高中数学教案抛物线

抛物线
一、 知识网络
二、高考考点
1.抛物线定义的应用； 2.抛物线的标准方程及其几何性质；焦点、准线方程；
3.抛物线的焦点弦引出的问题； 4.直线与抛物线相交（或相切）引出的求法或范围
问题；
5.抛物线与三角形（或四边形）问题。
三、知识要点
（一）定义与推论
1.定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物 线.定点
F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线. 这一定义为抛物线上任意一点M的
焦点半径与水平线段（或垂直线段）的等价转换奠定理论基础.
2.推论：抛物线的焦点半径公式
设 为抛物线 上任意一点，则
设 为抛物线 上任意一点，则
其它情形从略。
（二）标准方程与几何性质
1.标准方程 设抛物线的焦点F到准线l的距离为p（焦参数），则在特定直角坐标系
下导出抛物线的标准方程：
① ② ③ ④
认知：上述标准方程中的一次项的功能：一次项本身决定抛物线的形状与位置.
其中，一次项所含变元对应的数轴为对称轴（焦点所在数轴）；
一次项系数的符号决定焦点所在半 轴（或开口方向）：系数为正，焦点在相应的正半轴
上（或开口朝着对称轴正向），反之，焦点在负半轴 上（或开口朝着对称轴负向）；
一次项系数的绝对值决定抛物线开口大小（形状）：恰等于焦点参数的2倍.
2.几何性质 对于抛物线
（1）范围： 这条抛物线在y轴右侧，且向右上方和右下方无限延伸；
（2）对称性：关于x轴对称 轴为这条抛物线的轴.
认知：抛物线的准线与其对称轴垂直（抛物线主要共性之一）
（3）顶点：原点O（0，0）（抛物线方程为标准方程的必要条件之一）
（4）离心率： （抛物线主要共性之二）
（三）挖掘与引申
1.抛物线方程的统一形式
1） 顶点在原点，以x轴为对称轴的抛物线方程为 ，其焦点参数 （一次项系数绝对值
的一半）；
焦点 ，准线 ；
顶点在原点，以y轴为对称轴的抛物线方程为 ，其焦点参数 （一次项系数绝对值的
一半）；
焦点 ，准线 ；
（2）顶点在 ，对称轴垂直y轴的抛物线方程为： ，其焦点参数 ；

顶点在 ，对称轴垂直x轴的抛物线方程为： ，其焦点参数 ；
2.抛物线的焦点弦 设 且PQ为抛物线 的一条经过焦点的弦.
（1）弦端点同名坐标的关系
（推导上述命题的副产品： ，其中k为直线PQ的斜率）
（2）焦点弦长公式 （Ⅰ）。
（Ⅱ）设直线PQ的倾斜角为 ，则
故有：
（3） 的面积公式： ；
（4）焦点半径 与 的关系 （定值）
（四）直线与抛物线
直线与抛物线的位置关系，理论上由直线方程与抛物线方程的联立方程组实解 的情况来
确定，实践中往往归纳为对相关一元二次方程的判别式△的考察： 直线与抛物线交于不
同两点
直线与抛物线交于一点 （相切）或直线平行于抛物线的对称轴； 直线与抛物线不
相交

四、抛物线经典例题
例1、（1）抛物线 的焦点坐标为 ；
（2）已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，抛物线上的点 到焦点F的距离为5，则抛
物线方程为 ；
（3）经过抛物线 的对称轴上一点 作直线l与抛物线交于A、B两点，若A点纵坐标为 ，
则B点纵坐标为 .
分析： （1）将抛物线方程化为标准方程切入
当 时，抛物线标准方程为 ，此时，焦参数 ，焦点 ；
当 时，抛物线标准方程为 ，此时，焦参数 ，焦点 ；
∴综上可知，不论a的正负如何，总有焦点坐标为 .
（2）这里 .注意到焦点半径 在不同标 准方程下的不同形式，运用抛物线标准方程的统
一形式也不能避开讨论，故而爽直地从标准方程的讨论入 手。 ①注意到点A在x轴下方，
因此，
（Ⅰ）当抛物线焦点在x轴正半轴上时，设抛物线方程为 ，则 ①
又点A在抛物线上，则 ② ∴由①，②得： 或
∴由①得：p=9或p=1 ∴抛物线方程为： 或
（Ⅱ）当抛物线焦点在x轴负半轴上时，设抛物线方程为 ， 则 ，且
仿（Ⅰ）解得 p=1或p=9 ∴抛物线方程为 或
（Ⅲ）当抛物线焦点在y轴负半轴上时，设抛物线方程为 ， 则 ， ∴p=4
∴此时抛物线方程为 于是综合（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）抛物线方程为 或 或 .
（3）为推导出其普通性的结论，我们将所给问题定义升级
经过抛物线 的对称轴上一定点 作抛物线的弦AB，若设 ，寻找点A、B的同名坐标之
间的联系。
设弦AB所直线方程为 ① 由①与 联立，消去x ：
∴ ② ∴ ③
（Ⅱ）应用上述结论，当a=p， 时，由②得 ∴ B的纵坐标为—4p
例2 、已知抛物线 ，点A(2,3)，F为焦点，若抛物线上的动点到A、F的距离之和的
最小值为 ，求抛物线方程.

