
2．介绍集合的表示方法；
3．常用数集的记法（N、N
*
、Z、Q、R以及符号?、?）；
4．有关集合知识的历史简介。
四、数学运用
1．例题
例1 （1）求方程
x
2
-2x-3=0
的解集；
（2）求不等式
x?3?2
的解集．
例2 求方程x + 1 = 0所有实数解所构成的集合．
2．练习
（1）有限集、无限集、空集，请学生各举一例．
（2）第7页练习3，用“?”或“?”填空（口答）．
（3）用列举法表示下列集合：
① {x |x是15的约数，x∈N}；
② {（x，y）|x∈{1，2}，y∈{1，2}}；
③（x , y）| x + y = 2且x - 2y = 4}；
④
{x|x?(?1),n?N}
；
⑤
{(x,y)|3x?2y?16,x?N,y?N}
。
(4) 用描述法表示下列集合
（1）{1，4，7，10，13} ；
（2）{-2，-4，-6，-8，-10}
n
2

五、回顾小结：
本节课学习了以下内容：
1． 集合的有关概念——集合、元素、属于、不属于、有限集、无限集、空集；
2． 集合的表示方法——列举法、描述法以及Venn图；
3．常用数集的定义及记法。
六、课外作业
P 7练习 第2题、第4题、第5题。

函数的单调性
教学目的：理解函数单调性概念，掌握判断函数单调性 的方法，会证明一些简单函数
在某个区间上的单调性。
教学重点：函数单调性的概念与判断
教学过程：
一、问题情境
1．情境：第2.1.1开头的第三个问题中，θ=f(t)
2．问题：说出气温在哪些时间 段内是升高的？怎样用数学语言刻画“随着时间的增大
气温逐步升高”这一特征？
二、学生活动
问题1：观察下列函数的图象（如图1），指出图象变化的趋势．

y＝(x-－1)
2
-－
y
y

1，
y
x∈R



y＝2x＋1，
x∈R
1
1
y＝，
x
x∈(0,+∞)

O


（1）









x
O 1
2
?1
（2）
10
8
6
4
2
－2
x
O
1
（3）
x
y
y＝f(x)，x∈[0，24]

O
1

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
x
（4）

图1

观察得到：随着x值的增大，函数的函数图象有的呈逐渐上升的趋势，有的呈 逐渐下降
的趋势，有的在一个区间内呈上升的趋势，在另一区间内呈逐渐下降的趋势．
问题2：你能明确说出“图象呈逐渐上升趋势”的意思吗？
讨论得到：
在某一区间内，
当x的值增大时，函数值y也增大?图象在该区间内呈上升趋势；
当x的值增大时，函数值y反而减小?图象在该区间内呈下降趋势。
函数的这种性质称为函数的单调性。
三、建构数学
问题3：如何用数学语言来准确地表述函数的单调性呢？
例如，怎样表述在区间（0，+?）上当x的值增大时，函数y的值也增大？
能不能说，由于 x＝1时，y＝3；x＝2时，y＝5就说随着x的增大，函数值y也随着增
大？
能不能说， 由于x＝1，2，3，4，5，?时，相应地y＝3，5，7，9，?就说随着x的增
大，函数值y也随 着增大？

答案是否定的。
例如函数y＝(x-－1)-－1（x∈R），当 x＝1，2，3，4，5，?时，相应地y＝－1，0，3，
8，15，?，就不能说随着x的增大，函 数值y也随着增大．这是因为x＝－1时，y＝3，就
自变量的值而言，－1＜1，而相应的函数值却有 3＞－1，即y不是随着x的增大而增大．
通过讨论，结合图（2）给出f(x)在区间I上是单调增函数的定义。
从图1中可以看出：
函数y＝2x＋1（x∈R）的单调增区间是（-?，+?）；
函数y＝(x－1)-1（x?R）的单调增区间是[1，+
?)
；
气温曲线所表示的函数的单调增区间是[4，14]。
问题4：如何定义单调减函数？（结合图（3）叙述）
（学生讨论回答）
从图1中可以看出：
图－2
2
函数y＝(x－1)-1（x?R）的单调减区间是（-
?
，1]；
气温曲线所表示的函数的单调减区间是[0，4]，[14，24]。
如果函数y=f(x) 在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这个区间上具
有单调性，这个区间就叫做 函数y=f(x)的单调区间。
如函数y=2x+1(x∈R)的单调区间是（-?，+?），函数y ＝(x－1)
2
-1（x?R）的单调区间
是（-?，1]和[1，+
?)< br>，气温曲线所表示的函数的单调区间是[0，4]，[4，14]，[14，24]。

