人教版高中数学选修教案全套

§1.1平面直角坐标系与伸缩变换
一、三维目标
1、知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方
法
2、能力与与方法：体会坐标系的作用
3、情感态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，
培养创新意识。
二、学习重点难点
1、教学重点：体会直角坐标系的作用
2、教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题
三、学法指导：自主、合作、探究
四、知识链接
问题1：如何刻画一个几何图形的位置？

问题2：如何研究曲线与方程间的关系？


五、学习过程
一．平面直角坐标系的建立

某信息中心接到位于正东、正西、正北方向三个观测点 的报告：
正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的
时间比它们晚了4s 。已知各观测点到中心的距离是1020m，试确定

1

巨响发生的位置（假定声音传播的速度是340ms，各观测点均在同
一平面上）
问题1:
思考1：问题1：用什么方法描述发生的位置？



思考2：怎样建立直角坐标系才有利于我们解决问题？



问题2：还可以怎样描述点P的位置？



B例1.已知△AB C的三边a,b,c满足b2+c2=5a2,BE,CF分别为边
AC,CF上的中线，建立适当的平 面直角坐标系探究BE与CF的位置
关系。












探究:你能建立不 同的直角坐标系解决这个问题吗？比较不同的
直角坐标系下解决问题的过程，建立直角坐标系应注意什么 问题？



2

小结：选择适当坐标系的一些规则：
如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点
如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴
使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上
二.平面直角坐标系中的伸缩变换

思考1：怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?





坐标压缩变换：
设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持纵 坐标不变，将横
?
'
1
?
x?x
?
2
'< br>坐标x缩为原来 12，得到点P’(x’,y’).坐标对应关系为：
?
通
?
y?y
常把上式叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。

思考2：怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?写出其坐标
变换。





设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持横坐标x不变，将
纵坐标y伸长为原来 3倍，得到点P’(x’,y’).坐标对应关系为：
?
x
'
?x
?
'
?
y?3y
通常把上式叫做平面直角坐标系中的一个伸长变换。



3

思考3：怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x? 写出其坐
标变换。





定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意 一点，在变换
?
x
'
?
?
x,(
?
?0)
的作用下，点P(x,y)对应P’(x’,y’).称
?
为平
?
:
?
'
?
y?
?
y,(y?0)
面直角坐标系中的伸 缩变换。




六、达标检测
A1.求下列点经过伸缩变换
?
（1） （1，2）；

（2） （-2，-1）

1
?
?
x'?x
A2 ．点
(x,y)
经过伸缩变换
?
2
后的点的坐标是（-2，6），则
?
?
y'?3y
x?
，
y?
；
?
x'?2x
后的点的坐标：
?
y'?3y
A3．将点（2，3）变成点（3，2）的伸缩变换是（ ）
23
??
x'?xx'?x
??
?
x'?y
??
32
A.
?
B.
?
C.
?

2
3
y'?x
?
?
y'?y
?
y'?y
??
3
2
??

4

D.
?

?
x'?x?1
?
y'?y?1
A4．将直线
x?2y?2
变成直线
2x'?y '?4
的伸缩变换是 .
B5．为了得到函数
y?2sin(?),x? R
的图像，只需将函数
y?2sinx,x?R
的图像上所有的点（ ）
x
?
36
A.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的
倍（ 纵坐标不变）
B.向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的
倍（纵坐标不变）
?
6
?
6
1
3
1
3
C.向左平移个单位长度 ，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3
倍（纵坐标不变）
D.向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3
倍（纵坐标不变）
B6.在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换
?
x'?2x
后的 图形：
?
?
y'?3y
?
6
?
6
（1）
2x?3y?0
；




5

（2）
x
2
?y
2
?1
.













B8.教材P8 习题1.1















七、学习小结



第4，5,6
6

八、课后反思
课题:极坐标系(两课时)
一、三维目标
知识与技能：认识极坐标，能在极坐标系中用极坐 标刻画点的位置；
体会极坐标系与平面直角坐标系的区别，能进行极坐标和直角坐标
间的互化。
过程与方法：通过生活中的实例，让学生认识到学习极坐标系的必
要性，从而引出极坐标系与极 坐标的概念；根据极坐标与直角坐标
的特点和三角函数的概念，实现极坐标和直角坐标间的互化
情感态度价值观：通过学习，体会数学知识的产生与发展源于生活
又服务于生活，体会数学的应用价值 ，激发学生的学习数学的热情。
二、教学重难点
重点：理解并能用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标与直角坐标
的互化。
难点：理解用极坐标刻画点的位置的基本思想；点与极坐标之间的

7

对应关系的认识。
三、学法指导：认真阅读教材P8—10，结合 实例，理解极坐标的建
立、点与极坐标的对应；结合任意角的三角函数的定义，理解极坐
标和直 角坐标间的互化。
四、知识链接：1、回顾自己在为人指路时常用的方法

