北师大版高中数学 全部教案

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北师大版高中数学必修5第一章《数列》全部教案
第一课时 1.1.1 数列的概念
一、教学目标
1、知识与技能：（1） 理解数列及其有关概念；（2）了解数列的通项公式，并会用通项公式写出
数列的任意一项；（3）对于 比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式。
2、过程与方法：（1）采用探究法，按照思考 、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行
启发式教学；（2）发挥学生的主体作用，作好探究性 学习；（3）理论联系实际，激发学生的学习
积极性。
3、情感态度与价值观：（1）.通过 日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验.理论联系实际，
激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科 学态度，培养学生的辩证唯物主义观点；（2）.通过本
节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学 习的兴趣.
二、教学重点： 数列及其有关概念，通项公式及其应用.
教学难点 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式.
三、教学方法：探究、交流、实验、观察、分析
四、教学过程
（一）、揭示课题:今天开始我们研究一个新课题．
先举一个生 活中的例子：场地上堆放了一些圆钢，最底下的一层有100根，在其上一层（称
作第二层）码放了99 根，第三层码放了98根，依此类推，问：最多可放多少层？第57层有多少
根？从第1层到第57层一 共有多少根？我们不能满足于一层层的去数，而是要但求如何去研究，
找出一般规律．实际上我们要研究 的是这样的一列数
象这样排好队的数就是我们的研究对象——数列．
（二）、推进新课
［合作探究］
折纸问题
师 请同学们想一想，一张纸可以重复对折多少次？请同学们随便取一张纸试试(学生们兴趣一定
很浓).
生 一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了.
师 你知道这是为什么吗？我们设纸原来 的厚度为1长度单位，面积为1面积单位，随依次折的
次数，它的厚度和每层纸的面积依次怎样？

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生 随着对折数厚度依次为:2，4，8，16，…，256，…；①
随着对折数面积依次为
11111
, , , ,…, ,….
24816256
生 对折8次以后，纸的厚度为原来的256倍，其面积为原来的分 1[]256式，再折下去太困难
了.
师 说得很好，随数学水平的提高，我们的思维会更加 理性化.请同学们观察上面我们列出的这一
列一列的数，看它们有何共同特点？
生 均是一列数.
生 还有一定次序.
师 它们的共同特点：都是有一定次序的一列数.
［教师精讲］
1.数列的定义：按一定顺序排列着的一列数叫做数列.
注意：（1 ）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，
那么它们就是不同 的数列；（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列
中可以重复出现. 2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，
第2项，…，第
n
项，….同学们能举例说明吗？
生 例如，上述例子均是数列， 其中①中，“2”是这个数列的第1项(或首项)，“16”是这个数
列中的第4项.
为表述方便给出几个名称：项--------数列中的每一个数叫做这个数列的项.
首项 -------其中数列的第一项也称首项.通项-------数列的第n项叫数列的通项．
以上述 两个数列为例，让学生练习指出某一个数列的首项是多少，第二项是多少，指出某一个数
列的一些项的项 数．由此可以看出，给定一个数列，应能够指明第一项是多少，第二项是多少，……，
每一项都是确定的 ，即指明项数，对应的项就确定．所以数列中的每一项与其项数有着对应关系，
这与我们学过的函数有密 切关系．
3.数列的分类：1)根据数列项数的多少分：
有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列.
无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列.
2)根据数列 项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列.递减数列：
从第2项起，每一 项都不大于它的前一项的数列.常数数列：各项相等的数列.摆动数列：从第2

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项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.
请同学们观察：课本的六组数列，哪些是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列？
生 这六组数列分别是(1)递增数列，(2)递增数列，(3)常数数列，(4)递减数列，(5)摆动数列，(6)1.递增数列，2.递减数列.
4、通项公式法:如数列
的通项公式为
的通项公式为
；
；
的通项公式为 ；
数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的一般表
示．通项公式 反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，
代入项数就可求出数列 的每一项．
例如，数列 的通项公式 ，则 ．
值得注意的是，正如一个函数未必 能用解析式表示一样，不是所有的数列都有通项公式，即
便有通项公式，通项公式也未必唯一．
［知识拓展］
师 你能说出上述数列①中的256是这数列的第多少项？能否写出它的第
n
项？
生 256是这数列的第8项，我能写出它的第
n
项，应为
a
n
=2.
［例题剖析］
例1.根据下面数列{
a
n
}的通项公式，写出前5项：
(1)< br>a
n
=
n
n
n
;(2)
a
n
=(-1)·
n
.
n?1
12345
;
a
2< br>=;
a
3
=;
a
4
=;
a
5
=.
23456
师 由通项公式定义可知，只要将通项公式中
n
依次取1 ，2，3，4，5，即可得到数列的前5项.
生 解：(1)
n
=1,2,3,4, 5.
a
1
=
(2)
n
=1,2,3,4,5.
a< br>1
=-1;
a
2
=2;
a
3
=-3;
a
4
=4;
a
5
=-5.
师 好！就这样解.
例2.根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：
(1)3，5，7，9，11，…；(2)
246810
，，，，，…；
3 15356399
(3)0，1，0，1，0，1，…；(4)1，3，3，5，5，7，7，9，9， …；
(5)2，-6，12，-20，30，-42，….

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师 这里只给出数列的前几项的值，哪位同学能写出这些数列的一个通项公式？(给学生一定的思
考时间)
生老师，我写好了！
1?(?1)
n
2n
解：(1)
a< br>n
＝2
n
＋1；(2)
a
n
＝；(3)
a< br>n
＝；
(2n?1)(2n?1)
2
1?(?1)
n
(4)将数列变形为1＋0，2＋1，3＋0，4＋1，5＋0，6＋1，7＋0，8＋1，…，∴
a
n
＝
n
＋；
2
(5)将数列变形为1×2，-2×3，3× 4，-4×5，5×6，…，∴
a
n
＝(-1)
n
(
n＋1).
师 完全正确！这是由“数”给出数列的“式”的例子，解决的关键是要找出这列数呈现 出的规
律性的东西，然后再通过归纳写出这个数列的通项公式.
（三）、学生课堂练习：课本本节练习1、2、3、4
补充题：已知数列{a
n}的通项公式是a
n
=2n
2
-n，那么( )
A.30是数列{a
n
}的一项
C.66是数列{a
n
}的一项




B.44是数列{a
n
}的一项
D.90是数列{a
n
}的一项
n
+1
分析：注意到30 ，44，66，90均比较小，可以写出这个数列的前几项，如果这前几项中出现了这
四个数中的某一个 ，则问题就可以解决了.若出现的数比较大，还可以用解方程求正整数解的方法
加以解决.答案：C < br>点评：看一个数A是不是数列{a
n
}中的某一项，实质上就是看能不能找出一个非零自 然数n，使
得a
n
=A.
（四）、课堂小结：对于本节内容应着重掌握数列 及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，
并会根据数列的前n项求一些简单数列的通项公式。
（五）、布置作业课本习题1-1A组1、2、3、4。
五、教后反思：






第二课时 1.1.2数列的函数特性

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一、教学目标
1、知识与技能：了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；理解数列是
一种特殊的函数；2、过程与方法：通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法（列表、
图象 、通项公式）；3、情态与价值：体会数列是一种特殊的函数；借助函数的背景和研究方法来
研究有关数 列的问题，可以进一步让学生体会数学知识间的联系，培养用已知去研究未知的能力。
二、教学重点：理解数列的概念，探索并掌握数列的几种间单的表示法（列表、图象、通项公式）。
难点：了解数列是一种特殊的函数；发现数列规律找出可能的通项公式。
三、教学方法：讲授法为主
四、教学过程
（一）、导入新课
师 同学们 ，昨天我们学习了数列的定义，数列的通项公式的意义等内容，哪位同学能谈一谈什
么叫数列的通项公式 ？
生 如果数列{a
n
}的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这 个公式就叫做这个数
列的通项公式.
师 你能举例说明吗？
生 如数列0，1，2 ，3，…的通项公式为a
n
=n-1(n∈N
*
);
1,1,1的通 项公式为a
n
=1(n∈N
*
,1≤n≤3);

1111
, , ,…的通项公式为a
n
= (n∈N
*
).
234n
1
1
教师进一步启发上面数列a
n
=n-1、a
n
=与函数
f(x)?x?1,f(x)?
有什么关系？你能用图象
n
x
1,
直观表示这个数列吗？由此展开本节新课。
（二）新知探究
1、数列与函数的关系：数列可以看作特殊的函数，项数是其自变量，项是项 数所对应的函数值，
数列的定义域是正整数集 ，或是正整数集 的有限子集 ．
于是我们研究数列就可借用函数的研究方法，用函数的观点看待数列．
［合作探究］同学们看数列2，4，8，16，…，256，…①中项与项之间的对应关系，
项 2 4 8 16 32
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
序号 1 2 3 4 5你能从中得到什么启示？
生 数列可以看作是一个定义域为正整数集
N
(或它的有限子集{1，2，3，…，
n})的函数
a
n
=
f
(
n
)，
*

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当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值. 反过来，对于函数
y
=
f
(
x
)，如果
f
(
i
)(
i
=1、2、
3、4…)有意义，那么我们可以得到一个数 列
f
(1),
f
(2),
f
(3),…,
f
(
n
),….
师 说的很好.如果数列{
a
n
}的第< br>n
项
a
n
与
n
之间的关系可以用一个公式来表示，那 么这个公式就
叫做这个数列的通项公式.
［合作探究］师 函数与数列的比较(由学生完成此表)：

定义域
解析式
图象
函数
R或R的子集
数列(特殊的函数)
N
*
或它的有限子集{1，2，…，
n
}
a
n
=
f
(
n
)
一些离散的点的集合
y
=
f
(
x
)
点的集合
师 对于函数 ，我们可以根据其函数解析式画出其对应图象，看来，数列也可根据其通项公式来
画出其对应图象，下面 同学们练习画数列:
4，5，6，7，8，9，10…;② 1,
111
, , ,…③的图象.
234
生 根据这数列的通项公式画出数列②、③的图象为

师 数列4，5，6，7，8，9，10,…②的图象与我们学过的什么函数的图象有关？
生 与我们学过的一次函数y=x+3的图象有关.
111
, , ,…③的图象与我们学过的什么函数的图象有关？
234
1
生 与我们学过的反比例函数
y?
的图象有关.
x
师 数列1,
师 这两数列的图象有什么特点？
生 其特点为：它们都是一群孤立的点.
生 它们都位于y轴的右侧，即特点为：它们都是一群孤立的，都位于y轴的右侧的点.
2、数列的表示法
数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：
列表法，图象法，解析式法．相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用
一项，用 表示第一项，……，用 表示第 项，依次写出成为
表示第

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（1）列举法: ．简记为 ．
一个函数的直观形式是其图象，我们也可用图形表示一个数列，把它称作图示法．
（2）图示法:启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数 为横坐标，相应
的项 为纵坐标，即以 为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列
为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为
正整数，所以这些点 都在 轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看
到数列的项随项数由小到大变化 而变化的趋势．有些函数可以用解析式来表示，解析式反映了一
个函数的函数值与自变量之间的数量关系 ，类似地有一些数列的项能用其项数的函数式表示出来，
即 ，这个函数式叫做数列的通项公式．
的通项公式为
；
； （3）通项公式法:如数列
的通项公式为
的通项公式为 ；
数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数 列中所有各项的一般表
示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数 列便确定了，
代入项数就可求出数列的每一项．
例如，数列 的通项公式 ，则 ．
值得注意的是，正如一个函数未必能用解析式表示一样，不是所有的数列都有通项公式，即
便有通项公式，通项公式也未必唯一．
除了以上三种表示法，某些数列相邻的两项（或几项）有关 系，这个关系用一个公式来表示，
叫做递推公式．
（4）递推公式法:如前面所举的钢管的例子，第
系是 ，再给定
层钢管数 与第 层钢管数 的关
中， ，便可依次求出各项．再如数列
． ，这个数列就是
像这 样，如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系用

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一个公式来表示，这个公式叫做这个数列的递推公式．递推公式是数 列所特有的表示法，它包含
两个部分，一是递推关系，一是初始条件，二者缺一不可．可由学生举例，以 检验学生是否理解．
（三）、例题探析
例1、判断下列无穷数列的增减性。（1）2,1,0，-1，
···
，3-n,
···；
（2）
,,,
ggg
,
123
234
n

,
ggg
。
n?1
学生探究交流，教师准对问题讲评并引导学生归纳 方法。【答案：（1）递减数列；（2）递增数列】
111
,KK,(?)
n
，…的图像，并分析数列的增减性。
8162
1
Y
2
例2、作出数列
?,,?,
1
4
11
24< br>
O 1 2 3 4 5 X
?
1

4

1
?

2
解析：如图是这个数列的图象，数列 各项的值正负相间，表示数列的各点相对于横轴上下摆动，
它既不是递增的，也不是递减的。
（四）、学生练习：课本本节练习1、2
（五）、课堂小结：1、探究结论；2、数列与函数有什么关系？
（六）、作业布置：习题1-1 A组第5、6、7题

五、教后反思：









第三课时 数列的概念

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一、教学目标
1、知识与技能：了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根 据数列的递推公
式写出数列的前几项；理解数列的前n项和与
a
n
的关系
2、过程与方法：经历数列知识的感受及理解运用的过程。
3、情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。
二、教学重点：根据数列的递推公式写出数列的前几项
教学难点理解递推公式与通项公式的关系
三、教学过程
Ⅰ.课题导入
[复习引入]数列及有关定义
Ⅱ.讲授新课
数列的表示方法
1、 通项公式法
如果数列
?
a
n
?
的第n项与序号之间的关系 可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列
的通项公式。
如数列


的通项公式为

的通项公式为

；
；

的通项公式为

；
2、 图象法
启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数

为横坐标，相应的项

为
纵坐标，即以

为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列

为例，
做出一个数列 的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都
在

轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到
大变化而变 化的趋势．
3、 递推公式法
知识都来源于实践，最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题．

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观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型．
模型一：自上而下：
第1层钢管数为4；即：1
?
4＝1+3
第2层钢管数为5；即：2
?
5＝2+3
第3层钢管数为6；即：3
?
6＝3+3
第4层钢管数为7；即：4
?
7＝4+3
第5层钢管数为8；即：5
?
8＝5+3
第6层钢管数为9；即：6
?
9＝6+3
第7层钢管数为10；即：7
?
10＝7+3
若用
a
n< br>表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且
a
n
?n?3 (1
≤n≤7）
运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系， 会很快捷地求出
每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便。
让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律）
模型二：上下层之间的关系
自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。
即< br>a
1
?4
；
a
2
?5?4?1?a
1
?1
；
a
3
?6?5?1?a
2
?1

依此类推：
a
n
?a
n?1
?1
（2≤n≤7）
对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要。
定义：
递推公式：如果已知数列
?
a
n
?
的第1项（或前几项）， 且任一项
a
n
与它的前一项
a
n?1
（或前n项）
间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式
递推公式也是给出数列的一种方法。
如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89
递推公式为：
a
1
?3,a
2
?5,a
n
?a
n?1
?a
n?2
(3?n?8)

数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表 示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列
表法，图象法，解析式法．相对于列表法表示一个函数， 数列有这样的表示法：用

用

表示第一项，……，用

表示第

项，依次写出成为
表示第一项，

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4、列表法
．简记为

[范例讲解]
．
a
1
?1
?
?
例3 设数列
?
a
n
?
满足
?
写出这个数列的前五项。
1
a?1?(n?1).
?
n
a
n?1
?
解：分析：题中已给出
?
a
n
?
的第1项即
a
1< br>?1
，递推公式：
a
n
?1?
1
a
n?1< br>
解：据题意可知：
a
1
?1,a
2
?1?
[补充例题]
112158
?,a
5
?

