高中数学不等式的公式-项城高中数学时老师
空间向量
考纲导读
1.理解空间向量的概念;掌握空间向量的加法、减法和
数乘.
2.了解空间向量的基本定理;理解空间向量坐标的概念;掌握空间向量的坐标运算.
3
.掌握空间向量的数量积的定义及其性质;掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式;掌握空间两
证明
平行与垂直
定义、加法、减法、数乘运算
空间向量 数量积
坐标表示:夹角和距离公式
求空间角
求距离
点间的距离公式.
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理解空间向量的夹角的概念;掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律;了解空
间向量的数
量积的几何意义;掌握空间向量的数量积的坐标形式;能用向量的数量积判断向量的共线与垂
直.
第1课时 空间向量及其运算
基础过关
空间向量是平面向量的推广.在空
间,任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量.因此,空
间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量
对应运算的推广.
本节知识点是:
1.空间向量的概念,空间向量的加法、减法、数乘运算和数
量积;
(1) 向量:具有 和
的量.
2.线性运算律
(2) 向量相等:方向 且长度
.
(3) 向量加法法则: .
(4)
向量减法法则: .
(5) 数乘向量法则:
.
3.共线向量
(1) 加法交换律:a+b=
.
(2) 加法结合律:(a+b)+c= .
(3)
数乘分配律:
?
(a+b)=
.
(1)共线向量:表示空间向量的有向线段所在的直线互相 或
.
(2) 共线向量定理:对空间任意两个向量a、b(b
?
0),a∥b等价于存在
实数
?
,使 .
(3) 直线的向量参数方程:设直线l过定
点A且平行于非零向量a,则对于空间中任意一点O,点P在l
上等价于存在
t?R
,
使 .
4.共面向量
(1) 共面向量:平行于
的向量.
(2) 共面向量定理:两个向量a、b不共线,则向量P与向量a、b共面的充要条件是存在
实数对(
x,y
),
使P
.
共面向量定理的推论:
.
5.空间向量基本定理
(1) 空间向量的基底:
的三个向量.
(2) 空间向量基本定理:如果a,b,c三个向量不共面,那么对空间中任意一个向量
p,存在一个唯一
的有序实数组
x,y,z
,使
.
空间向量基本定理的推论:设O,A,B,C是不共面的的四点,则对空间中任意一点P,都存在唯一
的
有序实数组
x,y,z
,使
.
6.空间向量的数量积
(1) 空间向量的夹角:
.
(2) 空间向量的长度或模: .
(3)
空间向量的数量积:已知空间中任意两个向量a、b,则a·b=
.
空间向量的数量积的常用结论:
(a) cos〈a、b〉= ;
(b) ?a?
2
= ;
(4)
空间向量的数量积的运算律:
(a) 交换律a·b= ;
(c) a
?
b
?
.
(b) 分配律a·(b+c)= .
例
典型
例题
1.已知正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D<
br>1
中,点F是侧面CDD
1
C
1
的中心,
若
AF?AD?xAB?yAA
1
,求x-y的值.
解:易求得
x?
y?,?x?y?0
1
2
变式训练1. 在平行六面体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中,M为AC与BD的交
点,若
A
1
B
1
?
a,
A
1
D<
br>1
?
b,
A
1
A?
c,则下列向量中与
B<
br>1
M
相等的向
量是
A.?a+b+c B.a+b+c
C.a?b+c
解:A
1
2
1
2
1
2<
br>1
2
1
2
1
2
(
)
A
1
B
1
C
1
D.?a?b+c
1
2
1
2
A
D
B
C
例2. 底面为正三角形的斜棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,D为AC的中点,
求证:AB
1
∥平面C
1
BD.
证明:记
AB?a,AC?b,AA
1
?c,
则
∴
DB?DC
1
?a?c?AB
1
,∴
AB1
,DB,DC
1
AB
1
?a?c,DB?AB?AD?a?<
br>11
b,DC
1
?DC?CC
1
?b?c
22
共面.
∵B
1
?
平面C
1
BD, AB
1
平面C
1
BD.
变式训练2:正方体ABCD-EFGH中,M、N分别是对角线A
C和BE上的点,且AM=EN.
(1) 求证:MN∥平面FC;
(2) 求证:MN⊥AB;
(3)
当MA为何值时,MN取最小值,最小值是多少?
解:(1)
设
NBMC
??k,则MN?(k?1)BC?kBF.
EBAC
(2)
MN?AB?(k?1)BC?AB?kBF?AB?0.
(3) 设正方体的边长为a,也即
AM?