y







y＝f(x)

f(x
1
)

f(x
2
)

y

y＝f(x)

f(x
1
)

f(x
2
)

o 1
2
2
y

y＝x
3

x
x
图2
图3
x

四、数学运用
1．例题
例1 作出下列函数的图象，并写出函数的单调区间．
1
2
（1）y＝－x＋2； （2）y＝(x≠0)．
x
解 （1）函数y＝－x
2
＋2的图像如图4（1）所示，单调减区间为(?∞，0]，单调减区< br>间为[0，+∞]．
1
（2）函数y＝(x≠0)的图像如图4（2）所示，(－∞， 0)和(0，＋∞)是两个单调减区间．
x
y
y

2 y=x
2
???1






1
O
1
x
O
?1
1
x
1
y = (x
≠
0)
x
（1）
图4
（2）

1
提问：能不能说，函数y＝(x≠0)在定义域(－∞，0 )
?
(0，＋∞)上是单调减函数？
x
引导讨论，从图象上观察或取特殊值 代入验证否定结论。（如取x
1
=-1,x
2
=
1
2
）．
例2 观察下列函数的图象（如图5），并指出它们是否为定义域上的增函数：
y
y
2
y=|x－1|－1
y＝(x－1)




o 1
o
x －1
1
x

图5

2
学生总结：函数y＝(x－1)与y＝|x－1|－1的图象在x ≥1时随着x值的增大而上升，在
x≤1时随着x的值的增大而下降．所以，这两个函数在定义域上不是 增函数．
例3 证明函数f(x)＝－
1
x
－1在区间(－∞，0)上是增函数．
1
x
1
证明 设 x
1
＜x
2
＜0，则 x
1
－x
2
＜0且x
1
x
2
＞0．因为 f(x
1
)
－
f(x
2
)＝（－
－1）＝
1
x
2
－1）－（－
1
x
2
－
1
x
1
＝
x
1
?x
2
x
1
x
2
＜0，即f(x
1
)＜f(x
2
)，所以，函数f(x)＝－< br>1
x
－1在区间(－∞，0)
上是增函数．
2．练习
课后练习第1、第2、第5题。
五、回顾小结
本节课主要学习了函数单调性的概念以及判断函数在某个区间上的单调性的方法．
六、课外作业
习题2．3：第1题、第2题、第4题、第8题。

平面的基本性质
教学目标：（1）初步理解平面的概念；
（2）了解平面的基本性质（公理1~3）；
（3）能正确使用集合符号表示有关点、线、面的位置关系；
（4）能应用平面的基本性质解决一些简单的问题。
教学重点：平面的基本性质。
教学难点：平面的无限延展性；正确使用图形语言、符号语言表示平面的基本性质。
教学过程：
一、问题情境
1．情境1：平静的水面、广阔的平原、平坦的足球场地、平滑的桌面、黑板的表面等。
情境2：棱柱的表面、圆柱和圆台的底面。