分析：在解析几何中，关于到两个定点的距离之和的最小值（ 或距离之差的最大值）问
题，运用纯代数方法解，导致复杂运算，因而常运用几何方法与相关曲线的定义 。
解：注意到抛物线开口大小的不确定性
（1）当点A和焦点F在抛物线的异侧时，由三角形性质得
∴
∴ ，解得p=2或p=6。
注意到p=6时，抛物线方程为 ，此时若x=2，则 ，与点A所在区域不符合；当p=2时，
抛物线方程为 ，当x=2时， ，符合此时的情形。
（2）当点A和焦点F在抛物线的同侧时（如图），作MN⊥准线l于点N， ， 得
∴ ∴ ，解得
易验证抛物线 符合此时情形。
于是综合（1）、（2）得所求抛物线方程为 或.
点评：求解此题有两大误区：一是不以点 A所在的不同区域分情况讨论，二是在由（1）
（或（2））导出抛物线方程后不进行检验。事实上，在 这里不论是A在什么位置，总得 成
立，本题进行的检验是必要的.
例3、经过抛物线 的焦点作弦AB.
（1）若弦AB被焦点F分成的线段之比为3：1；求该弦所在直线的方程；
（2）求证：直线AB不会是这条抛物线任意一条弦CD的垂直平分线.
分析：对于比较复杂的抛物线的焦点问题，常采用对交点坐标“设而不解”的策略.
解：（1）设 由题意知直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB方程为 ①
将①代入 消去x得： 由韦达定理得： ②
又由题意得 （或 ） ∴ ③
∴由③得： ④
∴将②代入④解得： ∴所求直线方程为： 或 .
（2）证明：由题意抛物线焦点 ，准线 ；假设直线AB为弦CD的垂直平分线.则 ⑤
注意到C，D两点在抛物线上∴ 过C，D分别作 于G， 于H，则又有 ⑥
∴由 ⑤、⑥知 ，即四边形CDHG为矩形 ∴ 轴 ∴ 轴
∴这与直线AB与抛物线有两个交点矛盾。 于是可知，直线AB不是弦CD的垂直平
分线。
点评：（Ⅰ）本例（1）的求解特色，一 是利用三角形相似转化已知条件；弦AB被焦点
F分成的线段比为3：1（或 ）；二是以 为基础构造并寻觅出 和 的关系式，从而为利用①
式创造了条件.
（Ⅱ）对于（2）等 否定性命题，常常用反证法证明.请大家在解题过程中注意领会和感
悟反证法的思路与策略.
例4、如图，已知抛物线 的焦点为F，直线l过定点A(4,0)，且交抛物线于P、Q两点。
（1）若以PQ为直径的圆经过原点，求p的值；
（2）在（1）的条件下，若 ，求动点R的轨迹方程。
分析：注意到直线l过定点A(4,0)，引入新参数k，故考虑对P、Q坐标“既设又解”。
解： （1）当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为 ①
把①代入抛物线方程 得

