人教版高中数学选修2-2教案全集

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人教版高中数学选修2-2教案全集
第一章 导数及其应用
§1.1.1变化率问题
教学目标：
1．理解平均变化率的概念；
2．了解平均变化率的几何意义；
3．会求函数在某点处附近的平均变化率
教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；
教学难点：平均变化率的概念．
教学过程：
一．创设情景
为了描述现实 世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产
生了微积分，微积分的 创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：
一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;
二、求曲线的切线;
三、求已知函数的最大值与最小值;
四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快 慢、最大（小）值等问题最一般、最有
效的工具。
导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．
二．新课讲授
（一）问题提出
问题1 气球膨胀率
我们都吹过 气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径
增加越来越慢.从数学 角度,如何描述这种现象呢?
? 气球的体积
V
(单位:
L
)与半 径
r
(单位:
dm
)之间的函数关系是
V(r)?
4
3
?
r

3
? 如果将半径r表示为体积V的函数,那么
r(V)?
3
3V

4
?
分析:
r(V)?
3
3V
，
4
?
⑴ 当V从0增加到1时,气球半径增加了
r(1)?r(0)?0.62(dm)

气球的平均膨胀率为
r(1)?r(0)
?0.62(dmL)

1?0
⑵ 当V从1增加到2时,气球半径增加了
r(2)?r(1)?0.16(dm)

精品资料

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气球的平均膨胀率为
r(2)?r(1)
?0.16(dmL)

2?1
h
可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．
思考：当空气容量从
V
1
增加到
V
2
时,气球的平均膨胀 率是多少?
r(V
2
)?r(V
1
)

V
2
?V
1
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动 员相对于水面的高度
h
(单位：
m
)与起跳后
2
的时间t
（单位：
s
）存在函数关系
h
(
t
)= - 4.9
t
+6.5
t
+10.如何用运动
员在某些时间段内的平均速
v
度粗略地描述其运动状态?
思考计算：
0?t?0.5
和
1?t?2
的平均速度
v

o
t
h(0.5)?h(0)
?4.05(ms)
；
0.5?0
h(2 )?h(1)
在
1?t?2
这段时间里，
v???8.2(ms)

2?1
65
探究：计算运动员在
0?t?
这段时间里的平均速度，并 思考以下问题：
49
在
0?t?0.5
这段时间里，
v?
⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程：如图是函数
h
(
t
)= -4.9
t
+ 6.5
t
+10的图像，结合图形可知，
h(
2
65
)?h (0)
，
49
65
)?h(0)
?0(sm)
， 所以< br>v?
49
65
?0
49
65
虽然运动员在
0 ?t?
这段时间里的平均速度为
0(sm)
，但实际情况是运动员仍然运动，并
49
h(
非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．
（二）平均变化率概念:
1．上述问题中的变化率可用式子
f(x
2
)?f(x
1
)
表示, 称为函数
f(
x
)从
x
1
到
x
2
的平均变化率
x
2
?x
1
2．若设
?x?x
2
?x1
,
?f?f(x
2
)?f(x
1
)
(这 里
?x
看作是对于
x
1
的一个“增量”可用
x
1< br>+
?x
代替
x
2
,同样
?f??y?f(x
2
)?f(x
1
)
)
精品资料

____ __________________________________________________ __________________________________________________ ______
3． 则平均变化率为
f(x
2
)?f(x
1
)f(x
1
??x)?f(x
1
)
?y?f
?

??
x?x?x
?x?x
21
思考：观察函数
f
(
x
)的图象
平均变化率





直线
AB
的斜率









三．典例分析
2
f(x
2
)?f(x
1
)?f
表示什么?
?
x
2
?x
1
?x
y
y=f(x)
f(x
2
)
△y =f(x
2
)-f(x
1
)

f(x
1
)
O
△x= x
2
-x
1

x
1
x
2
x
例1．已知函数
f
(
x
)=
?x?x
的图象上的一 点
A(?1,?2)
及临近一点
B(?1??x,?2??y)
,
则
?y
?
．
?x
2
解：
?2??y??(?1??x)?(?1??x)
，
?y?(?1??x)
2
?(?1??x)?2
??3??x
∴
?x?x
2
例2． 求
y?x
在
x?x
0
附近的平均变化率。
?y
( x
0
??x)
2
?x
0
?
解：
?y?(x
0
??x)?x
0
，所以
?x?x
2
2
2
x
0
?2x
0
?x??x
2
?x
0??2x
0
??x

?x
精品资料
22

_____________________________________________ __________________________________________________ _______________
2
所以
y?x
在
x?x< br>0
附近的平均变化率为
2x
0
??x

四．课堂练习
1．质点运动规律为
s?t?3
，则在时间
(3,3??t)
中相应 的平均速度为 ．
2
25
2.物体按照
s
(< br>t
)=3
t
+
t
+4的规律作直线运动,求在4
s< br>附近的平均变化率.
?3?t
3
3.过曲线
y
=
f
(
x
)=
x
上两点
P
（1，1）和
Q (1+Δ
x
,1+Δ
y
)作曲线的割线，求出当Δ
x
=0.1时割线
的斜率.
五．回顾总结
1．平均变化率的概念
2．函数在某点处附近的平均变化率
六．教后反思：







§1.1.2导数的概念
教学目标：
1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；
2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；
3．会求函数在某点的导数
教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；
教学难点：导数的概念．
教学过程：
一．创设情景
（一）平均变化率
2
（二）探究：计算运动员在
0?t?
65
这段时间里的平均速度， 并思考以下问题：
49
⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程：如图是函数
h
(
t
)= -4.9
t
+ 6.5
t
+10的图像，结合图形可知，
h(
2
65
)?h (0)
，
49
h
h(
所以
v?
65
) ?h(0)
49
?0(sm)
，
65
?0
49
精品资料
o
t

_ __________________________________________________ __________________________________________________ _________
虽然运动员在
0?t?
65
这段时间里的平均速度为< br>0(sm)
，但实际情况是运动员仍然运动，并
49
非静止，可以说明用平均速 度不能精确描述运动员的运动状态．
二．新课讲授
1．瞬时速度
我们把物体在某 一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻
的瞬时速度，那么，如何求运动员 的瞬时速度呢？比如，
t?2
时的瞬时速度是多少？考察
t?2
附近的情况：
思考：当
?t
趋近于0时，平均速度
v
有什么样的变化趋势？ 结论：当
?t
趋近于0时，即无论
t
从小于2的一边，还是从大于2的一 边趋近于2时，平均
速度
v
都趋近于一个确定的值
?13.1
． < br>从物理的角度看，时间
?t
间隔无限变小时，平均速度
v
就无限趋近于 史的瞬时速度，因此，
运动员在
t?2
时的瞬时速度是
?13.1ms

为了表述方便，我们用
lim
h(2??t)?h(2)
??13.1< br>
?t?0
?t
表示“当
t?2
，
?t
趋近 于0时，平均速度
v
趋近于定值
?13.1
”
小结：局部以匀速代 替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近
似值过渡到瞬时速度的精确值。
2 导数的概念
从函数
y
=
f
(
x
)在
x
=
x
0
处的瞬时变化率是:
?x?0
lim< br>f(x
0
??x)?f(x
0
)
?f
?lim

?x?0
?x?x
'
'
我们称它为函数
y?f(x)< br>在
x?x
0
出的导数，记作
f(x
0
)
或< br>y|
x?x
0
，即
精品资料

______ __________________________________________________ __________________________________________________ ____

f
?
(x
0
)?lim
?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?x
f(x)?f(x
0
)

x?x
0说明：（1）导数即为函数
y
=
f
(
x
)在
x
=
x
0
处的瞬时变化率
（2）
?x?x?x< br>0
，当
?x?0
时，
x?x
0
，所以
f?
(x
0
)?lim
三．典例分析
2
例1．（1）求 函数
y
=3
x
在
x
=1处的导数.
2
分 析：先求Δ
f
=Δ
y
=
f
(１＋Δ
x
)-
f
(１)=6Δ
x
+(Δ
x
)

再求
?x?0
?f?f
?6??x
再求
lim?6

?x?0
?x?x
解：法一 定义法（略）
3x
2
?3? 1
2
3(x
2
?1
2
)
?lim?lim3(x? 1)?6
法二：
y
?
|
x?1
?lim
x?1x?1x?1
x?1x?1
（2）求函数
f
(
x
)=
?x?x
在
x??1
附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．
2
?y?(?1??x)
2
?(?1??x)?2
??3??x
解：
?x?x
?y?(?1??x)
2
?(?1??x)?2
??l im(3??x)?3

f
?
(?1)?lim
?x?0?x
?x?0
?x
例2．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同 产品，需要对原油进行冷却和
o
加热，如果第
xh
时，原油的温度（单位：< br>C
）为
f(x)?x?7x?15(0?x?8)
，计算第
2h
时
2
和第
6h
时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
解：在第
2h
时和第
6h
时，原油温度的瞬时变化率就是
f(2)< br>和
f(6)

