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人教版高中数学《充分条件与必要条件》教学设计(全国一等奖)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-17 11:38
tags:高中数学教案

全国高中数学联赛吉林初赛-浙江省2018高中数学学几本



人教A版--选修2-1--第一章《常用逻辑用语》
1.2.1 充分条件与必要条件
一、教学内容解析:
1. 教学内容:

“充分条件与必要条件”是在
p?q
时,对
p

q
之间关系的一种描述,是一个
数学概念.“
p?q
”与“
p

q
的充分条件”、“
q

p
的必要条件”之间是同一逻辑
关系的三种不同描述形式,前者是符号表示,后两者是文字表示.通过对命题真假的判
断,研究 命题中
p

q
之间的关系,所以判断充分条件与必要条件的关键是分清条件< br>与结论,再判断命题的真假.考虑到充分条件与必要条件的相对性,在判断上还需关注
方向性.另 外,充分条件与必要条件和集合知识的联系在丰富知识外延拓展的同时,从
“形”上(韦恩图表示集合关 系)帮助我们进一步理解充分条件与必要条件的内涵.

2. 知识地位:
“充分条件与必要条件”是高中人教A版《数学》选修2-1第一章《简单逻辑用
语》第二节的内容.逻 辑是研究思维规律的学科,逻辑用语在数学中具有重要的作用.
学习数学需要全面准确地理解概念,正确 地进行表述、判断和推理,这些都离不开对
逻辑知识的掌握和运用.而“充分条件与必要条件”是数学中 常用的逻辑用语,在数学
学科中大量的命题用它们来叙述“.充分条件与必要条件”是在前一节“命题及 其关系”
的基础产生的新知,也为后续“充要条件”的学习提供了保障.另外,本节课的学习可
以对我们已经学习过的数学知识加以巩固和提升,同时能够体现出逻辑用语的工具价
值,也可以更好地应 用于今后的学习.
3. 思想方法:
充分条件与必要条件的知识学习过程 中蕴含着数学发现中的观察、归纳、总结等
方法,在知识的形成与运用中还体现了数学思维的合理性与严 密性,以及数形结合的
数学思想,这些都是数学的精髓.
4. 教学重点:
充分条件与必要条件.
5. 教学难点:
必要条件概念的理解.

1



二、教学目标设置:
1. 理解充分条件、必要条件的意义; 能正确判断是否是充分条件或必要条件.
2. 通过对充分条件与必要条件的研究,使学生掌握有关的逻辑知识,以保证推理
的合理性和论证的严密性.
3. 通过以学生为主体的教学方法,让学生自己构造数学命题,体验获取知识的感
受;
4. 通过对充分条件和必要条件与集合间的联系的教学,建立概念间的多元联系,
培养同学们 多角度审视问题的习惯.
三、学生学情分析:
1.教学有利因素:
学生在初中阶 段已经接触过命题、真假命题,高中教材在本节课教学之前安排了
命题、命题的形式(若
p
q
)和四种命题的学习,以及学生日常生活中已有大量逻
辑经验的积累都为本节 课“充分条件与必要条件”概念的学习奠定了良好的基础.
淮南三中高二实验班学生基础较好,数学思 维活跃,具备一定的观察、辨析、抽
象概括和归纳类比等学习能力.
2. 教学不利因素:
“充分条件与必要条件”是密不可分的、相对的两个概念,以学生已有的知识基
础对“充分条件 ”的理解较为容易,但对“必要条件”概念的理解较为困难.另外,充
分条件与必要条件的是一个开放性 的知识交汇点,往往涉及其它数学知识或者其它学
科知识,对学生其它知识的掌握也有一定要求.
3. 难点突破策略:
通过较为简单易懂的例题、练习、学生活动举例,积累足够的充分条件 、必要条
件的逻辑体验;循序渐进,再从充分条件、必要条件与集合间的联系上,结合集合的
韦 恩图表示,直观、形象的理解“必要条件”;最后再从逆否命题与原命题同真假的
角度理性认识“必要条 件”的概念,帮助学生准确而深刻的理解充分条件与必要条件
的概念.
四、教学策略分析:
鉴于以上分析,为达成课堂教学目标,突出重点、突破难点,课堂教学主要贯彻
与执行以下思路 :

