人教版高中数学《数列》全部教案

第三章 数列
第一教时
教材：数列、数列的通项公式 目的：要求学生理解数列的概念及其几何表示，理解什么叫数列的通项公式，给
出一些数列能够写出 其通项公式，已知通项公式能够求数列的项。
过程：
一、从实例引入（P110）
1．堆放的钢管 4,5,6,7,8,9,10
1111
2．正整数的倒数
1,,,,?

2345
3．
2精确到1，0.1，0.001?的不足近似值1，1.4，1.41，1.414，?

4．?1的正整数次幂：?1,1,?1,1,?
5．无穷多个数排成一列数：1,1,1,1,?
二、提出课题：数列
1．数列的定义：按一定次序排列的一列数（数列的有序性）
2．名称：项，序号，一般公式
a
1
,a
2
,
?
,a
n
，表示法
?
a
n
?

3．通项公式：
a
n
与
n
之间的函数关系式
如 数列1：
a
n
?n?3
数列2：
a
n
?
1
数列4：
n
a
n
?(?1)
n
,n?N*

4．分类：递增数列、递减数列；常数列；摆动数列；
有穷数列、无穷数列。
5．实质：从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集
N*（或它的有限子集{1，2，?，n}）的函数，当自变量从
小到大依
次取值时对应的一列函数值，通项公式即相应的函数解析式。
6．用图象表示：— 是一群孤立的点
例一 （P111 例一 略）
三、关于数列的通项公式
1．不是每一个数列都能写出其通项公式 （如数列3）
2．数列的通项公式不唯一 如 数列4可写成
a
n
?(?1)
n
和

n?2k?1,k?N*
?
?1

a
n
?
?

n?2k,k?N*
?
1
3．已知通项公式可写出数列的任一项，因此通项公式十分重要
例二 （P111 例二）略
四、补充例题：写出下面数列的一个通项公式，使它的前
n
项分别
是下列
各数：
1?(?1)
n?1
,n?N*
1．1，0，1，0
a
n
?
2
2．
?
23456
n?1
，，
?
，，
?

a
n
?(?1)
n
?

2435
3
8
15
(n?1)
2
?1
7
?(10
n
?1)

9
3．7，77，777，7777
a
n
?
4．?1，7，?13，19，?25，31
a
n
?(?1)
n
(6n?5)

35917
2
n
?1
5．，，，
a
n
?
2
n?1

2416
256
2
五、小结：
1．数列的有关概念
2．观察法求数列的通项公式
六、作业： 练习 P112 习题 3．1（P114）1、2
《课课练》中例题推荐2 练习 7、8
第二教时
教材：数列的递推关系
目 的：要求学生进一步熟悉数列及其通项公式的概念；了解数列递推公式的意义，
会根据给出的递推公式写 出数列的前n项。
过程：
一、复习：数列的定义，数列的通项公式的意义（从函数观点出发去刻划）
(n?2)
?
S
n
?S
n?1
二、例一：若记数列
?
an
?
的前n项之和为S
n
试证明：
a
n
??

(n?1)
?
S
1
证：显然
n?1
时 ，
a
1
?S
1

当
n?1
即
n?2
时
S
n
?a
1
?a
2
???a
n

S
n?1
?a
1
?a
2
???a
n?1


∴
S
n
?S
n?1
?a
n
∴
a
n
?
?
?
S
n
?S
n?1< br>(n?2)

S
(n?1)
?
1
注意：1? 此法可作为常用公式
2? 当
a
1
(?S
1
)
时 满足
S
n
?S
n?1
时，则
a
n
?S
n
?S
n?1

例二：已知数列
?
a
n
?
的前
n
项和为①
S
n
?2n
2
?n
②
S
n
?n
2
?n?1

求数列
?
a
n
?
的通项公式。
解：1．当
n?1
时，
a
1
?S
1
?1

当
n?2
时，
a
n
?2 n
2
?n?2(n?1)
2
?(n?1)?4n?3

经检验
n?1
时
a
1
?1
也适合
a
n
?4n?3

2．当
n?1
时，
a
1
?S
1
?3

当
n?2
时，
a
n
?n
2
?n?1?(n?1)
2
?(n?1)?1?2n

(n?1)
?
3
∴
a
n
?
?

(n?2)
2n
?
三、递推公式 （见课本P112-113 略）
以上一教时钢管的例子
a
n
?n?3

(n?1)
a
1
?4
从另一个角度，可以：
?


a
n
?a
n?1
?1
(n?2)
“递推公式”定义：已知数列
?
a
n
?
的第一项，且任一项
a
n
与它的前
一项
a
n?1
（或前n
项）间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫
做这个数列的递推公式。
例三 （P113 例三）略
例四 已知
a
1
?2
，
a
n?1
?a
n
?4
求
a
n
．
解一：可以写出：
a
1
?2
，
a
2
??2
，
a
3??6
，
a
4
??10
，??
观察可得：
a
n
?2?(n?1)(n?4)?2?4(n?1)

解二：由题设：
a
n?1
?a
n
??4

a
n
?a
n?1
??4
∴
a
n?1
?a
n?2
??4

an?2
?a
n?3
??4
??
a
2
?a
1
??4

?)

a
n
?a
1
??4(n?1)

∴
a
n
?2?4(n?1)

例五 已知
a
1
?2
，
a
n?1
?2a
n
求
a
n
．
解一：
a
1
?2

a
2
?2?2?2
2

a
3
?2?2
2
?2
3

观察可得：
a
n
?2
n

解二：由
a
n?1
?2a
n
∴
a
n
?2a
n?1
即
a
n
?2

a
n?1
∴
a
n
a
n?1
a
n?2
a
?????
?
2
?2
n?1

a
n?1
a
n?2
a
n?3
a
1
∴
a
n
?a
1
?2
n?1
?2
n

四、小结： 由数列和求通项
递推公式 （简单阶差、阶商法）
五、作业：P114 习题3．1 3、4
《课课练》 P116-118 课时2中 例题推荐 1、2
课时练习 6、7、8
第三教时
教材：等差数列（一）
目的：要求学生掌握等差 数列的意义，通项公式及等差中项的有关概念、计算公
式，并能用来解决有关问题。
过程：
一、引导观察数列：4，5，6，7，8，9，10，??


3，0，?3，?6，??

1234
，，，，??
2101010

a
n
?12?3(n?1)
12，9，6，3，??
特点：从第二项起，每一项与它的前一项的差是常数 — “等差”
二、得出等差数列的定义： （见P115）
注意：从第二项起，后一项减去前一项的差等于同一个常数。
．．．．．．．．．．
1．名称：AP 首项
(a
1
)
公差
(d)

2．若
d?0
则该数列为常数列
3．寻求等差数列的通项公式：
a
2
?a
1
?d

a
3
?a
2
?d?(a
1
?d)?d?a
1
?2d

a
4
?a
3
?d?(a
1
?2 d)?d?a
1
?3d
????
由此归纳为
a
n
?a
1
?(n?1)d
当
n?1
时
a
1
?a
1
（成立）
注意: 1? 等差数列的通项公式是关于
n
的一次函数
2? 如果通项公式是关于
n
的一次函数，则该数列成AP
证 明：若
a
n
?An?B?A(n?1)?A?B?(A?B)?(n?1)A

它是以
A?B
为首项，
A
为公差的AP。
3? 公式中若
d?0
则数列递增，
d?0
则数列递减
4? 图象： 一条直线上的一群孤立点
三、例题： 注意在
a
n
?a1
?(n?1)d
中
n
，
a
n
，
a< br>1
，
d
四数中已知三个可以求
出另一个。
例一 （P115例一）
例二 （P116例二） 注意：该题用方程组求参数
例三 （P116例三） 此题可以看成应用题
a?b
四、关于等差中项： 如果
a,A,b
成AP 则
A?

2
证明：设公差为
d
，则
A?a?d

b?a?2d

a?ba?a?2d
??a?d?A
∴
22
例四 《教学与测试》P77 例一：在?1与7之间顺次插入三个数
a,b,c
使
这五个数成AP，求此数列。
解一：∵
?1,a,b,c,7成AP
∴
b
是-1与7 的等差中项

∴
b?
a?
?1?3
?1

2
?1?7
?3

a
又是-1与3的等差中项 ∴
2

c
又是1与7的等差中项 ∴
c?
3?7
?5

2
解二：设
a
1
??1

a
5
?7
∴
7??1?(5?1)d

?d?2

∴所求的数列为-1，1，3，5，7
五、小结：等差数列的定义、通项公式、等差中项
六、作业： P118 习题3．2 1-9
第四教时
教材：等差数列（二）
目的：通过例题的讲解，要求学生进一步认清等差数列的有关性质意义 ，并且能
够用定义与通项公式来判断一个数列是否成等差数列。
过程：
一、复习：等差数列的定义，通项公式
二、例一 在等差数列
?a
n
?
中，
d
为公差，若
m,n,p,q?N
?
且
m?n?p?q

求证：1?
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
2?
a
p
?a
q
?(p?q)d

证明：1? 设首项为
a
1
，

则
a
m
?a
n
?a
1
?(m?1)d?a
1
?(n?1)d?2a
1
?(m?n?2)d
a
p
?a
q
?a
1
?(p?1)d?a
1
?(q?1)d?2a
1
?(p?q?2)d
∵
m?n?p?q
∴
a
m
?a
n
?a
p
?a
q

2? ∵
a
p
?a
1
?(p?1)d

a
q< br>?(p?q)d?a
1
?(q?1)d?(p?q)d?a
1
?(p? 1)d

∴
a
p
?a
q
?(p?q)d

注意：由此可以证明一个定理：设成AP，则与首末两项距
离相等的两项和等于首末两项的和 ，即：< br>a
1
?
a
n
?
a
2
?
a< br>n?1
?
a
3
?
a
n?2
???