根据导数定义，
''
f(2??x)?f(x< br>0
)
?f

?
?x?x
(2??x)
2?7(2??x)?15?(2
2
?7?2?15)
???x?3
?x
所以
f
?
(2)?lim
?f
?lim(?x?3 )??3

?x?0
?x
?x?0
同理可得:
f
?
(6)?5

精品资料

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在 第
2h
时和第
6h
时，原油温度的瞬时变化率分别为
?3
和 5，说明在
2h
附近，原油温度大
约以
3Ch
的速率下降，在第6h
附近，原油温度大约以
5Ch
的速率上升．
'
注：一般地 ，
f(x
0
)
反映了原油温度在时刻
x
0
附近的变 化情况．
oo
四．课堂练习
1．质点运动规律为
s?t?3
，求质点在
t?3
的瞬时速度为．
2．求曲线
y
=
f
(
x
)=
x
在
x?1
时的导数．
3．例2中，计算第
3h
时和第
5h< br>时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
五．回顾总结
1．瞬时速度、瞬时变化率的概念
2．导数的概念
六．教后反思：







§1.1.3导数的几何意义

教学目标：
1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系；
2．理解曲线的切线的概念；
3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；
教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；
教学难点：导数的几何意义．
教学过程：
一．创设情景
（一）平均变化率、割线的斜率
（二）瞬时速度、导数
我们知道，导数表示函数< br>y
=
f
(
x
)在
x
=
x
0
处的瞬时变化率，反映了函数
y
=
f
(
x
)在x
=
x
0
附近的
变化情况，导数
f
?
(x
0
)
的几何意义是什么呢？
二．新课讲授
（一）曲线的切线 及切线的斜率：如图3.1-2，当
P
n
(x
n
,f(x
n
))(n?1,2,3,4)
沿着曲线
f(x)
趋
近于点
P (x
0
,f(x
0
))
时，割线
PP
n
的 变化趋势是什么？
精品资料
2
3

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图3.1-2
我们发现, 当点
P
n
沿着曲线无限接近点
P
即Δ
x
→0时,割 线
PP
n
趋近于确定的位置，这个确
定位置的直线
PT
称为 曲线在点
P
处的切线.
问题：⑴割线
PP
n
的斜率
k
n
与切线
PT
的斜率
k
有什么关系？
⑵切线
PT
的斜率
k
为多少？
容易知道，割线
PP
n
的斜率是
k
n
?
限趋近于切线
PT
的斜率k
，即
k?lim
f(x
n
)?f(x
0
)< br>,当点
P
n
沿着曲线无限接近点
P
时，
k
n
无
x
n
?x
0
?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?f
?
(x
0
)

?x
说明：（1）设切线的倾斜角为
α
,那么当Δ
x
→0时 ,割线PQ的斜率,称为曲线在点
P
处的切线的
斜率.
这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;
②切线斜率的本质—函数在
x?x
0
处的导数.
（2）曲线在某点处的切线 :1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求
解.如有极限,则在此点有切线, 且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并
不一定与曲线只有一个交点,可以 有多个,甚至可以无穷多个.
（二）导数的几何意义：
函数
y
=
f
(
x
)在
x
=
x
0
处的导数等于在该点
(x
0
,f(x
0
))
处的切线的斜率，
即 < br>f
?
(x
0
)?lim
?x?0
f(x
0< br>??x)?f(x
0
)
?k

?x
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说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:
①求出
P
点的坐标;
②求出函数在点
x
0
处的变 化率
f
?
(x
0
)?lim
?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?k
，得到曲线在点
?x(x
0
,f(x
0
))
的切线的斜率；
③利用点斜式求切线方程.
（二）导函数：
由函数
f
(
x
)在
x
=
x
0
处求导数的过程可以看到,当时,
f
?
(x
0
)
是一个确定的数，那么,当
x
变< br>化时,便是
x
的一个函数,我们叫它为
f
(
x
)的导 函数.记作：
f
?
(x)
或
y
?
，
即:
f
?
(x)?y
?
?lim
?x?0
f(x??x )?f(x)

?x
注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．
（三）函 数
f(x)
在点
x
0
处的导数
f
?
(x< br>0
)
、导函数
f
?
(x)
、导数 之间的区别与联系。
（1）函数在一点处的导数
f
?
(x
0
)
，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，
它是一个常数，不是变数。
(2）函数的导数，是指某一区间内任意点
x
而言的， 就是函数f(x)的导函数
'
(3）函数
f(x)
在点
x
0
处的导数
f(x
0
)
就是导函数
f
?
(x)
在
x? x
0
处的函数值，这也是 求函数
在点
x
0
处的导数的方法之一。
三．典例分析
2
例1:（1）求曲线
y
=
f
(
x
)=
x< br>+1在点
P
(1,2)处的切线方程.
2
（2）求函数
y< br>=3
x
在点
(1,3)
处的导数.
[(1??x)
2
?1]?(1
2
?1)2?x??x
2
?lim?2
, 解：（1）
y
?
|
x?1
?lim
?x?0?x?0
?x?x
所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为
y?2?2(x?1)
即
2x?y?0

3x
2
?3?1
2
3(x2
?1
2
)
?lim?lim3(x?1)?6
（2）因为< br>y
?
|
x?1
?lim
x?1x?1x?1
x?1x ?1
所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为
y?3?6(x?1)
即< br>6x?y?3?0

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（2）求函数
f
(
x
)=
?x?x
在
x??1< br>附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．
2
?y?(?1??x)
2< br>?(?1??x)?2
??3??x
解：
?x?x
?y?(?1?? x)
2
?(?1??x)?2
??lim(3??x)?3

f
?
(?1)?lim
Vx?0
?x
Vx?0
?x
例2．（课本例2）如图3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数
h(x)??4.9x
2
?6.5x?10
，根据图像，请描述、比
较曲线
h(t)
在
t
0
、
t
1
、
t
2
附近的变 化情况．
解：我们用曲线
h(t)
在
t
0
、
t< br>1
、
t
2
处的切线，刻
画曲线
h(t)
在上 述三个时刻附近的变化情况．
（1） 当
t?t
0
时，曲线
h(t )
在
t
0
处的切线
l
0
平行于
x
轴，所以，在
t?t
0
附近曲线比较平坦，几
乎没有升降．
（2） 当
t?t
1
时，曲线
h(t)
在
t
1
处的 切线
l
1
的斜率
h
?
(t
1
)?0
，所以，在
t?t
1
附近曲线下降，
即函数
h(x)??4.9x ?6.5x?10
在
t?t
1
附近单调递减．
（3） 当
t?t
2
时，曲线
h(t)
在
t
2
处的切线
l
2
的斜率
h
?
(t
2
)?0
，所以， 在
t?t
2
附近曲线下降，
2
即函数
h(x)??4.9x ?6.5x?10
在
t?t
2
附近单调递减．
2
从图3. 1-3可以看出，直线
l
1
的倾斜程度小于直线
l
2
的倾斜 程度，这说明曲线在
t
1
附近比在
t
2
附近下降的缓慢．
例3．（课本例3）如图3.1-4，它表示人体血管中药物浓度
c?f(t)
(单位 ：
mgmL
)随
时间
t
（单位：
min
）变化的图 象．根据图像，估计
t?0.2,0.4,0.6,0.8
时，血管中药物浓度
的瞬时 变化率（精确到
0.1
）．
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解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度
f(t)
在此时刻的导 数，从图像上
看，它表示曲线
f(t)
在此点处的切线的斜率．
如图3.1 -4，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药
物浓度瞬时变化率的 近似值．
作
t?0.8
处的切线，并在切线上去两点，如
(0.7,0.9 1)
，
(1.0,0.48)
，则它的斜率为：
k?
0.48?0. 91
??1.4

1.0?0.7
所以
f
?
(0.8)??1.4

下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值：
t

0.2
药物浓度瞬时变化率
f(t)

四．课堂练习
1．求曲线
y
=
f
(
x
)=
x
在点
(1,1)
处的切线；
2．求曲线
y?
3
0.4
0
0.6
-0.7
0.8
-1.4
'
0.4
x
在点
(4,2)
处的切线．
五．回顾总结
1．曲线的切线及切线的斜率；
2．导数的几何意义
六．教后反思：





精品资料

__________ __________________________________________________ __________________________________________________


§1.2.1几个常用函数的导数
教学目标：
1．使学生应 用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数
y?c
、
y?x
、
y? x
、
y?
数公式；
2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数．
2
1
的导
x
1
的导数公式及应用
x
1
2
教学难点： 四种常见函数
y?c
、
y?x
、
y?x
、
y?
的导数公式
x
教学重点：四种常 见函数
y?c
、
y?x
、
y?x
、
y?
2
教学过程：
一．创设情景
我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率 ，物理意义是运动物体在某一时刻
的瞬时速度．那么，对于函数
y?f(x)
，如何求 它的导数呢？
由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求 导
数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数．
二．新课讲授
1．函数
y?f(x)?c
的导数
根据导数定义，因为
?yf(x??x)?f(x)c?c
???0

