高中数学教师面试教案

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【篇一：教师资格证试讲高中数学教案四】

教案四

（人教版必修一 第一单元 课时4：函数的概念）

一、题目：函数的概念

二、教学时间：45分钟

三、授课人数：

四、课时：1课时

五、课型：

六、教学目标：

1. 知识与技能：

函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，
高中阶段更注重函数模型化的思 想与意识．

2. 过程与方法：

（1）通过实例，进一步体会函数是 描述变量之间的依赖关系的重要
数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会
对应关系在刻画函数概念中的作用；

（2）了解构成函数的要素；

（3）会求一些简单函数的定义域和值域；

（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；

3. 情态与价值：

使学生感受到学习函数的必要性的重要性，激发学习的积极性。

七、教学重点、难点：

重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数；

难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；

八、学法与教学用具：

1、学法：学生通过自学、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完
成本节课的教学目标 .

2、教学用具：投影仪 .

九、教学思路：

（一）创设情景，揭示课题

1、复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；

2、阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的
思想：

（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；

（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；

（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系
问题

3、分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同点。

4、引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依
赖关系；

5、根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系
是否是函数关系．

（二）研探新知

1、函数的有关概念

（1）函数的概念：

设a、b是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集< br>合a中的任意一个数x，在集合b中都有唯一确定的数f(x)和它对应，
那么就称f：a→b为 从集合a到集合b的一个函数（function）．

记作： y=f(x)，x∈a．

其中，x叫做自变量，x的取值范围a叫做函数的定义域
（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合
{f(x)| x∈a }叫做函数的值域（range）．

注意：

① “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；

②函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不
是f乘x．

（2）构成函数的三要素是什么？

定义域、对应关系和值域

（3）区间的概念

①区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； ②无穷区间；
③区间的数轴表示．

通过三个已知的函数：y=ax+b(a≠0)

y=ax2+bx+c(a≠0) k y=(k≠0) x

比较描述性定义和集合，与对应语言刻画的定义，谈谈体会。

归纳总结

（4）初中学过哪些函数？它们的定义域、值域、对应法则分别是什
么？

（三）质疑答辩，排难解惑，发展思维。

1、如何求函数的定义域

例1：已知函数f (x) = x?3+1 x?2（1）求函数的定义域；

2（2）求f（－3），f ()的值； 3（3）当a＞0时，求f（a）,f(a－1)
的值.

分析：函数的定义域通常 由问题的实际背景确定，如前所述的三个
实例.如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域 ，那么函数
的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合，函数的定义域、
值域要写成集合 或区间的形式． 解：略

例2、设一个矩形周长为80，其中一边长为x，求它的面积关于x
的函数的解析式，并写出定义域. 80?2x分析：由题意知，另一边长
为，且边长为正数，所以0＜x＜40. 280?2x所以s=?x = （40－x）
x（0＜x＜40） 2

引导学生小结几类函数的定义域：

（1）如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集r .

（2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数
的集合 .

（3）如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大
于或等于零的实数的集合.
（4）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是
使各部分式子 都有意义的实数集合.（即求各集合的交集）

（5）满足实际问题有意义.

巩固练习：课本p22第1

2、如何判断两个函数是否为同一函数

例3、下列函数中哪个与函数y=x相等？

（1）y = (x)2 （2）y = (x) 3

（3）y =x2

分析： x2; （4）y= x

1 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定
义域和○

对应关系 决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一
致，即称这两个函数相等（或为同一函数）

2 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表
示自○

变量和函数值的字母无关。

解：（略）

课本p21例2

（四）巩固深化，反馈矫正：

（1）课本p22第2题

（2）判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理
由？ ① f ( x ) = (x －1) 0；g ( x ) = 1