?2,a
3
?1??
，
a
4
?1?
a
3
35a
1
a
2
3
例4已知
a
1
?2
，
a
n?1
?2a
n
写出前5项，并猜想
a
n
．
n
23
2
法一：
a
1
?2

a
2
?2?2?2

a
3
?2?2?2
，观察可得
a
n
?2

法二：由
a
n?1
?2a
n
∴
a
n
?2a
n?1
即
a
n
?2

a
n?1
∴
a< br>n
aa
a
?
n?1
?
n?2
????
2
?2
n?1

a
n?1
a
n?2
a< br>n?3
a
1
n?1n
∴
a
n
?a
1
?2?2

Ⅲ.课堂练习：课本P36练习2
[补充练习]
1．根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式
(1)
a
1
＝0,
a
n?1
＝
a
n
＋(2n－1) (n∈N)；
(2)
a
1
＝1,
a
n?1
＝
2a
n
(n∈N)；
a
n
?2
(3)
a
1
＝3,
a
n?1
＝3
a
n
－2 (n∈N).
解：(1)
a
1
＝0,
a
2
＝1,
a
3
＝4,
a
4
＝9,
a
5
＝16, ∴
a
n
＝(n－1);
(2)
a
1
＝1,
a
2
＝
2
1212
2 22
,
a
3
＝
?
,
a
4
＝,
a
5
＝
?
, ∴
a
n
＝;
35
2436n?1

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(3)
a
1
＝3＝1+2
?3
,
a
2
＝7＝1+2
?3
,
a
3
＝19＝1+2
?3
,
0
1
2< br>a
4
＝55＝1+2
?3
3
,
a
5
＝163＝1+2
?3
4
, ∴
a
n
＝1＋2·3
n?1
;
Ⅳ.课时小结：本节课学习了 以下内容：1．递推公式及其用法；2．通项公式反映的是项与项数
之间的关系，而递推公式反映的是相 邻两项（或
n
项）之间的关系. 3． an的定义及与n 之间
的关系
Ⅴ.课后作业：习题2.1A组的第4、6题
四、教后反思：





















第四课时
作业：P9 第4题
§1.2.1 等差数列（一）

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一、教学目标
1．知识与技能:通 过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具体的
问题情境中，发现数列的等 差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一次函数的
关系。
2. 过程与方法 :让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导，归纳抽象出等差
数列的概念；由学生建 立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式
应用的实践操作并在操作过程中 ，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的
研究。
3．情态与价值:培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识。
二、教学重点：理解等 差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；会用公式解决
一些简单的问题，体会等差数列 与一次函数之间的联系。
教学难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。
三、 学法：引导学生首先从四个现实问题（数数问题、座位问题、鞋号问题、储蓄问题）概括出
数组特点并抽 象出等差数列的概念；接着就等差数列的特点，推导出等差数列的通项公式；可以
用多种方法对等差数列 的通项公式进行推导。
四、教学过程
（一）、创设情景
上节课我们学习 了数列。在日常生活中，人口增长、鞋号问题、教育贷款、存款利息等等这
些大家以后会接触得比较多的 实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决。今天我们就先
学习一类特殊的数列。
（二）新知探究
(Ⅰ)、引导观察数列：0，5，10，15，20，…… ① ； 48，53，58，63 ②
18，15.5，13，10.5，8，5.5 ③； 10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360 ④
看这些数列有什么共同特点呢？（由学生讨论、分析）
引导学生观察相邻两项间的关系，得到： 对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于
5 ； 对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 ； 对于数列③，从第2项起，
每一项与前一项的差都等于 -2.5 ； 对于数列④，从第2项起，每一项与前一项的差都等于
72 ；
由学生归纳和概括 出，以上四个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数（即：
每个都具有相邻两项差为同 一个常数的特点）。

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等差数列的概念:对于 以上几组数列我们称它们为等差数列。请同学们根据我们刚才分析等差数列
的特征，尝试着给等差数列下 个定义：
等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那 么
这个数列就叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。那么对 于以上四组等差数列，它们的公
差依次是5，5，-2.5，72。
(Ⅱ)、得出等差数列的定义：注意：从第二项起，后一项减去前一项的差等于同一个常数。
1．名称：等差数列，首项
(a
1
)
， 公差
(d)
；2．若
d?0
则该数列为常数列；
3．寻求等差数列的通项公式：
a
2
?a
1
?d
a
3
?a
2
?d?(a
1
?d)?d?a
1?2d
a
4
?a
3
?d?(a
1
?2d)?d ?a
1
?3d

????

由此归纳为
a
n
?a
1
?(n?1)d
当
n?1
时
a
1
?a
1
（成立）
注意: 1? 等差数列的通项公式是关于
n
的一次函数；2? 如果通项公式是关于
n
的一次函数，
则该数列成等差数列；
证明：若a
n
?An?B?A(n?1)?A?B?(A?B)?(n?1)A
它是以
A?B
为首项，
A
为公
差的AP。
3? 公式中若
d?0
则数列递增，
d?0
则数列递减；
4? 图象： 一条直线上的一群孤立点得出通项公式：
以
a
1
为首项，d为公差 的等差数列
{a
n
}
的通项公式为：
a
n
?a1
?(n?1)d
；知等差数列
的首项
a
1
和公差d， 那么这个等差数列的通项
a
n
就可以表示。
选讲：除此之外，还可以用迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式：
（迭加法）：
{a
n
}
是等差数列，所以
a
n
?a
n?1
?d,





a
n? 1
?a
n?2
?d,
a
n?2
?a
n?3
?d,
……

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a
2
?a
1
?d,

两边分别相加得
（迭代法）：
a
n
?a
1
?(n?1)d,
所以
a
n
?a
1
?(n?1)d

{a
n
}
是等差数列，则有：
……
?a
1
?(n?1)d

a
n
?a< br>n?1
?d?a
n?2
?d?d?a
n?2
?2d?a
n?3
?d?2d?a
n?3
?3d
所以
（三）、例题讲解：注意在
a
n
?a
1?(n?1)d
中
n
，

a
n
?a
1
?(n?1)d
a
n
，
a
1
，
d
四数中已知三个可以求出另一个。
例1、 （课本）判断下面数列是否为等差数列.例2、 已知数列首项与公差,求通项公式.
例3、（此题可以看成应用题）已知数列的其中几项,求其余各项
例4、已知数列其中两项,求通项公式.
关于等差中项： 如果
a,A,b
成AP 则
A?
a?b
2

证明：设公差为
d
，则
A?a?d

b?a?2d

a?ba?a?2d
??a?d?A
22
∴
例5、在?1与7之间顺次插入三个数
a,b,c
使这五个数成等差数列，求此数列。
解一：∵
?1,a,b,c,7成AP
∴
b
是-1与7 的等差中项
b?
∴
?1?7?1?3
?3a??1
a
22
又是-1与3的等差中项 ∴
c?
3?7
?5
2

c
又是1与7的等差中项 ∴
a?7
解二：设
a
1
??1

5
∴
7??1?(5?1)d

?d?2

∴所求的数列为-1，1，3，5，7
例6、已知是等差数列图像上的两点.求这个数列的通项公式;
画出这个数列的图像;判断这个数列的单调性. (解略)
例7、一个木制梯形架 的上、下两底边分别为33，75，把梯形的两腰各6等分，用平行木条连接
各对应分点，构成梯形架的 各级，试计算梯形架中间各级的宽度。

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分析 ：记梯形架自上而下各级宽度所构成的数列为，则由梯形中位线的性质，易知每相邻三项均
成等差数列， 从而成等差数列。解略
（五）、小结：等差数列的定义、通项公式、等差中项
（六）、练习:P13练习 1、2、3
（七）、作业： 习题1——2 A组5、6、7
五、教后反思：























第五课时§1.2.2等差数列（二）

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一、教学目标
1、知识与技能：（1）明确等差中项的概念；（2）进一步熟练掌握等差数列 的通项公式及推导公
式，能通过通项公式与图象认识等差数列的性质；（3）能用图象与通项公式的关系 解决某些问题。
2、过程与方法：（1）通过等差数列的图象的应用，进一步渗透数形结合思想、函数 思想；通过
等差数列通项公式的运用，渗透方程思想；（2）发挥学生的主体作用，讲练相结合，作好探 究性
学习；（3）理论联系实际，激发学生的学习积极性。
3、情感态度与价值观（1）通过 对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，
从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观 点；（2）通过体验等差数列的性质的奥秘，激发学生的学
习兴趣。
二、教学重点 等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用。
教学难点 等差数列的性质的应用、灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题。
三、教学方法：探究归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、导入新课
师 同学们，上一节课我们学习了等差数列的定义，等差数列的通项公式，哪位同学能回忆一下
什么样的数列 叫等差数列？
生 我回答，一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数 ，即a
n
-a

n-1
=d(n≥2，n∈N
*
)，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(通常用字母“d”
表示).
师 对，我再找同学说一说等差数列{a
n
}的通项公式的内容是什么？
生1 等差数列{a
n
}的通项公式应是a
n
=a
1
+(n-1)d.
生2 等差数列{a
n
}还有两种通项公式：a
n=a
m
+(n-m)d或a
n
=pn+q(p、q是常数).
师 好！刚才两位同学说得很好，由上面的两个公式我们还可以得到下面几种计算公差d的公式：
a
n
?a
1
a?a
m
；③
d?
n
.你能理解与记忆它们吗？
n?1n?m
a?a
1
a?a
m
生3 公式②
d?
n
与③
d?
n
记忆规律是项的值的差比上项数之间的差(下标之n?1n?m
①d=a
n
-a
n-1
；②
d?
差).
［合作探究］探究内容：如果我们在数a与数b中间 插入一个数A，使三个数a，A，b成等差数
列，那么数A应满足什么样的条件呢？
师 本题在这里要求的是什么?

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生 当然是要用a，b来表示数A.
师 对，但你能根据什么知识求?如何求?谁能回答?
生 由定义可得A -a=b-A，即
A?
反之，若
A?

a?b
.
2
a?b
，则A-a=b-A,
2
a ?b
由此可以得
A??
a,A,b成等差数列.
2
（二）、推进新课

我们来给出等差中项的概念：若a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项. < br>根据我们前面的探究不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)
都是它的前一项与后一项的等差中项.
如数列：1，3，5，7，9，11，13…中5是3与7的等差中项，也是1和9的等差中项.
9是7和11的等差中项，也是5和13的等差中项.
［方法引导］等差中项及其应用问题的 解法关键在于抓住a，A，b成等差数列2A=a+b，以促成
将等差数列转化为目标量间的等量关系 或直接由a，A，b间的关系证得a，A，b成等差数列.
［合作探究］
师 在等差数列{a
n
}中，d为公差，若m,n,p,q∈N
*
且m+n=p+q，那么这些项 与项之间有何种等量关
系呢？
生 我得到了一种关系a
m
+a
n< br>=a
p
+a
q
.
师 能把你的发现过程说一下吗？
生 受等差中项的启发，我发现a
2
+a
4
=a
1
+a
5
,a
4
+a
6
=a
3
+a
7
.
从而可得在一等差数列中，若m+n=p+q，则a
m
+a
n
=a
p
+a
q
.
师 你所得的这关系是归纳出来的，归纳 有利于发现，这很好，但归纳不能算是证明！我们是否
可以对这归纳的结论加以证明呢？
生 我能给出证明，只要运用通项公式加以转化即可.设首项为a
1
，则
a
m< br>+a
n
=a
1
+(m-1)d+a
1
+(n-1)d =2a
1
+(m+n-2)d,
a
p
+a
q
=a
1
+(p-1)d+a
1
+(q-1)d=2a
1
+(p+ q-2)d.
因为我们有m+n=p+q,所以上面两式的右边相等，所以a
m
+a
n
=a
p
+a
q
.
师 好极了！由此我们的一个 重要结论得到了证明：在等差数列{a
n
}的各项中，与首末两项等距离
的两项的和等 于首末两项的和.另外，在等差数列中，若m+n=p+q,则上面两式的右边相等，所以
a
m
+a
n
=a
p
+a
q
.

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同样地，我们还有：若m+n=2p,则a< br>m
+a
n
=2a
p
.这也是等差中项的内容.
师 注意：由a
m
+a
n
=a
p
+a
q
推不出 m+n=p+q，同学们可举例说明吗?
生 我举常数列就可以说明了.
师 举得好!这说 明在等差数列中，a
m
+a
n
=a
p
+a
q
是m+n=p+q成立的必要不充分条件.
［例题剖析］
【例1】 在等差数列{a< br>n
}中，若a
1
+a
6
=9，a
4
=7，求 a
3
，a
9
.
师 在等差数列中通常如何求一个数列的某项？
生1 在通常情况下是先求其通项公式，再根据通项公式来求这一项.
生2 而要求通项公式 ，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项(知
道任意两项就知道公差，这 在前面已研究过了).
生3 本题中，只已知一项和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手……
师 好，我们下面来解，请一个同学来解一解，谁来解？
生4 因为{a
n
}是等差数列，所以a
1
+a
6
=a
4
+a
3=9a
3
=9-a
4
=9-7=2,
所以可得d=a
4
-a
3
=7-2=5.
又因为a
9
=a
4
+(9-4)d=7+5×5=32，所以我们求出了a
3
=2，a
9
=32.
【例2】 (课本例2) 某市出租车的计价标准为1.2元 km，起步价为10元，即最初的4千米(不
含4千米)计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往1 4 km处的目的地，且一路畅通，等候时间
为0，需要支付多少元的车费?
师 本题是一道实际应用题，它所涉及到的是什么知识方面的数学问题？
生 这个实际应用题可化归为等差数列问题来解决.
师 为什么？
生 根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元.所以，
我们可以建立一个等差数列来进行计算车费.
师 这个等差数列的首项和公差分别是多少?
生 分别是11.2，1.2.
师 好，大家计算一下本题的结果是多少?
生 需要支付车费23.2元.
(教师按课本例题的解答示范格式)
评述：本例是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用 ，做此题的目的是让大家学会从实际问
题中抽象出等差数列的模型，用等差数列知识解决实际问题.

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（三）、课堂练习
1.在等差数列 {a
n
}中，(1)若a
5
=a,a
10
=b,求a
15
.
解：由等差数列{a
n
}知2a
10
=a
5
+a
15
,即2b=a+a
15
,所以a
15
=2b-a.
(2)若a
3
+a
8
=m,求a
5
+a
6
.
解：等差数列{a
n
}中，a
5
+a< br>6
=a
3
+a
8
=m.
(3)若a
5
=6,a
8
=15,求a
14
. < br>解：由等差数列{a
n
}得a
8
=a
5
+(8-5) d,即15=6+3d,所以d=3.从而a
14
=a
5
+(14-5)d= 6+9×3=33.
(4)已知a
1
+a
2
+…+a
5< br>=30,a
6
+a
7
+…+a
10
=80，求a11
+a
12
+…+a
15
的值.
解：等差数列{a
n
}中，因为6+6=11+1,7+7=12+2,……
所以2a
6
=a
1
+a
11
,2a
7
= a
2
+a
12
,……从而(a
11
+a
12
+…+a
15
)+(a
1
+a
2
+…+a
5)=2(a
6
+a
7
+…+a
10
),
因此 有(a
11
+a
12
+…+a
15
)=2(a
6< br>+a
7
+…+a
10
)-(a
1
+a
2+…+a
5
)=2×80-30=130.
2.让学生完成课本练习2、3、4。教师对学生的完成情况作出小结与评价。
［方法引导］ 此类问题的解题的关键在于灵活地运用等差数列的性质，因此，首先要熟练掌握等
差数列的性质，其次要 注意各基本量之间的关系及其它们的取值范围.
（四）、课堂小结
师 通过今天的学习，你学到了什么知识?有何体会？
生 通过今天的学习,明确等差中项的概念;进一步熟练掌握等差数列的通项公式及其性质.
(让学生自 己来总结，将所学的知识,结合获取知识的过程与方法，进行回顾与反思，从而达到三
维目标的整合,培 养学生的概括能力和语言表达能力)
（五）、布置作业课本习题1-2 A组9，B组1
预习内容：课本下节内容；预习提纲：①等差数列的前n项和公式；②等差数列前n项和的简单
应用。
五、教后反思：







第六课时 §1.2.3 等差数列的前n项和（一）

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一、教学目标：1、知识与技能：掌握等差数 列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n
项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题。2 、过程与方法：通过公式的推导和公式的运
用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律， 初步形成认识问题、解决问题的一
般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广 阔性的训练，发展学生的
思维水平。3、情感态度与价值观：通过公式的推导过程，展现数学中的对称美 ，通过生动具体
的现实问题，令人着迷的数学史，激发学生探究的兴趣，树立学生求真的勇气和自信心， 增强学
生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感。
二、教学重点 等差数列的前n项和公式的理解、推导及应用。
教学难点 灵活应用等差数列前n项和公式解决一些简单的有关问题。
三、教学方法：探究归纳，讲练结合
四、教学过程
导入新课
教师出示投影胶片1：
印度泰姬陵(Taj Mahal)是世界七大建筑奇迹之一，所在地阿格拉市，泰姬陵是印度古代建筑史上的经典之作，这个古陵墓融合了古印度、阿拉伯和古波斯的建筑风格，是印度伊斯兰教
文化 的象征.陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝.传说当时陵寝中有一个等边三角形图案，以
相同大小的 圆宝石镶饰而成，共有100层(如下图)，奢华之程度，可见一斑.你知道这个图案中一
共有多少颗宝 石吗？(这问题赋予了课堂人文历史的气息，缩短了数学与现实之间的距离，引领学
生步入探讨高斯算法 的阶段)

生 只要计算出1+2+3+…+100的结果就是这些宝石的总数.
师 对，问题转化为求这100个数的和.怎样求这100个数的和呢？这里还有一段故事.
教师出示投影胶片2：

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高斯是伟大的数学家、天文学家，高斯十岁时，有一次老师出了一道题目，老师说：“现在给
大家出道题 目：1+2+…100=?”过了两分钟，正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐< br>乎时，高斯站起来回答说： “1+2+3+…+100=5 050.”
教师问：“你是如何算出答案的？”
高斯回答说：因为1+100=101；2+99=10 1；…；50+51=101，所以101×50=5 050.
师 这个故事告诉我们什么信息？高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？
生 高斯用的是首尾配对 相加的方法.也就是：1+100=2+99=3+98=…=50+51=101，有50个101，
所以1+2+3+…+100=50×101=5 050.
师 对，高斯算法的高明之处在于他发现 这100个数可以分为50组，第一个数与最后一个数一组，
第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与 倒数第三个数一组，…，每组数的和均相等，都等于
101，50个101就等于5 050了.高斯算 法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果。
作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考， 所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某
些规律性的东西.
师 问：数列1，2，3，…，100是什么数列？而求这一百个数的和1+2+3+…+100相当于什么？
生 这个数列是等差数列，1+2+3+…+100这个式子实质上是求这数列的前100项的和.
师 对，这节课我们就来研究等差数列的前n项的和的问题.
（二）、推进新课［合作探究］


师 我们再回到前面的印度泰姬陵的陵寝中的等边三角形图案中，在图中我们取下第1层到第21
层，得到右图，则图中第1层到第21层一共有多少颗宝石呢?
生 这是求“1+2+3+…+21 ”奇数个项的和的问题，高斯的方法不能用了.要是偶数项的数求和就好首
尾配成对了.
师 高斯的这种“首尾配对”的算法还得分奇、偶个项的情况求和，适用于偶数个项，我们是否有简
单的方法 来解决这个问题呢?