由题意： 恒成立
且 ② ∴ ③
由题设得 ④

∴②、③代入④得： ∴此时p=2 当直线l垂直于x轴时，直线l的方程为x=4，
将x=4代入抛物线方程 得： . ∴由 得
∴此时亦p=2 于是综合以上讨论得p=2.
（2） 解法一（既设又解）：设动点R坐标为（x,y），
由（1）知p=2，F(1,0) ∴
∴由 得：⑤ ∴由②、⑤得：⑥
⑦ 由⑥、⑦消去参数得：
当直线l垂直于x轴时，有 ，从而点 满足
因此，所求动点R的轨迹方程为 .
解法二（设而不解）：由（1）所设 . 得： ⑧
又 ∴两式组合得： ，即
∴当 时得： ⑨ 注意到 得 四边形PRQF为平行四边形.
∴线段PQ与FR互相平分 设FR中点为M，由⑧得 再注意到P、Q、M、A四点共
线
∴ ∴⑩ ∴由⑨、⑩得：
而当 时， 适合⑩式 于是可知，所求动点R的轨迹方程为 .
点评：对于（2）解法一“既设又解”的思路，过程简略，不需认知条件 几何意义，便
可导出动点R的条件， 的几何意义以及P、Q、M、A四点共线的特殊性质，解题具有较高的
技术含量。
例5、直线l与抛物线 交于A、B两点，O为原点，且有 .
（1）求证：直线l恒过一定点； （2）若 ，求直线l的斜率的取值范围.
（3）设抛物线焦点为F， ，试问：角 能否等于 ？若能，求出相应的直线l的方程；
若不能，试说明理由。
分析：鉴于问题的复杂性，考 虑对A、B坐标“既设又解”，注意到大前提有三个小题，
故从大前提的认知与延伸切入.
解： （1）设 ，则有 由 得 ①
∴② 注意到这里 ，由①得： ，故由②得 ，③
（Ⅰ）当直线l与x轴不垂直时，设其方程为 ，
将其与抛物线方程 联立，消去x得： 由题意： ④
且 ⑤ ∴由③，⑤得： ∴直线l的方程为 ，可见直线l过定点(2,0)。
（Ⅱ）当 轴时可得 ，直线l方程为 ，亦过定点(2,0)。 综上可得，直线l恒过定
点(2,0)。
（2）由（1）得：
∴由 得：
∴所求k的取值范围为
（3）设 ，则有 ⑥
又
⑦而由抛物线定义知： ， ⑧
∴将⑦，⑧代入⑥解得： ，这与 且 矛盾。
并注意到当 轴时， 综上可知， 。
点评：若直线与抛物线 交于不同两点A、B，且 ，则弦AB具有与焦点弦相似的性质：
（Ⅰ）弦端点同名坐标之积为定值：
（Ⅱ）直线AB经过抛物线的轴上一定点.
例6、已知抛物线 .设AB是抛物线上不重合的两个任意点，且 ， （O为坐标原点）

（1）若 ，求点M的坐标； （2）试求动点M的轨迹方程。
分析：注意到这里 解题头绪的繁多，故考虑对A、B坐标“既设又解”或“解而不设”，
以“求解”来化解解题的难度。
解：设 ，则
且 .
∴由 得 ①
解法一（既设又解）：
由 得
又 故得 ②
∴由①、②得
∴③ ∴ （或 ） ④
于是再由已知条件得 ∴此时点M坐标为(4p,0).

（2）设动点M(x,y)，则由 得
⑤ 又由①得： ∴⑥
∴由⑤、⑥得：
整理得： ∴所求动点M的轨迹方程为 .
解法二（对A、B坐标解而不设）：
由题意，设直线OA的方程为 ，
则直线OB ： .设M(x,y)，得 由 解得 由 解得
∴由 得 ⑦
（1）由 得： ∴ ，即
∴当 时或 时，均由⑦得点 ；
（2）注意到 ，由⑦得 ∴消去参数k，得 即
∴所求动点M的轨迹方程为 .
点评： （1）本题已知条件： ， 四边形OAMB为矩形.
（2）对解法一、解法二进行比较：
（Ⅰ）对交点坐标“解而不设”思路简捷，过程明朗，通俗易 懂。因此，当直线方程或
曲线方程比较简单时，要注意适时运用这一策略。
（Ⅱ）细细品 味，解法一中对A、B坐标的“既设又解”，与前面解决直线与椭圆（或
双曲线）相交问题时，对交点坐 标的“只设不解”有着明显不同。其中，前面解决直线与椭
圆（或双曲线或抛物线）相交问题时，设出交 点坐标之后，解“直线方程与曲线方程联立的
方程组”，解题中途运用韦达定理；而本题中设出A、B坐 标之后，解的是“关于所设交点
坐标的等式所成的方程组”，而且是一解到底，直到解出所设交点坐标， 前后的“既设又
解”，一样说法，两种风情，其中的区别与缘由，需要我们细细品味。
五、高考真题
（一）选择题
（1）已知双曲线 （ ）的一条准线与抛物线 的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
分析：抛物线 的准线为
∴对于双曲线有： ①
∴ ②
∴由①，②得： ∴由②得 于是： ，应选D.
（2）设抛物线 的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的

