人教版高中数学选修2-2教学案1.4：优化问题举例(学生版)

优化问题举例
导数与函数的极值
___________________ __________________________________________________ _____________
________________________________ __________________________________________________
1、结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件
2、理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值
一、导数与函数的极值：
1．观察图1.3.8 表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数
h(t)
= -4.9t
2
+6.5t+10的图象，
回答以下问题
（1）当t=a时， 高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数
h
?
t
?
在t=a处的 导数是多少呢？
（2）在点t=a附近的图象有什么特点？
（3）点t=a附近的导数符号有什么变化规律？
共同归纳: 函数h(t)在a点处h< br>
(a)=0,在t=a的附近,当t＜a
h
时,函数
h
?t
?
单调递增,
h
'
?
t
?
＞0; 当t＞a时,函数
h
?
t
?
单调递减
o
,
a
h
'
?
t
?
＜0,即当t在a的附近从小到大经过a时 ,
h
'
?
t
?
先正后负,且
h
'
?
t
?
连续变化,于是h

(a)=0.
t
3、对于这一事例是这样，对其他的连续函数是不是也有这种性质呢？
<二>、探索研讨
1、观察1.3.9图所表示的y=f(x)的图象，回答以下问题：
（1）函数y=f(x)在a.b点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?
（2） 函数y=f(x)在a.b.点的导数值是多少?
（3）在a.b点附近, y=f(x)的导数的符号分别是什么，并且有什么关系呢?
2、极值的定义:
我们把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值；
点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极大值。
极大值点与极小值点称为极值点, 极大值与极小值称为极值.
类型一：函数的单调性与导数：
例1、求函数
f
?
x
?
?
1
3
x
3
?4x?4
的极值
练习：
1．求下列函数的极值.
(1)
y
=
x
2
－7
x
+6 (2)
y
=
x
3
－27
x
类型二 求含字母参数的函数的极值
例2.（06安徽卷）设函数
f
?
x
?
?x
3
?bx
2
?cx(x?R)
，已知
g(x) ?f(x)?f
?
(x)
是奇函数。
（Ⅰ）求
b
、
c
的值。
第 1 页

（Ⅱ）求
g(x)
的单调区间与极值。
举一反三：(201 9年全国高考题)设a为实数,函数
(Ⅰ)求
f(x)
的极值.
(Ⅱ)当a在什么范围内取值时,曲线
y?f(x)与x
轴仅有一个交点.
考点二 求函数的最值
例3.已知a为实数，
f(x)?(x?4)(x?a)

（1）若
f
?
(?1)?0
，求
f(x)
在[－2，2] 上的最大值和最小值；
（2）若
f(x)
在（—∞，—2]和[2，+∞）上都是递增的，求a的取值范围.
举一反三：1.（06浙江卷）
f(x)?x?3x?2
在区间
?
? 1,1
?
上的最大值是
32
f(x)?x
3
?x
2
?x?a.

2
A．-2 B．0
2
C．2
x
D．4
2. (06全国卷Ⅱ)已知a≥ 0 ，函数f(x)=（
x
-2ax）
e

(1) 当x为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论；（2）设f(x)在[-1，1]上是单 调函数，求a的
取值范围.
考点三 利用导数解决函数的综合问题
例4.(06 年深圳市模拟)已知函数
f(x)?x?b
的图象与函数
g(x)?x?3x?2的图象相切,记
2
F(x)?f(x)g(x)
.
（Ⅰ）求实数
b
的值及函数
F(x)
的极值；
（Ⅱ）若关 于
x
的方程
F(x)?k
恰有三个不等的实数根，求实数
k
的取值范围.
举一反三: (中山市模拟.) 已知函数
f(x)?x
3
? ax
2
?bx?c
的图象为曲线
E
.
(Ⅰ) 若曲线E
上存在点
P
，使曲线
E
在
P
点处的切线与< br>x
轴平行，求
a
,
b
的关系；
(Ⅱ) 说明函数< br>f(x)
可以在
x??1
和
x?3
时取得极值，并求此时a
,
b
的值；
(Ⅲ) 在满足(2)的条件下，
f(x)?2 c
在
x?[?2,6]
恒成立，求
c
的取值范围.
例5. 设函数
f(x)??x
3
?2ax
2
?3ax?1
，其中< br>0?a?1
.
（1）求函数
f(x)
的极值；
（2）若当
x?[a?1,a?2]
时，恒有
f
?
(x)?a
，试确定 实数
a
的取值范围.
1．函数f(x)的定义域为R，导函数f ′(x)的图象如图所示，则函数f(x)( )
A．无极大值点、有四个极小值点
B．有一个极大值点、两个极小值点
C．有两个极大值点、两个极小值点
D．有四个极大值点、无极小值点
2．设f(x)＝x
3
＋ax
2
＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a、b∈R.
(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
1
3
第 2 页