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生 有!我用几何的方 法，将这个全等三角形倒置，与原图补成平行四边形.平行四边形中的每行宝
石的个数均为22个，共2 1行.则三角形中的宝石个数就是
(1?21)?21
.
2
师 妙得很!这 种方法不需分奇、偶个项的情况就可以求和，真是太好了!我将他的几何法写成式子
就是：1+2+3+ …+21， 21+20+19+…+1，对齐相加(其中下第二行的式子与第一行的式
子恰好是 倒序)这实质上就是我们数学中一种求和的重要方法——“倒序相加法”.
现在我将求和问题一般化： (1)求1到n的正整数之和，即求1+2+3+…+(n-1)+n.(注：这问题在前
面思路的引导 下可由学生轻松解决)(2)如何求等差数列{a
n
}的前n项的和S
n
?
生1 对于问题(2)，我这样来求：因为S
n
=a
1
+a
2
+a
3
+…+a
n
，S
n
=a
n
+a
n-1
+…+a
2
+a
1
，再将两式相
加， 因为有等差数列的通项的性质：若m+n=p+q，则a
m
+a
n
=a
p
+a
q
，所以
S
n
?
n(a
1
?a
n
)
.(Ⅰ)
2
生2 对于问题(2)，我是这样来求的： 因为S
n
=a
1
+(a
1
+d)+(a
1
+2d)+(a
1
+3d)+…+［a
1
+(n-1)×d］，
所 以S
n
=na
1
+［1+2+3+…+(n-1)］d=na
1+
［教师精讲］
n(n?1)n(n?1)
d,即S
n
=na< br>1
+ d.(Ⅱ)
22
两位同学的推导过程都很精彩，一位同学是用“倒序相 加法”，后一位同学用的是
基本量来转化为用我们前面求得的结论，并且我们得到了等差数列前n项求和 的两种不同的公式.
这两种求和公式都很重要,都称为等差数列的前n项和公式.其中公式(Ⅰ)是基本 的，我们可以发现，
它可与梯形面积公式(上底+下底)×高÷2相类比，这里的上底是等差数列的首项 a
1
，下底是第n项
a
n
，高是项数n,有利于我们的记忆.
［方法引导］师 如果已知等差数列的首项a
1
，项数为n，第n项为a
n< br>，则求这数列的前n项和用
公式(Ⅰ)来进行，若已知首项a
1
，项数为n，公 差d，则求这数列的前n项和用公式(Ⅱ)来进行.
引导学生总结：这些公式中出现了几个量？
生 每个公式中都是5个量.
师 如果我们用方程思想去看这两个求和公式，你会有何种想法?
生 已知其中的三个变量，可利用构造方程或方程组求另外两个变量(知三求二).
师 当公差d≠0时， 等差数列{a
n
}的前n项和S
n
可表示为n的不含常数项的二次函数，且这 二次
函数的二次项系数的2倍就是公差.
［知识应用］【例1】 (直接代公式)计算： < br>(1)1+2+3+…+n；(2)1+3+5+…+(2n-1)；(3)2+4+6+…+2n；(4 )1-2+3-4+5-6+…+(2n-1)-2n.
(让学生迅速熟悉公式，即用基本量观点认识 公式)请同学们先完成(1)～(3)，并请一位同学回答.
生 (1)1+2+3+…+n=
n(n?1)n(1?n?1)n(2n?2)
；(2)1+3+5+…+(2n-1)= =n
2
；(3)2+4+6+…+2n=
222

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=n(n+1).
师 第(4)小题数列共有几项？是否为等差数列？能否直接运 用S
n
公式求解？若不能，那应如何解
答？(小组讨论后，让学生发言解答)
生 (4)中的数列共有2n项，不是等差数列，但把正项和负项分开，可看成两个等差数列，所以原
式= [1+3+5+…+(2n-1)]-(2+4+6+…+2n)=n
2
-n(n+1)=-n .
生 上题虽然不是等差数列，但有一个规律，两项结合都为-1，故可得另一解法：原式
= (-1)+(-1)+(-1)+…+(-1)=-n.
师 很好！在解题时我们应仔细观察，寻找规 律，往往会寻找到好的方法.注意在运用求和公式时，
要看清等差数列的项数，否则会引起错解.
【例2】 （课本例1)分析：这是一道实际应用题目，同学们先认真阅读此题，理解题意.你能
发现其中的一些有用信息吗?
生 由题意我发现了等差数列的模型，这个等差数列的首项是500， 记为a
1
，公差为50，记为d，
而从20XX年到20XX年应为十年，所以这个等 差数列的项数为10.再用公式就可以算出来了.
师 这位同学说得很对，下面我们来完成此题的解答.(按课本解答示范格式)
【例3】 (课本例2)已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1 220，由此可以确
定求其前n项和的公式吗？分析：若要确定其前n项求和公式，则必须确定什么？
生 必须要确定首项a
1
与公差d.
师 首项与公差现在都未知，那么应如何来确定？
生 由已知条件，我们已知了这个等差数列中的S
10
与S
20
，于是可从中获得两个关于a
1
和d的关
系 式，组成方程组便可从中求得.(解答见课本)
师 通过上面例题3我们发现了在以上两个公式中，有 5个变量.已知三个变量，可利用构造方程
或方程组求另外两个变量(知三求二).运用方程思想来解决 问题.
［合作探究］师 请同学们阅读课本例3，阅读后我们来互相进行交流.(给出一定的时间让学生
对本题加以理解)
师 本题是给出了一个数列的前n项和的式子，来判断它是否是等差数列.解题的出发点是什么?
生 从所给的和的公式出发去求出通项.
师 对的，通项与前n项的和公式有何种关系?生 当n=1时，a
1
=S
1
，而当n＞1时，a
n
=S
n
-S
n-1
.
师 回答的真好!由S
n
的定义可知，当 n=1时，S
1
=a
1
；当n≥2时，a
n
=S
n
-S
n-1
，

即a
n
=S
1
(n=1),
S
n
-S
n-1
(n≥2).这种已知数列的S
n
来确定数列通项的方法对任意数列都是可行的.本题用这方法求出

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的通项a
n
=2n-
1
，我们从中知它是等差数列，这时 当n=1也是满足的，但是不是所有已知S
n
求
2
a
n
的问 题都能使n=1时，a
n
=S
n
-S
n-1
满足呢?请同学 们再来探究一下课本第51页的探究问题.
生1 这题中当n=1时，S
1
=a1
=p+q+r；当n≥2时，a
n
=S
n
-S
n- 1
=2pn-p+q，由n=1代入的结果为p+q，
要使n=1时也适合，必须有r=0.
生2 当r=0时，这个数列是等差数列，当r≠0时，这个数列不是等差数列.
生3 这里的p≠0也是必要的，若p=0，则当n≥2时，a
n
=S
n
-S
n-1
=q+r，则变为常数列了，r≠0也还
是等差数列.
师 如果一个 数列的前n项和公式是常数项为0，且是关于n的二次型函数，则这个数列一定是等
差数列，从而使我们 能从数列的前n项和公式的结构特征上来认识等差数列.实质上等差数列的两
个求和公式中皆无常数项.
（三）、课堂练习：等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？
(学生板演 )解：设题中的等差数列为{a
n
}，前n项和为S
n
,则a
1=-10,d=(-6)-(-10)=4,S
n
=54,
由公式可得-10n +
n(n?1)
×4=54.解之,得n
1
=9,n
2
=- 3(舍去).所以等差数列-10，-6，-2，2…前9
2
项的和是54.(教师对学生的解答给出评价)
（四）、课堂小结：师 同学们，本节课我们学习了哪些数学内容?
生 ①等差数列的前n项和公式1：
S
n
?
n(a
1
?a
n
)
,②等差数列的前n项和公式 2：
2
S
n
?na
1
?
n(n?1)d
.
2
师 通过等差数列的前n项和公式内容的学习，我们从中体会到哪些数学的思想方法?
生 ①通过等差数列的前n项和公式的推导我们了解了数学中一种求和的重要方法——“倒序相加
法”。②“知三求二”的方程思想，即已知其中的三个变量，可利用构造方程或方程组求另外两个变
量 .
师 本节课我们通过探究还得到了等差数列的性质中的什么内容?
生 如果一个数列的前 n项和公式中的常数项为0，且是关于n的二次型函数，则这个数列一定是
等差数列，否则这个数列就不 是等差数列，从而使我们能从数列的前n项和公式的结构特征上来
认识等差数列.
（五）、布置作业：课本习题1-2 A组11、12、13 B组3
五、教学反思：

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第七课时 §1.2.4等差数列的前n项和（二）
一、教学目标
1、知识与技能：（1）进一步熟练 掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；（2）了解等差数列
的一些性质，并会用它们解决一些相关问 题；（3）会利用等差数列通项公式与前n项和的公式研
究S
n
的最值。2、过程与方 法：（1）经历公式应用的过程，形成认识问题、解决问题的一般思路
和方法；（2）学会其常用的数学 方法和体现出的数学思想，促进学生的思维水平的发展。3、情
感态度与价值观：通过有关内容在实际生 活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务
于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生 活中发现问题，并数学地解决问题。
二、教学重点 熟练掌握等差数列的求和公式.教学难点 灵活应用求和公式解决问题.
三、教学方法：探究归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、导入新课
师 首先回忆一下上一节课所学主要内容.
生 我们上一节课学习了等差数列的前n项和的两个公式：
(1)
S
n
?
n(a
1
?a
n
)
n(n?1)d
；(2)
S< br>n
?na
1
?
.
22
师 对，我们上一节课学习了 等差数列的前n项和的公式，了解等差数列的一些性质.学会了求和
问题的一些方法，本节课我们继续围 绕等差数列的前n项和的公式的内容来进一步学习与探
究.
（二）、推进新课
［合作探究］师 本节课的第一个内容是来研究一下等差数列的前n项和的公式的函数表示，请
同学们将求和公式写成关于n的函数形式.
生 我将等差数列{a
n
}的前n项和的 公式
S
n
?na
1
?
n(n?1)d
整理、变形得 到：
2
S
n
?
d
2
d
n?(a
1
?)
n.(*)
22
师 很好!我们能否说(*)式是关于n的二次函数呢?
生1 能，(*)式就是关于n的二次函数.
生2 不能，(*)式不一定是关于n的二次函数.
师 为什么?

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生2 若等差数列的公差为0，即d=0时， (*)式实际是关于n的一次函数!只有当d≠0时，(*)式才
是关于n的二次函数.
师 说得很好!等差数列{a
n
}的前n项和的公式可以是关于n的一次函数或二次函数.我来问一 下：
这函数有什么特征?
生 它一定不含常数项，即常数项为0.
生 它的二次项系数是公差的一半.
……
师 对的，等差数列{a
n
}的前n 项和为不含常数项的一次函数或二次函数.问：若一数列的前n项
和为n的一次函数或二次函数，则这数 列一定是等差数列吗?
生 不一定，还要求不含常数项才能确保是等差数列.
师 说的在理.同学们能画出(*)式表示的函数图象或描述一下它的图象特征吗?
生 当d=0时，(* )式是关于n的一次函数，所以它的图象是位于一条直线上的离散的点列，当d≠0
时，(*)式是n的 二次函数，它的图象是在二次函数
y?
点.这些点的坐标为(n,S
n
)(n =1，2，3，…).
师 说得很精辟.
［例题剖析］
【例】 (课本例4)分 析:等差数列{a
n
}的前n项和公式可以写成
S
n
?
可以 看成函数
y?
d
2
d
x?(a
1
?)x
的 图象上的一群孤立的
22
d
2
d
n?(a
1
?)n
，所以S
n
22
d
2
d
x?(a
1
?)x
(x∈N
*
)当x=n时的函数值.另一方面，容易知道S
n< br>关于n的
22
图象是一条抛物线上的点.因此我们可以利用二次函数来求n的值.(解答 见课本第52页)
师 我们能否换一个角度再来思考一下这个问题呢？请同学们说出这个数列的首项和公差.
生 它的首项为5，公差为
?
5
.
7
师 对，它的首项为正数，公差小 于零，因而这个数列是个单调递减数列，当这数列的项出现负
数时，则它的前n项的和一定会开始减小， 在这样的情况下，同学们是否会产生新的解题思路呢？
生 老师，我有一种解法：先求出它的通项，求 得结果是a
n
=a
1
+(n-1)d=
?
我令
a< br>n
?
540
n?
.
77
540
n?
≤0，得到了n≥8，这样我就可以知道a
8
=0，而a
9
＜0.从而便可 以发现S
7
=S
8
，
77
从第9项和S
n
开始减小，由于a
8
=0对数列的和不产生影响，所以就可以说这个等差数列的前7
项 或8项的和最大.
师 说得非常好!这说明我们可以通过研究它的通项取值的正负情况来研究数列的和 的变化情

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况.
［方法引导］师 受刚才这位同学的新解法的启发，我们大家一起来归纳一下这种解法的规律
①当等差数列{a
n
}的首项大于零，公差小于零时，它的前n项的和有怎样的最值?可通过什么来求
达到最值时 的n的值?
?
a
n
?0
生S
n
有最大值，可通过
?
求得n的值.
a?0
?
n?1
师 ②当等差数列{a< br>n
}的首项不大于零，公差大于零时，它的前n项的和有怎样的最值?可通过什
么来求达 到最值时的n的值?
?
a
n
?0
生 S
n
有最小值，可以通过
?
求得n的值.
a?0
?
n?1
［教师精讲］好!有了这种方法再结合前面的函数性质的方法，我们求等差数列的前n项的和的
最值问题就有法可依了.主要有两种：(1)利用a
n
取值的正负情况来研究数列的和 的变化情况；
(2)利用S
n
：由
S
n
?
d
2
d
n?(a
1
?)n
利用二次函数求得S
n
取 最值时n的值.
22

（三）、课堂练习：请同学们做下面的一道练习：
已知：a
n
=1 024+lg2
1-
n
(lg2=0.3 01 0)n∈
*
.问多少项之和为最大？前多少项之和的绝对值最小？(让
一位学生 上黑板去板演)
?
a
n
?1024?(1?n)lg2?0
解：1°
?< br>a?1024?nlg2＜0
?
n?1
?
10241024
＜ n?
+1
?
3 401＜n＜3 403.所以n=3 402.
lg2lg2
n(n?1)
(-lg2)，当S
n
=0或S
n
趋近于0时其和绝对值最小，
2
2°S
n
=1 024n+
令S
n
=0，即1 024+
2048
n(n?1)
(-lg2)=0,得n =
+1≈6 804.99.因为n∈N
*
，所以有n=6 805.
lg2
2
(教师可根据学生的解答情况和解题过程中出现的问题进行点评)
［合作探究］师 我们大家再一起来看这样一个问题：全体正奇数排成下表：
1
3 5
7 9 11
13 15 17 19

