高中数学教案：存在性问题

存在性问题
课程目标
知识点
存在性问题
考试要求
C
具体要求
掌握存在性问题的思想，能用相关
知识解决存在性问题.
考察频率
少考
知识提要
存在性问题
不等式存在性问题通常转 化为求函数的最大值或最小值的问题，也可以先分离变量，再转化为
求函数最大值或最小值的问题．
① 存在 使得 成立，转化为


② 存在 使得 成立，转化为


③ 存在 使得 成立，转化为


④ 存在 使得 成立，转化为





精选例题
存在性问题
1. 不等式






对任意实数 都成立，则实数 的取值范围是 ．

【答案】

【分析】 不等式



因为不等式



对任意实数 都成立，
所以













．对任意实数 都成立，
当 时，化为 ，不满足要求，舍去；

当 时，变形满足 ，








，化为













．

解得： ．

2. 若关于 的不等式 在



上有解，则 的取值范围
是 ．

【答案】





【分析】 由题意，得




．
由绝对值的几何意义，得




．
因此， ．

3. 若关于 的不等式





存在实数解，则实数 的取值范围是 ．

【答案】










【分析】 当 时，在数轴上表示 的点到 、 表示的点的距离之和为 ，
所以当 时， ．
所以，只要 ，此时解得 或 ．



4. 若存在



，使

成立，则实数 的取值范围为 ．

【答案】








5. 设函数













．若存在
















，使得









成立，则实数 的取值范围为 ．

【答案】






【分析】 当
时，



；
当

时，





．

从而当



时，函数



的值域为





．

由 ，得

，则

，
所以




．








从而当



时，函数



的值域为

．

因为存在







，使









，所以



．

若



，则

或 ，解得 或 ．

所以当



时， ．
综上，实数 的取值范围为



．

6. 若命题 ，使得





是真命题，则实数 的取值范围是 ．

【答案】









7. 若存在实数 使 成立，则实数 的取值范围是 ．

【答案】





【分析】 要使得不等式 成立，只要 即可．

【解】 在数轴上， 表示 对应的点到 对应的点之间的距离， 表示 对应
的点到 对应的点之间的距离，而这两个距离和的最小值是 ．要使得不等式
成立，只要 ，解得 ．

