高中数学教学设计大赛获奖作品汇编

对数函数及其性质（1）

一、 教材分析
本小节选自《普通高中课程标准数学教科书-数学必修（一）》（人教版）第
二章基本初等函数 （1）2.2.2对数函数及其性质（第一课时），主要内容是学习
对数函数的定义、图象、性质及初步 应用。对数函数是继指数函数之后的又一个
重要初等函数，无论从知识或思想方法的角度对数函数与指数 函数都有许多类似
之处。与指数函数相比，对数函数所涉及的知识更丰富、方法更灵活，能力要求
也更高。学习对数函数是对指数函数知识和方法的巩固、深化和提高，也为解决
函数综合问题及其在实 际上的应用奠定良好的基础。虽然这个内容十分熟悉，但
新教材做了一定的改动，如何设计能够符合新课 标理念，是人们十分关注的，正
因如此，本人选择这课题立求某些方面有所突破。
二、 学生学习情况分析
刚从初中升入高一的学生，仍保留着初中生许多学习特点，能力发展正处于
形象思维向抽象思维转折阶段，但更注重形象思维。由于函数概念十分抽象，又
以对数运算为基础，同时 ，初中函数教学要求降低，初中生运算能力有所下降，
这双重问题增加了对数函数教学的难度。教师必须 认识到这一点，教学中要控制
要求 的拔高，关注学习过程。
三、设计理念
本节课 以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据进行设计的，
针对学生的学习背景，对数函数的教 学首先要挖掘其知识背景贴近学生实际，其
次，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们 提供自主探究、合
作交流的机会，确实改变学生的学习方式。
四、教学目标
1．通 过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数
函数的概念，体会对数函数是一类 重要的函数模型；
2．能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的
单调性与特殊点；
3．通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数
函数的性质，培养 学生运用函数的观点解决实际问题。
五、教学重点与难点
重点是掌握对数函数的图象和性质，难点是底数对对数函数值变化的影响．
六、教学过程设计

教学流程：背景材料→ 引出课题 → 函数图象→ 函数性质 →问题解决→归纳
小结
（一）熟悉背景、引入课题
1．让学生看材料：
材料1（幻灯）：马王堆女尸千年不腐之谜：一九七二年，马王堆考古发现震惊
世界，专家发掘西汉辛追 遗尸时，形体完整，全身润泽，皮肤仍有弹性，关节还
可以活动，骨质比现在六十岁的正常人还好，是世 界上发现的首例历史悠久的湿
尸。大家知道，世界发现的不腐之尸都是在干燥的环境风干而成，譬如沙漠 环境，
这类干尸虽然肌肤未腐，是因为干燥不利细菌繁殖，但关节和一般人死后一样，
是僵硬的 ，而马王堆辛追夫人却是在湿润的环境中保存二千多年，而且关节可以
活动。人们最关注有两个问题，第 一：怎么鉴定尸体的年份？第二：是什么环境
使尸体未腐？其中第一个问题与数学有关。

图 4—1
（
如图 4—1在长沙马王堆“沉睡”近2200年的古长沙国丞相夫人辛追，日前奇迹般地“复
活”了）
那么，考古学家是怎么计算出古长沙国丞相夫人辛追“沉睡”近2200年？上
面已经知道考古学家是通过提取尸体的残留物碳14的残留量p，利用
t?logP

1
5730
2
估算尸体出土的年代，不难发现：对每一个碳14的含量的取值 ，通过这个对
应关系，
生物死亡年数t都有唯一的值与之对应，从而t是P的函数；

如
图4—2材料2（幻灯）：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4
个 ……，
如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到细胞1万个，10万个 ……，

不难发现：分裂次数y就是要得到的细胞个数x的函数,即
y?log
2
x
；





图 4—2

1.引导学生观察这些函数的特征：含有对数符号，底数是常数，真数是变量，
从而得出对数函数的定义 ：函数
y?log
a
x(a?0
，且
a?1)
叫做对数函数 ，其
中
x
是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．

1
对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：注意：○
y?2log
2< br>x
，
y?log
5
x
2
对数函数对底数的限制：
(a?0
， 都不是对数函数．○
5
且
a?1)
．
3．根据对数函数定义填空；
例1 （1）函数 y=log
a
x的定义域是___________ (其中a>0,a≠1)
(2) 函数y=log
a
(4-x) 的定义域是___________ (其中a>0,a≠1)
说明：本例主要考察对数函数定义中底数和定义域的限制，加深对概念的理
解，所以把教材中的解答题改 为填空题，节省时间，点到为止，以避
免挖深、拓展、引入复合函数的概念。
[设计意图： 新课标强调“考虑到多数高中生的认知特点，为了有助于他们对函数
概念本质的理解，不妨从学生自己的 生活经历和实际问题入手”。因此，新课引入
不是按旧教材从反函数出发，而是选择从两个材料引出对数 函数的概念，让学生
熟悉它的知识背景，初步感受对数函数是刻画现实世界的又一重要数学模型。这样处理，对数函数显得不抽象，学生容易接受，降低了新课教学的起点]
2
（二）尝试画图、形成感知
1．确定探究问题
教师：当我们知道对数函数的定义之后，紧接着需要探讨什么问题？
学生1：对数函数的图象和性质
教师：你能类比前面研究指数函数的思路，提出研究对数函数图象和性质的方
法吗？
学生2：先画图象，再根据图象得出性质
教师：画对数函数的图象是否象指数函数那样也需要分类？

学生3：按
a?1
和
0?a?1
分类讨论
教师：观察图象主要看哪几个特征？
学生4：从图象的形状、位置、升降、定点等角度去识图
教师：在明确了探究方向后，下面，按以下步骤共同探究对数函数的图象：
步骤一：（1）用描点法在同一坐标系中画出下列对数函数的图象

y?log
2
x

y?log
1
x

2
（2）用描点法在同一坐标系中画出下列对数函数的图象

y?log
3
x

y?log
1
x

3
步骤二：观察对数函数
y?log
2
x
、
y?l og
3
x
与
y?log
1
x
、
y?log
1
x
的图象特
23
征 ，看看它们有那些异同点。
步骤三 ：利用计算器或计算机，选取底数
a
(a?0
，且
a?1)
的若干个 不同的值，
在同一平面直角坐标系中作出相应对数函数的图象。观察图象，它们有
哪些共同特征 ？
步骤四：规纳出能体现对数函数的代表性图象

步骤五：作指数函数与对数函数图象的比较
2．学生探究成果
（1）如图 4—3、4—4较为熟练地用描点法画出下列对数函数
y?log
2
x
、
y?log
1
x
、
y?log
3
x
、
y?log
1
x
的图象
2
3

图4—3


图4—4


（2）如图4—5学生选取底数
a
=14、1 5、16、110、4、5、6、10，并推
荐几位代表上台演示‘几何画板’，得到相应对数函数的图 象。由于学生
自己动手，加上‘几何画板’的强大作图功能，学生非常清楚地看到了
底数
a
是如何影响函数
y?log
a
x(a?0
，且
a?1)
图象的变化。












图4—5

（3）有了这种画图感知的过程以及学习指数函数的经验，学生很明确y = log
a

x （a>1）、y = log
a
x (0

y = log
a
x （a>1） y = log
a


x (0
图4—6

（4）学生相互补充，自主发现了图象的下列特征：①图象都在y轴右侧，向y
轴正负方向无限 延伸；②都过（1、0）点；③当a>1时，图象沿x轴正向逐
步上升；当0对称，并且能从图象的形状、位置、升降、定点等角度指出指数函 数与对数
函数的图象区别；如图4—7





图4—7






y?log
3
x
与
y?log
1
x
3．拓展探究：（1）对数函数
y?log
2
x
与
y?log
1
x
、
2
3
的图象有怎样的对称关系？
（2）对数函数y = log
a
x （a>1），当a值增大，图象的上升“程
度”怎样？
说明：这是学生探究中容易忽略的地方，通过补充学生对对数函数图象感
性认识就比较全面。
[设计意图：旧教材是通过对称变换直接从指数函数的图象得到对数函数图象，
这样处理学生虽 然会接受了这个事实，但对图象的感觉是肤浅的；这样处理
也存在着函数教学忽视图象、性质的认知过程 而注重应用的“功利”思想。因此，
本节课的设计注重引导学生用特殊到一般的方法探究对数函数图象的 形成过
程，加深感性认识。同时，帮助学生确定探究问题、探究方向和探究步骤，
确保探究的有 效性。这个环节，还要借助计算机辅助教学作用，增强学生的
直观感受]
（三）理性认识、发现性质
1．确定探究问题
教师：当我们对对数函数的图 象有了直观认识后，就可以进一步研究对数函
数的性质，提高我们对对数函数的理性认识。同学们，通常 研究函数
的性质有哪些途径？

学生：主要研究函数的定义域、值域、单调性、对称性、过定点等性质。
教师 ：现在，请同学们依照研究函数性质的途径，再次联手合作，根据图象
特征探究出对数函数的定义域、值 域、单调性、对称性、过定点等性
质
2．学生探究成果
在学生自主探究、合作交流的的基础上填写如下表格：
函
y = log
a
x （a>1） y = log
a
x (0数



图 像




定义域
值
域
单调性
过定点
R
+

R
R
+

R
在（0，+
?
）上是减函数
（1，0）即x=1，y=0
00
x>1时，y<0
在（0，+
?
）上是增函数
（1，0）即x=1，y=0
0取值范围 x>1时，y>0

[设计意图：发现性质、弄清性质的来龙去脉， 是为了更好揭示对数函数的本质
属性，传统教学往往让学生在解题中领悟。为了扭转这种方式，我先引导 学生回
顾指数函数的性质，再利用类比的思想，小组合作的形式通过图象主动探索出对
数函数的 性质。教学实践表明：当学生对对数函数的图象已有感性认识后，得到
这些性质必然水到渠成]
（四）探究问题、变式训练
问题一：（幻灯）（教材p79 例8） 比较下列各组数中两个值的大小：
(1) log
2
3.4 , log
2
8.5 （2）log
0.3
1.8 , log
0.3
2.7
（3）log
a
5.1 , log
a
5.9 ( a＞0 , 且a≠1 )
独立思考：1。构造怎样的对数函数模型？2。运用怎样的函数性质？
?log
0
。
3
是减函数 小组交流：（1）
y?log
2
x
是增函数 （2）
y

X

（3）y = log
a
x，分
a?1
和
0?a?1
分类讨论
变式训练：1. 比较下列各题中两个值的大小:
⑴ log
10
6 log
10
8 ⑵ log
0.5
6 log
0.5
4
⑶ log
0.1
0.5 log
0.1
0.6 ⑷ log
1.5
0.6 log
1.5
0.4
2．已知下列不等式，比较正数m，n 的大小：
(1) log

3
m < log

3
n (2) log

0.3
m > log

0.3
n
(3) log
a
m < log
a
n (0 a
m > log
a
n (a>1)
问题二：（幻灯）（教材p79 例9）溶液酸碱度的测量。
??
HH
溶液酸碱度是通过pH刻画的。pH的计算公式为pH= —lg[ ]，其中
[ ]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔升。（1）根据对数函数 性质及上述
pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；（2）
1 0
?7
[ ] = - 摩尔升，计算纯静水的pH 已知纯静水中氢离子的浓度为
H
?
独立思考：解决这个问题是选择怎样的对数函数模型？运用什么函数性质？
H
?
H
?
H
?
随着[ ]
H
?
的增大，pH 减小，小组交流：pH=-lg[ ]=lg[ ]=lg1[ ],
即溶液中氢离子浓度越大，溶液的酸碱度就越大
[设计意图：1。 这个环节不做为本节课的重头戏，设置探究问题只是从另一层面
上提升学生对性质的理解和应用。问题一 是比较大小，始终要紧扣对数函数模型，
渗透函数的观点（数形结合）解决问题的思想方法；2。旧教材 在图象与性质之
后，通常操练类似比较大小等技巧性过大的问题，而新教材引出问题二，还是强
调“数学建模”的思想，并且关注学科间的联系，这种精神应予领会。当然要预计
到，实际教学中学生理 解这道应用题题意会遇到一些困难，教师要注意引导]
（五）归纳小结、巩固新知
1．议一议：（1）怎样的函数称为对数函数？
（2）对数函数的图象形状与底数有什么样的关系？
（3）对数函数有怎样的性质？
2．看一看：对数函数的图象特征和相关性质

对数函数的图象特征 对数函数的相关性质
a?1

0?a?1

函数图象都在y轴右侧
图象关于原点和y轴不对称
向y轴正负方向无限延伸
a?1

0?a?1

函数的定义域为（0，＋∞）
非奇非偶函数
函数的值域为R
log
1
a
?0

函数图象都过定点（1，0）
自左向右看， 自左向右看，
图象逐渐上升 图象逐渐下降
第一象限的图第一象限的图
象纵坐标都大象纵坐标都大
于0 于0
第二象限的图第二象限的图
象纵坐标都小象纵坐标都小
于0 于0



增函数
x?1,log
a
x?0

减函数
0?x?1,log
a
x?0

0?x?1,log
a
x?0

x?1,log
a
x?0

（六）作业布置、课后自评
1．必做题：教材P
82
习题2．2（A组） 第7、8、9、12题．
2．选做题：教材P
83
习题2．2（B组） 第2题．
3．
七、教学反思
从教二十多年，每每设计函数的教学，始终存有困惑的感慨，同时
也有 遇旧如新的喜悦。函数始终是高中数学教学的主线，对数函数始
终是高中数学的难点。高中新课改的春风 ，带来了函数教学设计上的
创新，促使我们在学生学习方法上、教学内容的组织上、教学辅助手
段上率先尝试，但这只是一个起点，目前教学条件还受到制约，如图
形计算器未能普及、课时紧容量大， 都影响函数的正常教学，通过这
次活动希望能引起大家的广泛关注并深入探讨！

【参考文献】1。普通高中数学课程标准，人教社，2003
2．章建跃，数学课堂教学设计研究。数学通报，2006.7

宁德市霞浦县第六中学 郭星波


点评：
本文教学目标的设计 定位准确，教学重点、难点明确。从两个实
际问题引出对数函数的概念，让学生了解知识产生的背景，初 步感受
对数函数是刻画现实世界的一个重要数学模型。教学设计注重引导学

生用 特殊到一般的方法探究对数函数图象的形成过程，加深感性认
识。同时，帮助学生确定探究问题、探究方 向和探究步骤，确保探究
的有效性。同时借助计算机辅助教学，增强学生的直观感受。
教给学 生方法比教给学生知识更重要。本设计能在前一节刚学过
指数函数的图象与性质的基础上，通过类比，以 旧引新，自然过渡到
本节的学习，用研究指数函数的图象与性质的方法来研究对数函数的
图象与 性质。在教学过程中，教师能引导学生确定探究问题、探究方
向和探究步骤，确保了探究的有效性；让学 生动手画图、观察图象，
启发学生思考、实验、分析、归纳，注重探究的过程与方法。在这里，
教师成为课堂教学的组织者与学生学习的促进者，而学生成为学习的
主人，学会了学习，学到了 “对比联系”、“数形结合”及“分类讨论”的思
想方法。
另外，教学情景的设置、教学例题 的选用，以及信息技术来动态
演示，都令人耳目一新，体现了教师的良好的素养及丰厚的学科功底。





正弦定理（1）

一、教学内容分析：
《普通高中课程标准数学教科书·数学(必修5)》(人教A版)第一章 《解三
角形》：
1?1
“正弦定理和余弦定理”的第1课。“解三角形”既是高中数学 的基