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21 23 25 27 29
…… ……
此表的构成规律是：第n行 恰有n个连续奇数;从第二行起，每一行第一个数与上一行最后一个数
是相邻奇数，问2 005是第几行的第几个数?
师 此题是数表问题，近年来这类问题如一颗“明珠”频频出现在数学竞 赛和高考中，成为出题专家
们的“新宠”，值得我们探索.请同学们根据此表的构成规律，将自己的发现 告诉我.
生1 我发现这数表n行共有1+2+3+…+n个数，即n行共有
n(n?1)
个奇数.
2
师 很好!要想知道2 005是第几行的第几个数，必须先研究第n行的构成规律.
生2 根据生1的发现，就可得到第n行的最后一个数是2×
生3 我得到第n行的第一个数是 (n
2
+n-1)-2(n-1)=n
2
-n+1.
师 现在我们对第n行已经非常了解了，那么这问题也就好解决了，谁来求求看?
生4 我设n
2
-n+1≤2 005≤n
2
+n-1，解这不等式组便可求出n=45，n
2
-n+1=1 981.再设2 005是第45
行中的第m个数，则由2 005=1 981+(m-1)×2，解得m=13.因此，2 005是此表中的第45行中的第
13个数.
n(n?1)
-1=n
2
+n-1.
2
师 很好!由这解 法可以看出，只要我们研究出了第n行的构成规律，则可由此展开我们的思路.从
整体上把握等差数列的 性质，是迅速解答本题的关键.
（四）、课堂小结：本节课我们学习并探究了等差数列的前n项和的哪些内容?
生1我们学会了利用等差数列通项公式与前n项和的公式研究S
n
的最值的方法： < br>①利用a
n
：当a
n
＞0，d＜0，前n项和有最大值.可由a
n
≥0，且a
n+1
≤0，求得n的值；当a
n
≤0，d
＞0，前n项和有最小值.可由a
n
≤0，且a
n+1
≥0，求得n的值.
②利用S
n
：由S
n
=
d
2
d
n+(a
1
-)n利用二次函数求得S
n
取最值时n的值.
22
生2 我们还对等差数列中的数表问题的常规解法作了探究，学习了从整体上把握等差数列 的性质
来解决问题的数学思想方法.
师 本节课我们在熟练掌握等差数列的通项公式和前n项 和公式的基础上，进一步去了解了等差
数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题.学会了一些常用 的数学方法和数学思想，从而使
我们从等差数列的前n项和公式的结构特征上来更深刻地认识等差数列.
（五）、布置作业课本习题1-2 A组14、15 B组4
预习提纲：①什么是等比数列？②等比数列的通项公式如何求？
五、教学反思：

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第八课时 §1.3.1等比数列（一）
一、教学目标：1、知识与技能：⑴了解现实生活中存在着一类特殊的数 列；⑵理解等比数列的
概念，探索并掌握等比数列的通项公式；⑶能在具体的问题情境中，发现数列的等 比关系，并能
用有关的知识解决相应的实际问题；⑷体会等比数列与指数函数的关系。2、过程与方法： ⑴采
用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学；⑵发挥学生的主体作用，作好探究性活动；⑶.密切联系实际，激发学生学习的积极性。3、情感态度与价值观：⑴通过生活中的
大 量实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的
类比、归纳 的能力；⑵通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密切联系，激发学生
学习的兴趣。
二、教学重点 1.等比数列的概念；2.等比数列的通项公式。
教学难点 1.在具体问题中抽象出数列的模型和数列的等比关系；2.等比数列与指数函数的关系.
三、教学方法：探究归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、导入新课：师 现实生 活中，有许多成倍增长的实例.如，将一张报纸对折、对折、再对折、…，
对折了三次，手中的报纸的层 数就成了8层，对折了5次就成了32层.你能举出类似的例子吗？
生 一粒种子繁殖出第二代12 0粒种子，用第二代的120粒种子可以繁殖出第三代120×120粒种
子，用第三代的120×12 0粒种子可以繁殖出第四代120×120×120粒种子，…
师 非常好的一个例子！现实生活中，我们会遇到许多这类的事例.
教师出示多媒体课件一：某种细胞分裂的模型.


师 细胞分裂的个数也 是与我们上述提出的问题类似的实例.细胞分裂有什么规律，将每次分裂后
细胞的个数写成一个数列，你 能写出这个数列吗？
生 通过观察和画草图，发现细胞分裂的规律，并记录每次分裂所得到的细胞数， 从而得到每次
细胞分裂所得到的细胞数组成下面的数列：1，2，4，8，…①
教师出示投影胶片1：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”

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师 这是《庄子·天下篇》中的一个论述，能解释这个论述的含义吗？
生 思考、讨论，用现代语言叙述.
师 (用现代语言叙述后)如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么得到的数列是什么样的呢？
生 发现等比关系，写出一个无穷等比数列：1，
教师出示投影胶片2：计算机病毒传播问题.
一 种计算机病毒，可以查找计算机中的地址簿，通过邮件进行传播.如果把病毒制造者发送病
毒称为第一轮 ，邮件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推.假设每一轮每一台计算机都感染20
台计算机,那么在不 重复的情况下,这种病毒感染的计算机数构成一个什么样的数列呢?
师 (读题后)这种病毒每一轮传播的计算机数构成的数列是怎样的呢？
引导学生发现“病毒制造者发送病毒称为第一轮”“每一轮感染20台计算机”中蕴涵的等比关系.
生 发现等比关系，写出一个无穷等比数列：1，20，20
2
，20
3，20
4
，… ③
教师出示多媒体课件二：银行存款利息问题.
师 介绍“复利”的背景：“复利”是我国现行定期储蓄中的一种支付利息的方式，即把前一期的利息
和本金 加在一起算作本金，再计算下一期的利息，也就是通常说的“利滚利”.我国现行定期储蓄中
的自动转存 业务实际上就是按复利支付利息的.
给出计算本利和的公式：本利和=本金×(1+本金)
n
，这里n为存期.
生 列出5年内各年末的本利和，并说明计算过程.
师 生合作讨论得出“时间”“年初本金 ”“年末本利和”三个量之间的对应关系，并写出：各年末本利
和(单位：元)组成了下面数列：
10 000×1.019 8，10 000×1.019 8
2
，10 000×1.019 8
3
，10 000×1.019 8
4
，10 000×1.019 8
5
. ④
师 回忆数列的等差关系和等差数列的定义，观察上面的数列①②③④，说说它们有什么共同特
点？
师 引导学生类比等差关系和等差数列的概念，发现等比关系.引入课题：板书课题 等比数列
的概念及通项公式
（二）、推进新课
［合作探究］师 从上面的数列①②③④中我们发现了它们的共同特点是：具有等比关系.如果

1111
，，，，… ②
24816
我们将具有这样特点的数列称之为等比 数列，那么你能给等比数列下一个什么样的定义呢？
生 回忆等差数列的定义，并进行类比，说出：一 般地，如果把一个数列，从第2项起，每一项
与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数 列。

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［教师精讲］
师 同学们概括得很好，这就是等比数列(geometric sequence)的定义.有些书籍把等比数列的英文
缩写记作G.P.(Geometric Pr ogression).我们今后也常用G.P.这个缩写表示等比数列.定义中的这个
常数叫做等比数 列的公比(common ratio)，公比通常用字母q表示(q≠0).
请同学们想一想，为什么q≠0呢？
生 独立思考、合作交流、自主探究.
师 假 设q=0，数列的第二项就应该是0，那么作第一项后面的任一项与它的前一项的比时就出现
什么了呢？
生 分母为0了.
师 对了，问题就出在这里了，所以，必须q≠0.
师 那么，等比数列的首项能不能为0呢？
生 等比数列的首项不能为0.
师 是的，等比数列的首项和公比都不能为0，等比数列中的任一项都不会是0.
［合作探究］师类比等差中项的概念，请同学们自己给出等比中项的概念.
生 如果在a与b中间插入一个数G，使a、G、b成等比数列，那么G叫做a、b的等比中项.
师 想一想，这时a、b的符号有什么特点呢？你能用a、b表示G吗？
生 一起探究,a、b是同号的< br>Gb
?
，G=±
ab
，G
2
=ab.
aG
师 观察学生所得到的a、b、G的关系式，并给予肯定.
补充练习：与等差数 列一样，等比数列也具有一定的对称性，对于等差数列来说，与数列中任一
项等距离的两项之和等于该项 的2倍，即a
n-k
+a
n+k
=2a
n
.对于等比数列来说，有什么类似的性质呢？
生 独立探究，得出：等比数列有类似的性质：a
n-k
·a
n+k
=a
n
2
.
［合作探究］探究：(1)一个数列a
1
,a
2
,a
3
,…,a
n
,…(a
1< br>≠0)是等差数列，同时还能不能是等比数列呢？
(2)写出两个首项为1的等比数列的前5项， 比较这两个数列是否相同？写出两个公比为2的等比
数列的前5项，比较这两个数列是否相同？(3)任 一项a
n
及公比q相同，则这两个数列相同吗？(4)
任意两项a
m
、a
n
相同，这两个数列相同吗？(5)若两个等比数列相同，需要什么条件？
师 引导学生探究，并给出(1)的答案，（2)(3)(4)可留给学生回答.
生 探究并分组讨论上述问题的解答办法，并交流(1)的解答.
［教师精讲］概括总结对上述问题的探究 ，得出：(1)中，既是等差数列又是等比数列的数列是存
在的，每一个非零常数列都是公差为0，公比 为1的既是等差数列又是等比数列的数列.

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概括学生对(2)(3)(4)的解答.(2)中，首项为1，而公比不同的等比数列是不会相同的；公比为2， 而
首项不同的等比数列也是不会相同的.(3)中，是指两个数列中的任一对应项与公比都相同，可得出
这两个数列相同；(4)中，是指两个数列中的任意两个对应项都相同，可以得出这两个数列相同；(5)中，结论是：若两个数列相同，需要“首项和公比都相同”.
(探究的目的是为了说明首项 和公比是决定一个等比数列的必要条件；为等比数列的通项公式的推
导做准备)
［合作探究］师 回顾等差数列的通项公式的推导过程，你能推导出等比数列的通项公式吗？
生 推导等比数列的通项公式.
［方法引导］师 让学生与等差数列的推导过程类比，并引导 学生采用不完全归纳法得出等比数
列的通项公式.具体的，设等比数列{a
n
}首项为 a
1
，公比为q，根据等比数列的定义，我们有：
a
2
=a
1
q,a
3
=a
2
q=a
1
q
2
,…,a
n
=a
n-1
q=a
1
q
n
-1
，即a
n
=a
1
q
n
-1
.
师 根据等比数列的定义，我们还可以写出
n
-123
.
n-2
q=a
n-3
q
=…=a
1
q

a
a
2
a
3
a
4
???...?
n
?q
,进而有a
n
=a
n-1
q=a

a
1
a
2
a
3
a
n?1
亦得a
n
=a
1
q
n
-1
.
师 观察一下上式，每一道式子里，项的下标与q的指数，你能发现有什么共同的特征吗？
生 把an
看成a
n
q
0
，那么，每一道式子里，项的下标与q的指数的 和都是n.
师 非常正确，这里不仅给出了一个由a
n
倒推到a
n
与a
1
，q的关系，从而得出通项公式的过程，
而且其中还蕴含了等比数列的基本性质 ，在后面我们研究等比数列的基本性质时将会再提到这组
关系式.
师 请同学们围绕根据等比数列的定义写出的式子
a
a
2
a
3
a
4
???...?
n
?q
,再思考.
a
1a
2
a
3
a
n?1
如果我们把上面的式子改写成
aa
a
2
a
?q,
3
?q,
4
?q,. ..,
n
?q
.
a
1
a
2
a
3
a
n?1
a
n
?q
n?1
,
a
1
那么我们就有了n-1个等式，将这n-1个等式两边分别乘到一起(叠乘)，得到的结果是
于 是，得a
n
=a
1
q
n
-1
.
师 这不又是一个推导等比数列通项公式的方法吗？
师 在上述方法中，前两种方法采用的是不完全归纳法 ，严格的，还需给出证明.第三种方法没有
涉及不完全归纳法，是一个完美的推导过程，不再需要证明.

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师 让学生说出公式中首项a
1
和公比q的限制条件.
生 a
1
，q都不能为0.
［知识拓展］师 前面实例中也有“细胞分裂”“计算机病毒 传播”“复利计算”的练习和习题，那里是
用什么方法解决问题的呢？教师出示多媒体课件三：前面实例 中关于“细胞分裂”“计算机病毒传
播”“复利计算”的练习或习题.
某种储蓄按复利计算成本利息，若本金为a元，每期利率为r，设存期是x,本利和为y元.
（1）写出本利和y随存期x变化的函数关系式；（2）如果存入本金1 000元，每期利率为2.25%，
试计算5期后的本利和.
师 前面实例中关于“细胞分裂 ”“计算机病毒传播”“复利计算”的问题是用函数的知识和方法解决
问题的.
生 比较两种方法，思考它们的异同.
［教师精讲］通过用不同的数学知识解决类似的数学问题，从中发现 等比数列和指数函数可以联
系起来. (1)在同一平面直角坐标系中，画出通项公式为a
n
=2
n
-1
的数列的图象和函数y=2
x
-1
的图象，
你发现了什么？(2)在同一平面 直角坐标系中，画出通项公式为
a
n
?()
n?1
的数列的图象和函 数
y=(
1
2
1
x
-1
)的图象，你又发现了什么 ？
2
生 借助信息技术或用描点作图画出上述两组图象，然后交流、讨论、归纳出二者之间的关系.
师 出示多媒体课件四：借助信息技术作出的上述两组图象.

观察它们之间的关系，得出结论： 等比数列是特殊的指数函数，等比数列的图象是一些孤立
的点.
师 请同学们从定义、通项公式、与函数的联系3个角度类比等差数列与等比数列，并填充下列
表格：

定 义
等差数列
从第二项起，每一项与它前一项的
差都是同一个常数
等比数列
从第二项起，每一项与它前一
项的比都是同一个常数

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首项、公差(公比)取值有
无限制
通项公式
相应图象的特点
［例题剖析］
没有任何限制 首项、公比都不能为0
a
n
=a
1
+(n-1)d
直线y=a
1
+(x-1)d上孤立的点
a
n
=a
1
q
n
-1

函数y=a
1
q
x
-1
图象上孤立的点
【例1】 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩留的这种物质是原来的84％，
这种物质的半衰期 为多长(精确到1年)？
师 从中能抽象出一个数列的模型，并且该数列具有等比关系.

【例2】 根据右图中的框图，写出所打印数列的前5项，并建立数列的递推公式，这个数列是等
比数列吗？
师 将打印出来的数依次记为a
1
(即A)，a
2
，a
3< br>，….可知a
1
=1;a
2
=a
1
×;a
3
=a
2
×.
1
2
1
2
于是，可得递推公 式
?
a
1
?1,
a
1
?
.由于
n
?
，因此，这个数列是等比数列.
?
1
a
n?1
2
a
n
?a
n?1
(n＞1)
?
2
?生 算出这个数列的各项，求出这个数列的通项公式.
（三）、练习：1.一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项.
师 启发、引导学生列方程求未知量.生 探究、交流、列式、求解.
2.课本练习1第1、2题。
（四）、课堂小结：本节学习了如下内容：1.等比数列的定义 ；2.等比数列的通项公式；3.等比数
列与指数函数的联系。
（五）、布置作业：课本习题1-3 A组第1、2、3、4
五、教学反思：

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第九课时 §1.3.2等比数列（二）
一、教学目标：1、知识与技能：⑴了解等比 数列更多的性质；⑵能将学过的知识和思想方法运
用于对等比数列性质的进一步思考和有关等比数列的实 际问题的解决中；⑶能在生活实际的问题
情境中，抽象出等比数列关系，并能用有关的知识解决相应的实 际问题。2、过程与方法：⑴继
续采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学；⑵对 生活实际中的问题采用
合作交流的方法，发挥学生的主体作用，引导学生探究问题的解决方法，经历解决 问题的全过程；
⑶当好学生学习的合作者的角色。3、情感态度与价值观：⑴通过对等比数列更多性质的 探究，
培养学生的良好的思维品质和思维习惯，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培< br>养学生的类比、归纳的能力；⑵通过生活实际中有关问题的分析和解决，培养学生认识社会、了
解 社会的意识，更多地知道数学的社会价值和应用价值。
二、教学重点 1.探究等比数列更多的性质；2.解决生活实际中的等比数列的问题。
教学难点 渗透重要的数学思想。
三、教学方法：探究归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、导入新课
师 教材中练习第3题、第4题，请学生课外进行活动探究，现在请同学们把你们的探究结果展
示一下.
生 由学习小组汇报探究结果.
师 对各组的汇报给予评价.
师 出示多媒体幻灯 片一：第3题、第4题详细解答：第3题解答：(1)将数列{a
n
}的前k项去掉，
剩余的数列为a
k+1
，a
k+2
,….令b
i
=a< br>k+i
,i=1,2,…,则数列a
k+1
,a
k+2
,…,可视为b
1
,b
2
，….
因为
b
i?1
a
k?i?1
??q
(i≥1),所以，{b
n
}是等比数列，即a
k+1
，a
k+2
,…是等比数列.
b
i
ak?i
a
a
11
a
21
??...?
10k? 1
?...?q
10

a
1
a
11
a10k?9
(2){a
n
}中每隔10项取出一项组成的数列是a
1,a
11
,a
21
，…,则
(k≥1).所以数列a
1
,a
11
,a< br>21
,…是以a
1
为首项，q
10
为公比的等比数列. 猜想：在数列{a
n
}中每隔m(m是一个正整数)取出一项，组成一个新数列，这个数列 是以a
1
为首
项、q
m
为公比的等比数列.