8. 已知命题



，使

为假命题，则 的取值范围是 ．

【答案】





9. 已知函数







，



，若对于任意的

，总存在

，
使得









，则实数 的取值范围为 ．

【答案】





【分析】







，





．
令



，则










根据题意知



可以取到



之间所有的数．
令










首先有














．
，解得

．



若

，则



，



；
当 时，
，此时



的最小值为

当 时，



．
综上知，



一直可以取到



之间所有的数．
若

，类似分析可得也都满足条件．

；
10. 已知









，且方程



无实数根，下列命题：
（1）方程





一定有实数根；

（2）若 ，则不等式





对一切实数 都成立；
（3）若 ，则必存在实数

，使








；
（4）若 ，则不等式





对一切实数 都成立．
其中，正确命题的序号是 ．（把你认为正确的命题的所有序号都填上）

【答案】 （2）（4）

【分析】 方程



无实根，所以



或



恒成立．从而有
恒成立或 恒成立，故（1）错误；
若 ，则



对一切 成立．所以









，命题（2）正确；
同理若 ，则有





，命题（3）错误；
若 ，则



，从而 恒成立，必有 ，且





，所
以命题（4）正确．

11. 已知命题 “ ：







” 与命题 “ ：

”
都是真命题，则实数 的取值范围 ．


【答案】







12. 若对于给定的正实数 ，函数





的图象上总存在点 ，使得以 为圆心、 为半径
的圆上有两个不同的点到原点 的距离为 ，则 的取值范围是 ．


【答案】





【分析】 方法一：根据题意得：以 为圆心， 为半径的圆与原点为圆心， 为半径的圆有
两个交点，即 到原点距离小于 ，即



的图象上离原点最近的点到原点的距离小于
．记





上的点



到原点 的距离为






．因为 ，则由均值不等式
知

，当且仅当

时，等号成立．所以

，解得 ．故 ．

方法二：首先考虑点 与点 之间的关系．记 到圆 上的最短距离为 ，最大距离为 ．
若 在圆上，如图所示，







则圆 上有一个点到 的距离为 ，所以 ．

若 在圆 内，如图所示，


显然圆上没有点到 的距离为 ，所以 ．
若 在圆外，如图所示，

则圆上有两点到 的距离为 的充分必要条件为 ．
综上， 的取值范围是 ．
记





上的点



到原点 的距离为






．因为 ，则由均值不等式知


，当且仅当

时，等号成立．

又因为



上存在点 ，所以必须满足

，解得 ．故 ．


13. 定义：如果函数



在定义域内给定区间



上存在






满足

















，则称函数



是



上的“平均值函数”，

是它的一个均值点．例如


是



上的“平均值函数”， 就是它的均值点．给出以下命题：
①函数



是



上的“平均值函数”；
②若



是



上的“平均值函数”，则它的均值点




；
③若函数





是



上的“平均值函数”，则实数 的取值范围是



；
④若



是区间





上的“平均值函数”，

是它的一个均值点，则






．
其中真命题有 ．（写出所有真命题的序号）

【答案】 ①③④









【分析】 ① 由

，可得 是它的一个均值点．


② 举一个反例．如



，



，由题意，得

，但



③ 由








．

及

，得

，从而 ．


④






．要证


，即证








，即证







．令


，








则 ．记








，则




函数，从而







，于是

成立．


，



在



上是减
14. 在平面直角坐标系 中，圆

：









，圆

：











．若圆

上存在一点 ，使得过点 可作一条射线与圆

依次交于点 ， ，
满足 ，则半径 的取值范围是 ．

【答案】





【分析】 因为




，




．

所以













．记
的最小值为

，最大值为

．
则可知当

且

时，肯定存在这样的点 ．
（1）当 时，此时两圆相离，如图．




此时





，





，
解得， ．
（2）当 时，此时两圆相交或相切，如图．



因为两圆有交点，所以最小值为 ，最大值为
，必定成立．

（3）当 时，此时两圆内含，如图．

此时，





，



．
解得 ．
综上， ．

15. 存在实数 ，使得

成立，则 的取值范围是 ．


【答案】 或



【分析】 本小题考查二次不等式的存在性问题，结合二次函数和二次方程分析是解决本题的
关键．

【解】 由题意得，存在实数 ，使得

有负的函数值，即二次函数


的图象上存在点在 轴的下方．

因为抛物线开口向上，只须



解得

或



16. 由命题“存在 ，使

”是假命题，得 的取值范围是



，则实数
的值是 ．

【答案】

17. 若关于 的不等式

在区间



上有解，则实数 的取值范围是 ．


【答案】

18. 已知函数





和函数





，若对任意





，均
存在





，使得









成立，则实数 的取值范围是 ．

【答案】



【解】 原命题等价于对于任意





，存在





，使得











．

对于任意





，











对于任意





，









①当 时，

，解得 ；
②当 时，

，解得 ；
③当 时，

，解得

．
综上所述，实数 的取值范围是

．

19. 已知函数








与








，若对任意的





，都存在






，使得









，则实数 的取值范围是 ．

【答案】





【分析】 若对任意的





，都存在





，使得









，则有函数



的
值域是函数



值域的子集．






，有







；




解得



； ①当



时，












；有






②当



时，












；有




，解得

；
③当



时，









；有

，解得

；





④当



，












；有

解得



；

综上实数 的取值范围是



．


20. 若不等式组

所表示的平面区域被直线 分为面积相等的两部分，

则 的值为 ；若该平面区域存在点






使



成立，则实数 的取
值范围是 ．


【答案】 ；


【分析】 由已知，画出可行域如下图阴影部分 ．

联立 得



，联立 得



