沪教版高中数学教案

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【篇一：高二数学：7.2《等差数列前n项和》教案 1
沪教版】

等差数列的前n项和（一）

●教学目标

（一）教学知识点

等差数列前n项和公式：sn=

n(a1?an)n(n?1)

?na1?d. 22

（二）能力训练要求

1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.

2.会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的
问题. （三）德育渗透目标 1.提高学生的推理能力. 2.增强学生的应
用意识. ●教学重点

等差数列前n项和公式的推导、理解及应用. ●教学难点

灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题. ●教学方法
启发引导法

结合所学知识，引导学生在解决实际问题的过程中发现新知识，从
而理解并掌握. ●教具准备

投影片一张：记作 例:如图（课本），一个堆放铅笔的v形架的最下
面一层放一支铅笔，往 上每一层都比它下面一层多放一支，最上面
一层放120支，这个v形架上共放着多少支铅笔

?

●教学过程 Ⅰ.复习回顾

［师］经过前面的学习，我们知道，在等差数列中： （1）an－an
－1=d（n≥1），d为常数. （2）若a，a，b为等差数列，则a=

a?b

. 2

（3）若m+n=p+q,则am+an=ap+aq.（其中m,n,p,q均为正整数）
Ⅱ.讲授新课

［师］随着学习数列的深入，我们经常会遇到这样的问题. （打出投
影片）

这是一堆放铅笔的v形架，这形同前面所接触过的堆放钢管的示意
图，看到此图，大家都会很快捷地找到每一层的铅笔数与层数的关

系，而且可以 用一个式子来表示这种关系，利用它便可以求出每一
层的铅笔数.那么，这个v形架上共放着多少支铅笔 呢？这个问题又
该如何解决呢？经过分析，我们不难看出，这是一个等差数求和问
题？

首先，我们来看这样一个问题：1+2+3+…+100=？

对于这个问题，著名数学家高斯10岁时曾很快求出它的结果，你知
道他是怎么算的吗？ 高斯的算法是：首项与末项的和：1+100=101，
第2项与倒数第2项的和：2+99=101， 第3项与倒数第3项的和：
3+98=101， ……

100

=5050. 2

这个问题，它也类似于刚才我们所遇到的问题，它可以看成是求等
差数列1，2，3，…，n,…的前100项的和.在上面的求解中，我们
发现所求的和可用首项、末 项及项数n来表示，且任意的第k项与
倒数第k项的和都等于首项与末项的和，这就启发我们如何去求一
般等差数列的前n项的和.如果我们可归纳出一计算式，那么上述问
题便可迎刃而解.

设等差数列{an}的前n项和为sn，即sn=a1+a2+…+an, ① 把项的
次序反过来，sn又可写成sn=an+an－1+…+a1 ② ①+②?2sn=
（a1+an）+（a2+an－1）+…+（an+a1）

又 ∵a2+an－1=a3+an－2=a4+an－3=…=an+a1,∴2sn=n
（a1+an） ,即：sn=

n(a1?an)

2

若根据等差 数列{an}的通项公式，sn可写为：sn=a1+（a1+d）
+…+［a1+（n－1）d］ ①,把项的次序反过来，sn又可写为：
sn=an+（an－d）+…+［an－（n－1）d ②］,把①、②两 边分别
相加，得2sn=

由此可得等差数列{an}的前n项和的公式sn=

=n（a1+an）,即：sn=

n(a1?an)

. 2

n(a1?an)

. 2

也就是说，等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一
半.

100(1?100)

=5050.

2

n(a1?an)n?a1?a1?(n?1)d?n(n?1)

又∵an=a1+（n－1）d,∴sn=??na1?d

222

n(a1?an)n(n?1)∴sn=或sn=na1+d

22

用这个公式来计算1+2+3+…+100=？我们有s100=

有了此公式，我们就不难解决最开始我们遇到的问题，下面我们看
具体该如何解决？

（打出投影片）

［师］分析题意可知，这个v形架上共放着120层铅笔，且自上而
下各层的铅笔成等差数列，可记为{an}，其中
a1=1,a120=120,n=120.

［生］解：设自上而下各层的铅笔成等差数列{an}，其中
n=120,a1=1,a 120=120.