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◇本题可以让学生认识到，等比数列中下标为 等差数列的子数列也构成等比数列，可以让学生再
探究几种由原等比数列构成的新等比数列的方法. < br>第4题解答：(1)设{a
n
}的公比是q，则a
5
2
=(a
1
q
4
)
2
=a
1
2
q
8
,而a
3
·a
7
=a
1
q
2
· a
1
q
6
=a
1
2
q
8
,所以< br>a
5
2
=a
3
·a
7
.同理,a
5
2
=a
1
·a
9
.(2)用上面的方法不难证明a
n
2
=a
n-1
·a
n+1
(n＞1).由此得出，a
n
是a
n-1
和
a
n+1
的等比中项，同理可证a
n
2
=a
n-k
·an+k
(n＞k＞0).a
n
是a
n-k
和a
n+k< br>的等比中项(n＞k＞0).
师 和等差数列一样，等比数列中蕴涵着许多的性质，如果我们想知道的更多，就要对它作进一
步的探究.
（二）、推进新课
［合作探究］师 出示投影胶片1
例题1 (教材B组第3题)就任一等差数列{a
n
}，计算a
7
+a
10
，a
8
+a
9
和a
10
+a
40
，a
20
+a
30
，你发现
了什么一般规律，能把你 发现的规律用一般化的推广吗？从等差数列和函数之间的联系的角度来
分析这个问题.在等比数列中会有 怎样的类似结论？
师 注意题目中“就任一等差数列{a
n
}”，你打算用一个什么样的等差数列来计算？
生 用等差数列1，2，3，…
师 很好，这个数列最便于计算，那么发现了什么样的一般规律呢？
生 在等差数列{a
n
}中，若k+s=p+q(k,s,p,q∈N
*
)，则 a
k
+a
s
=a
p
+a
q
.
师 题目要我们“从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题”，如何做？
生 思考、讨论、交流.
师 出示多媒体课件一：等差数列与函数之间的联系.
［教师精讲］

师 从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题：由等差数列{a
n
}的图象，可以看出
a
k
k
a
s
s
?,?
,
a
p
pa
q
q
根据等式的性质，有
a
k
?a
s
k?s
??1
.所以a
k
+a
s
=a
p
+a
q
.
a
p
?a
q
p?q
师 在等比数列中会有怎样的类似结论？

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生 猜想对于等比数列{a
n
}，类似的性质为：k+s=p+t(k,s,p,t∈N
*
)，则a
k
· a
s
=a
p
·a
t
.
师 让学生给出上述猜想的证明.
证明：设等比数列{a
n
}公比为q，则有a
k
·a
s< br>=a
1
q
k
-1
·a
1
q
s
-1
=a
1
2
·q
k
+
s
-2
,
因为k+s=p+t,所以有a
k
·a
s
=a
p
·a
t
.
师 指出：经过上述猜想和证明的过程，已经得到了等比数列的一个新的性质.
即等比数列{a
n
}中，若k+s=p+t(k,s,p,t∈N
*
)，则有a
k
·a
s
=a
p
·a
t
.
师 下面有两个结论：(1) 与首末两项等距离的两项之积等于首末两项的积；(2)与某一项距离
a
p
·a
t
=a
1
q

p
-1
·a
1
q
t
-1
=a
1
2
·q
p
+
t-2
.
相等的两项之积等于这一项的平方.你能将这两个结论与上述性质联系起来吗？
生 思考、列式、合作交流，得到：结论(1)就是上述性质中1+n=(1+t)+(n-t)时的情 形；结论(2)就
是上述性质中k+k=(k+t)+(k-t)时的情形.
师 引导学生思考，得出上述联系，并给予肯定的评价.
师 上述性质有着广泛的应用.
师 出示投影胶片2：例题2
例题2：（1）在等比数列{a
n
}中，已知a
1
=5,a
9
a
10
=100,求a
18
;（2 ）在等比数列{b
n
}中，b
4
=3,求该
数列前七项之积；（3） 在等比数列{a
n
}中，a
2
=-2,a
5
=54,求a< br>8
.
例题2 三个小题由师生合作交流完成，充分让学生思考，展示将问题与所学的性质联系到一起
的思维过程. < br>解答：(1)在等比数列{a
n
}中，已知a
1
=5，a
9< br>a
10
=100，求a
18
.解：∵a
1
a
18
=a
9
a
10
，∴a
18
=
=20.
(2)在等比数列{b
n
}中，b
4
=3，求该数列前七项之积.
解：b
1
b
2
b
3
b
4
b
5
b
6
b
7
=(b
1
b
7
)( b
2
b
6
)(b
3
b
5
)b
4< br>.∵b
4
2
=b
1
b
7
=b
2b
6
=b
3
b
5
，∴前七项之积(3
2
)
3
×3=3
7
=2 187.
a
9
a
10
100
?

a
15
(3)在等比数列{a
n
}中，a
2
=-2，a
5< br>=54，求a
8
.
解：.∵a
5
是a
2
与 a
8
的等比中项，∴54
2
=a
8
×(-2).∴a
8
=-1 458.另解：a
8
=a
5
q
3
=a
5
·
458.
［合作探究］师 判断一个数列是否成等比数列的方法：1、定义法；2、中项法；3、通项公式
法.
例题3： 已知{a
n
}{b
n
}是两个项数相同的等比数列，仿照下表中的例子填写表 格.从中你能得出什
么结论？证明你的结论.
a
5
54
?54?
=-1
a
2
?2

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例
自选1
自选2
a
n
b
n

-5×2
n
-1



a
n
·b
n
判断{a
n
·b
n
}是否是等比数列
是


2
3?()
n

3


4
?10?()
n?1

3


师 请同学们自己完成上面的表.
师 根据这个表格，我们可以得到什么样的结论？如何证明？
生 得到：如果{a
n
}、{b
n
}是两个项数相同的等比数列，那 么{a
n
·b
n
}也是等比数列.
证明如下：设数列{a
n
}的公比是p，{b
n
}公比是q，那么数列{a
n
·b
n
}的第n项与第n＋1项分别
为a
1
p
n
-1
b
1
q
n
-1
与a
1
pb
1
q， 因为
nn
a
n?1
?b
n?1
a
1
pn
b
1
q
n
??pq
,
n?1n?1
a
n
b
n
a
1
pb
1
q
它是一 个与n无关的常数，所以{a
n
·b
n
}是一个以pq为公比的等比数列.
［教师精讲］除了上面的证法外，我们还可以考虑如下证明思路：
证法二：设数列{a
n
}的公比是p，{b
n
}公比是q，那么数列{a
n
·b
n
}的第n项、第n-1项与第n＋1
项(n＞1,n∈N
*
)分别为a
1
p
n
-1
b
1
q
n
-1
、a
1
p
n
-2
b
1
q
n
-2
与a
1
p
n
b
1
q
n
，因为(a
n
b
n
)
2
=(a
1p
n
-1
b
1
q
n
-1
)
2
=(a
1
b
1
)
2
(pq)

2(
n
-1)
,(a
n-1
·b
n-1
)(a
n+1
·b
n+1)=(a
1
p
n
-2
b
1
q
n
-2
)(a
1
p
n
b
1
q
n
) =(a
1
b
1
)
2
(pq)
2(
n
-1)
,
即有(a
n
b
n
)
2
=(a
n-1
·b
n-1
)(a
n+1
·b
n+1
)(n＞1,n∈N
*
),所以{a
n
·b
n
}是一个等比数列.
师 根据对等比数列的认识，我们还可以直接对数列的通项公式考察：
证法三：设数列{a
n}的公比是p，{b
n
}公比是q，那么数列{a
n
·b
n}的通项公式为
a
n
b
n
=a
1
p
n
-1
b
1
q
n
-1
=(a
1
b
1
)(pq)
n
-1
,设c
n
=a
n< br>b
n
,则c
n
=(a
1
b
1
)(p q)
n
-1
,所以{a
n
·b
n
}是一个等比数列.
（三）、课堂小结：本节学习了如下内容：1.等比数列的性质的探究.2.证明等比数列的常用方
法.
（四）、布置作业：课本习题1-2. A组第5、6、7题、B组第1题.
五、教学反思：

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第十课时 1.3.3等比数列的前n项和（一）
一、教学目标：1、知识与技能：⑴了解现实生活中存在着大量 的等比数列求和的计算问题；⑵
探索并掌握等比数列前n项和公式；⑶用方程的思想认识等比数列前n项 和公式，利用公式知三
求一；⑷体会公式推导过程中的分类讨论和转化化归的思想。2、过程与方法：⑴ 采用观察、思
考、类比、归纳、探究得出结论的方法进行教学；⑵发挥学生的主体作用，作好探究性活动 。3、
情感态度与价值观：⑴通过生活中有趣的实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神< br>和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力；⑵在探究活动中学会思考，学会解决问
题 的方法；⑶通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密切联系，激发学生学习的兴
趣。
二、教学重点 1.等比数列前n项和公式的推导；2.等比数列前n项和公式的应用。
教学难点 等比数列前n项和公式的推导。
三、教学方法：探究归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、导入新课
师 国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者.这个故事大家听说过吗？
生 知道一些，踊跃发言.
师 “请在第一个格子里放上1颗麦粒，第二个格子里放上2颗麦粒，第三个格 子里放上4颗麦粒，
以此类推.每一个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒的2倍.直到第64个 格子.请给我足够
的麦粒以实现上述要求.”这就是国际象棋发明者向国王提出的要求.
师 假定千粒麦子的质量为40 g，按目前世界小麦年度产量约60亿吨计.你认为国王能不能满足他
的要求？
生 各持己见.动笔，列式，计算.
生 能列出式子：麦粒的总数为
1+2+2
2
+…+2
63
=?
师 这是一个什么样的问题？你们计算出结果了吗？让我们一起来分析一下.
课件展示：1+2+2
2
+…+2
63
=?
师 我们将 各格所放的麦粒数看成是一个数列，那么我们得到的就是一个等比数列.它的首项是1，
公比是2，求第 1个格子到第64个格子所放的麦粒数总和，就是求这个等比数列的前64项的和.
现在我们来思考一 下这个式子的计算方法：记S=1+2+2
2
+2
3
+…+2
63
，式中有64项，后项与前

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项的比为公比2，当每一项都乘以2后，中间有62项是对应相等的，作差可以相互抵消.
课件展示：S=1+2+2
2
+2
3
+…+2
63
,①
②-①得2S-S=2
64
-1.
2S=2+2
2
+2
3
+…+2
63
+2
64
,②
2
64
-1这个数很大，超过了1.84×10
19
，假定千粒麦子的质量为40 g，那么
麦粒的总质量超过了7 000亿吨.而目前世界年度小麦产量约60亿吨，因此，国王不能实现他的诺
言.
师 国王 不假思索地给国际象棋发明者一个承诺，导致了一个很不幸的后果的发生，这都是他不
具备基本的数学知 识所造成的.而避免这个不幸的后果发生的知识，正是我们这节课所要探究的知
识.
（二）推进新课
［合作探究］
师 在对一般形式推导之前，我们先思考一个特殊的 简单情形：1+q+q
2
+…+q
n
=？
师 这个式子更突出表现了等比数列的特征，请同学们注意观察.
生 观察、独立思考、合作交流、自主探究.
师 若将上式左边的每一项乘以公比q，就出现了什么样的结果呢？
生 q+q
2
+…+q
n
+q
n
+1
.
生 每一项就成了它后面相邻的一项.
师 对上面的问题的解决有什么帮助吗？
师 生共同探索 ：如果记S
n
=1+q+q
2
+…+q
n
,那么qS
n
=q+q
2
+…+q
n
+q
n
+1
.
要想得到S
n
，只要将两式相减，就立即有(1-q)S
n
=1-q
n
.
师 提问学生如何处理，适时提醒学生注意q的取值.
1?q
n
生 如果q≠1，则有
S?
.
1?q
师 当然，我们还要考虑一下如果q＝1问题是什么样的结果.
生 如果q＝1，那么S
n
=n.
师 上面我们先思考了一个特殊的简单情形，那么，对于等比数列的一般情形我们怎样思考？
课件展示：a
1
+a
2
+a
3
+…+a
n
=？
［教师精讲］
师 在上面的特殊简单情形解决过程中，蕴含着一个特殊而且重要的处理问题的 方法，那就是“错
位相减，消除差别”的方法.我们将这种方法简称为“错位相减法”.
师 在解决等比数列的一般情形时，我们还可以使用“错位相减法”.

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如果记S
n
=a
1
+a
2
+a
3
+…+a
n
,
那么qS
n
=a
1
q+ a
2
q+a
3
q+…+a
n
q,要想得到S
n，只要将两式相减，就立即有(1-q)S
n
=a
1
-a
nq.
师 再次提醒学生注意q的取值.如果q≠1，则有
S
n
?
a
1
?a
n
q
.
1?q
如果记S
n< br>=a
1
+a
1
q+a
1
q
2
+…+ a
1
q 师 上述过程如果我们略加变化一下，还可以得到如下的过程：
n
- 1
,那么qS
n
=a
1
q+a
1
q
2+…+a
1
q
n
-1
+a
1
q
n,要想得到S
n
，只要将两式相减，就立即有
n
a(1?q)
1
(1-q)S
n
=a
1
-a
1
q
n
.如果q≠1，则有
S
n
?
.
1?q
师 上述推导过程，只是形式上的不同，其本质没有什么差别，都是用的“错位相减法”.
形式上，前一 个出现的是等比数列的五个基本量：a
1
,q,a
n
,S
n
,n中a
1
,q,a
n
,S
n
四个；后者出现的是
a
1
,q,S
n
,n四个，这将为我们今后运用公式求等比数列的前n项的和 提供了选择的余地. 值得重视的
是：上述结论都是在“如果q≠1”的前提下得到的.言下之意，就是 只有当等比数列的公比q≠1时，
我们才能用上述公式.
师 现在请同学们想一想，对于等比数列的一般情形，如果q＝1问题是什么样的结果呢？
生 独立思考、合作交流.
生 如果q＝1，S
n
=na
1
.
师 完全正确.如果q＝1，那么S
n
=na
n
.正确吗？怎么解释？
生 正确.q＝1时，等比数列的各项相等，它的前n项的和等于它的任一项的n倍.
师 对了，这就是认清了问题的本质.
师 等比数列的前n项和公式的推导还有其他的方法，下面我们一起再来探讨一下：
［合作探究］
思路一：根据等比数列的定义，我们有：

a
a
2
a
3
a
4
???...?
n
?q
,
a
1
a
2
a
3
a
n?1
再由合比定理，则得
a
2
?a
3
?a
4
?...?a
n
S?a< br>?q
,即
n1
?q
,从而就有(1-q)S
n
=a< br>1
-a
n
q.
a
1
?a
2
?a< br>3
?...?a
n?1
S
n
?a
n
(以下从 略)
思路二：由S
n
=a
1
+a
2
+a
3
+…+a
n
得S
n
=a
1
+a
1
q+a
2
q+…+a
n-1
q=a
1
+q(a
1
+a
2
+…+a
n-1
)=a
1
+q(Sn
-a
n
),
从而得(1-q)S
n
=a
1< br>-a
n
q.(以下从略)

师 探究中我们们应该发现，S
n
-S
n-1
=a
n
是一个非 常有用的关系，应该引起大家足够的重视.在这
个关系式中，n的取值应该满足什么条件？

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生 n＞1.
师 对的，请同学们今后多多关注这个关系式：S
n
-S
n-1
=a
n
，n＞1.
师 综合上面的探究过程，我们得出：
?
na
1
,q?1,
?
na
1
,q?1,
?
?
S
n
?
?
a
1
(1?q
n)
或者
?
a
1
?a
n
q
q?1