本内容，又有较强的应用性，在这次课程改革中，被保留下来，并独立成为一章。< br>解三角形作为几何度量问题，应突出几何的作用和数量化的思想，为学生进一步
学习数学奠定基础 。本课“正弦定理”，作为单元的起始课，为后续内容作知识
与方法的准备，是在学生已有的三角函数及 向量知识的基础上，通过对三角形边
角关系作量化探究，发现并掌握正弦定理（重要的解三角形工具）， 解决简单的
三角形度量问题。教学过程中，应发挥学生的主动性，通过探索发现、合情推理
与演 绎证明的过程，提高学生的思辨能力。
二、学生学习情况分析：
由于本课内容和一些与测量 、几何计算有关的实际问题相关，教学中若能注
意课程与生活实际的联系，注重知识的发生过程，定能激 起学生的学习兴趣。当
然本课涉及代数推理，定理证明中可能涉及多方面的知识方法，综合性强，学生< br>学习方面有一定困难。
三、设计思想：
定理教学中有一种简陋的处理方式：简单直接 的定理呈现、照本宣科的定理
证明，然后是大剂量的“复制例题”式的应用练习。本课采用实验探究、自 主学
习、合作交流的研究性学习方式，重点放在定理的形成、证明的探究及定理基本
应用上，努 力挖掘定理教学中蕴涵的思维价值。从实际问题出发，引入数学课题，
最后把所学知识应用于实际问题。
四、教学目标：
让学生从已有的知识经验出发,通过对特殊三角形边角间数量关系的探求，< br>发现正弦定理；再由特殊到一般，从定性到定量，探究在任意三角形中，边与其
对角的关系，引导 学生通过观察，猜想，比较，推导正弦定理，由此培养学生合
情推理探索数学规律的数学思考能力；培养 学生联想与引申的能力，探索的精神
与创新的意识，同时通过三角函数、向量与正弦定理等知识间的联系 来帮助学生
初步树立事物之间的普遍联系与辩证统一的唯物主义观点。
五、教学重点与难点：
本节课的重点是正弦定理的探索、证明及其基本应用；难点是正弦定理应用
中“已知两边和其中 一边的对角解三角形，判断解的个数”，以及逻辑思维能力
的培养。
六、教学过程设计：
（一）创设情境:
问题1、在建设水口电站闽江桥时,需预
先测量桥长AB,于是在江边选取一个测量
点C,测得CB=435m,∠CBA=
88
0
,∠BCA=
42
0
。
由以上数据，能测算出桥长 AB吗？这是一
个什么数学问题?
A
88
0

42
0

B
435m
C

引出：解三角形——已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程。
[设计意图：从实际问题出发，引入数学课题。]

师：解三角形，需要用到许多三角形的知识，你对三角形中的边角知识知多
少？
生：······，“大角对大边，大边对大角”
师：“a＞b＞c ←→ A＞ B＞C”，这是定性地研究三角形中的边角关系，我
们能否更深刻地、从定量的角度研究三角形中的边角 关系？
引出课题：“正弦定理
[设计意图：从联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学 生对于过去的
知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知
识 结构。]
（二）猜想、实验：
1、发散思维，提出猜想：从定量的角度考察三角形中的边角关系，猜想可
能存在哪些关系？
[学情预设：此处，学生根据已有知识“a＞b＞c ←→ A＞B＞C，”可能出现
以
下答案情形。如
aA=bB=cC,asinA=bsinB=csinC,
acosA=bcosB=ccosC,atanA=btanB=ctanC，·等等。]
[设计意图：培养学生的发散思维，猜想也是一种数学能力]
2、研究特例，提炼猜想：考察 等边三角形、特殊直角三角形的边角关系，
提炼出asinA=bsinB=csinC。

3、实验验证，完善猜想：这一关系式在任一三角形中是否成立呢？
请 学生以量角器、刻度尺、计算器为工具，对一般三角形的上述关系式进
行验证，教师用几何画板演示。在 此基础上，师生一起得出猜想，即在任意三
角形中，有asinA=bsinB=csinC。
[设计意图：着重培养学生对问题的探究意识和动手实践能力]
（三）证明探究：

对此猜想，据以上直观考察，我们感情上是完全可以接受的，但数学需要
理性思维。如何通过严 格的数学推理，证明正弦定理呢？
1、 特殊入手，探究证明 ：

在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，
角与边的等式关系。 在Rt
?
ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,
?C?90
0
， 根据锐角
a
b
c
?sin
A
?sin
Bsi
C
n??1
c
, 则的正弦函数的定义，有
c
，
c
，又
a
sin
A
?
b
sin
B
?
c
sin
C
?
c
a
，从而在直角三 角形ABC中，
sin
A
?
b
sin
B
?
c
sin
C
。

2、推广拓展，探究证明 ：
问题2
：
在锐角三角形ABC中，如何构造、表示 “a与
sinA
、 b与sinB”
的关系呢？


探究1：能否构造直角三角形，将问题化归为已知问题？
[学情预设：此处，学生可能 出现以下答案情形。学生对直角三角形中证
明定理的方法记忆犹新，可能通过以下三种方法构造直角三角 形。
生1：如图1，过 C作BC边上的线CD，交BA的延长线于D，得到直
角三角形DBC。
生2：如图2，过A作BC边上的高线AD，化归为两个直角三角形问题。
生3：如图3，分 别过B、C作AB、AC边上的垂线，交于D，连接AD，
也得到两个直角三角形··]
经过师生讨论指出：方法2，简单明了，容易得到“c与
sinC
、 b与sinB”
的关系式。
[知识链接：根据化归——这一解决数学问题的重要思想方法，把 锐角三角
形中正弦定理的证明归结为直角三角形问题是自然不过的。而方法3将把问题延
a?
b
sin
B
伸到四点共圆，深究下去，可得
sin
A
考解决]
?
c
sin
C
=2R，对此，可留做课后思

图1
图2

_(acos(D
_a

?

-

B

),

asin

(

?

-

B

))


_b
_(bcosA,bsinA)C
_a


_c

_(c,0)B



图3 图4

探究2：能否引入向量，归结为向量运算？
（1）图2中蕴涵哪些向量关系式？
学生探究，师生、生生之间交流讨论，得
?
AB?BC?AC,AB?BC?CA?0,AB? CB?CA,
（这三个式子本质上是相同的）,
AD?BC?0
等,
（2）如何将向量关系转化为数量关系？(施以什么运算?)
生：施以数量积运算
（3）可取与哪些向量的数量积运算？
[学情预设：此处，学生可能会做如下种种尝试，如两 边自乘平方、两边
AC
）同时点乘向量
AB
（或
BC、
，均 无法如愿。此时引导学生两边同时点乘向量
AD
,并说出理由：数量积运算产生余弦，垂直则实 现了余弦与正弦的转换。]
?
[知识链接：过渡教材中，证明方法所引用的单位向量
j
就是与向量
AD
共
线的单位向量。过去，学生常对此感到费解，经如此铺垫方显自然]

探究3：能否引入向量的坐标形式，把向量关系转化为代数运算？
（1）如图4，建立直角坐 标系，可得：A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA),
（2）向量
BC
的坐标=？ （bcosA-c，bsinA）
（3 ）哪一点的坐标与向量
BC
的坐标相同？由三角函数的定义，该点的坐
标又为多少？

根据平行四边形法则，D（
acos(180
0
?B),as in(180
0
?B)
），从而建立等量
关系：bcosA－c=
a cos(180
0
?B),
bsinA=
asin(180
0
?B)
, 整理，得c= bcosA+
acosB（这其实是射影定理），asinA=bsinB，同理可得asinA=csinC。 < br>[知识链接：向量，融数与形于一体，是重要的数学工具，我们可以通过向
量的运算来描述和研究 几何元素之间的关系（如角与距离等），这里学生已经学
过向量，可根据学生素质情况决定是否采用探究 2与3]
问题3：钝角三角形中如何推导正弦定理？（留做课后作业）

（四）理解定理、基本应用：
abc
??
sinAsinBsinC
1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

问题4、定理结构上有什么特征，有哪些变形式？
（1）从结构看：各边与其对角的正弦严格对应，成正比例，体现了数学
的和谐美。
（2）从方程的观点看：每个方程含有四个量，知三求一。 从而知正弦定
理的基本作用为：
bsinA
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如
a?
； sinB
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如
sinA
?sin
B
a
b
。
2、例题分析
例1 ．在
?ABC
中，已知
A?32.0
，
B?81.8
，a?42.9
cm，解三角形。
评述：定理的直接应用，对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。
例2．在
?AB C
中，已知
a?20cm,b?28cm,A?40
0
，解三角形（角度精< br>确到
1
，边长精确到1cm）。
评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。
课后思考：已知三角形的两边一角，这个三角形能唯一确定吗？为什么？
3、课堂练习：
0
00

（1）、引题（问题1）
（2）、在△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [设计意图：设计二个课堂练习，练习（1）目的是首尾呼应、学以致用；
练习（2）则是将正弦定 理、简易逻辑与平面几何知识整合，及时巩固定理，
运用定理。]
（五）课堂小结：
问题5：请同学们用一句话表述学习本课的收获和感受。
生1：原来我只会解直角三角形，现在我会解一般三角形了
师：通过本课学习，你发现自己更强大了。
生2：原来我以为正弦定理的证明，只有书上一种方法，今天我们学到了
课本以外的众多方法。
师：我们学习过两个重要数学工具，即三角函数与平面向量，正弦定理的
证明充分展示了它们的 妙用。
生3：公式很美。
师：美在哪里？
生3：体现了公式的对称美，和谐美······
在同学们的热烈讨论的基础上，用课件展示小结：
1、在正弦定理的发现及其证明中，蕴涵了 丰富的思想方法，既有由特殊
到一般的归纳思想，又有严格的演绎推理。在定理证明中我们从直观几何角 度、
向量运算角度探求了数学工具的多样性。
2、正弦定理反映了边与其对角正弦成正比的规 律,据此，可以用角的正弦
替代对边，具有美学价值
3、利用正弦定理解决三类三角形问题：
（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角。
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角，进而求出其他的边
和角。
（3）实现边与角的正弦的互化。
[设计意图： 通常，课堂小结均由老师和盘托出，学生接受现成的结论。
本设计充分发挥学生思维参与的主动性和创造 性，师生合作，让课堂小结成为
点睛之笔。]
（六）作业布置：
1、书面作业：P10习题1.1 1、2
2、研究类作业：
1）在钝角三角形中探求证明定理的不同方法。

abc
???ksinAsinBsinC
2）在△ABC中，，研究k的几何意义
3）已知三角形的两边一角，这个三角形能唯一确定吗？
[设计意图：对问题3），根据分散 难点，循序渐进原则，在例2中初步涉
及，在课后让学生先行思考，在“正、余弦定理”第三课时中予以 下图的剖析阐
述。]
已知边a,b

和


A

C

b

A

H

a
=

bsinA
无解
a

A

b

C

a

H

a

=

CH

=

bsinA
仅有一个解

b

A

a

C

a

B

2

b

A

?

a

b

C

a

H

B

1

H

B

CH

=

bsinA
有两个解

仅有一个解


七、教学反思：
1、本课就新课程理念下定理教学课的课堂模式，做了一些探索。以问题解< br>决为中心，通过提出问题，完善问题，解决问题，拓展问题，采用实验探究、自
主学习的研究性学 习方式，重点放在定理的形成与证明的探究上，努力挖掘定理
教学中蕴涵的思维价值，培养学生的思辨能 力。改变了定理教学中简陋的处理方
式（简单直接呈现、照本宣科证明，大剂量的“复制例题”式的应用 练习）。
2、“用教材教，而不是教教材”，尽管教材中对本课知识方法的要求并不高，
只介 绍了通过作高将一般三角形变换为直角三角形，再将三角比变换得到等式的
化归方法，但教学不仅是忠实 执行课程标准，而且是师生共同开发课程，将教材
有机裁剪，并融入个性见解的过程。如在正弦定理的证 明探究中，学生完全可能
围绕“如何构造直角三角形？”，八方联系，广泛联想，分别应用平面几何四点
共圆、向量的数量积运算、向量的坐标运算等知识方法。本课设计充分预设各种
课堂生成，尽量 满足不同思维层次学生的需求。
3、突出数学的本质。正弦定理的本质是“定量地描写三角形边角之间 的关
系”，是“大角对大边，小角对小边”的定量化。但量、算、猜不能代替数学思
考与逻辑证 明，而定理的证明实质是：用垂直做媒介，将一般三角形化为直角三
角形处理。本课设计既讲类比联想， 又讲逻辑推理，让学生知其然，知其所以然。
4、来源于生活实际，又回到生活中，强调了数学应用意识。

福建省周宁第一中学 张徐生
点评：
本课通过精心设计“发现 和解决问题”的过程，注重讲背景、讲过
程、讲应用，引导学生主动学习、勇于探索。首先从具体问题情 境出
发，在教师的指导下，结合学生的已有知识经验，通过自主学习，进
行发散式猜想与探究判 断，去伪存真，提炼猜想，并通过实验验证，
完善猜想。其次，在定理证明阶段，通过新旧知识的连接点 设问，搭
建知识脚手架，让学生展开联想，力求引导学生寻找合理的知识方法
（如本课知识生长 点：三角函数与平面向量两大工具），进行自主性
的活动与尝试，进一步拓展学生知识链。
整 节课的设计体现从特殊到一般再回到特殊的研究方法。定理教学体
现了教师指导下的学生再创造，充分发 挥了学生学习的主动性，让学
生在自主探究、实验、猜测、推理中感受和体验，较好地培养与提高
了学生发现问题与解决问题、类比与猜想、联想与引申等能力以及探
索精神与创新意识。此外，本节课 的设计还关注多媒体辅助教学的适
当运用，在定理的探求中充分使用了几何画板给予直观演示，强调培< br>养学生应用数学的意识和动手实践的能力；引导学生注意学自己身边
的数学，感知生活中包涵的数 学现象与数学原理。







简单的线性规划问题


一、教学内容分析
普通高中课程标准教科书数学5（必修）第三章第3课时
这是一堂关于简单的线性规划的“问题教学”．
线性规划是数学规划中理论较完整、方法较成 熟、应用较广泛的一个分支，
它能解决科学研究、工程设计、经济管理等许多方面的实际问题.
简单的线性规划（涉及两个变量）关心的是两类问题：一是在人力、物力、
资金等资源一定的条件下， 如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，
如何合理规划，能以最少的人力、物力、资金等资 源来完成.突出体现了优化的

思想．
教科书利用生产安排的具体实例，介绍了 线性规划问题的图解法，引出线性
规划等的概念，最后举例说明了简单的二元线性规划在饮食营养搭配中 的应用.

二、学生学习情况分析
本节课学生在学习了不等式、直线方程的基础 上，又通过实例，理解了平面
区域的意义，并会画出平面区域，还能初步用数学关系式表示简单的二元线 性规
划的限制条件，将实际问题转化为数学问题. 从数学知识上看，问题涉及多个已
知数据、 多个字母变量，多个不等关系，从数学方法上看，学生对图解法的认识
还很少，数形结合的思想方法的掌 握还需时日，这都成了学生学习的困难．
三、设计思想
本课以问题为载体，以学生为主体， 以数学实验为手段，以问题解决为目的，
以几何画板作为平台，激发他们动手操作、观察思考、猜想探究 的兴趣。注重引
导帮助学生充分体验“从实际问题到数学问题”的建构过程，“从具体到一般”
的抽象思维过程，应用“数形结合”的思想方法，培养学生的学会分析问题、解
决问题的能力。
四、教学目标
1．了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域 和
最优解等概念；理解线性规划问题的图解法；会利用图解法求线性目标函数的最优解．
2． 在实验探究的过程中，让学生体验数学活动充满着探索与创造，培养学生的数
据分析能力、探索能力、合 情推理能力及动手操作、勇于探索的精神；
3、在应用图解法解题的过程中,培养学生运用数形结合思 想解题的能力和化归能
力，体验数学来源于生活，服务于生活，体验数学在建设节约型社会中的作用.
五、教学重点和难点
求线性目标函数的最值问题是重点；从数学思想上看，学生对为什么要将 求目标
函数最值问题转化为经过可行域的直线在y轴上的截距的最值问题？以及如何想到要
这样 转化？存在一定疑虑及困难；教学应紧扣问题实际，通过突出知识的形成发展过
程，引入数学实验来突破 这一难点．

六、教学过程设计
（一）引入
（1）情景
某工 厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4
个A配件耗时1h，每生产一件乙产 品使用4个B配件耗时2h.该产每天最多
可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8 h计算，该厂所有
可能的日生产安排是什么？

请学生读题，引导阅读理解后，列表 →建立数学关系式 → 画平面区域，
学 生就近既分工又合作，教师关注有多少学生写出了线性数学关系式，有多
少学生画出了相应的平面区域， 在巡视中并发现代表性的练习进行展示，强
调这是同一事物的两种表达形式数与形.
【问题情 景使学生感到数学是自然的、有用的，学生已初步学会了建立线
性规划模型的三个过程：列表 →建立数学关系式→ 画平面区域，可放手让学
生去做，再次经历从实际问题中抽象出数学问题的过程， 教师则在数据的分
析整理、表格的设计上加以指导】
教师打开几何画板，作出平面区域.
（2）问题
师：进一步提出问题，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品
获 利3万元，采用哪种生产安排利润最大？
学生不难列出函数关系式
z?2x?3y
.
师：这是关于变量
x、y
的一次解析式，从函数的观点看
x、y
的变 化
引起z的变化，而
x、y
是区域内的动点的坐标，对于每一组
x、y
的值都
有唯一的z值与之对应，请算出几个z的值. 填入课前发下的实验探究报
告单中的第２—４列进行观察,看看你有什么发现？
学生会选择比较好算的点，比如整点、边界点等.
【学生思维的最近发现区是上节的相关知识 ，因此教师有目的引导学生利用
几何直观解决问题，虽然这个过程计算比较繁琐，操作起来有难度，但是 教
学是一个过程，从中让学生体会科学
探索的艰辛，这样引导出教科书给出
的数形结合 的合理性，也为引入信息
技术埋下伏笔】
（二）实验

教师打开画板，当 堂作出右
图，在区域内任意取点，进行计
算,请学生与自己的数据对比，继
续在实验探 究报告单上补充填写画板上的新数据.