同样：若
m?n?2p
则
a
m
?a
n
?2a
p

例二 在等差数列
?
a
n
?
中，
1? 若
a
5
?a

a
10
?b
求
a
15

解：
2a
10
?a
5
?a
15
即
2b?a?a
15
∴
a
15
?2b?a

2? 若
a
3
?a
8
?m
求
a
5
?a
6

解：
a
5
?a
6
=
a
3
?a
8
?m

3? 若
a
5
?6

a
8
?15
求
a
14

解：
a
8
?a
5
?(8?5)d
即
15?6?3d
∴
d?3

从而
a
14
?a
5
?(14?5)d?6?9?3?33

4? 若
a
1
?a
2
???a
5
?30

a
6
?a
7
???a
10
?80
求
a
11
?a
12
???a
15

解：∵ 6+6=11+1 7+7=12+2 ??
∴
2a
6
?a
1
?a
11

2a
7
?a
2
?a
12
??
从而
(a
11
?a
12
???a
15
)
+
(a
1
?a
2
???a
5
)?
2
(a
6
?a
7
???a
10
)

∴
a
11
?a
12
???a
15
=2
(a
6
?a
7
???a
10
)
?
(a
1
?a
2
???a
5
)

=2×80?30=130
三、判断一个数列是否成等差数列的常用方法
1．定义法：即证明
a
n
?a
n?1
?d(常数)

例三 《课课练》第3课 例三
已知数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
?3n
2
?2n
，求证数列
?
a
n
?< br>成等差数列，并求其首项、公差、通项公式。
解：
a
1
?S
1
?3?2?1

当
n?2
时
a
n
?S
n
?S
n?1
?3n
2
?2n?[3(n?1)
2
?2(n?1)]?6n?5< br>

n?1
时 亦满足 ∴
a
n
?6n?5


首项
a
1
?1

a
n
?a
n?1
?6n?5?[6(n?1)?5]?6(常数)

∴
?
a
n
?
成AP且公差为6
2．中项法： 即利用中项公式，若
2b?a?c
则
a,b,c
成AP。
例四 《课课练》第4 课 例一
111b?cc?aa?b
已知，，成AP，求证 ，，也成
abcbc
a
AP。
111211
证明： ∵，，成AP ∴
??
化简得：
abcbac
2ac?b(a?c)


b?ca?bbc?c
2?a
2
?abb(a?c)?a
2
?c
2
2ac?a< br>2
?c
2
????

acacacac

(a?c)
2
(a?c)
2
a?c
??2?
=
b(a?c)
acb
2
b?cc?aa?b
，，也成AP
bc
a
3．通项公式法：利用等差数列得通项公式是关于
n
的一次函数这一
∴
性质。
例五 设数列
?
a
n
?
其前
n
项和
S
n
?n
2
?2n?3< br>，问这个数列成AP
吗？
解：
n?1
时
a
1
?S
1
?2

n?2
时
a
n
?S
n
?S
n?1
?2n?3

∵
a
1
不满足a
n
?2n?3
∴
n?1
n?2

?
2

a
n
?
?
2n?3
?

∴ 数列
?
a
n
?
不成AP 但从第2项起成AP。
四、小结： 略
五、作业： 《教学与测试》 第37课 练习题
《课课练》 第3、4课中选
第五教时
教材：等差数列前
n
项和（一）
目的：要求学生掌握等差数列的求和公式，并且能够较熟练地运用解决问题。
过程：
一、引言：P119 著名的数学家 高斯（德国 1777-1855）十岁时计算

1+2+3+?+100的故事
故事结束：归结为 1．这是求等差数列1，2，3，?，100前100项和
100?(1?100)
2．高斯的解法是：前100项和
S
100
?

2
即
S
n
?
二、提出课题：等差数列的前
n
项和
1．证明公式1：
S
n
?
n(a
1
?a
n
)

2
n(a
1
?a
n
)

2
证明：
S
n
?a
1
?a
2
?a
3
?
?
?a
n?1
?a
n
①

S
n
?a
n
?a
n?1
?a
n?2
?
?
?a
2
?a
1
②
①+②：
2S
n
?(a
1
?a
n
)?(a
2
?a
n?1
)?(a
3
?a
n?2
)?
?
?(an
?a
n
)

∵a
1
?a
n
?a
2
?a
n?1
?a< br>3
?a
n?2
???

∴
2S
n
?n(a
1
?a
n
)
由此得 ：
S
n
?
n(a
1
?a
n
)

2
从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性。
2．推导公式2
用上述公式要求
S
n
必须具备三个条 件：
n,a
1
,a
n

但
a
n
?a
1
?(n?1)d
代入公式1即得：
S
n
?na
1
?
n(n?1)d

2
此公式要求
S
n
必须具备三个条件：
n,a
1
,d
（有时比较有用）

总之：两个公式都表明要求< br>S
n
必须已知
n,a
1
,d,a
n
中三个
3．例一 （P120 例一）：用公式1求
S
n

例二 （P120 例一）：用公式2求
n

学生练习：P122练习 1、2、3
三、例三 （P121 例三）求集合
M?
?
m|m?7n,n?N*且m?100
?
的元素个
数，并求这些元素的和。
1002
?14
解：由
7n?100
得
n?
77
∴正整数
n
共有14个即
M
中共有14个元素
即：7，14，21，?，98 是
a
1
?7为首项a
14
?98的AP

14?(7?98)
?735
答：略
2
例四 已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，
∴
S
n
?
由此可以确定求其前
n
项和的公式吗？
解：由题设：
S
10
?310

S
20
?1220

?
10a
1
?45d?310
?
a?4
得：
?

?
?
1

20a?190d?1220
1
?
?
d?6
n(n?1)
?6?3n
2
?n

2
四、小结：等差数列求和公式
∴
S
n
?4n?
五、作业 （习题3．1） P122-123
第六教时
教材：等差数列前
n
项和（二）
目的：使学生会运用等 差数列前
n
项和的公式解决有关问题，从而提高学生分析
问题、解决问题的能力。
过程：
一、复习：等差数列前
n
项和的公式
二、例一 在等差数列
?
a
n
?
中 1? 已知
S
8
?48

S
12
?168
求
a
1
和
d
；
?
8a?28d?48
解：
?
1

?a
1
??8

d?4

?
12a
1
?66d?168
2? 已知
a
3
?a
5
?40
，求
S
17
．

解
S
17
?
：∵
a
1
?a
17
?a
3
?a
15
?40
∴
17(a
1
?a
17
)
17?40
??340

22
例二 已知
?
a
n
?
，
?
b
n
?
都成AP，且
a
1
?5
，
b
1
?15
，
a
100
?b
100
?100
试
求数
列
?
a
n
?b
n
?
的前100项之和
S
100
．
解：
S
100
?
100?(a
1
?a
1
?a< br>100
?b
100
)
100?(5?15?100)
??60 0

0

22
例三 一个等差数列的前12项之和为354，前12项中偶数项与奇数项之比
为32：27，求公差。 12?11
?
12a?d?354
1
?
2
?
6 ?5
?2d
解一：设首项为
a
1
，公差为
d
则
?

?d?5

?
6(a
1
?d)?
32
2< br>?
?
17
?
6a?
6?5
?2d
1
?
2
?
?
S
奇
?S
偶
?354
?
S
偶
?192
?
S
32
解二：
?
偶

?
?
由
S
偶
?S
奇
?6d

?
S?162?
奇
?
S
?
奇
27
?d?5

例四 已知：
a
n
?1024?lg2
1?n
（
lg2?0.3010
）
n?N*
问多少项
之和为最
大？前多少项之和的绝对值最小？
?
a
n
?1024?(1?n)lg2?0
解：1?
?

a?1024?nlg2?0
?
n?1

?
n?3402
10241024
?n??1?3401?n?3403
∴
lg2lg2
n(n?1)
(?lg2)?0

2
2?
S
n
?1024n?
当
S
n
?0或S
n
近于0时其和绝对值最小

令：
S
n
?0
即 1024+
得：
n?
n(n?1)
(?lg2)?0

2
2048
?1?6804.99

lg2
∵
n?N*
∴
n?6805

例五 项数是
2n
的等差数列，中央两项为
a
n
和a
n? 1
是方程
x
2
?px?q?0
的
两根，求证此数列的和是方程
lg
2
x?(lgn
2
?lgp2
)lgx?(lgn?lgp)
2
?0

的根。 （
S
2n
?0
）
解：依题意：
a
n
?a
n?1
?p

∵
S
2n
?
2n(a
1
?a
2n
)
?np

2
a
1
?a
2n
?a
n
?a
n?1
?p
∴
∵
lg
2
x?(lgn
2
?lgp
2
)lgx?( lgn?lgp)
2
?0

∴
(lgx?lgnp)
2
?0
∴
x?np?S
2n
（获
证）


例六 （机动，作了解）求和
111
??
?
?
1?
1?

1?21?2?31?2?3?
?
?n
解：
a
n
?
∴
11111
?
12n
?

S
n
?2
?
(1?)?(?)?
?
?(?)
?
?2(1?)?
22 3nn?1
?
n?1n?1
?
1211
??2(?)