2举一个生活中用“距离”和“角度”刻画位置的例子


五、学习过程：
一、极坐标系的概念
1、引入：阅读课本P9页的“思考”，并回答提出的问题
答1）：

答2）：

2、你是否注意到在以上问题中，用“距离”和“角度”刻画位置时，
总是先固定一个位置作为 ，并以某个方向作为参
照 。
3极坐标系的概念：
1）在平面内取一个定点O,叫做极点; 自极点O引一条射线Ox,叫做
极轴; 再选定一个长度单位,一个角度单位(通常用弧度)及其正方
向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.
2)如图：设M是平面内一点,极点 O与点M的距离|OM|叫做点M的
极径,记为
?
；

8

以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角,记为
?
；
有序实数对(
?
,
?
)叫做点M的极坐标,记为
M(?
,
?
)
；
注：一般地,不做特殊说明时,我们认为
?
?0,
?
?R

4例题
例1.如图，在极坐标系中，写出点A，
B，C的极坐标，并标出点D(2，) ，
E(4，







例2 ．在右图中，点A，B，C，D，E分别表
示教学楼，体育馆，图书馆，实验楼，办公楼
3?
5
?
) ， F(3.5，)所在的位置。
43
?
6

9

的位置。建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标。








5思考1）：在极坐标系中，（4，），（4，
? 2
?
），（4，
?4
?
），（4，
66
?
6
??
?
6
?2
?
） 表示的点有什么关系？你能体会极
坐标与直角坐标在刻画点的位置时的区别吗？


思考2）：如果规定
?
?0
，
0?
?
?2
?
，那么平面内的点与极坐标极是
一一对应的吗？

6极坐标系与直角坐标系的区别

10

平面直角坐标系 极坐标

定位方

式
点与坐

标
外在形

式
本质



二、极坐标与平面直角坐标的互化




1引入：为实现转换，要把两个坐标系放在同
一个平面中，应当如何建立这两个坐标系呢？
2极坐标与平面直角坐标的互化：
1）互化前提： 与 重合， 与 重合；取
的单位长度

11

2）互化公式：设M是平面内任意一点，它的直角坐标是
(x,y )
，极
坐标是
(
?
,
?
)
那么两者之间的 关系：
x?
?
cos
?
,y?
?
sin
?
--------（1）
坐标化为 坐标

222
坐标化为 坐标

?
?x?y,tan
?
?(x?0)

x
-----（2）
y
你能联想到过去所学的哪个知识？ .
3例题：
例3.将点M的极坐标（5，



例4.将点M的直角坐标（
?3
，-1）化成极坐标。



六、达标训练
1．已知点的极坐标分别为
A(3,?)
，
B(2,
4
2
?
）化成直角坐标。
3
?
32
?
)
，
C(,
?
)
，求它们的直
2
3
角坐标。

12

2.已知点的直角坐标分别为
A(3,3),B(0,?
它们的极坐标。



3．极坐标系中，点A的极坐标是
(3,)
，则 （1）点A 关于极轴对
6
5
),C(?2,?23)
，
(1,?3)
，
求
3
?
称的点是_______.
(2) 点A关于极点对称的点的极坐标是___.
(3) 点A关于直线
?
?
(< br>?
?0)
?
?
?
0,2
?
?

?
2
的对称点的极坐标是________.(规定:
4．在极坐标中，若 等边?ABC的两个顶点是
A(2,)
、
B(2,
4
?
5< br>?
)
，那么
4
顶点C的坐标可能是（ ）
A.(4,
3
?
)

4

B(23,
3
?
C.(23,
?
)

)
4


D.(3,
?
)

5已知两点的极坐标
A(3,),B(3 ,)
，则|AB|=______,AB与极轴正方
26
??
向所成的角为_ _______.
七、课堂小结

13

1． 极坐标系和点的极坐标
极点、极轴、长度单位、角度单位和它的方向构成极坐标系的四
要素， 缺一不可。规定：当点M在极点时，它的极坐标
?
?0,
?
可
以取任 意值。
2． 平面直角坐标与极坐标的区别
在平面直角坐标系内，点与有序实数对（x，y ）是一一对应的，
可是在极坐标系中，虽然一个有序实数对
(
?
,
?
)
只能与一个点P对
应，但一个点P却可以与无数多个有序实数对对应
(?
,
?
)
，极坐标
系中的点与有序实数对极坐标
(?
,
?
)
不是一一对应的。
3．
4．
极 坐标系中，点M
(
?
,
?
)
的极坐标统一表达式
(
?
,2k
?
?
?
),k?Z
。
如果规定
?
?0,0?
?
?2
?
，那么除极点外，平面内的点可用唯
一的极坐标
(
?
,
?
)
表示，同时，极坐标
(
?
,
?
)
表示的点也是唯一确
定的。
5． 极坐标与直角坐标的互化
（1） 互化的前提：①极点与直角坐标的原点重合；②极轴与X
轴 的正方向重合；③两种坐标系中取相同的长度单位。
?
x?
?
cos
?
（2） 互化公式
?
，
y?
?
sin
?
?
?
?
2
?x< br>2
?y
2
?
。
y
?
tan
?
?,x?0
?
x
?