2



1. 坚持“师为主导,生为主体”的教学理念
本节课的教学,教师更多的要站在一个引路人的角度,告诉学生该向哪里走,怎
么走,让他们自 己去走,让学生更多的亲身体验数学的发现之美.通过独立思考、主动
探究、合作交流,使学生切实学好 数学知识,提高数学能力.
2. 问题引领、启发诱导,注重对学生的思维训练
教 师通过问题引领、启发诱导,引导学生多角度的审视问题,让学生从不同角度
去看待问题,分析问题,思 考问题,从而可以使得对一个具体问题理解的更准确、更
全面、更深刻.在充分条件与必要条件的概念教 学中,为了更好的理解概念,可以通过
具体问题引导学生从表达形式(符号表示与文字表示)、通俗语言 的描述(有它就行
和缺它不行)、不同概念间的联系(充分条件与必要条件和集合间的联系)来辅助概< br>念教学.
3. 课堂教学层次鲜明、衔接自然,逐步培养学生数学学习能力
整个教学过程划分为七个环节:问题引入、铺垫过渡、新知建构、巩固新知、能
力提升、牛刀小试、课堂 小结.以问题为主线,为了解决问题,学习新知识,掌握了新
知识再来解决问题.这样就把几个环节很自 然地联系在一起,也为学生对新事物的普遍
认识提供了一般性的指导.
五、教学过程:
1. 问题引入:
问题1:同学们,前面我们讨论了“若
p
,则
q
”形式的命题,其中有的命题是
真命题,有的命题是假命题 ,你能分别举出一些这样的命题的例子吗?
【设计意图】从学生已有知识体系出发提出问题,在学生的 最近发展区构建新知,
符合学生普遍认知规律.另外,对于充要条件和必要条件的学习涉及命题的真假, 通
过具体的例子有助于学生对这两个概念的理解.
2. 铺垫过渡:
“若
p
,则
q
”为真命题,是指由
p
经过推理可以得出q
.这时,我们就说,由
p
可推出
q
,数学讲究简洁美,用符号 语言,记作
p?q
.
例如: “若
x?1
,则
x?0
”为真命题, 即:“
x?1?x?0
”;
【设计意图】通过对命题的新的表述方式的引入,意在顺利实现由“已有的知识

3



结构”转入“新知构建”的过程.
3. 新知建构 下面我们探究命题中条件与结论之间的关系.“若
p
,则
q
”为真命题, 由于
p

成立可以使得
q
成立,我们就称
p
q
的充分条件,同时称
q

p
的必要条件.
定义:一 般地,如果有
p?q
,称
p

q
的充分条件,
q< br>是
p
的必要条件.
结合学生之前举例,直观感知概念.
从定义可见 ,“充分条件”、“必要条件”是在“若
p
,则
q
”为真命题时,对命
题中的
p

q
之间关系的一种描述,
p

q的充分条件,
q

p
的必要条件.
例1、下列“若
p
,则
q
”形式的命题中,哪些命题中的
p

q
的充 分条件?
(1)若
x?3
,则
x?2

(2)若
x?1
,则
x
2
?4x?3?0

(3)若
f(x)?x
,则
f(x)

?
??,??
?
上为增函数;
追问问题:对于命题(1)、(2)、(3),我们可不可以称
q

p
的必要条件呢?
【设计意图】通过实例分析,将新知(充分条件、必要 条件的概念)的构建过程
转化为已有知识(命题真假的判断)的应用过程.
4. 巩固新知
练习1、判断下列问题中,
p

q
的充分条件吗?
(1)
p
: 两圆面积相等;
q
: 两圆半径相等;
(2)
p
:
x?a
2
?b
2

q
:
x?2ab
;
(3)
p
:
a?b

q
:
ac?bc

(4)
p
:
x
为无理数
q
:
x
2
为无理数;
问题:像在(3)(4)两个问题中
p

q
的关系应如何描述?
【 设计意图】概念的否定是概念理解的重要方面,让学生在直观理解的基础上给
出“充分条件”和“必要条 件”的否定形式.以帮助学生全面认识和理解概念.