1?2?3?
?
?nn(n?1)nn?1
2?
(100
2
?99
2
)?(98
2
?97
2
)???(4
2
?3
2
)?(2
2
?1
2
)

解

：原式

(199?3)
?50?101?50?5050

2
三、作业 《精编》P167-168 6、7、8、9、10
=
199?195???7?3?
第七教时
教材：等差数列的综合练习
目的：通过练习，要求学生对等差数列的定义，通项公式，求和公式及其性质有
深刻的理解。
过程：
一、复习：1．等差数列的定义，通项公式—关于
n
的一次函数
2．判断一个数列是否成等差数列的常用方法
3．求等差数列前
n
项和的公式
二、处理《教学与测试》P79 第38课 例题1、2、3
三、补充例题《教学与测试》备用题
1．成等差数列的四个数之和为26，第二数和第三数之积为40，求这四个数．
解：设四个数为
a?3d,a?d,a?d,a?3d

?
(a?3d)?(a?d)?(a?d)?(a?3d)?26
则：
?

(a?d)(a?d)?40
?
133
代入②得：
d??

22
∴ 四个数为2,5,8,11或11,8,5,2．
由①：
a?
2．在等差数列
?
a
n
?
中，若
a
1
?a
4
?a
8
?
12
?a
15
?2
求
S
15
．
解：∵
a
1
?a
15< br>?a
4
?a
12
∴
a
8
??2
而
S
15
?15a
8
??30

3．已知等差数列 的前
n
项和为
a
，前
2n
项和为
b
，求前
3n
项和．
解：由题设
S
n
?a

S
2n
?b

∴
a
n?1
? a
n?2
?
?
?a
2n
?b?a
而

(a
1
?a
2
?
?
?a
n
)?( a
2n?1
?a
2n|2
?
?
?a
3n
) ?2(a
n?1
?a
n?2
?
?
?a
2n
)

从而：

S
3n
? (a
1
?a
2
?
?
?a
n
)?(a
n?1
?a
n?2
?
?
?a
2n
)?(a
2n?1
?a
2n|2
?
?
?a
3n
)


?3(a
n?1
?a
n?2
?
?
?a
2n
)?3(b?a)

四、补充例题：（供参考，选用）

4．已知
a
1
?1
，
S
n
?n
2
a
n

(n?1)
求
a
n
及
S
n
．
解：
a
n
?S
n
?S
n?1
?n
2
a
n
?(n?1)
2
a
n?1
从而有
a
n
?
∵
a
5
?
n?1
a
n?1

n?1
a
1
?1
∴
a
2
?
1
3

a
3
?
21
?
43

a
4
?
321
??

543
4321
???

6543
∴
a
n
?
2n
(n?1)(n?2)?
?
?3?2?12< br> ∴
S
n
?n
2
a
n
?
< br>?
n?1
(n?1)n(n?1)?
?
?4?3n(n?1)
5．已知
S
n
?4?a
n
?
1
2
n?2< br>(n?N*)
求
a
1
,a
n?1
和a
n< br>的关系式及通项公式
a
n

解：
a
1< br>?S
1
?4?a
1
?
1
2
1?2
? a
1
?1

1
?
S?4?a?
n
n?2
?
n
2

?

1?
S
n?1
?4?a
n?1
?
(n?1)?2
2
?
1111

?
②?①：
a
n?1
??a
n?1
?a
n
?
n?1
?
n?2< br> 即：
a
n?1
?a
n
?
n

2
222
将上式两边同乘以
2
n
得： < br>2
n
a
n?1
?2
n?1
a
n
?1

即：
2
na
n?1
?2
n?1
a
n
?1

显然：
2
n?1
a
n
是以1为首项，1为公差的AP
∴
2
n?1
a
n
?1?(n?1)?1?n

∴
a
n
?
n
2
n?1
??

6．已知
a
1
?3且a
n
?S
n?1
?2
n
，求
a
n
及
S
n
．
解：∵
a
n
?S
n
?S
n?1
∴
S
n
?2S
n?1
?2
n
∴
S
n
2
n
S
n
S
n?1
?
n?1
?1

n
22
设
b
n
?
则
?
b
n
?
是公差为1的等差数列 ∴
b
n
?b
1
?n?1

S
n
S
1
a
1
31
??
∴
n
?n?
∴
S
n
?(2n?1)2
n?1

2222
2
又：∵
b
1
?

当
n?2
时
a
n
? S
n
?S
n?1
?(2n?3)2
n?2

(n?1)
?
3
n?1
∴
a
n
?
?

S?(2n?1)2
n
n?2
(n?2)
?
(2n?3)?2
n(n?1)(n?1)2
?a
n
?
7．设
a
n
?1?2?2?3 ?3?4?
?
?n(n?1)
求证：

22
12n?1
证：∵
n(n?1)?n
2
?n

n(n?1)?(n?)
2
?

22
2n?1

2
1?3?
?
?(2n?1)
∴
1?2?3?
?
?n?a
n
?

2
∴
n?n(n?1)?
n(n?1)(n?1)
2
?a
n
?
∴
22
五、作业：《教学与测试》第38课 练习题P80
第八教时
教材：等比数列（一）
目的：要求学生理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式并会根据它进行
有关计算。
过程：
一、1.印度国王奖赏国际象棋发明者的实例：得一个数列：
1,2,2
2
,2
3
,??,2
63
(1)
2.数列：
5,25,125,625,??
(2)
111

1,?,,?,??
(3)
248
观察、归纳其共同特点：1?“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q)
2? 隐含：任一项
a
n
?0且q?0

3? q= 1时，{a
n
}为常数
二、通项公式：

a
2
?a
1
q
?
a
3
?a
2
q?a
1
q
2
?
a
1
n
?
n?1
?a?aq或a??q
?
n1n
a
4
?a
3
q?a
1
q
3
?
q
??????
??
如数列：(1)：a
n
?1?2
n?1
?2
n?1< br>(2)：a
n
?5?5
n?1
?5
n

1 1
(3)：a
n
?1?(?)
n?1
?(?)
n?1
22
a
图象：a
n
?
1
?q
n
是经过指 数函数纵向伸缩后图象上的孤立点。
q
1
如：数列(1):a
n
?2
n?1
??2
n
(n?64,且n?N*)
2
三、例一：（ P127 例一）
实际是等比数列，求 a
5
∵a
1
=120, q=120 ∴a
5
=120×1 20
5?1
=120
5
?
2.5×10
10

例二、（P127 例二） 强调通项公式的应用
例三、求下列各等比数列的通项公式：
1．a
1
=?2, a
3
=?8
解：
a
3
?a
1
q?q
2
?4?q??2

?a
n
?(?2)2
n?1
??2
n
或a
n
?(?2 )(?2)
n?1
?(?2)
n

2．a
1
=5, 且2a
n+1
=?3a
n

解：
q?
a
n?1
3
??
a
n
2
a
n?1
n

?
a
n
n?1
3
又：a
1
?5?a
n
?5?(?)
n?1

2
3．a
1
=5, 且
解：
?
a
n?1
a
n1
??
2
? ,
a
n
n?1a
1
2
a
3
2
a< br>n?1

?,
??
,
n
?
a
23a
n?1
n
以上各式相乘得：
a
n
?
13
a
1
?

nn
四、关于等比中项：
如果在a、b中插入一个数G，使a、G、b成GP，则G是a、b的等比中项。
Gb
??G
2
?ab?G??ab
（注意两解且同号两项才有等比中项）
aG
例：2与8的等比中项为G，则G
2
=16 G=±4
例四、已知：b是a与c的等比中项，且a、b、c同号，

求证：
a?b?cab?bc?ca
3
,,abc
也成GP。
33
证：由题设：b
2
=ac 得：
a?b?c
3< br>a?b?c
3
3
ab?b
2
?bcab?bc?ca
2

?abc??b??()

3333
∴
a?b?cab?bc?ca
3
,,abc
也成GP
33
五、小结：等比数列定义、通项公式、中项定理
六、作业：P129 习题3．4 1—8

第九教时
教材：等比数列（二）
目的：在熟悉等比数列有关概念的基础上，要求学生进一步熟悉等比数列的有关
性质，
并系统了解判断一个数列是否成等比数列的方法。
过程：
一、复习：1、等比数列的定义，通项公式，中项。
2、处理课本P128练习，重点是第三题。
二、等比数列的有关性质：
1、与首末两项等距离的两项积等于首末两项的积。
与某一项距离相等的两项之积等于 这一项的平方。
2、若
m?n?p?q
，则
a
m
a
n
?a
p
a
q
。
例一：1、在等比数列
?
a
n
?
，已知
a
1
?5
，
a
9
a
10
?100
，求
a
18
。
解：∵
a
1
a
18
?a
9
a< br>10
，∴
a
18
?
a
9
a
10100
??20

a
1
5
2、在等比数列
?
b
n
?
中，
b
4
?3
，求该数 列前七项之积。
解：
b
1
b
2
b
3< br>b
4
b
5
b
6
b
7
?
?< br>b
1
b
7
??
b
2
b
6
? ?
b
3
b
5
?
b
4

