高中数学提问技巧-高中数学典型教学案例剖析
高中数学必修·2教学案例
——直线与平面平行的判定
孙立全
【教学内容分析】
本节内容在立体几何学习中起着承上启下的作用,具有重要
的意义与地位。
本节课是在前面已学空间点、线、面位置关系的基础作为学习的出发点,结合
有
关的实物模型,通过直观感知、操作确认(合情推理,不要求证明)归纳出直
线与平面平行的判定定理。
本节课的学习对培养学生空间感与逻辑推理能力起
到重要作用,特别是对线线平行、面面平行的判定的学
习作用重大。
【学生学习情况分析】
任教的学生在年段属中下程度,学生学习兴趣较低,并
且学习立体几何所
具备的语言表达及空间感与空间想象能力相对不足,学习方面有一定困难。
【
设计思想
】
本节课的设计遵循从具体到抽象的原则,适当运用多
媒体辅助教学手段,
借助实物模型,通过直观感知,操作确认,合情推理,归纳出直线与平面平行
的判定定理,将合情推理与演绎推理有机结合,让学生在观察分析、自主探索、
合作交流的过程中,揭
示直线与平面平行的判定、理解数学的概念,领会数学
的思想方法,养成积极主动、勇于探索、自主学习
的学习方式,发展学生的空
间观念和空间想象力,提高学生的数学逻辑思维能力。
【教学目标】
通过直观感知——观察——操作确认的认识方法理解并掌握直线与平面平
行的判定定理,掌握直线与平面平行的画法并能准确使用数学符号语言、文字
语言表述判定定理。培养
学生观察、探究、发现的能力和空间想象能力、逻辑
思维能力。让学生在观察、探究、发现中学习,在自
主合作、交流中学习,体
验学习的乐趣,增强自信心,树立积极的学习态度,提高学习的自我效能感。
【教学重点与难点】
重点是判定定理的引入与理解,难点是判定定理的应用及立几空间感、空
间观念的形成与逻辑思维能力的培养。
【教学过程设计】
(一)知识准备、新课引入
提问1:根据公共点的情况,空间中直线a和平面
?有哪几种位置关系?
并完成下表:
位置关系
公共点
符号表示
图形表示
示为a
?
?
提问2:根据直线与平面平行的定
义(没有公共点)来判定直线与平面平行
你认为方便吗?谈谈你的看法,并指出是否有别的判定途径。
(设计意图:通过提问,学生复习并归纳空间直线与平面位置关系引入本
节课题,并为探寻直线
与平面平行判定定理作好准备)
(二)判定定理的探求过程
1、直观感知
提问:根据同学们日常生活的观察,你们能感知到并举出直线与平面平行
的具体事例吗?
学生1:例举日光灯与天花板,树立的电线杆与墙面。
学生2:门转动到离开门框的任何位置
时,门的边缘线始终与门框所在的
平面平行(由学生到教室门前作演示),然后教师用多媒体动画演示。
(学情预设:此处的预设与生成应当是很自然的,但老师要预见到可能出
现的情况如电线杆与墙
面可能共面的情形及门要离开门框的位置等情形。)
2、动手实践
教师取出预先准备好的直
角梯形泡沫板演示:当把互相平行的一边放在讲
台桌面上并转动,观察另一边与桌面的位置给人以平行的
感觉,而当把直角腰
放在桌面上并转动,观察另一边与桌面给人的印象就不平行。又如老师直立讲
台,则大家会感觉到老师(视为线)与四周墙面平行,如老师向前或后倾斜则
感觉老师(视为线)与左
、右墙面平行,如老师向左、右倾斜,则感觉老师(视为
线)与前、后墙面平行(老师也可用事先准备的
木条放在讲台桌上作上述情形的
演示)。
(设计意图:设置这样动手实践的情境,是为了让学生更清楚地看到线面
我们把直线与平面相交或平行的位置关系统称为直线在平面外,用符号表
平行与否的关键因素是什么,使学生学在情境中,思在情理中,感悟在内心中,
学自己身边的数学,
领悟空间观念与空间图形性质。)
3、探究思考
(1)上述演示的直线与平面位置关系为何
有如此的不同?关键是什么因素
起了作用呢?通过观察感知发现直线与平面平行,关键是三个要素:①平
面外
一条线 ②平面内一条直线 ③这两条直线平行
(2)如果平面外的直线a与平
面
?
内的一条直线b平行,那么直线a与平面
?
平行吗?
4、归纳确认:(多媒体幻灯片演示)
直线和平面平行的判定定理:平面外的一条直线与平面
内的一条直线平行,
则该直线和这个平面平行。
简单概括:(内外)线线平行
?
线面平行
a
a
?
?
?
?
?
符号表示:<
br>b?
?
?
?a||
?
a||b
?
温馨提示:
?