则：s120=

120(1?120)

=7260

2

答案：这个v形架上共放着7260支铅笔. 下面我们再来看一例题：

等差数列－10,－6,－2,2，…前多少项的和是54?

分析：先根据等差数列所给出项求出此数列的首项，公差，然后根
据等差数列的求和公式求解.

解：设题中的等差数列为｛an｝，前n项为的sn，由题意可知：
a1=－10,d=（－6）－ （－10）=4，sn=54

由等差数列前n项求和公式可得： －10n+

n(n?1)

解之得：n1=9,n2=－3（舍去）

答案：等差数列－10,－6,－2,2,…前9项的和是54. Ⅲ.课堂练习
［生］练习课本

1.根据下列各题中的条件，求相应的等差数列{an}的sn; （1）
a1=5,an=95,n=10; 解：由sn=

n(a1?an)10?(5?95)

,得sn==500.

22

（2）a1=100,d=－2,n=50;

n(n?1)

d, 2

50?(50?1)

2

解：由sn=na1+

（3）a1=14.5,d=0.7,an=32

n(n?1)26(26?1)

评述：要熟练掌握等差数列求和公式的两种形式，以便根据题目所
给条件灵活选用而求解.

2.（1）求正数数列中前n个数的和.

解：由题意可知正整数列为：1，2，3，…，n,…, ∴sn=

n(n?1)

2

（2）求正整数列中前n个偶数的和.

解：由题意可知 正整数数列为：1，2，3，…，n,…,其中偶数可组
成一新数列为：2，4，6，…2n,…，设正 整数列中前n个偶数的和
为sn，则sn=

评述：首先要理解题意，然后综合使用公式而求解. 3.等差数列5，
4，3，2，…前多少项的和是－30？ 解：由题意可知，a1=5,d=4－
5=－1. 由sn=na1+

n(2?2n)

=n（n+1）. 2

n(n?1)n(n?1)

评述：利用方程思想，解决一些简单的相关问题.

Ⅳ.课时小结

通过本节学习，要熟练掌握等差数列前n项和公式:sn=

n(a1?an)n(n?1)

=na1+d及其获22

取思路.

Ⅴ.课后作业 （一）课本

（二）1.预习内容：课本

2.预习提纲：如何灵活应用等差数列求和公式解决相关问题? ●板书
设计

【篇二：沪科版高中数学等差数列等比数列教案】


7.2（3）等差数列的前n项和

一、教学内容分析

本节是在学习了等差数列的概念和性质的基础上，使学生掌握等差
数列求和公式，并能采用了 倒序相加法，思路的获得得益于等差数
列任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和这一性质
的认识“倒序相加”数学方法.

二、教学目标设计 1．掌握等差数列前n项和公式推导思路和方法．

2．会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的问题 三、教学重
点及难点

等差数列n项和公式的理解、推导及简单应用

灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的问题

四、教学用具准备

五、教学流程设计

六、教学过程设计

一、情景引入

1．观察

高斯是伟大的数学家、天文学家.高斯十岁时,有一次老师出了一道题
目,老师说:“现在给大家出道题目:

1+2+?+100=?”

过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10;?算得不亦乐乎
时，高 斯站起来回答说：

“1+2+3+?

教师问：“你是如何算出答案的？

2．思考

这个故事告诉我们：

（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从< br>一些简单的事物中发（2）该故事还告诉我们求等差数列前n项和的
一种很重要的思想方法.这就 是 “倒序相加”3．讨论

如图，一个堆放铅笔的v形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一

层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个v形架上
共放

着多少支铅笔?

这是一堆放铅笔的v形架，这形同前面所接触过的堆放钢管的示意

图，看到此图，大家都会很快捷地找到每一层的铅笔数与层数的关
系，

而且可以用一个式子来表示这种关系，利用它便可以求出每一层的
铅笔

数.那么，这个v形架上共放着多少支铅笔呢？这个问题又该如何解
决呢？经 过分析，我们不难看出，这是一个等差数列求和问题？

这个问题，类似于刚才我们所遇到的小故事中的问题，它可以看成
是求等差数列1，2，
3，…，n,…的前120项的和.在上面的求解中，我们设想：如果还有
一堆同样放置的铅笔的v 形架.我们将它倒置拼在一旁,那么这时每层
铅笔的个数相同.可以发现所求的和可用首项、末项及项数 n来表示，
且任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和，这就启
发我们如何去研究 一般地等差数列的前n项的和公式.如果我们可归
纳出这一个公式，那么上述问题便可迎刃而解.

