高中数学教案——进位制

1.3.1进位制
教学要求：了解各种进位制与十进制之间转换的规律，会利用各种进位 制与十进制之间的联
系进行各种进位制之间的转换；学习各种进位制转换成十进制的计算方法，研究十进 制转换
为各种进位制的除k去余法，并理解其中的数学规律.
教学重点：各种进位制之间的互化 .
教学难点：除k取余法的理解以及各进位制之间转换的程序框图及其程序的设计.
教学过程：
知识探究(一):进位制的概念
思考1:进位制是为了计数和运算方便而约定的记数系统，如 逢十进一，就是十进制；每七
天为一周，就是七进制；每十二个月为一年，就是十二进制，每六十秒为一 分钟，每六十分
钟为一个小时，就是六十进制；等等.一般地，“满k进一”就是k进制，其中k称为k 进
制的基数.那么k是一个什么范围内的数？
思考2:十进制使用0～9十个数字，那么二进制、五进制、七进制分别使用哪些数字？
思考 3:在十进制中10表示十，在二进制中
10表示2.一般地，若k是一个大于1的整数，则以k为基数 的k进制数可以表示为一串数
字连写在一起的形式：aa…aa.其中各个数位上的数字a，a，…，a ，a的
nn-110(k)nn-110
取值范围如何？
思考4:十进制数4528表 示的数可以写成4×103+5×102+2×101+8×100，依此类
比，二进制数110011
(2)
,八进制数7342
(8)
分别可以写成什么式子？
5432 10
110011
(2)
=1×2+1×2+0×2+0×2+1×2+1×2

7342
(8)
=7×8+3×8+4×8+2×8.
思考5:一般 地，如何将k进制数a
n
a
n-1
…a
1
a
0(k )
写成各数位上的数字与基数k的幂的乘积之和
的形式？
3210
a
n
a
n?1
?
a
1
a
0
(k)
? a
n
?k
n
?a
n?1
?k
n?1
??
?a
1
?k
1
?a
0
?k
0
思考6:在二进制中，0+0，0+1，1+0，1+1的值分别是多少？
知识探究(二):k进制化 十进制的算法
思考1:二进制数110011
(2)
化为十进制数是什么数？
543210
110011
(2)
=1×2+1×2+0×2+0×2+1×2+1 ×2 =32+16+2+1=51.
思考2:二进制数右数第i位数字a
i
化为十进制数是什么数？
a
i
?2
i?1

例1 将下列各进制数化为十进制数.
(1)10303
(4)
； (2)1234
(5)
.
420
10303
(4)
=1×4+3×4+3×4=307.
3210
1234
(5)
=1×5+2×5+3×5+4×5=194.




知识探究(三):除k取余法
思考1:二进制数 101101
(2)
化为十进制数是什么数？十进制数89化为二进制数是什么数？
思考2:上述化十进制数为二进制数的算法叫做除2取余法，转化过程有些复杂，观察下面
余数
的算式你有什么发现吗？
89
2
1
44
2

0
22
2
0
2
11

1
2
5
1
2
2

0
2
1

1
0
思考3:上述方法也可以推广为把十 进制数化为k进制数的算法，称为除k取余法，那么十
进制数191化为五进制数是什么数？
余数
191
5
191=1231
(5)
5
38
1

7
3
5

2
1

5

1
0

例2 将十进制数458分别转化为四进制数和六进制数.
余数
458
余数
4

458
6
2
114
4
2

676
2
4
28
4
6
12

0
7
4
6
2
0

3
4
1
2
0
1
458=13022
(4)
=2042
(6 )

0

例3 将五进制数30241
(5)
转化为七进制数.

余数
30 241
(5)
=3×5+2×5+4×5+1=1946.
1946
7

7
278
0

5
7
39

4
7
5

5
0
30241
(5)
=5450
(7)



例4 已知10b1(2)=a02
(3)
,求数字a，b的值.
3
10b1
(2)
=1×2+b×2+1=2b+9.
2
a02
(3)
=a×3+2=9a+2.
所以2b+9=9a+2，即9a-2b=7.
故a=1，b=1.

小结作业
1.利用除k取余法，可以把任何一个十进制数化为k进制数，并且操作简单、实用.
2.通 过k进制数与十进制数的转化，我们也可以将一个k进制数转化为另一个不同基数的k
进制数.
作业：习案、学案 十

42