?x? x?x
?y
所以
y
?
?lim?lim0?0

?x?0
?x
?x?0
函数 导数
y?c

y
?
?0

y
?
?0
表示函数
y ?c
图像（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若
y?c
表示路程关于< br>时间的函数，则
y
?
?0
可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物 体一直处于静止状态．
2．函数
y?f(x)?x
的导数
因为
?yf(x??x)?f(x)x??x?x
???1

?x?x?x
?y
?lim1?1
所以
y
?
?lim
?x?0
?x
?x?0
精品资料

_______________________________________ __________________________________________________ _____________________
函数 导数
y?x

y
?
?1

y
?
?1
表示函数
y ?x
图像（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若
y?x
表示路程关于< br>时间的函数，则
y
?
?1
可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动 ．
3．函数
y?f(x)?x
的导数
2
?yf(x??x)?f (x)(x??x)
2
?x
2
??
因为
?x?x?xx
2
?2x?x?(?x)
2
?x
2
??2x??x< br>
?x
所以
y
?
?lim
?y
?lim(2 x??x)?2x

?x?0
?x
?x?0
函数 导数
y?x
2

y
?
?2x

y
?< br>?2x
表示函数
y?x
2
图像（图3.2-3）上点
(x,y )
处的切线的斜率都为
2x
，说明随着
x
的变
化，切线的斜 率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当
x?0
时，随着< br>x
的增加，函数
y?x
减少得越来越慢；当
x?0
时，随着< br>x
的增加，函数
y?x
增加
得越来越快．若
y?x
表 示路程关于时间的函数，则
y
?
?2x
可以解释为某物体做变速运动，它在时刻
x
的瞬时速度为
2x
．
4．函数
y?f(x)?
2
22
1
的导数
x
11
?
?yf(x??x)?f(x)
x??xx
因为
??
?x?x?x
?
x?(x??x)1
??
2

x(x??x)?xx?x??x
所以
y
?
?lim
?y1 1
?lim(?
2
)??
2

?x?0
?x
?x?0
x?x??xx
函数 导数
精品资料

______________________________ __________________________________________________ ______________________________
y?
5．函数
y?f(x)?
1

x
y
?
??
1

x
2
x
的导数
因为
?yf(x??x)?f(x)
??
?x?x
x??x?x

?x
?
(x??x?x)(x??x?x)

?x(x??x?x)
(x??x)?x

?x(x??x?x)
?
所以
y
?
?lim
?y11
?lim?

?x?0
?x
?x?0
x??x?x2x
函数 导数
y?x


y
?
?
1
2x
n?1
（2）推广：若
y?f(x)?x(n?Q)
，则
f
?< br>(x)?nx

n*
三．课堂练习
1．课本P
13
探究1
2．课本P
13
探究2
四．回顾总结


函数 导数
y?c

y?x

y?x
2

y
'
?0

y
'
?1

y
'
?2x

y?
1

x
y
'
??
1

2
x
精品资料

____________________ __________________________________________________ ________________________________________
y?x

y
?
?
1
2x

y?f(x)?x
n
(n?Q
*
)

五．教后反思：







y
'
?nx
n?1

§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
教学目标：
1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；
2．掌握导数的四则运算法则；
3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．
教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则
教学难点： 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用
教学过程：
一．创设情景
五种常见函数
y?c
、
y?x
、
y?x
、
y?















2
1
、
y?x
的导数公式及应用
x
函数 导数
y?c

y
'
?0

y
'
?1

y?x

y?x
2

y
'
?2x

y?
1

x
y
'
??
y
?
?
1

2
x
1

y?x

2x
y?f(x)?x
n
(n?Q
*
)

y
'
?nx
n?1

精品资料

_ __________________________________________________ __________________________________________________ _________

二．新课讲授
（一）基本初等函数的导数公式表

函数 导数

y?c

y
'
?0



y?f(x)?x
n
(n?Q
*
)

y
'
?nx
n?1



y?sinx

y
'
?cosx



y?cosx


y
'
??sinx



y
'
?a
x
?lna(a?0)

y?f(x)?a
x



y?f(x)?e
x

y
'
?e
x



1
'
f(x)?logx

f(x)?logxf(x)?(a?0且a?1)

a

a
xlna

1

f(x)?lnx

f
'
(x)?

x



（二）导数的运算法则
导数运算法则
1．
?
f(x)?g(x)
?
?f(x)?g(x)
''
'
2．
?
f(x)?g(x)
?
?f(x)g(x )?f(x)g(x)

''
'
?
f(x)
?
f< br>'
(x)g(x)?f(x)g
'
(x)
(g(x)?0)
3．
??
?
2
g(x)
??
?
g(x)
?
（2）推论：
?
cf(x)
?
?cf(x)

'
'
'
（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）
三．典例分析
例1．假设某国家在20 年期间的年均通货膨胀率为
5%
，物价
p
（单位：元）与时间
t（单
t
位：年）有如下函数关系
p(t)?p
0
(1?5%)< br>，其中
p
0
为
t?0
时的物价．假定某种商品的
p< br>0
?1
，
精品资料

_______________ __________________________________________________ _____________________________________________
那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？
解：根据基本初等函数导数公式表，有
p(t)?1.05ln1.05

所以
p(10)?1.05ln1.05?0.08
（元年）
因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元年的速度上涨．
例2．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．
（1）
y?x?2x?3

（2）
y?
3
'10
't
11
?
；
1?x1?x
（3）
y?x?sinx?lnx
；
x
；
x
4
1?lnx
（5）
y?
．
1?lnx
（4）
y?
（6）
y?(2x?5x?1)?e
；
（7）
y?
2x
sinx?xcosx

cosx?xsi nx
'3'3'''2
解：（1）
y?(x?2x?3)?(x)?(2x)?(3) ?3x?2
，
y
'
?3x
2
?2
。
1
'
1
'
(1?x)
'
(1?x)
'
)?( )
?
（2）
y?(

?
22
1?x1?x
(1?x)(1?x)
'
1
?
2x
?
2x

(1?x)
2
(1?x)
2
1
[
1
2
?
1
?
2x(1?x)
?
1
(1?x)
2
]

(1?x)
2
?(1?x)
2

??
2
(1?x)
2x
1
精品资料

_________________________________________________ __________________________________________________ ___________
?
(1?x)x

x(1?x)
2
(1?x)x

2
x(1?x)
' ''
y
'
?
（3）
y?(x?sinx?lnx)?[(x?lnx )?sinx]

?(x?lnx)
'
?sinx?(x?lnx)?(sinx)
'

1
?(1?lnx?x?)?sinx?(x?lnx)?cosx

x
?sinx?lnx?sinx?x?lnx?cosx

y
'
?sinx?lnx?sinx?x?lnx?cosx

x< br>'
x
'
?4
x
?x?(4
x
)
'< br>1?4
x
?x?4
x
ln41?xln4
??
（4）
y?(
x
)?
，
4(4
x
)
2
(4
x
)
2
4
x
'
y
'
?
1?xln4
。
4
x
1
1?lnx
'
212< br>x
（5）
y
'
?(

)?(?1?)
'?2()
'
?2??
22
1?lnx1?lnx1?lnx(1?lnx )x(1?lnx)
y
'
?
2

x(1?lnx)
2
'2'x2x'
（6）
y?(2x?5x?1)?e?(2x?5x?1)?(e)

?(4x?5)?e
x
?(2x
2
?5x?1)?ex
?(2x
2
?x?4)?e
x
，
y
'
?(2x
2
?x?4)?e
x
。
（7）
y?(
'
sinx?xcosx
'
)
cosx?xsinx
(sinx?xcosx)
'
?(cosx?xsinx) ?(sinx?xcosx)?(cosx?xsinx)
'
?

2
(cosx?xsinx)
?
(cosx?cosx?xsinx)?(cosx?xsinx )?(sinx?xcosx)?(?sinx?sinx?xcosx)

2
(cosx?xsinx)
精品资料

_________ __________________________________________________ __________________________________________________ _
?
xsinx?(cosx?xsinx)?(sinx?xcosx)?xcosx

(cosx?xsinx)
2
x
2
?
。
(cosx?xsinx)
2
x
2
y?

2
(cosx?xsinx)
'
【点评】
① 求导数是在定义域内实行的．
② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．
例3日 常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已
知将1吨水净化到 纯净度为
x%
时所需费用（单位：元）为
c(x)?
5284
(80?x?100)

100?x
求 净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）
90%
（2）
98%

解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．
52 84
'
5284
'
?(100?x)?5284?(100?x)
'
c(x)?()?

100?x(100?x)
2
'
?0?(100?x)?5284?(?1)5284
?