利润最大的实验探究报告单
实验目的
(1)
?
x?2y?8,
?
4x?16,?
?
求
z?2x?3y
的最大值，使
x，y
满足约束条 件
?
4y?12,

?
x?0,
?
?
?< br>y?0.
理解用图解法求线性规划问题的最优解，体会数形结合的思想. (2)
进行实验与收集数据
(1)打开几何画板依次画出点、线构造平面区域;
(2)在 区域内任取一点M，度量横坐标及纵坐标，计算
z
=
2x?3y
的值，并制表 显示在
屏幕上;
(3)拖动点M在区域内运动，观察度量值
z
的变化，猜想
z
取得最大值时点M的位置.
同时请学生将有代表性的位置的数据记录在下表中的第２ —5列：

直
线
在
计点
y
数的直线的
y

x

2x?3y

轴
点坐方程
上
n 标
的
截
距
1
2

< br>教师引导学生提出猜想：点M的坐标为（４，２）时，
z
=
2x?3y
取


得最大值14.
【在信息技术与课程整合过程中，为改变老师单机的演示学生被动观看

的现状，让学 生参与进来，老师（可以根据学生要求）操作，学生记录，共
同提出猜想，在当前技术条件受限时不失为 一个好方法】
师：这有限次的实验得来的结论可靠吗？我们毕竟无法取遍所有点，
因为区域内 的点是无数的！况且没有计算机怎么办，数据复杂手工无法计
算怎么办？ 因此，有必要寻找操作性强的可靠的求最优解的方法.

【形成认知冲突，激发求知欲望，调整探究思路，寻找解决问题的
新方法】
继续观察实验报告单，聚焦每一行的点坐标和对应的度量值，比如M
（3.2, 1.2）时方 程是
2x?3y?10
，填写表中的第6—7列，引导学生先
在点与直线之间建立起联 系 ------点M的坐标是方程
2x?3y?10
的解，
那么点M就应该在直线< br>2x?3y?10
上，反过来直线
2x?3y?10
经过点M，
当然也 就经过平面区域，所以点M
的运动就可转化为直线的平移运
动。
教师拖动直线并跟踪 ，学生看
到直线平移时可以取遍区域内的
所有点！这样我们的猜想就非常合
乎情理了. 然后顺利过渡到直线与
平面区域之间的关系.
师：由于我们可以将x，y所
满足的条 件用平面区域表示了，你
能否也给利润
z
=2
x
+3
y作出几何解
释呢？
学生很自然地联想到上面实验的结果，将等式
z
=2
x
+3
y
视为关于x，
y的一次方程，它在几何上表示直线，当z取 不同的值时可得到一族平行
直线.
请把你猜想1换一种说法：
猜想与假设
2_________________________________________________ ______
直线
z
=
2x?3y
经过点（４，２）时，
z
=
2x?3y
取得最大值14.
2z
将直线
z
=
2x?3y
改写为
y??x?
，这时你能把猜想2再换一种
33< br>说法吗？
此时水到渠成.
猜想与假设
3________________ _______________________________________

2 z
直线
y??x?
经过点
Ｍ
时，在
y
轴上的截距最 大，此时
z
=
2x?3y
33
取得最大值14.

< br>最后探究出“
z
=
2x?3y
最值问题可转化为经过可行域的直线2z
y??x?
在y轴上的截距的最值问题”来解决，实现其图解的目的.
33
【
借助计算机技术用运动变化的方法，创设实验环境，形成多元联系，展示数
学关系式 、平面区域、表格等各种形态的表现形式，在数、图、表的关联中进行
观察、分析，从而逐步帮助学生进 行有层次的猜想，也为我们的研究提供一种方
向，这是新课程积极倡导的合情推理】
教师介绍线性规划、线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行
域和最优解等概念.
(三)探究
师：在上述问题中，若生产一件甲产品获利３万元，生产一件乙产品
获利 ２万元，又应当如何安排生产才能获得最大的利润？再换几组数据试
试（课本第100页）
让学生“主动”更换数据，教师借助几何画板“被动”地进行操作演示，师
生继续实验 …，发现结论同样成立. 进一步发现目标函数直线的纵截距与
z
的最
值之间的关系， 有时并不是截距越大，z值越大.
实验结论__________________________ _____________________________
“目标函数的最值问题可转化直线
z
=2
x
+3y与平面区域有公 共点
时，在区域内找一个点M，使直线经过点M时在
y
轴上的截距最大”
【 从笔算到计算，从点到直线再到平面（区域），从一个函数到多个函数，
从特殊到一般，从具体到抽象的 认识过程，使学生经历数学知识形成、发现、发
展的过程，获得问题的解决，这有助于培养学生的科学素 养】

（四）练习小结
学生练习Ｐ104第1题.
[及时检验学生利用 图解法解线性规划问题的情况，练习目的：会用
数形结合思想，将求
z?2x?y
的最 大值转化为直线
y??2x?z
与平面区
域有公共点时，在区域内找一个点
Ｍ
，使直线经过点
Ｍ
时在
y
轴上的截距

最小的 问题，为节省时间，教师可预先画好平面区域，让学生把精力集中
到求最优解的解决方案上]
（五）实例展示
（课本第100页例5饮食营养搭配）
营养学家指出，成人良好的日常饮食至少应该提供0.075kg的碳水化
合物， 0.06k g的蛋白质，0.06kg的脂肪.1kg食物A含有0.105kg的碳
水化合物，0.07kg的蛋 白质，0.14kg的脂肪，花费28元；而1kg食物B
含有0.105kg的碳水化合物，0.14 kg的蛋白质，0.07kg的脂肪，花费21
元.为了满足营养学家的指出的日常饮食要求，同时使花 费最低，需要同
时食用食物A和食物B多少kg?

【一是使学生认识到现实生活中 存在许多简单的二元线性规划问题，
二是让学生经历完整的分析研究问题、制定解决问题的策略的过程， 让学
生全面参与课堂教学，完善知识结构体系】

这里要关注平面区域本题是开放型的，而引例是封闭型的.
（六）课后伸申
师：在 上述线性规划问题中，线性约束条件及线性目标函数是确
定的，求最优解.这是问题的一方面，另一方面
(1)若要求结果为整数呢？最优解是在哪？
(2)若已知有唯一（或无数）最优解时，反过 来确定线性约束条
件或目标函数某些字母系数的取值（范围），又如何解决呢？
（七）小结
求最优解的一般步骤（板书）：
(1)画线性约束条件所确定的平面区域；
(2)取目标函数z=0,过原点作相应的直线；
(3)平移该直线，观察确定区域内最优解的位置；
(4)解有关方程组求出最优解，代入目标函数得最值.
作业：第104页练习2，第106页习题3—4，第107页习题3.
七、教学反思 为了将学生从繁琐的数字计算和画区域图中解脱出来，将精力放在对最优
解的理解和突出思想方法上 ，可根据下列不同的情况，设计教学条件，支持教学．
(1)理想的实验应该是在网络环境的支持下完 成的，教学之前，老师将积件传
输到学生的计算机中，学生在单机的条件下自己动手操作．
( 2)在学生缺乏信息技术工具的条件下，教学和作业都应避免繁琐的计算，而
把注意力放在“算理”上．
另外数学探究的时间长会使学生失去耐心，基本训练时间无法保证，导致当
前效果不直接， < br>教学评价难以跟进，教师宜把握尺度、控制时间，组织起有效的课堂教学，提高

驾 驭课堂的能力与水平.
厦门市湖滨中学 黄建中
点评

该教学 设计从研读教材入手，精心挖掘教学内容中的实验因子，
依据教师实验报告的引导，使学生自己动手操作 ，通过观察、发现、
思考、分析、归纳提出猜想等活动，完成对最优解的意义建构，体现
了新课 程“倡导积极主动、勇于探索的学习方式”。同时在教育技术平
台上进行师生互动“操盘”，改变单一的 教师演示的模式，通过实时的
动态模拟，实现数、图、表的多元联系，这初步体现了教学过程中教
师、学生、内容、媒体四要素功能的转变，激发了学生探究的兴趣，
提高了他们的实验、分析、探究能 力，最终获得问题的解决。这种兴
趣和能力可迁移至课外，因而折射出“研究性学习”教学思想，长期坚
持，对学生学习能力培养的教学达成度也会更高
！




用二分法求方程的近似解

一、教学内容分析
本节选自《普通高中课程标准实验教科书 ·数学1》人教A版第三单元第
一节第二课，主要是 分析函数与方程的关系。教材分三步来进行：第一步，从学
生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函 数入手，由具体到一般，建立一元
二次方程的根与相应函数的零点的联系。然后推广为一般方程与相应函 数的情
形；第二步，在用二分法求方程近似解的过程中，通过函数图像和性质来研究方
程的解， 体现方程和函数的关系；第三步，在函数模型的应用过程中，通过函数
模型以及模型的求解，更全面的体 现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程
的联系。
本节课是这一小节的第二节课，即用二 分法求方程的近似解。它以上节课的
“连续函数的零点存在定理”为确定方程解所在区间为依据，从求方 程近似解这

个侧面来体现“方程与函数的关系”；而且在“用二分法求函数零点的步骤” 中
渗透了算法的思想，为学生后续学习算法的内容埋下伏笔；充分体现新课程“渗
透算学方法， 关注数学文化以及重视信息技术应用”的理念。求方程近似解其中
隐含“逼进”的数学思想，并且运用“ 二分法”来逼近目标是一种普通而有效的
方法，其关键是逼近的依据。
二、学生学习情况分析

同学们有了第一节课的基础，对函数的零点具备基本的认识；而二分法来
自生活，是 由生活中抽象而来的，只要我们选材得当，能够激发学生的学习兴趣，
达到渗透数学思想关注数学文化的 目的，学生也能够很容易理解这种方法。其中
运用“二分法”进行区间缩小的依据、总结出“运用二分法 求方程的近似解”的
步骤、将“二分法”运用到生活实际，是需要学生“跳跳”才能摘到的“桃子”。
三、设计理念

本节课倡导积极主动、勇于探索的学习方式，应用从生活实际—— 理论—
—实际应用的过程，应用数形结合、图表、信息技术，采用教师引导——学生探
索相结合 的教学方法，注重提高学生数学的提出问题、分析问题和解决问题的能
力，让学生经历直观感知、观察发 现、抽象与概括、符号表示、运算求解、数据
处理、反思与建构等思维过程。
四、教学目标
1、理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法；利用信
息技术辅助教学，让 学生用计算器自己验证求方程近似值的过程；
2、体会二分法的思想和方法，使学生意识到二分法是 求方程近似解的一种
方法；让学生能够了解近似逼近思想，培养学生能够探究问题的能力和创新
能力，以及严谨的科学态度；
3、体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法；感受正面解决问 题
困难时，通过迂回的方法得到解决的快乐。
五、教学重点与难点
教学重点是能够借用计算器，用二分法求相应方程的近似解。根所在区
间的确定及逼近的思想；难点是对二分法 的理论支撑的理解，区间长度的缩小。

六、教学过程设计
1．教学基本流程图
深入探索发现问题提出课题“如
何求函数零点？”
经历游戏过程探索一般规律“二分法”
通过游戏感受身边的数学
解决问题“如何应用二分法求函数的零点”
应用所得方法解决实际问题“求出函数的零点”
通过练习与作业进行巩固与提高
课堂小结将所得到的知识进行归纳整理加入已有的知识链
2．教学情景设计
设计意图
知识链接
[设计意图：
1、利用视 屏与
游戏的形式，学
生会踊跃参与；
商品价格竞猜
也是学生熟悉
的， 竞猜的方法
会很多样，可以
进行竞赛；
2、通过问
题2，启发学生
教学设计 学情预设
1、教师从学
生熟 悉的电视节
1、大家都
看过李咏主持
的<幸运52>
吧,今天咱也试
一回(出示游
戏)。
目，引导学生体
会、分析、归纳迅
速猜价的方法。 < br>2、学生能够
主动参与游戏，并
且参与游戏的同
学可以比较并总
结经验 。学生会有
很多种方案出来。

2、竞猜
中，“高了”、
“低了 ”的含
义是什么？如
何确定价格的
最可能的范
围？
3、如何才
能更快的猜中
商品的预定价
格？
4、“二分”
的思路是什
么？
1、上节课
我们学了什么
定理，它的作
用 是什么？还
有什么问题没
有解决？
2、已知函
数
f(x)?ln x?
在区间（2，3）
内存在一个零
3、对于“问题2”
学生能够顺利的得出“主持人的“高
了，低了”的回答
是判断价格所在
区间的依据”这个
结论。
4、此时教师
通过“问题3”引导
学生进行比较哪
种方法更快更好。
从中学生可以得
到用二分法解决
问题的思路——
二分指的是将解
所在 区间平均地
分为两个区间。
1、教师通过
“问题1”对上节课
的内容进行复 习
引入，点出今天的
课题。并且有前面
游戏作为伏笔，学
生能够得出“连续< br>函数零点存在定
理”是判断方程的
根所在区间的依
据。2、通过“问题
寻找确定区间
的依据，为后面
探索“用二分法
求方程近似解”
的时候埋下伏< br>笔；
3、通过游
戏，让学生经历
游戏过程，感受
数学来自生活，激发学生的学
习兴趣；引导学
生善于发现身
边的数学，培养
学生的归纳演
绎的能力；学会
将实际情景转
化为数学模型。
4、通过比较不
同的方 法得出
最快的竞猜的
方法——二分
法；]
[设计意图：
1、开门见 山，
延续上一节课
的内容继续深
入的研究，使得
知识有一个连
接让学 生能够
很容易的将知
识建构到旧的
知识体系中。
2、运用问题
2x?