4



练习2、判断下列各组问题中,
q

p
的必要条件吗?
(1)
p
:
x?3

q
:
x?5

(2)
p
:
a?b

q
:
ab?0

(3)
p
:同位角相等
q
:两直线平行 ;
(4)
p
:四边形对角线相等
q
:四边形是平行四边形
【设计意图】提升学生的认识水平,试图从不同角度帮助同学们理解“充分”和
“必要”.
总结例1、练习1、练习2:
(1)判断
p
是不是
q
的充分条件,
q
是不是
p
的必要条件,都是在判断“若
p


q
”是否为真命题;
(2)“
p?q
”与“
p

q
的充分条件”,“
q

p
的 必要条件”之间是“三种表述,
一个意思”.
问题2:在什么条件下,我们能说q

p
的充分条件?
p

q
的必要条件?
例2、用“充分条件”或“必要条件”填空:
(1)
a?5

a?0
的______________;
(2)四边形的对角线互相垂直是四边形为菱形的________.
【设计意图】本例的设计和应用 主要目的有:(1)强调“推出”符号的方向性;
(2)体会“充分条件”和“必要条件”的不同表述方 式;(3)让学生初步体会充分
条件与必要条件的四种不同类型,为下节课提前准备.
课堂活 动:请同学们自己举例给出
p

q
并判断其二者之间存在的是否是充分条件或必要条件的关系.
【设计意图】让学生自主构建知识网络,加深对充分条件与必要条件的认识.
教师补充:p:x?Z,q:x?R
,
p?q

p

q
的 充分条件,
q

p
的必要条件)
【设计意图】为讨论充分条件、必要条件与集合的联系做铺垫.
思考: 充分条件和必要条件与集合之间的联系

5



已知
p:x?A,q:x?B
,且
p?q
,集合
A

B
间之间有怎样的关系?



(1)在
A
中,一定在< br>B
中:
p
成立,
q
一定成立;有它即可.
(2)不 在
B
中,一定不在
A
中:
q
不成立,
p
一 定不成立;缺它不行.
【设计意图】从集合关系的角度帮助同学进一步理解“充分条件”和“ 必要条件”,
并建立两者之间的联系,在提升学生对新知识的理解的同时,还可以使得学生对数学
知识的掌握达到融会贯通的效果.
历史文化:我国战国时期墨子所著《墨经》对充分条件、必要条件的描述:
充分条件:“有之则必然,无之则未必不然”
必要条件:“无之则必不然,有之则未必然 ”
【设计意图】通过历史文化的学习,增强学生学习数学的兴趣
和激发对民族文化的热爱的同时, 进一步加深对新知的全面认识.
理性认识:追根溯源,其实对必要条件的理解,还可以从逆否命题的角度看待:
原命题“若< br>p

q
”为真命题,其逆否命题“若
?q

?p” 也为真命题.
即“
q
不成立,则
p
一定不成立”.
例如: “小明是淮南人,则小明是安徽人”;
“小明是淮南人”是“小明是安徽人”的充分条件.
“小明不是安徽人,则小明不是淮南人”.
“小明是安徽人”是“小明是淮南人”的必要条件.
【设计意图】通过原命题与逆否命题的真 假联系,从理性上认识必要条件这一难
懂的概念认识,加深学生对“必要”二个字的理解,实现难点的有 效突破.
5. 能力提升
例3、 填空(写出一个满足题意的即可)

6
A B
A、B



(1)“
ab?0
”的一个充分条件是 ;
(2)“
x?3
”的一个必要条件是 .
练习1、( 1)“
x?a
”是“
x?2
”的充分条件,求实数
a
的取值 范围;
(2)“
x?a
”的一个充分条件是“
x?2
”,求 实数
a
的取值范围.
变式思考:将上述练习中“充分条件”改为“必要条件”,结果又会如何?
【设计意图】(1) 引导学生观察问题的问法和之前例题有无不同,培养学生的观
察能力;(2)从条件判断填空到开放的填 写条件有助于彰显学生对问题的理解程度,
通过这组练习,可以了解学生“会了什么?”、“还存在什么 问题?”,使后面的教学
更有针对性!
6. 牛刀小试
练习:判 断下列各组问题中,
p
是不是
q
的充分条件以及
p
是不是< br>q
的必要条件?
(1)
p
:
x?x

q
:
x
2
?0

(2)
p
:
tan
?
?1

q
:
?
?
?
4

(3)
p
: 直线
l
与平面
?
内的两条相交线垂直
q
: 直线
l
与平面
?
垂直;
(4)
p
:函数
f(x)
满足
f(0)?0

q
: 函数
f(x)
是奇函数.
结合练习,引导学生归纳如下:从 练习中我们发现在
p

q
之间存在以下几种关系:
(1)
p?q

q?
?
p
; (2)
p?
?
q

q?p

(3)
p?q

q?p
; (4)
p?
?
q

q?
?
p
.
对于这几种关系我们应如何描述呢?下节课,我们将解决这一问题.
【设计意图】反馈 练习的设计,既帮助学生全面掌握本节课的学习内容,再次巩
固所学知识和方法,也在前面例3的基础上 明确了充要条件涉及的四种类型,为顺利
进入下节课的学习打下坚实的基础.
7. 课堂小结
师生共同回顾本节课的教学过程,小结如下内容:
(1)知识内容:
①充分条件与必要条件的概念;
②充分条件与必要条件的判断;