(100?x)
2
(100?x)
2
5284
?52.84
，所以，纯净度为
90%
时，费用的瞬时变化率
2
(100?90)
（1） 因为
c(90)?
'
是52.84元吨．
（2） 因为
c(98) ?
'
5284
?1321
，所以，纯净度为
98%
时，费用 的瞬时变化率
(100?90)
2
是1321元吨．
函数
f (x)
在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，
c
'< br>(98)?25c
'
(90)
．它表示纯净度为
98%
左右时 净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为
90%
左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明 ，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而
且净化费用增加的速度也越快．

四．课堂练习
精品资料

___________________ __________________________________________________ _________________________________________
1．课本P
92
练习
432
2．已知曲线
C
：
y
＝3
x
－2
x
－9
x
＋4，求曲线
C
上横坐标为1的点的切线方程；
（
y
＝－12
x
＋8）
五．回顾总结
（1）基本初等函数的导数公式表
（2）导数的运算法则
六．教后反思：







§1.2.3复合函数的求导法则
教学目标 理解并掌握复合函数的求导法则．
教学重点 复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数
乘以中间变量对自变量的导数之积．
教学难点 正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．
一．创设情景
（一）基本初等函数的导数公式表

函数 导数


















y?c

y?f(x)?x
n
(n?Q
*
)

y
'
?0

y
'
?nx
n?1

y?sinx

y
'
?cosx

y
'
??sinx

y
'
?a
x
?lna(a?0)

y?cosx

y?f(x)?a
x

y?f(x)?e
x

f(x)?log
a
x

y
'
?e
x

f(x)?log
a
xf< br>'
(x)?
1
(a?0且a?1)

xlna
1

x
f(x)?lnx

精品资料 < br>f
'
(x)?

______________________ __________________________________________________ ______________________________________

（二）导数的运算法则
导数运算法则
1．
?
f(x)?g(x)
?
?f(x)?g(x)
''
'
2．
?
f(x)?g(x)
?
?f(x)g(x )?f(x)g(x)

''
'
?
f(x)
?
f< br>'
(x)g(x)?f(x)g
'
(x)
(g(x)?0)
3．
??
?
2
g(x)
??
?
g(x)
?

（2）推论：
?
cf(x)
?
?cf(x)

'
'
'
（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）
二．新课讲授
复合函数的概念 一般地，对于两个函数
y?f(u)
和
u?g(x)
，如果通过变量
u
，
y
可
以表示成
x
的函数，那么称这个函数为函数
y?f(u)
和
u?g(x)
的复合函数，记作
y?f
?
g(x)
?
。
复合函数的导数 复合函数
y?f
?
g( x)
?
的导数和函数
y?f(u)
和
u?g(x)
的导数间 的
关系为
y
x
?
?y
u
?
?u
x
?
，即
y
对
x
的导数等于
y
对
u
的导数与
u
对
x
的导数的乘积．
?
若
y ?f
?
g(x)
?
，则
y
?
?
?
?
f
?
g(x)
?
?
?
?f
?
?
g(x)
?
?g
?
(x)

三．典例分析
例1（课本例4）求下列函数的导数：
（1）
y?(2x?3)
；（2）< br>y?e
2?0.05x?1
；
（3）
y?sin(
?
x?
?
)
（其中
?
,
?
均为常数）．
解：（1）函数
y?(2x?3)
可以看作函数
y?u
和
u?2x? 3
的复合函数。根据复合函数求
导法则有

y
x
?< br>?y
u
?
?u
x
?
=
(u)(2x?3)? 4u?8x?12
。
2''
22
（2）函数
y?e
?0. 05x?1
可以看作函数
y?e
和
u??0.05x?1
的复合函数 。根据复合函数求
精品资料
u

_________________ __________________________________________________ ___________________________________________
导法则有

y
x
?
?y
u
?
?u
x
?
=
(e)(?0.05x?1)??0.005e??0.005 e
u''u?0.05x?1
。
（3）函数
y?sin(
?
x?
?
)
可以看作函数
y?sinu
和
u?
?< br>x?
?
的复合函数。根据复合函
数求导法则有

yx
?
?y
u
?
?u
x
?
=
( sinu)(
?
x?
?
)?
?
cosu?
?
cos(
?
x?
?
)
。
''
例2求
y?sin(tanx)
的导数．
解：
y?[sin(tanx)]?cos(tanx)?sec(x)?2x
'2'222
2
?2xcos(tanx
2
)?sec
2
(x
2
)

y
'
?2xcos(tanx
2)?sec
2
(x
2
)

【点评】
求复合函 数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求
导，直到关于自变量求 导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．
例3求
y?
x?a
x?2ax
2
的导数．
1?x
2
?2ax?(x?a)?
解：
y?
'
2x?2a
2x
2
?2ax

x
2
?2ax
a
2x
2
?2ax
，
???
22
22
(x?2a x)
x?2axx?2ax
?a
2
a
2
x
2
?2ax

y??
22
(x?2ax)
'
【点评】本题练 习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．
44
例4求
y
＝sin
x
＋cos
x
的导数．
【解法一】
y
＝sin
x
＋cos
x
＝(sin
x
＋cos
x
)－2sincos
x
＝1－
＝1－
4422222
1
2
sin2
x

2
131
（1－cos 4
x
）＝＋cos 4
x
．
y
′＝－sin 4
x
．
444
4433
【解法二】
y
′＝(sin

x
)′＋(cos

x
)′＝4 sin

x
(sin
x
)′＋4 cos

x
(cos
x
)′
3322
＝4 sin

x
cos
x
＋4 cos

x
(－sin
x
)＝4 sin
x
cos
x
(sin

x
－cos

x
)
精品资料

_________ __________________________________________________ __________________________________________________ _
＝－2 sin 2
x
cos 2
x
＝－sin 4
x

【点评】
解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解 法二是利用复合函数求导数，
应注意不漏步．
例5曲线
y
＝
x
（
x
＋1）（2－
x
）有两条平行于直线
y
＝
x
的切线，求此二切线之间的距离．
3 2 2
【解】
y
＝－
x
＋
x
＋2
x

y
′＝－3
x
＋2
x
＋2
令
y
′＝1即3
x
－2
x
－1＝0，解得
x
＝－
于是切点为
P
（1，2），
Q
（－
2
1
或
x
＝1．
3
114
，－），
327
过点
P
的切线方程为，
y
－2＝
x
－1即
x
－
y
＋1＝0．
显然两切线间的距离等于点
Q
到此切线的距离，故所求距离为
114
|???1|
16
327
＝
2
．
27
2
四．课堂练习
1．求下列函数的导数 (1)
y
=sin
x
+sin3
x
；（2）
y?
33
sin2x
2
;(3)
log
a
(x?2)

2x?1
2.求
ln(2x?3x?1)
的导数
五．回顾总结



六．教后反思：







§1.3.1函数的单调性与导数（2课时）
教学目标：
1．了解可导函数的单调性与其导数的关系；
2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次；
教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间
教学难点： 利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间
教学过程：
精品资料
2

__________________________________ __________________________________________________ __________________________
一．创设情景
函数是客观描述世 界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢
以及函数的最大值或最小值 等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的
变化规律有一个基本的了解．下面， 我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中
的作用．
二．新课讲授
1．问题：图3.3-1（1），它表示跳水运动中高度
h
随时间
t
变化的函 数
h(t)??4.9t?6.5t?10
的图
像，图3.3-1（2）表示高台跳水 运动员的速度
v
随
时间
t
变化的函数
v(t)?h(t)? ?9.8t?6.5
的图像．
运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段
时间的运动状态有什么区别？

通过观察图像，我们可以发现：
（1） 运动员从起点到最高点，离水面的高度
'
2

h
随时间
t< br>的增加而增加，即
h(t)
是增函数．相应地，
v(t)?h
'
(t)?0
．
（2） 从最高点到入水，运动员离水面的高度
h
随时间< br>t
的增加而减少，即
h(t)
是减函
数．相应地，
v(t)? h(t)?0
．
2．函数的单调性与导数的关系
观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．















精品资料
'

__________ __________________________________________________ __________________________________________________




'
如图3.3-3，导数
f(x
0
)
表示函数
f(x)
在点
(x
0
,y
0
)
处的切线的斜率．














'
在
x?x
0
处，
f(x
0
)?0
，切线是“左下右上 ”式的，这时，函数
f(x)
在
x
0
附近单调递增；
'< br>在
x?x
1
处，
f(x
0
)?0
，切线是“ 左上右下”式的，这时，函数
f(x)
在
x
1
附近单调递减．
结论：函数的单调性与导数的关系
在某个区间
(a,b)
内，如果
f(x)?0
，那么函数
y?f(x)
在这个区间内单调递增；如果
'
f
'
(x)?0
，那么函数
y?f(x)
在这个区间内单调递减．
说明：（1）特别的，如果
f(x)?0
，那么函数
y?f(x)
在 这个区间内是常函数．
3．求解函数
y?f(x)
单调区间的步骤：
（1）确定函数
y?f(x)
的定义域；
（2）求导数
y?f(x)
；
（3）解不等式
f(x)?0
，解集在定义域内的部分为增区间；
（4）解不等式
f(x)?0
，解集在定义域内的部分为减区间．
精品资料
'
''
'
'

__________________ __________________________________________________ __________________________________________
三．典例分析
例1．已知导函数
f(x)
的下列信息：
当
1?x?4
时，
f(x)?0
；
当
x?4
，或
x?1
时，
f(x)?0
；
当
x?4
，或
x?1
时，
f(x)?0

试画出函数
y?f(x)
图像的大致形状．
解：当
1?x?4时，
f(x)?0
，可知
y?f(x)
在此区间内单调递增；
当
x?4
，或
x?1
时，
f(x)?0
；可知
y? f(x)
在此区间内单调递减；
当
x?4
，或
x?1
时，
f(x)?0
，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”．
综上，函数
y?f(x)
图像的大致形状如图3.3-4所示．
例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．
（1）
f(x)?x?3x
； （2）
f(x)?x?2x?3

（3）
f(x)?sinx?xx?(0,
?
)
； （4）
f(x)?2x?3x?24x?1

解：（1）因为
f(x)?x?3x
，所以，

f(x)?3x?3?3(x?1)?0

因此，
f(x)?x?3x
在
R
上单调递增，如图3.3-5（1）所示．








'
（2）因为
f(x)?x?2x?3
，所以，
f(x)?2x?2?2
?
x?1
?