点；如何求出
方程
lnx?2 x?6?
在区间（2，3）
的近似解（精
确度为
0.01）？与刚才
的游戏是否有
类似之处？
3、精确度
的含义是什
么？怎样的区
间才算满足设
定的精确度？
4、区间
（2，3）的精
确度为多少？
5、如何将
零点所在的范
围缩小（即如
何将精确度缩
小）？缩小的
依据是什么？
6、如何 利
用今天“猜价
格”——“二
分法”的逼近
思想来将缩小
区间？
7、近似解
是多少？
2”应用具体的题
目引导学生进行
思考。学生 通过引
导将方程的解与
商品的价格联系
到一起，运用刚才
的游戏的经验，得< br>到缩小区间的想
法。
3、学生对精
确度的概念可能
有所遗忘。教师可
以借助数轴解释
说明精确度的含
义，引导学生思考
什么时候停止操
作 。
4、教师通过
“问题4～6”引导
学生将“二分法”与
“零点存在定理” 相
结合得到正确的
新的零点所在的
区间。并确定结束
的时间。
5、 学生按照
游戏的方法也就
是按照“二分法”的
思路，不断缩小零
点存在的区间 ，进
行具体操作，填出
（附录1）中的表
格。表格刚开始的
前几行学生可能< br>1，将学生的思
路与前面已解
决的问题联系
起来，引导学生
层层深入， 抽丝
拨茧，学习如何
分析问题、如何
利用新的知识
解决问题；培养
分 析问题、解决
问题的能力，以
及运用知识、驾
驭知识的能力。
3、师生的< br>互动有利于一
边引导一边总
结。将二分法应
用于解决实际
问题，即将新 的
知识应用于解
决新的问题。培
养学生实际应
用的能力，解决
问题的 严谨性，
总结知识的逻
辑性。使得最后
方法的总结能
够顺利进行。
4、有了前
面的商品的竞
猜过程的经历，
学生比较容易
入手，分析比较
容易到位，从而

1、 我们刚才得求解
过程中有哪些过程是
一直重复出现的？
2、我们取
其一段， 大家
看如何用数学
会比较慢，也有可
能会出错；通过多
次的重复以及经
验的总结，后面的
表格可以正确的、
快速的回答出来；
使得最后的“应用
二 分法求函数的
零点”的方法的总
结更加顺利。
6、对于“问题
7”学生比较 不容
易得到比较简洁
的结论。教师可以
进行解释说明：
“由于整个区间内的数均满足精确
度的条件，因此区
间内的所有数均
可以作为近似解，
但， 区间端点a，
b是已知的值，所
以可以取a或b
作为近似解。”，最
后得到方 程的近
似解（附录1的表
格后面的内容）。
学生经过老
师 “问题1～2”
的提示与引导，可
以得到“取区间的
中点，计算函数
值，比较符号，确
降低思维的难
度。
知识连接：
1、函数零点存
在定理 如果
函 数
y?f(x)
在
区间
[a,b]
上图
像是连续不断
的一条曲线，并
且有
f(a)?f(b)?0
，
那么，函数
y?f (x)
在区间
内有零点，即存
在
c?(a,b)
，使
得f(c)?0
，这
个c也就是方程
f(x)?0
的根。
2、精 确度
是对同一个量
的不同近似数
的精确程度的
度量。一般是：
一个近 似数，四
舍五入到哪一
位，就说这个近
似数精确到哪
一位。]
[设 计意图：
1、不断的引导，
将刚才的解题
过程经过“自然
语言——数学
语言——去其

语言来描述？
3、点明求方程
的近似解的
“二 分法”：对
于在区间（a，
b）上连续不
断、且f（a）·f
（b）<0的函 数
y＝f（x），通
过不断的把方
程的解所在的
区间一分为
二，使区 间的
两个端点逐步
逼近近似解，
进而得到近似
解的方法叫二
分法．
4、进一步
提出问题：运
用二分法求方
程的近似解的
步骤是什么？
5、运用二
分法的前提是
什么（游戏的
开始时要先做
什么工作）？< br>引例条件的内
涵是什么？
6、二分法
的实质是什
么？它有什么
作用?
定新的区间”这样
的相同的过程。
学生根据“二
分法”的定义进行
归纳总结：运用二
分法求方程的近
似解的步骤（附录
2）。其中步骤①
“画 图或利用函数
值的正负，确定初
始区间(a,b)，验证
f(a)f(b)<0；”学 生很
有可能会有遗漏。
此时可以提出“问
题5”引导学生回
忆、思考，从而得
到运用二分法的
前提——即步骤
①。
对于“问题
六”较好的学生才
能回答出来。
糟粕取其精华
——具体 步骤”
的过程，帮助学
生学会归纳总
结的方法。
2、课间的
及时总 结有利
于学生对当前
所学的内容进
行升华，了解自
己掌握了什么
知识 ，在后面的
作题中可以有
法可依，可以提
高解题的正确
率，增强自信。 3、问题六
的设计是将学
生的思维得到
升华，不再停留
在技能这一个层次，而是上升
为数学思想方
法的层次。
知识链接：
1、运用二分法
的前提是要先
判断根在某个
所在的区间。
2、二分法
实际上是一种
通过缩小区间
长度寻找解的
一种方法．]

1．练习：
（1）（2）题为
例题仿照题，
由同桌 协助完
成.（3）（4）考
察二分法的含
义,由同学独立
完成,可以寻求帮助.（附录4）
2．思考：
两道题均为实
际应用题,为学
有余力的同 学
提高能力。（附
录4）
3． 课后
作业：习题
3.1A组3、4；
B组1、2。
教师通过点
名提 问，学生借助
教师的帮助对整
请同学们回顾一
下本节课的教学过程，
你觉得你 已经掌握了
哪些知识？

节课进行最后的
归纳总结,得到以
下两点 （1）二分
法是一种求一元
方程近似解的通
法。（2）利用二分
法来解一元方 程
近似解的操作步
骤（附录3）。
[设计意图：
学生的归纳总
结的 能力不强
需要不断的培
养；课后的总结
有利于学生对
整节课的内容
进 行升华，了解
自己掌握了什
么知识，养成良
好的学习习惯，
建立自信心。]

练习1.（1）
（2）经过同桌两
位同学合作可以
顺利完成。（3 ）（4）
独立完成如果有
困难的同学在同
伴或老师的帮助
下可以完成。
练习2实际
应用：学有余力的
同学与同伴合作
探讨，也可以解
决。
[设计意图：
1、不同层次的
题目，层层递
进，不断提高学
生的能力 。不仅
巩固新学的知
识，而且让不同
层次的学生得
到不同的收获；
2、培养合
作、互助精神；
3、培养学
生应用与创新
的能力，利用 二
分法的逼近思
想解决实际问
题。]
教学反思 1.
本节课有两 条线，明线：“从生活实际、从学生熟知的现实生活、
从学生喜爱的游戏——“竞猜商品的价格”入手， 引导学生进入深层的思考——

如何才能更快更好的赢得游戏？与学生一道进行新知识的探 索过程——二分法
的得来；再将二分法充分的运用在函数零点的求解上；最后将二分法求解函数零
点的过程程序化”；暗线：“生活实际（特殊）——二分法的理论（一般）——二
分法的应用（特殊） ，”。让学生经历知识的形成与应用过程，培养发现问题、提
出问题、解决问题的能力，体现数学的基础 性、时代性、典型性和可接受性，体
会数学来自生活，应用于生活的最高境界，感受数学之美。2. 引入课题的方式，
（1）从生活中常见现象——“商品价格的竞猜”引入；（2）开门见山——“继续前面的研究”引入。
（附录1）解：设
f(x)?lnx?2x?6x?(2,3)< br>，先取区间的中点，再计算
中点的函数值，接着应用“零点存在定理”确定零点所在的区间，从而 缩小精确
度，得到下表：
区
2
2.5
2.5
2.5
2.5
2.53125
2.53125
2.53125
2.53125
2.533203125
2.534179688
2.534667969
间
3
3
2.75
2.625
2.5625
2.5625
2.546875
2.5390625
2.53515625
2.53515625
2.53515625
2.53515625
中点
2.5
2.75
2.625
2.5625
2.53125
2.546875
2.5390625
2.53515625
2.533203125
2.534179688
2.534667969
2.534912109
中点函数值
-0.083709268
0.511600912
0.215080896
0.065983344
-0.008786748
0.028617117
0.009919918
0.000567772
-0.004109191
-0.001770635
-0.000601413
-1.68157E-05
精确度
1
0.5
0.25
0.125
0.0625
0.03125
0.015625
0.007813
0.003906
0.001953
0.000977
0.000488
所以，当精确度为0.01时，由于|2.539 062 5-2.531 25|=0.0078125<0.01，因
此我们可以将x=2.25作为函数f(x)?lnx?2x?6
零点的近似值，也即方程
lnx?2x?6?0
根的 近似值。
（附录2）二分法求解方程 f(x)=0[或g(x)= h(x)]近似解的基本步骤：
① 画图或利用函数值的正负，确定初始区间(a,b)，验证f(a)f(b)<0；
a?b
② 求区间(a,b)的中点
x
1
(x
1
?)
；
2
③ 计算f(x
1
)：若f(x
1
)=0，则x
1
就是函数f(x)的零点，x
1
就是f(x)=0的根，
计算终止；
若f(a) f(x
1
)
?
0，则选择区间（a, x
1
）；
若f(a) f(x
1
)
?
0，则选择区间（x
1
，b）；

④ 循环操作②、③，直到当区间的精确度达到事先指定的精确度
是要求精确到























（附录4）
。
?
两端点精确到同一个近似值时才终止计算）
（附录3）二分法的过程如下图：
?
（若
输入ε，x
1
，x
2

x?
1
(x
1
?x
2
),y?f(x)

2
是
y=0?
否
否
否
x
1
=x
y
1
y<0?
是
x
2
=x
D<ε?
是
打印x
结束
1．练习：（1）应用计算器，求方程x+3x-1=0的一个正的近似解
。

（2）应用计算器，求方程
2
x
?x?4
的近似解。
（3）用二分法判断方程
2
x
?x
2
的根的个数（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
（4）方程
lg(x?4)?10
x
的根的情况 ( )
A.仅有一根 B.有一正根一负根 C.有两负根 D.无实根
2．思 考：(1)从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生
故障，需及时修理，为了尽快 断定故障发生点，一般至少需要检查接点的个数为
几个？
(2)一天，我们泉州七中校区与现 代中学（分校）校区的电缆线路出了故障，
（相距大约10km）电工是怎样检测的呢？
3． 课后作业：习题3.1A组3、4；B组1、2。

泉州七中冯红果
3

点评：
一个有经验的的教师，应该对挖掘课本知识是非常重视的， 挖掘
课本知识的根本目的在于让学生学会探索性学习，培养学生的探索能
力和创新精神。冯老师 本节的教学设计，能够从知识结构、学生的认
知结构展开，充分挖掘和体现了本课内容所蕴含的知识技能 、思想方
法、数学应用、数学文化的教育价值及学习研究解决问题的策略，立
足“方程与函数的 关系”，渗透了“算法”和“逼进”的数学思想，程序化的
解决问题的策略。从生活游戏“猜价格”引入 贴切，通过游戏直观感受
二分法的思想，开门见山，延续上一节课的内容继续深入的研究，将
本 节的知识建构在旧知识的体系中。设计中不管是情境的创设，还是
教师的引导和数学活动的设置，都能从 学生的实际出发，让学生经历
了直观感知、观察发现、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、反思建构等思维的全过程。在设计中还注意到数学的应用意识，思考
题中把“二分法”应用到电缆线 故障点的检修，提升了数学方法的重要
性和普遍性，体现了数学与生活的联系。
纵观本节的整 体设计，内容安排简洁精致有层次，教法选择合理丰富
有重点，过程设计紧凑有序可操作。



指数函数的图象及其性质

一、 教学内容分析
本 节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学（1）》（人教A版）第二
章第一节第二课（2.1.2） 《指数函数及其性质》。根据我所任教的学生的实际情

况，我将《指数函数及其性质》划 分为两节课（探究图象及其性质，指数函数及
其性质的应用），这是第一节课“探究图象及其性质”。 指数函数是重要的基本
初等函数之一，作为常见函数，它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同< br>时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究。
二、 学生学习况情分析
指数函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上
进行研究的，是学生对 函数概念及性质的第一次应用。教材在之前的学习中给出
了两个实际例子（GDP的增长问题和炭14的 衰减问题），已经让学生感受到指数
函数的实际背景，但这两个例子背景对于学生来说有些陌生。本节课 先设计一个
看似简单的问题，通过超出想象的结果来激发学生学习新知的兴趣和欲望。
三、设计思想
1.函数及其图象在高中数学中占有很重要的位置。如何突破这个即重要又< br>抽象的内容，其实质就是将抽象的符号语言与直观的图象语言有机的结合起来，
通过具有一定思考 价值的问题，激发学生的求知欲望――持久的好奇心。我们知
道，函数的表示法有三种：列表法、图象法 、解析法，以往的函数的学习大多只
关注到图象的作用，这其实只是借助了图象的直观性，只是从一个角 度看函数，
是片面的。本节课，力图让学生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方
位的 研究，并通过对比总结得到研究的方法，让学生去体会这种的研究方法,以
便能将其迁移到其他函数的研 究中去。
2.结合参加我校组织的两个课题《对话——反思——选择》和《新课程实施
中同伴 合作和师生互动研究》的研究，在本课的教学中我努力实践以下两点：
⑴.在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的
学习方式。
⑵.在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、
总结、反思，力图在培养 和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究
数学的方法。
3.通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法。
四、教学目标
根据任教班级学生 的实际情况，本节课我确定的教学目标是：理解指数函数
的概念，能画出具体指数函数的图象；在理解指 数函数概念、性质的基础上，能
应用所学知识解决简单的数学问题；在教学过程中通过类比，回顾归纳从 图象和
解析式这两种不同角度研究函数性质的数学方法，加深对指数函数的认识，让学
生在数学 活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要；同时通过本

节课的学习，使学 生获得研究函数的规律和方法；培养学生主动学习、合作交流
的意识。
五、教学重点与难点
教学重点：指数函数的概念、图象和性质。
教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。
六、教学过程：
（一）创设情景、提出问题(约3分钟)
师：如果让1号同学准备2粒米，2号同学准备4粒 米，3号同学准备6粒
米，4号同学准备8粒米，5号同学准备10粒米，……按这样的规律，51号同
学该准备多少米？
学生回答后教师公布事先估算的数据：51号同学该准备102粒米，大约5
克重。
师：如果改成让1号同学准备2粒米，2号同学准备4粒米，3号同学准备
8粒米，4号同学准备16粒 米，5号同学准备32粒米，……按这样的规律，51
号同学该准备多少米？
【学情预设：学生可能说很多或能算出具体数目】
师：大家能否估计一下，51号同学该准备的米有多重？
教师公布事先估算的数据：51号同学所需准备的大米约重1.2亿吨。
师：1.2亿吨是一 个什么概念？根据2007年9月13日美国农业部发布的最
新数据显示，2007～2008年度我国 大米产量预计为1.27亿吨。这就是说51号
同学所需准备的大米相当于2007～2008年度我国 全年的大米产量！
【设计意图：用一个看似简单的实例，为引出指数函数的概念做准备；同时
通过与一次函数的对比让学生感受指数函数的爆炸增长，激发学生学习新知的兴
趣和欲望。】
在以上两个问题中，每位同学所需准备的米粒数用
y
表示，每位同学的座号
数用
x
表示，
y
与
x
之间的关系分别是什么？
学生很容易得 出y=2x（
x?
N
?
）和
y?2
x
（
x ?
N
?
）
【学情预设：学生可能会漏掉
x
的取值范围，教 师要引导学生思考具体问题
中
x
的范围。】
（二）师生互动、探究新知
1．指数函数的定义
师：其实，在本章开头的问题2中，也有一个与
y?2
x
类似的关系式
y?1.073
x
（
x?N
?
,x ?20
）
⑴让学生思考讨论以下问题（问题逐个给出）：（约3分钟）

①
y?2
x
（
x?
N
?
）和
y?1. 073
x
（
x?N
?
,x?20
）这两个解析式有什么共< br>同特征？
②它们能否构成函数？
③是我们学过的哪个函数？如果不是，你能否根据该函数的特征给它起个恰
当的名字？
【设计意图：引导学生从具体问题、实际问题中抽象出数学模型。学生对比
已经学过一次函数、反比例 函数、二次函数，发现
y?2
x
，
y?1.073
x
是一个 新
的函数模型，再让学生给这个新的函数命名，由此激发学生的学习兴趣。】
引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量。
师：如果可以用字母
a< br>代替其中的底数，那么上述两式就可以表示成
y?a
x
的形式。自变量在指数位 置，所以我们把它称作指数函数。
⑵让学生讨论并给出指数函数的定义。（约6分钟）
对于底数的分类，可将问题分解为：
①若
a?0
会有什么问题？（如
a??2
，
x?
不存在）
②若

③若

要.）
师：为了避免上述各种情况的发生,所以规定

在这里要注意生生之间、师生之间的对话。
【学情预设： ①若学生从教科书中已经看到指数 函数的定义，教师可以问，
为什么要求
a?0，且a?1
；
a?1
为 什么不行？
②若学生只给出
y?a
x
，教师可以引导学生通过类比一次函数
k
（
y?kx?b,k?0
）、反比例函数（
y?,k?0
）、二次函数
x
（
y?ax
2
?bx?c,a?0
）中的限 制条件， 思考指数函数中底数的限制条件。】
【设计意图 ：①对指数函数中底数限制条件的讨论可以引导学生研究一个
函数应注意它的实际意义和研究价值；
②讨论出
a?0，且a?1
，也为下面研究性质时对底数的分类做准备。】
接下来教师可以问学生是否明确了指数函数的定义，能否写出一两个指数函
y?3
2x
，
y??2
x
。数？教师也在黑板上写出一些解析式让学生判断，如
y?2? 3
x
，
1
则在实数范围内相应的函数值
2
会有什么问题？ （对于
x?0