作用:判定或证明线面平行。
关键:在平面内找(或作)出一条直线与面外的直线平行。
思想:空间问题转化为平面问题
(三)定理运用,问题探究
1、想一想:
(1)判断下列命题的真假?说明理由:
①如果一条直线不在平面内,则这条直线就与平面平行( )
②过直线外一点可以作无数个平面与这条直线平行( )
③一直线上有二个点到平面的距离相等,则这条直线与平面平行( )
(2)若直线a
与平面
?
内无数条直线平行,则a与
?
的位置关系是( )
A、a ||
?
B、a
?
?
C、a
||
?
或a
?
?
D、
a?
?
(学情预设:设计这组问题目的是强调定理中三个条件的重要性,同时预
设(1)中的③学生可能认为
正确的,这样就无法达到老师的预设与生成的目的,
这时教师要引导学生思考,让学生想象的空间更广阔
些。此外教师可用预先准
备好的羊毛针与泡沫板进行演示,让羊毛针穿过泡沫板以举不平行的反例,如<
br>果有的学生空间想象力强,能按老师的要求生成正确的结果则就由个别学生进
行演示。)
2、作一作:
设a、b是二异面直线,则过a、b外一点p且与a
、b都平行的平面存在吗?
若存在请画出平面,不存在说明理由?
先由学生讨论交流,教师提
问,然后教师总结,并用准备好的羊毛针、铁
线、泡沫板等演示平面的形成过程,最后借多媒体展示作图
的动画过程。
(设计意图:这是一道动手操作的问题,不仅是为了拓展加深对定理的认
识,更
重要的是培养学生空间感与思维的严谨性)
3、证一证:
例1:已知空间四边形ABCD中,E、F分别是AB、AD的中点,求证:EF ||
平面BCD。
变式一:空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、
DA中点,
连结EF、FG、GH、HE、AC、BD请分别找出图中满足线面平行位置关系的所有情<
br>况。(共6组线面平行)
变式二:在变式一的图中如作PQEF,使P点在线段AE上、Q点在
线段FC
上,连结PH、QG,并继续探究图中所具有的线面平行位置关系?(在变式一的
基础
上增加了4组线面平行),并判断四边形EFGH、PQGH分别是怎样的四边形,
说明理由。
(设计意图:设计二个变式训练,目的是通过问题探究、讨论,思辨,及
时巩固定理,运用定理,培养
学生的识图能力与逻辑推理能力。)
例2:如图,在正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中,E、F分别是棱BC与C
1
D<
br>1
中点,
求证:EF || 平面BDD
1
B
1
D1
A1
F
C1
B1
D
C
E
B
A
分析:根据判定定理必须在平面BDD
1
B
1
内找(作)一条线与EF平行,联想到
中点问题找中点解决的方法,可
以取BD或B
1
D
1
中点而证之。
思路一:取BD中点G连D1
G、EG,可证D
1
GEF为平行四边形。
思路二:取D
1
B
1
中点H连HB、HF,可证HFEB为平行四边形。
(知识链接:根据
空间问题平面化的思想,因此把找空间平行直线问题转
化为找平行四边形或三角形中位线问题,这样就自
然想到了找中点。平行问题
找中点解决是个好途径好方法。这种思想方法是解
决立几论证平行问题,培养
逻辑思维能力的重要思想方法)
4、练一练:
练习:将
两个全等的正方形ABCD和ABEF拼在一起,设M、N分别为AC、
BF中点,求证:MN ||
平面BCE。
变式:若将练习2中M、N改为AC、BF分点且AM =
FN,试问结论仍成立
吗?试证之。
(设计意图:设计这组练习,目的是为了巩固与深化定理
的运用,特别是
通过练习2及其变式的训练,让学生能在复杂的图形中去识图,去寻找分析问
题
、解决问题的途径与方法,以达到逐步培养空间感与逻辑思维能力。)
(四)总结
先由学生口头总结,然后教师归纳总结(由多媒体幻灯片展示):
1、线面平行的判定定理:
平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,则
该直线与这个平面平行。
a?
?
?
?
2、定理的符号表示:
b?
?
?
?a||
?
a||b
?
简述:(内外)线线平行则线面平行
?