2
3
'22
3
32
32
'
'
'
'
'
'
'


精品资料

______________ __________________________________________________ ______________________________________________
当
f(x)?0
，即
x?1
时，函数
f(x)?x?2x?3单调递增；
当
f(x)?0
，即
x?1
时，函数
f( x)?x?2x?3
单调递减；
函数
f(x)?x?2x?3
的图像如图3.3-5（2）所示．
（3）因 为
f(x)?sinx?xx?(0,
?
)
，所以，
f(x)?co sx?1?0

因此，函数
f(x)?sinx?x
在
(0,
?
)
单调递减，如图3.3-5（3）所示．
（4）因为
f(x)?2x?3x?24x?1
，所以 ．
当
f(x)?0
，即 时，函数
f(x)?x?2x?3
；
当
f(x)?0
，即 时，函数
f(x)?x?2x?3
；
函数
f(x)?2x?3x?24x?1
的图像如图3.3-5（4）所示．
注：（3）、（4）生练








32
'2
'2
32
'
2
'2
'2




例3．如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同） 注入下面四种底面积相同
的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度
h
与时间t
的函数关系图像．

精品资料

____ __________________________________________________ __________________________________________________ ______
分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加 得
慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．
解：
?
1
?
?
?
B
?
,
?
2
?
?
?
A
?
,
?
3
?
?
?
D
?
,
?
4
?
?
?
C
?

思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以 看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结
合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？
一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，
这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．
如图3.3-7所示，函数< br>y?f(x)
在
?
0,b
?
或
?
a,0?
内的图像“陡峭”，
在
?
b,??
?
或
?
??,a
?
内的图像“平缓”．
例4．求证：函数
y?2x?3x ?12x?1
在区间
?
?2,1
?
内是减函数．
32证明：因为
y
'
?6x
2
?6x?12?6x
2
?x?2?6
?
x?1
??
x?2
?

'
当
x?
?
?2,1
?
即
?2?x?1
时，
y?0
，所以函数
y?2x?3x?12x?1
在区间
?
?2,1
?
内
32
??
是减函数．
说明：证明可导函数
f
?
x
?
在
?
a,b
?
内的单调性步骤：
（1）求导函数
f
（2）判断
f
'
'
?
x
?
；
?
x
?
在
?
a,b
?
内的符号；
'
（3）做出结论：
f
?
x
?
?0
为增函数，< br>f
'
?
x
?
?0
为减函数．
2
例5．已知函数
f(x)?4x?ax?
值范围．
2
3
x(x?R)
在区间
?
?1,1
?
上是增函数，求实数< br>a
的取
3
'
解：
f(x)?4?2ax?2x
，因为
f
?
x
?
在区间
?
?1,1
?
上 是增函数，所以
f(x)?0
对
'2
x?
?
?1,1
?
恒成立，即
x
2
?ax?2?0
对
x?
??1,1
?
恒成立，解之得：
?1?a?1

所以实数
a
的取值范围为
?
?1,1
?
．
说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关
系：即“若 函数单调递增，则
f(x)?0
；若函数单调递减，则
f(x)?0
”来求解 ，注意此时公
精品资料
''

__________________ __________________________________________________ __________________________________________
式中的等号不能省略，否则漏解．
例6．已知函数
y
=
x
+
1
，试讨论出此函数的单调区间.
x
解：
y
′=(
x
+
1
)′
x

2
x?1(x?1)(x?1)
－2
?
=1－ 1·
x
=
x
2
x
2
令
(x?1)(x?1 )
＞0.
2
x

解得
x
＞1或
x
＜－1.

∴
y
=
x
+
1
的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞).
x< br>令
(x?1)(x?1)
＜0，解得－1＜
x
＜0或0＜
x< br>＜1.
2
x
1
的单调减区间是(－1，0)和(0，1)
x
∴
y
=
x
+
四．课堂练习
1．求下列函数的单调区间
1
1.
f
(
x
)=2
x
－6
x
+7 2.
f
(
x
)=+2x 3.
f
(
x
)=sin
x
,
x
?[0,2
?
]

4.
y=xlnx

x
32
2．课本 练习
五．回顾总结
（1）函数的单调性与导数的关系
（2）求解函数
y?f(x)
单调区间
（3）证明可导函数
f
?
x
?
在
?
a,b
?
内的单调性
六．教后反思：



精品资料

_______________________________________ __________________________________________________ _____________________





§1.3.2函数的极值与导数（2课时）
教学目标：
1.理解极大值、极小值的概念；
2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；
3.掌握求可导函数的极值的步骤；
教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.
教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤.
教学过程：
一．创设情景
观察图3.3-8，我们发现，
t?a
时，高台跳水运动员距 水面高度最大．那么，函数
h(t)
在
此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特 点？相应地，导数的符号有什么变化规律？
放大
t?a
附近函数
h(t)< br>的图像，如图3.3-9．可以看出
h
?
(a)
；在
t?a< br>，当
t?a
时，函数
h(t)
单调递增，
h
?
(t)?0
；当
t?a
时，函数
h(t)
单调递减，
h< br>?
(t)?0
；这就说明，在
t?a
附
近，函数值先增（t?a
，
h
?
(t)?0
）后减（
t?a
，< br>h
?
(t)?0
）．这样，当
t
在
a
的附近 从小到
大经过
a
时，
h
?
(t)
先正后负，且h
?
(t)
连续变化，于是有
h
?
(a)?0
．

对于一般的函数
y?f
?
x
?
，是否也有这样的性质呢？
附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数
在某 一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键
是这点两侧的导数异号
二．新课讲授
1．问题：图3.3-1（1），它表示跳水运动中高度
h
随时间
t
变化的函数
h(t)??4.9t?6.5t?10
精品资料 2

____________________________________ __________________________________________________ ________________________
的图像，图3.3-1（2）表示高台跳水运动 员的速度
v
随时间
t
变化的函数
v(t)?h(t)??9.8t? 6.5
的图像．
运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？
通过观察图像，我们可以发现：
（3） 运动员从起点到最高点，离水面的高度
h< br>随时间
t
的增加而增加，即
h(t)
是增函
数．相应地，v(t)?h(t)?0
．
（4） 从最高点到入水，运动员离水面的高度
h< br>随时间
t
的增加而减少，即
h(t)
是减函
数．相应地，v(t)?h(t)?0
．
2．函数的单调性与导数的关系
观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．
''
如图3.3-3 ，导数
f(x
0
)
表示函数
f(x)
在点
(x0
,y
0
)
处的切线的斜率．在
x?x
0
处，
f(x
0
)?0
，
'
切线是“左下右上”式的，这时，函数
f(x)
在
x
0
附近单调递增；在
x?x
1
处，
f(x
0
)?0
，切
'
'
'
线是“ 左上右下”式的，这时，函数
f(x)
在
x
1
附近单调递减．
结论：函数的单调性与导数的关系
在某个区间
(a,b)
内，如果
f(x)?0
，那么函数
y?f(x)
在这个区间内单调递增；如果
'
f
'
(x)?0
，那么函数
y?f(x)
在这个区间内单调递减．
说明：（1）特别的，如果
f(x)?0
，那么函数
y?f(x)
在 这个区间内是常函数．
3．求解函数
y?f(x)
单调区间的步骤：
（1）确定函数
y?f(x)
的定义域；
（2）求导数
y?f(x)
；
（3）解不等式
f(x)?0
，解集在定义域内的部分为增区间；
（4）解不等式
f(x)?0
，解集在定义域内的部分为减区间．
三．典例分析
'
'
''
'
精品资料

________________________________________________ __________________________________________________ ____________
例1．（课本例4）求
f
?
x
?
?
解： 因为f
?
x
?
?
1
3
x?4x?4
的极值
3
1
3
x?4x?4
，所以
3
f
'?
x
?
?x
2
?4?(x?2)(x?2)
。
f
'
?
x
?
?0,x?2,x??2

下面分两种情况讨论：
（1）当
f
'
?
x
?>0,即
x?2
，或
x??2
时；
（2）当
f
'
?
x
?
<0,即
?2?x?2
时.
当x变化时，
f


'
?
x
?
，
f
?
x
?
的变化情况如下表：
x

?
??,2
?