14

八、课后反思:
课 题:圆的极坐标方程与直线的极坐标方程（２课时）
[学习目标]：
知识与技能：1.理解圆的极坐标方程与直线的极坐标方程的求法；
过程与方法：通过实例引导学生了解极坐标方程的应用；
情感态度与价值观：体会数学在实际生活中的应用价值。
[学习重点]：圆的极坐标方程与直线的极坐标方程的求法
[学习难点]：能根据条件写出圆的极坐标方程与直线的极坐标方程
第一课时使用说明及学法指导:
1、限定45分钟完成，先阅读教材，然后仔细审题，认真思 考、独
立规范作答。2、不会的，模棱两可的问题标记好。3、对重点班学
生要求完成全部问题 ，平行班完成70℅以上。
一、知识链接:
1、圆的标准方程： 2、 圆的一般方程 ：
3、直线的一般方程： 4、直角坐标与极坐标互化公
式：

15

二、学习过程:
学生阅读教材12页回答下面问题
1、直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？
2、曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义
3、求曲线方程的步骤

1、引例．如图，在极坐标系下半径为a的圆的圆心坐标为
(a,0)(a>0)，你能用一个等式表示圆上任意一点，
的极坐标(?,?)满足的条件？


2、提问：曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？

3、定义：一般地，如果一条曲 线上任意一点都有一个极坐标适合
方程
f(
?
,
?
)?0< br>的点在曲线上，那么这个方程称为这条曲
线的( )，这条曲线称为这个( )
的曲线。
例1、已知圆O的半径为r，建立怎样的坐标系，

16

可以使圆的极坐标方程更简单？



变式练习：求下列圆的极坐标方程
(１)中心在Ｃ(a,0)，半径为a；
(２)中心在(a,
?
2)，半径为a；
(３)中心在Ｃ(a
,
?
)，半径为a
例2．（1）化在直角坐标 方程
x
2
?y
2
?8y?0
为极坐标方程，
（2）化极坐标方程
?
?6cos(
?
?)
为直角坐标方程。
3
?


三、当堂检测：
1.以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是 ( )
?
??
A.
?
?2cos
?
?
?
?
4
? ?
C.
?
?2cos
?
?
?1
?
?
??
B.
?
?2sin
?
?
?
?
4?

?
D.
?
?2sin
?
?
?1< br>?
2.极坐标方程分别是ρ＝cosθ和ρ＝sinθ的两个圆的圆心距是多
少？

17

3．说明下列极坐标方程表示什么曲线
(1)
?
＝２cos(
?
-
?
4
(3)
?
＝3sin
?
　　 (4)
?
＝６
) (2)
?
＝cos(
?
3
-
?
)

4．填空：
　(1)直角坐标方程x
2
?y
2
?2x?3y?0的 　极坐标方程为＿＿＿＿＿＿＿
(2)直角坐标方程2x－y＋１?0的极坐标方程为＿＿＿＿＿＿＿< br>(3)直角坐标方程x
2
?y
2
?９的极坐标方程为＿＿＿＿＿
(4)直角坐标方程x?３的极坐标方程为＿＿＿＿＿＿＿




四、课堂小结：



五、课后反思：
第二课时使用说明及学法指导:
1、限定45分钟完成，先阅读教材，然后仔细审题，认真思 考、独
立规范作答。2、不会的，模棱两可的问题标记好。3、对重点班学
生要求完成全部问题 ，平行班完成70℅以上。

18

学习过程：
阅读教材P13-P14
探究1、直线
l
经过极点，从极轴到直线
l
的角是，如何用极坐标
方程表示直线
l



思考：用极坐标表示直线时方程是否唯一？


探究2、如何表示过点
A( a,0)(a?0)
，且垂直于极轴的直线
l
的极坐标
方程，化为直角坐标方 程是什么？过点
A(a,0)(a?0)
，平行于极轴的
直线
l
的极 坐标方程呢？



二、知识应用：
例1、已知点P的极坐标为
(2,
?
)
，直线
l
过点P且与极轴所成的角为
?
，求直线
l
的极坐标方程。
3
O
?
4
l
?