，联立 得






．因为直线 过点



，平面区域被直线 分为面积相等的两部

分，所以直线 过 中点



，即 ，得 ．

若 ，则不等式 等价于 ，此时不满足已知条件；

若 ，则不等式 等价于



，代表直线



下方，直线

过定点



，斜率为
，此时已知区域 都在直线
的
上方，不满足已知条件；

若 ，则不等式 等价于



，代表直线



上方，直线

过定点



，斜率为
，若该平面区域存在点






使





成立，则只要满足点



或 点



满足不等式即可，此时 ，解得
．综上， ．

21. 设函数



．
(1)若



的解集为



，求实数 的值；

【解】 显然 ，
当 时，解集为
， ， ，无解；
当 时，解集为



，令

，

，

，
综上所述， ．
(2)当 时，若存在 ，使得不等式







成立，求实数
的取值范围．

【解】 当 时，令






























由此可知，



在



单调减，在



和

单调增，
则当

时，



取到最小值

，


















由题意知，

，则实数 的取值范围是


．

22. 已知二次函数









的图象过点



．
(1)记函数



在



上的最大值为 ，若 ，求 的最大值；

【答案】 ．

【解】 ①因为



过点



，
所以



．
所以 ，





．
因为



是开口向上的抛物线，
所以









．





所以





两式相加得 ，即 的最大值为 ．





②由











解得


























．




(2)若对任意的





，存在





，使得









，求
的取值范围．


【答案】



或



．


【解】 由题意，存在





，使











．
所以











．
因为 ，
所以





，其对称轴为




．

①当

即

时，



在



上单调递增，
所以

均符合题意．


所以



















．
②当

即

时，




在





上递减，在




上递增且







．





所以





















．
所以由



得：



符合题意．
③当


即




时，






在


上递减，在



上递增且







．





所以





















．
所以由

所以



符合题意．
④当

即

时，



在



上单调递减，



得：





．

所以

















．
所以
均符合题意．




综上所述：所以


或

．


23. 已知函数









，若对于任意的



， ，存在





，使
得







，求 的取值范围．

【解】 方法一：
因为



，

所以
，
①





时，即 时，




















，











，







，































，






②











，







，

































，






时，即 时，






















，
因为 恒成立，所以

．


方法二：









，









，









，
所以



































此时 ，

取等号，
所以

．

24. 设函数



定义在



上，



，导函数



，











．



(1)求



的单调区间和最小值；


【解】





，所以




为常数
又



，所以

即

所以

令



，即




所以
解得
当



时，














是减函数，故区间



是函数



的减区间；
当



时，









是增函数，故区间



是函数



的增区间；
所以 是



的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，
所以



的最小值是






(2)讨论



与


的大小关系；


【解】




设













，则











当 时，



，即







当







时，









因此函数



在



内单调递减，
当 时，









所以







当 时，









所以








(3)是否存在

，使得












对任意 成立？若存在，求出

的取值范

围；若不存在，请说明理由．

【解】 满足条件的

不存在．证明如下：
证法一：

假设存在

，使









对任意 成立，


即对任意 有













但对上述的

，取


时，有









这与①左边的不等式矛盾，因此不存在

，使










对任意 成立．
证法二：

假设存在

，使










对任意 成立，
由（1）知，



的最小值是





又







而 时， 的值域为



，
当 时，



的值域为



，
从而可以取一个值

，使











即











所以














这与假设矛盾．

不存在

，使









对任意 成立．


25. 已知函数





．
(1)当

时，求



在区间



上的最小值；

【解】 当

时，





，



．
因为





，
由



， ．
则 ，



，



关系如下
















极小值
所以当 时，



有最小值为 ．
(2)求证：存在实数





，有




．

【解】 “存在实数





，有



”等价于



的最大值大于 ．
因为





，
所以当 时，



，



，



在



上单调递增，
所以



的最大值为







．
所以当 时命题成立．
当 时，由



得 ．

则 时， ，



，



关系如下


















极小值
（i）当

时， ，



在



上单调递减，
所以



的最大值







．
所以当

时命题成立．
（ii）当



时， ，



在



上单调递减，在



上单调
递增．
所以



的最大值为



或



，且







与







必有一成立，
所以当



时命题成立．
（iii）当

时， ，



在



上单调递增，
所以



的最大值为







．
