人教版高中数学《导数》全部教案

导数的背景
（5月4日）
教学目标 理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义
教学重点 瞬时速度、切线的斜率、边际成本
教学难点 极限思想
教学过程
一、导入新课
1. 瞬时速度
问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？
析：大家知道，自由落体的运动 公式是
s?
1
2
gt
（其中g是重力加速度）.
2
当时间增量
?t
很小时，从3秒到（3＋
?t
）秒这段时间内，小球下落的 快慢
变化不大. 因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时
的速度.
从3秒到（3＋
?t
）秒这段时间内位移的增量：
?s?s(3??t)? s(3)?4.9(3??t)
2
?4.9?3
2
?29.4?t?4.9( ?t)
2

?s
?29.4?4.9?t
.
?t
?s?s
从上式可以看出，
?t
越小，越接近29.4米秒；当
?t
无限趋近于0时，
?t?t
?s
无限趋近于29.4米秒. 此时我们说，当
?t
趋向于0时，的极限是29.4.
?t
?s
当
?t
趋向于0时，平均速度的极限就是小球下降3秒时的速度，也叫做
?t
从 而，
v?
??
瞬时速度.
一般地，设物体的运动规律是s＝s（t），则物 体在t到（t＋
?t
）这段时间
?ss(t??t)?s(t)?s
. 如果
?t
无限趋近于0时，无限趋近于
?
?t?t?t
?s
某个 常数a，就说当
?t
趋向于0时，的极限为a，这时a就是物体在时刻t
?t
内的平均速度为
的瞬时速度.
2. 切线的斜率
问题2：P（1,1）是曲线y?x
2
上的一点，Q是曲线上点P附近的一个点，当点
Q沿曲线逐渐向点P趋近 时割线PQ的斜率的变化情况.

析：设点Q的横坐标为1＋
?x< br>，则点Q的纵坐标为（1＋
?x
）
2
，点Q对于点P
的纵坐标 的增量（即函数的增量）
?y?(1??x)
2
?1?2?x?(?x)
2< br>，
所以，割线PQ的斜率
k
PQ
?y2?x?(?x)
2< br>???2??x
.
?x?x
由此可知，当点Q沿曲线逐渐向点P接近时，?x
变得越来越小，
k
PQ
越来
越接近2；当点Q无限接近于点 P时，即
?x
无限趋近于0时，
k
PQ
无限趋近于
2. 这表明，割线PQ无限趋近于过点P且斜率为2的直线. 我们把这条直线叫
做曲线在点P处的切线. 由点斜式，这条切线的方程为：
y?2x?1
.
一般地，已知函数
y?f( x)
的图象是曲线C，P（
x
0
,y
0
），Q（
x
0
??x,y
0
??y
）
是曲线C上的两点，当点Q沿曲线 逐渐向点P接近时，割线PQ绕着点P转动.
当点Q沿着曲线无限接近点P，即
?x
趋向于0时，如果割线PQ无限趋近于一
个极限位置PT，那么直线PT叫做曲线在点P处的切线. 此 时，割线PQ的斜
?y
无限趋近于切线PT的斜率k，也就是说，当
?x
趋向 于0时，割线
?x
?y
PQ的斜率
k
PQ
?
的极限 为k.
?x
3. 边际成本
率
k
PQ
?
问题3 ：设成本为C，产量为q，成本与产量的函数关系式为
C(q)?3q
2
?10
，我
们来研究当q＝50时，产量变化
?q
对成本的影响.在本问题中，成本的增量 为：
?C?C(50??q)?C(50)?3(50??q)
2
?10?(3?50
2
?10)?300?q?3(?q)
2
.
产量变化
?q
对成本的影响可用：
?C?C
?300?3?q
来刻划，
?q
越小，越接近
?q?q
300；当
?q
无限趋近于0时，
?C的极限是300.
?q
?C
无限趋近于300，我们就说当
?q
趋向于0时，
?q
我们把
?C
的极限300叫做当q＝50时
C( q)?3q
2
?10
的边际成本.
?q

一般地，设C是成本，q是产量，成本与产量的函数关系式为C＝C（q），
当产量为
q
0
时，产量变化
?q
对成本的影响可用增量比
?C
C(q
0
??q)?C(q
0
)
?
?q?q
刻划. 如果
?q
无限趋近于0时，
?C
无限趋近于常数A，经济学上称A为边际
?q成本. 它表明当产量为
q
0
时，增加单位产量需付出成本A（这是实际付出成本
的一个近似值）.
二、小结
瞬时速度是平均速度
切线的斜率是割线斜率
?q
趋近于0时的极限.
?s< br>当
?t
趋近于0时的极限；切线是割线的极限位置，
?t
?C
?y
当
?x
趋近于0时的极限；边际成本是平均成本当
?q
?x三、练习与作业：
1. 某物体的运动方程为
s(t)?5t
2
（位移 单位：m，时间单位：s）求它在t＝2s
时的速度.


2. 判断曲线
y?2x
2
在点P（1,2）处是否有切线，如果有，求出切线的方程.





3. 已知成本C与产量q的函数关系式为C?2q
2
?5
，求当产量q＝80时的边际
成本.





4. 一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h（ 单位：m）与时间t（单
位：s）之间的函数关系为
h?t
2
，求t＝4s时 此球在垂直方向的瞬时速度.

5. 判断曲线
y?





6. 已 知成本C与产量q的函数关系为
C?4q
2
?7
，求当产量q＝30时的边际 成
本.
1
2
1
x
在（1，）处是否有切线，如果有，求出切线的方程.
22
导数的概念
（5月4日）
教学目标与要求：理解导数的概念并会运用概念求导数。
教学重点：导数的概念以及求导数
教学难点：导数的概念
教学过程：
一、导入新课：
上节我们讨论了瞬时 速度、切线的斜率和边际成本。虽然它们的实际意义不同，但从函
数角度来看，却是相同的，都是研究函 数的增量与自变量的增量的比的极限。由此我们引出
下面导数的概念。
二、新授课：
1.设函数
y?f(x)
在
x?x
0
处附近有定义，当自变量在< br>x?x
0
处有增量
?x
时，则函数
Y?f(x)
相应 地有增量
?y?f(x
0
??x)?f(x
0
)
，如果?x?0
时，
?y
与
?x
的比
叫函数的平均变化率）有 极限即
?y
（也
?x
?y
无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫 做函数
?x
x?x
0
y?f(x)
在
x?x
0处的导数，记作
y

f

(x
0
)?lim
f(x
0
??x)?f(x
0
)