4
x

19

例2、把下列极坐标方程化成直角坐标方程
（1）
?
?
3
5
?
(
?
?R)
（2）
?
(2cos
?
?5sin
?
)?4?0
（3）
4
?
?
sin(
?
?)?4



练习、判断直线
?
sin(
?
?)?
4
?
2
与圆
?
?2cos
?
?4sin
?
的位置关系。
2

三、当堂检测
1、在直角坐标系中，过点
(1,0)
，与极轴垂直的直线的极坐标方程是
（ ）
A
?
sin
?
?1
B
?
?sin
?
C
?
cos
?
?1
D
?
?cos
?


2、与方程
?
?(
?
?0)
表示同一曲线的是 （ ）
4
?
A
?
?(
?
?R)
B
?
?
4
?
5
?
5
?
(
?
?0)
C
?
?(
?
?R)
D
44

20

?
?
?
4
(
?
?0)

3、在极 坐标系中，过点
A(2,?)
且与极轴平行的直线
l
的极坐标方程
2
?
是

4、在极坐标系中，过圆
??4cos
?
的圆心，且垂直于极轴的直线方程
是

5、在极坐标系中，过点
A(2,
是

6、已知直线的极坐标方程为
?
sin(
?
?)?
4
3
?
)
且垂直于极轴的直线
l
的极坐标方程
4
?
2
7
?
，求点
A(2,)
到这条直
2
4< br>线的距离。


7、在极坐标系中，由三条直线
?
?0,< br>?
?,
?
cos
?
?
?
sin
?< br>?1
围成图形
3
?
的面积。



21

四、课堂小结：




五、课后反思：

课题: 4-4《参数方程》授课日期: 姓名: 班级:
小组 ：
[学习目标]：
知识与技能：1.理解曲线的参数方程的概念；能根据指定参数，写< br>出常用曲线的参数方程;较熟练地进行一般参数方程和普通方程转
化;圆的参数方程.
过程与方法：通过实例引导学生了解参数方程建立的过程，进而通
过方程研究相关问题，体会参数方程的 优越性.
情感态度与价值观：体会数学在实际生活中的应用价值。
[学习重点]：能根据指 定参数，写出常用曲线的参数方程;较熟练地
进行一般参数方程和普通方程转化;圆的参数方程.

22

[学习难点]：能根据指定参数，写出常用曲线的参数方程
使用说明及学法指导:
1、限定45分钟完成，先阅读教材，然后仔细审题，认真思考、独
立规范作答。2、不会的，模棱两可 的问题标记好。3、对重点班学
生要求完成全部问题，平行班完成70℅以上;4、“当堂检测”留在课
堂时完成。
一、知识链接:
1、圆的标准方程： 2、 圆的一般方程 ：
3、直线的一般方程： 4、sin
2
A+cos
2
A=
二、学习过程:
1．参数方程：
问题1:教材21页“探究”如何解答？

问题2：参数方程的概念及一般形式：


问题3：普通方程的概念：


例1:已知:曲线C的参数方程为
?
?
x?3t
?
y?2t?1
2
(t为参数)

23

(1)
(2)



判断点M(0,1),N(5,4)与曲线的位置关系？
已知点P(6,a)在曲线上，求a的值。
2. 求曲线的参数方程:
问题4:圆心在原点O,半径为r的圆的参数方程为_____________
圆心为（a,b）,半径为r的圆的参数方程为_____________



例2：如图，圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)是x轴上的
定点，M 是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨
迹参数方程。







练习：一架救援飞机以100ms的速度作水平 直线飞行，在离灾区指
定目标的水平距离还有1000m时投放救灾物资（不计空气阻力，重
力 加速度g=10ms
2
）问此时飞机的飞行高度是多少?



24

3．参数方程和普通方程的互化:
方法：曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式. 一般地,
可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程。如果知道变数x,y
中的一个与参数的 关系，把它代入普通方程中，求出另一个变数与
参数的关系，那么就得到了曲线的参数方程。
注意：(1)由于选取的参数不同,圆有不同的参数方程,一般地,同一
条曲线,可以选取不同的变数为 参数,因此得到的参数方程也可以有
不同的形式.
(2)在建立曲线的参数方程时，要注明参 数及参数的取值范围。在参
数方程与普通方程的互化中，
必须使x,y的取值范围保持一致.
例3：把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：
?
?
x?2cos
?
x?t?1
(t为参数)
（ 2）
?
（1）
?
(
?
为参数)
（3）
y? 2sin
?
?2
?
?
?
y?1?t
?
x? cos
?
+sin
?
(
?
为参数)

?
y?1+sin2
?
?



25

x
2
y
2
例4：求椭圆
??1
的参数方程：（1）设x?3cos
?
,
?
为参数;(2)
94
设
y ?2t,t
为参数.