∵
b
4
?b
1
b
7
?b
2
b6
?b
3
b
5
，∴前七项之积
3
2
? 3?3
7
?2187

3、在等比数列
?
a< br>n
?
中，
a
2
??2
，
a
5
?54
，求
a
8
，
解：
a
8
?a
5
q
3
?a
5
?
2
??
3
a
5
54
?54???1458

a
2
?2
另解：∵
a
5
是
a
2
与
a
8
的等比中项，∴
54
2
?a
8
??2

∴
a
8
??1458

三、判断一个数列是否成GP的方法：1、定义法，2、中项法，3、通项公式法
例二：已知无穷数列
10,10,10,??10
求证：（1）这个数列成GP
1
，
10
（3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。
0
5
1
5
25
n?1
5
,??
，
（2）这个数列中的任一项是它 后面第五项的
a
10
证：（1）
n
?
n?2
?10
5
（常数）∴该数列成GP。
a
n?1
10
5
n?1
5
1
（2）
a
n
1
101
?
n?4
?10
?1
?
，即：
a
n
?a
n?5
。
10
a< br>n?5
10
5
10
p?1
5
q?1
5
n?1
5
（3）
a
p
a
q
?1010?1 0
p?q?2
5
，∵
p,q?N
，∴
p?q?2
。
p?q?2
5
?1
?
n
5
?
?
?
10
?
，（第
p?q?1
项）。
??
∴
p?q?1?1
且
?
p?q?1
?
?N
，∴10
例三：设
a,b,c,d
均为非零实数，
a
2
?b
2
d
2
?2b
?
a?c
?
d?b
2
?c
2
?0
，
求证：
a,b,c
成GP且公比为
d
。
证一：关于
d的二次方程
a
2
?b
2
d
2
?2b
?
a?c
?
d?b
2
?c
2
?0
有实根，
∴
??4b
2
?
a?c
?
?4a
2< br>?b
2
?0
，∴
?b
2
?ac?0

2
??
??
??
??
2
则必有：
b< br>2
?ac?0
，即
b
2
?ac
，∴
a,b, c
成GP
设公比为
q
，则
b?aq
，
c?aq
2
代入

a
2
?a
2
q
2
d
2
?2aqa?aq
2
d?a
2
q
2
?a
2
q
4
?0

∵
q
2
?1a
2
?0
，即
d
2
?2qd?q
2
?0
，即
d?q?0
。
证二：∵
a
2
?b
2
d
2
?2b
?
a?c
?
d?b
2
?c
2
?0

∴
a
2
d
2
?2abd?b
2
?b
2
d
2
?2bcd?c
2
?0
22
∴
?
ad?b
?
?
?bd?c
?
?0
，∴
ad?b
，且
bd?c

????
??
??
????

bc
??d
。
ab
四、作业：《课课练》P127-128课时7中 练习4~8。
P128-129课时8中 例一，例二，例三，练习5，6，7，8。
∵
a,b,c,d
非零，∴
第十教时
教材：等比数列的前
n
项和
目的：要求学生掌握求等比数列前
n
项的和的（公式），并了解推导公式所用的方法。
过程：
一、复习等比数列的通项公式，有关性质，及等比中项等概念。
二、引进课题，采用印度国际象棋发明者的故事，
即求
s
64
?1 ?2?4?8???2
62
?2
63
①
用错项相消法推导结果，两边同乘以公比：
2S
64
?2?4?8?16? ??2
63
?2
64
②
②－①：
S
64
??1?2
64
?2
64
?1
这是一个庞大 的数字>1．84×
10
，
以小麦千粒重为40
g
计算，则麦粒总质量达7000亿吨——国王是拿不出来的。
三、一般公式推导：设
S
n
?a
1
?a
2
?a
3
?
??
?a
n?1
?a
n
①
乘以公比
q
，
qS
n
?a
2
?a3
?
??
?a
n?1
?a
n
?qa
n
②
19
a
1
?qa
n
a
1
?aq
n
a
1
1?q
n
①?②：
?
1?q
?
S
n
?a
1
?qa
n
，
q?1
时：
S
n
?

??
1?q1?q1?q

q?1
时：
S
n
?na
1

注意：（1）
a
1
,q,n,S
n
和
a
1
,a
n
,q,S
n
各已知三个可求第四个，
（2）注意求和公式中是
q
，通项公式中是
q
nn?1
??
不要混淆，
（3）应用求和公式时
q?1
，必要时应讨论
q?1
的情况。
四、例1、（P131，例一略）——直接应用公式。
例2、（P131，例二略）——应用题，且是公式逆用（求
n
），要用对数算。
例3、（P131-132，例三略）——简单的“分项法”。
例4、设数列
?a
n
?
为
1,2x,3x,4x??nx
23n?1
?
?
x?0
?
求此数列前
n
项的和。
3n?1
解：（用错项相消法）
S
n
?1?2x?3x?4x????nx

xS
n
?x?2x?3x????
?
n?1
?
x
23
2
n?1
2
①
?nx
n
②
?nx
n
， ①?②
?
1?x
?
S
n
?1?x?x????x

n?1

当
x?1
时，
1? x
n
1?x
n
?nx
n
?nx
n?1
1?
?
1?n
?
x
n
?nx
n?1
n
?nx??

?
1?x
?
S
n
?

1?x1?x1?x

S
n
?
1?< br>?
1?n
?
x
n
?nx
n?1
?
1 ?x
?
2

当
x?1
时，
S
n
?1?2?3?4???n?
n
?
1?n
?

2
五、小结：（1）等比数列前
n
项和的公式，及其注意点，（2）错项相消法。
再介绍两种推导等比数列求和公式的方法，（作机动）
法1：设
S
n
? a
1
?a
2
?a
3
????a
n

∵
?
a
n
?
成GP，∴
a
a
2
a
3
a
4
???
??
?
n?q

a
1
a
2
a
3
a
n?1
由等比定理：
a
1
?a
2
?a
3
?
??< br>?a
n
S?a
1
?q,
即：
n
?q

a
1
?a
2
?a
3
?
??
?a< br>n?1
S
n
?a
n
a
1
?a
nq
a
1
1?q
n
当
q?1
时，
S
n
?

?
1?q1?q
当
q?1
时，
S
n
?na
1

法2：
S
n
?a
1
?a
1
q?a
1
q< br>2
????a
1
q
n?1

?a
1
?qa
1
?a
1
q?a
1
q? ???a
1
q

?a
1
?qS
n? 1
?a
1
?q
?
S
n
?a
n
?< br>
从而：
?
1?q
?
S
n
?a
1
?a
n
q?
当
q?1
时
S
n< br>?
??
?
2n?2
?

a
1
?a
n
q
（下略）
1?q
当
q?1
时
S
n
?na
1

六、作业：P132-133 练习 ①，②，③
习题3．5 ①，②，③，④，⑤
第十一教时
教材：等比数列《教学与测试》第40、41课
目的：通过处理有关习题以达到复习、巩固等比数列的有关知识与概念的目的。
过程：
一、复习：等比数列的有关概念，等比数列前n项和的公式

二、处理《教学与测试》第40课：
例一、（P83）先要求x，还要检验（等比数列中任一项a
n
?0, q?0）
例二、（P83）注意讲：1?“设”的技巧
2? 区别“计划增产台数”与“实际生产台数”
例三、（P83）涉及字母比较多（5个），要注意消去a
2
, a
4

1
例四、（备用题）已知等比数列{a
n
}的通项公 式
a
n
?3?()
n?1
且：
2
b
n?a
3n?2
?a
3n?1
?a
3n
，求证：{bn
}成GP
1
证：∵
a
n
?3?()
n?1

2
1 11
∴
b
n
?a
3n?2
?a
3n?1
? a
3n
?3()
3n?3
?3()
3n?2
?3()
3n?1

222
111211
?3()
3n?3
(1? ?)?()
3n?3

22442
∴
b
n?1
1
?()
3
∴{b
n
}成GP
b
n
2
三、处理《教学与测试》第41课：
例一、（P85）可利用等比数列性质a
1
a
n
= a
2
a
n?1,
再结合韦达定理求出a
1
与
a
n
（两解），再求解。 例二、（P85）考虑由前项求通项，得出数列{a
n
}，再得出数列{
1
和——注意：从第二项起是公比为的GP
．．．．
2
1
}，再求
a
n
例三、（P85）应用题：先弄清：资金数=上年资金×（1+50%）?消费基金。然后逐一推算，用数列观点写出a
5
，再用求和公式代入求解。
例四、（备用题 ）已知数列{a
n
}中，a
1
=?2且a
n+1
=S
n
，求a
n ,
S
n

解：∵a
n+1
=S
n
又∵a
n+1
=S
n+1
? S
n
∴S
n+1
=2S
n

∴{S
n
}是公比为2的等比数列，其首项为S
1
= a
1
=?2, ∴S
1
= a
1
×2
n?1
=
?2
n

∴当n
≥
2时, a
n
=S
n
?S
n?1
=?2
n?1

∴
a
n
?
?2
?
?
n?1
??2
(n?1)

(n?2)
例五、（备用题）是否存在数列{a
n
}，其前项和S
n
组成的数列{S
n
}也是等比
数列， 且公比相同？
解：设等比数列{a
n
}的公比为q，如果{S
n
}是公比为q的等比数列，则：
S
n
?S
1
q
n?1< br>?a
1
q
n?1
∴
?
na
1
?而S
n
?
?
a
1
(1?q
n
)
?
?
1?q
q?1
q?1

q?1时,S
n
?a
1
q
n?1
?na
1
S
(n?1)a
1
n?1
即：
n?1
???q?1 得n?1?n(矛盾)

S
n
na
1
n
1?qS
n
1?q
n
S
n?1
1?q
n?1
11?q）

q?1时,S
n
?a
1
q
n?1
?
a（
即：??q?q?1(矛盾)

n
所以，这样的等比数列不存在。
四、作业：《教学与测试》P84、P86 练习题
第十二教时
教材：等比数列综合练习
目的：系统复习等比数列的概念及有关知识，要求学生能熟练的处理有关问题。
过程：
一、处理《教学与测试》P87第42课习题课（2）
1、“练习题”1 选择题。
P
n
2、（例一）略：注意需用性质。
3、（例三）略：作图解决：
A
P
1
P
3
P
4
P
2

解：
AP
n
?AB?BP
1
?P
1
P
2
?P
2
P
3
?P
3
P
4
????
?
?1
?
P
n?1
P
n

n
B

?a?
aa
n
a
?
2
????
?
?1
?
n

2
22
n
2
?
??1
?
?
?
11
n
1
?