+
↗
-2
0
极大值
(-2,2)
－
2
0
极小值
?
?
2,??
?

+
y
?

y


28

3
↘
4

3
28
；
3
↗ < br>因此，当
x??2
时，
f(x)
有极大值，并且极大值为
f( ?2)?
当
x?2
时，
f(x)
有极小值，并且极小值为
f (2)??
函数
f
?
x
?
?










4
。
3
1
3
x?4x?4
的图像如图所示。
3
y1
f(x)=x
3
-4x+4
3
2
-2
Ox

精品资料

______________________ __________________________________________________ ______________________________________
例2求
y
=(
x
－1)+1的极值
2222
解：
y
′=6
x
(
x
－1)=6
x
(
x
+1)(
x
－1)
令
y
′=0解得
x
1
=－1，
x
2
=0，
x
3
=1
当
x
变化时，
y
′，
y
的变化情况如下表

23
x

?
??,?1
?

－
↘
-1
0
无极值
(-1,0)
－
↘
0
0
极小值0
(0,1)
+
↗
1
0
无极值
?
1,??
?

+
↗
y
?

y

∴当
x
=0时，
y< br>有极小值且
y
极小值
=0
y
f?x? =
?
x
2
-1
?
3
+1

1.极大值： 一般地，设函数f(x)在点x
0
附近有定义，如果对x
0< br>附近的所有的点，都有f(x)
＜f(x
0
)，就说f(x
0
)是函数f(x)的一个极大值，记作y
极大值
=f(x
0
)，x
0
是极大值点
2.极小值：一般地，设函数f(x)在x
0
附近有定义，如果 对x
0
附近的所有的点，都有f(x)＞
f(x
0
).就说f(x< br>0
)是函数f(x)的一个极小值，记作y
极小值
=f(x
0
)，x
0
是极小值点
3.极大值与极小值统称为极值 注意以下几点：
（ ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最
大或最小并不意 味着它在函数的整个的定义域内最大或最小
（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一
个
（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图
-1
O
1
x
所示，
x
1
是极大值点，
x
4
是极小值点，而
f(x
4
)
>
f(x
1
)

（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点
而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点
4. 判别
f
(
x
0
)是极大、极小值的方法:
若
x< br>0
满足
f
?
(x
0
)?0
，且在
x
0
的两侧
f(x)
的导数异号，则
x
0
是
f(x)
的极值点，
f(x
0
)
是极值，并且如果
f
?
(x)
在
x
0
两侧满足“左正右负”，则
x
0
是
f(x)
的极大值点，
f(x
0
)
是极大
精品资料

_________________________________ __________________________________________________ ___________________________
值；如果
f
?
(x)
在
x
0
两侧满足“左负右正”，则
x
0
是< br>f(x)
的极小值点，
f(x
0
)
是极小值
5. 求可导函数
f
(
x
)的极值的步骤:
(1)确定函数的定义区间，求导数
f
′(
x
)
(2)求方程
f
′(
x
)=0的根
(3)用函数的导数为 0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查
f
′(
x
)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么
f
(
x
)在这个根处取得 极大值；如果左负
右正，那么
f
(
x
)在这个根处取得极小值；如果 左右不改变符号即都为正或都为负，那么
f
(
x
)在
这个根处无极值
如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点
四、巩固练习：
1．求下列函数的极值.
23
(1)
y
=
x
－7
x
+6 (2)
y
=
x
－27
x

2
(1)解：< br>y
′=(
x
－7
x
+6)′=2
x
－7
令
y
′=0，解得
x
=
7
.
2
x

7
?

?
?
??,
?
2
??
当
x
变化时，
y
′，
y
的变化情况如下表.
7
2

?
7
?

?
,??
?
?
2
?
y
?

－
↘
0
极小值
?
+
y

∴当
x
=
25

4
↗
725
时，
y
有极小值，且
y
极小值
=－. 4
2
32
(2)解：
y
′=(
x
－27
x
)′=3
x
－27=3(
x
+3)(
x
－3)
令
y
′=0，解得
x
1
=－3，
x
2=3.
当
x
变化时，
y
′，
y
的变化情况如下表.
x

?
??,?3
?

+
↗
-3
0
极大值54
(-3,3)
－
↘
3
0
极小值-54
?
3,??
?

+
↗
y
?

y


∴当x
=－3时，
y
有极大值，且
y
极大值
=54. 当
x
=3时，
y
有极小值，且
y
极小值
=－5 4
五、教学反思 ：
精品资料

_______________ __________________________________________________ _____________________________________________
函数的极大、极小值的定义以及判别方法.求可导函数
f
(
x
)的极值的三个 步骤.还有要弄清
函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在整个定义区间可能有多个极值， 且要在这
点处连续.可导函数极值点的导数为0，但导数为零的点不一定是极值点，要看这点两侧的导数
是否异号.函数的不可导点可能是极值点



§1.3.3函数的最大（小）值与导数（2课时）
教学目标：
⒈使学生理解函数 的最大值和最小值的概念，掌握可导函数
f(x)
在闭区间
?
a,b
?
上所有
点（包括端点
a,b
）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条 件；
⒉使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤
教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法．
教学难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系．
教学过程：
一．创设情景
我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义 域内的性
质．也就是说，如果
x
0
是函数
y?f
?
x
?
的极大（小）值点，那么在点
x
0
附近找不到比
f?
x
0
?
更
大（小）的值．但是，在解决实际问题或研究函数的 性质时，我们更关心函数在某个区间上，哪
个至最大，哪个值最小．如果
x
0
是函数的最大（小）值，那么
f
?
x
0
?
不小（大）于函数
y?f
?
x
?
在相应区间上的所有函数值．
二．新课讲授
观察图中一个定义在闭区间
?
a,b
?
上的函数
f(x)< br>的图象．图中
f(x
1
)
与
f(x
3
)是极小值，
f(x
2
)
是极大
值．函数
f(x)
在
?
a,b
?
上的最大值是
f(b)
，最小值是
a
x
1
O
x
2
x
3
b
y
x
f(x
3
)
．
1．结论：一般地，在闭区间
?
a,b
?
上函数
y?f(x)
的图像是一条连续不断的曲线，那么函数
y?f(x)
在
?
a,b
?
上必有最大值与最小值．
说 明：⑴如果在某一区间上函数
y?f(x)
的图像是一条连续不断的曲线，则称函数
y ?f(x)
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_________________________ __________________________________________________ ___________________________________
在这个区间上连续．（可以不给学生讲）
⑵给定函数的区间必须是闭区间，在开区间
(a,b)
内连续的函数
f(x)
不一定有最大值与最小
值．如函数
f(x)?
1
在
(0,??)
内连续，但没有最大值与最小值；
x
⑶在闭区间上的每一点必须连续，即函数图像没有间断，
⑷函数
f(x)
在闭区间
?
a,b
?
上连续，是
f(x)
在闭区间
?
a,b
?
上有最大值与最小值的充分条件
而非必要条件．（可以不 给学生讲）
2．“最值”与“极值”的区别和联系
⑴最值”是整体概念，是比较整个定义域 内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部
概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对 性．
⑵从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；
⑶函数在其定 义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能
没有一个
⑷极 值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值
的未必有极值 ；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．
3．利用导数求函数的最值步骤:
由上面函数
f(x)
的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行
比较，就可以得出函数的最值了．
一般地，求函数
f(x)
在
?< br>a,b
?
上的最大值与最小值的步骤如下：
⑴求
f(x)
在
(a,b)
内的极值；
⑵将
f( x)
的各极值与端点处的函数值
f(a)
、
f(b)
比较，其中最大 的一个是最大值，最小
的一个是最小值，得出函数
f(x)
在
?
a, b
?
上的最值
三．典例分析
例1．（课本例5）求
f
?
x
?
?
1
3
x?4x?4
在
?
0 ,3
?
的最大值与最小值
3
解： 由例4可知，在
?
0,3
?
上，当
x?2
时，
f(x)
有极小值，并且极小值 为
f(2)??
又由于
f
?
0
?
?4
，< br>f
?
3
?
?1

4
，
3
1
3
4
x?4x?4
在
?
0,3
?
的最大值 是4，最小值是
?
．
33
1
3
上述结论可以从函数
f
?
x
?
?x?4x?4
在
?
0,3
?
上的图象得到直观验证．
3
因此，函数
f
?
x
?
?
精品资料

_________________________________________ __________________________________________________ ___________________
例2．求函数
y?x?2x?5
在区间< br>?
?2,2
?
上的最大值与最小值
42
解：先求导数，得
y?4x?4x


3
令y
＝0即
4x?4x?0
解得
x
1
??1,x
2
?0,x
3
?1

3
导数
y
的正负以及
f(?2)
，
f(2)
如下表
X
y


-2 （-2,-1） -1 （-1,0）

13
－
↘
0
4
＋
↗
0
0
5
（0,1）
－
↘
1
0
4
（1,2） 2
＋
↗

13 y
从上表知，当
x??2
时，函数有最大值13，当
x??1
时，函数有最小值4
x
2
? ax?b
例3．已知
f(x)?log
3
,
x
∈(0,+∞ ).是否存在实数
a、b
,使
f(x)
同时满足下
x
列两个 条件：（1）
f(x)
)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数；（2）
f(x)
的最小
值是1，若存在，求出
a、b
，若不存在，说明理由.
x
2
?ax?b
解：设
g
(
x
)= x
∵
f
(
x
)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增 函数
∴
g
(
x
)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数.
?
b?1?0
?
g'(1)?0
?
a?1
∴
?
∴
?
解得
?