三、当堂检测：
?
x?1?2t
A1.已知曲线C 的参数方程为
?
（t为参数）过点（3，2）（1）
2
?
y?at< br>求
a
的值。
（2）已知点P(1,b)在曲线上,求b的值。








26

B2．把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：
1
?
x ?t?,
?
?
x?1?cos
?
,
?
t
( t为参数)
（2）
?
（1）
?
(
?
为参数)
（3）
?
y?sin
?
.
?
y?t?
1
.
?
t
?
?
x?cos
?
,
(
?
为参数)

?
?
.
?
y?1?cos2












C4.在平面直角坐标系
xOy
中，直线
l
的参数方程为
?
x?t?3
?
x?2cos
?
(参数t?R)
( 参数
?
?
?
0，2
?
?
)
，，圆的参数方 程为则
C
?
?
?
y?3?t
?
y?2sin
?
?2
圆
C
的圆心坐标为 ，圆心到直线
l
的距离为 .






27

四、小结： 1、知识内容：
2、思想与方法：





五、课后反思：

课题：参数方程与普通方程互化
教学目的：
知识目标：掌握参数方程化为普通方程几种基本方法
能力目标：选取适当 的参数化普通方程为参数方程

28

德育目标：
教学重点：参数方程与普通方程的互化
教学难点：参数方程与普通方程的等价性
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1 复习：
（1）
（2）
（3）
2 引课：
问题：观察下列两组集合，说出集合A与集合B的关系（共性）
（1）
（2）
（3）
二、讲解新课：

29

1、参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三
种：
（1） 代入法：利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参
数
（2） 三角法：利用三角恒等式消去参数
（3） 整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上
消去。
化参数方程为普通方程为
F(x,y)?0
：在消参过程中注意变量
x
、
y
取值范围的一致 性，必须根据参数的取值范围，确定
f(t)
和
g(t)
值域得
x< br>、
y
的取值范围。
2、常见曲线的参数方程
（1）圆
x< br>2
?y
2
?r
2
参数方程
?
222
?
x?rcos
?
（
?
为参数）
?
y? rsin
?
?
x?x
0
?rcos
?
（2）圆(x?x
0
)?(yy
0
)?r
参数方程为：
?
（
?
y?y?rsin
?
0
?
为参数）
s
?
x?aco
?
x
2
y
2
（3）椭圆< br>2
?
2
?1
参数方程
?
（
?
为参数）
ab
y?bsin
?
?
x
2
y
2
（4）双曲线
2
?
2
?1
参数方程
ab
c
?
x?ase
?
（
?
为参数）
?
?
?
y?btan

30

< br>?
x?2Pt
2
（5）抛物线
y?2Px
参数方程
?
（t为参数）
?
y?2Pt
2
（6）过定点
P(x0
,y
0
)
倾斜角为
?
的直线的参数方程
?
x?x
0
?tcos
?

?
（
t
为参数）
y?y?tsin
?
0
?
典型例题
1、 将下列参数方程化为普通方程
2
?
?
x?sin
?
?co s
?
?
x?t?2t
（1）
?
（2）
?

2
y?sin2
?
?
?
?y?t?2
2
1
t?1
?
?
?
x?
x ?2(t?)
x?
2
?
?
?
??
?
t（3）
?
t?2
（4）
?
1?t
（5）
?

1
2t
2t
?
y?
?
y?3(t
2
?)
?
y?
?
?
?
t?2< br>t
2
1?t
2
?
?
?



变式训练1
1
?
x?t?
2、（1）方程
?
t
表示的曲线
?
?
?
y?2
A、一条直线 B、两条射线 C、一条线段 D、抛物
线的一部分

31

（2）下列方程中，当方程
y
2
?x
表示同一曲线的点
1 ?xos2t
?
2
?
?
x?1?1
?
x?t
?
x?sint
?
x?
A、
?
B、
?
C、
?
D、
?
1?cos2t

2
?
?
y?t
?
y?t
?
y?sint< br>?
?
y?tant
例2化下列曲线的参数方程为普通方程，并指出它是什么曲线 。
?
?
x?1?2t
（1）
?
（t是参数）
?
?
y?3?4t
x?2co
?
s
（2） （
?
是参数）
y?co2s
?
t
1?2t
2
（3） （t是参数）
2
1?2t
y?
1?2t
2
x?