?x
，即
?x?0
注：1.函数应在点
x
0
的附近有定义，否则导数不存在。
2.在定义导数的极限式中，
?x
趋近于0可正、可负、但不为0，而
?y< br>可能为0。
3.
?y
是函数
y?f(x)
对自变量
x
在
?x
范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线
?x
y?f( x)
上点（
x
0
,f(x
0
)
）及点
(x
0
??x,f(x
0
??x)
）的割线斜率。

4.导数
f(x
0
)?lim

? x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)
是函数
y? f(x)
在点
x
0
的处瞬时变化率，
?x
它反映的函数y?f(x)
在点
x
0
处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线
y?f(x)
上
点（
x
0
,f(x
0
)
） 处的切线的斜率。因此，如果
y?f(x)
在点
x
0
可导，则曲线< br>y?f(x)

在点（
x
0
,f(x
0
)）处的切线方程为
y?f(x
0
)?f(x
0
)(x?x
0
)
。
5.导数是一个局部概念，它只与函数
y?f(x)
在< br>x
0
及其附近的函数值有关，与
?x
无关。
6.在定义式中 ，设
x?x
0
??x
，则
?x?x?x
0
，当?x
趋近于0时，
x
趋近于
x
0
，因
此，导数 的定义式可写成
f(x
0
)?lim

?x?o
f(x
0
??x)?f(x
0
)f(x)?f(x
0
)
?lim
。
x?x
0
?xx?x
0
7.若极限
lim?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)
不存在，则称 函数
y?f(x)
在点
x
0
处不可导。
?x
8. 若
f(x)
在
x
0
可导，则曲线
y?f(x)
在点 （
x
0
,f(x
0
)
）有切线存在。反之不然，若曲
线
y?f(x)
在点（
x
0
,f(x
0
)
）有切线，函数
y?f(x)
在
x
0
不一定可导，并且，若函数< br>y?f(x)
在
x
0
不可导，曲线在点（
x
0
,f(x
0
)
）也可能有切线。
一般地，
?x?0
li m(a?b?x)?a
，其中
a,b
为常数。
特别地，
lima?a
。
?x?0
如果函数
y?f(x)
在开区间
(a,b)
内的每点处都有导数，此时对于每一个
x?(a,b)< br>，都
对应着一个确定的导数
f(x)
，从而构成了一个新的函数
f(x )
。称这个函数
f(x)
为函
数
y?f(x)
在开区间内的 导函数，简称导数，也可记作
y
，即


f

(x)< br>＝
y

＝
lim
?yf(x??x)?f(x)
?li m

?x?0
?x
?x?0
?x

x?x
0
函数
y?f(x)
在
x
0
处的导数
y
数
f(x)
在
x
0
处的函数值，即
y

就是函数
y?f(x)
在开区间
(a,b)
(x?(a,b))
上导
x?x
0

＝
f(x
0
)
。所以函数
y?f(x)
在
x
0
处的导数也记作
f

(x0
)
。
注：1.如果函数
y?f(x)
在开区间
(a ,b)
内每一点都有导数，则称函数
y?f(x)
在开区间

(a,b)
内可导。
2.导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导 数，就是求导函数；求一
个函数在给定点的导数，就是求导函数值。它们之间的关系是函数
y? f(x)
在点
x
0
处
的导数就是导函数
f(x)
在 点
x
0
的函数值。
3.求导函数时，只需将求导数式中的
x
0
换成
x
就可，即
f(x)
＝
lim
4.由导数 的定义可知，求函数
y?f(x)
的导数的一般方法是：
（1）.求函数的改变量
?y?f(x??x)?f(x)
。


?x?0
f(x??x)?f(x)

?x
?yf(x??x)?f(x)
。
?
?x?x
?y< br>
（3）.取极限，得导数
y
＝
lim
。
?x?0< br>?x
（2）.求平均变化率
例1.求
y?2x?1
在
x
＝－3处的导数。





例2.已知函数
y?x?x

（1）求
y
。
（2）求函数
y?x?x
在
x
＝2处的导数。









小结：理解导数的概念并会运用概念求导数。
练习与作业：
1.求下列函数的导数：
（1）
y?3x?4
； （2）
y?1?2x

2

2
2

3
(3)
y?3x?12x
(3)
y?5?x

2





2.求函数
y?x
2
?1
在－1,0，1处导数。






3.求下列函数在指定点处的导数：
（1）
y?x
2
,x
0
?2
；




（3）
y?(x?2)
2
,x
0
?1





4.求下列函数的导数：
（1）
y?4x?1;





（3）
y?2x
3
?3x;




2）
y?
1
3
x
2
,x
0
?0
；
4）
y?x
2
?x,x
0
??1
.
（2）
y?10?x
2
；
（4）
y?2x
2
?7
。
（
（

5.求函数
y?x?2x
在－2,0，2处的导数。

2
导数的概念习题课
（5月6日）
教学目标 理解导数的有关概念，掌握导数的运算法则
教学重点 导数的概念及求导法则
教学难点 导数的概念
一、课前预习
1.
f(x)
在点
x
0
处的导数是函数值的改变量＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿与相应自变量的改变
量＿＿的商当＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿
2.若
f(x)
在开区间（a，b）内每一点都有导数
f( x)
，称
f(x)
为函数
f(x)
的导函数；求
一个函数的 导数，就是求＿＿＿＿＿；求一个函数在给定点的导数，就是求＿＿＿＿＿.函
数
f(x)在点
x
0
处的导数就是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

(x)?_____(n?N)
3.常数函数和幂函数的求导公式：
(c)?___　　　
4.导数运算法则：若＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，则： n*
[f(x)?g(x)]

?f

(x)?g

(x)　　　　[c?f(x)]

?cf

(x)

二、举例
例1.设函数
f(x)?x?1
，求：
（1）当自变量x由1变到1.1时，自变量的增量
?x
；
（2）当自变量x由1变到1.1时，函数的增量
?y
；
（3）当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率；
（4）函数在x＝1处的变化率.



例2.生产某种产品q个单位时成本函数为
C(q)?200?0.05q
，求
（1）生产90个单位该产品时的平均成本；
（2）生产90个到100个单位该产品时，成本的平均变化率；
（3）生产90个与100个单位该产品时的边际成本各是多少.


例3 .已知函数
f(x)?x
，由定义求
f(x)
，并求
f(4)
.
2
2
2

< br>例4.已知函数
f(x)?(ax?b)
(a,b为常数)，求
f(x)
.
2



例5.曲线
y?
3
2x
上哪一点的切线与直线
y?3x?1
平行？
2



三、巩固练习
1.若函数
f(x)?x
，则
[f(?2)]
＝＿＿＿＿＿＿
2.如果函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数分别为：


（1）
f(x
0
)?0
（2）
f(x
0
)?1


（3）
f(x
0
)??1
（4）
f(x
0
)?2
，
3
试求函数的图象在对应点处的切线的倾斜角.