2．问题1：这些事物给我们一种怎样的形象？
图1
二、学生活动
观 察上述事物，结合棱柱、圆柱等几何体和已知的点、直线的概念，归纳、抽象出平面
的基本特征：平坦的 ，没有厚薄，是无限延展的。
三、建构数学
1．平面概念
问题2：可以用怎样的数学语言描述上述事物？
（1）平面的概念：我们将上述事物用平面表 示，和点、直线一样，平面也是从现实世
界中抽象出来的几何概念，它没有厚薄，是无限延展的。
情境3：电脑演示课件(如图2)。






l
→平移
图2

问题3：我们可以通过怎样的方式形成平面？
通过观察，发现：平面可以看成是一条直线沿着某一方向平移得到的。
问题4：直线可以看成 是以点作为元素的集合，平面是否可视为点构成的集合？可以
用怎样的数学符号表示点、直线与平面之间 的关系？
为此，我们先确定平面的表示方法：
2．平面的表示
（1）图形语言
通常用平行四边形来表示平面。有时也可用三角形等其它图形表示平面。（注意从不同
的角度画 出平面）


A
D
α
图3
B
C

（2）符号语言
平面通常用希 腊字母α、β、γ?来表示，也可以用表示平行四边形的对角顶点的字
母来表示，如图3，平面α、平面 AC等.
至此，我们就可以解决问题4了：怎样用符号语言分别表示：点A在平面α内、点A< br>不在平面α内、直线l在平面α内、直线l不在平面α内？
3．平面的基本性质
情境 4：木工为了检查桌面是否“平”，常将一把直尺靠放在桌面上，看直尺与桌面
之间是否有空隙。
问题5：如果直线上有两个点在一个平面内，这条直线与这个平面有怎样的位置关系？
通过观察、分析，可以发现：
公理1 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个
平面内。
可见，所 谓平面的“平”，可以认为：如果一条直线在平面内，那么这条直线上不会
有跳出平面的点。
公理1可用符号表示为：
A?
?

B?
?

?
直线AB
?
?
.
情境5：
（1）把一本书的一角放在桌面上，观察这本书所在的平面与桌面所在平面有几个公共
点。
（2）把教室门及其所在的墙面看成两个平面，当门不关闭时，它们的公共点分布情况
如何？
问题6：两个平面可能只有一个公共点吗？两个平面如果有公共点，有多少个公共点？
这些公共 点有怎样的关系？
学生归纳，得出平面的基本性质2：
公理2 如果两个平面有一个公共 点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是
经过这个公共点的一条直线。
可见，之所 以说平面是“无限延展的”，是因为两个平面只要有公共点，它们就是相交
的位置关系，公共部分就是一 条直线。
公理2用符号表示为
P?
?

P?
?

?
?
?
?
?l
且
P?l

情境6：
（1）两个合页与一把锁就可以把门固定。
（2）照相机的支架只需三条腿。
问题7：如何用数学语言描述上述事实？
学生归纳，得出平面的基本性质3。
公理3：过不在一直线上的三点有且只有一个平面。 < br>公理3说明：三个不共线的点可以把一个平面确定下来。强调“不在同一直线上”与
“三点”的作 用.

四、数学运用
1、例题
例1．如图，在长方体
AB CD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，下列命题是 否正确，并说明理由。
D
1
（1）
AC
1
在平面
CC
1
B
1
B
内；
（2）若
O、O
1
分别为面
ABCD
、
A
1
B
1
C
1
D
1
的中心，则平面
AA< br>1
C
1
C
与平
O
1
A
1
D
O

A
B
B
1
C
1
C
面
B
1
BDD
1
的交线为
OO
1
；
（3）由点
A、O、C
可以确定一个平面；
（4）设直线
l?
平面
AC
，直线
m?
平面
D
1
C
，若
l
与
m
相交，则交点一定在直线
CD
上；
（5）由
A、C
1
、B
1
确定的平面与由
A、C< br>1
、D
确定的平面是同一个平面。
解：（1）错误；(2)正确； (3) 错误；(4) 正确；（5）正确.
2、练习
练习（P
23
）1、2、3、4、5
五、回顾小结
本节课学习了平面的画法及其表示；平面的基本性质（三个公理）及其简单应用.
六、课外作业
习题3.2 第3、4、11题.

