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高中数学教学设计模板及案例
【
中
学
数
学
教
案】
1
《必修5》1.1.2余弦定理(第一课时)
河北师大附中 刘建良
高中数学教学设计模板及案例
教学课题
课标要求
认知层次
知识点
1余弦定理及证明
2用定理解三角形
目标设计
1.知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明
余弦定理的向量方法,并会运用
余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
2.过程与方法:利
用向量的数量积推出余弦定理及其推论,并通过实践演算掌握运用
余弦定理解决两类基本的解三角形问题
,
3.情态与价值:培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力;通过三
角函数
、余弦定理、向量等知识间的关系,来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。
识记
理解
√
应用
√
综合
1.
引导学生用向量独立地推出余弦定理,并能用自已的语言概括这一定理。
2.
要求学生能根据余弦定理解以下两类问题:(1)已知两边夹一角求第三边;(2)已
知三边求三角。
教学情境一:( 问题引入
)在
?
ABC中,已知两边a,b和夹角C,作出三角形。
联系已学知识,可以解决这个问题。
对应问题1. 第三边c是确定的,如何利用条件求之?
首先用正弦定理试求,发现因A、B均未知,所以较难求边c。
由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A
uurr
uurruurr
rrrrr
如图,设
CB
?
a
,
CA
?
b
,
AB
?
c
,那么
c
?
a
?
b
,则
b
c
rrrrrr
c
?
c
?
c
?
a
?
ba
?
b
rrrrrr
r
?ab
?
b
?
r
2
a
r
?
b<
br> C
a
B
r
?
2
a
?
r
2
?
a
?
b
?2
a
?
b
2
r
????
从而
c
2
?
a
2
?
b
2
?2ab
cos
C
,同理可证
a
2
?
b
2
?
c
2
?2
bc
cos
A
,
b<
br>2
?
a
2
?
c
2
?2
ac
cos
B
于是得到以下定理
余弦定理:三角形中任何一边的平方等于其他
两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两
倍。即
a
2
?
b
2
?
c
2
?2
bc
cos
A
;
b
2
?
a
2
?
c
2
?2
ac
cos
B
;
c
2
?
a
2
?
b
2
?2
ab
cos
C
教学情境二
对余弦定理的理解、定理的推论
对应问题2 公式有什么特点?能够解决什么问题?
等式为二次齐次形式,左边的边对应右边的角。主要作用是已知三角形的两边及夹角求对边。
对应问题3 从方程的角度看已知其中三个量,可以求出第四个量,能否由三边求出一角?
从余弦定理,又可得到以下推论:(由学生推出)
b
2
?c
2?a
2
a
2
?c
2
?b
2
b
2
?a
2
?c
2
;
cosB?
;
cosC?
cosA?
2bc2ac2ba
[理解定理]余弦定理及其推论的基本作用为:
①已知三角形的任意两边及它们的夹角求第三边;
②已知三角形的三条边求三个角。
思考:勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系,余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间
的关系,如何看这两个定理之间的关系?
(由学生总结)若
?
ABC中,C=90
o
,则
cosC?0
,这时
c
2
?a2
?b
2
2
高中数学教学设计模板及案例
由此可知余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例。
教学情境三
例题与课堂练习
例题.在
?
ABC中,已知
a?23
,
c
?6?2
,
B?60
0
,求b及A
⑴解:
b
2<
br>?a
2
?c
2
?2accosB
=
(23)
2
?(6?2)
2
?2?23?(6?2)
cos
45
0<
br>=
12?(6?2)
2
?43(3?1)
=
8
∴
b?22.
求
A
可以利用余弦定理,也可以利用正弦定理:
b
2
?c
2
?a
2
(22)
2
?(6?2)
2
?(
23)
2
1
0
??,
∴
A?60.
⑵解法一:∵cos
A?
2bc2
2?22
?(6?2)
a233
0
解法二:∵
sinA?sinB?
?sin45
0
=,
又
a
<
c
,即
0
0
<
A
<
90
0
,
∴
A?60.
b2
22
评述:解法二应注意确定A的取值范围。
课堂练习 在
?
ABC中,若
a
2
?
b
2
?
c
2
?
bc
,求角A(答案:A=120°)
教学情境四 课堂小结
(1)余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律,勾股定理是余弦定理的特例;
(2)余弦定理的应用范围:①.已知三边求三角;②.已知两边及它们的夹角,求第三边。
(3)正、余弦定理从数量关系的角度解释了三角形全等,已知边角求做三角形两类问题,使其化为可以
计算的公式。
习题设计
1.
在
?
ABC中,a=3,b=4,
?C?60?
,求c边的长。
2. 在
?
ABC中,a=3,b=5,c=7,求此三角形的最大角的度数。
3.
若
sinA:sinB:sinC?5:7:8
,求此三角形的最大角与最小角的和的大小。
4. △ABC中,若
a
2
?c
2
?b
2
tanB?3ac
,求角B的大小。
??
ur
rurr
5.
?
ABC的三内角
A,B,C
所对边的长分别为
a,b,c
设向量
p?(a?c,b)
,
q?(b?a,c?a)
,若
pq
,
求角
C的大小)
(本案例由河北师大附中 刘建良设计,由汉沽五中 纪昌武
在目标设计和习题设计方面略作改动)
编写要求:
1、页面设置:A4,上、下
、左、右边距都为2cm;教学课题:小四宋体加粗;问题设计:课本上没有的
有价值的情境、问题、例
题、习题用五号黑体字,并简要说明设计意图。其他都用五号宋体。“目标设计、
情境设计、问题设计、
习题设计”要加粗。
2、目标设计主要写知识目标的设计。目标要具体明确、具有可操作性、可测性。
3、习题设计:每节课的习题5个左右,其中前两个可作为当堂测验题,要求的难度:只要上课能认真参
与的同学基本上都能作对。后三题可根据各校学生水平适当提高,但应紧扣本节课教学目标,难度最好控
制在0.8左右。对于所选课本上的题要注明,并具体写出来。
4、把寒假交流的内容,按统一模作板适当修订,并于3月15日前传至学科牵头人处。
3
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