高中数学优秀教案(分享)

课 题：
7.5 曲线和方程（一）曲线和方程
教学目标：
1．了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，领会“曲线的方程”
与“方程的曲线”的概念及其关系，并能作简单的判断与推理
王新敞
2．在形成概念的过程中，培养分析、抽象和概括等思维能力，掌握形数结
合、函数与方程、化归与转化等数学思想，以及坐标法、待定系数法等常用的
数学方法
王新敞
3．培养学生实事求是、合情推理、合作交流及独立思考等良好的个性品质，
以及主动参与、勇于探索、敢于创新的精神
王新敞
教学重点： 理解曲线与方程的有关概念与相互联系
王新敞王新敞
教学难点： 定义中规定两个关系（纯粹性和完备性）
王新敞王新敞
授课类型： 新授课
王新敞
课时安排： 1 课时
王新敞
教 具 ：多媒体、实物投影仪
王新敞
教材分析 ：
曲线属于“形”的范畴，方程则属于“数”的范畴，它们通过直角坐标系
而联系在一起，“曲线和方程” 这节教材， 揭示了几何中的 “形”与代数中的 “数”
的统一，为“依形判数”和“就数论形”的相互转化奠定了扎实的基础．这正
体现了几何的基本思想，对解析几何教学有着深远的影响．曲线与方程的相互
转化，是数学方法论上的一次飞跃．本节教材中把曲线看成是动点的轨迹，蕴
涵了用运动的观点看问题的思想方法；把曲线看成方程的几何表示，方程看作
曲线的代数反映，又包含了对应与转化的思想方法
王新敞
由于曲线和方程的概念是解析几何中最基本的内容，因而学生用解析法研
究几何图形的性质时，只有透彻理解曲线和方程的意义，才能算是寻得了解析
几何学习的入门之径．求曲线的方程的问题，也贯穿了这一章的始终，所以应
该认识到，本节内容是解析几何的重点内容之一
王新敞
根据大纲要求，本节内容分为 3 个课时进行教学，具体的课时分配是：第
一课时讲解“曲线与方程”与“方程与曲线”的概念及其关系；第二课时讲解
求曲线方程的一般方法，第三课时为习题课，通过练习来总结、巩固和深化本
节知识，并解决与曲线交点有关的问题。考虑到本节内容的基础性和灵活性，
可以对课本例题和练习作适当的调整，或进行变式训练
王新敞
针对 第一课时 概念强、思维量大、例题习题不多的特点，整节课以启发学
生观察思考、分析讨论为主。当学生观察例题回答不出“为什么”时，可以举
几个点的坐标作检验，这就是“从特殊到一般”的方法；或引导学生看图，这
就是“从具体（直观）到抽象”的方法；或引导学生回到最简单的情形，这就
是以简驭繁；或引导学生看（举）反例，这就是正反对比，总之，要使启发方
法符合学生的认知规律
王新敞

1 7

教学过程 ：
一、复习引入：
温故知新，揭示课题
问题： (1) 求如图所示的 AB的垂直平分线的方程；
王新敞

(2) 画出方程
x y 0
和方程

y x
2
所表示的曲线

x
，(2) 题画图如下 观察、思考，求得 (1) 的方程为
y
y
2.5
A
y=x
2

1
2
1.5
1
1
-1
0
1

B

x

-2 -1
0.5
1 2 3
1
0
-1
-0.5
x+y=0
-1
讲解：
第(1) 题是从曲线到方程，曲线
(x,y) 方程 f(x,y)=0
王新敞
C(即 AB 的垂直平分线 ) 点的坐标
第(2) 题是从方程到曲线，即方程
线 C．
f(x,y)=0 解(x,y)( 即点的坐标 ) 曲
教师在此基础上揭示课题，并提出下面的问题让学生思考
王新敞
问题 :
方程 f(x,y)=0 的解与曲线 C上的点的坐标， 应具备怎样的关系， 才叫方程
王新敞
的曲线，曲线的方程？
设计意图：
通过复习以前的知识来引入新课，然后提出问题让学生思考，创设问题情
境，激发学生学习的欲望和要求
王新敞
二、讲解新课：
1. 运用反例，揭示内涵
由上面得出：“曲线上的点的坐标都是方程的解”和“以方程的解为坐标的
点都在曲线上”后，不急于抛物线定义，而是让学生判断辨别
王新敞
问题：
y
下列方程表示如图所示的直线
（1）