，
a
x
都无意义）
又会怎么样？（无论

取何值,它总是1,对它没有研究的必
且

.
【学情预设：学生可能只是关注指数是否是变量，而不考虑其它的。】
【设计意图 ：加深学生对指数函数定义和呈现形式的理解。】
2．指数函数性质
⑴提出两个问题（约3分钟）

①目前研究函数一般可以包括哪些方面； 【设计意图：让学生在研究指数函数时有明确的目标：函数三个要素（对应
法则、定义域、值域、） 和函数的基本性质（单调性、奇偶性）。】
②研究函数（比如今天的指数函数）可以怎么研究？用什么方法、从什么角
度研究？
可以从图象和解析式这两个不同的角度进行研究；可以从具体的函数入手
（即底数取一些数值）；当然也 可以用列表法研究函数，只是今天我们所学的函
数用列表法不易得出此函数的性质，可见具体问题要选择 适当的方法来研究才能
事半功倍！还可以借助一些数学思想方法来思考。
【设计意图：①让学 生知道图象法不是研究函数的唯一方法，由此引导学生
可以从图象和解析式(包括列表)不同的角度对函 数进行研究；
②对学生进行数学思想方法（从一般到特殊再到一般、数形结合、分类讨论）
的有机渗透。】
⑵分组活动，合作学习（约8分钟）
师：好，下面我们就从图象和解析式这两个不同的角度对指数函数进行研究。
①让学生分为两 大组，一组从解析式的角度入手（不画图）研究指数函数，
一组借助电脑通过几何画板的操作从图象的角 度入手研究指数函数；
②每一大组再分为若干合作小组（建议4人一小组）；
③每组都将研究所得到的结论或成果写出来以便交流。
【学情预设：考虑到各组的水平可能有所不同，教师应巡视，对个别组可做
适当的指导。】 < br>【设计意图：通过自主探索、合作学习不仅让学生充当学习的主人更可加深
对所得到结论的理解。 】
⑶交流、总结（约10～12分钟）
师：下面我们开一个成果展示会!
教师在 巡视过程中应关注各组的研究情况，此时可选一些有代表性的小组上
台展示研究成果，并对比从两个角度 入手研究的结果。
教师可根据上课的实际情况对学生发现、得出的结论进行适当的点评或要求
学生分析。这里除了研究定义域、值域、单调性、奇偶性外，再引导学生注意是
否还有其它性质？ 师：各组在研究过程中除了定义域、值域、单调性、奇偶性外是否还得到一
1
些有价值的副 产品呢？（如过定点（0，1），
y?a
x
与
y?()
x
的 图象关于y轴对
a
称）
【学情预设： ①首先选一从解析式的角度研究的小组上台汇报；

②对于从图象的角度研究的，可先选没对底数进行分类的小组上台汇报；
③问 其它小组有没不同的看法，上台补充，让学生对底数进行分类，引导学
生思考哪个量决定着指数函数的单 调性，以什么为分界，教师可以马上通过电脑
操作看函数图象的变化。】
【设计意图： ①函 数的表示法有三种：列表法、图象法、解析法，通过这
个活动，让学生知道研究一个具体的函数可以也应 该从多个角度入手，从图象角
度研究只是能直观的看出函数的一些性质，而具体的性质还是要通过对解析 式的
论证；特别是定义域、值域更是可以直接从解析式中得到的。
②让学生上台汇报研究 成果，让学生有种成就感，同时还可训练其对数学问
题的分析和表达能力，培养其数学素养；
③对指数函数的底数进行分类是本课的一个难点，让学生在讨论中自己解决
分类问题使该难点的突破显得 自然。】
师：从图象入手我们很容易看出函数的单调性、奇偶性、以及过定点（0，1），
但 定义域、值域却不可确定；从解析式（结合列表）可以很容易得出函数的定义
域、值域，但对底数的分类 却很难想到。
教师通过几何画板中改变参数
a
的值，追踪
y?a
x
的图象，在变化过程中，
让全体学生进一步观察指数函数的变化规律。
师生共同总结指数函数的图象和性质，教师可以边总结边板书。



图


象
0a>1
定义域
值 域

过定点（0，1）
非奇非偶
在R上是减函数
（三）巩固训练、提升总结（约8分钟）
性
质
R

在R上是增函数
1．例：已知指数函数
f(x)?a
x
(a?0,且a?1)
的图象经过点
(3,
?
)
，求< br>f(0),f(1),f(?3)
的值。

解：因为
f(x)? a
x
的图象经过点
(3,
?
)
，所以
f(3)?< br>?

即
a?
?
，解得
a?
?
，于是
f(3)?
?
。
所以
f(0)?1,f(1)?
3
?
,f(?3)?
3
1
3
x
3
1
?。
【设计意图：通过本题加深学生对指数函数的理解。】
师：根据本题，你能说出确定一个指数函数需要什么条件吗？
师：从方程思想来看，求指数函 数就是确定底数，因此只要一个条件，
即布列一个方程就可以了。
【设计意图：让学生明确底数是确定指数函数的要素，同时向学生渗透
方程的思想。】
1
2．练习：⑴在同一平面直角坐标系中画出
y?3
x
和
y?()
x
的大致图象，
3
并说出这两个函数的性质；
⑵求下列函数的定义域：①
y?2
x?2
1
，②
y?()
x
。
2
1
3．师：通过本节课的学习，你对指数函数有什么认识？你有什么收获？
【学情预设：学生可能只是把指数函数的性质总结一下，教师要引导学
生谈谈对函数研究的学习，即怎 么研究一个函数。】
【设计意图：①让学生再一次复习对函数的研究方法（可以从也应该从
多 个角度进行），让学生体会本课的研究方法,以便能将其迁移到其他函数的
研究中去。
②总结本节课中所用到的数学思想方法。
③强调各种研究数学的方法之间有区别又有联系，相互作用，才能融会
贯通。】
4．作业：课本59页习题2．1A组第5题。
七、教学反思
1．本节课改变了以 往常见的函数研究方法，让学生从不同的角度去研究函
数，对函数进行一个全方位的研究，不仅仅是通过 对比总结得到指数函数的性质，
更重要的是让学生体会到对函数的研究方法,以便能将其迁移到其他函数 的研究
中去，教师可以真正做到“授之以渔”而非“授之以鱼”。
2．教学中借助信息技术可 以弥补传统教学在直观感、立体感和动态感方面
的不足，可以很容易的化解教学难点、突破教学重点、提 高课堂效率，本课使用
几何画板可以动态地演示出指数函数的底数的动态过程，让学生直观观察底数对< br>指数函数单调性的影响。

3．在教学过程中不断向学生渗透数学思想方法，让学 生在活动中感受数学
思想方法之美、体会数学思想方法之重要，部分学生还能自觉得运用这些数学思想方法去分析、思考问题。
福州十一中 胡鹏程

点评：

本节是指数函数及其性质概念课，胡老师在教学设计中，让
人印象深刻的是以学生为主体，注重学法指 导，重视新旧知识的
契合，关注知识的类比，学习方法的迁移。胡老师能够抓住学生
的好奇心， 将娱乐“计算米粒”与数学有机地结合在一起，提高了
学生学习本节知识的兴趣。在观察“准备米粒”得 到
y?2
n
和章开头
y?1.073
x
（
x?N< br>?
,x?20
）函数关系式后，巧妙而不失时机地引导
学生从具体问题中抽象出 数学模型
y?a
x
，发现指数在变化，这与
以前所学函数（一次函数、二次函 数、反比例函数）都不一样，
把变化的量用
x
表示，不变的量用a表示；通过让学生给 函数命
名，举几个指数函数例子这个小环节，增强学生对指数函数本质
的理解，激发学习兴趣， 概念的得到可谓“润物细无声”。接着，胡
老师在设计中还注重对学生探索能力的培养，让学生类比一次 函
数（
y?kx?b,k?0
）、反比例函数（
y?
k
,k ?0
）、二次函数
x
（
y?ax
2
?bx?c,a?0）中的限制条件，给出指数函数的定义及底数
a
的取值范围。
在研究指数函数的 性质时，胡老师能够紧扣第一章的函数知
识，让学生在研究指数函数时有明确的目标：函数三个要素（对
应法则、定义域、值域、）和函数的基本性质（单调性、奇偶性）。
通过提问的方法，让学生明 白研究函数可以从图象和解析式这两
个不同的角度进行出发，将学生的注意力引向本节的第二个知识点——图象及其性质。设计中将学生进行分组，通过学生的自主
探究、合作学习，侧重对解析式、作 图象探索。学生的上台报告，
老师借助几何画板的直观图形，以形助数，以数定形，数形结合
的 数学方法，收到了较好的研究效果。

对数的概念

一、教学内容分析
本节课是新课标高中数学A版必修①中第 二章对数函数内容的第一课时，
也就是对数函数的入门。对数函数对于学生来说是一个全新的函数模型， 学习起
来比较困难。而对数函数又是本章的重要内容，在高考中占有一定的分量，它是
在指数函 数的基础上，对函数类型的拓广，同时在解决一些日常生活问题及科研
中起十分重要的作用。通过本节课 的学习，可以让学生理解对数的概念，从而进
一步深化对对数模型的认识与理解，为学习对数函数作好准 备。同时，通过对数
概念的学习，对培养学生对立统一，相互联系、相互转化的思想，培养学生的逻辑思维能力都具有重要的意义。

二、学生学习情况分析
现阶段大部分学生学 习的自主性较差，主动性不够，学习有依赖性，且学习
的信心不足，对数学存在或多或少的恐惧感。通过 对指数与指数幂的运算的学习，
学生已多次体会了对立统一、相互联系、相互转化的思想，并且探究能力 、逻辑
思维能力得到了一定的锻炼。因此，学生已具备了探索发现研究对数定义的认识
基础，故 应通过指导，教会学生独立思考、大胆探索和灵活运用类比、转化、归
纳等数学思想的学习方法。

三、设计思想
学生是教学的主体,本节课要给学生提供各种参与机会。为了调动学 生学习
的积极性，使学生化被动为主动。本节课我利用多媒体辅助教学,教学中我引导
学生从实 例出发，从中认识对数的模型，体会引入对数的必要性。在教学重难点
上，我步步设问、启发学生的思维 ,通过课堂练习、探究活动,学生讨论的方式来
加深理解,很好地突破难点和提高教学效率。让学生在教 师的引导下，充分地动
手、动口、动脑，掌握学习的主动权。

四、教学目标 1、理解对数的概念,了解对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的互化；
理解对数的性质，掌握 以上知识并形成技能。
2、通过事例使学生认识对数的模型，体会引入对数的必要性；通过师生观察分析得出对数的概念及对数式与指数式的互化。
3、通过学生分组探究进行活动，掌握对数的重 要性质。通过做练习，使学
生感受到理论与实践的统一。
4、培养学生的类比、分析、归纳能 力，严谨的思维品质以及在学习过程中培
养学生探究的意识。
五、教学重点与难点
重点 ：（1）对数的概念；（2）对数式与指数式的相互转化。

难点 ：（1）对数概念的理解；（2）对数性质的理解。

六、教学过程设计
教
学
教学程序及设计
环
节
引例（3分钟）
1、一尺之棰，日取其半，万世不竭。
（1）取5次，还有多长？
（2）取多少次，还有0.125尺?
分析:
(1)为同学们熟悉的指数函数的模型,易得
创
5
1
?
1
?

设
??
?
32
?
2
?
情
境
x
1
??

(2)可设取x次,则有
??
?0.125

?
2
?
引
入
x
1
??
新
抽象出:
??
?0.125
?x??

?
2
?
课
2、2002年我国GPD为a亿元，如果每年平均增
长8%，那么经过多少年GPD是2002年的2倍？
x
(1?8%)?2
分析:设经过x年,则有
设计意图
抽象出:
(1?8%)













x
?2
?x??

让学生根据
题意，设未
知数，列出
方程。这两
个例子都出
现指数是未
知数x的情
况，让学 生
思考如何表
示x，激发
其对对数的
兴趣，培养
学生的探究
意识。生活
及科研中还
有很多这样
的例子，因
此引入对数
是必要的。
正确理解对
数定义中底
数的限制，
为以后对数
函数定义域
的 确定作准
备。同时注
意对数的书
写，避免因
书写不规范
而产生的错< br>误。
一、对数的概念（3分钟）
一般地，如果a(a>0且a≠1)的b次幂等于N, 就
b
a
是 =N 那么数 b叫做 a为底 N的对数,记作
log
a
N?b
，a叫做对数的底数,N叫做真数。
注意：①底数的限制:a>0且a≠1
②对数的书写格式
log
a
N

讲
授
新
课
































二、对数式与指数式的互化：（5分钟）
幂底数 ← a → 对数底数
指数 ← b → 对数
幂 ← N → 真数

思考：
①为什么对数的定义中要求底数a>0且a≠1？
②是否是所有的实数都有对数呢？
负数和零没有对数

让学生了解
对数与指数
的关系，明
确 对数式与
指数式形式
的区别，a、

b和N位置
的不同，及
它们的含
义。互化体
现了等价转
化这个重要
的数学思
想。
三、两个重要对数（2分钟）
①常用对数：
以10为底的对数
log
10
N
,简记为: lgN
②自然对数：
以无理数e=2.71828…为底的对数的对数
log
e
N

简记为: lnN . (在科学技术中,常常使用以e为底的
对数)
注意：两个重要对数的书写
课堂练习（7分钟）
1 将下列指数式写成对数式：
（1）
2
4

这两个重要
对数一定要
掌握，为以< br>后的解题以
及换底公式
做准备。
?16
（2）
3
?3
?
1

27
b
?
1
?
a
（3）
5?20
（4）
??
?0.45

?
2
?
2 将下列对数式写成指数式：
（1）
log
5
125?3
（2）
log
1
3
3??2

（3）
log
10
a??1.069

3 求下列各式的值：
（1）
log
2
64
（2）
log
9
27


本练习让学
生独立阅读< br>课本P69例
1和例2后
思考完成，
从而熟悉对
数式与指数
式 的相互转
化，加深对
对数的概念
的理解。并
要求学生指
出对数式与< br>指数式互化
时应注意哪
些问题。培
养学生严谨
的思维品
质。

讲

授
新

课
















讲
授
新
课




讲

授

新
课


四、对数的性质（12分钟）
探究活动1
求下列各式的值：
（1）
log
3
1?
0 （2）
lg1?
0
（3）
log
0.5
1?
0 （4） 0
思考：你发现了什么？
“1”的对数等于零，即
log
a
1?0
类比：
a
0
?1

ln1?
探究活动2
求下列各式的值：
（1）
log
3
3?
1 （2）
lg10?
1
（3）
log
0.5
0.5?
1 （4）
lne?
1
思考：你发现了什么？
底数的对数等于“1”，即
log
a
a?1
类比：
a
1
?a

探究活动3
求下列各式的值：
lo g
2
3
log
7
0.6
?
（1）
2
3 （2）
7
log
0.4
89
0.4?
89 （3）
思考:你发现了什么?
?
0.6
log
a
N
a?N
对数恒等式:
探究活动4
求下列各式的值:
5
4
log0.9
log3?
(1) 4 (2)
0.9
3
8
(3)
lne?
8
思考:你发现了什么?
n
对数恒等式:
log
a
a?n


探究 活动由
学生独立完
成后，通过
思考，然后
分小组进行
讨论，最后得出结论。
通过练习与
讨论的方
式,让学生
自己得出结
论,从而 更
能好地理解
和掌握对数
的性质。培
养学生类
比、分析、
归 纳的能
力。最后，
将学生归纳
的结论进行
小结，从而
得到对数的基本性质。
?
5

讲
授
新
课











负数和零没有对数
小 “1”的对数等于零，即
log
a
1?0

底数的对数等于“1”，即
log
a
a?1

logN
结 对数恒等式:
a
a
?N

n
对数恒等式:
log
a
a?n

将学生归纳
的结论进行
小结，从而
得到对数的
基本性质。

巩
固
练
习
（10分钟）
1、课本P70 练习
2、提高训练
(1)已知x满足等式
log5
?
log
3
(log
2
x)
?
?0
，求
log
16
x
值
（2）求值：
log
2.5
6.25?lg
1
?ln
100
e