a?b?1?3
g(1)?3b?1
?
??
经检验，
a
=1,
b
= 1时，
f
(
x
)满足题设的两个条件.
四．课堂练习
1．下列说法正确的是( )
A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值
C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值
2．函数
y
=
f
(
x
)在区间［
a
,
b
］上的最大值是
M
，最小值 是
m
,若
M
=
m
,则
f
′(
x< br>) ( )
y
A.等于0 B.大于0 C.小于0 D.以上都有可能
12
3．函数
y
=
1
4
13
1
2
x?x?x
，在［－1，1］上的最小值为( )
432
13
A.0 B.－2 C.－1 D.
12< br>42
10
8
6
4
2
-4
-2
4．求 函数
y?x?2x?5
在区间
?
?2,2
?
上的最大值与最 小值．
5．课本练习
精品资料
y=x
4
-2x
2+5
O
2
4
x

_______________ __________________________________________________ _____________________________________________
五．回顾总结
1．函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存 在的点，区间
端点；
2．函数
f(x)
在闭区间
?
a,b
?
上连续，是
f(x)
在闭区间
?
a,b
?
上有最大值与最小值的充分条件
而非必要条件；
3．闭区间
?
a,b?
上的连续函数一定有最值；开区间
(a,b)
内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值
4．利用导数求函数的最值方法．

六．教后反思：







§1.4生活中的优化问题举例（2课时）
教学目标：
1． 使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用
2． 提高将实际问题转化为数学问题的能力
教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题．
教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题．
教学过程：
一．创设情景 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通
过前面的 学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解
决一些生活中的优 化问题．
二．新课讲授
导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际 问题，主要有以下几个
方面：
1、与几何有关的最值问题；
2、与物理学有关的最值问题；
3、与利润及其成本有关的最值问题；
4、效率最值问题。
解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立 适当的函数关系，
并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当 的函数关
系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个
精品资料

______________________________ __________________________________________________ ______________________________
有力的工具．
利用导数解决优化问题的基本思路：

优化问题
建立数学模型
用函数表示的数学问题
解决数学模型
优化问题的答案
作答
用导数解决数学问题

三．典例分析
例1．海报版面尺寸的设计
学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向
2
张贴的海报，要求版心面积为128dm,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。 如何设计海报
的尺寸，才能使四周空心面积最小？
128
dm,此时四周空白面积为
x
128512

S(x)?(x?4)(?2)?128?2x??8,x?0
。
xx
解：设版心的高为xdm，则版心的宽为
求导数，得
512
。
x2
512
'
令
S(x)?2?
2
?0
，解得< br>x?16(x??16
舍去）。
x
128128
于是宽为
??8
。
x16
S'
(x)?2?
当
x?(0,16)
时，
S(x)
<0 ；当
x?(16,??)
时，
S(x)
>0.
因此，
x? 16
是函数
S(x)
的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8d m时，
''
能使四周空白面积最小。
答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。
例2．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？
（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？
【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是
0.8
?
r
2
分，其中
r
是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利 0.2
分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm
问题：（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
（２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？
精品资料

_________ __________________________________________________ __________________________________________________ _
解：由于瓶子的半径为
r
，所以每瓶饮料的利润是
?
r
3
4
322
?

y?f?
r
?
?0.2?
?
r?0.8
?
r?0.8
?
?
?r
?
,0?r?6

3
?
3
?
令
f
?
?
r
?
?0.8
?< br>(r
2
?2r)?0
解得
r?2
（
r?0
舍去）
当
r?
?
0,2
?
时，
f
?
?
r
?
?0
；当r?
?
2,6
?
时，
f
?
?
r
?
?0
．
当半径
r?2
时，
f
?
?< br>r
?
?0
它表示
f
?
r
?
单调递增 ，即半径越大，利润越高；
当半径
r?2
时，
f
?
?r
?
?0
它表示
f
?
r
?
单调递减，即半径越大，利润越低．
（1）半径为
2
cm 时，利润最小，这时
f
?
2
?
?0
，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的
成本，此时利润是负值．
（2）半径为
6
cm时，利润最大．
换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？
有图像知： 当
r?3
时，
f
?
3
?
?0
，即瓶子的半 径为3cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰
好相等；当
r?3
时，利润才为正值．
当
r?
?
0,2
?
时，
f
?
?< br>r
?
?0
，
f
?
r
?
为减函数，其 实际意义为：瓶子的半径小于2cm时，瓶
子的半径越大，利润越小，半径为
2
cm 时，利润最小．
例3．磁盘的最大存储量问题
计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性 介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道
和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被 同心角分割所成的扇形区域。磁道上
的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0 或1，这个基本单元通常被
称为比特（bit）。
为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必 需大于
m
，每比特所占用的磁道长度不得小于
n
。为了数据检索便利，磁盘格 式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。
问题：现有一张半径为
R
的磁盘，它的存 储区是半径介于
r
与
R
之间的环形区域．
（1） 是不是
r
越小，磁盘的存储量越大？
（2）
r
为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？
解：由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数。
设存储区的半径介于
r
与R之间，由于磁道之间的宽度必需大于
m
，且最外面的磁道不存
R?r。由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大存储量，最
m
2
?
r
内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达。所以，磁盘总存储量
n
储任何信息，故磁道数最多可达
精品资料

_______ __________________________________________________ __________________________________________________ ___
f(r)?
R?r
2
?
r
2
?
×
?r(R?r)

mmn
n
（1）它是一个关于
r< br>的二次函数，从函数解析式上可以判断，不是
r
越小，磁盘的存储量越
大． < br>（2）为求
f(r)
的最大值，计算
f
?
(r)?0
．
f
?
(r)?
2
?
?
R?2r
?

mn
令
f
?
(r)?0
，解得
r?
R
2
当
r?
RR
时，
f
?
(r)?0
；当
r?
时，
f
?
(r)?0
．
22< br>R
2
?
R
2
因此
r?
时，磁盘具有最大存储 量。此时最大存储量为
mn4
2
例4．汽油的使用效率何时最高
我们知 道，汽油的消耗量
w
（单位：L）与汽车的速度
v
（单位：kmh）之间有一 定的关
系，汽油的消耗量
w
是汽车速度
v
的函数．根据你的生活经验 ，思考下面两个问题：
（1）是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？
（2）“汽油的使用率最高”的含义是什么？
分析：研究汽油的使用效率（单位：Lm）就是 研究秋游消耗量与汽车行驶路程的比值．如
w
，其中，
w
表示汽油消耗量（单 位：L），
s
表
s
示汽油行驶的路程（单位：km）．这样，求“每千米路程 的汽油消耗量最少”，就是求
G
的最小
果用
G
表示每千米平均的汽油 消耗量，那么
G?
值的问题．
通过大量的统计数据，并对数据进行分析 、研究，人们发现，汽车在行驶过程中，汽油平
均消耗率
g
（即每小时的汽油消耗量， 单位：Lh）与汽车行驶的平均速度
v
（单位：kmh）之
间有如图所示的函数关系< br>g?f
?
v
?
．
从图中不能直接解决汽油使用效率最高的问 题．因此，我们首先需要将问题转化为汽油平均
消耗率
g
（即每小时的汽油消耗量，单 位：Lh）与汽车行驶的平均速度
v
（单位：kmh）之间
关系的问题，然后利用图像 中的数据信息，解决汽油使用效率最高的问题．
w
wg
解：因为
G??
t
?

s
s
v
t
gg这样，问题就转化为求的最小值．从图象上看，表示经过原点与曲线上点的直线的斜率．进
vv精品资料

________________________________ __________________________________________________ ____________________________
一步发现，当直线与曲线相切时，其斜率最小．在此切点处速度约为90
kmh
． < br>因此，当汽车行驶距离一定时，要使汽油的使用效率最高，即每千米的汽油消耗量最小，此时的
车 速约为90
kmh
．从数值上看，每千米的耗油量就是图中切线的斜率，即
f
?
?
90
?
，约为
L．






例5．在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的 正方形，再把它的边沿虚线折起(如
图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积 最大？最大容积是多少？
解法一：设箱底边长为
x
cm，则箱
高
h ?
60?x
cm，得箱子容积
2
2
_

x

x
x
60x
2
?x
3
V(x)?xh?
2
_

60
_

x
(0?x?60)
．
3x
2
V
?
(x)?60x?
2

_

60
(0?x?60)