?
1?q
,q?1
?
1?q
,
?
?< br>［例题剖析］
1111
,,
,…；(2)a
1
=27,a< br>9
=,q＜0.
248243
11
［合作探究］师生共同分析：由( 1)所给条件，可得
a
1
?
，
q?
,求n＝8时的和，直接 用
22
1
公式即可.由(2)所给条件，需要从
a
9
?中获取求和的条件，才能进一步求n＝8时的和.而
243
【例题1】 求下列等比数列的 前8项的和：(1)
a
9
=a
1
q
8
，所以由条件 可得q
8
=
就可以了.
a
9
11
=，再由q＜ 0，可得
q??
，将所得的值代入公式
a
1
243?273
11
[1?()
8
11
2
?
255
. 生 写出解 答：(1)因为
a
1
?
,
q?
，所以当n＝8时，
S
8
?
2
1
22
256
1?
2
( 2)由a
1
=27,
a
9
?
a
1
118
，可得
q?
9
?
，又由q＜0，可得
q??
,
a
1
243?27
2433
11
(1?)
24 3?27
?
1640
. 于是当n＝8时，
S
8
?
27
1
81
1?(?)
3
【例题2】 某商场今年销售计算机5 0 00台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，
那么从今年起，大约几年可使总销售量达 到30 000台(结果保留到个位)？
师 根据题意，从中发现等比关系，从中抽象出等比数列，并明确这是一个已知S
n
=30 000求n的
问题.
生 理解题意，从中发现等比关系，并找出等比数列中的基本量，列式，计算.
解：根据题意，每年的销售 量比上一年增加的百分率相同，所以，从今年起，每年销售量组成一
5000(1?1.1
n< br>)
?30000
, 个等比数列{a
n
}，其中a
1
=5 000,q=1+10%=1.1,S
n
=30 000.于是得到
1?1.1
整理得1.1
n
=1.6,两边取对数，得nlg1.1=lg1.6,用计算器算得
n?
lg1.6
0.2
≈
≈5(年).
lg1.1
0.041

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答：大约5年可以使总销售量达到30 000台.
（三）、练习：教材练习第1、2、3题.
（四）、课堂小结：本节学习了如下内容：1.等 比数列前n项和公式的推导；特别是在推导过程
中，学到了“错位相减法”.2.等比数列前n项和公式 的应用.因为公式涉及到等比数列的基本量中
的4个量，一般需要知道其中的3个，才能求出另外一个量 .另外应该注意的是，由于公式有两个
形式，在应用中应该根据题意所给的条件，适当选择运用哪一个公 式.在使用等比数列求和公式
时，注意q的取值是至关重要的一个环节，需要放在第一位来思考.
（五）、布置作业课本习题1-3 B组2、3
五、教学反思：

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第十一课时 1.3.4等比数列的前n项和（二）
一、教学目标1、知识与技能：⑴用方程的思想认识等比数列前 n项和公式，利用公式知三求一；
⑵用等比数列前n项和公式和有关知识解决现实生活中存在着大量的数 列求和的计算问题； ⑶将
等比数列前n项和公式与等比数列通项公式结合起来解决有关的求解问题。2 、过程与方法：⑴
采用启发、引导、分析、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学；⑵给学生充分 的独立思
考、合作交流、自主探究的机会；⑶进行严谨科学的解题思想和解题方法的训练。3、情感态度
与价值观：⑴通过数学本身知识的演绎推理和运算，提高学生深化对知识的理解和运用的水平以
及将知识融汇贯通的能力；⑵在独立思考、合作交流、自主探究中提高解题技能；⑶在研究解决
生产实际 和社会生活中的实际问题的过程中了解社会、认识社会，形成科学的世界观和价值
观.
二、教学重点 ⑴求数列前n项和知识的灵活运用。⑵运用数列这个特殊的数学模型解决生产实
际和社会生活中的实际问题。
教学难点 运用数列模型解决生产实际和社会生活中相应的问题.
三、教学方法：探究归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、导入新课
师 你知道我国银行中有一种专门的储蓄业务叫做“教育储蓄”吗？
生 根据自己所知道的，说出自己对“教育储蓄”的理解.(很可能是很笼统的、见字释义的理解)
师 出示投影胶片1：银行关于教育储蓄的管理办法(节选)管理办法
第七条 教育储蓄为零存整取定期储 蓄存款.存期分为一年、三年和六年.最低起存金额为50
元，本金合计最高限额为2万元.开户时储户 应与金融机构约定每月固定存入的金额，分月存入，
中途如有漏存，应在次月补齐，未补存者按零存整取 定期储蓄存款的有关规定办理.
第八条 教育储蓄实行利率优惠.一年期、三年期教育储蓄按开户日同 期同档次整存整取定期
储蓄存款利率计息；六年期按开户日五年期整存整取定期储蓄存款利率计息.
第十一条 教育储蓄逾期支取，其超过原定存期的部分，按支取日活期储蓄存款利率计付利
息， 并按有关规定征收储蓄存款利息所得税.
第十二条 教育储蓄提前支取时必须全额支取，提前支取时， 储户能提供“证明”的，按实际
存期和开户日同期同档次整存整取定期储蓄存款利率计付利息，并免征储 蓄存款利息所得税；储
户未能提供“证明”的，按实际存期和支取日活期储蓄存款利率计付利息，并按有 关规定征收储蓄
存款利息所得税.

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师 着重引导学生注意关键的内容.
生 理解文件中的内容.
师 这是一个关系到 我国每一个家庭的社会生活中的实际问题，其中大部分的计算都是用数列的
知识.现在我们就来一起探索 其中的数学内容.
（二）、推进新课
［例题剖析］师 出示投影胶片2：课本第70页B组题第4题：
例1 思考以下问题：(1)依教育储蓄的方式，每月 存50元，连续存3年，到期(3年)或6年
时一次可支取本息共多少元？(2)依教育储蓄的方式，每 月存a元，连续存3年，到期(3年)或6
年时一次可支取本息共多少元？(3)依教育储蓄的方式，每 月存50元，连续存3年，到期(3年)时
一次可支取本息比同档次的“零存整取”多收益多少元？(4 )欲在3年后一次支取教育储蓄本息合计
1万元，每月应存入多少元？(5)欲在3年后一次支取教育储 蓄本息合计a万元，每月应存入多少
元？(6)依教育储蓄方式，原打算每月存100元，连续存6年， 可是到了4年时，学生需要提前支
取全部本息，一次可支取本息共多少元？(7)依教育储蓄方式，原打 算每月存a元，连续存6年，
可是到了b年时，学生需要提前支取全部本息，一次可支取本息共多少元？ (8)不用教育储蓄方式，
而用其他的储蓄方式，以每月可存100元，6年后使用为例，探讨以现行的 利率标准可能的最大
收益，将得到的结果与教育储蓄比较.
［合作探究］师 要解决上面的这 些问题，我们必须要了解一点银行的业务知识，据调查，银行
整存整取定期储蓄存款利率计算公式是这样 的：
若每月固定存a元，连续存n个月，则计算利息的公式为
师 你能解释这个公式的含义吗？
生 独立思考、合作交流、自主探究.
师 (在学生充分探究 后揭示)设月利率为q，则这个公式实际上是数列：aq,2aq,3aq,…,naq,…的
前n项和 .这个数列的项不正是依次月数的利息数？
生 发现等差关系.
师 用我们的数学语言来说， 这是个首项为aq，公差为aq的等差数列，而不是一个等比数列.从
这个公式中我们知道，银行整存整 取定期储蓄存款利率计算不是按复利(利生息——利滚利)计算
的.我们把这样的计算利息的方法叫做按 单利(利不生息——利不滚利)计算.这是我们在计算
这个数列具有什么特征呢？

a(1?n)n
×月利率.
2
时必须弄明白的，否则，我们计算的结果就会与银行计算的实际结果不一致.
师 我们还需要了解银行的三年期、五年期的整存整取的存款利率，以及三年期零存整取的存款

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利率和利息税率：三年期整存整取存款年利率为2.52%，月利率 为0.21%；五年整存整取存款年
利率为2.79%，月利率为0.232 5%；三年期零存整取存款年利率为1.89%，月利率为0.157 5%；
利息税率为20%.
师 下面我们来看第一个问题的结果.
生 计算，报告结果.
师 生共同解答：
(1)解：因为三年期整存整取存款年利率为2.52%，月利率为0.21%，故依教育储蓄的方式， 每月
存50元，连续存3年，到期一次可支取本息共
(50?50?36)?36
×0.21%+1 800＝1 869.93(元).
2
因为五年整存整取存款年利率为2.79%，月利率为0.232 5%，故依教育储蓄的方式，若每月存入
每月存50元，连续存6年，到期一次可支取本息共
(50?50?72)?72
×0.232 5%+3 600＝3 905.50(元).
2
(2)每月存入每月存a元，连续存3年，到期一次可支取本息共
(a?a?36)?36
×0.21%+36a(元).
2
若每月存入每月存a元，连续存6年，到期一次可支取本息共
(a?a?72)?72
×0.232 5%+72a(元).
2
(3)因为三年期零存整取存款年利率为1.89%，月利率为0.157 5%，故每月存50元，连续存3年，
到期一次可支取本息共
(50?50?36)?36
×0.157 5%×80%+1 800=1 841.96(元).
2
比教育储蓄的方式少收益27.97(元).
(4)设每月应存入x元，由教育储蓄的计算公式得
(x?x?36)?36
×0.21%+36x＝10 000.
2
解得x≈267.39(元)，即每月应存入267.39(元).
(5)设每月应存入x元，由教育储蓄的计算公式得
(x?x?36)?36
×0.21%+36x＝10 000a.
2
10000a
解得x= =267.39a，即每月应存入267.39a(元).
37.3986
(6)根据银行出台的教育储蓄《管理办法》，需要提前支取的，在提供证明的 情况下，按实际存期

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和开户日同期同档次整存 整取定期储蓄存款利率计付利息，并免征储蓄存款利息所得税.故该学生
支取时，应按照三年期整存整取 存款年利率为2.52%，月利率为0.21%进行计算.由计算公式得
(100?100?48)?48
×0.21%+4 800＝5 046.96(元).
2
(7)与第6小题类似，应根据实际存期进行同档次计算.
一到两年的按一年期整 存整取计息.一年期整存整取存款年利率为1.98%，月利率为0.165%，故
当b=1或2时，由 计算公式得
(a?a?12b)?12b
×0.165%+12ab(元).
2< br>当b=3或4或5时，应按照三年期整存整取存款年利率为2.52%，月利率为0.21%进行计算.根 据
计算公式得
(a?a?12b)?12b
×0.21%+12ab(元). 2
(8)此题可以选择多种储蓄方式，学生可能提供多个结果，只要他们计算方式符合规定的储蓄方 式
即可.教师可以组织学生讨论，然后选择一个最佳答案.
［概括总结］
师 在我 们上述探究问题的过程中，我们学到了许多课本上没有的东西，增长了一些银行存款的
知识.我们可以用 这些知识去规划一下自己将来接受教育的存款计划，并与家长商量，看能不能付
诸于现实；我们也可以为 身边的亲朋好友当个小参谋，把你学到的知识讲解给他们听一听，看他
们能不能接受你的意见和建议.从 生产实际和社会生活中，我们还能寻找到更多的探究题材，只
要我们做个有心人，我们学到的知识就能与 生产实际与社会生活紧密的结合起来.说明：此例文
字量大，阅读理解能力要求较高，但是弄通问题的基 本含义后，因为其蕴含的数学知识和方法并
不深奥，计算量也不大，所以可以说是一个非常好的探究性问 题.可以猜想，这也是普通高中新课
程标准推崇它作为一个典型例题的理由.
师 下面的问题需要我们用更多的数学知识才能解决它.
出示投影胶片3：
例2 你能估计函数y=9-x
2
在第一象限的图象与x轴、y轴围成的区域的面积吗？
出示多媒体图片1：

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师 如图，为了估计函数y=9-x
2
在第一象限的图象与x轴、y轴围成的区域的面积x，把x轴 上的
区间［0，3］分成n等份.从各分点作y轴平行线与图象相交，再从各交点向左作x轴平行线，构
成(n-1)个矩形.下面用程序来计算这(n-1)个矩形的面积的和S.
SUM=0
K=1
INPUT请输入将［0，3］分成的份数n：”;N
WHILE k＜=N-1
AN=(9-(k*3n)^2)*3N
SUM=SUM=AN
PRINT k,AN,SUM
K=k=1
WEND
END




阅读程序，回答下列问题：(1)程序中的AN，SUM分别表示什么，为什么？
(2)请根据程序分别计算当n＝6，11，16时，各个矩形的面积的和(不必在计算机上运行程序).
师 你能回答第一个问题吗？
生 AN表示第ｋ个矩形的面积，SUM表示前ｋ个矩形面积的和.
生 当把x轴上的区间［0，3］分成 n等份时，各等份的长都是
理由是：各分点的横坐标分别是
3
.
n
33?23?(n?1)
, ,…,.
nnn
从各分点作y轴平行线与y=9-x
2
图象相交，交点的纵坐标分别是
33?2
2
3?(n?1)
2
9?()
2
,
9?()
,…,
9?[]
.
nnn
它们分别是各个相应矩形的高，所以各个矩形面积分别是
333?2
2
3
[9?()
2
]?
,
[9?()]?
,…,
nn
nn
师 对学生的思考给予高度的赞扬.
3?(n?1)
2< br>?
3
?
9?[()]
?
?
.
?
n
??
n
师 当我们把x轴上的区间［0，3］分成n等份时，按 照上面的作图方法，我们得到了函数y=9-x
2
在第一象限的图象与x轴、y轴围成的区域内 的n-1个矩形.
师 想一想，这个由各个矩形面积组成的数列的前n-1项和如何求.

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生 自主探究.列式：
S
n ?1
?[9?()]?
3
n
2
33?2
2
33?( n?1)
2
?
3
?
?[9?()]??...?
?
9?[]
?
?

nnnn
??
n
=
3?
3
2
3?2
2
3?(n?1)
2
?
[9?()]?[9?()]?...?[9?()]
?

?
n
?< br>nnn
?
3
?
3
2222
?
?
9( n?1)?()[1?2?...?(n?1)]
?
.
n
?
n
?
=
师 引导学生整理所列出的式子，得到上述最后一道式子.
师 求和时遇到了1
2
+2< br>2
+…+n
2
的计算问题，这也是一个求数列前n项和的问题.关于这个问题，
我们只要求大家知道，这是求数列：1
2
,2
2
,3
2,…,n
2
,…的前n项和的问题.由于这个数列不是等差数
列，也不是等比数列 ，因此不能用已经推导出来的等差数列前n项和公式与等比数列前n项和公
式.而这个和的计算，要求同 学们记得它的计算公式.
1
2
+2
2
+…+n
2
=
即要求记住：
n(n?1)(2n?1)
.关于这个公式的推导过程，我们可以作为知 识拓展的材料，放在
6
课外进行探究性学习.
师 运用这个公式，请把上面的n-1个矩形面积的和计算出来.
生 继续运算.S
n-1
=
3333(n?1)n(2n?1)
{9(n-1)-( )
2
［1
2
+2
2
+…+(n-1)
2
］}=［9(n-1)-( )
2
］
nnnn6
9(4n
2
?3n?1)
=.
2
2n
师 明确一下计算结果，再继续带领学生一起理解第2小题的含义并得出结果.
师 根据程序，当n＝6时，5个矩形的面积的和就是输入N＝6，SUM的最后一个输出
值, SUM=15.625.那么当n＝11时，10个矩形的面积的和就是N＝11时，SUM的最后一个
输出值，即SUM=16.736；当n=16时，我们就得到15个矩形面积的和SUM=17.139.当n =17
时，SUM的最后一个输出值是多少？
生 n=17时，SUM的最后一个输出值SUM=17.190.
师 你是怎么计算n=17时，SUM的最后一个输出值的呢？
9(4n
2
?3n?1)
生 是用上面推导出来的计算公式：
S
n?1
?
.
2
2n
当n=500时，SUM的最后一个输出值SUM=?当n=1 000时，SUM的最后一个输出值SUM=?
9(4n
2
?3n?1)
生 用公式
S
n?1
?
，不难算出n=500时，SUM=17.973；n=1 000时，SUM=17.986.
2n
2