巩固 指数式
与对数式的
互化，巩固
对数的基本
性质及其应
用。
（3分钟）
1、 引入对数的必要性----对数
归
纳
小
结

强
化
思
想

的概念
一般地，如果a(a>0且a≠1)的b次幂等于N,就是
a
b
=N，那么数b叫做以a为底，N的对数。记作
log
a
N?b

2 、指数与对数的关系

3、对数的基本性质
负数和零没有对数
log
a
1?0

log
a
a?1




总结是一堂
课内容的概
括，有利于
学生系 统地
掌握所学内
容。同时，
将本节内容
纳入已有的
知识系统
中，发挥承
上启下的作
用。为下一
课时对数的
运算打下扎
实的基础。

对数恒等式:
a
log
a
N
?N

作业是学生
信息的反
馈，教师可
以在作业中
发现学生在
学习 中存在
的问题，弥
补教学中的
不足。

log
a
a
n
?n

一、课本P82 习题2.2 A组 第1、2题
作
业
布
置
3x?2y
log2?x,log3?y
a
二、已知，求的值
aa
三、求下列各式的值：
2

2

2log
9
51?2log
3
4
3

3

§2.2.1 对数的概念
2log
2
5
? log
2
3
板

书
设
计
引例1
引例2
一、对数
的定义
二、对数式与指数
式的互化

练习
三、对数的基本
性质

四、小结
五、作业布置

七、
教学反思

本教学设计先由引例出发，创设情境，激发学生对 对数的兴趣；在讲授新课
部分，通过结合多媒体教学以及一系列的课堂探究活动，加深学生对对数的认识 ；
最后通过课堂练习来巩固学生对对数的掌握。
古田一中 林宁宁

点评
：
对数概念是高中数学课程的重要内容。本文目标的制订具体、适
宜， 且明确地体现在每一教学环节中，教学思路设计符合教学内容实
际和学生实际，层次脉络较清晰。强调对 数的概念的理解，对数式与
指数式的相互转化，对书写规格等做了要求，有利于学生作业的规范
化，培养学生严谨的思维品质。高中新课程在教学方面所倡导的新的
教学理念，对于促进课堂教学中学生 学习方式的变革起到了巨大作
用。然而，这些理念在指导我们重建课堂教学时也表现出限定的有效
性。只有对此有客观和充分的认识，我们才不至于生搬硬套，适得其
反，从一个极端走向另一个极端。 教无定法，重在得法，只要能激发
学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性，有助于学生思维能力的培< br>养，有利于所学知识的掌握和运用，达到课堂教学的效果，都应该是
好的教学方法。

对数函数及其性质（2）

一、教学内容分析
《普通高中课程标准数学教科书·必修（1）》（人民教育出版 社）高中一年
级第二单元2.2.2《对数函数的图象和性质》第一课时。
函数是高中数学的 主体内容——变量数学的主要研究对象之一，是中学数学
的重点知识，研究函数的一般理论和基本方法， 用函数的思想方法解决实际问题，
是函数教学的主要目标。必修(Ⅰ)2.2.2对数函数及其性质，按 课标要求教学时间
为3个学时，本节课为第1课时，本节课教学是学生在学过正比例函数、一次函
数、二次函数、反比例函数和指数函数的基础上进一步学习的一种新函数，对对
数函数概念的理解，图 象和性质的掌握和应用有利于学生对初等函数认识的系统
性，有利于进一步加深对函数思想方法的理解。 为后面进一步探究对数函数的应
用及指数函数、对数函数的综合应用起到承上启下的作用。
二、学情与教材分析
对数函数是高中引进的第二个初等函数，是本章的重点内容。学生在前面 的
函数性质、指数函数学习的基础上，用研究指数函数的方法，进一步研究和学习
对数函数的概 念、图象和性质以及初步应用，有利于学生进一步完善初等函数的
认识的系统性，加深对函数的思想方法 的理解，在教学过程中，虽然学生的认知
水平有限，但只要让学生体验对数函数来源于实践，通过教师课 件的演示，通过
数形结合，让学生感受y=log
a
x(a>0且a≠1)中，a取不 同的值时反映出不同的函
数图象，让学生观察、小组讨论、发现、归纳出图象的共同特征、函数图象的规
律，进而探究学习对数函数的性质。
最后将对数函数、指数函数的图象和性质进行比较，以便 加深对对数函数的
概念、图象和性质的理解，同时也为后面教学作准备。
三、设计思想 在本节课的教学过程中，通过古遗址上死亡生物体内碳14含量与生物死亡
年代关系的探索，引出对 数函数的概念。通过对底数
a
的分类讨论，探究总结出
对数函数的图象与性质，使学生 经历从特殊到一般的过程，体验知识的产生、形
成过程，通过例题的分析与练习，进一步培养学生自主探 索，合作交流的学习方
式，通过学生经历直观感知，观察、发现、归纳类比，抽象概括等思维过程，落< br>实培养学生积极探索学习习惯，提高学生的数学思维能力的新课程理念。
四、教学目标
1、通过对对数函数概念的学习，培养学生实践能力，使学生理解对数函数
的概念，激发学生的学习兴 趣。

2、通过对对数函数有关性质的研究，渗透数形结合、分类讨论的数学思想。培养观察、分析、归纳的思维能力和交流能力，增强学习的积极性。掌握对数函
数的图象与性质，并 会初步应用。
3、培养学生自主学习、数学交流能力和数学应用意识。通过联系观点分析，
解 决两数比较大小的问题。
五、教学重点和难点
重点：1、对数函数的定义、图象、性质。
2、对数函数的性质的初步应用。
难点：底数a对对数函数图象、性质的影响。
六、教学过程设计
问题与情境 师生活动
活动一：
1、你能说出指数函数的概念、图象、生：回答问题1。
性质吗？ 师：组织学生计算，注
2、（课件演示）
意引导学生从函数的实际
看2.2.1的例6，在t=log
5730
1< br>2
P中，
出发，解释两个变量之间的
请同学们用计算器计算，在古遗址
关系。
上生物体内碳14的含量P，与之相
教师提出问题，注意引
对应生物死亡年代 t的值，完成下
表：
导学生把解析式概括到

y=log
a
x形式。
P 0.5 0.3 0.01

t

3、你能归纳出这类函数的一般式吗？
学生思考，归纳概括函
数特征。
设计意图

通过回顾旧
知识，使知识得
到联系。
创设问题情
境，让学生从生
活中发现问题，
激发学生的学习
兴趣。

初步建立对
数函数模形。

活动二：
归纳给出对数函数的概念


你知道为什么
a?0
且
a?1
和
x?0
吗？
活动三：
1、你能用描点法画出
y?log
2
x
和
y?log
1
x
的图象吗？

2








2、从画出的图象中，你能发现解析式
的区别在哪里？图象有什么不同和
联系？


师：(板书)一般地，我抽象出对数
们把函数
y?loga
x(a?0
且函数的一般形
a?1)
叫做对数函数，其中x式，让学生 感受
是自变量，定义域为从特殊到一般的
x?(0,??)
。 数学思维方法，
教学引导学生用对数发展学生抽象思
的定义分析、回答。 维能力。

生：独立画图，同学间会用描点法
交流。 画出这两个函数
的图象。
师：课堂巡视，个别辅
导，展示画得较好的个别同
学图象。图5—1





为对数函数
的图象和性质作
铺垫。

图5—1
生：个别同学尝试回答。
师：引导学生发现、观
察、对比底数不同对函数图
象的影响。

活动四：
1、你知道下列函数：

生：独立思考，小组讨论。

通过学生讨
（1）
y?log
2
x,
y?log
3
x
，
y?log
4
x
，

（2）
y?log
1
x
，
y?l og
1
x
，
y?log
1
x

师：用多媒体课件展示
234
各个函数的图象。
图象吗？观察并回答有什么共同点和
不同点？


生：观察图象讨论、交

流合作，归纳出对数函数的
2、你能思考并归纳出< br>y?log
a
x

共同性质。
(a?0
且
a?1)
中，当
a?1
和

0?a?1
时，两种图象的特点吗？
师：注意引导学生从函

数性质去分析。
给出对数函数y=log
a
x(a>0且a≠1)的图象和性质。

a?1

0?a?1


y

y
u u
图
象
O 1
x
O
1
x
图5-2
定
义
x?(0,??)

域
值
域
R
过定点（1，0）
在
x?(0,??)
上为增函数 当在
x?(0,??)
上为减函数
当
x?1时，y?0
当
x?1时，y?0

当
0?x?1时，y?0
当
0?x?1时，y?0

活动五：
练习，
P
81
，1、画出函数
生：独立完成。
y?log
3
x
和
y?log
1
x
图象， 并且说
师：课堂巡视，注意收集
3
学生存在的问题，集中讲评。
明这两个函数图象有什么不同点和
论，培养学生交
流合作能力。

获得对数函
数的图象和性
质。

明确底数a
是确定对数函数
的要素，渗透分
类讨论思想。
通过对数 函
数图象的观察，分
析总结出对数函
数的性质，有利于
加深学生对性质
的理解和掌握，使
学生经历从特殊
到一般的过程，体
验知识的产生形
成过程 ，逐步培养
学生的抽象概括
能力。

掌握对数函
数图象的画法。

相同点？
活动六：
例1、求下列函数的定义域：。
（1）
y?log
a
x
2

（2）
y?log
a
(4?x)









练习：
P
81
,2， 求下列函数的定义域：
(1)
y?log
5
(1?x)
(2)
y?
1
logx

2
(3)
y?log1
7
1?3x
(4)
y?log
3
x

活动七：
例2，比较下列各组数中两个值
的大小。
(1)
log
2
3.4

log
2
8.5

(2)
log
0.3
1.8

log
0.3
2.7

(3)
log
2
0.5

log
0.3
0.4

(4)
log
5
6

log
6
5



师：（分析）函数的定义域明确真数大
必须使函数的解析式有意义，
于0的条件，掌
根据
y?log
a
x
中
x?0
中，所以
握解题步骤。
①中
x
2
?0
，即
x?
0；②
4?x?0,
?x?4
。
师：(板书)解：(1)
?x
2
?0,

?x ?0
，即函数
y?log
a
x
2
的定
义域为
?
xx?0
?
。(2)
?4?x?0,

?x
2
?0,
?x?4
，即函数
y?log
?< br>a
(4?x)
的定义域为
xx?4
?
。
生：认真听讲，积极思考，
叙述解例1的步骤。

师：请4个同学上台板演。 函数图象性
生：独立完成。 质，得到进一下
师：课堂巡视，个别辅导，的巩固和提高。
对学生完成情况进行点评。

师：(分析)请同学们观察利用对数函
(1)(2)两题，这两个对数底数数的单 调性，进
相同，因此(1)可认为是行两个函数对数
y?log
2
x
中，x取3.4和8.5值的大小比较，
时的函数值。(2)可认为是函数的性质得到
y?lo g
0.3
x
中，x取1.8和2.7初步应用。
的函数值。由
y?log
a
x
单调性
可以比较，(3)中底数不相同，
真数也不相同，结合函数图象，
如何共同探索出比较方法，(4)
根据函数的单调性，可寻找中
间量1进行比较。

(板书)解：
增函数，且3.4<8.5，
∴
log
2
3.4?log
2
8.5
；
(2) ∵
y?log
0.3
在(0，+∞)






(1)∵
y?log
2
x
在(0，+∞)上是
上是减函数，且1.8<2.7；
练习：P
81
3 比较下列各题中的
两个值的大小。
(1)
log
10
6

log
10
8

(2)
log
0.5
6

log
0.5
4

(3)
log
2
0.5

log
2
0.6

(4)
log
3
3
1.5
1.6

log
1.5
1.4

活动八：
(补充思考题)看谁能解答下题。
设
log
2
a
3
?1
，则实数
a
取值范
围是（ ）
A、
0?a?
2
3
B、
2
3
?a?1

C、
0?a?
22
3
或a?1
D、
a?
3

∴
log
0.3
1.8?log
0.3
2.7

(3)由
y?log
2
x
图象可知：
log
2< br>0.3?0
由
y?log
0.3
x

图象可知，
log
0.3
0.4?0
，
∴
log
2
0.3?log
0.3
0.4
；
(4)∵
log
5
6?log
5
5?1

log
6
5?log
6
6?1
，
∴
log
5
6?log
6
5
。


师：请4个同学上台板演，
其余同学独立完成。教师在巡
视中，个别辅导。 结合学生完
成情况，有针对性的点评。

师：鼓励学生大胆尝试。

教师注意引导学生用分类
讨论思想，应用函数性质去解
答。


补充的（3）
（4）两小题是为
了更好地共同探
索出各种比较方
法。


使学生进一
步应用对数函数
的性质。

本题是让部
分学有余力的同
学积极去完成。
培养学生探
索精神。渗透分
类讨论思想。

小结：
1、你能归纳出这节课的学习内
容吗？
2、对数函数及其性质和指数函
数及其性质有什么区别和联系？
3、你能谈谈这节课的收获和体
会吗？

小组讨论，合作交流，由

学生在教学
识，进一步巩固
和提高对数函数
及其性质。
学生代表总结表达，教师补充。 反思中，整理知
七、教学反思
函数内容是学生学习 上的一个难点，本节课的教学设计能通过实例，渗透数
学方法和思想，与指数函数的类比学习，注重学生 探究学习的过程。能够根据教
学内容、学生的认知规律和教学设计的情意原则、过程原则进行设计，突出 教师
的指导和学生自主探究、合作交流的学习理念，使学生对概念的产生、图象的形
成过程有了 较深入的理解。通过对对数函数的图象和性质的研究，对底数
a
的分
类讨论，以达到突 破难点的目的。通过例题的分析和讲解、学生的练习，使函数
的图象和性质得到初步应用。活动八补充的 思考题是让层度较好的同学去完成，
如果课堂时间不允许，可将此部份内容留给学生课后去完成。
漳平二中邓荣庆
点评
本节课是根据学生认知规律设计教学，通过学生实践使学生理 解
对数函数的概念，其过程是主要的，通过对函数
y?log
2
x
和
y?log
1
x
的
2
描点法函数图象的产生，更重要的是对 函数
y?log
a
x
(a>0且a≠1)的
底数a的变化，进行观察 、分析、归纳等探究活动，形成了对数函数
y?log
a
x
(a>0且a≠1 )的底数a>1和0教师的启发、引导下，结合前面指数函数的学习方 法，数形结合，让
学生小组讨论、合作交流，一起归纳出对数函数的性质。通过教学活
动六，使 学生对函数的概念更深刻的理解。教学活动七，使学生用函
数图象的单调性解决问题。例2补充的(3) 、(4)两个小题，目的是使
学生从函数的各个角度分析问题，解决问题，培养学生探索精神。最

后补充的思考题是让学有余力的同学去完成，使不同层次的学生各有
所得。
通过小结，让学生对建立和研究一个具体函数的方法有较完整的
认识。








函数图象及其应用
一．教学内容分析：
本堂课安排在人教版必修1第二章结束之后，第三章教学之前，对所学常 见
函数模型及其图像进行归纳总结，使学生对函数图像有个系统的认识，在此基础
上，一方面加 强学生的看图识图能力，探究函数模型的广泛应用，另一方面，着
重探讨函数图像与方程的联系，渗透函 数与方程的思想及数形结合思想，为第三
章作了很好的铺垫，承上启下，衔接自然，水到渠成。
学生对函数与方程的关系有一个逐步认识的过程，应遵循由浅入深、循序渐
进的原则．从学生认为较简 单的问题入手，由具体到一般，建立方程的根与函数
图像的联系。另外，函数与方程相比较,一个“动” ，一个“静”；一个“整体”，
一个“局部”，用函数的观点研究方程，本质上就是将局部的问题放在整 体中研
究，将静态的结果放在动态的过程中研究，这为今后进一步学习函数与不等式等
其它知识 的联系奠定了坚实的基础。
二．学生学习情况分析：
学生在学完了第一章《集合与函数概念 》、第二章《基本初等函数》后，
对函数的性质和基本初等函数及其图像有了一定的了解和把握，但学生 素质
参差不齐，又存在能力差异，导致不同学生对知识的领悟与掌握能力的差距
很大。因此进行 本堂课的教学，应首先有意识地让学生归纳总结旧知识，提
高综合能力，对新知识的传授，即如何利用函 数图像解决方程的根的问题，
则应给足学生思考的空间和时间，充分化解学生的认知冲突，化难为易，化
繁为简，突破难点。
高中数学与初中数学相比，数学语言在抽象程度上突变，思维方法向理性 层
次跃迁，知识内容的整体数量剧增，以上这三点在函数这一章中得到了充分的体
现，本章的特 点是具有高度的抽象性、逻辑性和广泛的适用性，对能力要求较高。
因此，在教学中应多考虑初高中的衔 接，更好地帮助学生借由形象的手段理解抽
象的概念，在函数这一章，函数的图像就显得尤其重要而且直 观。