3.已知函数f(x)?x?2x
，求
f(0)
，
f()
，.
2
1
4



4.求下列函数的导数
（1）
y?
1
2
11
x?3x?2
（2）
y?x
3
?x
2
?5x?1

243
322
（3）
y?x(x?4)
（4）
y?(2x?1)(3x?2)




四、作业
1.若
limf(x)
存在，则
[limf(x)]
＝＿＿＿＿＿
x?0
x?0

2.若
f(x)?x
，则
lim3.求下列函数的导数：
2
x?1
f(x)?f(1)
＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
x?1
1
4
x

6
23
（1）
y?2x?20x?40x?1
（2）
y?3?2x?4x?5x?
42

（3）
y?(2x?1)(3x?x)
（4）
y?(x?2)(x?1)





4. 某工厂每日产品的总成本C是日产量x的函数，即
C(x)?1000?7x?5x
，试求：
（1）当日产量为100时的平均成本；
（2）当日产量由100增加到125时，增加部分的平均成本；
（3）当日产量为100时的边际成本.



5.设电量与时间的函数关系为
Q?2t?3t?1
，求t＝3s时的电流强度.


6.设质点的运动方程是
s?3t?2t?1
，计算从t＝2到 t＝2＋
?t
之间的平均速度，并计算
当
?t
＝0.1时的平均速度 ，再计算t＝2时的瞬时速度.




7.若曲线
y?


8.在抛物线
y?2?x?x
上，哪一点的切线处于下述位置？
（1）与x轴平行
（2）平行于第一象限角的平分线.
（3）与x轴相交成45°角



9.已知曲线
y?2x?x
上有两点A（2,0），B（1,1），求：
（1）割线AB的斜率
k
AB
； （2）过点A的切线的斜率
k
AT
；
（3）点A处的切线的方程.


2
2
2
2
3223
2
32
x?1
的切线垂直于直线
2x?6y?3?0
，试求这条切线的方程.
2

10.在抛物线
y?x
上依次取M（ 1,1），N（3,9）两点，作过这两点的割线，问：抛物线上
哪一点处的切线平行于这条割线？并求 这条切线的方程.



11.已知一气球的半径以10cms的速度增长 ，求半径为10cm时，该气球的体积与表面积的
增长速度.



12.一长方形两边长分别用x与y表示，如果x以0.01ms的速度减小，y边以0.02ms的速
度增加，求在x＝20m，y＝15m时，长方形面积的变化率.



13.（选做）证明：过曲线
xy?a
上的任何一点（
x
0
,y0
）（
x
0
?0
）的切线与两坐标轴围
成的三角形面积 是一个常数.（提示：
()??
2
2
1
x

1
）
x
2
导数的应用习题课
（5月8日）
教学目标 掌握导数的几何意义，会求多项式函数的单调区间、极值、最值
教学重点 多项式函数的单调区间、极值、最值的求法
教学难点 多项式函数极值点的求法、多项式函数最值的应用
一、课前预习
1.设函数
y?f (x)
在某个区间内有导数，如果在这个区间内＿＿＿＿，则
y?f(x)
是这个区间内的＿＿＿＿＿；如果在这个区间内＿＿＿，则
y?f(x)
是这个区间内的＿＿＿＿ ＿.
2.设函数
y?f(x)
在
x?x
0
及其附近有定义 ，如果
f(x
0
)
的值比
x
0
附近所有各点的值都 大
（小），则称
f(x
0
)
是函数
y?f(x)
的 一个＿＿＿＿＿＿.
3.如果
y?f(x)
在某个区间内有导数，则可以这样求它的极值：
（1）求导数＿＿＿＿＿； （2）求方程＿＿＿＿＿＿＿＿的根（可能极值点）；
（3）如果在根的左侧附近为＿，右侧附近为＿，则函数
y?f(x)
在这个根处取得极＿值 ；
如果在根的左侧附近为＿，右侧附近为＿，则函数
y?f(x)
在这个根处取得极＿ 值.
4.设
y?f(x)
是定义在[a，b]上的函数，
y?f(x)在(a，b)内有导数，可以这样求最值：

（1）求出函数在(a，b )内的可能极值点（即方程
f(x)?0
在(a，b)内的根
x
1
, x
2
,
?
,x
n
）；
（2）比较函数值
f(a)
，
f(b)
与
f(x
1
),f(x
2),?,f(x
n
)
，其中最大的一个为最大值，最
小的一个为最小值.
二、举例
例1.确定函数
f(x)?2x?9x?12x?3
的单调区间.



例2.设一质点的运动速度是
v(t)?
运动速度的改变情况怎样？

例3.求函数
f(x)?




例4.设函数< br>f(x)?
32

3
4
t?7t
3
?15t< br>2
?3
，问：从t＝0到t＝10这段时间内，
4
1
3
x?9x?4
的极值.
3
1
3
1
2
ax?bx ?x
在
x
1
＝1与
x
2
＝2处取得极值，试确定a 和b的值，
32
并问此时函数在
x
1
与
x
2
处是取极大值还是极小值？








例5.求函数
f(x)?3x?9x?5
在[－2,2]上的最大值和最小值.





例6.矩形横梁的强度与它断面的高的平方与宽 的积成正比例，要将直径为d的圆木锯成强度
最大的横梁，断面的宽和高应为多少？


3

例7.求内接于抛物线
y?1?x
与x轴所围图形内的最大矩形的面积.




例8.某种产品的总成本C（单位：万元）是产量x（单位：万件）的 函数：
2
C(x)?100?6x?0.04x
2
?0.02x
3< br>，试问：当生产水平为x＝10万件时，从降低单
位成本角度看，继续提高产量是否得当？





三、巩固练习
1.若函数
f (x)
在区间[a，b]内恒有
f(x)?0
，则此函数在[a，b]上的最小值是＿ ＿＿＿
2.曲线
y?

1
4
1
3
1
2
x?x?x?x?1
的极值点是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
432
32
3.设函数
f(x)?ax?(ax)?ax?a
在x＝1处取得极大值－2，则 a＝＿＿＿＿.
4.求下列函数的单调区间：
（1）
y?2x?3x?12x?1
（2）
y?(x?1)(x?2)




5.求下列函数的极值：
（1）
y?x?4x?6
， （2）
y?x?3x?9x?5
，[－4,4]






6.求下列函数的最值：
（1）
y?x?4x?6
，[－3,10] （2）
y?x?3x
，[－1,4]

232
232
322

7.设某企业每季度生产某个产品q个单位时，总成本函数为
C(q)?aq?bq?cq
，（其中
a＞0，b＞0，c＞0），求：（1）使平均成本最小的产量（2）最小平均成本及相应的边 际成
本.