所以当

时命题成立．
综上：对任意实数 都存在





使




成立．



26. 已知函数












(1)求函数



的单调区间；

【解】 函数











的定义域是



．
则












．
①若 ，则
，



在



上恒成立．

时，



的增区间为



．
②若 ，则
当




，故当





时，



，


时，



．
，



的增区间为 ．
时，



的减区间为

(2)试判断是否存在实数



，使



的图象与直线

无公共点（其中
自然对数的底数 为无理数且 ）．

【解】 时，由（1）可知，




在



上的最小值为

设





则


















．





，





























在



上单调递减．











．

．


存在实数



使



的最小值大于

，故存在实数



，使




的图象与直线

无公共点．

27. 已知函数







（ 为常数， ）．


(1)当



在 处取得极值时，若关于 的方程



在



上恰有两个不


相等的实数根，求实数 的取值范围；

【解】















，
，
即

，
因为 ，
所以 ．
此时











，


所以

上减，

上增，

又





，





，





，
所以



．
数 的取值范围．

【解】




所以







(2)若对任意的



，总存在



，使不等式










成立，求实

























，
因为 ，











，即



，

所以



在

上增，

所以













，
所以只须










．
设














，







又



，
所以



在 的右侧需先增，

所以



， ．











，
设








，对称轴

，
又 ，



，
所以在



上，



，即



，
所以



在



上单调递增，
所以







，
即










，

于是










，

所以

．

28. 已知函数











．
(1)当 时，求



的单调区间和极值；


【解】 当 时，







，










，
令



得

．
由



，



的变化情况列表如下：
























极小值 极大值




的单调增区间为



，单调减区间为

，

，函数的极大值
为

，极小值为

．
(2)若存在





使












成立，求实数 的取值范围．

【解】













































，

，





．
，







，当 时，此式不成立，
，






．






，








，即 ，解得 ．

因此，实数 的取值范围为



．

29. 已知二次函数





为偶函数，





，












．关于 的方程







有且仅有一根
．


(1)求 ， ， 的值；

【解】 由







，
由







可得：





，

代入

得：














联立方程 解得： ， ，
所以 ， ，

．
(2)若对任意的



，








恒成立，求实数 的取值范围；

【解】 由（1）知





，对任意的



，








恒成立，
所以当



时，




恒成立，

当 时， ，
当 时，












所以




， ．
(3)令













，若存在


实数 的取值范围．

【解】 由题意可知















，











使得
















，求
由 ， ， ，易证明








在



上恒成立，
所以





由（2）知




在



上 恒成立，
所以











在



上恒成立．
又因为当



时，



，
所以
所以



















在



上恒成立；













，



















，



即







，






，






，
所以



















，所以




．
30. 已知函数









，





，其中 ．
(1)当 时，求曲线



在点



处的切线方程；






【解】 函数



的定义域为



，



．


当 时，



，



．
所以曲线



在点



处的切线方程为 ．
(2)当 时，求



的单调区间；






【解】



，



．

当

时，由















，得

，



．



所以在区间



和

上，



；在区间

上，



．

故



的单调递增区间是



和

，单调递减区间是

．

当

时，






．
故



的单调递增区间是



．
当

时，由


















，得



，



．


所以在区间



和



上，



；在区间


上，



．

故



的单调递增区间是



和



，单调递减区间是


．
(3)若存在



，使不等式







成立，求 的取值范围．


【解】 由题意存在



使不等式







成立，即存在


，使





成立，只需 大于或等于





在区间


上的最小值．


令







，



．
在区间


上，



，



为增函数；

在区间




上，



，



为减函数．

所以



在


上的最小值为

与




中的较小者．



，











，

所以



在


上的最小值为

．

所以 ．
所以 的取值范围为



．

31. 已知函数









（ 为常数），





．
(1)当 时，求



的单调区间；

【解】 当 时，



，其定义域为



，

则



，令



得 ；令



得 ，


故 的单调递减区间为



，单调递增区间为



．
(2)若函数



在区间



上无零点，求 的最小值；

【解】 因为当 时，



，

所以函数



在区间


上不可能恒成立，
故要使函数



在区间


上无零点，只要对任意的

，



恒成立．

即对任意的


，
恒成立．

令





，



，则



















再令





，则





























，
，
由


，知