3、定理运用的
关键是找(作)面内的线与面外的线平行,途径有:取中点
利用平行四边形或三角形中位线性质等。
【教学反思】
本节“直线与平面平行的判定”是学生学习空间位置关系的判定与性质的
第一节课,也是学生开始学习立几演泽推理论述的思维方式方法,因此本节课
学习对发展学生的空间观
念和逻辑思维能力是非常重要的。
本节课的设计遵循“直观感知——操作确认——思辩论证”的认识过
程,
注重引导学生通过观察、操作交流、讨论、有条理的思考和推理等活动,从多
角度认识直线
和平面平行的判定方法,让学生通过自主探索、合作交流,进一
步认识和掌握空间图形的性质,积累数学
活动的经验,发展合情推理、发展空
间观念与推理能力。
本节课的设计注重训练学生准确表达
数学符号语言、文字语言及图形语言,加强
各种语言的互译。比如上课开始时的复习引入,让学生用三种
语言的表达,动手
实践、定理探求过程以及定理描述也注重三种语言的表达,对例题的讲解与分析
也注意指导学生三种语言的表达。
1
一 月
产品名称 数量 金额 利润
二 月 三 月
利润 产品名称 数量 金额 利润 产品名称 数量 金额
合 计
合 计
合 计
四 月
产品名称
合 计
下午13:00—17:00
五 月
金
额
利
润
合
计
产品名称
数
量
金
额
利
润
产品名称
合 计
六 月
数
量
金
额
利
润
数
量
B.实行不定时工作制的员工,在保证完成甲方工作任务情况下,经公司同意,可自行安排工作和休息时
间。
3.1.2打卡制度
3.1.2.1公司实行上、下班指纹录入打卡制度。全体员工都
必须自觉遵守工作时间,实行不定时工作制的员工不必打卡。
3.1.2.2打卡次数:一日两次,即早上上班打卡一次,下午下班打卡一次。
3.1.2.3打卡时间:打卡时间为上班到岗时间和下班离岗时间;
3.1.2.4因公
外出不能打卡:因公外出不能打卡应填写《外勤登记表》,注明外出日期、事由、外勤起止时间。因公外出需事先
申请,如因特殊情况不能事先申请,应在事毕到岗当日完成申
请、审批手续,否则按旷工处理。因停电、
卡钟(工卡)故障未打卡的员工,上班前、下班后要及时到部门考勤员处填写《未打卡补签申请表》,由直接主管
签字证明当日的出勤状况,报
部门经理、人力资源部批准后,月底由部门考勤员据此上报考勤。上述情况
考勤由各部门或分公司和项目文员协助人力资源部进行管理。
3.1.2.5手工考勤制度
3.1.2.6手工考勤制申请:由于工作性质,员工无法正常打卡(如外围人员、出差),可由各部门提出人员
名单,经主管副总批准后,报人力资源部审批备案。
3.1.2.7参与手工考勤的员工,需由其主管
部门的部门考勤员(文员)或部门指定人员进行考勤管理,并于每月26日前向人力资源部递交考勤报表。
3.1.2.8参与手工考勤的员工如有请假情况发生,应遵守相关请、休假制度,如实填报相关表单。
3.1.2.9 外派员工在外派工作期间的考勤,需在外派公司打卡记录;如遇中途出差,持出差证明
,出差期间的考勤在出差地所在公司打卡记录;
3.2加班管理
3.2.1定义
加班是指员工在节假日或公司规定的休息日仍照常工作的情况。
A.现场管理人员和劳务人员
的加班应严格控制,各部门应按月工时标准,合理安排工作班次。部门经理要严格审批员工排班表,保证员工有效
工时达到要求。凡是达到月工时标准的,应
扣减员工本人的存休或工资;对超出月工时标准的,应说明理
由,报主管副总和人力资源部审批。
B.因员工月薪工资中的补贴已包括延时工作补贴,所以延时工
作在4小时(不含)以下的,不再另计加班工资。因工作需要,一般员工延时工作4小时至8小时可申报加班半天
,超过
8小时可申报加班1天。对主管(含)以上管理人员,一般情况下延时工作不计加班,因特殊情况
经总经理以上领导批准的延时工作,可按以上标准计加班。
3.2.2.2员工加班应提前申请,事先
填写《加班申请表》,因无法确定加班工时的,应在本次加班完成后3个工作日内补填《加班申请表》。《加班申
请表》经部门经理同意,主管副总经理审
核报总经理批准后有效。《加班申请表》必须事前当月内上报有
效,如遇特殊情况,也必须在一周内上报至总经理批准。如未履行上述程序,视为乙方自愿加班。
3.