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师 在计算n=500与n=1 000时的最后一个输出值SUM时，为什么用上面推导出来的公式而不用
程序中的步骤呢？
9(4n
2
?3n?1)
师 这是因为公式
S
n?1
?
用起来很方便，只要给出上一个n的值，就可以代入公
2n
2
式，一下子 得出结果.另一方面，程序设计的是一个递推的循环结构.它在上机运行时，对于每个给
定的n，都要从 k=1依次循环到k=N-1，这是同学们在没有上机条件时很难做到而又没有必要做
到的事.
师 至此，你能估计出函数y=9-x
2
在第一象限的图象与x轴、y轴围成的区域的面积了？
生 由n=500与n=1 000时的最后一个输出值SUM，可以估计，这个面积大约是18.
师 一个非常准确的结果！
［教师精讲］师 通过本例的探索，我们来归纳一下收获：1.本 例中，程序使用了S
n
的递推公式，
即
?
?
S
1< br>?a
1
,
这个递推公式的推导，同学们可以自己去思考一下；2.需要同学们必 须
S?S?a(n＞1)
n?1n
?
n
想到的是，这个公式还有一个 非常重要的作用，那就是：它给我们提供了求数列的首项和第n项
的办法，即
?
a1
?S
1
,
3.关于估计函数y=9-x
2
在第一象限 的图象与x轴、y轴围成的
?
?
a
n
?S
n
?S< br>n?1
(n＞1)
区域的面积，这里采用的是无限逼近的思想，即［0，3］区间分得越 细，前k个矩形面积的和SUM
就越接近函数y=9-x
2
在第一象限的图象与x轴、 y轴围成的区域的面积.教材中已经在用旁白告诉
我们，用微积分的知识可得x＝18，而我们的估计值 也是18，可见我们的估计非常准确.
（三）、课堂小结本节学习了如下内容：1.教育储蓄中的有关 计算.2.用计算机程序计算数列的
和。
（四）、布置作业课本习题1-3 A组9、10
五、教学反思：

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第十二课时 §1.4 数列在日常经济生活中的应用
一、教学目标
1．知识与技能：（1）掌握等差、 等比数列的定义、通项公式、前n项和公式及其应用；（2）了解
银行存款的种类及存款计息方式；（3 ）体会“零存整取”、“定期自动转存”等日常经济生活中
的实际问题；（4）了解“教育储蓄”. < br>2．过程与方法:通过温故、设问、思考、讨论、推导等具体的问题情境，发现并建立等差数列这
个数学模型，会利用它解决一些存款计息问题，感受等差数列的广泛应用.
3．情感态度与价值观:通 过本节的学习，使学生对等差、等比数列的进一步理解，体会等差、等
比数列与日常经济生活紧密相关， 引导学生学会思考、交流、讨论、推导与归纳，学会调查学习，
感受生活中处处有数学，从而激发学生的 学习积极性，提高学生学习数学新知识的兴趣和信心.
二、教学重点：建立“零存整取模型”、“定期自动转存模型”，并用于解决实际问题；
难点 ：在实际的问题情境中，利用等差、等比数列数学模型，发现并建立“零存整取模型”与“定
期自动转存 模型”；
关键：结合例题，分析弄清“零存整取”与“定期自动转存”的储蓄方式.“零存整取”是每 月
存入相同的x元，到期所获的利息组成一等差数列；“定期自动转存”是下期的利息计算以上期
的本利和为本金.
三、教法与学法：学生通过对具体问题情境，主动思考，互相交流，共同讨论，总 结概括，发现
并建立等差、等比数列这个数学模型，会利用它解决一些存款问题，感受等差、等比数列的 广泛
应用，从而更好地完成本节课的教学目标.
四、教学过程：
1.创设情境：①温故知新：等差数列； 等比数列；定义； 通项公式； 前n项和公式
②等差数列、等比数列是日常经济生活中的重要数学模型.例如，存款、贷款、购物（房、车）分
期付款 、保险、资产折旧等问题都与其相关.
师：同学们，你们经历过存款吗？你们知道储蓄有哪些业务种类？存款有利息吗？
2.探索新知：
（1）储蓄业务种类①活期储蓄②定期储蓄（整存整取定期储蓄、零存整取定 期储蓄、整存零取定
期储蓄、存本取息定期储蓄、定活两便储蓄）
③教育储蓄④个人通知存款⑤单位协定存款
（2）银行存款计息方式：
①单利 单利的计算是仅在原有本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息.

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其公式为： 利息=本金×利率×存期
以符号P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本金和利息和(以下简称本利和),则有
②复利 把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期本金的数额是不同的.复利的计算
公式是
（3）零存整取模型
例1.银行有一种叫作零存整取的储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数 目的现金,这是零存;到约
定日期,可以取出全部本利和,这是整取.规定每次存入的钱不计复利(暂不 考虑利息税).
(1)若每月存入金额为x元,月利率r保持不变,存期为n个月,试推导出到期整取是本利和的公式;
(2)若每月初存入500元,月利率为0.3%,到第36个月末整取时的本利和是多少?
(3)若每月初存入一定金额,月利率为0.3%,希望到第12个月末整取时取得本利和2000元.那么每< br>月初应存入的金额是多少?
分析：零存整取储蓄业务规定每次存入的钱不计复利，即按单利即息：
利息=本金×利率×存期
（学生思考并解答，教师利用多媒体点评）
解：（1）根据题意,第一个月存入的x元,到期利息为x?r?n元;
第二个月存入的x元,到期利息为x?r?（n-1）元;
第n个月存入的x元,到期利息为x?r?1元.
不难看出,这是一个等差数列求和的问题.各利息之和为
而本金为nx元,这样就得到本利和公式为
即 ①（2）每月存入500元,月利率为0.3﹪,根据①式,本利和为
（3）依题意,在①式中, ，所以
答：每月应存入163.48元.
（4）定期自动转存模型
例2 银行有 另一种储蓄业务为定期存款自动转存.例如，储户某日存入一笔1年期定期存款，1
年后，如果储户不取 出本利和.则银行自动办理转存业务，第二年的本金就是第一年的本利和.按
照定期存款自动转存的储蓄 业务(暂不考虑利息税).我们来讨论以下问题：
（1）如果储户存入定期为1年的P元存款，定期年 利率为r，连存n年后，试求出储户n年后所
得本利和的公式;
（2）如果存入1万元定期存款，存期1年，年利率为1.98%，那么5年后共得本利和多少万元？
师：定期存款自动转存储蓄，第二年的本金是什么？（第一年的本利和），这种储蓄的计息方式是

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什么？（按复利计息）
（学生思考并独立解答，教师利用多媒体点评）
3.发展思维：
例3 银行有一种 叫作零存整取的储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约
定日期,可以取出全部 本利和,这是整取.规定每次存入的钱不计复利.银行按国家规定到期扣除
20﹪的利息税(应纳税额= 应纳税利息额×税率).
(1)若每月存入金额为x元,月利率r保持不变,存期为n个月,试推导出到期整取时本利和的公式;
(2)若每月初存入500元,月利率为0.3%,到第36个月末整取时的本利和是多少?
师：从1999年11月1日起，国家开始征收储蓄存款利息税：
应纳税额=应纳税利息额×税率
（学习小组开展讨论，由学生自己解答）
解：(1)根据例1，各月利息之和为 ，
税后实得利息为 .
而本金为nx元,这样就得到本利和公式， ②
(2) 若每月存入500元,月利率为0.3﹪,根据②式,本利和为
答：到第36个月末整取时的本利和是18799.2元.
4．巩固深化：
例4 “教育储蓄”,是一种零存整取的定期储蓄存款方式,是国家为了鼓励城乡居民以储蓄方式,
为子女接受 非义务教育积蓄资金,从而促进教育事业发展而开办的.某同学依教育储蓄方式从
20XX年11月1日 开始,每月按时存入250元,连续存6年,月利率为0.3﹪.到期一次可支取本利共
多少元?
（学习小组开展讨论，由学生自己解答）
解：根据题意，“教育储蓄”是一种零存整取的定期储蓄，由例1到期一次可支取本利公式为
当
答：到期一次可支取本利和共为19971元.
师：同学们，大家都知道有“教 育储蓄”这种储蓄业务，但大家知道“教育储蓄”是从什么时候
开始的？“教育储蓄”所得利息纳税吗？ 是否谁都可以办理“教育储蓄”吗？…
（教师提出问题，随即打开网页搜索，引导学生学会学习）
5．课外作业： 课题学习: “教育储蓄”
要求课后以学习小组为单位，弄清（网上查找或 调查）以下问题，合理使用计算机或计算器等数

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学工具，解决教材中第46页的10个问题，写成课题学习报告.
（1）.教育储蓄的使用对象；（2）.储蓄类型；（3）.最低起存金额、每户存款本金的最高限额；
（4）.支取方式；（5）.银行现行的各类、各档存款利率，及利率的换算；（6）.零存整取、整存
整取的本利计算方式.
6.小结：（1）.等差数列、等比数列是日常经济生活中的重要数学 模型;（2）.银行存款的计息方
式;（3）.银行的储蓄业务种类;（4）.零存整取储蓄模型;（5 ）.定期自动转存模型；（6）.教育
储蓄模型.
7、作业： 习题1——4第1、2题
五、教后反思：

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第十三课时 第一章 数列小结与复习
一教学目标：1、知识与技能：⑴进一步理解数列基 础知识和方法，能清晰地构思解决问题的方
案；⑵进一步学习有条理地、清晰地表达数学问题，提高逻辑 思维能力；⑶加强对等差数列与等
比数列的性质的理解，提高“知三求二”的熟练程度；⑷在理解的基础 上进一步熟练地构建数列模
型解决实际问题。2、过程与方法：⑴通过实例，发展对解决具体问题的过程 与步骤进行分析的
能力；⑵通过独立思考、合作交流、自主探究的过程，发展应用数列基础知识的能力； ⑶在解决
具体问题的过程中更进一步地感受数列问题中蕴含的思想方法。3、情感态度与价值观：⑴通过
具体实例，感受和体会数列在解决具体问题中的意义和作用，认识数列知识的重要性；⑵感受并
认识数列知识的重要作用，形成自觉地将数学知识与实际问题相结合的思想；⑶在解决实际问
题过程中形 成和发展正确的价值观
二、教学重点 1.系统化本章的知识结构；2.提高对几种常见类型的认识； 3.优化解题思路和解题
方法，提升数学表达的能力。教学难点 解题思路和解题方法的优化。
三、教学方法：探究归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、导入新课
数 列是高中代数的重要内容之一，也是高考考查的重点.它的主要内容主要有两个方面：第一
方面是数列的 基本概念，如等差数列的定义、等比数列的定义、通项公式、等差中项、等比中项、
数列的性质以及数列 的前n项和公式等；第二方面是数列的运算和实际应用，即运用通项公式、
前n项和公式以及数列的性质 求一些基本量，运用数列的基础知识探究与解决实际问题.
应用本章知识要解决的主要问题有：(1) 对数列概念理解的题目；(2)等差数列和等比数列中五
个基本量a
1
,a
n
,d(q),n,S
n
“知三求二”的问题；(3)数列知识在实际方面的应用. < br>在解决上述问题时，一是要用函数观点来分析解决有关数列问题；二是要运用方程的思想来
解决“ 知三求二”的计算问题；三是能自觉地运用等差、等比数列的特征来化简计算；四是树立应
用意识，能用 数列有关知识解决生产生活中的一些问题.
（二）、推进新课
师出示多媒体课件一：

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(请同学们自己将框中的公式补充完整)
师 等差数列与等比数列的通项公式与前n项和公式 都不止一种形式，请同学们在总结的时候不
要忘记它们中的任何一种形式.
［回顾与思考］
1.知识的发生发展过程：
师 你能从函数的观点认识数列吗？你能体会学习数列与学习实数 之间的异同吗？等差数列与等
比数列的通项公式反映了什么函数关系？它们的图象各有什么特点呢？
生 思考.
师 请看下面的结构框图(出示多媒体课件二)：

师 请同学们理解并解释框图的结构及其含义.
2.通项公式与前n项和公式的推导中的思想方法：
师 你能清楚地说出等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式的一种推导方法吗？每一个
公式的推导能说出几种方法吗？
生 回忆学习过程中自己已经掌握的方法，并积极发言.
师 在它们的前n项和公式的推导中，请大家特别注意其中的两种推导方法：
等差数列的前n项和公式推导 中的“倒序相加法”与“叠加法”；等比数列的前n项和公式推导中的
“错位相减法”与“叠乘法”；另 外，还应该知道，对于任何数列{a
n
}，S
n
与a
n
有以 下关系：a
n
=S
1
,n=1,
S
n
-S
n-1
,n＞1.
师 你知道这个公式在解决问题中有哪些作用吗？
生 思考，回答.3.应用本章知识要解决的主要问题：
师 你明确应用本章知识要解决哪些问题吗？
生 应用本章知识要解决的主要问题有：(1) 对数列概念理解的题目；(2)等差数列和等比数列中五
个基本量a
1
,a
n
,d(q),n,S
n
“知三求二”的问题；(3)数列知识在生产实际和社会生活中 的应用.
师 肯定学生的回答，必要时给予补充.
师 出示投影胶片1：例题1.

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【例1】 设{a
n
}是公 比为q的等比数列，S
n
是它的前n项和.若{S
n
}是等差数列，求q的值 .
［合作探究］
师 这是一个关于等差数列与等比数列的基本概念和基本性质的基本题，起 点比较低，入手的路
子宽.你如何想？
生 独立思考，列式、求解.
师 组织学生交流不同的解题思路，概括出典型的解题方法的过程.
参考答案如下：(投影胶片2) 解法一：利用定义，∵{S
n
}是等差数列，∴a
n
=S
n-S
n-1
=…=S
2
-S
1
=a
2
.
∴a
1
·q
n
-1
=a
1
·q.∵a
1
≠0,∴q
n
-2
=1.∴q=1.
解法二：利用性质，∵{S
n
}是等差数列，∴a
n
=S
n
-S
n-1
=S
n-1
-S
n-2
=a
n-1
,a
1
·q
n
-1
=a
1
·q
n
-2
.∵a
1
≠0,q≠0,
∴q=1.
解法三：利用性质，∵2S< br>2
=S
1
+S
3
，∴2(a
1
+a
2
)=a
1
+a
1
+a
2
+a
3
,
即a
2
＝a
3
.∴q=1.
师 点评：还可以用求和公式、反证法等.
师 出示投影胶片3：例题2.
【例2】 设数列{ a
n
}的前n项和为S
n
＝n
2
＋2n＋4(n∈N).
(1)写出这个数列的前三项；
(2)证明数列除去首项后所成的数列a
2
，a
3
，…，a
n
，…是等差数列.
［合作探究］
师 第1个问题很容易思考，请同学们独立完成.
生 迅速作答.
解：（1）a
1=S
1
=7,a
2
=S
2
-S
1
=2
2
+2×2+4-7=5,
a
3
=S
3
-S2
=3
2
+2×3+4-(7+5)=7,即a
1
=7,a2
=5,a
3
=7.
师 第2个问题是要证明一个数列是等差数列，这 里的关键是要注意条件中的“除去首项后”，你能
把握好这个条件的运用吗？
生 自主探究，组织数学语言，准确表达推理过程.
参考答案：(投影胶片4)
（2）∵
?
?
S
1
,n?1
n＞1，
?
S
n
?S
n?1
,
∴当n＞1时，a
n
＝ S
n
-S
n-1
＝n
2
＋2n＋4- [(n-1)
2
＋2(n-1)＋4]＝2n＋1.

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a
n
＋
1
-a
n
＝2(定值),
即数列{a
n
}除去首项后所成的数列是等差数列.
师 点评：a
n
＝S
1
,n=1,
S
n
-S
n-1
,n＞1 是一个重要的关系式，要充分发挥它的作用.
还有其他不同的证法，请同学们多交流.
师 出示投影胶片5：例题3.
【例3】 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并 且第一个数与第四
个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数.
［合作探究］
师 三个数成等差数列，在设法上应根据条件的特殊性考虑特殊的设法，同样， 三个数成等比数
列，也要注意兼顾前三个数已经设出来的形式.
生 积极思考，列式探究，踊跃发言.
师 观察学生的思考情况，指点学生寻找合理的思路.
归纳、概括、总结学生的解题结果，给出如下两种典型解法.
投影胶片6
(a?d)
2
解法一：设四个数依次为a-d，a，a＋d，，
a
(a?d)
2
依题意有 (a-d)＋＝16,①a＋(a＋d)＝12,②由②式得 d＝12-2a.③
a
将③式 代入①式整理得a
2
-13a＋36＝0.解得a
1
＝4，a
2＝9.
代入③式得d
1
＝4，d
2
＝-6.从而所求四个数为 0，4，8，16或15，9，3，1.
投影胶片7
解法二：设四个数依次为x，y，12 -y，16-x，依题意有
?
?
x?(12?y)?2y,①
?
y( 16?x)?(12?y)②
2

由①式得x＝3y-12.③将③式代入②式得y( 16-3y＋12)＝(12-y)
2
.
解得y
1
＝4，y
2
＝9,代入③式得x
1
＝0，x
2
＝15.
从而得所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.
整理得y
2
-13y＋36＝0,
师 点评：本题若采用其他设求知量的方 法列方程，解题过程会是怎么样的呢？请同学们课外探
究一下，并在本题上述设求知量的方法的基础上， 思考四个数成等差数列的常见设法，以及四个
数成等比数列的常见设法.