，故函数



在区间

上单调递减，

所以






，即



，



所以函数



在区间


上单调递增，则





，

故只要 ，函数



在区间



上无零点，所以 的最小值为 ．

(3)若对任意给定的





，则



上总存在两个不同的




，使得










成立，求 的取值范围．

【解】 由





，当



，



，则函数



在区间



上是增函数，
所以







．
当 时，



，不符题意；
当 时，






当








；

时，



；
由题意有



在



上不单调，故

，即


当 变化时，



，



变化情况如下：













单调递减

最小值

单调递增



，









，

所以，对于给定的





，在



上总存在两个不同的




，
又因为 时，



，

使得









成立，当且仅当满足下列条件















即







令










，





，
令



，则 ，
故



时，



，函数



单调递增；





时，



，函数



单调递减；


所以对任意的




，







．
由 得


由 当

成立．

32. 函数







在



内只取到一个最大值和一个
最小值，且当 时，

；当 时，

．
(1)求出此函数的解析式；


【解】 由题意得 ，

，
所以


，







时，在



上总存在两个不同的




，使得












．所以


，由于点



在此函数图象上，则有












因为 ，所以

所以





．
(2)求该函数的单调递增区间；

．


【解】 当







时，即 时，原函数单
调递增．

所以原函数的单调递增区间为





．
(3)是否存在实数 ，满足不等式



？
若存在，求出 的范围（或值），若不存在，请说明理由．

【解】 满足








解得 ．
因为






，
所以


，
同理


．由（2）知函数在



上递增，若有











只需要






，即

成立即可，所以存在


，使








成立．

33. 设函数





，






(1)若



与



具有完全相同的单调区间，求 的值；

【解】 因为





，所以














当 时，



，所以



在



内单调递减；
当 时，



，所以



在



内单调递增．

又



，由



，得

，
此时












，



显然



在



内单调递减，在



内单调递增，故

．
(2)若当 时恒有







，求 的取值范围．

【解】 当 时恒有







，即













恒成立．
故只需





恒成立，
对



求导数可得





．
因为 ，所以





，
若 ，则当



时，



，



为增函数，
从而当 时，







，即







；
若 ，则当



时，



，



为减函数，
从而当 时， ，即 ，故 不恒成立．
故 的取值范围为： ．

34. 已知：函数








（其中常数 ）．
(1)求函数



的定义域及单调区间；

【解】 函数



的定义域为



．

由



，解得

由



，解得
且
所以



的单调递增区间为



，单调递减区间为



，



．

(2)若存在实数



，使得不等式



成立，求 的取值范围．



【解】 由题意可知， ，且





在



上的最小值不大于

时，存在实数




，使得不等式




成立．

当 ，即 时，



和



随着 的变化而变化的情况如下表：


















极小值
所以



在



上的最小值为








由



，得



当 ，即 时，



在



上单调递减，则



在



上的最小值为








由



，得
综上所述，
．


35. 已知函数





．
(1)若 ，求曲线



在点



处的切线方程；

【解】 当 时，由已知得














舍
曲线



在点



处的切线的斜率为





从而曲线



在点



处的切线方程为





即所求切线方程为 ．
(2)若函数



在其定义域内为增函数，求正实数 的取值范围；

【解】 由已知得












令





，若满足题意，则只需



在



内恒成立．

当 时，





的图象为开口向上的抛物线，因为其对称轴方程为







所以








由题意得



解得

故正实数 的取值范围是



．

(3)设函数





，若在



上至少存在一点

，使得









成立，求实数 的
取值范围．

【解】 构造函数













于是本题转化为：当



时，




．
则有




























当 时，由 ，得



，则



在



上是增函数，从而












于是



解得





当 时，由 得



所以



，因此不符合题意．
综上，实数 的取值范围是




．

36. 已知函数





，



，其中 为大于零的常数，
，函数



的图象与坐标轴交点处的切线为

，函数



的图象与直线
交点处的切线为

，且



．
(1)若在闭区间



上存在 使不等式







成立，求实数 的取值范围；

【解】 由题意，得



的图象与坐标轴的交点为



，且







则切线

的斜率为



．
由题意，得



的图象与直线 的交点为



，且








则切线

的斜率为





．
由



，得

结合 ，解得

．
不等式







可化为
令







，则






























由此， 时，













由 及均值不等式，得
又 时，
从而













所以



在



上是减函数，故



在



上是减函数，则










因此，实数 的取值范围是



．
(2)对于函数



和



公共定义域内的任意实数

，我们把












的
值称为两函数在

处的偏差．求证：函数



和



在其公共定义域内的所有偏
差都大于 ．

【解】



和



公共定义域为



．
由（1），得














令





，则







从而



在



上是增函数，所以









即



式两边取对数，得





再用 代 ，得

由 ，得













即
