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高中数学第三章函数的应用第1节函数与方程(5)教案新人教A版必修1

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-17 11:44
tags:高中数学教案

高中数学赫尔德不等式-高中数学公共切线







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第一节函数与方程第五课时
教学设计(四)
整体设计

教材分析
本节课选自《普 通高中课程标准实验教科书数学1必修本(A版)》第三章的3.1.2用二
分法求方程的近似解. < br>由于在实际问题的解决中,列出的方程可能相当复杂.设
f
(
x
)是实 系数多项式或是任
一实数函数,方程
f
(
x
)=0称为代数方程或超 越方程.一般说来,此类方程的根即使存在,
也往往不能用公式表示,或者求出了根的表达式,却因比较 复杂,难以用它来计算根的近似
值.所以,当根存在时,研究求根的数值方法很有必要,本节教材向学生 介绍了求零点近似
值的实用且基本的方法——二分法.
教材在学生了解了函数的零点与方程根 的联系的基础上,从实例入手介绍了求方程近似
解的二分法.学生不难理解函数的零点及其求法,而困难 的地方在于使用二分法求函数零点
的计算过程相当繁杂.
在教学中应注意鼓励学生运用现代教 育技术学习、探索和解决问题,借助计算器或计算
机处理繁杂的计算、理解数学概念、探索数学结论.
学情分析
学生在学习了方程的根与函数的零点后,对于不能用公式法求根的方程< br>f
(
x
)=0来说,
我们可以将它与函数
y

f
(
x
)联系起来,并利用函数的性质找出零点或零点所在的区间,从
而求 出方程的根,或者用二分法求出方程的近似解.
本节课的学习历经直观感知、观察发现、归纳类比等思 维过程,有助于学生对客观事物
中蕴涵的数学模式进行思考和作出判断,因此教师在教学过程中应力求通 过各种不同形式的
自主学习、探究活动,让学生体验数学发现和创造的历程,开拓他们的创新意识和“逐 步逼
近”的数学思想.
教学目标
知识与技能:
通过具体实例 理解二分法的概念及其适用条件,了解二分法是求方程近似解的常用方
法,并从中体会函数与方程之间的 联系及其在实际问题中的应用.
过程与方法:
能借助计算器用二分法求方程的近似解,并了解这一数学思想,为学习算法做准备.
情感态度和价值观:
体会数学逼近过程,感受精确与近似的相对统一.
重点难点
重点:通过用二分法求方程的近似解,体会函数的零点与方程根之间的联系,初步形成
用函数观 点处理问题的意识.
难点:恰当地使用信息技术工具,利用二分法求给定精确度的方程的近似解.
课前准备
1.学生要准备能进行较为复杂运算的计算器.
2.课前学习材料:分治算法.
分治是实际生活中使用得比较广泛的一种解决问题的方法.在程序设计中,分治算法的

1


设计思想是:将一个规模比较大的、难以直接解决的问题,分割成一些规模 较小的子问题,
这些子问题互相独立且与原问题相同;然后将这些子问题各个击破,分而治之.值得注意 的
是,分治算法的设计思想很自然地导致了递归算法的应用.它的一般设计模式如下:
if 问题规模小到可以直接解决 then 直接解决该问题
else 将问题分解成
k
个规模较小的子问题
end if
for i=1 to k
递归调用该分治算法,分别解决每一个子问题
next i
将各子问题的解合并为原问题的解.

设计意图
从学生感兴趣的计算机编 程问题引入,引导学生分析分治算法的思想与方法,为后面引
出二分法的思想与方法做铺垫.
教学环节
创设情境

教学过程


一、创设情境,引出课题
问题:现有大小与形状完全相同的金属小球16个,其中有一个是实 心的,其余都是空
心的.用一架天平需测量几次一定能找出实心小球?(要求测量次数尽可能少)
让学生思考、讨论,并得出结论.
学生可能会得出这样的结论:先将这16个小球分成个数相 等的两部分,将这两部分放
在天平上称,实心球在较重的这部分球中,再将较重的这部分球分成个数相等 的两部分,将
这两部分放在天平上称,实心球又在较重的这部分球中,依此类推,所以只要四次一定能找
到实心小球.
学生也有可能将小球分成相同的四部分,再两部分两部分地去称,也可得到结果 ,等
等.教师根据学生得出的方法进行总结.
设计意图
以实际问题为载体,通过学生亲自产生的思维方法体会二分法查找的思想与方法.
二、组织探究,导出算法
1.问题:通过上一节课的学习,我们知道函数
f
(
x
)=ln < br>x
+2
x
-6在区间(2,3)内有零
点(如下图所示).那我们能否 找出这个零点呢?或者能找出这个零点的近似值吗?