② f ( x ) = x； g ( x ) = x2

③ f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2

④ f ( x ) = | x | ；g ( x ) =

（3）求下列函数的定义域

① f(x)?x2 1 x?|x|

② f(x)?1

1?x

③ f(x) = x?1+1 2?x

④ f(x) = x?4 x?2

1 ⑤

f(x)? （五）归纳小结

1. 从具体实例引入了函数的概念，用集合与对应的语言描述了函数
的定义及其相关概念；

2. 初步介绍了求函数定义域和判断同一函数的基本方法，同时引出
了区间的概念。

（六）布置作业

1. 课本p28 习题1．2（a组） 第1—7题 （b组）第1题

2. 举出生活中函数的例子（三个以上），并用集合与对应的语言来描述函数，同时说出函数的定义域、值域和对应关系。

【篇二：教师资格证试讲高中数学教案二】


教案二

（人教版必修一 第一单元 课时2：集合间的基本关系）

一、题目：集合间的基本关系

二、教学时间：45分钟

三、授课人数：

四、课时：1课时

五、课型：

六、教学目标：

1．知识与技能

(1)了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.

(2)理解子集、真子集的概念.

(3)能使用venn图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概
念的作用.

2. 过程与方法

让学生通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体验其现实
意义.

3. 情感.态度与价值观

(1)树立数形结合的思想.

(2)体会类比对发现新结论的作用.

七、教学重点、难点：

重点：集合间的包含与相等关系，子集与真子集的概念.

难点：难点是属于关系与包含关系的区别．

八、学法与教学用具：

1.学法：让学生通过观察.类比.思考.交流.讨论，发现集合间的基本
关系.

2.学用具：投影仪.

九、教学思路：

(—)创设情景，揭示课题

问题l：实数有相等.大小关系，如5=5，5＜7，5＞3等 等，类比实
数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？

让学生自由发言，教 师不要急于做出判断。而是继续引导学生；欲
知谁正确，让我们一起来观察.研探.

(二)研探新知

投影问题2：观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系
了吗？

（1）a?{1,2,3},b?{1,2,3,4,5}；

理科组 组?高中数学 no. 姓名： 第 1 页

(2)设a为国兴中学高一(3)班男生的全体组成的集 合，b为这个班学
生的全体组成的集合；

(3)设c?{x|x是两条边相等的三角形},d?{x|x是等腰三角形};

(4)e?{2,4,6},f?{6,4,2}.

组织学生充分讨论.交 流，使学生发现两个集合所含元素范围存在各
种关系，从而类比得出两个集合之间的关系:

①一般地，对于两个集合a，b，如果集合a中任意一个元素都是集
合b中的元素，我们就说 这两个集合有包含关系，称集合a为b的
子集.

记作：a?b(或b?a)

读作：a含于b(或b包含a).

②如果两个集合所含的元素完全相同，那么我们称这两个集合相等.

教师引导学生类比表示 集合间关系的符号与表示两个实数大小关系
的等号之间有什么类似之处，强化学生对符号所表示意义的理 解。
并指出：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线
的内部代表集合，这种图 称为venn图。如图l和图2分别是表示问
题2中实例1和实例4的venn图.

图1图2

投影问题3：与实数中的结论“若a?b,且b?a,则a?b”相类比，在集< br>合中，你能得出什么结论?

教师引导学生通过类比，思考得出结论: 若a?b,且b?a,则a?b.

问题4：请同学们举出几个具有包含关系.相等关系的集合实例，并
用venn图表示.

学生主动发言，教师给予评价.

(三)学生自主学习，阅读理解

然后教师引导学生阅读教材第7页中的相关内容，并思考回答下例
问题：

(1)集合a是集合b的真子集的含义是什么?什么叫空集?

(2)集合a是集合b的真子集与集合a是集合b的子集之间有什么区
别?

(3)0，{0}与?三者之间有什么关系?

(4)包含关系{a}?a与属于关系a?a正义有什么区别?试结合实例作
出解释.

(5)空集是任何集合的子集吗?空集是任何集合的真子集吗?

理科组 组?高中数学 no. 姓名： 第 2 页

(6)能否说任何一人集合是它本身的子集，即a?a?