变式训练2。P是双曲线
?
F
2
是该焦点：
?
x?4sin
?
（t是参数）上任一点，
F
1
，
?
y?3tan
?
求△F
1
F
2
的重心 G的轨迹的普通方程。




32

例3、已知圆O半径为1，P是圆上动点，Q（4，0）是
x
轴上的定
点，M 是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨
迹的参数方程。

变式训练3：
已知
P(x,y)
为圆
(x?1)
2
?(y?1)
2
?4
上任意一点，求
x?y
的最大值
和最小值。


三、巩固与练习
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．
2．
3．
五、课后作业：见教材53页 2.3.4.5
课题：曲线的参数方程
一、三维目标：
知识与技能：通过平抛曲线的参数方程的建立，使学生理解参数方
程 的概念，初步掌握求曲线的参数方程的思路。

33

过 程与方法：通过平抛曲线的参数方程的建立及选取不同参数建立
圆的参数方程，培养学生探索发现能力以 及解决实际
问题的能力。
情感态度价值观：从平抛曲线的方程的建立，对学生进行数学的返< br>璞归真教育，使学生体会数学来源于实践的真谛，帮
助学生树立空间和时间是运动物体的形式这一 辩证唯
物主义观点。
二、学习重、难点：
重点： 曲线参数方程的探求及其有关概念。
难点： 平抛曲线参数方程的建立及对参数方程的理解。
三、学法指导：认真阅读教材P21—24，结合实例，理解平抛曲线及
圆的参数方程的建立、进而理 解曲线的参数方程的概念，类比求普
通方程的方法，掌握求参数方程的一般思路。
四、知识链接：
满足什么条件时，一个方程才能称作曲线的方程，而这条曲线才能
够称作方程的曲线？


五、学习过程
（一）、引入：在生产实践、军事技术、工程建设中有许 多通过
间接的方法把某两个变量联系起来的例子．特别在两个变量之间的

34

直接关系不易建立时，常用间接的方法将它们联系起来．
如图，一 架救援飞机在离灾区地面500m高处以100ms的速度作
水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于 灾区指定的地面（不记
空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？

提示：即求飞行员在离救援点的水
平距离多远时，开始投放物资？






问题1：物资投出机舱后，它的运动由哪两种运动合成？
（1）在水平方向上做 运动，其水平位移
S= .
（2）在竖直方向上做 运动,其竖直
下落高度H= 。
问题2：在上述运动中水平位移S和竖直下落高度H中是否有一个
相同的变量，是什么？

问题3：你能否建立适当的坐标系用含有t的式子表示出物资的位
置？




35

问题4：通过对上述问题的分析,飞行员在离救援点的水平距离多远
时投放物资，可 以使其准确落在指定地点？








（二）、参数方程的定义：在给定的坐标系中，如果曲线上任一点的
坐标x、y都是 某个变量t的函数
?
?
x?f(t)
（1），且对t每一个允许值，
y?
?
(t)
?
由（1）所确定的点M（x,y）都在这条曲线上，则（1） 就叫做这条
曲线的参数方程，t称作参变数，简称参数。

36

注：1）相对于参数方程来说，以前的方程是有所不同 的．为了区别
起见，我们把以前学过的方程称作曲线的普通方程．
2）参数是联系变量x,y的桥梁，可以是一个有物理意义或几何
意义的变数，也可以
是没有明显实际意义的变数。



（三）、例题：
例 1.已知曲线C的参数方程
?
?
x?3t
?
y?2t?1
2
(t为参数)

（1）判断点
M
1
(0,1)
,
M
2
(5,4)
与曲线C的位置关系；
（2）已知点
M
3
(6,a)
在曲线C上，求
a
的值





37

六、达标检测：


25
D. A．（1，4）
(
25
B.
,0)
C. (1,-3)
(?

,0)
?
x?1?t
2
,(t为参数）
?
y?4t?3< br>B1. 曲线
?
与x轴的交点坐标是( )

?

sin
?
?
x
B2. 方程
,(
所表示的曲线上一点的坐标是
?
为参数）
?
y?cos
?
（
?
）

1211
A.（2，7）
(
B.
(

,
C.
,);)
D.（1，0）
3322

?
x?1?2t,
A3.已知曲线C的参数方程是
,a

?

R

)
点M(5,4)
(t

为参数
?
2
?
y?at.
在该 曲线上. 求常数a.




1616

38

A4.一架救援飞机以100
ms
的速度作水平 直线飞行，在离灾区指定
目标的水平距离还有1000m时投放救灾物资（不计空气阻力，重力
加速度g=10
ms
2
），问此时飞机的飞行高度约是多少？








B5.动点M作匀速直线运动，它在 x轴和y轴方向的分速度分别为
3
ms
和4
ms
，直角坐标系的长度 单位是1m，点M的起始位置在
点
M
0
(2,1)
处，求点M的轨迹 的参数方程。





39

七、课堂小结：



八、课后反思：
课题:椭圆的参数方程
一、三维目标
1.知识与技能:
(1).椭圆的参数方程.
(2).椭圆的参数方程与普通方程的关系。
2.过程与方法:
(1). 了解椭圆的参数方程，了解参数方程中系数
a,b
的含义．