3x
2
令
V
?
(x)?60x?
＝0，解得 x=0（舍去），x=40，
2
并求得V(40)=16 000
由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是
最大值
3
答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm
解法二：设箱高为
x
cm，则箱底长为(60-2
x
) cm，则得
60-2x
x
箱子容积
V(x)?(60?2x)x
(0?x?30)
．（后面同解法一，略）
由题意可知，当
x
过小或过大时箱子容积很小，所以最
大值出现在极值点处．
2
60-2x
60
60-2x
60-2x
x
60< br>精品资料

_______________________________ __________________________________________________ _____________________________
60x
2
?x3
2
事实上，可导函数
V(x)?xh?
、
V(x)?(60? 2x)x
在各自的定义域中都只
2
2
有一个极值点，从图象角度理解即只有一 个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必
考虑端点的函数值
例6．圆柱形金属饮 料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料
最省？
解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积
2
S=2πRh+2πR
V
，则
2
?
R
V
2
2V
2
S(R)= 2πR+ 2πR=+2πR
2
?
RR
2V
令
s
?
(R)??
2
+4πR=0
R
由V=πRh ，得
h?
2
解得，R=
3
V
V
，从而h==
2
2
?
?
R
4VV
V
=
3
=2
3

?
?
V
2
?
(
3
)
2
?
即h=2R
因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值
答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省
变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S
时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所
用材料最省？
S?2
?
R
2
提示：
S
=2
?< br>Rh
+
2
?
R
?
h
=
2
?
R
2
S?2
?
R
2
11
?
R< br>2
=
(S?2
?
R
2
)R?SR?
?
R
3

?
V
(
R
)=
2
?< br>R
22
V'(R)
)=0
?S?6
?
R
2< br>
?
6
?
R
2
?2
?
Rh?2?
R
2
?h?2R
．
例6．在经济学中，生产x单位产品的成 本称为成本函数同，记为C(x)，出售x单位产品的
收益称为收益函数，记为R(x)，R(x)－C (x)称为利润函数，记为P(x)。
（1）、如果C(x)＝
10x?0.003x?5x ?1000
，那么生产多少单位产品时，边际
C
?
(x)
最低？(边 际成本：生产规模增加一个单位时成本的增加量)
（2）、如果C(x)=50x＋10000，产品 的单价P＝100－0.01x，那么怎样定价，可使利润最大？
变式：已知某商品生产成本
C
与产量
q
的函数关系式为
C
=100+4
q
，价 格
p
与产量
q
的函数
?632
精品资料

< br>_______________________________________________ __________________________________________________ _____________
关系式为
p?25?
1
q
．求产量< br>q
为何值时，利润
L
最大？
8
分析：利润
L
等于收入
R
减去成本
C
，而收入
R
等于产量乘价格．由此 可得出利润
L
与产量
q
的函数关系式，再用导数求最大利润．
解： 收入
R?q?p?q
?
25?
?
?
1
?
1
q
?
?25q?q
2
，
8
?
8
利润
L?R?C?
?
25q?
?
?
1
2
?
1
q
?
?(100?4q)??q
2
21q?100
(0?q?100)

8
?
8
1
L
?
??q?21

4
1
令
L
?
?0
，即
?q?21?0
，求得 唯一的极值点
q?84

4
答：产量为84时，利润L最大
例7． 一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面
ABCD
的面
积为定值
S
时，使得湿周
l
=
AB
+
BC
+
CD
最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高
h
和下
底边 长
b
.
解：由梯形面积公式，得
S
=
3
1
(
AD
+
BC
)
h
,其中
AD
=2
DE
+BC
，
DE
=
h
,
BC
=
b

3
2
∴
AD
=
231233
h?2b)h?(h? b)h
①
h
+
b
, ∴
S
=
(
233
3
∵
CD
=
h22
?h
,
AB
=
CD
.∴
l
=
h
×2+
b
cos30?
33

②
由①得
b
=
S343S3S
h??h?3h?

?
h
,代入②,∴
l
=
3h3h
h3
l
′=
3?
S
SSS
=0,∴
h
=, 当
h
<时 ，
l
′<0,
h
>时，
l
′>0.
2
4 44
h
333
2
4
3
S
S
∴
h
=时，
l
取最小值，此时
b
=
4
3
3例8．已知矩形的两个顶点位于
x
轴上，另两个顶点位于抛物线
y
＝4－
x
在
x
轴上方的曲
线上，求这种矩形中面积最大者的边长．
【解】设位于抛物线上的矩形的一个顶点为（
x
，
y
），且
x
＞0，
y
＞0，
则另一个在抛物线上的顶点为（－
x
，
y
），
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2

__________________________________ __________________________________________________ __________________________
在
x
轴上的两个顶点为（ －
x
，0）、（
x
，0），其中0＜
x
＜2．
2
设矩形的面积为
S
，则
S
＝2
x
（4－
x
），0＜
x
＜2．
由
S′
（
x
）＝8－6
x
＝0，得
x
＝
2
2
3
，易知
3
x
＝
4
是
S
在（0，2）上的极值点，
3
8
2
3
和．
3
3
即是最大值点，
所以这种矩形中面积最大者的边长为
【点评】
应用题求解，要正确写出目标函数并明 确题意所给的变量制约条件．应用题的分析中如确定
有最小值，且极小值唯一，即可确定极小值就是最小 值．

练习：1：一书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要 付手续
费30元，每千册书存放一年要耗库费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分几次进货、
每次进多少册，可使所付的手续费与库存费之和最少？
【解】假设每次进书
x
千册，手续费与库存费之和为
y
元，
由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量之半，即
x
，故有
2
150x4500
×30＋×40，
y′
＝－
2
＋20，
x2x
9000
令
y′
＝0，得
x
＝15，且
y″
＝
3
，
f″
(15)＞0，
x
y
＝
所以当
x
＝15时，
y
取得极小值，且极小值唯一，
故 当
x
＝15时，
y
取得最小值，此时进货次数为
150
＝10（次）．
15
即该书店分10次进货，每次进15000册书，所付手续费与库存费之和最少．

2：有甲、乙两城，甲城位于一直线形河岸，乙城离岸40千米，乙城到岸的垂足与甲城相距
50千米，两城在此河边合设一水厂取水，从水厂到甲城和乙城的水管费用分别为每千米500元
和700元，问水厂应设在河边的何处，才能使水管费用最省？
【解】设水厂
D
点 与乙城到岸的垂足
B
点之间的距离为
x
千米，总费用为
y
元 ，
则
CD
＝
x
2
?40
2
．
y
＝500（50－
x
）＋700
x
2
?1600

＝25000－500
x
＋700
x
2
?1600
，
?
1
y′
＝－500＋700 · (
x

2
＋1600)
2
· 2
x

2
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1

____________________ __________________________________________________ ________________________________________
＝－500＋
700x
x?1600
2
，
令
y
′＝0，解得
x
＝
506
．
3
506
千米时，总费用最省．
3
答：水厂距甲距离为50－
【点评】
当要求的最大（小）值的变量
y
与几个变量相关时，我们总是先设几个变量中的一个为
x
，
然后再根据条 件
x
来表示其他变量，并写出
y
的函数表达式
f
（
x
）．


四．课堂练习
1．用总长为14.8m的钢条制作一 个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一
边长0.5m,那么高为多少时容器的容积 最大？并求出它的最大容积．（高为1.2 m，最大容积
1.8m
3
）
5．课本 练习

五．回顾总结
1．利用导数解决优化问题的基本思路：
建立数学模型
优化问题
用函数表示的数学问题
解决数学模型
优化问题的答案
作答
用导数解决数学问题

2．解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与 其相应的数学模型，再通过研究
相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数 往往是一个有利的工具。
六．教后反思：







§1.5.1曲边梯形的面积
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__ __________________________________________________ __________________________________________________ ________
一：教学目标
知识与技能目标
理解求曲边图形面积的过程：分割、以直代曲、逼近，感受在其过程中渗透的思想方法
过程与方法
情感态度与价值观
二：教学重难点
重点 掌握过程步骤：分割、以直代曲、求和、逼近（取极限）
难点 对过程中所包含的基本的微积分 “以直代曲”的思想的理解
三：教学过程：
1．创设情景
我们学过如何求正方形 、长方形、三角形等的面积，这些图形都是由直线段围成的。那么，
如何求曲线围成的平面图形的面积呢 ？
这就是定积分要解决的问题。
定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛的应用。本节 我们将学习定积分的基本概念以
及定积分的简单应用，初步体会定积分的思想及其应用价值。
一个概念：如果函数
y?f(x)
在某一区间
I
上的图像是一条连续不断的曲 线，那么就把函
数
y?f(x)
称为区间
I
上的连续函数．（不加说 明，下面研究的都是连续函数）
2．新课讲授
问题：如图，阴影部分类似于一个梯形，但有 一边是
曲线
y?f(x)
的一段，我们把由直线
x?a,x?b(a?b), y?0
和曲线
y?f(x)
所围成的图形
称为曲边梯形．如何计算这个曲边梯 形的面积？


例1：求图中阴影部分是由抛物线
y?x
，直线
x?1
以及
x
轴所围成的平面图形的面积S。
2

思考：（1）曲边梯形与“直边图形”的区别？
（2）能否将求这个曲边梯形面积S的问题转化为求“直边图形”面积的问题？
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