7



③充分条件和必要条件与集合的联系.
(2)思想方法:
学会观察、归纳、总结,进行探索发现,注意逻辑推理的合理性和严密性.
【设计意图】再现课堂,小结提升,有助于学生明确学习的重点.
8. 作业布置
(1)(必做题)课本第12页A组1、2 ,B组1;
(2)(选做题)判断下列命题的真假:



a?b?0< br>”是“
a
2
?b
2
”的充分条件;
②“
a?b
”是“
ac
2
?bc
2
”的必要条件;
③“
A?B
”是“
A?B
” 的必要条件;(其中
A,B
是集合)
④“函数
f
?
x
?
是奇函数”是“
f
?
x
?
为幂函数” 的充分条件.
六、板书设计:

1.2.1充分条件与必要条件

一、定义: 二、与集合的联系: 三、例题(引例):

如果
p?q
,则称:
p:x?A,q:x?B

p

q
的充分条件; 且
p?q
,则
A?B.




q

p
的必要条件.



七、教学设计说明:
“ 充分条件与必要条件”作为高中数学的重点内容、难点内容.我希望通过本节课
的教学,让学生准确地理 解这一概念,能简单的运用这一知识,并希望能够通过较为
愉悦的课堂环境,使学生保持浓厚的学习兴趣 ,不要产生畏难情绪.课后,我将根据本
节课实际教学过程中出现的问题,在下一课时的教学中作出调整 和弥补,并在下一课
时中,加强对学生运用知识解决问题环节的训练.



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《充分条件与必要条件》教学点评

本节课教学主题是充分条件与必要条件概念的理解、判断以及简单应用.代银老
师对教学内容的 理解深刻、透彻,对学情的分析详尽、细致,教学方法灵活多样,教
学思路清晰、自然,教学重点突出, 教学难点得到有效突破,课堂教学效果显著.本
节课的教学主要有以下五个亮点:
1. 尊重学生,关注学生学习体验
本节课采用问题引入,从学生的最近发展区搭起“台阶”,通过对学生自 己所举
例子的研究,分析构建新知,学生以“主人翁”的角色“身临其境”的体验了知识的
形成 过程.在学生对新知识有足够认知的基础上,将课堂交给学生,让学生自己举例,
安排课堂活动,真正体 现了教师为主导、学生为主体的科学理念.
2. 妙问诱导,关注学生思维训练
课堂中许多 看似不经意的启发性问题(或是追问),适时的打破原有“平衡”,引
领学生寻找新的“平衡点”,不显 山不露水的揭示了概念的本质,起到了润物细无声
的教学效果,加深了学生对概念的深层理解,创新了思 维,提高了认识.
3. 注入文化,关注学生情感教育
在对概念的理解有足够认识的基础上 ,教师介绍我国战国时期《墨经》对两个概
念的描述,通过古代精辟的概括性语言加深学生对概念理解的 同时,领略我国数学历
史文化的博大精深,增强了学生的民族自豪感,提高了学生学习兴趣.
4. 循序渐进,渗透数学思想方法
将充分条件与必要条件与集合建立联系,并通过韦恩图直 观认识概念.另外,从
原命题与逆否命题的角度,理性论证了概念的内在涵义,帮助学生从“形”“数” 的
不同维度理解概念.有效突破教学难点,加强了对学生数学思想、方法的渗透.
5. 巧设伏笔,串联章节知识网络
考虑到下节内容要带领学生学习“充要条件”,教师在“巩固新知”和“ 小试牛
刀”中分别安排了例2和课堂练习题. 这些习题的安排检验了本节所学的同时,也为
下 一节充要条件的学习做好铺垫、打下基础,可以很好的将本章知识继续“串”下去.
教师能站在系统的高 度实施教学,体现了教师教学的“大局观”.


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