(7)对于集合a，b，c，d，如果a?b，b?c，那么集合a与c有什么
关系? 教师巡视指导，解答学生在自主学习中遇到的困惑过程，然
后让学生发表对上述问题看法.

(四)巩固深化，发展思维

1. 学生在教师的引导启发下完成下列两道例题：

例1．某工厂生产的产品在质量和长度上都合 格时，该产品才合格。
若用a表示合格产品，b表示质量合格的产品的集合,c表示长度合格
的 产品的集合．则下列包含关系哪些成立？

a?b,b?a,a?c,c?a

试用venn图表示这三个集合的关系。

例2 写出集合{0，1，2)的所有子集，并指出哪些是它的真子集.

2.学生做教材第8页的 练习第l～3题，教师及时检查反馈。强调能
确定是真子集关系的最好写真子集，而不写子集.

(五)归纳整理，整体认识

1．请学生回顾本节课所学过的知识内容有建些，所涉及到的主要数
学思想方法又哪些.

2. 在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方,请向老师提出.

(六)布置作业

1. 第13页习题 1.1a组第5题.

理科组 组?高中数学 no. 姓名： 第 3 页

【篇三：人教版高中数学必修四教师资格试讲教案全套】


课题1 任意角

教学目标

（一） 知识与技能目标

理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. （二）
过程与能力目标

会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集
合；掌握区间角的集合 的书写．

（三） 情感与态度目标

1． 提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识． 教学重点

任意角概念的理解；区间角的集合的书写． 教学难点

终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写． 教学过程 一、引
入：

1．回顾角的定义

①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.

②角的第二种定义是角可以 看成平面内一条射线绕着端点从一个位
置旋转到另一个位置所形成的图形．

2实际生活中出现一系列关于角的问题 二、新课讲解： 1．角的有
关概念：

③角的分类： a

正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的
角

④注意：

①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，
那么 角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限
角． ②课堂练习，小试牛刀

注意：如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象
限 3．探究：教材p3面

终边相同的角的表示：

负角：按顺时针方向旋转形成的角

注意： ⑴ k∈z

⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同
的角有无限个，它们相差

正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的
角

负角：按顺时针方向旋转形成的角

③象限角；

④终边相同的角的表示法． 5．课后作业：

①教材p5练习第1-5题； ②预习弧度制

课题2 任意角的三角函数

一、教学目标：

1.掌握任意角的三角函数的定义；

3.树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；

二、教学重点：三角函数的定义；

思考：我们已经学过锐角三角函数，知道它们都是以锐 角为自变量，
以比值为函数值的函数，你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标
来表示锐角三角 函数吗？

结论：在rt△abc中，设a对边为a，b对边为b，c对边为c，锐
角a的正弦，

aba

余弦，正切依次为：sina?,cosa?,tana?

ccb

锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数

思考1:角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三
角函数重新定义. 你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐
角三角函数吗?

如图,设锐角?的顶点与原点o重合,始边与x轴的正半轴重合,

那么它的终边在第一象限. 在?的终边上任取一点p(a,b),它与原点的
距离r??0.过p作x轴的垂线,垂足为m,则线段 om的长度为a,线段
mp的长度为b.

mpb

?; oproma

cos???;

oprmpb

?. tan??

oma

则sin??

思考2：对于确定的角?改变而改变呢？为什么?

根据相似三角形的知识，对于确定的角?，三个比值不以点p在

的位置的改变而改变大小.

我们可以将点p取在使线段op的长r?1以得到用直角坐标系内的
点的坐标表示锐角三角函数： mpommpb

?b; cos???a; tan???. opopoma

单位圆:在直角坐标系中,我们称以原点o为圆心,以单位长度为半径

sin??

的圆称为单位圆.

上述p点就是?的终边与单位圆的交点, 锐角?的三角函数可以用单
位圆上点的坐标表示.