二、学习新课

1．公式推导

等差数列的前n项和公式1:sn?

推导过程： n(a1?an). 2

证明：sn?a1?a2?a3???an?1?an①

sn?an?an?1?an?2???a2?a1 ②

①+②：2sn?(a1?an)?(a2?an?1)?(a3?an?2)???(an?an).

∵a1?an?a2?an?1?a3?an?2???.

∴2sn?n(a1?an). 由此得：sn?n(a1?an). 2

2．等差数列的前n项和公式2：sn?na1?n(n?1)d. 2

用上述公式要求sn必须具备三个条件：n,a1,an.把an?a1?(n?1)d
入公式1即得：sn?na1?n(n?1)d. 2

此公式要求sn必须已知三个条件：n,a1,d （有时比较有用）

总之：两个公式都表明要求sn,必须已知n,a1,d,an公式2又可化成
式子：sn?

2．例题分析 d2dn?(a1?)n.当d≠022

例1 一个堆放铅笔的 v型的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都
比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个v形 架上共放
着多少支铅笔？

解：由题意可知，这个v形架上共放着120层铅笔，且 自下而上各
层的铅笔成等差数列，记为?an?，其中a1?1,a120?120，根据等差
数列前n项和的公式，得

s120?120?(1?120)?7260. 2

答：v形架上共放着72603．问题拓展

例2 等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？

解：设题中的等差数列为?an?，前n项的和为sn,则

a1??10,d?(?6)?(?10)?4,sn?54.

由公式可得?10n?n(n?1)?4?54. 2

解得n1?9,n2??3（舍）.

故等差数列-10，-6，-2，2…前9项的和是54.

三、巩固练习

?1．求集合m??m|m?7n,n?n*且m?100

1002?14. 77

∴正整数n共有14个即m中共有14个元素. 解：由7n?100得 n?

即7，14，21，…，98是a1?7为首项a14?98的等差数列.

sn? ∴14?(7?98)?735. 2

四、课堂小结

本节课学习了以下内容：

1.等差数列的前n项和公式1：sn?n(a1?an). 2

n(n?1)d. 22.等差数列的前n项和公式2：sn?na1?

?d2dn?(a1?)n,，当d≠0，是一个常数项为零的二次式. 22

五、作业布置

课本练习:p19,1,2,3.补充练习:

1.已知等差数列的前n项和为a，前2n项和为b，求前3n项和．

2.已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，
求其前n项和的公式. 补充练习参考答案1.3(b?a)2. sn?3n2?n

七、教学设计说明

该节课是通过对于1+2+3+?+100的算法，发现等差数列任意的第k
项与倒数第k项 的和等于首、末项的和，从而得出了求等差数列前n
项和的思路，获得求和的一般思路.关键是通过具体 的例子发现一般
规律，然后导出前n项和公式.教师应多创造机会让学生自己去发现、
推导，逐 步体会从特殊到一般的认识过程及归纳的思想方法.

7.2（4）等差数列的通项公式和前n项和

一、教学内容分析

本 课是在学习等差数列的通项公式和前n项和公式后的一节练习课.
在知晓公式的两种表示形式后，进一步 分析公式的特征，运用公式
解决一些基本问题.

二、教学目标设计

1.熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式.

2.了解等差数列的一些性 质，并会用它们解决一些相关问题.从而发
展分析问题、解决问题的能力.

三、教学重点及难点

熟练掌握等差数列的求和公式

灵活应用求和公式解决问题

四、教学用具准备

五、教学流程设计

六、教学过程设计

一、情景引入

1．回忆

回忆一下上一节课所学主要内容.

1.等差数列的前n项和公式：

sn??n(a1?an)n(n?1)d和sn?na1?. 22d2dn?(a1?)n,?d?0?是
一个常数项为零的二次式. 22

2．思考

两个求和公式的基本特征和使用条件.