40

(2)．通过学习椭圆的参数方程，进一步完善对椭圆的认识，理解参
数方程与普通方程的相互联系．并能相互转化．提高综合运用能力
3.情感态度价值观:使学生认识到事物的表现形式可能不止一种。
二、学习重难点
学习重点：椭圆参数方程的推导.参数方程与普通方程的相互转化
学习难点：(1)椭圆参数方程的建立及应用.(2)椭圆的参数方程与普
通方程的互化
三、学法指导：认真阅读教材，按照导学案的导引进行自主合作探
究式学习
四、知识链接:
将下列参数方程化成普通方程
1
?
?
x?acos
?
?
x?bcos
?
(
?
为参数)< br> 2
?
(
?
为参数)

?
y?bsin
?
?
y?asin
?
五、学习过程
(一)椭圆的参数方程 1焦点在
x
轴:
?
2焦点在
y
轴:
?
(二)典型例题
A例1参数方程与普通方程互化
?
x?acos
?
(
?
为参数)

?y?bsin
?
?
x?bcos
?
(
?
为参数 )

y?asin
?
?

41

1把下列普通方程化为参数方程.
y
2
x
2
y
2
2
(1)
??1
(2)
x??1

16
49
2把下列参数方程化为普通方程
(1)
?
?
x?3cos
?
(
?
为参数)
(2)
?
y?5sin
?
?
x?8cos
?
(< br>?
为参数)

?
y?10sin
?
?

?
x?2cos
?

?
?
A练习：已知椭圆的参数方程为 ( 是参数) ，则
y?sin
?
?
此椭圆的长轴长为

__ ____，短轴长为_______，焦点坐标是________，离心率是
_-________。

B例2、在椭圆
x
2
?8y
2
?8
上求 一点P，使P到直线l：
x?y?4?0
的
距离最小.
思考：
x
2
y
2

与简单的线性规划问题进行类比 ，你能在实数x,y满足??1的前提下，
2516
求出z?x?2y的最大值和最小值吗？< br>
42

x
2
y
2??1
有一内接矩形ABCD,求矩形ABCD的C例3、已知椭圆
10064
最大面积。

六、达标检测
A
A、点(2,3),B、点(3,0),C、点(1,3),D、点(0,)
2
( )
1、当参数
?
变化时，动点P(3cos
?
,2sin
?
)所确定的曲线必过
?


B
2、已知圆的方程为x2
?y
2
?4xcos
?
?2ysin
?
?3 cos
2
?
?0,(
?
为参数),
那么圆心的轨迹的普通方 程为____________________?
3、求定点(2a,0)和椭圆{

a

cos

x

?

?

y?bsin
?
(
?
为参数)上各点连线的中点轨迹方程。
B


4、P是椭圆
?
(
?
为参数)上一点，且在第 一象限，OP(O为原点)
?
y?23sin
?

?

cos

x

?

4
?

C
?


的倾斜角为，求点P的坐标
3

43

七、学习小结反思
课题:双曲线、抛物线的参数方程
一、三维目标
1.知识与技能:
(1). 双曲线、抛物线的参数方程.
(2). 双曲线、抛物线的参数方程与普通方程的关系。
2.过程与方法:
(1). 了解双曲线、抛物线的参数方程，了解参数方程中系数
a,b
的含
义．
(2 )．通过学习双曲线、抛物线的参数方程，进一步完善对双曲线、
抛物线的认识，理解参数方程与普通方 程的相互联系．并能相互转
化．提高综合运用能力
3.情感态度价值观:使学生认识到事物的表现形式可能不止一种。
二、学习重难点

44

学习重点：双曲线、抛物线参数方程的推导
学习难点：(1) 双曲线、抛物线参数方程的建立及应用.(2) 双曲线、
抛物线的参数方程与普通方程的互化
三、学法指导：认真阅读教材，按照导学案的导引进行自主合作探
究式学习
四、知识链接:
焦点在
x
上的椭圆的参数方程
_________ _______________________________

焦点在
y< br>上的椭圆的参数方程
__________________________________ ______
五、学习过程（阅读教材29-34完成）
(一)双曲线的参数方程
1双曲线
x
2
y
2
?
2
?1(a?0,b?0)
2
ab
的参数方程
__________________________ _
注：（1）
?
的范围__________________________