?a
?
1??
2
????
?
?1
?
n
?
?a
?
1?
n?1
?

2
?
3
?
2
?
?
2
2
二、补充例题：
1、在等比数列
?
a
n
?
中，
a
1a
3
?36,a
2
?a
4
?60,S
n
?400
，求
n
的范围。
解：∵
a
1
a
3
?a
1
q
2
?36
，∴
a
1
q??6

又∵
a
2
?a
4
?a
1
q1?q
2
60
，且
1?q
2
?0
，∴
a
1
q?0
，
2
??
?
a?2
?
a
1
??2
∴
a
1
q?6,1?q
2
?10
解之：
?
1

或
?
?
q?3
?
q??3
a
1
1?q
n
23
n
?1
当
a
1
? 2,q?3
时，
S
n
???400?3
n
?401
，∴
n?6

1?q2
（∵
3
5
?2733
6
?729
）
当
a
1
??2,q??3
时，< br>S
n
∵
n?N
*
且必须为偶数
∴
n?8< br>，（∵
?
?3
?
??2187,
?
?3
?< br>?6561
）
78
n
?
?
?2
??
?3
?
?1
?
n
??400?
?
?3
?
??
??
?4
?801
，

< br>?
1
?
2、等比数列
?
a
n
?
前< br>n
项和与积分别为S和T，数列
??
的前
n
项和为
S
'
，
?
a
n
?
?
S
?
求证：
T?
?
'
?

?
S
?
2< br>n
证：当
q?1
时，
S?na
1
，
T?a< br>1
，
S
'
?
n
n
n
，
a
1
?
S
?
∴
?
?
S< br>?
?
?
1
?
n
??
??
na
2n
（成立）
?
?
1
?
?a
1
?T< br>2
，
?
n
?
??
a
?
1
?
?
n?1
?
n
a
1
1?q
n
a< br>1
1?q
?n
q
n
?1
'
2
当q?1
时，
S?
，
,T?a
1
q,S??
? 1n?1
1?q
1?qa
1
q
?
q?1
?
??
1
?1
??
?
S
?
2
n?1
?
'
?
?a
1
q
?
S
?
n
??
n
n
?
n?1
?
??
n
1
2
（成立）
?
?
a
1
q
2
?
? T
，
??
2
综上所述：命题成立。
3、设首项为正数的等比数列， 它的前
n
项之和为80，前
2n
项之和为6560，且
前

n
项中数值最大的项为54，求此数列。
?
a
1
1?q< br>n
?80
?
1
?
?
?
1?q
解：
?
?1?q
n
?82?q
n
?81

2n
?
a
1
1?q
?6560
?
2
??
?
1?q
??
??
代入（1），
a
1
1?q
n
?80
?
1?q
?
，得：a
1
?q?1?0
，从而
q?1
，
∴
?
a
n
?
递增，∴前
n
项中数值最大的项应为第< br>n
项。
∴
a
1
q
n?1
? 54
，∴
??
?
q?1
?
q
n?1
?q? q
nn?1
?54,q
n?1
q
n
?81?54?27,q ?
n?1
?3
，
q
∴
a
1
?2
，∴此数列为
2,6,18,54,162??

4、设数列
?
a
n
?
前
n
项之和为
S
n
，若
S
1
?1,S
2
?2
且
S
n?1
?3S
n
?2S
n?1
?0
?
n?2
?
，
问：数列
?
a
n
?
成GP吗？

解：∵
S
n?1
?3S
n
?2S
n?1?0
，∴
?
S
n?1
?S
n
?
?2< br>?
S
n
?S
n?1
?
?0
，即
a< br>n?1
?2a
n
?0

即：
a
n?1
?2
?
n?2
?
，∴
?
a
n?
成GP
?
n?2
?

a
n
a
2
?2
，
a
1
又：
a
1
?S
1
?1,a
2
?S
2
?S
1
?1,
?
1
?
n?1
?
∴
?
a
n
?
不成GP，但
?
n?2
?时成GP，即：
a
n
?
?
n?1
。
?
n?2
?
?
2
三、作业：《教学与测试》P87-88 练习题 3，4，5，6，7
补充：1、三数成GP，若将第三数减去32，则成AP，若将该等差数列中项
减
22638
去4，以成GP，求原三数。（2，10，50或
,,
）
999
2、一个等比数列前
n
项的和为
S
n
?48,
前
2 n
项之和
S
2n
?60
，求
S
3n
。
（63）
?
1
?
3、在等比数列中，已知：
a
3
?4,S
6
?36
，求a
n
。
?
?2
n?1
?

?
7
?
《精编》P176-177 第2，4题。
第十三教时
教材：数列求和
目的：小结数列求和的常用方法，尤其是要求学生初步 掌握用拆项法、裂项法和
错位法求一些特殊的数列。
过程：
一、提出课题：数列求和——特殊数列求和
常用数列的前n项和：
1?2?3????n?
n(n?1)

2
1?3?5????(2n?1)?n
2

n(n?1)(2n?1)

6
n(n?1)
2
1
3
?2
3
?3
3
????n
3
?[]

2
1
2
?2
2
?3
2
????n
2
?
二、拆项法：
例一、（《教学与测试》P91 例二）
1111求数列
1?1,?4,
2
?7,
3
?10,??,
n? 1
?(3n?2),??
的前n
a
aaa

项和。
解：设数列的通项为a
n
，前n项和为S
n
，则
a
n?
?S
n
?(1?
1
a
n?1
?(3n?2)

111
?
2
?
??
?
n?1
) ?[1?4?7?
??
?(3n?2)]

a
aa
(1?3 n?2)n3n
2
?n
?
当
a?1
时，
S
n
?n?

22
1
n
(1?3n?2)na
n?1(3n?1)n
a
当
a?1
时，
S
n
?

??
n
?
1
22
a?a
n?1
1?
a
三、裂项法：
1?
例二、求数列
6666
,,,??,,??
前n项和
1?22?33?4n(n?1)
?11
?6(?)

n(n?1) nn?1
解：设数列的通项为b
n
，则
b
n
?

11111
?S
n
?b
1
?b
2
?
??
?b
n
?6[(1?)?(?)?
??
?(?)]
2 23nn?1
?6(1?
16n
)?
n?1n?1

例三、 求数列
111
,,
??
,
,
??
前n项和
1?21?2?31?2?
??
?(n?1)
1211
??2(?)

1?2?
??
?(n?1)(n?1)(n?2)n?1n?2
解：
?
a
n
?
11111111n
?)]?2(?)?

?S
n
?2[(?)?(?)?
??
?(

2334n?1n?22n?2n?2
四、错位法：
1
例四、求数列
{n?
n
}
前n项和
2
1111
解：
S
n
?1??2??3???????n?
n
①
248
2
111111
S
n
?1??2??3???? (n?1)?
n
?n?
n?1
②
24816
2211
(1?
n
)
111111
2
?
n
两式相减：
S
n
???????
n
?n?
n?1
?
2
1
2248
222
n?1
1?
2

?S
n
?2(1?
1n1n
?)?2??

2
n
2
n?1
2
n?1
2
n
例五 、设等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，且
S
n
?(
求数列{a
n
}的前n项和
解：取n =1，则
a
1
?(
a
1
?1
2
)?a
1
?1

2
a
n
?1
2
)(n?N
*
)
，
2
又：
S
n
?
n(a
1
?a
n
)n(a
1
?a
n
)a?1
2
?(
n)
可得：
222
?
a
n
??1(n?N
*
)?a
n
?2n?1

?S
n
?1?3?5????(2n?1)?n
2

五、作业：《教学与测试》P91—92 第44课 练习 3，4，5，6，7
补充：1. 求数列
?1,4,?7,10,??,(?1)
n
(3n?2) ,??
前n项和
?
?3n?1
n为奇数
?
2

(S
n
?
?
)

3n
?
n为偶数
?
2
2n?32n?1
2. 求数列
{
n?3
}
前n项和
(8?
n?3
)

22
3. 求和：
(100
2
?99
2
)?(98
2
?97
2
)????(2
2
?1
2
)
(5050)
4. 求和：1×4 + 2×5 + 3×6 + ??+ n×(n + 1)
n(n?1)(n?5)
()

3
5. 求数列1，( 1+a)，(1+a+a
2
)，??，(1+a+a
2
+??+a
n ?1
)，??前n
项和
a?0时，S
n
?n

a?1时，S
n
?
n(n?1)
2

n(n?1) a?a
n?1
a?1、0时，S
n
?
(1?a)
2



第十四教时

教材：数列的应用
目的：引导学生接触生活中的实例，用数列的有关知识解决具体问题，同时了解
处理“共项” 问题。
过程：
五、例题：
1．《教学与测试》P93 例一）大楼共n层，现每 层指定一人，共n人集中到
设在第k层的临时会议室开会，问k如何确定能使n位参加人员上、下
楼梯所走的路程总和最短。（假定相邻两层楼梯长相等）
解：设相邻两层楼梯长为a，则
S?a(1?2????k?1)?0?[1?2????(n?k)]

n
2
?n
?a[k?(n?1)k?]
2
n?1
当n为奇数时，取k?
S达到最小值
2
nn?2
当n为偶数时，取
k?或
S达到最大值
22
2．在［1000，2000］内能被3整除且被4除余1的整数有多少个？
2
解：不妨设
a
n
?3n,b
m
?4m?1(m,n?N*
)
，
则{c
p
}为{ a
n
}与{ b
n
}的公共项构成的等差数列 (1000
≤
c
p
≤
2000)
∵a
n
= b
m
,即：3n=4m+1 令n=3 , 则m=2 ∴c
1
=9且有上式可知：
d=12
∴c
p
=9+12(p?1) ( p?N
*
)
711
?p?166