3．讨论

二、学习新课

1．基本问题简析

求集合m={m|m=2n－1,n∈n*,且m＜60}的元素个数及这些元素的
和.

61. 2

61又∵n∈n*. ∴满足不等式n＜的正整数一共有30个. 2分析：由
2n－1＜60,得n＜

即集合m中一共有30个元素，可列为：1， 3，5，7，9，…，59.
它们组成一个以a1=1,a30=59,n=30的等差数列.

∵sn=n(a1?an)30(1?59),∴=900. s30=22

故集合m中一共有30个元素，其和为900.

2．例题分析

例1. 在小于100的正整数中共有多少个数能被3除余2分析：满足
条件的数属于集合，m={m|m=3n +2,m＜100,m∈n*，n∈n }

解：分析题意可得满足条件的数属于集合.

m={m|m=3n+2,m＜100,n∈n}

由3n+2＜100,得n＜322,且m∈n*, 3

∴n可取0，1，2，3，…，32.

即在小于100的正整数中共有33个数能被3除余2.

把这些数从小到大排列出来就是：2，5，8，…，98.

它们可组成一个以a1=2,d=3, a33=98,n=33的等差数列.

由sn=n(a1?an)33(2?98),得s33==1650. 22

故在小于100的正整数中共有33个数能被3除余2，这些数的和是
1650.

例2．已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是
1220，由此可以确定求其前n项 和的公式吗？

分析：若要确定其前n项求和公式，则要确定a1和d,由已知条件
可获两个关于a1和d的关系式，从而可求得.

解：由题意知s10?310,s20?1220.代入公式sn?na1?n(n?1)d. 2

?10a1?45d?310?a?4,n(n?1)可得? 解得?1?sn?4n??6?3n2?n.
2?d?6.?20a1?190d?1220

[说明]（1）一般来说，等差数列的求解中，就是已知a1,an,n,d,sn
这五个量 中的三个量，求另外的两个量的问题.其中a1和d是关键
的基本量.

（2）从本 题还可以看来，由s10与s20可确定sn.事实上，已知两
次代入求和公式就可以

【篇三：数学：4.5《反函数的概念》教案(1)(沪教版高
一下)】


4.5反函数的概念

一、教学内容分析

“反函数”是《高 中代数》第一册的重要内容.这一节课与函数的基本
概念有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，既可 以让学生接受、
理解反函数的概念并学会反函数的求法，又可使学生加深对函数基
本概念的理解 ，还为今后反三角函数的教学做好准备,起到承上启下
的重要作用. 二、教学目标设计

（1）理解反函数的概念，并能判定一个函数是否存在反函数；

（2）掌握求反函数的基本步骤，并能理解原函数和反函数之间的内
在联系；

（3）通过反函数概念的引入；函数及其反函数图像特征的主动探索，
初步学会自主地学习、

独立地探究问题；掌握观察、比较、分析、归纳等数学试验研究的
方法；体验探索中挫折的艰 辛与成功的快乐，激发学习热情.

三、教学重点与难点：

反函数的概念及求法；反函数的图像特征；反函数定义域的确定. 四、
教学流程设计

五、教学过程设计 1、设置情境，引出概念

?

引例：在两种温度度量制摄氏度(c)和华氏度（f）相互转化时会发现，
有时两人选

?

用相同的数据，如下表，所建立的函数关系和作出的图像完全不同，
这是为什么呢？

教师点拨：指导学生观察上面两个函数的异同，引出反函数的定义.
介绍反函数的记号

y?f?1(x)；了解f?1(x)表示反函数的符号，f

2、 探索研究，深化概念 ①探求反函数成立的条件.

?1

表示对应法则.

例1（1）y?x2（x?r）的反函数是（2）y?x2（x?0）的反 函数是
（3）y?x2（x?0）的反函数是 学生活动：讨论函数反函数成立的条
件（理论根 据为函数的定义）：对值域a中任意一个y值，在定义
域d中总有唯一确定的x值与它对应，即x与y必 须一一对应. ②探
求求反函数的方法.（课本例题） 例2．求下列函数的反函数：

32

（1）y?4x?2（2）y?x?1（3）y?x?1(x?0)

（4）y?

3x?11

(x?r,x??)