二新课讲授

1.任意角的三角函数的定义

结合上述锐角?的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角
函数值呢? 显然,我们可以利用单位圆来定义任意角的三角函数.

如图,设?是一个任意角,它的终边与单位圆交于点p(x,y),那么: (1)y
叫做?的正弦(sine),记做sin?, 即 sin??y；

（2）x叫做?的余弦(cossine),记做cos?,

即cos??x； （3）

y

叫做?的正切(tangent),记做tan?, x

y

即tan??(x?0).

x

思考3:在上述三角函数定义中,自变量是什么?对应关系有什么特点,
函数值是什么?

说明:(1)当??

?k

?(k?z)时，?的终边在y轴上，终边上任意一点的横坐标x都等于
2y

0，所以tan??无意义,除此情况外，对于确定的值?，上述三各值都
是唯一确定的实数.

x

?

(2)当?是锐角时，此定义与初中定义相同；当? 不是锐角时，也能够
找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单
位圆有交 点p(x,y)，从而就必然能够最终算出三角函数值.

(3)正弦,余弦,正切都是以角 为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标
的比值为函数值的函数，

我们将这种函数统称为三角函数. 2.利用定义求角的三角函数值

5?例1.求的正弦,余弦和正切值.

3

解：在直角坐标系中，作?aob?

5?

, 3

x

1?aob的终边与单位圆的交点坐标为(,2sin

5?5?15?

???,tan?32323

5?7?

变为呢？ 36

思考：如果将

例2．已知角?的终边过点p0(?3,?4)，求角?的正弦,余弦和正切值.
思考：如何根据例题1解答

思考：一般的，设角a终边上任意一点的坐标为（x,y）,它与原点
的距离为r,则

sina?

yxy

,cosa?,tana?，你能自己给出证明吗？ rrx

思考 如果将题目中的坐标改为（-3a，-4a）,题目又应该怎么做？

四．课堂小结 五．布置作业

练习1、2、3 六课后反思 七板书设计

课题3同角三角函数的基本关系

教学目标：

1、掌握同角三角函数的基本关系式、变式及其推导方法；

2、会运用同角三角函数的基本关系式及变式进行化简、求值及恒等
式证明； 3、培养学生观察发现能力，提高分析问题能力、逻辑推理
能力．增强数形结合的思想、创新意识 。

学习重点：同角三角函数的基本关系式推导及其应用 学习难点：同
角三角函数的基本关系式变式及灵活运用 课 时： 1课时 教学过程

【创设引入】

1、三角函数的定义是什么？

22

2、探究活动： sin30?=？ ， cos30?=？ ， sin30??cos30?? ？

sin45?=？ ， cos45?=？ ， sin245??cos245??？

3、猜测sin120??cos120?? ？ ，由上情况初步得出什么结论？

4、从单位圆看，各象限的角的正弦线、余弦线所在的三角 形是什么
三角形？由勾股定理得出什么结论？

2

2

【探究新知】

1. 探究:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义

的,你能从圆的几何性质出发,讨论一

下同一个角不同三角函数之间的关系吗?

如图:以正弦线mp,余弦线om和半径op三者 的长构成直角三角形,
而且op?1.由勾股定理由

mp2?om2?1,因此x2?y2?1,即sin2??cos2??1.

sin?

?tan?.

2cos?

这就是说,同一个角?的正弦、余弦的平方等于1，商等于角?的正切.
2. 例题讲评

3

例6.已知sin???,求cos?,tan?的值.

5

根据三角函数的定义,当a?k??

?

(k?z)时,有

sin?,cos?,tan?三者知一求二,熟练掌握.

3. 巩固练习p20页第1,2,3题 4.例题讲评

cosx1?sinx

?例7.求证:.

1?sinxcosx

通过本例题,总结证明一个三角恒等式的方法步骤. 5.巩固练习p20
页第4,5题 6.学习小结

（1）同角三角函数的关系式的前提是“同角”，因此
sin2??cos2??1，

tan??

sin?

． cos?

（2）利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定
符号，