8.一个企业生产某种产品 ，每批生产q单位时的总成本为
C(q)?3?q
（单位：百元），可
得的总收入为< br>R(q)?6q?q
（单位：百元），问：每批生产该产品多少单位时，能使
利润最大？ 最大利润是多少？





9.在曲线
y?1 ?x(x?0,y?0)
上找一点（
x
0
,y
0
），过此点 作一切线，与x轴、y轴构成
一个三角形，问：
x
0
为何值时，此三角形面积 最小？





10.已知生产某种彩色电视机的总成 本函数为
C(q)?2.2?10q?8?10
，通过市场调查，
可以预计这种彩电的 年需求量为
q?3.1?10?50p
，其中p（单位：元）是彩电售
价，q（单位： 台）是需求量. 试求使利润最大的销售量和销售价格.
5
37
2
2
32
多项式函数的导数
（5月6日）
教学目的：会用导数的运算法则求简单多项式函数的导数
教学重点：导数运算法则的应用
教学难点：多项式函数的求导
一、复习引入
2
1、已知函数
f( x)?x
，由定义求
f(x)，并求f(4)

2、根据导数的定义求下列函数的导数：
（1）常数函数
y?C
（2）函数
y?x(n?N)









二、新课讲授
1、两个常用函数的导数：


nn?1*
(C)?0
(x)?nx(n?N)



2、导数的
运算法则
：
如果函数
f(x)、g(x)
有导数，那么

[f(x)?g(x)]
?f

(x)?g

(x)；




[C?f(x)]?Cf(x)

也就是说，
两个函数的 和或差的导数，等于这两个函数的导数的和或差；常数与函数的积
的导数，等于常数乘函数的导数
.
例1：求下列函数的导数：
（1）
y?7x
（2）
y??3x
（3）
y?4x?3x

（4）
y?(x?1)(x?2)
（5）
f(x)?(ax?b)(a、b
为常数)
例2：已知曲线
y?22
3453
n*
1
3
8
x
上一点
P (2，)
，求：
33
（1）过点P的切线的斜率； （2）过点P的切线方程.




三、课堂小结：多项式函数求导法则的应用
四、课堂练习：1、求下列函数的导数：
3
（1）
y?8x
（2）
y?2x?1
（3）
y?2x?x
（4）
y?3x?4x

22
（5）
y?(2x?1)(3x?2)
（6）
y?x(x?4)



2
2、已知曲线
y?4x?x
上有两点A（4，0），B（2，4），求：
（1）割线AB的斜率
k
AB
；（2）过点A处的切线的斜率
kAT
；（3）点A处的切线的方程.
23

3、求曲线
y?3x?4x?2
在点M（2，6）处的切线方程.

五、课堂作业
1、求下列函数的导数：
（1）
y?5x?4x?1
（2）
y??5x?3x?7
（3）
y?7x?13x?10

（4）
y?3?x?3x
（5）
y?2x?3x?5x?4
（6）
f(x)?(2?x)(3?x)

（7）
f(x)?3x?23x?40x?10
（8）
f(x)?(x?2)?x

（9）
f(x)?(2x?1)(3x?x)
（10）
y?3(2x?1)?4x

2、求曲线
y?2x?x
在
x??1
处的切线的斜率。

3、求抛物线
y?

4、求曲线
y?x?3x?1
在点P（2，－3）处的切线的方程。
32< br>3
322
432
332
222
2
1
2
x
在
x?2
处及
x??2
处的切线的方程。
4
函数的单调性与极值
（5月10日）
教学目标：正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；
掌握利用导数判断函数单调性的方法；
教学重点：利用导数判断函数单调性；
教学难点：利用导数判断函数单调性
教学过程：
一 引入：
以前，我们 用定义来判断函数的单调性.在假设x
1
2
的前提下，比较f(x
1
)2
)与的大
小，在函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较 f(x
1
)与f(x
2
)的大小并不很容易.如果利用导数来
判断函 数的单调性就比较简单.
二 新课讲授
1 函数单调性
我们已经知道， 曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数
y?x?4x?3
的图像 可以看到：在区间（2，
??
）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x的增大而增大，即
y
>0时，函数y=f(x) 在区间（2，
??
）内为增函 数；在区间（
??
，2）内，

切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x 的增大而减小，即
y
?
0时，函数y=f(x) 在区间
（
??
，2）内为减函数.

2
定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内
y
>0，那么函数y=f(x)
在为这个区间内的增函数；，如果在这个区间内
y
<0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的
减函数。

例1 确定函数
y?x?2x?4
在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数。




例2 确定函数
y?2x?6x?7
的单调区间。
y
32
2
2
0
x

2 极大值与极小值
观察例2的图可以看出，函数在X=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们
说f(0)是函数的一个极大值；函数在X=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说
f(0)是函数的一个极小值。
一般地，设函数y=f(x)在
x?x
0
及其附近有定义，如果
f(x
0
)
的值比
x
0
附近 所有各点的函
数值都大，我们说f(
x
0
)是函数y=f(x)的一个极大值 ；如果
f(x
0
)
的值比
x
0
附近所有各点的函数值都小，我们说f(
x
0
)是函数y=f(x)的一个极小值。极大值与极小 值统称极值。
在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。请注< br>意以下几点：
（ⅰ）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数 值比
较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。
（ⅱ）函数的极值 不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以
不止一个。
（ⅲ）极大值 与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值，
如下图所示，
x
1
是极大值点，
x
4
是极小值点，而
f(x
4
)
>
f(x
1
)
。








y


f(x
4
)
f(x
1
)
o
a
X
1
X
2
X
3
X
4
b
x

（ⅳ）函数的极值点一定出现 在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取
得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可 能在区间的端点。
由上图可以看出，在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而 有
f
?
(x)?0
。但反过来不一定。如函数
y?x
3，在
x?0
处，曲线的切线是水平的，但这点
的函数值既不比它附近的点的函数值 大，也不比它附近的点的函数值小。假设
x
0
使
f
?
(x< br>0
)?0
，那么
x
0
在什么情况下是的极值点呢？
y

y


f

?