1212
∴p取84、85、??、166共83项。
由1000
≤
c
n
≤
2000解得：
83
3．某城市1991年底人口为500 万，人均住房面积为6 m
2
，如果该城市每
年人口平均增长率为1%，每年平均新增 住房面积为30万m
2
，求2000
年底该城市人均住房面积为多少m
2？(精确到0.01)
解：1991年、1992年、??2000年住房面积总数成AP
a
1
= 6×500 = 3000万m
2
，d = 30万m
2
，a
10
= 3000 + 9×30 = 3270
1990年、1991年、??2000年人口数成GP
b
1
= 500 , q = 1% ,
b
10
?500?1.01
9
?500? 1.0937?546.8

3270
?5.98m
2

546.8
4．（精编P175 例3）从盛有盐的质量分数为20%的盐水2 kg的容器中倒
∴2000年底该城市人均住房面积为：
出1 kg盐水，然后加入1 kg水，以后每次都倒出1 kg盐水，然后再加

入1 kg水，
问：1.第5次倒出的的1 kg盐水中含盐多少g？
2.经6次倒出后，一共倒出多少k盐？此时加1 kg水后容器内盐水
的盐的质量分数为多少？
解：1.每次倒出的盐的质量所成的数列为{a
n
}，则：
11
a
1
= 0.2 kg , a
2
=×0.2 kg , a
3
= ()
2
×0.2 kg
22
111
由此可见：a
n
= ()
n?1
×0.2 kg , a
5
= ()
5?1
×0.2= ()
4
×0.2=0.0125
222
kg
1
2.由1.得{a
n
}是等比数列 a
1
=0.2 , q=
2
1
0.2(1?
6
)
6
a(1?q)
2
?0.3937?S
6
?
1
?kg5
1
1?q1?
2

0.4?0.3937?50.00625
0.0062?52?0.003125

六、作业：《教学与测试》P94 练习 3、4、5、6、7
《精编》P177 5、6

第十五教时
教材：等差、等比数列的综合练习
目的：通过复习要求学生对等差、等比数列有更深刻的理解，逐渐形成熟练技巧。
过程：
七、小结：等差、等比数列的定义、通项公式、中项公式、性质、求和公式。
八、处理《教学与测试》P81第39课 习题课（1）
1．基础训练题
2．例一 由
S
n
求
a
n
用定义法判定
?
a
n
?
成AP
例二 关键是首先要判定
d?0
或
d?0

九、处理《教学与测试》P89第43课 等差数列与等比数列
1．例一 “设”— 利用中项公式 — 求解
2．例二 “设”的技巧，然后依题意列式，再求解
3．例三 已知数列
?
a
n
?
中，
S
n
是它的前n
项和，并且
S
n?1
?4a
n
?2
，
a
1
?1

1? 设
b
n
?a
n ?1
?2a
n
，求证数列
?
b
n
?
是等比 数列；

2? 设
c
n
?
a
n
，求证数列
?
c
n
?
是等差数列。
2
n
证：
1? ∵
a
1
?1
∴
a
1
?a
2
?S
2
?4a
1
?1?a2
?5
，
b
1
?a
2
?2a
1
?3

∵
S
n?1
?4a
n
?2

S
n?2
?4a
n?1
?2
两式相减得：
a
n?2
?4a
n?1
?a
n

即：
a
n?2
?2a
n?1
?2(a
n?1
?2a
n
)
∵
b
n
?a
n?1
?2a
n

∴
b
n?1
?2b
n
即
?
b
n
?
是公比为2的等比数列
b
n
?3?2
n?1

2? ∵
cn
?
a
n
a
n?1
a
n
a
n ?1
?2a
n
b
n
c?c????
∴
n?1n
nn?1nn?1n?1
22222
3
∴
?
c
n
?
成AP
4
将
b
n
?3?2
n?1
代入：
c
n?1
?c
n
?
十、 1、P90“思考题”在△ABC中，三边
a,b,c
成等差数 列，
a,b,c
也
成等差数列，求证△ABC为正三角形。

证：
由题设，
2b?a?c
且
2b?a?c
∴
4b?a?c?2ac

∴
a?c?2ac
即
(a?c)
2
?0
从而
a?c
∴
b?a?c
（获
证）
2、“备用题” 三数成等比数列，若将 第三个数减去32，则成等差数列，若
再将这等差数列的第二个数减去4，则又成等比数列，求原来三个 数。

解：
设原来三个数为
a,aq,aq
2
则必有
2aq?a?(aq
2
?32)
①

(aq?4)
2
?a(aq
2
?32)
②
4a?25
代入②得：
a?2
或
a?
从而
q?5
或13
a9
226338
∴原来三个数为2,10,50或
,,

999
十一、 作业：《教学与测试》P81-82 练习题 3、4、5、6、7
由①：
q?
P90 5、6、7、8
第十六教时
教材：数列极限的定义 < br>目的：要求学生首先从实例（感性）去认识数列极限的含义，体验什么叫无限地
“趋近”，然后初 步学会用
?
?N
语言来说明数列的极限，从而使学生在学
习数学中的“有限” 到“无限”来一个飞跃。

过程：
十二、 实例：1?当
n
无限增大时，圆的内接正
n
边形周长无限趋近于圆周长
2?在双曲线
xy?1
中，当
x???
时曲线 与
x
轴的距离无限趋近于0
十三、 提出课题：数列的极限 考察下面的极限
1111
1? 数列1：
,
2
,
3
,?,
n
,?

10
101010
①“项”随
n
的增大而减少 ②但都大于0
1
③当
n
无限增大时，相应的项
n
可以“无限趋近于”常数0
10
123n
,?
2? 数列2：
,,,?,
234n?1
①“项”随
n
的增大而增大 ②但都小于1
n
③当
n
无限增大时，相应的项可以“无限趋近于”常数1
n?1
11(?1)
n
,?
3? 数列3：
?1,,?,?,
23n
①“项”的正负交错地排列，并且随
n
的增大其绝对值减小
(?1)
n
②当
n
无限增大时，相应的项可以“无限趋近于”常数
n
引导观察并小结，最后抽象出定义：
一般地，当项数
n< br>无限增大时，无穷数列
?
a
n
?
的项
a
n< br>无限地趋近于
某个数
a
（即
a
n
?a
无限地 接近于0），那么就说数列
?
a
n
?
以
a
为极限，
或者说
a
是数列
?
a
n
?
的极限。 （由于要“无限趋近于”，所以只有无穷
数列才有极限）
数列1的极限为0，数列2的极限为1，数列3的极限为0
十四、 例一 （课本上例一）略
注意：首先考察数列是递增、递减还是摆动数列；再看这个数列当
n
无
限增大时是否可以“无限趋近于”某一个数。
练习：（共四个小题，见课本）
十五、 有些数列为必存在极限，例如：
a
n
?(?1)
n
?
2
或a
n
?n
都没有极限。
2
例二 下列数列中哪些有极限？哪些没有？如果有，极限是几？

1?(?1)
n
1?(?1)
n
1．
a
n
?
2．
a
n
?
3．
a
n
?a
n
(a?R)

2
2
?
3
5
?
?
4．
a
n
?(?1)
n?1
?
5．
a
n
?5?
?
?
??
n
?
3
?
n
解：
1．
?
a
n
?
：0,1,0,1,0,1,? ? 不存在极限
22
2．
?
a
n
?
：
2,0,,0,,0,??
极限为0
35
3．
?
a
n
?
：
a,a
2
,a
3
,??
不存在极限
33
4．
?
a
n
?
：
3,? ,1,??
极限为0
24
n
?
??
5555255
?
?
??
?
5．
?
a
n
?
：先考察
?
?
：
?,,?,,??
无限趋近于0
?
3
?
?
392781
?
?
?
?
?
?
∴ 数列
?
a
n
?
的极限为
5

十六、 关于“极限”的感性认识，只有无穷数列才有极限
十七、 作业： 习题1
补充：写出下列数列的极限：1? 0.9,0.99,0.999,?? 2?
a
n
?
1

n
2
3456111
1
??
3?
?
(?1)
n?1
?
?
4?
,,,,??
5?
a
n
?1?????
n

234524
2
n
??
第十七教时
教材：数列极限的定义（
?
?N
）
目的：要求学生掌握数列极限的
?
?N
定义，并能用它来说明（证明）数列的极
限。
过程：
十八、 复习：数列极限的感性概念
十九、 数列极限的
?
?N
定义
?
(?1)
n
?
111
a:?1,,?,,??
1．以数列
?
为例
?
n
n
234
??