三．设计思想：

1．尽管我们的教材为学生提供了精心选择的 课程资源，但教材仅是教师在
教学设计时所思考的依据，在具体实施中，我们需要根据自己学生数学学习 的特
点，联系学生的学习实际，对教材内容进行灵活处理，比如调整教学进度、整合
教学内容等 ，本节课是必修1第二章与第三章的过渡课，既巩固了第二章所学知
识，又为第三章学习埋下伏笔，对教 材做了一次成功的加工整合，正所谓磨刀不
误砍材功。
2．树立以学生为主体的意识，实现有 效教学。现代教学论认为，学生的数
学学习过程是一个学生已有的知识和经验为基础的主动建构的过程， 只有学生主
动参与到学习活动中，才是有效的教学。在本节课的设计中，首先设计一些能够
启发 学生思维的活动，学生通过观察、试验、思考、表述，体现学生的自主性和
活动性；其次，设计一些问题 情境，而解决问题所需要的信息均来自学生的真实
水平，要么定位在学生已有的知识基础，要么定位在一 些学生很容易掌握的知识
上，保证课堂上大部分学生都能够轻松地解决问题。随着学生的知识和信息不断
丰富，可以向学生介绍更多类型的问题情境或更难的应用问题情境，渗透数学思
想，使学生学会 问题解决的一般规律。
3．凡事预则立，不预则废。预设是数学课堂教学的基本要求，但课堂教学不能过分拘泥于预设的固定不变的程序，应当开放地纳入弹性灵活的成分以及始
料不及的体验。一堂 好数学课应该是一节不完全预设的课，在课堂中有教师和学
生真实的情感、智慧的交流，这个过程既有资 源的生成，又有过程状态的生成，
内容丰富，多方互动，给人以启发。
四．教学目标：

1．通过复习所学函数模型及其图像特征，使学生对函数有一个较直 观的把
握和较形象的理解，缓解因函数语言的抽象性引起的学生的心理不适应及不自觉
的排斥情 绪。
2．通过练习的设置，从解决简单实际问题的过程中，让学生体会函数模型
的广泛适用性 ，贯穿理论联系实际、学以致用的观点，充分体现数学的应用价值，
加强学生的看图识图能力，激发学习 兴趣，引导学生自觉自主参与课堂教学活动。
3．通过对所给问题（例题1、2）的自主探究和合作交 流，使学生理解动与
静，整体与局部的辨证统一关系，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用。
4．结合具体的问题，并从特殊推广到一般，使学生领会函数与方程之间的
内 在联系，体验函数与方程思想、数形结合思想及等价转化思想的意义和价值。
五．教学重点和难点：
教学重点：常见函数模型的图像特征和实际应用。通过课堂师生互动交流，
共同完成对相关知识 的系统归纳，借助多媒体课件演示，增加学生的直观体验，
深化认识，突破重点。
教学难点： 利用函数图像研究方程问题的思想和方法。在教学过程中，通过
学生自主探究学习，在实际问题的解决中 学习将抽象的数学语言与直观的图像结
合起来，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化 繁为简，实现
难点突破。

六．教学过程设计：
环节设置
（一）目
标设疑，
学生解
疑，温故
知新（约
8分钟）
问题驱动
提问1：我们学过哪
些基本初等函数？
对它们的大致图像
还有印象吗？
试回忆所学并完成
表格（后附）
练习1．（后附）
提问2：若将“
a?1
”
改为“
a?0
且
，又该如何选
a?1
”
择？
学情预设
回顾常数函数、一次函
数、二次函数、反比例
函数 、指数函数、对数
函数、幂函数
1
（
a?1,2,3,?1,)
的图
2
像。（板书结合多媒体
演示、实物投影）
设计意图
所有的知识 只有
通过学生自身的“再
创造”活动，才能纳入
其认知结构中，才可能
成为下 一个有效的知
识。教师必需尊重学生
的主体性，让学生自主
参与探究，切实掌握本节课的重点。辅以多媒
体直观演示能使教学
更富趣味性和生动性。

试回忆所学并完成表格：
函数名称
常数函数
一次函数
二次函数
函数解析式
y?k(k
为常数）
y?kx?b(k,b
为常数）
函数大致图像
平行与x轴的一条直线
一条直线
一条抛物线
y?ax
2
?bx?c(a,b,c
为常数，
a?0
）
反比例函数
指数函数
对数函数
幂函数
y?
k
(k?0,k
为常数）
x
一条双曲线
（多媒体演示）
（多媒体演示）
（多媒体演示）
y?a
x
(a?0,a?1)

y?log
a
x(a?0,a?1)

y?x
a
(a?0,a
为常数）
练习1．如图6-1当
a ?1
时，在同一坐标系中，函数
y?a
?x
与
y?log
a
x
的图像
是（ D ）



y



O


(A)

y y
y
x
O
x
O
x
O
x
(B)
图6-1

(C)
(D)

提问2：若将“
a?1
”改为“
a?0
且
a?1
”，又该如何选择？
环节设置 问题驱动 学情预设 设计意图
（二）演练练习2．（后附） 以问题为驱动，讲练结合，（1）新教材为引
巩固，深化提问3 ：你能否写引入对具体实例的详细剖导学生自主发现、
理解，学以出通话收费S析，循序渐进，由浅入深 ，探索留有比较充
致用（约35（元）关于通话探讨函数模型的广泛应用分的空间，在教学
分钟 ） 时间t（分）的函和函数与方程的等价转化，中我们应充分利
数表达式？这样
的函数称为什么
函数？
例1．（后附）
师：从函数图像< br>上可以分析函数
的性质（如定义
域、值域、单调
性、奇偶性等），
除此 之外，函数
图像还有什么妙
用吗？请看例2。
例2．（后附）
适当引导，点拨，
引发认知冲突，
学生探究解决。
变式一：若方程
x
2
?2x?3?k
有解，k取何范
围？
提问：一定要画
出具体的函数图
像吗？不画图有
没有办法直接给
出k 的取值范围
呢？
师：数和形是数
学的两种表达形
式，在本例中，
我 们借由函数图
像（形）解决方
程的根的个数判
断（数），以形辅
数，这种思想 方
渗透数形结合思想。（板书
结合多媒体演示）
练习2：借助具体实例，了
解简单的分段函数，这是很
重要的一类函数模型，在实
际问题中有较广泛的应用。
本题 要求写出函数解析式，
大约5分钟可完成。
例1：借由函数图像解决函
数性质（值域 ）是函数图像
的重要应用，以概念定义方
式呈现，以分段函数的形式
考察，足见题目设 计的新
颖，对学生较有吸引力和挑
战性，给足学生思维、探究、
讨论的时间，大约10 分钟
方可完成。
例2：恰当的问题情境，能
引发学生的认知冲突，使学
生产 生明显的意识倾向和
情感共鸣，激发他们的求知
欲和探索精神，引导学生主
动思考。这 个问题涉及本课
题的核心内容，给学生充足
的探究时间，大约20分钟
可完成。
具体可能的认知冲突有二：
认知冲突一：方程
x
2
?2x?3?k
的根的个数
判断，真的要解方程吗？有
其他办法吗？
认知冲突二：如何作函 数
y?x
2
?2x?3
与
y?k
的
用这些空白空间 ，
目标问题化，问题
设疑化，过程探讨
化，再给予学生发
挥的空间，促进他< br>们主动地学习和
发展，让空白的地
方丰富多彩也是
学习方式丰富的
表现 。
（2）对于学生来
说，学习数学的一
个重要目的是要
学会数学地思考，< br>数学能力的提高
离不开解题，解题
教学重点是向学
生暴露思维过程
和展 示学生的思
维过程。例题的设
计以阶梯式呈现，
给学生较为充分
的时间，自主 探究
和解决问题，教师
在评讲时，有意识
地渗透数形结合
的思想方法，从而< br>达到传授知识、培
养能力的目的，实
现难点的化解与
突破。
（3）学 习函数和
方程的相互等价
转化，注意相关内
容的前后联系，使

法称为数形结图像？ 学生加深对所学
合。 结合多媒体辅助演示，作函知识的系统认识，
变式 二：依照这促进思维的深刻
数
y?x
2
?2x?3
与
y?k
样的解题方法，性。在潜移默化中
你能否判断方程的图像，利用函数图像交点培养了学生的科< br>lnx?x?4
的根个数判断方程根的个数。 学态度和理性精
的个数？ 神。
练习2．某地区电信资费调整后，市话费标准为：通话时间不超过3分钟收费0.2
元，超过3分钟后 ，每增加1分钟多收费0.1元（不足1分钟按1分钟收费）。
通话收费S（元）与通话时间t（分）的 函数图像可表示为（ B ）

S S S

0.6
0.6
0.6

0.4
0.4
0.4

0.4

0.2 0.2
0.2 0.2

O O
3
6 t 3 6 t 3 6 t

O
3 6 t
O

(A) (B) (D)
(C)


图6-2

提问3：你能否写出通话收费S（元）关于通话时间t（分）
( 0?t?6)
的函数表
达式？这样的函数称为什么函数？
?
b(a?b)< br>例1．若定义运算
a?b?
?
，则函数
f(x)?3
x
?3
?x
的值域为（ A ）
?
a(a?b)
(A)(0, 1](B)[1,??)C.(0,??)D.(??,??)

例2．当
k?
环节设置
（三）理
论升华，
思维拓
展，总结
评价（约
2分钟）

时，方程
x
2
?2x?3?k
有两解？有三解？有四解呢？无解呢？
问题驱动 学情预设 设计意图
提问：这节课我们学习了那总结学习内容，归提纲挈领，理清 基
些内容？哪些方法？哪些纳学习方法，提升本内容，形成知识
数学思想？（课堂小结后数学思 想，拓展学体系，提升数学思
附） 生思维，完成总结想，使本节内容不
课后作业：（后附） 评价。 再浮于表面。
1．写下本节课的学习心得
体会。
2．完成三道课后习题
课堂小结：
本节课复习了常见函数模型及其图像特征，体会到利用函数图像解决函数性
质的形象和直观，学习函数和方程的相互等价转化，体会函数方程思想与数形结
合思想的意义和价值。

正如华罗庚所说：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔
裂分家万事休。
课后作业：
1．总结本节课的学习心得体会。
波利亚（G·Polya）先生曾指 出“一个重大的发现可以解决一道重大的题目，
但是在解答任何一道题目的过程中都会有点滴的发现”。 可见，习题在数学学习
中具有非常重要的作用。
学莫贵于自得，请你写下本节课的学习心得体会。




2．课后习题：
1．某工厂八年来产品总产量C（即前t年年产量之和）与时间t（年）的函 数如
图6-3，下列四中说法：
C
（1）前三年中，产量增长的速度越来越快；
（2）前三年中，产量增长的速度越来越慢；
（3）第三年后，这种产品停止生产；
（4）第三年后，年产量保持不变；
3 8 t

O
图
6-3
其中，说法正确的是（ A ）
（A）（2）与（3） （B）（2）与（4） （C）（1）与（3） （D）（1）与（4）
2．若关于x的方程x
2
?6x?8?k?0
有且只有两个不同的实根，则（ ）
(A)k?0(B)k?1(C)0?k?1(D)k?1或k?0

3．如图6-4 ，函数的图像由两条射线及抛物线的一部分组成，求函数
f(x)
的解
析式。
变式：讨论方程
f(x)?a
的根的个数。







附：板书设计
函数名称
常数函数
函数解析式
y?k(k
为常数）
2
1
y
O
1 2 3 4
x
图6-4

函数大致图像
……

一次函数
二次函数
y?kx?b(k,b
为常数）
……
……
y?ax
2
?bx?c(a?0,a,b,c,
为
常数）
反比例函数
指数函数
对数函数
幂函数



1.常见函数模型
2．分段函数
练习2：……
例1．……
例2．……

k
y?(k?0,k
为常数）
x
y?a
x
(a?0,a?1)

y?log
a
x(a?0,a?1)

y?x
a
(a?0,a
为常数）
……
……
……
……














七．教学反思

1．对教学内容的反思：
对于数学教师来说，他要从“教”的角度去看数学去挖掘数学，不仅 要能“做”、
“会理解”，还应当能够教会别人去“做”、去“理解”，因此教师对教学概念的
反思应当从逻辑的、历史的、关系、辨证等方面去展开。
从逻辑的角度看，函数概念主要包含定义域 、值域、对应法则三要素，以及
函数的单调性、奇偶性、对称性等性质和一些具体的特殊函数，如：指数 函数、
对数函数等这些内容是函数教学的基础，但不是函数的全部。
从关系的角度来看，不 仅函数的主要内容之间存在着种种实质性的联系，函
数与其他中学数学内容也有着密切的联系，其中就包 括方程的根与函数的图象之
间的等价转化问题。
2．对学生数学学习活动的反思：
师生之间在数学知识、数学活动经验、兴趣爱好、社会生活阅历等方面存在
很大的差异，这些差异使得 他们对同一个教学活动的感觉通常是不一样的。学生

的数学学习只有通过自身的操作和主 动的参与才可能是有效的，更为进一步的是
学生的数学学习只有通过自身的情感体验，树立坚定的自信心 才可能是成功的。
为此，本节课在教学中着力于为学生提供丰富多彩的问题情境，关注学生的情感
和情绪体验，让学生投入到现实的、充满探索的数学学习过程中，从而提高数学
学习的水平，养成正确 的学习态度和习惯。
3．对数学教学活动的反思：
教学设计的难点在于教师把学术形态的知 识转化为适合学生探究的认知形
态的知识。学生的认知结构具有个性化特点，教学内容具有普遍性要求。 如何在
一节课中把二者较好地结合起来，是提高课堂教学效率的关键。本节课致力于提
高课堂教 学的有效性，其一，有明确的教学目标，其二，能突出重点、化解难点，
其三，善于运用现代化教学手段 ，其四，根据具体内容，选择恰当的教学方法，
其五，关注学生，及时鼓励，其六，充分发挥学生主体作 用，调动学生的学习积
极性，其七，切实重视基础知识、基本技能和基本方法，其八，渗透数学思想方< br>法，提高综合运用能力。在实际教学中应因材施教，用不一样的标准衡量学生，
尽量做到让不同的 学生得到不同的发展。
晋江养正中学 黄培华
点评：

在环节（一）中，考虑到学生的知识水 平和理解能力，从学生熟
悉的知识入手，通过适当的问题情景，引导学生在有限的时间内完成
对 所学函数模型及其图像的归纳和总结，让学生思考回顾、动手画图、
课堂交流、亲身实践、温故知新。新 课程理念指出，学生是学习的主
体，所有的知识只有通过学生自身的“再创造”活动，才能纳入其认知< br>结构中，才可能成为下一个有效的知识。
在环节（二）中，通过练习2的设置，使同学认识了分 段函数及
其在实际生活中的应用，拓展学生的思维；在例1、例2的引入和剖
析中，将问题情境 化，过程探讨化，通过精心设计问题情境，不断激