1
AC时
,
MN
2
min
?
2
a
2
例3. 已知四面体ABCD中,AB⊥CD,AC⊥BD,
G、H分别是△ABC和△ACD的重心.
求证:(1) AD⊥BC; (2)
GH∥BD.
证明:(1) AD⊥BC
?
AD?BC?0
.因为AB
?
CD
?AB?CD?0
,
AC?BD?AC?BD?0
,而AD?BC?(AB?BD)?(BD?DC)?0
.
所以AD⊥BC.
(2)
设E、F各为BC和CD的中点.欲证GH∥BD,只需证GH∥EF,
GH?GA?AH
=<
br>2
EF
.
3
2
(
EA?AF
)=
3
变式训练3:已知平行六面体
ABCD?A
1
B
1
C1
D
1
,E、F、G、H分别为棱
A
1
D
1<
br>,D
1
C
1
,C
1
C和AB
的中点.求证:E、F、G、H四点共面.
解:
HG?HC?CG
=
HC?GC1
=
HC?GF?FC
1
=
A
1
F?FC1
?GF
=
2EF?GF
,
所以
EF,EG,EH共面,即点E、F、G、H共面.
例4. 如图,平行六面体AC
1
中,AE=3
EA
1
,AF=FD,AG=
GB
,过E、F、G的平面与对角线AC
1
交于
点P,求AP:PC
1
的值.
解:设
AP?mAC
1
4
3
1
2
C
1
D
1
C
P
D
F A
E
B
1
A
1
B
G
∴
AP?3mAG?mAE?2mAF
p>
又∵E、F、G、P四点共面,∴
3m?m?2m?1
∴
m?3
∴AP︰PC
1
=3︰16
19
4
3
变式训练4:已知空间四边形OABC中,M为BC的中点,N为AC的中点,P为OA的中点,Q为OB的中点,若AB=OC,求证
PM?QN
.
1
证明:法一:
OM?
(OB?OC)
2
?PM?PO?OM?
1
(AB?OC)
2
法二:
PM
·
QN
=(
PQ
+
QM
)·
(
QM
+
MN
)
=
(AB?OC)
·
(O
C?BA)
=
(OC?AB)
=0
1
4
22
12
1
2
故
PM?QN
小结归纳
1.立体几何中有关垂
直和平行的一些命题,可通过向量运算来证明.对于垂直,一般是利用
a⊥b
?
a·b
=0进行证明.对于平行,一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明.
2.运用向量求解距离问题,
其一般方法是找出代表相应距离的线段所对向量,然后计算这个向量对应
的模.而计算过程中只要运用好
加法法则,就总能利用一个一个的向量三角形,将所求向量用有模和
夹角的已知向量表示出来,从而求得
结果.
3.利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便.其一般方法是将所求的角
转化为
求两个向量的夹角,而求两个向量的夹角则可以利用公式cosθ=
a?b
ab
.
4.异面直线间的距离的向量求法:已知异面直线l
1
、l
2
,AB为其公垂线段,C、D分别为l
1
、l
2
上的任意
一
点,
n
为与
AB
共线的向量,则|
AB
|=
|CD
?n|
|n|
.
5.设平面α的一个法向量为
n
,点P是平面α外一
点,且P
o
∈α,则点P到平面α的距离是d=
|P
o
P?n||n|
.
第2课时 空间向量的坐标运算
基础过关
设a=
(a
1
,a
2
,a
3
)
,b=
(b
1
,b
2
,b
3
)
(1) a±b=
(2)
?
a= .
(3) a·b=
.
(4) a∥b
?
;a
?
b
?
.
(5) 设
A?(x<
br>1
,y
1
,z
1
),B?(x
2
,y
2
,z
2
)
则
AB
=
,
AB?
.
AB的中点M的坐标为
.
典型例题
例1.
若
a
=(1,5,-1),
b
=(-2,3,5)
(1)若(k<
br>a
+
b
)∥(
a
-3
b
),求实数k的值;
(2)若(k
a
+
b
)⊥(
a
-3
b),求实数k的值;
(3)若
ka?b
取得最小值,求实数k的值.
解:(1)
k??
;
(2)
k?
1068
;
(3)
k??
327
1
3
ruuur
uuuru
uuruuuruuuruuur
uuu
OAAC
变式训练1. 已知
O为原点,向量
OA?
?
3,0,1
?
,OB?
?
?1,1,2
?
,OC?OA,BC
∥,求.
uuuruuur
解:设
OC?
?
x,y,z
?