从而













因此，



和



在其公共定义域内的所有偏差都大于 ．

37. 已知函数






＋
．
(1)求函数在点




处的切线方程；


【解】 因为



，
所以



在函数的图象上，

又




所以








＋



，


＋
，





，


所以所求切线的方程为









，即






．
(2)当 时，求函数的单调区间与函数在



上的最值；


【解】 当 时，





，
























令



，则 或

，
令



，则

，
















，





所以函数



的单调递增区间为


和



，单调递减区间为

．

当



时，可知函数



在



上单调递减，在



上单调递增，
所以最小值为



＝ ．

又





，



＝

，且









，
所以







．

所以函数



在



上的最小值为 ，最大值为

．
(3)设





， ，若对于任意的





，存在





，使得










成立，试确定 的取值范围．

【解】 若对于任意的





，
存在





，使









，
则











，

又 ，则





，











，
所以



在



上单调递减，

．
所以

设函数



，

则



在



上单调递减，
所以









所以 的取值范围为














，
，即


．
．

38. 设函数











．
(1)当 时，求



的极值；



【解】 解：函数



的定义域为



，




（1）当 时，










































令



，解得： 或

．所以，当 变化时，



，



变化情况如下表：




















由上表可知，



最大




，



最小


．

(2)设 、 是曲线



上的两个不同点，且曲线在 、 两点处的切线均与 轴平
行，直线 的斜率为 ，是否存在 ，使得 ？ 若存在，请求出 的值，若不存
在，请说明理由．

【解】 设






，






，



，由题意可得：









，又










，所以

，

为方程

的两个正根，故



，且


，即

，



















































































若存在实数 使得 ．则

所以











，所以










，即







，又



，




，所以





令
































所以



在



上单调递增，所以







，即





，
与



矛盾，故不存在这样的 使 ．

39. 定义








，



．

(1)令函数










的图象为曲线

，曲线

与 轴交于点



，
过坐标原点 向曲线

作切线，切点为





，设曲线

在 ， 之间的曲线段与
线段 ， 所围成的图形的面积为 ，求 的值；

【解】








，




















（如图所示），
故



．


又过坐标原点 向曲线

作切线，切点为





，



．



解得











．





















．
(2)令函数








的图象为曲线

，若存在实数 使得曲线


在






处有斜率为 的切线，求实数 的取值范围．

【解】
















，
设曲线

在






处有斜率为 的切线，由题设









，





，

有解， 存在实数 ，使得














由 得



，代入 得



，




由

有解，得












或








，
两者都得出 ，
．

40. 已知函数









．
(1)求函数



的单调递增区间；

【答案】


．


【分析】 本题考查利用导数研究函数单调性．

【解】






，



．


解得



． 由



，得







故



的单调递增区间是


．







(2)证明：当 时，



；

【答案】 略

【分析】 移项后研究新函数的最值问题．

【解】 令











，



，则有



．

当



时，



,
所以



在



上单调递减,故当 时，







,即当 时，




．
(3)确定实数 的所有可能取值，使得存在

，当




，恒有







．

【答案】





【分析】 通过研究函数单调性解决问题．

【解】 由（2）知，当 时，不存在

满足题意．
当 时，对于 ，有







，则







,从而不存在


满足题意．

当 时，今











，



，则有
















．
由



，得





，解得

当




时，



，故



在




内单调递增．
从而当




时，







，即







．
综上， 的取值范围是



．

课后练习
1. 已知





，







，若对





，





，









，则实
数 的取值范围是 ．
2. 已知函数





（ ），









（ 为自然对数的底），当
时，



，且 ．
(1)求



；
(2)求函数



可能的最大值和最小值；
(3)若

，当




，







成立（



是



的导函数），求最大整
数

．
3. 已知曲线









在点



处的切线与 轴垂直，









．
(1)求 的值和



的单调区间；
(2)已知函数





（ 为正实数），若对于任意





，总存在





，
使得









，求实数 的取值范围．
4. 已知函数












， ．
(1)当 时，求函数



的单调减区间；
(2)证明：对于任意正数 ，存在正数 ，使得当



时，有






；
(3)设（2）中的 的最大值为



，求



的最大值．
5. 设函数









．
(1)求



的单调区间和极值；
(2)是否存在实数 ，使得关于 的不等式



的解集为



？若存在，求 的取
值范围；若不存在，试说明理由．
6. 已知函数











．
(1)若函数



的图象在点



处的切线的倾斜角为

，求 的值；
(2)设



的导函数是



．在（1）的条件下，若



，求







的最小
值；