2.2.3员工加班,也应按规定打卡,没有打卡记录的加班,公司不予承认;有打卡记录但无公司总经理批准的
加班,公司不予承认加班。
3.2.2.4原则上,参加公司组织的各种培训、集体活动不计加班。
3.2.2.5加班工资的补偿:员工在排班休息日的加班,可以以倒休形式安排补休。原则上,员工加
班以倒休形式补休的,公司将根据工作需要统一安排在春节前后补休。加班可按1:1的比
例冲抵病、事
假。
3.2.3加班的申请、审批、确认流程
3.2.3.1《加班申请表》在各部门文员处领取,加班统计周期为上月26日至本月25日。 3.2.3.2员工加班也要按规定打卡,没有打卡记录的加班,公司不予承认。各部门的考勤员(文员)负
责《加班申请表》的保管及加班申报。员工加班应提前申请,事先填写《加班申请表》加
班前到部门考勤
员(文员)处领取《加班申请表》,《加班申请表》经项目管理中心或部门经理同意,主管副总审核,总经理签字
批准后有效。填写并履行完审批手续后交由部门考勤员(文员)
保管。
3.2.3.3部门考
勤员(文员)负责检查、复核确认考勤记录的真实有效性并在每月27日汇总交人力资源部,逾期未交的加班记录
公司不予承认。
下午13:00—17:00
度。全体员工都必须自觉遵守工作时间,实行不定时工作制的员工不必打卡。
3.1.2.2打卡次数:一日两次,即早上上班打卡一次,下午下班打卡一次。
3.1.2.3打卡时间:打卡时间为上班到岗时间和下班离岗时间;
<
br>3.1.2.4因公外出不能打卡:因公外出不能打卡应填写《外勤登记表》,注明外出日期、事由、外勤
起止时间。因公外出需事先申请,如因特殊情况不能事先申请,应在事毕到岗当日完成申
请、审批手续,
否则按旷工处理。因停电、卡钟(工卡)故障未打卡的员工,上班前、下班后要及时到部门考勤员处填写《未打卡
补签申请表》,由直接主管签字证明当日的出勤状况,报
部门经理、人力资源部批准后,月底由部门考勤
员据此上报考勤。上述情况考勤由各部门或分公司和项目文员协助人力资源部进行管理。
3.1.2.5手工考勤制度
3.1.2.6手工考勤制申请:由于工作性质,员工无法正常
打卡(如外围人员、出差),可由各部门提出人员名单,经主管副总批准后,报人力资源部审批备案。
3.1.2.7参与手工考勤的员工,需由其主管部门的部门考勤员(文员)或部门指定人员进行考勤管理,并于
每月26日前向人力资源部递交考勤报表。
3.1.2.8参与手工考勤的员工如有请假情况发生,应遵守相关请、休假制度,如实填报相关表单。
3.1.2.9 外派员工在外派工作期间的考勤,需在外派公司打卡记录;如遇中途出差,持出差证明
,出差期间的考勤在出差地所在公司打卡记录;
3.2加班管理
3.2.1定义
加班是指员工在节假日或公司规定的休息日仍照常工作的情况。
A.现场管理人员和劳务人员
的加班应严格控制,各部门应按月工时标准,合理安排工作班次。部门经理要严格审批员工排班表,保证员工有效
工时达到要求。凡是达到月工时标准的,应
扣减员工本人的存休或工资;对超出月工时标准的,应说明理
由,报主管副总和人力资源部审批。
B.因员工月薪工资中的补贴已包括延时工作补贴,所以延时工
作在4小时(不含)以下的,不再另计加班工资。因工作需要,一般员工延时工作4小时至8小时可申报加班半天
,超过
8小时可申报加班1天。对主管(含)以上管理人员,一般情况下延时工作不计加班,因特殊情况
经总经理以上领导批准的延时工作,可按以上标准计加班。
3.2.2.2员工加班应提前申请,事先
填写《加班申请表》,因无法确定加班工时的,应在本次加班完成后3个工作日内补填《加班申请表》。《加班申
请表》经部门经理同意,主管副总经理审
核报总经理批准后有效。《加班申请表》必须事前当月内上报有
效,如遇特殊情况,也必须在一周内上报至总经理批准。如未履行上述程序,视为乙方自愿加班。
3.
2.2.3员工加班,也应按规定打卡,没有打卡记录的加班,公司不予承认;有打卡记录但无公司总经理批准的
加班,公司不予承认加班。
3.2.2.4原则上,参加公司组织的各种培训、集体活动不计加班。
3.2.2.5加班工资的补偿:员工在排班休息日的加班,可以以倒休形式安排补休。原则上,员工加
班以倒休形式补休的,公司将根据工作需要统一安排在春节前后补休。加班可按1:1的比
例冲抵病、事
假。
3.2.3加班的申请、审批、确认流程
3.2.3.1《加班申请表》在各部门文员处领取,加班统计周期为上月26日至本月25日。 3.2.3.2员工加班也要按规定打卡,没有打卡记录的加班,公司不予承认。各部门的考勤员(文员)负
责《加班申请表》的保管及加班申报。员工加班应提前申请,事先填写《加班申请表》加
班前到部门考勤
员(文员)处领取《加班申请表》,《加班申请表》经项目管理中心或部门经理同意,主管副总审核,总经理签字
批准后有效。填写并履行完审批手续后交由部门考勤员(文员)
保管。
3.2.3.3部门考
勤员(文员)负责检查、复核确认考勤记录的真实有效性并在每月27日汇总交人力资源部,逾期未交的加班记录
公司不予承认。