直线的点斜式方程
教学目标
1．知道由一个点和斜率可以确定直线，探索并掌握直 线的点斜式方程和斜截式方程，能根
据条件熟练地求出直线的方程。
2．使学生进一步理解直线和直线方程之间的关系，渗透解析几何的基本思想。
3．使学生进一步体会化归，辨证的思想方法。逐步培养他们分析问题，解决问题的能力。
教学重点
直线的点斜式方程。
教学过程
一、 问题情境
1． 情境1：过定点P（x
0
,y
0
）的直线有多少条？倾斜角为定值的直线有多 少条？
2．问题1：确定一条直线需要几个独立的条件？
二、学生活动
学生思考、讨论。
学生可能的回答：
（1）两个点P
1
（x1
，y
1
），P
2
（x
2
，y
2）；
（2）一个点和直线的斜率（可能有学生回答倾斜角）；
（3）斜率和直线在y轴上的截距（说明斜率存在）；
（4）直线在x轴和y轴上的截距（学生 没有学过直线在x轴上的截距，可类比，
同时强调截距均不能为0）。
三、建构数学
问题2：给出两个独立的条件，例如：一个点P
1
（2，4）和斜率k=2就能决定一条直线
l。
（1）你能在直线l上再找一点，并写出它的坐标吗？你是如何找的？
（2）这条直线上的任意一点P（x，y）的坐标x，y满足什么特征呢？

直线上 的任意一点P(x,y)（除P
1
点外）和P
1
(x
1
，y
1
)的连线的斜率是一个不变量，即为
k，即：
k?
y?y
1
x?x
1
， 即y - y
1
= k (x - x
1
)
学生在讨论的过程中：（1） 强调P（x，y）的任意性。（2） 不直接 提出直线方程的概
念，而用一种通俗的，学生易于理解的语言先求出方程，可能学生更容易接受，也更愿 意参
与。
问题3：（1）P
1
（x
1
，y
1）的坐标满足方程吗？
（2）直线上任意一点的坐标与此方程有什么关系？
教师指出，直线上任意一点的坐标都是这个方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标
的点都在此直线上 。
让学生感受直线的方程和方程的直线的意义。
如此，我们得到了关于x，y的一个二元一 次方程。这个方程由直线上一点和直线的斜
率确定，今后称其为直线的点斜式方程。
四．数学运用
1．例题
例1．一条直线经过点P
1
（-2，3），斜率为2，求这条直线的方程。

解：由直线的点斜式方程得y-3=2(x+2)，即2x-y+7=0.
变1：在例1中，若将“斜率为2”改为“倾斜角为45
”，求这条直线的方程；
变2：在例1中，若将直线的倾斜角改为90
o
，这条直线的方程是什么？
例2．已知直线l的斜率为k，与y轴的交点是P（0，b），求直线l的方程。
解：根据直线的点斜式方程，得直线l的方程为y-b=k(x-0)，即y=kx+b.
介绍截距和斜截式方程的概念。
2．思考
情境2：P76，用计算机在同一直角坐标系中分别作出直线y=2，y=x+2，y= -x+2，y=3x+2，
y= -3x+2的图象。
问题4：直线y=kx+2有什么特点？
学生观察、归纳、发现：直线y=kx+2过定点（ 0，2），随着k的变化，直线绕点（0，2）
作旋转运动。
用几何画板演示。
情境3：用计算机在同一直角坐标系中分别作出直线y=2 x，y=2x+1，y=2x-2，y=2x+4，
y=-2x-4的图象.
问题5：直线y=2x+b有什么特点？
学生观察、归纳、发现：直线y=2x+b的方向不变，随着b的变化，直线作平行移动。
用几何画板演示。
3．练习
练习（P77）第1题、第2题、第3题、第4题。
五、回顾小结
本节课学习了直线的点斜式方程和直线方程的概念。
六．课外作业
习题 4.1第1题、第2题。


o