斜率的取值范围为（ ）
A. B. [-2，2] C. [-1，1] D. [-4，4]
分析：抛物线 的准线方程为 ∴点Q坐标为（-2，0）
由题意，设直线l的方程为 代入 得： ①
可知，k=0符合已知条件； ② ∴当 时，由①得 ③
∴由②，③得 应选C.
（3）过抛物线 的焦点作一条直线与抛物线交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，
则这样的直线（ ）
A.有且只有一条 B.有且只有两条 C.有无穷多条 D.不存在
分析：抛物线 的焦点F（1，0）.
若直线 轴，则A、B横坐标之和等于2，与 题意不合，故AB不垂直于x轴，于是由抛
物线关于x轴的对称性知，这样的直线有两条，故选B.
（二）解答题
1.设 两点在抛物线 上，l是AB的垂直平分线.
（1）当且仅当 取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；
（2）当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围.
分析：从线段AB的垂直平分线的性质切入
（1）直线l经过F 又l为弦AB的垂线平分线 ，问题由此可以突破
（2）以A、B关于直线l对称的条件突破难点。
解： （1）抛物线 ∴焦点 ∵
∴ 即 ，
∵ ，∴ ， 即当且仅当 时，直线l经过抛物线的焦点F.
（2）设直线l在y轴上的截距为b， 则直线l的方程为 ∴可设直线AB的方程为 ①
①代入 得：
∴由题意得： ②
且 ③ 又设弦AB的中点为 ，
解得： ， ， 即：
注意到 ， ∴ ∴ ④
∵由②得： ∴由④得：
即直线l在y轴上的截距的取值范围为
点评：利用 解出的范围②，再利用直线l经过弦AB的 中点导出b与m的关系式，则由
②导出b的取值范围便呼之欲出了。
2.抛物线C的方程为 ，过抛物线C上一点 作斜率为 的两条直线分别交抛物线C于 两
点（P、A、B三点互不相同），且满足 （ ，且 ）.
（1）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；
（2）设直线AB上一点M，满足 ，证明：线段PM的中点在y轴上；
（3）当 时，若点P坐标为（1，-1），求 为钝角时，点A的纵坐标 的取值范围.
分析： （Ⅰ）对于（2），为采用向量的坐标公式， 通过直线方程去求解或表示点
A、B坐标。因此，解（2）由写出斜率为 的直线方程切入，从求解A、B坐标突破（对A、B
坐标既设又解）；
（Ⅱ）对于（3）， 为钝角 ，故仍从推导A、B以及入手.
解：（1）抛物线方程 这里的焦点参数 ，
∴焦点坐标为 ， ∴准线方程为
（2）由题设知 ① ∴直线 的方程为 ②

②与抛物线方程 联立解得 ∴当 时， ，
∴ ， ③ 同理， ④
设点M坐标为 ，
则由 以及③、④得
又 ，∴ ， ∴ ，即线段PM的中点在y轴上.
（3）当 时， 由点P（1，-1）在抛物线 上得 .
∴由（2）得 ，
∴ ，
∴
注意到 为钝角

而 ， ∴当 时， ，从而 ； ⑤
当 时， ，从而 ⑥
于是综合⑤、⑥得所求 的取值范围为
点评：对于本题而言，第（2）小题的处理至关重要，在这里，利用点P坐标和斜率 ，
首先建立起直线 的方程，而后与抛物线方程联立，导出 与 的关系式③，则获知 与 的关
系式④，便一蹴而就，于是再利用题设条件推导点M的横坐标与 的关系便有八分胜算了。
3.在平面直线坐标系 中，抛物线 上异于坐标原点O的不同两点A、B满足 （如图）
（1）求 的重心G的轨迹方程； （2） 的面积是否存在最小值？ 若存在，请求出最小
值； 若不存在，请说明理由.
分析：注意到抛物线方程 的简单以及 重心公式的结构，容易首先对A、B坐标“设而
不解”；其次是“解而不设”.其实，若注意到 的表达式，则“解而不设”会更胜一筹。
解： （1）设直线OA的方程为 ，将其与抛物线方程 联立，解得
又由 ，设直线OB的方程为 ，同理解得
设 的重心为 ，则由三角形重心坐标公式（推导从略）得
注意到 ， 由①，②消去参数 得
即
∴所求 的重心G的轨迹方程为
（2）设 的面积为S，
由 得