观察：随
n
的增大，点越来越接近
?1

0

1
2
(?1)
n
1
?0?
可以充即：只要
n
充分大，表示点
a
n
与原点的距离
a
n
?0?
nn

分小
进而：就是可以小于预先给定的任意小的正数
(?1)
n
1
11
?0?
< 2．具体分析：(1) 如果预先给定的正数是，要使
a
n
?0?
nn
1010
?< br>(?1)
n
?
只要
n?10
即可 即：数列
??
的第10项之后的所有项都满足
n
??
(2) 同理：如果预先给定的正数是
(3) 如果预先给定的正数是
1
3
n?10
，同理可得只要即可
3
10
1
k
(k?N*)
n?10
，同理可得：只要即可
k
10
3．小结：对于预先给定的任意小正数
?
，都存在一个正 整数
N
，使得只要
n?N

就有
a
n
?0
<
?

4．抽象出定义 ：设
?
a
n
?
是一个无穷数列，
a
是一个常数，如 果对于预先给定
的任意小的正数
?
，总存在正整数
N
，使得只要正整 数
n?N
，就有
a
n
?a
<
?
，那么就说 数列
?
a
n
?
以
a
为极限（或
a
是数列
?
a
n
?
的极限）
记为：
lima
n
?a
读法：“
?
”趋向于 “
n??
”
n
无限增大时
n??
注意：①关于
?
：
?
不是常量，是任意给定的小正数
②由于
?
的任意性，才体现了极限的本质
③关于
N
：N
是相对的，是相对于
?
确定的，我们只要证明其存在
④
a< br>n
?a
：形象地说是“距离”，
a
n
可以比
a
大趋近于
a
，也可以比
a
小趋
近于
a
，也可以摆 动趋近于
a

二十、 处理课本 例二、例三、例四
例三：结论：常数数列的极限是这个常数本身
例四 这是一个很重要的结论
二十一、 用定义证明下列数列的极限：
3n?13
2
n
?1
?
1．
lim
n
?1
2．
limn??
2n?1
n??
2
2
证明1：
设
?是任意给定的小正数
2
n
?11
11
n
?1?
?
?
2?
要使 即：
nn
n
?
22
2

两边取对数
n?log
2
1
??
取
N?
?
log
2
?
????
介绍取整函
?
?
??
1
数

2< br>n
?1
2
n
?1
?1?
?
恒成立 ∴
lim
n
?1
当
n?N
时，
n??
2
2
n

证明2：
设
?
是任意给定的小正数
要使
1
?
51
3n?13
?

n??

??
?
只要
2n?154
?
2
2n?12
3n?13
?
51
?
取
N?
?
?
?
当
n?N
时，
??
?
恒成立 < br>2n?12
?
4
?
2
?
∴
lim
3 n?13
?

n??
2n?12
第十八教时
教材：数列极限的四则运算
目的：要求学生掌握数列极限的四则运算法则，并能运用法则求数列的极限。
过程：
二十二、 复习：数列极限的
?
?N
定义
二十三、 提出课题：数列极限的四则运算法则
1．几个需要记忆的常用数列的极限
1n?1
a?a(a为常数)

?1

limq
n
?0

(q?1)

lim

lim?0

lim
n??
n??
n
n??
n??
n
2．运算法则：
如果
lima
n
?A

limb
n
?B

n??n??
a
n
A
(a?b)?A?B

lim
n
?,(B?0)
则：
lim(a?b)?A?B

lim
n??n??
n??
b
B
nnnn
3．语言表达（见教材，略）
此法则可以推广到有限多个数列的情形
123n
,?
它的极限为1 解释：如数列
,,,?,
234n?1

2,2,2,?,2,?
它的极限为2
123n
,?
它的极限为3 则
2,2,2,?,2?
234n?1

nn
)?lim2?lim?2?1?3

n??n??
n?1n?1
n??
二十四、 处理课本 例一、例二 略
即：
lim(2?
例三（机动，作巩固用）求下列数列的极限：
2n?1
1．
lim

n??
3n?2
1112?lim(2?)lim2?lim
2?02
n??n??
nn
?n??
解：
原式=
lim
n
???

n??< br>222
3?03
3?lim(3?)lim3?lim
n??n??
n n
n??
n
14
5??
3
5n
3
?n2
?4
n
n
?
5
2．
lim

解：
原式=
lim
n??
6n
3
?n?1
n??
11
6
6?
2
?
3
nn
514??
32
235
5n?n?4
0
nnn
3．
l im

解：
原式=
lim??0

n??
6n
5
?n?1
n??
11
6
6?
4
?< br>5
nn
?
a
0
?
b
(p?q)
pp ?1p?2
a
0
x?a
1
x?a
2
x?
?
?a
p
?
0
?
?
0

(p?q)
小结：
．．．
lim
n??
bx
q
?bx
q?1
?bx
q?2
?
?
?b
0 12q
?
不存在
(p?q)
?
?
例四、首项为1，公比为
q
的等比数列的前
n
项的和为
S
n
，又设
T
n
?
limT
n

n??
S
n
，求
S
n?1
S
n
1?q
n
解：
T
n
??(q?1)

S
n?1
1?q
n?1
当
q?1
时，
limT
n
?1

n??
?
1
?
?
?
q
?
?
?1
1
当
q?1
时，
limT
n
?lim
??
n
?

n??n??
q
?
1
?
?
?
q
?
?
?q
??
当
q?1
时，
limT< br>n
?lim
n??
n
n
n?1
n??
?1< br>

当
q?1
时，
limT
n
不存在
n??
二十五、 小结：运算法则、常用极限及手段
二十六、 作业：练习1、2 习题1 补充：（附纸）
第十九教时
教材：数列极限的运算
目的：继续学习数列极限的运算，要求学生能熟练地解决具体问题。
过程：
一、复习数列极限的运算法则
例一、先求极限
lim
n??
n2
?n?1
，再用ε—N定义证明。
2
2n?1
解：
lim
n??
n?n?1
?
lim
2
2n?1
n? ?
2
1?
11
?
n
n
2
?
1
1
2
2?
2
n
n
2
?n?112n ?1
任给
?
?0,|

?|?
2n
2
?1
2
2(2n
2
?1)
则
2n?12n2n1
???

2(2n
2
?1)4n
2
?22n
2
n
(?当n?1时,n
2
?1,2n
2
?2,?4n
2
?2?2n
2
)

令
1
?
?
n
n?
1
?
1
取N?[]

?
n
2
?n?11
当n?N时,|?|?
?
2
2n?1
2
恒成立?
lim
n??
n
2
?n?11
?

2
2
2n?1
二、先求和，后求极限：
例二、求极限
1 ．
lim
(
n??
1473n?2
???
??
?)

2222
nnnn
n(3n?1)1
?
（指出：原式=0+0+0+??+0=0 是错误的）
2
2n
2
解：原式 =
lim
n??
2．
lim
n??
1?2?2?3?
??
?n(n?1)

2
n(n?3)

解：原式=
lim
n??
n(n?1)(2n?1)n(n?1)
?
2n
3
?6n
2
?4n1
62
?
lim< br>?

3
3
n(n
2
?3)6(n?3n)
n ??
1111
3．
lim
[(1?)(1?
2
)(1?4
)
??
(1?
2
n?1
)]

2< br>22
n??
2
(1?
?
)(1?
2
n?1< br>1
2
2
n?1
1
解：
?
1?
12
2
n?1
22
)
2
n?1
1
1?(
?
1?
2
2
)
n?1
2
1
1?< br>?
1?
1
2
2

1
2
2
n ?1
n
1?
1
2
?
n?1

11
1
1?
1
1?
1
1?1?
1?
22< br>2
2
3
2
n
2
n
22222
?原式
?
lim
[???
??
?]?
lim
?2

11111
n??n??
1?1?
2
1?
22
1?
2
n?1
1?
22
2
22
4． 已知数列{a
n
}中
a
n
?
1
，求
lim
S
n

n(n?1)(n?2)
n??
解：
?

1111
?[?]

n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n ?2)
1111111
{(?)?(?)?
??
?[?]}
21?2 2?32?33?4n(n?1)(n?1)(n?2)
1111
[?]?
22(n? 1)(n?2)4
?
原式
?
lim
n??

?
lim
n??
三、先共扼变形，再求极限：
例三、求极限
1．
lim
n??
n(n?1?n)

解：原式=
lim
n??
n(n?1?n)(n?1?n)
n?1?n
1
1?< br>1
?1
n
?
1

2
?
lim
n??
n
n?1?n

?lim
n??
2．
lim
n??
n?1?n
n?2?n

解：原式=
lim
n??
( n?1?n)(n?1?n)(n?2?n)
(n?2?n)(n?2?n)(n?1?n)
n ?2?n
2(n?1?n)
?
1

2

?
lim
n??
3．
lim
(1?2?3?
??
?n?1?2 ?3?
??
?(n?1))

n??
解：原式?
lim(
n??
n(n?1)n(n?1)
?)?
lim
22
n??
1
1111
(1?)?(1?)
2n2n
2
2
n
n(n?1)n(n?1)
?
22

?
lim
n??
?
四、作业：
3456
1．求数列
,,,,?
的极限为 1
2345
1111
???
??
?]?
1 < br>2．
lim
[
2?33?4n(n?1)
n??
1?2
3．
lim
(1?
n??
111
??
??
?n
)?
2
24
2
4．
lim
(
n??
3
1473n?2
???
??
?)?
2222
2
n?1n?1n?1n?1
5．
lim
n??
..
3
n?1
?2
n?1
?
9
3
n?1
?2
n?1
3

11
6．
0.27
=
7．用数列极限的定义证明：
lim
n??
n
2
1
?