（2）
?
的几何意义___________________________

45

2双曲线
y
2
x
2
??1(a?0,b?0)
a
2
b
2
的参数方程
___________________________
(二)抛物线的参数方程
抛 物线
y
2
?2px(p?0)
的参数方程________________ ___________
(三)典型例题
B例
、
1、如图O是直角坐标 原点，A,B是抛物线y
2
?2px(p?0)上异于顶点的两动
点，且OA?OB, OM?AB并于AB相交于点M，求点M的轨迹方程。











y
A
M
x
B
o

46

六、达标检测

A1、求双曲线{
x?23sec
?
y? 43tan
?
的两个焦点坐标___________




B2、双曲线{
x?3sec
?
y?tan
?
(
?
为参数)的渐近线方程为______________






B3、设M为抛物线y
2
?2x上的动点，给定点M
0
(?1,0)，点P为

线段M
0
M的中点，求点P的轨迹方程。





47

七、学习小结反思

直线的参数方程(第一课时)
三维目标:
知识与技能：了解直线参数方程的条件及参数的意义
过程与方法：能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参
数的意义
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，
培养创新意识。
学习重 点：参数
t
的含义，直线单位方向向量
e?(cos
?
,sin?
)
的含义。
学习难点：如何引入参数
t
，理解和写直线单位 方向向量
e?(co
?
s,sin
?
)

学法指导：认真阅读教材，按照导学案的导引,深刻领会数学方法,
认真思考、独立规范作答。
知识链接: 我们学过的直线的普通方程都有哪些?


学习过程:
问题1已知一条直线过点
M
0
(x
0
,y
0
)
,倾斜角
?
,求这条直线方程。
问题2在直线
l
上， 任取一个点
M(x,y)
，求
M
0
M
坐标。


48

问题3试用直线
l
的倾斜角?
表示直线
l
的方向单位向量
e
。

问题4 设
M
0
M?t
，则
e
与
M
0
M< br>具有什么位置关系？用
t
能否表示出
这种关系。

问题5通 过坐标运算，用
M
0
(x
0
,y
0
)
，< br>?
，
t
把在直线
l
上，任取一点
M(x,y)
的坐标表示出来
即过定点
M(x
0
,y
0
)
倾 斜角为
?
的直线的参数方程：

问题6在直线
l
的参数方程中，哪些是变量，哪些是常量？

问题 7
由M
0
M?te,你能得到直线l的参数方程中参数t的几何意义吗？


问题8参数
t
的取值范围是什么？分别代表什么含义？
0
?
?
x?3?tsin20
练习:A1、直线
?
(
t为参数)的倾斜角是( )
0
?
?
y?tcos20
A,
20
0
B,
70
0
C,
110
0

D,
160
0

A2、求直线
x?y?1?0
的一个参数方程。

49

A3、若点
P是极坐标方程为
?
?
?
3
的直线与参数方程为
?
?
x?2cos
?
?
y?1?cos2
?
（
?< br>为参数）的曲线的交点，则
P
点的坐标为 .

B例1：已知直线
l:x?y?1?0
与抛物线
y?x
2
交与A,B
两点，求线段
AB
的长度和点
M(?1,2)
到
A,B
的距离之积.



问题9直线与曲线
y?f(x )
交于
M
1
M
2
两点,对应的参数分别为
t
1
,t
2
,
(1)曲线的弦
M
1
M
2
的长是多少?
(2)线 段
M
1
M
2
的中点
M
对应的参数
t
的值是多少?






50

课堂小结


课堂反思：

直线的参数方程(第二课时)
三维目标:
知识与技能：了解直线参数方程的条件及参数的意义
过程与方法：能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参
数的意义
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，
培养创新意识。
学习重 点：参数
t
的含义，直线单位方向向量
e?(cos
?
,sin?
)
的含义。
学习难点：如何引入参数
t
，理解和写直线单位 方向向量
e?(co
?
s,sin
?
)

学法指导：认真阅读教材，按照导学案的导引,深刻领会数学方法,
认真思考、独立规范作答。
知识链接: 1、直线参数方程的形式。
2、参数t的几何意义

.
B例1、已知直线L:x+y-1=0与抛物线x2
+y
2
=4交与A、B两点，求

51

AB的长和M(-1,2)到A、B两点距离之和与距离之积。







C例2、当前台风中心P在某海滨城 市O向东300km处生成，并以
40kmh的速度向西北方向移动，已知距台风中心250km以内的 地方
都属于台风侵袭的范围，那么经过多长时间后，该城市开始受到台
风侵袭？







52

训练：
A1、若点
P
是极坐标方程为< br>?
?
?
3
的直线与参数方程为
?
?
x?2c os
?
?
y?1?cos2
?
（
?
为参数）的曲线 的交点，则
P
点的坐标为 .


B2、直线L经过点
M
0
(1,5)
、倾斜角为 （1）求直线
l
的参数方程；
（2）求直线
l
和直线
x?y?23?0
的交点到点
M
0
(1,5)
的距离；
（3）求直线
l
和圆
x
2
?y
2
?16< br>的两个交点到点
M
0
(1,5)
的距离的和与
积.





?
3

53

x
2
y
2
C3、经过点M（2,1）作直 线L，交椭圆
??1
于A，B两点，
164
如果点M恰好为线段AB的中点， 求直线L的方程。









课堂小结：


.
课后反思：



54

55