4x?22

[说明]：学生分四组完成，教师巡视，把典型错误及正确解法投影.
学生活动：探求求反函数的方法. （1） 变形:解方程y?f(x)，得x?f

?1

(y)； (x)；

（2） 互换:互换x,y的位置，得y?f

?1

（3）写出定义域:注明反函数的定义域.

③观察反函数的图像，探讨互为反函数的两个函数的关系

.

教师点拨：指导学生观察函数及其反函数的图像，结合反函数的定
义，探讨函数及其反

函数之间的关系.

学生活动：探讨互为反函数的两个函数的关系. ①从函数角度看：若
函数y?f(x)有反函数y?f

?1

(x)，则y?f?1(x) 的反函数是

y?f(x)，即y ?f(x)和y?f?1(x)互为反函数.反函数的定义域与值域恰
好是原

函数的值域与定义域.

②从函数图像看：原函数和反函数图像关于y?x对称.

③从单调性来看：原函数和反函数均为单调函数，他们具有相同的
单调性. 3、例题分析，巩固方法： （1）课本练习4.5 （2）补充练
习：

1、给出下列几个函数：①y?x?1(x?

2

?4(x?1)1

)；② y?? 2?2x(x?2)

③y?x3?2(x?r) ④y?x(2?x)(x?0)其中不存在反函数的函数序号是②、
④

2、若指数函数y?f(x)的反函数的图像经过点（２，－１），则此指
数函数为 ( a )

（a） y?() （b）y?2x （c）y?3x （Ｄ）y?10x

3、设f(x)??2?2x(x?1)，则f

?1

1

2

x

(x) （ d ）

（a）在（??,??)上是增函数 （b）在（??,??)上是减函数（c）在
[0,??)上是减函数 （Ｄ）在（??,0]上是增函数

4、若函数f(x)是函数y??2?2x2?0?x?1?的反函数，则f(x)的图像
为 （ b ）

y

y

y

y

x

x

x

a bc d

5、y?

2x?x2 (1?x?2)反函数是 （ b ）

（b）y?1??x2 (0?x?1) （d）y?1??x2 (0?x?1)

（a）y?1??x2 (?1?x?1) （c）y?1??x2 (?1?x?1)

6、若y?ax?b(a?0)有反函数且它的反函数就是y?ax?b 本身，求
a,b应满足的条件.

解：由y?ax?b，得ax?y?b.由a?0，知x?

所以函数y?ax?b的反函数为x?

1by?. aa

1b

y?. aa1b

由于函数y?ax?b的反函数x?y?就是函数y?ax?b本身，即有

aa

1b

?a，且??b. aa

于是，解得a?1，b?0或a??1，b为任意实数.

教师点拨：提出两个问题：①什么样的一次函数，它的反函数正好
是它本身？②除了一次

函数外，是否还存在其它函数，满足反函数就是它本身?(y?

4、课堂小结

①反函数的概念及求法； ②函数及其反函数的关系； 5、作业布置
练习册4.5 a组 六、教学设计说明

1．反函数概念比较抽象，不能简单地从形式上来定义. 在教学时先
通过实例根据自变量和应变量的不 同，得到两个函数关系式和图像
完全不同的函数.在此基础上指出这两个函数互为反函数，这样使学生对反函数有一个初步的认识.

2．在此基础上，引出反函数的一般概念，使得较抽象 的概念能被学
生逐步理解.然后再进一步强调函数y?f(x)(x?d,y?a)的反函数存在的条件——“对值域a中任意一个y值，在定义域d中总有唯一确定的
x值与它对应”.

3．通过学生对课本例题的练习，发现学生在解题过程中存在的问题.
通过对课堂练习的点评 ，让学生了解并总结出求反函数的步骤. 同时
让学生认识到若函数y?f(x)有

?1

y?f(x)的反函数是y?f(x)，即y?f(x)和反函数y?f(x)，则

?1

kx?1

(k?0),y?等) xx?1

y?f?1(x)互为反函数，并了解反函数的定义域与值域恰好是原函数
的值域与定义

域.

4．通过几何画板在同一坐标下演示课本例题的函数及其反函数的图
像，让学生掌握x,y互换的几何意义，了解原函数和反函数图像关于
y?x对称，从而巩固对反函数 概念的理解.