,BC?
?
x?1,
y?1,z?2
?
,
ruuuruuur
uuuruuuruuur
uuu
uuuruuur
∵
OC?OA,BC
∥
OA
,∴
OC?OA?0
,
BC?
?
OA
?
?
?R
?
,
?
3x?z?0,
?
x?1?3
?
,
?
?
?
3x?z?0,
∴
?
,即
?
?
?
?
x?1,y?1,z?2
?
?
??
3,0,1
?
?
y?1?0,
?
?
z?2?
?
.
7211
解此方程组,得
x??,y?1,z?,
?<
br>?
。
101010
uuur
?
7
ruu
uruuur
?
3711
?
21
?
uuu
,1,<
br>?
,
AC?OC?OA?
?
?,1,
?
。 ∴
OC?
?
?
?
1010
??
1010
?
例2. 如图,直三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
,
底面
?ABC
中,CA=CB=1,
?BCA?90
?
,棱
AA
1
?2
,M、N分别
A
1
B
1
、A<
br>1
A是的中点.
(1) 求BM的长;
(2)
求
cos?BA
1
,CB
1
?
的值;
(3) 求证:
A
1
B?C
1
N
.
解:以C为原点建立空间直角坐标系
O?xyz
.
(1) 依题意得B(0
,1,0),M(1,0,1).
?BM?(1?0)
2
?(0?1)
2?(1?0)
2
?3
.
(2) 依题意得A
1
(1,
0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B
1
(0,1,2).
x
A
1
M
A
C
C
1
N
z
B
1
B
y
?cos?BA
1
,CB
1
??
BA
1
?CB1
BA
1
?CB
1
?
30
.
10
11
22
11
22
(3) 证明:依题意得C
1
(0,0,2),N
(,,2),?A
1
B?(?1,1,?2),C1
N?(,,0)
.
变式训练2. 在四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD
为矩形,侧棱PA⊥底面ABCD,AB=
3
,BC=1,PA
=2,E为PD的中点
.
(1) 在侧面PAB内找一点N,使NE⊥面PAC,并求出N点到AB和AP的距离;
(2) 求(1) 中的点N到平面PAC的距离.
解:(1)
建立空间直角坐标系A-BDP,则A、B、C、D、P、E的坐标分别是A(0, 0,
0)、B(
3
, 0, 0)、
A
C(
3
, 1,
0)、D(0, 1, 0)、P(0, 0, 2)、E(0,
PAC,
∴
?<
br>?
?
NE?AP?0
?
?
NE?AC?0
1
2
P
E
·
D
B
C
,
1),依题设N(x, 0, z),则
NE
=(-x,
1
2
,
1-z),由于NE⊥平面
1
?
?
z?1?0
(?x,
,1?z)?(0,0,2)?0
?
??
2
即
?
?
?
1
1
?3x??0
?
(?x,,1?z)?(3,1,
0)?0
?
2
?
?
2
?
?
3
?<
br>x?
?
?
6
?
z?1
?
,即点N的坐标为(
3
6
, 0, 1),
从而N到AB、AP的距离分别为1,
3
6
.
(2)
设N到平面PAC的距离为d,则d=
|NA?NE|
|NE|
331,0,1)?(?,,0)|
13
662
??3?
1212
31
|(?,,0)|
62
=
|(
.
例3. 如图,在底面是
棱形的四棱锥
P?ABCD
中,
?ABC?60
?
,PA?AC?a
,
PB?PD?2a
,点E在
PD
P
上,且
PE
:
ED
=2:1.
(1) 证明
PA?
平面
ABCD
;
(2)
求以AC为棱,
EAC
与
DAC
为面的二面角
?
的大小;
(3)
在棱PC上是否存在一点F,使
BF
∥平面
AEC
?证明你的结论.
解:(1)证明略;
(2)易解得
?
?30
?
;
B
C
A
E
D
(3)解 以A为
坐标原点,直线
AD,AP
分别为y轴、z轴,过A点垂直于平面PAD的直线为x轴,建立空间直角坐标系(如图).由题设条件,相关各点的坐标为
所以
AE?
(0,
a,a)
,
AC?
(
BP?
(?
2
3
1<
br>3
3131
a,a,0)
,
AP?
(0,0,a),
PC?
(a,a,?a)
2222
3131
a,a,a)
,设点F是棱
PC
上的点,
PF?
?
PC?
(
?<
br>a,
?
a,?
?
a)
,其中
0?
?
?1
,则
2222
?
33
a(1?
?
)?a
?
1
?