发学生的学习动机，给学生提供学习的 目标、思维和空间，使学生自
主学习真正成为可能。新课程的教学理念转变为具体的教学行为时
“问题情境”在教学中的设置，显得格外重要，而且随着教学过程的发
展成为一个连续的过程，并通过有 效追问形成几个高潮，使学生在问
题的解决中不断的学习。对于学生来说，学习数学的一个重要目的是< br>要学会数学的思考，用数学的眼光去看世界去了解世界。而数学能力
的提高离不开解题，“解题策 略的掌握，思想方法的运用，并不在于教
师讲了多少，而是在于学生通过自己的认识活动体验、感悟了多 少。”
这两个例题尽管较为简单，但蕴含着重要的数学思维方法和思想精
髓，具有典型性和示范 性。不为解题而解题，为的是通过解题，让学
生感悟和体验数学的理性精神，在潜移默化中渗透数学思想 。
新课程在教学方面具有三大核心理念，即建构性、生成性、多元
性，这些理念对于改造传统 的课堂教学起到了巨大作用。然而，这些
理念在指导我们重建课堂教学时也表现出限定的有效性。只有对 此有
客观和充分的认识，我们才不至于生搬硬套，适得其反，从一个极端
走向另一个极端。教无 定法，重在得法，只要能激发学生的学习兴趣，
提高学生的学习积极性，有助于学生思维能力的培养，有 利于所学知
识的掌握和运用，达到课堂教学的效果，都应该是好的教学方法。

方程的根与函数的零点

一、 教学内容分析
本节课选自《普通高中课程标准实验教课书数学I必修本（A版）》第94-95
页的第三章第一课时3.1.1方程的根与函数的的零点。
函数与方程是中学数学的重要内容，既是 初等数学的基础，又是初等数学与
高等数学的连接纽带。在现实生活注重理论与实践相结合的今天，函数 与方程都
有着十分重要的应用，再加上函数与方程还是中学数学四大数学思想之一，因此
函数与 方程在整个高中数学教学中占有非常重要的地位。
就本章而言，本节通过对二次函数的图象的研究判断 一元二次方程根的存在
性以及根的个数的判断建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，< br>然后由特殊到一般，将其推广到一般方程与相应的函数的情形．它既揭示了初中
一元二次方程与相 应的二次函数的内在联系，也引出对函数知识的总结拓展。之
后将函数零点与方程的根的关系在利用二分 法解方程中（3.1.2）加以应用，通过
建立函数模型以及模型的求解（3.2）更全面地体现函数与 方程的关系，逐步建
立起函数与方程的联系．渗透“方程与函数” 思想。
总之，本节课渗透着重要的数学思想 “特殊到一般的归纳思想” “方程与
函数”和“数形结 合”的思想，教好本节课可以为学好中学数学打下一个良好基
础，因此教好本节是至关重要的。
二 学生学习情况分析
地理位置：学生大多来自市区，学生接触面较广，个性较活跃，所以开 始可
采用竞赛的形式调动学生积极性；学生数学基础的差异不大，但进一步钻研的精
神相差较大 ，所以可适当对知识点进行拓展。
程度差异性：中低等程度的学生占大多数，程度较高与程度很差的学生占少
数。

知识、心理、能力储备：学生之前已经学习了函数的图象和性质，现在基本
会画简单函数的图 象，也会通过图象去研究理解函数的性质，这就为学生理解函
数的零点提供了帮助，初步的数形结合知识 也足以让学生直观理解函数零点的存
在性，因此从学生熟悉的二次函数的图象入手介绍函数的零点，从认 知规律上讲，
应该是容易理解的。再者一元二次方程是初中的重要内容，学生应该有较好的基
础 对于它根的个数以及存在性学生比较熟悉，学生理解起来没有多大问题。这也
为我们归纳函数的零点与方 程的根联系提供了知识基础。但是学生对其他函数的
图象与性质认识不深（比如三次函数），对于高次方 程还不熟悉，我们缺乏更多
类型的例子，让学生从特殊到一般归纳出函数与方程的内在联系，因此理解函 数
的零点、函数的零点与方程根的联系应该是学生学习的难点。加之函数零点的存
在性的判定方 法的表示抽象难懂。因此在教学中应加强师生互动，尽多的给学生
动手的机会，让学生在实践中体验二者 的联系，并充分提供不同类型的二次函数
和相应的一元二次方程让学生研讨，从而直观地归纳、总结、分 析出二者的联系。
三 设计思想
教学理念：培养学生学习数学的兴趣，学会严密思考，并从中找到乐趣
教学原则：注重各个层面的学生
教学方法：启发诱导式
四、教学目标
以 二次函数的图象与对应的一元二次方程的关系为突破口，探究方程的根与
函数的零点的关系，发现并掌握 在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方
法；学会在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法。 让学生在探究过程中
体验发现的乐趣，体会数形结合的数学思想，从特殊到一般的归纳思想，培养学生的辨证思维以及分析问题解决问题的能力。
五、教学重点难点
重点：函数零点与方程根之间的关系；连续函数在某区间上存在零点的判定方法。
难点：发现与理解方程的根与函数零点的关系；探究发现函数存在零点的方法。
六、教学程序设计
1 方程的根与函数的零点以及零点存在性的探索

1.1方程的根与函数的零点
问题1：解方程（比赛）：①6
x－
1=0 ；②3
x
2
＋6x
－
1=0 。

再比赛解3
x
3
＋6
x
－1=0
设计意图：问题1（产生疑问，引起兴趣，引出课题）
比赛模式引入，调动积极性，可根据学 分评定中进行过程性评定加分奖励，
充分调动学生积极性和主动性。

第三题学 生无法解答，产生疑惑引入课题：教师介绍说一次方程、二次方
程甚至三次方程、四次方程的解都可以通 过系数的四则运算，乘方与开方等运
算来表示，但高于四次的方程一般不能用公式求解，如 3x
5
＋6x－1=0 紧接
着介绍阿贝尔（挪威）定理（五次及高于五次的代数方 程没有一般的代数解法），
伽罗瓦（法国）的近世代数理论，提出早在十三世纪的中国，秦九韶等数学家
就提出了高次方程数值解的解法，振奋学生的民族自豪感，最后引出人们一直
在研究方程的近似 解方法二分法引入课题。
问题2：先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图
象：如图7-1 1
方程
x
2
?2x?3?0
与函数
y?x
2< br>?2x?3
○
2
方程
x
2
?2x?1?0
与函数
y?x
2
?2x?1
○
3
方程
x
2
?2x?3?0
与函数
y?x
2
?2x?1
○





[师生互动]
师：教师引导学生解方程、画函 数图象、分析方程的根与图象和
x
轴交点坐
标的关系，推广到一般的方程和函数引出零 点概念。
零点概念：对于函数
y
＝
f
（
x
）（< br>x
∈
D
），把使
f
（
x
）＝0成立的实数< br>x
叫做
函数
y
＝
f
（
x
）（
x
∈
D
）的。
师：填表格
函数
方程的根
y?x
2
?2x?3

y?x
2
?2x?1

y?x
2
?2x?1


图7-1

函数的零点





生：经过独立思考，填完表格
师提示：根据零点概念，提出问题，零点是点吗？零点与函数方程的根有何关
系？
生：经过观察表格，得出第一个结论
师再问：根据概念，函数
y
＝
f
（
x
）的零点与函数
y
＝
f
（
x
）的图象与
x
轴交点
有什么关系
生：经过观察图像与
x
轴交点完成解答，得出第二个结论

师：概括总结前两个结论（请学生总结）。
1）概念：函数的零点并不是“点 ”，它不是以坐标的形式出现,而是实数。
例如函数
y?x
2
?2x?3的零点为x=-1,3
2）函数零点的意义：函数
y?f(x)
的零点就是方程
f(x)?0
实数根，亦即函
数
y?f(x)
的图象与
x< br>轴交点的横坐标．
3）方程
f(x)?0
有实数根
?
函数< br>y?f(x)
的图象与
x
轴有交点
?
函数
y?f(x )
有零点。
师：引导学生仔细体会上述结论。
再提出问题：如何并根据函数零点的意义求零点？
生：可以解方程
f(x)?0
而得到（代数法）；
可以利用函数
y?f(x)
的图象找出零点．（几何法）
问题2一方面让学 生理解函数零点的含义，另一方面通过对比让学生再次
加深对二者关系的认识，使函数图象与x轴交点的 横坐标到函数零点的概念转变
变得更自然、更易懂。通过对比教学揭示知识点之间的密切关系。
问题3：是不是所有的二次函数都有零点？
师：仅提出问题，不须做任何提示。
生：根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概
括形成结论．
二次函数
y?ax
2
?bx?c(a?0)
的零点：看△
１）△＞０，方程
ax
2
?bx?c?0
有两不等实根，二次函数的图象与< br>x
轴有
两个交点，二次函数有两个零点．
２）△＝０，方程
ax2
?bx?c?0
有两相等实根（二重根），二次函数的图象
与
x
轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．
３）△＜０，方程
ax
2< br>?bx?c?0
无实根，二次函数的图象与
x
轴无交点，
二次函数无零 点．
第一阶段设计意图
本节的前半节一直以二次函数作为模本研究，此题是从特殊到一般的 升华，也
全面总结了二次函数零点情况，给学生一个清晰的解题思路。进而培养学生归纳
总结能 力。
1.2零点存在性的探索
[师生互动]
师：要求生用连续不断的几条曲线连接如图4
A
、
B
两点，观察 所画曲线与直线
l
的相交情况，由两个学生上台板书：

．A


a

b

．B
图4
生：两个学生画出连接
A
、
B
两点的几条曲线后发现这些曲线 必与直线
l
相交。
师：再用连续不断的几条函数曲线连接如图
A
、
B
两点，引导学生观察所画曲线
与直线
l
的相交情况，说明连接A
、
B
两点的函数曲线交点必在区间 (
a
，
b
) 内。
生：观察下面函数
f
（
x
）＝0的图象（如图5）并回答
l

图5
①区间[
a
，
b
]上____ __(有无)零点；
f
（
a
）·
f
（b）_____0（＜ 或＞）。
②区间[
b
，
c
]上______(有无)零点；
f
（
b
）·
f
（
c
）_____0（＜或＞）。
③区间[
c
，
d
]上______(有无)零点；
f
（
c
）·
f
（
d
）_____0（＜或＞）。
师：教师引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情
况，与函数零点是否存在之间 的关系。
生：根据函数零点的意义结合函数图象，归纳得出函数零点存在的条件，并
进行交流 、评析总结概括形成结论）
一般地，我们有：如果函数
y
＝
f
（< br>x
）在区间[
a
，
b
]上的图象是连续不断的
一条曲 线并且有
f
（
a
）·
f
（
b
）<0，那么 函数
y
＝
f
（
x
）在区间（
a
，
b
）内有零
点，即存在
c
∈（
a
，
b
） ，使得
f
（
c
）=0，这个
c
也就是方程
f
（
x
）＝0的根。
第二阶段设计意图：
教师引导学生探索归纳总结函数零点存在定理，培养归纳总结能力和逻辑思维
2、例范研究
例1.已知函数
f
（
x
）= －3
x
5
－6
x
＋1有如下对应值表：
x －2 －1.5 0 1 2
f
（
x
） 109 44．17 1 －8 －107
函数y＝f（x）在哪几个区间内必有零点？为什么？
设计意图通过本例引导探索，师生互动

探求1：如果函数
y
＝ f（x）在区间[
a
，b
]上的图象是连续不断的一条曲线，
并且有
f
（
a
） ·
f
（b）>0时，函数在区间（
a
，
b
）内没有零点吗?
探求2：如果函数y＝f（x）在区间[
a
，
b
]上的图象是一条连 续不断的曲线，
并且有
f
（
a
）·
f
（b）<0时 ，函数在区间（
a
，
b
）内有零点，但是否只一个零点？
探求3： 如果函数y＝f（x）在区间[
a
，
b
]上的图象是一条连续不断的曲线，< br>并且函数在区间（
a
，
b
）内有零点时一定有
f
（< br>a
）·
f
（b）<0 ？
探求4：如果函数
y
＝< br>f
（
x
）在区间[
a
，
b
]上的图象不是一 条连续不断的曲
线，函数在区间（
a
，
b
）内有零点时一定有
f
（
a
）·
f
（b）<0 ？
图5（反例）

师：总结两个条件：
1）函数
y
＝
f
（
x）在区间[
a
，
b
]上的图象是连续不断的一条曲线
2）在区 间[
a
，
b
]上有
f
（
a
）·
f
（b）<0
一个结论：函数
y
＝
f
（
x< br>）在区间[
a
，
b
]内单调则函数在这个区间内有
且只有一个 零点
补充：什么时候只有一个零点？
（观察得出）函数
y
＝
f< br>（
x
）在区间[
a
，
b
]内单调时只有一个零点
例2．求函数
f(x)?lnx?2x?6
的零点个数．问题：
1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？
2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？
第三阶段设计意图：
教师引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用,应用例1，例
2加深对定理的理 解
3、练习尝试(可根据时间和学生对知识的接受程度适当调整)
1．求函数
y? x
3
?2x
2
?x?2
，并画出它的大致图象．
2．利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：
（1）
x
2
?x?2?0
；（2）
f(x)?e
x
?4x
；
3．利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：
（1）
f(x)??x< br>3
?3x?3
；（2）
f(x)?2xln(x?2)?3
；
[师生互动]

师：多媒体演示；结合图象考察零点所在的大致区间与个数，结 合函数的单调性
说明零点的个数；让学生认识到函数的图象及基本性质（特别是单调性）在
确定 函数零点中的重要作用．
生：建议学生使用计算器求出函数的大致区间，培养学生的估算能力，也为下 一
节的用二分法求方程的近似解做准备。
第四阶段设计意图：利用练习巩固新知识，加深理解 ，为用二分法求方程的近似
解做准备

4、探索研究(可根据时间和学生对知识的接受程度适当调整)
讨论：请大家给方程
x
2
?e
x
?3?0
的一个解的大约范围，看谁找得范围更小？
[师生互动]
师：把学生分成小组共同探究，给学生足够的自主学习时间，让学生充分研究，
发挥其主观能动性。也可以让各组把这几个题做为小课题来研究，激发学生学
习潜能和热情。老 师用多媒体演示，直观地演示根的存在性及根存在的区间大
小情况。
生：分组讨论，各抒己见。在探究学习中得到数学能力的提高
第五阶段设计意图：

一是为用二分法求方程的近似解做准备

二是小组探究合作学习培养学生的创新能力和 探究意识，本组探究题目就是
为了培养学生的探究能力，此组题目具有较强的开放性，探究性，基本上可 以达
到上述目的。
5课堂小结：
零点概念
零点存在性的判断
零点存在性定理的应用注意点：零点个数判断以及方程根所在区间
6作业回馈
教材P
108
习题3．1（A组）第1、2题；
思考：总结函数零点求法要注意的问题；思考可以用求函数零点的方法求方
程的近似解吗？
教学程序设计框图：



组织探究

二次函数的零点及零点存在性的．
研究二次函数在零点、零点之内及零点外的函数值符
号，并尝试进行系统的总结。
零点存在性为练习重点。
创设情境
结合实际问题诱发兴趣，结合二次函数引入课

尝试练习
探索研究
进一步探索函数零点存在性的判定。

分析教材设计意图，探讨教学规律；
教学建议
探索合理教学思想，提出教学建议。

七、教学反思

本设计遵循了 由浅入深、循序渐进的原则，分三步来展开这部分
的内容。第一步，从学生认为较简单的一元二次方程与 相应的二次函
数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应的二次函数的
零点的联系， 然后将其推广到一般方程与相应的函数的情形。第二步，
在用二分法求方程近似解的过程中，通过函数图 象和性质研究方程的
解，体现函数与方程的关系。第三步，在函数模型的应用过程中，通
过建立 函数模型以及模型的求解，更全面地体现函数与方程的关系逐
步建立起函数与方程的联系。本节只是函数 与方程的关系建立的第一
步，教学中忌面面具到，延展太深。
恰当使用信息技术：本节的教学 中应当充分使用信息技术。实际
上，一些内容因为涉及大数字运算、大量的数据处理、超越方程求解以及复杂的函数作图，因此如果没有信息技术的支持，教学是不容易
展开的。因此，教学中会加强信 息技术的使用力度，合理使用多媒体
和计算器。
泉州九中陈美珠
点评
本 节课在尝试解答五次方程失败后，教师用浓缩的数学史的简介
活跃了课堂气氛，使学生受到数学文化的熏 陶，并产生探索新知识的
欲望。紧接着，借助二次函数的图象与
x
轴是否有交点的事实 与一元
二次方程的根的关系出发，建立一元二次方程的根与相应的二次函数
的零点的联系，然后 将其推广到一般方程与相应的函数的情形，引入
了函数零点的定义，体现了从具体到一般的思维过程。随 后，利用函
数图像和几个填空题引导探索函数零点的存在，初步得到函数零点存
在的判定方法， 体现了数形结合的思想方法。为了多角度深刻理解函