高中数学苏教版必修五学案：3.4.2 基本不等式的应用

3．4.2基本不等式的应用
学习目标1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用.2. 会用基本不等式解决简单的最大(小)值问
题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．


知识点一基本不等式及变形
思考使用基本不等式证明：≤ab(a>0，b>0)，并说明什么时候等号成立．
11
＋
ab
2






梳理以下是基本不等式的常见变形，试用不等号连接，并说明等号成立的条件．
a ＋b
当a>0，b>0时，有________ab________________
112
＋
ab
2
当且仅当________时，以上三个等号同时成立．

知识点二用基本不等式求最值
思考因为x
2
＋1≥2x，当且仅当x＝1时 取等号．所以当x＝1时，(x
2
＋1)
min
＝2.
以上说法对吗？为什么？








梳理基本不等式求最值的条件：
(1)x，y必须是________；
(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为________；求和x＋y的最小值时，应看积xy是< br>a
2
＋b
2
；
2

否为________；
(3)等号成立的条件是否满足．

类型一基本不等式与最值
4
例1(1)若x>0，求函数y＝x＋的最小值，并求此时x的值；
x
3
(2)设02
4
(3)已知x>2，求x＋的最小值；
x－2
19
(4)已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值．
xy











反思与感悟 在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求 定值，求
和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因< br>式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备．
12
跟踪训练1(1)已知x>0，求f(x)＝＋3x的最小值；
x
(2)已知x<3，求f(x)＝
4
＋x的最大值；
x－3
(3)设x>0，y>0，且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值．

类型二基本不等式在实际问题中的应用

命题角度1几何问题的最值
例2(1)用篱笆围一个面积为100m
2
的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少 时，所用篱笆
最短，最短的篱笆是多少？
(2)一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问 这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最
大，最大面积是多少？








反思与感悟利用基本不等式解决实际问题时，一 般是先建立关于目标量的函数关系，再利用
基本不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的 条件．
跟踪训练2某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m
3
，深 为3m，如果池底每
1m
2
的造价为150元，池壁每1m
2
的造价 为120元，问怎样设计水池才能使总造价最低？最
低总造价是多少？







命题角度2生活中的最优化问题
例3某食品厂定 期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉
的保管费及其他费用为平 均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天
购买一次面粉，才能使平均每天所支 付的总费用最少？

引申探究
若受车辆限制，该厂至少15天才能去购买一次面粉 ，则该厂应多少天购买一次面粉，才能使
平均每天所支付的费用最少？

反思与感悟应用题，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌 握的数学知识解决问
题(求解)，最后要回应题意下结论(作答)．使用基本不等式求最值，要注意验证 等号是否成立，
若等号不成立，可考虑利用函数单调性求解．
跟踪训练3一批货物随17列货 车从A市以v千米小时匀速直达B市，已知两地铁路线长400
v
千米，为了安全，两列货车的 间距不得小于
?
20
?
2
千米，那么这批货物全部运到B市，最快需
??
要________小时．

11k
1．设a>0，b>0， 且不等式＋＋≥0恒成立，则实数k的最小值等于________．
ab
a＋b
x
2
－4x＋5
5
2．已知x≥，则f(x)＝有最________(填“大 ”或“小”)值，为________．
2
2x－4
3．将一根铁丝切割成三段做一 个面积为2m
2
、形状为直角三角形的框架，选用最合理(够用
且浪费最少)的铁丝长 度应是________m(取整数)．
4．已知02< br>x＋
5
的最大值是________．
log
2
x

1．用基本不等式求最值
(1)利用基本不等式，通过恒等变形，以及配凑，造就“和”或“ 积”为定值，从而求得函数
最大值或最小值．这种方法在应用的过程中要把握下列三个条件：①“一正” ——各项为正
数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条
件缺一不可．
(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求 的式子运用适当
的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件．
(3)在 求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不
p
到，所 以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y＝x＋(p>0)的
x
单 调性求得函数的最值．
2．求解应用题的方法与步骤：
(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答．

答案精析
问题导学
知识点一
思考∵a>0，b>0，
11
∴＋≥2
ab
∴
1
1
>0，
ab
ab
≤，
112
＋
ab
11
≤ab (a>0，b>0)，当且仅当＝，即a＝b时，等号成立．
11ab
＋
ab
2
即
梳理
≤≤≤a＝b
知识点二
思考错．显然(x
2
＋1)
min
＝1. x
2
＋1≥2x，当且仅当x＝1时取等号．仅说明抛物线y＝x
2
＋1 恒在直线y＝2x上方，仅在x
＝1时有公共点．
使用基本不等式求最值，不等式两端必须有一端是定值．如果都不是定值，可能出错．
梳理
(1)正数(2)定值定值
题型探究
例1解(1)当x>0时，
4
x＋≥2
x
4
x·＝4，
x
4
当且仅当x＝，即x
2
＝4，x＝2时取等号．
x
4
∴函数y＝x＋(x>0)在x＝2时取得最小值4.
x
3
(2)∵00，
2
∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]
≤2
?
2x ＋?3－2x?
?
2
9
2
??
＝
2
.
3
当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立．
4
3
3
0，
?
. ∵∈
?
4
?< br>2
?