(

x
0

)



f
?
(x)?0


f
?
(x)?0


?

f(x)?0
f
?
(x)?0

f
?
(x
0
)



o
x

o
a
X
0
a b
X
0
b
x
如上左图所示，若
x
0
是
f(x)
的极大值点，则
x
0
两侧附近点的函数值必须小于
f(x
0
)
。因
此，
x
0
的左侧附近
f( x)
只能是增函数，即
f
?
(x)?0
。
x
0的右侧附近
f(x)
只能是减函数，
即
f
?
(x)?0
，同理，如上右图所示，若
x
0
是极小值点，则在
x
0的左侧附近
f(x)
只能是减
函数，即
f
?
(x)?0
，在
x
0
的右侧附近
f(x)
只能是增函数，即
f
?
(x)?0
，从而我们得出结论：
若
x
0
满足< br>f
?
(x
0
)?0
，且在
x
0
的两 侧
f(x)
的导数异号，则
x
0
是
f(x)
的极值 点，
f(x
0
)
是
极值，并且如果
f
?
( x)
在
x
0
两侧满足“左正右负”，则
x
0
是f(x)
的极大值点，
f(x
0
)
是极
大值；如果f
?
(x)
在
x
0
两侧满足“左负右正”，则
x
0
是
f(x)
的极小值点，
f(x
0
)
是极小值。
例3 求函数
y?








1
3
x?4x?4
的极值。
3
y
o
x

三 小结
1求极值常按如下步骤：
① 确定函数的定义域；
② 求导数；
③ 求方程
y
=0的根，这些根也称为可能极值点；
④ 检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点。(最好通过列表法)
四 巩固练习
1 确定下列函数的单调区间：
（1）
y?2x?5x?7
（2）
y?3x?x



2 求下列函数的极值
（1）
y?x?7x?6
（2）
y??2x?5x



（3）
y?x?27x
（4）
y?3x?x



五 课堂作业
1 确定下列函数的单调区间：
（1）
y??4x?2
（2）
y?(x?1)

（3）
y??x?2x?5
（4）
y?x?x?x


2 求下列函数的极值
（1）
y?x?4x?10
（2）
y??2x?4x?7


（3）
y?x?3x?1
（4）
y?6?12x?x


24
（5）
y?4x?3x?6x
（6）
y?2x?x

32
22
232
323
22

23
2
323
函数的极限
（4月29日）

教学目标：1、使学生掌握当
x?x
0
时函数的极限；
2、了解：
limf(x)?A
的充分必要条件是
lim
?
f(x) ?lim
?
f(x)?A

x?x
0
x?x
0x?x
0
教学重点：掌握当
x?x
0
时函数的极限
教 学难点：对“
x?x
0
时，当
x?x
0
时函数的极限的概念 ”的理解。
教学过程：
一、复习：
（1）
limq
n
?
＿＿＿＿＿
q?1
;（2）
lim
n??
1
?_ ______.(k?N
?
)

k
x??
x
（3）
limx
2
??

x?2
二、新课
就问题（3）展开讨论：函数
y?x
当
x
无限趋近于2时的变化趋势
当
x
从左侧趋近于2时 （
x?2
）
?
2
x

y=x
2

1.1 1.3
1.21
1.5

1.7

1.9

1.99 1.999 1.9999
?

2
?



?
当
x
从右侧趋近于2时 （
x?2
）
x

y=x
2

2.9 2.7 2.5
8.41. 7.29
2
2.3

2.1

2.01 2.001 2.0001
?

2
?


Y
发现
limx?_______

x?2
我们再继续看
y?
x?1

x?1
2
2
1
O
。
1
X
当
x
无限趋近于1（
x?1
）时的变化趋势；
函数的极限 有概念：当自变量
x
无限趋近于
x
0
（
x?x
0< br>）时，如果函数
y?f(x)
无限
趋近于一个常数A，就说当
x
趋向
x
0
时，函数
y?f(x)
的极限是A，记作
lim f(x)?A
。
x?x
0
特别地，
limC?C
；
limx?x
0

x?x
0
x?x
0

三、例题

求下列函数在X＝0处的极限
2
x
,x?0< br>x
x
2
?1
（1）
lim

（2）
lim

（3）
f(x)?

0,x?0

x?0
x
x?0
2x
2
?x ?1
1?x
2
,x?0

四、小结：函数极限存在的条件；如何求函数的极限。
五、练习及作业：
1、对于函数
y?2x?1
填写下表，并画出函数的图象 ，观察当
x
无限趋近于1时的变化趋势，
说出当
x?1
时函数
y?2x?1
的极限
x

y=2X＋1

0.1 0.9

1.5 1.1

2
0.99 0.999 0.9999 0.99999
?

1
?


1.01 1.001 1.0001 1.00001
?

1
?



x

y=2X＋1







2、对于函数
y?x?1< br>填写下表，并画出函数的图象，观察当
x
无限趋近于3时的变化趋势，
说出当< br>x?3
时函数
y?x?1
的极限
2
x

y=X
2
－1

2.9 2.99 2.999 2.9999 2.99999 2.999999
?

3
?


3.1 3.01 3.001 3.0001 3.00001 3.000001
?

3
?



x

y=X
2
－1







x
2
?1(x?1)
3
?(1?3 x)
2
lim2(sinx?cosx?x)
3
?

lim
2

lim

23
?
x? 1
2x?x?1
x?0
x?2x
x?
2

lim
1?2x?3
x?2
x?4

lim
x ?0
a
2
?x?a
1
（
a?0
）
lim

x?0
x
x
函数的最大与最小值
（5月8日）
教学目标： 1、使学生掌握可导函数
f(x)
在闭区间
?
a,b
?
上所 有点（包括端点
a,b
）
处的函数中的最大（或最小）值；
2、使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法
教学重点：掌握用导数求函数的极值及最值的方法
教学难点：提高“用导数求函数的极值及最值”的应用能力
一、复习：
1、x
n
??

?___________
；2、
?
C?f(x)?g(x)
?

?_____________

3、求y=x
3
—27x的 极值。

二、新课
在某些问题中，往往关心的是函数在一个定义区间上，哪个值最大，哪个值最小
观察下面一个 定义在区间
?
a,b
?
上的函数
y?f(x)
的图象

y
a x
1
o
X
2

X
3
b
x

发现图中_______ _____是极小值，_________是极大值，在区间
?
a,b
?
上的 函数
y?f(x)

的最大值是______，最小值是_______

在区间
?
a,b
?
上求函数
y?f(x)
的最大值与最小值 的步骤：
1、函数
y?f(x)
在
(a,b)
内有导数 ；
．．．．
2、求函数
y?f(x)
在
(a,b)
内的极值
3、将函数
y?f(x)
在
(a,b)
内的极值与
f(a) ,f(b)
比较，其中最大的一个为最大值 ，最
．
小的一个为最小值
三、 例1、求函数
y?x?2x?5
在区间
?
?2,2
?
上的最 大值与最小值。
42
解：先求导数，得
y?4x?4x