设计意图
上面的问题有着承 上启下的作用,它既是对前面一节课结果的进一步的深入,也揭示了
本节课所要解决的问题.
2.将学生分成几组进行合作学习,并要求学生将自己的求解过程进行记录、归纳.
设计意图
由于这一任务具有一定的难度,问题又具有一定的挑战性,有利于激发学生的主动性与
小组学习 活动的激情及发挥学习共同体的创造性,因此采用了小组合作学习的方式进行教
学.这一环节借助信息技 术功能提倡学生通过观察、思考、讨论来归纳结论,体现了学生自
主探究的学习方式.

2


3.通过学生的合作学习,由一个小组代表发言求函数
f
(
x
)=ln
x
+2
x
-6零点的过程,
可用下表反映:
区间

中点的值

中点函数近似值
(2,3)

2.5

-0.084
(2.5,3)

2.75

0.512
(2.5,2.75)

2.625

0.215
(2.5,2.625)

2.562 5

0.066
(2.5,2.562 5)

2.531 25

-0.009
(2.531 25,2.562 5)

2.546 875

0.029
(2.531 25,2.546 875)

2.539 062 5

0.010
(2.531 25,2.539 062 5)

2.535 156 25

0.001
当精确度为0.01时,由于|2.539 062 5-2.531 25|=0.007 812 5<0.01,所以我们可
以将
x
=2.531 25作为函数
f
(
x
)=ln
x
+2
x
-6零点的近似值,也即方程ln
x
+2
x
-6=0
根的近似值.
4.给定精确度ε,再请 一个小组代表发言求函数
f
(
x
)零点近似值的基本步骤(教师引
导 ,由其他小组补充,逐步完善)
(1)确定区间[
a

b
],验证
f
(
a

f
(
b
)<0,给定精度ε;
(2)求区间(
a

b
)的中点
x
1

(3)计算
f
(
x
1
):①若
f
(
x
1
)=0,则
x
1
就是函数的零点;
②若
f
(
a

f
(
x
1
)<0,则令
b

x
1
[此时零点
x
0
∈(
a

x
1
)];
③若
f
(
x
1
) ·
f
(
b
)<0,则令
a

x
1
[此时零点
x
0
∈(
x
1

b
)];
(4)判断是否达到精度ε;
即若|
a

b
|<ε,则得 到零点近似值
a
(或
b
);否则重复步骤2~4.
设计意图 从特殊到一般,揭示数学通常的发现过程,给学生“数学创造”的体验.这种教学方式
易于学生接受 和形成二分法的算法思想与计算原理.
三、探索发现,寻找内涵
1.教师:通过前面的探 究,我们得出了求函数
f
(
x
)零点近似值的一种方法,我们来给
这 种方法取个名字,叫什么好呢?(学生可能会取“分割法”、“二分法”、“中点法”等,
教师最后进行 评析)
设计意图
从学生探究创造中下定义,便于学生深刻理解定义的内涵,这也是新课程提倡的教学理
念之一.
2.问题:是不是所有有零点的函数都适合用二分法求零点的近似值呢?请同学们先看
下面几个 函数的图象再回答.

图一 图二 图三
学生通过上图的比较与分析,可以得出上 图中一、三两个函数是无法用二分法求零点的
近似值的,因此要用二分法求零点的近似值的函数必须具备 两个特征:函数
f
(
x
)在区间[
a

b
]上连续不断,且满足
f
(
a

f
(
b
)<0.这时教师对二分法的定义进行完善:对于在区间[
a

b
]上连续不 断,且满足
f
(
a

f
(
b
)<0的函 数
y

f
(
x
),通过不断地把函数
f
(
x
)的零点所在
的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似 值的方法叫做二分法.
设计意图
通过学生自己的观察、比较、分析,深化学生对定义的认识 与理解,进一步挖掘二分法
的内涵,使学生对二分法的算法思想与计算原理有了新的感悟.

3


3.教师进一步指出,从“数”的角度看,函数的零点即是使
f< br>(
x
)=0的实数;从“形”
的角度看,函数的零点即是函数
f
(
x
)的图象与
x
轴交点的横坐标.若函数
f
(
x
)的图象在
x

x
0
处与
x
轴相切,则 零点
x
0
通常称为不变号零点;若函数
f
(
x
)的 图象在
x

x
0
处与
x
轴相
交,则零点< br>x
0
通常称为变号零点.二分法的条件
f
(
a
)·< br>f
(
b
)<0表明用二分法求函数的近似
零点都是指变号零点.
设计意图
引导学生从“数”和“形”两个角度去体会函数零点的意义,掌握常见函数零点的求
法,进一步明确二分法的适用范围.
四、尝试练习,体会应用
x
1.例 题:借助计算器或计算机用二分法求方程2+3
x
=7的近似解.(精确度0.1)
分析:首先利用函数性质或借助计算机、计算器画出函数图象,确定函数零点大致所在
的区间,然后利用 二分法逐步计算解答.
注意:
(1)第一步确定零点所在的大致区间(
a

b
),可利用函数性质,也可借助计算机或计算
器,但尽量取端点为整数的区间,尽 量缩短区间长度,通常可确定一个长度为1的区间.
(2)建议列表样式如下:
零点所在区间