当且仅当 时取等号. ∴ （当且仅当 时取得）
∴ 的面积存在最小值，且最小值为1.
点评：对有关直线与曲线的交点 “解而不设”，使解题的脉胳清晰，前途明朗，解题的
技术含量较低。因此，对于方程简单的抛物线与直 线相交问题，应注意适时的运用这一策略。
4.如图，设抛物线 的焦点为F，动点P在直线 上运动，过点P作抛物线C的两条切线
PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.
（1）求 的重心G的轨迹方程； （2）证明：
分析：注意到这里的PA、PB为切线，并且抛物线方程简单，
故考虑对A、B坐标“设而不解”；对于（2），由于（1）中已经
设出并表示出A、B、P的坐标，故首选以证明两角的余弦值相等突破。
解： （1）设切点
由 得：切线PA的方程为 ①
切线PB的方程为 ②

∴由①，②联立解得点P坐标 。 设 的重心坐标为 ，
解得： 即 ③

∴ ④ 注意到点P在直线l上， ∴ ⑤
∴④代入⑤得： ， 即：
∴所求 的重心G的轨迹方程为 .
（2）由（1）知 ， 又
∴ ， ，
且 ，
∴

∴ ∴
点评：在此证明习题的过程中，将有关点的坐标或向量的坐标分别代入 目标式两边，乃
是为了在变形之后暴露出左右两边的相同之处。因此，当目标式两边中有同一量时，可考 虑
暂时保持这一量不变，而率先变化其余部分；“保留相同部分，变形不同部分”，这是用计
算 的方法证明等式成立的基本技巧。请同学们在上述解答中品悟这一技巧的应用。
5.已知动圆过定点 且与直线 相切，其中p>0.
（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；
（2）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为α
和 β，当α、β变化且α+β为定值 时，证明：直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标。
分析：（1）定点 ，直线 ，得由直线与圆相切的充要条件知，动圆圆心M到定直线l
的距离等于圆的半径 ，据此，可运用“直接法”，也可运用“定义法”求动圆圆心轨迹方
程。
（2）注意到这 里最终须写出直线AB的方程，又直线OA、OB的方程易求，从而A、B
坐标易解，故可优先选择对点 A、B的坐标 “解而不设”。
解：（1）设动圆圆心 ，定点 ，由动点M到定点F和定直线l距离相等，且定点不在
定直线上
∴由抛物线定义知，动点M的轨迹C是以定点 为焦点，直线 为准线的抛物线
∴动点M的轨迹C的方程是：
（2）设直线OA的方程为 ，直线OB的方程为 ，则 ， .
∴由 解得： ， 由 解得：
（Ⅰ）直线AB的斜率： ∴ 直线AB的方程为：
即 ① 注意 ，
∴由①解直线AB的方程为： ②
即 ③
又注意到这里 为定值，∴由②知直线AB恒过定点
（Ⅱ）讨论：当 时， ，从而 ，由①直线AB的方程为
，此时直线AB恒过定点（2p，0）
当 ，即 时， ，这里 不合，于是综合以上讨论可知，当 时，直线AB恒过定点（-2p，
0）； 当 时，直线AB恒过定点
点评：运用这一策略解题，其难度在于由①到②的凑项；当 时，为将直线AB过定点和
建立联系，首先在直线AB的方程①的常数项部分凑出 ，则前一部分自然随之变为 ，于是
方程①摇身一变成为方程②，直线AB经过的定点便暴露在我们的视野之中了。
6.给定抛物线 ，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点.

（1）设l的斜率为1，求 与 夹角的大小； （2）设 ，若 ，求l在y轴上截距的变
化范围.
分析：当 与 的夹角为 ，以求 的值切入。 注意到（1）的目标与（2）的条件，故考虑对交点A、B的坐标“既设又解”，以取“设”
与“解 ”的两者之中，简化求解过程。
解： （1）抛物线C的焦点F（1，0），直线l的方程为 ①
设 ， 与 的夹角为 ， 将①代入抛物线方程 得：
由题设知， 为这一方程的不等实根， 显然成立
由违达定理得 ②
∴ ③ ④
∴ 由③、④解
∴ 与 夹角的大小为
（2）设直线l的方程为 ， 。
由 得
显然成立 且 ⑤
由题设 得
即 ∴ 又
∴⑥
∴由⑤、⑥解得 ⑦
于是将⑦代入 得：
解得： ⑧
当 解
∴ 在[4，9]上为增函数 ∴ 即 ∴
∴
∴ 由⑧得 或
或
因此，直线l在y轴上的截距 的取值范围为

点评：对于（2），利用向量的坐标由 导出 ，是沟通 与A、B坐标的联系，进而通过
⑤式导出k与 关系。