3
令
y
＝0即
4x?4x?0
解得
x
1
? ?1,x
2
?0,x
3
?1

3
导数
y< br>的正负以及
f(?2)
，
f(2)
如下表


X 0
－2
（－2，－1）
－1
（－1，0）

y

y

13


0
4
＋

0
5

（0，1）

1
0
4
（1，2）

2

13
－

＋


从上表知，当
x??2
时，函数有最大 值13，当
x??1
时，函数有最小值4
在日常生活中，常常会遇到什么条件下可以 使材料最省，时间最少，效率最
高等问题，这往往可以归结为求函数的最大值或最小值问题。
例2 用边长为60CM的正方形铁皮做一个无盖的水箱，先在四个角分别截去
一个小正方形， 然后把四边翻转90°角，再焊接而成，问水箱底边的长取
多少时，水箱容积最大，最大容积是多少？











例3、已知某商品生产成本C与产量P的函数关系为C＝100＋4P，价格R与
产 量P的函数关系为R＝25－0.125P，求产量P为何值时，利润L最大。

四、小结：
1、闭区间
?
a,b
?
上的连续函数一定有最 值；开区间
(a,b)
内的可导函数
不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值。
2、函数在其定义区间上的最大 值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止
一个，也可能没有一个。
3、在解决实际应 用问题中，关键在于建立数学模型和目标函数；如果函数在区间
内只有一个极值点，那么根据实际意义判 断是最大值还是最小值即可，不必再与端点的
函数值进行比较。


五、练习及作业：：
1、函数
y?x?5x?4
在区间
?
?1,1
?
上的最大值与最小值
2





3
2、求函数
y?3x?x
在区间
?3,3
上的 最大值与最小值。
??





3、求函数
y?x?2x?5
在区间
?
?2,2
?
上的最大 值与最小值。
42





4、求函数
y?x?5x?5x?1
在区间
?
?1,4
?
上的最大值与最小值 。
543





5、给出下面四个命题

（1）函数
y?x?5x?4
在区间
?
? 1,1
?
上的最大值为10，最小值为－
2
2
9

4
（2）函数
y?2x?4x?1
（2＜X＜4）上的最大值为17，最小值为1
（3）函数
y?x?12x
（－3＜X＜3）上的最大值为16 ， 最小值为－16
（4）函数
y?x?12x
（－2＜X＜2）上 无 最大值 也无 最小值。
其中正确的命题有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

6、把长度为L CM的线段分成四段，围成一个矩形，问怎样分法，所围成矩形的面积最大。





7、把长度为L CM的线段分成二段，围成一个正方形，问怎样分法，所围成正方形的面积
最小。





8、某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件X元出售， 可以卖出(200-X)件，
应该如何定价才能使利润L最大？





9、在曲线Y=1—X
2
(X
?
0，Y?
0)上找一点了(
x
0
,y
0
)，过此点作一切线， 与X、Y轴构成
一个三角形，问X
0
为何值时，此三角形面积最小？







10、要设计一个容积为V的圆柱形 水池，已知底的单位面积造价是侧面的单位面积造价的
3
3
1
?
1< br>?
一半，问：如何设计水池的底半径和高，才能使总造价最少？(提示：
??
? ?
2
)
x
?
x
?

函数极限的运算法则
（4月30日）
教学目标：掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限
教学重点：运用函数极限的运算法则求极限
教学难点：函数极限法则的运用
教学过程：

一、引入：
一些简单函数可从变化趋势找出 它们的极限，如
lim
1
?0,limx?x
o
.若求极限的函数< br>x??
x
x?x
o
比较复杂，就要分析已知函数是由哪些简单函数经过 怎样的运算结合而成的，已知函数的极
限与这些简单函数的极限有什么关系，这样就能把复杂函数的极限 计算转化为简单函数的极
限的计算.
二 、新课讲授
对于函数极限有如下的
运算法则
：
如果
limf(x)?A,limg(x)?B
，那么
x?x
o< br>x?x
o
x?x
o
lim[f(x)?g(x)]?A?B

lim[f(x)?g(x)]?A?B

f(x)A
?(B?0)

g(x)B
x?x
o
x?x
o
lim
也就是说，如 果两个函数都有极限，那么这两个函数的和、差、积、商组成的函数极限，
分别等于这两个函数的极限的 和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为0）.
说明
：当C是常数，n是正整数时，< br>lim[Cf(x)]?Climf(x)

x?x
o
x?x
o
x?x
o
lim[f(x)]
n
?[limf(x)]
n

x?x
o
这些法则对于
x??
的情况仍然适用.
三 典例剖析
例1 求
lim(x?3x)

x?2
2





2x
3
?x
2
?1
例2 求
lim

x?1
x?1





x
2
?16
例3 求
lim

x?4
x? 4
分析：当
x?4
时，分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运用法则.注意函数
x
2
?16
y?
在定义域
x?4
内，可以将分子、 分母约去公因式
x?4
后变成
x?4
，由此即
x?4

可求出函数的极限.





3x
2
?x?3
例4 求
lim

2
x? ?
x?1
分析：当
x??
时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商 的极限运算法则.如果
分子、分母都除以
x
，所得到的分子、分母都有极限，就可以用 商的极限运用法则计算。







总结：
limC?C,limx?x
o
(k?N),

x? x
o
x?x
o
kk*
2
limC?C,lim
x? ?
1
?0(k?N
*
)

k
x??
x
2x
2
?x?4
例5 求
lim

x??
3x
3
?x
2
?1分析：同例4一样，不能直接用法则求极限. 如果分子、分母都除以
x
，就可以运用法则
计算了。



四 课堂练习（利用函数的极限法则求下列函数极限）
（1）
lim(2x?3)
； （2）
lim(2x?3x?1)

x?
1
2
3
2
x?2


2x
2
?1
（3）
lim[(2x?1)(x?3)]
； （4）
lim

x?1
3x
2
?4x?1
x?4

x
2
?5x?6
x
2
?1
（5）
lim
（6）
lim

x?3
x??1
x?1
x
2
?9


2x
2
?x?2
2y
2
?y
（7）
lim
（8）
lim
3

x??
3x
3
?3x
2
?1
y??
y?5


五 小结
1 有限个函数的和（或积）的极限等于这些函数的和（或积）；
2 函数的运算法则成立的前提条件是 函数
f(x),g(x)?
的极限存在，在进行极限运算时，
要特别注意这一点.
3 两个（或几个）函数的极限至少有一个不存在时，他们的和、差、积、商的极限不一定
不存在.
4 在求几个函数的和（或积）的极限时，一般要化简，再求极限.
六 作业（求下列极限）
x
2
?5
2x
（1）
lim(2x?3x?4)
（2）
lim
2
（3）
lim
2