中点函数值

区间长度
[1,2]
f
(1.5)>0

1
[1,1.5]
f
(1.25)<0

0.5
[1.25,1.5]
f
(1.375)<0

0.25
如此列表的优势:计算步数明确,区间长度小于精度时,即为计算的最后一步.
(在教学中教 师要引导学生利用二分法逐步寻求函数零点的近似值,注意规范方法、步
骤与书写格式.学生要根据二分 法的思想与步骤独立完成思考,并进行交流、讨论、评析.)
设计意图
该例题是对这节课前 面所学知识和数学思想的综合运用和巩固,解题过程体现了数学表
达的简洁性和数学思维的严谨性,也体 现了函数思想在解方程中的应用.
2.学生练习:
2
已知
f
(
x
)=2+2
x

x

2
(1)如果< br>g
(
x
)=
f
(2-
x
),求
g< br>(
x
)的解析式;
(2)借助计算器或计算机,画出函数
g
(
x
)的图象;
(3)求出函数
g
(
x
)的零点.(精确到0.1)
分析 :本题第(1)问是一道代入法复合函数解析式的问题,第(2)、(3)问需用本节知识
进行解决.另 外在求
g
(
x
)的零点时,不妨用函数
g
(
x)的奇偶性,只需用二分法求出其中一
个零点,另一个便知道了.
24
答案:( 1)
g
(
x
)=2+2
x

x

(2)

(3)±1.7.
设计意图
利用课堂练习巩固所学的 知识内容、数学思想、数学方法,以求达到教学目标.本环节
以个别指导为主,体现面对全体学生的课改 理念.
五、小结体会,教师归纳
以学生发言的形式对本堂课进行小结,教师归纳强调:
1.二分法求方程的近似解,要求函数
f
(
x
)在某一区间[
a

b
]内连续,并且在此区间端
点的函数值异号.

4


2.用二分法不能求二次重根.
3.在学习中要注意运用函数与方程的思想、数形结合的思想和“逐步逼近”的数学思
想.
设计意图
关注学生学习的主动性,培养学生表达交流数学的能力.学生的课堂小结既是对一节 课
的简单回顾与梳理,也是对所学内容的再次巩固.
六、作业回馈,巩固知识
1.教材习题3.1(A组)第3~6题、(B组)第4题.
2.提高作业:
2< br>(1)已知函数
f
(
x
)=2(
m
+1)
x
+4
mx
+2
m
-1.

m
为何值时,函数的图象与
x
轴有两个交点?
②如果函数的一个零点在原点,求
m
的值.
3
(2)用二分法求3的近似值(精确到0.01).
设计意图
1为巩固作业,2为课外拓展作业,培养学生的探究、创造能力.
七、课外活动,培养能力
查找有关系资料或利用internet查找有关高次代数方程的解的研究史料,追寻阿贝尔
( Abel)和伽罗瓦(Galois).
设计意图
增强探索精神,培养创新意识.

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利用函数图象解方程和函数问题
1.求方程
x
+lg
x
=3的近似解.
求某些方程的解 ,不容易通过笔算来获得,可以通过函数图象,但往往不太容易直接画
图,而且画出的图象也不准确,此 时利用图形计算器帮助我们画出图象(很多复杂的函数都
可以很快在图形计算器上画出),对于我们来说 ,方法是更重要的.
第一步:按Y=键,输入函数:
y
1
=lg
x

y
2
=3-
x
.
第二步:按Graph键,画出两个函数的图象,如下图所示:

第三步:按F5键 :intersection(求交点),屏幕会出现对话框:选择第一条曲线、第
二条曲线、下限、上 限之后,屏幕上会给出交点值:
x
c
:2.587 17,
y
c
:0.412 826,则
x

2.587 17即为方程
x
+lg
x
=3的近似解.
小结:利用函数图象的 交点解方程是一个重要方法,而图形计算器为我们提供了一个强
有力的工具.
33
2.一片树林中现有木材30 000米,如果每年增长5%,经过
x
年 树林中有木材
y
米,
3
写出
x

y
间的函 数关系式,并且利用图象,求约经过多少年,木材可以增加到40 000米?
(结果保留一位有效数字)

5



画出函数图象后,可以通过用Trace键移动光标,寻找当
y
=40 000时的
x
值;也可
再作函数
y
2
=40 000的图象,用intersection求图象的交点即可.


6

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