3n
2
?1< br>3
510155n123n
,?
和
,,,?,,?
8．已知 数列
,,,?,
345n?2345n?2
(1)求证：这两个数列的极限分别是5和 1；
(2)作一个无穷数列，使它的各项为这两个数列的对应项的和，
验证所得数列的极限等于这两个数列的极限的和。
第二十教时

教材：求无穷递缩等比数列的和
目的：要求学生掌握无穷递缩等比数列的概念及其求和公式，并能解决具体问题。
过程：
一、例题：
1111
例一、已知等比数列
,,,?
n
,?
，求这个数列的前n项和；并求当
n??

248
2
时，这个和的极限。
11
n
[1?()]
a
1
(1?q
n
)
2
1
1
2
解：公比
q?
,
S
n
???1?
n

1
1

2
1?q
2
1?
2
2?
lim
S
n
?
lim
n??n??
11(1?
n
)?1?
lim
()
n
?1?0?1

2
2
n??
1
4


1
8

解释：“无穷递缩等比数列”

1
?

当
n??
时，数列为无穷递缩等比数列相对于以前求 和是求有限项（
n
项）

2
?

当
| q | <1
时，数列单调递减，故称“递缩”

3
?

数列
{a
n
}
本身成
GP
a
1
(1?q
n
)
小结：无穷递缩等比数列前n项和是
S
n
?< br>
1?q
当
n??
时，
S?
lim
Sn
?
lim
n??n??
a
1
(1?q
n)a
?
lim
1
?
lim
(1?q
n
)

1?q
n??
1?q
n??
?S?
a
1
其意义与有限和是不一样的
1?q
,0.0003,??
各项和。 例二、求无穷数 列
0.3,0.03,0.003
3
30.031
31
?
解：
a
1
?0.3?,q?

?S?
10
??

1
93
100.310
1?
10
例三、化下列循环小数为分数：
1．
2.13
2．
1.1321

??
??
13
??
13131 313
解：1．
2.13?2???
??
?2?
100
?2 ??2

1
1
1?
100

13
??
3244
2．
1.1321?1.1?
4
?
7
?
10
?
??
?1.1?
10000
?1

?1
1
9990333
101010
1?< br>3
10
小结法则：
1．
2．
纯循环小数化分数：将一个 循环节的数作分子，分母是99??9，
其中9的个数是循环节数字的个数。
混循环小数化分 数：将一个循环节连同不循环部分的数减去不循
环部分所得的差作分子，分母是99?900?0，其中 9的个数与一
个循环节的个数相同，0的个数和不循环部分的数字个数相同。
例四、某无穷递缩等比数列各项和是4，各项的平方和是6，求各项的立方
和。
解：设首项为a ，公比为 q，( | q | <1 ) 则
?
a
?4( 1)
?
?
1?q
?
a
2
?
?6(2)2
?
?
1?q
1)?(2)得：
?
(
????
2
1?q8524

??q?代入(1)：a?
1?q3111 1
24
3
)
a768
11
∴各项的立方和：
S?< br>
??
5
3
67
1?q
3
1?()
11
3
(
例五、无穷递缩等比数列{a
n
}中，
lim(a
1
?a
2
????a
n
)?
n??
1
，求a
1
的范
2
围。
解：
a
1
1
??q?1?2a
1
1?q2
?
0?|q|?1?0?| 1?2a
1
|?1

?
0?a
1
?1
?
1

?0? 4a
1
2
?4a
1
?1?1?
?
a?
1< br>?
2
?
?0?a
1
?1且a
1
?
1

2
二、小结：
三、作业：
3
1111
??
?(?)
n?1
?
?
?
1．
1???
4
39273
2．
lim
[3?(
n??
1
n
)]?3
，则a的取范围是 a>3 或 a<1
a?2

111
)]?
2 < br>3．
lim
[n(1?)(1?)
?
(1?
34n?2
n??
4．正项等比数列的首项为1，前n项和为S
n
，则
lim
n??
S
n
?
1或 q
S
n?1< br>5．
lim
n??
3
2?32
2
?3
22
n
?3
n


(??
??
?)?< br>2
6
6
2
6
n
*
6．已知
f(n )?1?2???n,(n?N)
，则
lim
n??
f(n
2
)
?
2
2
[f(n)]
7．若
lim
[1?(1?r)
n
]?1
，则r的取范围是 (-2，0)
n??
8．无穷等比数列{
tg
n
?
}中，(1)若它的各 项和存在，求
?
的范围；若它的各
项和为
(
k
?
?
3?1
，求
?
。
2
(k?Z)
)
44 6
9．以正方形ABCD的四个顶点为圆心，以边长a为半径，在正方形内画弧，
得四个交点A
1
，B
1
，C
1
，D
1
，再在正方形A< br>1
B
1
C
1
D
1
内用同样的方法得到
又一个正方形A
2
B
2
C
2
D
2
，这样 无限地继续下去，求所有这些正方形面积
之和。
?
?
?
?k
?
?
?
且
?
?k
?
,
?
?k< br>?
?
?
(3?1)a
2

()

2
第十一课时
课 题
§3.6.1 分期付款中的有关计算
教学目标
1．通过分期付款中的有关计算巩固等比数列的通项公式和前n项和公式的掌握；
2．培养数学的应用意识.
教学重点
等差数列通项公式和前n项和公式的应用
教学难点
利用等比数列有关知识解决实际问题.
教学方法
启发诱导
教学过程
(I)复习回顾
师：近几天来，我们又学习了有关等比数列的下列知识：
生：通项公式：
a
n
?a
1
q

n?1
(a
1
,q?0)

a< br>1
(1?q
n
)
a
1
?a
n
q前n项和公式：
S
n
??(q?1),S
n
?na
1< br>(q?1)

1?q1?q
(Ⅱ)讲授新课
师：这 节课我们共同来探究一下它在实际生活中的应用，如今，在社会主义市场经济的
调节之下，促销方式越来 越灵活，一些商店为了促进商品的销售，便于顾客购买一些售价较
高的商品，在付款方式上也很灵活，可 以一次性付款，也可以分期付款
首先我们来了解一下何为分期付款?也就是说，购买商品可以不一次性将款付清，而
可以分期将款逐步还清，具体分期付款时，有如下规定：
1．分期付款中规定每期所付款额相同。
2．每月利息按复利计算，是指上月利息要计入下月本金．例如：若月利率为0.8%，款
额a元，过 1个月增值为a(1+0.8%)＝1.008a(元)，再过1个月则又要增值为1.008a(1+O.O0 8)
2
＝1.008a(元)
3．各期所付的款额连同到最后一次付款时所 生的利息之和，等于商品售价及从购买到
最后一次付款时的利息之和
师：另外，多长 时间将款付清，分几次还清，也很灵活，它有多种方案可供选择，下面
我们以一种方案为例来了解一下这 一种付款方式．
例如，顾客购买一件售价为5000元的商品时，如果采取分期付款，总共分 六次，在一
年内将款全部付清，第月应付款多少元?
首先，我们来看一看，在商品购买后1年货款全部付清时，其商品售价增值到了多少．
生：由于月利率为O.008，在购买商品后1个月时，该商品售价增值为：
5000(1+O.008)＝5000x1.O08(元)，
出于利息按复利计算，在商品购买后2个月，商品售价增值为：
2
5000x1.O08x(1+0.008)＝5000x1.008(元)，
??
在商品购买12个月(即货款全部付清时)，其售价增值为：
1112
5000x1.008x(1+O.008)＝5000x1.008(元)
师：我们再来看一看，在货款全部付清时，各期所付款额的增值情况如何.
假定每期付款x元.
第1期付款(即购买商品后2个月)x元时，过10个月即到款全部付清 之时，则付款连
10
同利息之和为：1.008(元)，
第2期付款(即购 买商品后4个月)x元后，过8个月即到款全部付清之时，所付款连同
8
利息之和为：1.O0 8 x(元)
师：依此类推，可得第3，4，5，6，期所付的款额到货款全部付清时连同利息的和．
生：可推得第3，4，5，6期所付的款额到货款全部付清时，连同利息的和依次为：
642
1.O08(元)，1.008(元)，1.008x(元)，x(元)
师：如何根据上述结果来求每期所付的款额呢?
根据规定3，可得如下关系式：
241012
x+1.008x+1.O08x+?1.O08x＝5000×1.O08
241012
即：x(1+1.008+1.008+?+1.008)＝5000×1.O08
生：观其特点，可发现上述等式是一个关于x的一次方程，且等号左边括弧是一个首
项为1，公比为1.0082的等比数列的前6项的和．由此可得

1?(1.008
2
)
6
12
x??5000?1.008
1?1.008
2

122
5000?1.008?(1.0 08?1)
x?
1.008
12
?1
解之得x≈880.8(元)
即每次所付款额为880.8元,因此6次所付款额共为880.8×6＝5285(元)，它比一次
性付款多付285元．
(Ⅲ)课堂练习
生：选另一种方案作为练习，
方案A：分12次付清，即购买后1个月第一次付款，再过1个 月第2次付款?购买后
12个月第12次付款．
方案B：分3次付清，即购买后4个月第1次付款，再过4个月第2次付款，再过4个
月第3次付清款．
（Ⅳ）课时小结
师：首先，将实际问题转化为数学问题，即数学建模，然后 根据所学有关数学知识将问
题解决，这是解决实际问题的基本步骤．
(V）课后作业
一、熟练掌握解决分期付款问题的基本方法．
二、1．预习内容：课本P
135
-P
136
。
2．预习提纲：采取不同方案实现分期付款中的x的表达式是否有共同特点?可否概括出
一个一般公式？

板书设计

课题
分期付款规定：
①②③
教学后记

例：①建模 ②解决问题 总结