x?2
x?3
x??1
x?1
x?x?1
3



x
2
?3x?1x
2
?33x
3?x
2
?1)
（5）
lim
4
（4）
lim(
（6）
lim
5

242
x?0x?0
x?3
x? 4
x?x?1x?3x?2x



x
3
?3x< br>2
?2x
x?2x?1
（7）
lim
2
（8）
lim
2
（9）
lim

2x??2
x?2
x?4
x??1
x?1
x?x?6



(x?m)
2
?m
2
x
2
? 1
11
（10）
lim
（11）
lim(2??
2
)
（12）
lim
2
x?0x??
x??
x
2x?2x?1
x
x

x
3
?x2x
3
? 1
2
3x
2
?11x?6
)
（15）
lim
（13）
lim
4
（14）
lim(
3

x??
x?3x
2
?1x?2
3x?2
x?1
2x
2
?5x?3



x?x
2
?6x
3
3x
2
?11x?6 x?x
2
?6x
3
limlim
lim
（16） （17） （18）
x??
2x?5x
2
?3x
3x??
2x
2
?5x?3
x?0
2x?5x
2
?3x
3
极 限 的 概 念
（4月27日）
教学目的：理解数列和函数极限的概念；
教学重点：会判断一些简单数列和函数的极限；
教学难点：数列和函数极限的理解
教学过程：
一、实例引入：
例：战国 时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其
半，万世不竭。”也就是说 一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限制地
进行下去。（1）求第
n
天剩余的木棒长度
a
n
(尺)，并分析变化趋势；（2）求前
n
天 截下的木
棒的总长度
b
n
(尺)，并分析变化趋势。







观察以上两个数列都具有这样的特点：当项数< br>n
无限增大时，数列的项
a
n
无限趋近于
某个常数A（即a
n
?A
无限趋近于0）。
a
n
无限趋近于常数A，意 指“
a
n
可以任意地靠近
A，希望它有多近就有多近，只要
n
充分大，就能达到我们所希望的那么近。”即“动点
a
n
到
A的距离
a
n
?A
可以任意小。
二、新课讲授
1、数列极限的定义：
一般地，如果当项数
n
无限增大时，无穷数列
{a
n
}
的项
a
n
无限趋近于某个常数A（即
．．．．．
，那么就 说数列
{a
n
}
的极限是A，记作
a
n
?A
无限趋近于0）

lima
n
?A

n??
注：①上式读作“当
n< br>趋向于无穷大时，
a
n
的极限等于A”。“
n?
∞”表示“< br>n
趋向于无
穷大”，即
n
无限增大的意思。
lima
n
?A
有时也记作当
n?
∞时，
a
n
?
A
n??
②引例中的两个数列的极限可分别表示为_____________________ ，____________________
③思考：是否所有的无穷数列都有极限？
例1：判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由

（1）1，


111123n
，，…，，… ；（2），，，…，，…；
23n234n?1
（3）－2，－2，－2，…，－2，…；（ 4）－0.1，0.01，－0.001，…，
(?0.1)
，…；
（5）－1,1，－1，…，
(?1)
，…；








注：几个重要极限：
（1）
lim
n
n
1
?0
（2）
limC?C
（C是常数）
n??
n
n??
n
n
（3）无穷等比数列
{q}
（
q?1
）的极限是0，即 ：
limq?0(q?1)

n??
2、当
x??
时函数的极限
1
的图像，观察当自变 量
x
取正值且无限增大时，函数值的变化情况：
x
1
y
函数值无限趋近于0，这时就说，当
x
趋向于正无穷大时，函数
y?

x
1
的极限是0，记作：
lim?0

x???
x
一般地，当自变量
x
取正值且无限增大时，如果函数
x
（1） 画出函数
y?
O
y?f(x)
的值无限趋近于一个常数A，就说当
x
趋向于正无穷大时，
函数
y?f(x)
的极限是A，记作：
lim f(x)?A

x???
也可以记作，当
x
???
时，f(x)?A

1
的值无限趋
x
1
1
?0
近于0，这时就说，当
x
趋向于负无穷大时，函数
y?
的极限是0，记作：
lim
x???
x
x
（2）从图中还可以看出，当自变量
x
取负值而
x
无限增大时，函数
y?
一般地，当自变量
x
取负值而x
无限增大时，如果函数
y?f(x)
的值无限趋近于一
个常数A，就说 当
x
趋向于负无穷大时，函数
y?f(x)
的极限是A，记作：
li mf(x)?A

x???
也可以记作，当
x???
时，
f(x)?A

（3）从上面的讨论可以知道，当自变量
x
的绝对值无限增大时，函数
y?
1
的值都无限
x

趋近于0，这时就说，当x
趋向于无穷大时，函数
y?
1
1
的极限是0，记作
l im?0

x??
x
x
一般地，当自变量
x
的绝对 值无限增大时，如果函数
y?f(x)
的值无限趋近于一个常
数A，就说当
x
趋向于无穷大时，函数
y?f(x)
的极限是A，记作：
limf(x)?A

x??
也可以记作，当
x??
时，
f(x)?A

特例：对于函数
f(x)?C
（
C
是常数），当自变量
x< br>的绝对值无限增大时，函数
f(x)?C
的值保持不变，所以当
x
趋向 于无穷大时，函数
f(x)?C
的极限就是
C
，即

limC?C

x??
例2：判断下列函数的极限：
1
x
x
x???
2
x???
1
（3）
lim
2
（4）
lim4

x??
x
x??






三、课堂小结
1、数列的极限
2、当
x??
时函数的极限
四、练习与作业
1、判断下列数列是否有极限，若有，写出极限
（1）1，
（1）
lim()
（2）
lim10

111
，，…，
2
，… ；（2）7，7，7，…，7，…；
49
n
111(?1)
n
,?
； （3）
?,,?,?,
248
2
n
（4）2，4，6，8，…，2n，…；
（5）0.1，0.01，0.001，…，
（6）0，
?
1
，…；
10
n
121
,?,
…，
?1
，…；
23n
1111
n?1
（7）
,?,,
…，
(?1)
，…；
234n?1
n
2
149
（8）
,,,
…，，…；
5
555
（9）－2, 0，－2，…，
(?1)?1
,…，
2、判断下列函数的极限：
n

（1）
lim0.4
（2）
lim1.2

x???x???
xx
1

4
x??
x??
x
1
x
5
x
（5）
lim()
（6）
lim()

x???
10
x???
4
1
（7）
lim
2
（8）
lim5

x??
x?1
x??
（3）
lim(?1)
（4）
lim
补充：3、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面A BCD，M、N分别
是AB、PC的中点。（1）求证：MN⊥AB；
P
（2）若平面PCD与平面ABCD所成的二面角为θ，
能否确定θ，使得MN是异面直线AB与PC的公垂线？
若可以确定，试求θ的值；若不能，说明理由。
N