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师 出示投影胶片8：例4.
【例4】 设等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，已知a
3
＝12，S
12
＞0，S
13
＜0，
（1）求公差d的 取值范围；（2）指出S
1
，S
2
，…S
12
中哪一个值最 大，并说明理由.
［合作探究］
分析：本题的条件形式上比较特殊，属于同学们不太熟悉的面孔，思考应该从最熟悉的角度入手.
师 引导：第1个问题，目标是关于d的范围的问题，故应当考虑到合理的选用等差数列的前n
项和的哪一个公式.其次，条件a
3
＝12可以得出a
1
与d的关系，列式中 可以用来代换掉另一个量，
起到减少求知量的作用.
生 在教师的引导下，列出式子，将问题化归为一个关于d的不等式.
参考答案：投影胶片9
解 ：（1）依题意有S
12
＝12a
1
＋
11
×12×11d ＞0,S
13
＝13a
1
＋×13×12d＜0,
22
24
＜d＜-3为所求.
7
即2a
1
＋1 1d＞0,①a
1
＋6d＜0.②由a
3
＝12，得a
1
＝ 12-2d,③
将③式分别代入①②式得24＋7d＞0且3＋d＜0，∴
?
师 对第2个问题的思考，可以有较多的角度，请同学们合作探究，交流你们的想法，寻找更好
的思路.
生 积极活动，在交流中受到启发，得到自己的成功的解法.
师 收集、整理出学生的不同思路，公布优秀的思考方法和解题过程，归纳出如下几种解法：
投影胶片10
（2）解法一：由(1)知d＜0，∴a
1
＞a
2
＞a
3
＞……＞a
12
＞a
13
，因此，若在1≤n≤12中存在自然数
n，使得a
n
＞0，a
n
＋
1
＜0，则S
n
就是S
1
，S
2
，…，S
12
中的最大值，
由于S
12< br>=12a
1
+
11
×12×11d=6(2a
1
+1 1d)＝6(a
6
＋a
7
)＞0，S
13
=13a
1
+×13×12d=13(a
1
+6d)＝13a
7
＜
22
0,∴a
6
＞0，a
7
＜0，故在S
1
，S< br> 2
，…，S
12
中，S
6
最大.
投影胶片11
2424
d(5?)
2
d
11
d
)
2?
d
. 解法二：S
n
＝na
1
＋n(n-1)d＝n(12-2d)＋ (n
2
-n)d＝
(n?
22
222
2424
5?5?
d
)
2
最小时，S
n
最大，而当
?
24
＜d＜-3时，有6＜
d
＜6.5，且n∵d＜0，∴
(n?
7
2 2
5?

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5?
∈N，∴当n＝6时，(n-
投影胶片12
24
d
)
2
最小，即S
6
最大.
2解法三：由d＜0，可知a
1
＞a
2
＞a
3
＞…＞a< br>12
＞a
13
，因此，若在1≤n≤12中存在自然数n，使得
an
＞0，a
n
＋
1
＜0，则S
n
就是S
1
，S
2
，…，S
12
中的最大值，
由S
12
＞0，S
13
＜0，有12a
1
＋
1d1
×12×11d＞0a
1
＋5d＞-＞0;13a1
＋×13×12d＜0a
1
＋6d＜0.
222
∴a
6
＞0，a
7
＜0，故在S
1
，S
2
，…，S< br>12
中，S
6
最大.
投影胶片13
解法四：同解法二得S
n
＝
d
(n-
2
5?
2424
5?d
)
2
-
d
.
22
∵d＜0，故S
n
的图象是开口向下的一条抛物线上的一些点，注意到S
0
＝0，且S
12< br>＞0，S
13
＜0，
知该抛物线与横轴的一个交点是原点，一个在区间(12， 13)内，于是抛物线的顶点在(6，6.5)内，
而n∈N，知n＝6时，有S
6
是S
1
，S
2
，…，S
12
中的最大值.
（三）、课堂小结：本节学习了如下内容：1.第二章“数列”一章知识和 方法的概括性回顾与思考.2.
运用中典型例题的探究。
（四）、布置作业1.课本复习参考题一 A组13、14 B组5
五、教学反思：

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第十四课时 第一章 数列小结与复习（二）
一、教学目标：1、知识与技能：⑴ 熟练地运用等差、等比数列的概念、通项公式、前n项和公
式以及有关性质，分析和解决等差、等比数列 的综合问题；⑵提高运算速度和运算能力。2、过
程与方法：⑴精选例题，通过对例题的分析与探究，优 化解题步骤；⑵在优化解题步骤的过程中
提高运算速度与运算能力。3、情感态度与价值观：⑴在理解题 意、探索思路的过程中学会思考，
培养敢于思考、善于思考的思维品质；⑵在解决问题的过程中，学会快 速地运算、严密地推理、
精确地表达，增强速度意识、效率意识。
二、教学重点 熟练运用知识，探索解题思路，优化解题步骤.
教学难点 解题思路和解题方法的优化.
三、教学方法：探究归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、导入新课
师 这节课我们要运用等差、等比数列的概念、性质及有关公式，解决一些等差、等比数列的综
合问题.首先 我们再来明确一下有哪些问题.
生 (1)对数列概念理解的题目；(2)等差数列和等比数列中五个 基本量a
1
,a
n
,d(q),n,S
n
“知三求二”的< br>问题；(3)数列知识在生产实际和社会生活中的应用.
师 是的，这是我们前一节课中已经归 纳出来的应用本章知识要解决的问题.我们前一节课上已经
探讨了几个典型例题，本节课我们进一步探讨 .
（二）、推进新课
师 出示投影胶片1：例题1
【例1】 已知公差不为零的等差数列｛a
n
｝和等比数列｛b
n
｝中，a
1
=b
1
=1，a
2
=b
2
，a
8< br>=b
3
，
试问：是否存在常数a，b，使得对于一切自然数n，都有a
n
=log
a
b
n
＋b成立？若存在，求出a，
b的值；若不存在，请说明理由.
［合作探究］
师 这道题涉及到两个数列｛a
n
｝和｛b
n
｝之间的关系，而已知中的三个等式架起了两个数列间的
桥梁，要想研究a
n
，b< br> n
的性质，应该先抓住数列中的什么量？
生 由于｛a
n
｝是等差数列，{b
n
}是等比数列，所以应该先抓住基本量a
1
、d和q.
由已知a
1
=b
1
=1，a
2
=b
2
,a
8
=b
3
，可以列出方程组
?
?
1?d?q
?1?7d?q
2
.解出d和q，则a
n
,b
n
就确定了 .
师 如果a
n
和b
n
确定了，那么a
n
=lo g
a
b
n
＋b就可以转化成含有a，b，n的方程，如何判断a，b是

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否存在呢？
生 如果通过含有n，a，b 的方程解出a和b，那么就可以说明a，b存在；如果解不出a和b，
那么解不出的原因也就是a和b不 存在的理由.
师 分析得很好.让我们一起来实施刚才分析的思路，看看结论到底是什么？
解：设等差数列｛a
n
｝的公差为d(d≠0)，等比数列｛b
n
｝的公比为q，则
?
1?d?q,
解得d=5，q=6.所以a
n
=5n-4.
?
2
?
1?7d?q.
而b
n
=6
n< br>-1
，若存在常数a，b，使得对一切自然数n，都有a
n
=log
a
b
n
＋b成立，即5n-4=log
a
6
n
-1
＋b,即5n-4=(n-1)log
a
6＋b,
即(log
a
6-5)n＋(b-log
a
6＋4)=0.对任意n∈N
*
都成立.只需
?
log
a
6?5?0
成立.
?
?
b?log
a
6?4?0
解得a=6
1
,b=1.所以存在常数a，b，使得对于一切自然数n，都有a
n
=log
ab
n
＋b成立.
6

师 本题的关键是抓住基本量：首项a< br>1
和公差d、公比q，因为这样就可以求出a
n
和b
n
的表达 式.a
n
和b
n
确定了，其他的问题就可以迎刃而解.可见：抓住基本量，是 解决等差数列和等比数列综合
问题的关键.
师 出示投影胶片2：例题2：
【例2】 某工厂三年的生产计划规定：从第二年起，每一年比上一年增长的产值相同，三年
的 总产值为300万元，如果第一年、第二年、第三年分别比原计划产值多10万元、10万元、11
万元 ，那么每一年比上一年的产值增长的百分率相同，求原计划中每一年的产值.
［合作探究］
师 对应用问题，同学们要认真分析，把实际问题转化成数学问题，用学过的数学知识求解.
请学生读题，并逐句分析已知条件.
生甲 由每一年比上一年增长的产值相同可以看出，原计 划三年的产值成等差数列，由三年的总
产值为300万元，可知此等差数列中S
3
= 300，即如果设原计划三年的产值分别为x-d，x，x＋d,
则x-d＋x＋x＋d=300.
生乙 由产值增长的百分率相同可以知道，实际三年的产值成等比数列，可以设为x-d＋10， x＋
10，x＋d＋11，则(x＋10)
2
=(x-d＋10)(x＋d＋11).
师 甲、乙两位同学所列方程联立起来，即可解出x，d.

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板 书：
解：设原计划三年的产值为x-d，x，x＋d，则实际三年产值为x- d＋10，x＋10，x＋d＋11.
?
x?d?x?x?d?300,

?
2
?
(x?d?10)(x?d?11)?(x?10).
解得x=100 ，d=10，x-d=90,x+d=110.
答：原计划三年的产值分别为90万元、100万元、110万元.
师 等差数列和等比数列 的知识，在实际生产和生活中有着广泛的应用，在解决这类应用问题时，
关键是把实际问题转化成数列问 题，分清是等差数列问题，还是等比数列问题，分清a
n
和S
n
，
抓住基本量a
1
，d(q)，再调用有关的概念和公式求解.
师 出示投影胶片3：例题3：
【例3】 已知数列{a
n
}是公差不为零的等差数列，数列{a
kn
}是公比为q的等比数列，且k
1
=1，
k
2
=5，k
3
=17，求k
1
＋k
2
＋k
3
＋…＋k
n
的值.
［合作探究］
师 题目中数列{a
k

n
}与{a
n
}有什么关系？
生 数列{a
k

n
}的项是从数列{a
n
}中抽出的部分项.
师 由已知条件k< br>1
=1，k
2
=5，k
3
=17可以知道等差数列{a
n
}中的哪些项成等比数列？
生 a
1
，a
5
，a
17
成等比数列.
师 要求的k
1
＋k
2
＋k
3
＋…＋k
n
的值，实质上 求的是什么？
生 实质上就是求数列{k
n
}的前n项和.
师 要求｛k
n
｝的前n项和，就要确定数列{k
n
}的通项公式.应该从哪儿入手？
生 应该从求等比数列{a
k

n
}的公比入手.其公式为
a
5
.
a
1
师 a
5
，a
1
要由等差数列｛a
n
｝的通项公式来确定，问题就转化成求等差数列中的公差d和a
1
了.
生 如果设等差数列{a
n
}的公差为d，那么a
5
=a
1
＋4 d，a
17
=a
1
＋16d，由于a
1
，a
5，a
17
成等比数列，
则有(a
1
＋4d)
2
=a
1
(a
1
＋16d)，从而a
n
应该可以求出了.
师 请同学们把刚才的分析整理出来.
(投影胶片4)
解：设数列｛a
n
｝的公差为d，d≠0，则a
5
=a
1
＋4d，a
17
=a
1
＋16d.因为a
1
，a
5
，a
17
成等比数
列，则 (a
1
＋4d)
2
=a
1
(a
1
＋16d)，即2d
2
=a
1
d.又d≠0，则a
1
=2d.

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所以a
n
=a
1
＋(n-1)d=2d＋(n-1)d=(n＋1)d.因为数列{a
k

n
}的公比为q，则
q?
a
5
(5?1)d
??3
,
a
1
(1?1)d
所以a
k

n
=a
k1
·3
n
-1
=a
1
·3
n
-1
=2d·3
n-1
.又a
k

n
=(k
n
+1)d,则2d·3
n
-1
＝(k
n
+1)d.由d≠0，知k
n
=2·3
n
-1
-1(n
∈N
*
).因此，k
1
＋k
2
＋k
3
＋…＋k
n
=2·3
0
-1 ＋2·3
1
-1＋2·3
2
-1＋…＋2·3
n
-1
-1
n
3
=2(3
0
＋3
1
＋3
2< br>＋…＋3
n
-1
)-n=2·-n=3
n
-n-1.
3?1
师 此题的已知条件中，抽象符号比较多，但是，只要仔细审题，弄清楚符号的含意，看 透题目
的本质，抓住基本量，不管多复杂的问题，都是能够解决的.
师 出示投影胶片5：例题4.
【例4】 已知数列{b
n
}是等差数列，b
1
＝1，b
1
＋b
2
＋…＋b
10
＝145.
(1)求数列{bn}的通项b
n
；(2)设数列{a
n
}的通项 a
n
＝log
a
(1＋
1
)(其中a＞0且a≠1)，记S
n
是数
b
n
列{a
n
}的前n项和，试比较S
n
与
［合作探究］
log
a
b
n?1
的大小，并证明你的结论.
3
师 数列{b
n
}的通项容易求得，但是它是攀上这个题目的顶端的第一个台阶，必须走好这一步.
请同学们快速准确地求出b
n
.
生 快速求解.
(1)解：设数列{b
n
}的公差是d，由题意得b
1
＝1,10b
1
＋
解得b
1
＝1,d＝3.∴b
n
＝3n-2.
1
×10×(10-1)d＝145,
2
师 在下一个问题中，数列{a< br>n
}与数列{b
n
}具有什么关系呢？数列{a
n
}具有什么 特征？
生 数列{a
n
}是由数列{b
n
}生成的一个新的数列？
由a
n
＝log
a
(1＋
1
1
)＝log
a
(1+)，可知数列{a
n
}不是特殊数列.
b
n
3n?2
师 题中比较S
n
与
log
a
b
n?1
的大小，你现在能作出预料吗？
3
生 不能，S
n
是什么样子还不清楚.需要得出S
n
，才能进一步思考.
师 那就请同学们先把S
n
求出来.
生 写出S
n
＝lo g
a
(1＋1)＋log
a
(1＋
＝log
a
[(1＋1)(1＋
11
)＋…＋log
a
(1＋)
43n?2
11
)…(1＋
)].
43n?2

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发现式中的那个积不太好处理.
师 能不能现在就和
生 因为
log
a
b
n?1
联系起来思考一下？要比较两式大小实质是什么？
3
log
a
b
n?1
=log
a
3
3n?1
，所以实质上就是在同底数的前提下，比较真数的大小.
3
师 分析的很好.那么真数的大小如何比较出来？
生 陷入沉思，深入思考后，提出自己的想法.
师 这个大小的比较有一定的难度，下面我们从不同的途径来解决这个问题.
(投影胶片6)
(2)解:由b
n
＝3n-2，知
11
)＋…＋log
a
(1＋)
43n?2
11
＝log
a
[(1＋1)(1＋
)…(1＋
)],
43n?2
log
a
b
n?1
=log
a
3
3n?1
,
3
log
a
b
n?1
11
因此要比较S
n
与的大小， 可先比较(1＋1)(1＋
)…(1＋
)与
3
3n?1
的大小. < br>343n?2
S
n
＝log
a
(1＋1)＋log
a
(1＋
取n＝1，有(1＋1)＞
3
3?1?1
,
取n＝2 ，有(1＋1)(1+
……
由此推测(1＋1)(1＋

1
)＞
3
3?2?1
,
4
11
)…(1＋
)＞
3
3n?1
1.(*)
43n?2
若(*)式成立，则由对数函数性质可断定：
log
a
b
n?1
,
3
log
a
b
n?1
当0＜a＜1时，S
n
＜.
3
当a＞1时，S
n
＞
(对于(*)式的证明，提供以下两种证明方法供参考)
下面对(*)式加以证明：
证法一：记A
n
＝(1＋1)(1＋
D
n
＝
3
3n?1
,
再设
B
n
?
1111583n?1
)…(1＋
)(1+)=××
×…×
,
3n?1
24743n?23n?2

3693n47103n?1
, < br>???...?,C
n
????...?
2583n?13693n