22
?
31
12
?
1
B
F?BP?PF?(a(
?
?1),a(1?
?
),a(1?
?))
.令
BF?
?
1
AC?
?
2
AE
得
?
a(1?
?
)?a
?
1
?a
?
2
23
22
?
2
1
?
a(1
?
?
)?a
?
2
?
3
?
解得
?<
br>?,
?
1
??,
?
2
?
1
2
1
2
3113
,即
?
?
时,
BF??AC?AE
.亦即,F是PC的中点时,
BF,AC,AE
共面,
2222
又<
br>BF?
平面
AEC
,所以当F是PC的中点时,
BF
∥平面<
br>AEC
.
例4. 如图,多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEFG所截而得
,其中AB=4,BC=1,BE=3,CF
=4.
(1)
求
EF
和点G的坐标;
(2) 求GE与平面ABCD所成的角;
(3)
求点C到截面AEFG的距离.
解:(1) 由图可知:A(1,0,0),B(1,4,0),
E(1,4,3),F(0,4,4) ∴
EF?(?1,0,1)
又∵
AG?EF
,设G(0,0,z),则(-1,0,z)
=(-1,0,1) ∴z=1 ∴G(0,0,1)
(2)平面ABCD的法向量
DG?(0,0,1).
GE?(1,4,2)
,设GE与平面ABCD成角为
?
,则
F
Z
G
D
A
x
B
E
C
y
cos(
?
2
?
?
)?
DG?GE<
br>|DG|?|GE|
?
221
21
∴
?
?arcsi
n
221
21
(3)设
n
0⊥面AEFG,
n
0
=(x
0
,y
0
,z0
)
∵
n
0
⊥
AG
,
n
0
⊥
AE
,而
AG
=(-1,0,1),
AE
=(0
,4,3)
?
x
0
?z
0
?
?x
0?z
0
?0
3
?
?
?
?n
0
?(z
0
,?z
0
,z
0
)
∴
?
3
4
?
4y
0
?3z
0
?0
?
y
0
??z
0
4
?
P
A
G
F
D
取z
0
=4,则
n
0
=(4,-3,4)
B
E
C
∵
CF?(0,0,4),?d?
|CF?
n
0
|
|n
0
|
?
1641
41
即点C到截面AEFG的距离为
1641
.
41
变式训练4. 如图四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是平行四边形,PG⊥平面AB
CD,垂足为G,G在AD
上,且PG=4,
AG?
1
GD
,BG⊥GC,GB=GC=2,E是BC的中点.
3
(2)求点D到平面PBG的距离; (1)求异面直线GE与PC所成的角的余弦值;
(3)若F点是棱PC上一点,且DF⊥GC,求
PF
的值.
FC
GC、GP
为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则B(2,0,0),C(0,解:(1)以G点
为原点,
GB、
2,0),
P(0,0,4),故E(1,1,0),
GE
=(1,1,0),
PC<
br>=(0,2,4)。
cos?GE,PC??
GE?PC
|GE|?|PC|<
br>?
210
,
?
10
2?20
∴GE与PC所成的余弦值为
10
.
10
(2)平面PBG的单位法向量n=(0,±1,0) .
3333
3
AD?BC?(?,,0)
,∴点D到平面PBG的距离为
|GD?
n
|=.
4422
2
3333
(3)设F(0,y,z),则
DF?(0,y,z)?(?,,0)?(,y?,z)
。 <
br>2222
33
∵
DF?GC
,∴
DF?GC?0
,即
(,y?,z)?(0,2,0)?2y?3?0
,
22
3
3
∴
y?
,
又
PF?
?
PC
,即(0,,z-4)=λ(0,2,-4),
∴z=1,
2
2
∵
GD?
35
31
PF
3
故F(0,,1) ,
PF?(0,,
?
2
?3
。 <
br>?3),FC?(0,,?1)
,∴
PC
22
2
5
2
小结归纳
对于以下几类立体几何问题:(1) 共线与共面问题;(2)
平行与垂直问题;(3) 夹角问题;(4) 距离
问题;(5) 探索性问题.
运用向量来
解决它们有时会体现出一定的优势.用空间向量解题的关键步骤是把所求向量用某个合适
的基底表示,本
节主要是用单位正交基底表示,就是适当地建立起空间直角坐标系,把向量用坐标表
示,然后进行向量与
向量的坐标运算,最后通过向量在数量上的关系反映出向量的空间位置关系,从
而使问题得到解决.在寻
求向量间的数量关系时,一个基本的思路是列方程,解方程.