A
D

M

C
B

数列极限的运算法则（5月3日）
教学目标：掌握数列极限的运算法则，并会求简单的数列极限的极限。
教学重点：运用数列极限的运算法则求极限
教学难点：数列极限法则的运用
教学过程：
一、复习引入：
函数极限的运算法则：如果
limf(x)? A,limg(x)?B,
则
lim
?
f(x)?g(x)
x?x< br>0
x?x
0
x?x
0
?
?
＿＿＿
x?x
0
lim
?
f(x).g(x)
?
?
＿＿＿ ＿，
lim
x?x
0
f(x)
?
＿＿＿＿（B
?0
）
g(x)
二、新授课：
数列极限的运算法则与函数极限的运算法则类似：
如果
lima
n
?A,limb
n
?B,
那么
n??n??
lim(a
n
?b
n
)?A?B

lim(a
n
?b
n
)?A?B

n??n??
lim(a
n
.b
n
)?A.B

lim
n??
a
n
A
?(B?0)

n? ?
bB
n
推广：上面法则可以推广到有限多个数列的情况。例如，若
?
a
n
．．
则：
lim(a
n
?b
n
?c
n
)?lima
n
?limb
n
?limc
n
n??n??n??n??
?
，
?
b
n
?< br>，
?
c
n
?
有极限，
特别地，如果C是常数，那么< br>二.例题：
lim(C.a
n
)?
n
?CA
< br>n??n??n??
例1.已知
lima
n
?5,
limb< br>n
?3
，求
lim(3a
n
?4b
n
).< br>
n??
n??n??

例2.求下列极限：
（1）
lim(5?
n??
41
)
； （2）
lim(?1)
2

n??
nn




例3.求下列有限：
2n?1n
（2）
lim
2

n??
3n?1
n??
n?1< br>分析：（1）（2）当
n
无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有 极限，
（1）
lim
上面的极限运算法则不能直接运用。








例4.求下列极限：
（1）
lim(
n??
3572n?1
???
?
?)
< br>2222
n?1n?1n?1n?1
1?2?4?
?
?2
n? 1
)
（2）
lim(
n??
1?3?9?
?
?3
n?1













说明：1.数列极限的运算法则成立的前提的条件是：数列的极限都是存在，在进 行极限运算

时，要特别注意这一点。 当
n
无限增大时，分 式的分子、分母都无限增大，分子、分母都
没有极限，上面的极限运算法则不能直接运用。
2.有限个数列的和（积）的极限等于这些数列的极限的和（积）。
3.两个（或几个）函数 （或数列）的极限至少有一个不存在，但它们的和、差、积、商的极
限不一定不存在。
小结： 在数列的极限都是存在的前提下，才能运用数列极限的运算法则进行计算；数列极限
的运算法则是对有限 的数列是成立的。
练习与作业：
1.已知
lima
n
?2,limb
n
??
1
，求下列极限
n??
n??
3
（1）
lim(2a
n
?3b
n
)
；
n??




2.求下列极限：
（1）
lim(4?
1
n??
n
)
；




3.求下列极限
（1）
lim
n?1
；
n??
n






（3）
lim
3n?2
；
n??
1?n
2






4.求下列极限
2）
lim
a
n
?b
n
n??
a

n
2）
lim
2
。
n??
?5?
3
n
（2）
lim
n
3n?2
；
n??
（4）
lim
5n?2n
2
n??
3n
2
?1
。
（
（

已知
lima
n
?3,limb
n
?5,
求下列极限：
n??n??
（1）.
lim(3a
n
?4b
n
).
（2）.
lim
n??
a
n
?b
n

n??
a?b
nn



5.求下列极限:
（1）.
lim(7?);
（2）.
lim(
n??n??
2
n
1
?5)

2
n

1
?1
13
（3）.
lim(?4)
(4).
lim
n

n??
nn
n??
1
?1
n



(5).
lim



1?2?3?
?
?n7?5n
(6).
lim
n??n??
6n?11
2n
2
21?4 n
2
n?1
(7).
lim
2
（8）
lim(?)

2
n??
n?9
1?n
n??
n



111
??
?
?
n
24
2
（10）.已知
lima?2,
求
lim
n?a
n
（9）
lim
n
n??
n?a
n??
n??
111
n
1???
?
?
n
39
3
1?


无穷等比数列各项的和
（5月4日）
教学目的：掌握无穷等比数列各项的和公式；
教学重点：无穷等比数列各项的和公式的应用
教学过程：
一、复习引入
1、等比数列的前n项和公式是___________ ______________________________________
2、设AB是长 为1的一条线段，等分AB得到分点A
1
，再等分线段A
1
B得到分点A2
，如
此无限继续下去，线段AA
1
，A
1
A
2
，…，A
n
－
1
A
n
，…的长度构成数列

1111
,,,?,
n
,?
①
248
2
可以看到，随着分点的增多，点A
n
越来越接近点B， 由此可以猜想，当n无穷大时，
AA
1
+A
1
A
2
+…+ A
n
－
1
A
n
的极限是________.下面来验证猜想的正确性，并加以推广









二、新课讲授
1、无穷等 比数列各项的和：公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n项的和当n无限增大
时的极限，叫做这个无穷 等比数列各项的和. 设无穷等比数列
a
1
,a
1
q,a
1
q,?,a
1
q
公比
q
的绝对值小于1，则其各项的和S为

S?
2n?1
,?
的
a
1

(q?1)

1?q
例1、求无穷等比数列
0.3， 0.03， 0.003，…
各项的和.



例2、将无限循环小数
0.29
化为分数.


三、课堂小结：
1、无穷等比数列各项的和公式；2、化循环小数为分数的方法
四、练习与作业
1、求下列无穷等比数列各项的和：
（1）
,?
。。
8
9
2132144
（2）
6，,,?,?；1，，，?

328331575
（3）
3 ?1
3?1
，1，
3?1
3?1
，?x,x
2
,? x
3
,?,(x?1)

，?
（4）
1




2、化循环小数为分数：
（1）
0.27
（2）
0.306

。。
。。

。。。
（3）
1.328
（4）
?0.4023


3、如图，等边三角形ABC的面积等于1，连结 这个三角形各边的中点得到一个小三角形，
又连结这个小三角形各边的中点得到一个更小的三角形，如此 无限继续下去，
A
求所有这些三角形的面积的和.




C
B
4、如图，三角形的一条底边是a ,这条边上的高是h
（1）过高的5等分点分别作底边的平行线，并作出相应的4个矩形，求这些矩形面积的和
（2）把高n等分，同样作出n－1个矩形，求这些矩形面积的和；
（3）求证：当n无限增大时，这些矩形面积的和的极限等于三角形的面积ah2



h



a
第4题