(2)设g(x)＝f ′(x)e
－
x
，求函数g(x)的极值．
3．已知函数f(x)＝
1
2
x
2
＋alnx.
(1)若a＝－1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；
(2)若a＝1， 求证：在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝
2
3
x
3
的图象的下方．
_________________________________ ________________________________________________ < br>_______________________________________________ __________________________________
基础巩固
一、选择题
1．已知函数f(x)在点x
0
处连续，下列命题中，正确的是( )
A．导数为零的点一定是极值点
B．如果在点x
0
附近的左侧f ′(x)>0，右侧f ′(x)<0，那么f(x
0
)是极小值
C．如果在点x
0
附近的左侧f ′(x)>0，右侧f ′(x)<0，那么f(x
0
)是极大值
D．如果在点x
0
附近的左侧f ′(x)<0，右侧f ′(x)>0，那么f(x
0
)是极大值
2．函数y＝
1
x
4
1
4
－
3
x
3
的极值点的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
3．函数y＝ax
3
＋bx2
取得极大值和极小值时的x的值分别为0和
1
3
，则( )
A．a－2b＝0 B．2a－b＝0
C．2a＋b＝0 D．a＋2b＝0
4．若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x
3
－ax
2
－2bx＋2在x ＝1处有极值，则ab的最大值等于(
A．2 B．3
C．6 D．9
5．已知 实数a、b、c、d成等比数列，且曲线y＝3x－x
3
的极大值点坐标为(b，c)，则ad 等于(
A．2 B．1
C．－1 D．－2
6．函数f(x)＝－
x
e
x
(aA．f(a)＝f(b) B．f(a)C．f(a)>f(b) D．f(a)，f(b)的大小关系不能确定
二、填空题
7．曲线y＝x(3lnx＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．
8．若函数f(x)＝x＋asinx在R上递增，则实数a的取值范围为________．
第 3 页
)
)

9．设x＝1 与x＝2是函数f(x)＝alnx＋bx
2
＋x的两个极值点，则常数a＝________ .
三、解答题
10．已知f(x)＝ax
3
＋bx
2
＋ cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1.
(1)试求常数a、b、c的值；
(2)试判断x＝±1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由．
能力提升
一、选择题
11．已知函数f(x)＝e
x
(sinx－cosx)，x∈ (0,2019π)，则函数f(x)的极大值之和为( )
e
2π
?1－e
2012π
?
A．
e
2π
－1
e
π
?1－e
1006π
?
C． 1－e
2π
e
π
?1－e
2012π
?
B．
1－e
2π
e
π
?1－e
1006π
?
D ．
1－e
π
12．已知函数f(x)＝x
3
－px
2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为( )
4
A．，0
27
4
C．－，0
27
4
B．0，
27
4
D．0，－
27
13．已知f(x)＝x
3
＋ax
2
＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值 ，则a的取值范围是( )
A．－1C．a<－3或a>6
二、填空题
14．已知函数y＝x
3
＋ax
2
＋bx＋2 7在x＝－1处有极大值，在x＝3处有极小值，则a＝
________________，b＝__ ______.
三、解答题
15．已知函数f(x)＝e
x
(ax＋b) －x
2
－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．
16．已知函数f(x)＝lnx＋x
2
＋ax.
(1)当a＝－3时，求函数y＝f(x)的极值点；
(2)当a＝－4时，求方程f(x)＋x
2
＝0在(1，＋∞)上的根的个数．
17．已知函数f(x)＝－x
3
＋ax
2
＋b(a、b∈R)．
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若对任意a∈[3,4]，函数f(x)在R上都有三个零点，求实数b的取值范围．

B．－3D．a<－1或a>2
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