39
∴函数y＝4x(3－2x)(022
(3)∵x>2，∴x－2>0，
44
∴x＋＝x－2＋＋2
x－2x－2
≥2
4
?x－2?·＋2＝6，
x－2
4
当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立．
x－2
4
∴x＋的最小值为6.
x－2
19
(4)方法一∵x>0，y>0，＋＝1，
xy
19< br>?
∴x＋y＝
?
?
x
＋
y
?
(x＋ y)
y9x
＝＋＋10≥6＋10＝16，
xy
y9x
当且仅当＝，
xy
19
又＋＝1，
xy
即x＝4，y＝12时，上式取等号．
故当x＝4，y＝12时，(x＋y)
min
＝16.
19
方法二由＋＝1，
xy
得(x－1)(y－9)＝9(定值)．
19
由＋＝1可知x>1，y>9，
xy
∴x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10
≥2?x－1??y－9?＋10＝16，
当且仅当x－1＝y－9＝3，即x＝4，
y＝12时上式取等号，
故当x＝4，y＝12时，(x＋y)
min
＝16.
跟踪训练1解(1)∵x>0，
12
∴f(x)＝＋3x≥2
x
12
·3x＝12，
x
12
当且仅当3x＝，即x＝2时取等号，
x
∴f(x)的最小值为12.
(2)∵x<3，∴x－3<0，

44
∴f(x)＝＋x＝＋x－3＋3
x－3x－3
4＝－
?
3－x
＋3－x
?
＋3
??
≤－2
4
·?3－x?＋3＝－1，
3－x
4
当且仅当＝3－x，即x＝1时取等号．
3－x
∴f(x)的最大值为－1.
(3)由2x＋8y－xy＝0，得y(x－8)＝2x.
∵x>0，y>0，∴x－8>0，y＝
∴x＋y＝x＋
2x
，
x－8
?2x－16?＋16
2x
＝x＋
x－8x－8
16
＝(x－8)＋＋10
x－8
≥2
16
?x－8?×＋10＝18.
x－8
16
当且仅当x－8＝，即x＝12时，等号成立．
x－8
∴x＋y的最小值是18.
例2解(1)设矩形菜园的长为xm，宽为ym，
则xy＝100，篱笆的长为2(x＋y) m.
由
x＋y
≥xy，可得x＋y≥2100，
2
2(x＋y)≥40.
当且仅当x＝y＝10时等号成立．
所以这个矩形的长、宽都为10m时，所用篱笆最短，最短篱笆为40m.
(2)设矩形菜园 的长为xm，宽为ym，则2(x＋y)＝36，x＋y＝18，矩形菜园的面积为xym
2
.
x＋y
18
由xy≤＝＝9，可得xy≤81，
22
当且仅当x＝y＝9时，等号成立．
所以这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积为81m
2
.
4800
跟踪训练2解设水池底面一边的长度为xm，则另一边的长度为m.
3x
又设水池总造价为y元，根据题意，得
1600
?
48004 800
x＋
y＝150×＋120×(2×3x＋2×3×)＝240000＋720×
?
x
?

?
33x

≥240000＋72 0×2
＝297600(元)，
1600
x·
x
1600
当且仅当x＝，即x＝40时，y取得最小值297600.
x
所以当水池底面为正方形且边长为40m时总造价最低，最低总造价为297600元．
例3解设该厂每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨．
由题意可知，面粉的保管及其他费用为
3×[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1)．
设平均每天所支付的总费用为y元，
1
则y＝[9x(x＋1)＋900]＋6×1800
x
900
＝9x＋＋10809
x
≥2
900
9x·＋10809＝10989(元)，
x
900
当且仅当9x＝，
x
即x＝10时，等号成立．
所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．
引申探究
解设x
1
，x
2
∈[15，＋∞)，且x
1
＜x
2
.
900900
则(9x
1
＋＋10809)－(9x
2
＋＋10809)
x
1
x
2
11
＝9(x
1
－x
2
)＋900(－)
x
1
x
2
900
?
9－
＝(x
1
－x
2
)
?
?
x
1
x
2
?

＝(x
1
－x
2
)
?
9x
1
x
2
－900
?< br>?
x
1
x
2
?
.
∵15≤x
1< br>＜x
2
，∴x
1
－x
2
＜0，x
1
x
2
＞225，
∴(x
1
－x
2
)
?< br>9x
1
x
2
－900
?
?
x
1x
2
?
＜0，
900
即y＝9x＋＋10809在[15，＋∞)上为增函数．
x
∴当x＝15，即每15天购买一次面粉，每天支付的平均费用最少．
跟踪训练38
当堂训练
1．－42.小13.74.2－25