C，对吗？为什么？
1
x
2
y 0

y
2

0


-1
（2
）

x
1
0
x

2 7

（3）|x|-y=0.
上题供学生思考，口答．方程 (1) 、(2) 、(3) 都不是表示曲线 C的方程．
第（1）题中曲线 C上的点不全都是方程
x y 0
的解，如点

(-1,-1)
等，即不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”这一结论；
2
第(2) 题中，尽管“曲线 C上的坐标都是方程的解”
的解为坐标的点不全在曲线
，但以方程

x
y
2

0
C上，如点 (2 ，-2) 等，即不符合“以方程的解为坐
标的点都在曲线上”这一结论；
第(3) 题中，类似 (1)(2) 得出不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”，
“以方程的解为坐标的点都在曲线上”．事实上，
线应该是下图的三种情况：
(1)(2)(3) 中各方程表示的曲
y
y

1
y
1
1

-1 0

-1
1
x
0
1
x

-1 0 1
x


(1) x- y=0
(2)x
2
-y
2
=0 (3)|x|-y=0
上面我们既观察、 分析了完整地用方程表示曲线， 用曲线表示方程的例子，
又观察、分析了以上问题中所出现的方程和曲线间所建立的不完整的对应关系．
2．讨论归纳，得出定义
讨论题：在下定义时，针对（
2
1）
x y 0
中
“
曲线上有的点的坐标

y
2
不是方程的解”以及（ 2
）
x
的情况，对“曲线的方程应作何规定？
0
中“以方程的解为坐标的点不在曲线上”
王新敞
学生口答，老师顺其自然地给出定义．这样，我们可以对“曲线的方程”
和“方程的曲线”下这样的定义：
在直角坐标系中，如果某曲线
数解建立了如下关系：
(1) 曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（纯粹性）
王新敞
C上的点与一个二元方程
f (x, y) 0
的实
(2) 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．（完备性）
王新敞
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线
王新敞王新敞

设计意图：
上述概念是本课的重点和难点，让学生自己通过讨论归纳出来，老师再说
3 7

清楚这两大性质 ( 纯粹性和完备性 ) 的含义，使学生初步理解这个概念
王新敞
3．变换表达，强化理解
曲线可以看作是由点组成的集合，记作 C；一个关于 x,y 的二元方程的解
F
王新敞
可以作为点的坐标，因而二元方程的解也描述了一个点集，记作
请大家思考： 如何用集合 C和点集 F 间的关系来表达 “曲线的方程” 和“方
程的曲线”定义中的两个关系，进而重新表述以上定义
王新敞
关系(1) 指集合 C是点集 F 的子集，关系 (2) 指点集 F 是点集合 C的子集．
这样根据集合的性质，可以用集合相等的概念来定义“曲线的方程”与“方程
的曲线”，

即：
(1)C
( 2)F
F
C
C
F
王新敞

设计意图：
通过集合的表述，使学生对曲线和方程的关系的理解得到加深和强化，在
记忆中上也趋于简化
三、讲解范例：
例 1 解答下列问题， 且说出各依据了曲线的方程和方程的曲线定义中的
哪一个关系？
2
2
(1)
y

25
的圆上？

点
M
1
(3, 4), ( 2 5,2)
M
是否在方程为

x
2
2
y
2
(2)
已知方程为

x 25
的圆过点

3
( 7,m)
M
，求 m的值．
学生练习，口答；教师纠错、小结
王新敞
依据关系 (1) ，可知点

M
在圆上，
M
2
不在圆上．
1
依据关系 (2)
，求得

m 3 2
王新敞
2
例 2 证明以坐标原点为圆心，半径等于 5
的圆的方程是

x
y
2

25
．

由学生自己阅读课本解答，教师适时插话，强调证明要紧扣定义，分两步
进行．
给出推论，升华定义：
(1) 两曲线
: ( , ) 0, : ( , ) 0
C
1
f x y C f x y
的交点的坐标必为方程组
1 2 2

f

(

x,

y)

0

1
的实根
f x, y) 0
(
2
王新敞
4 7

（2
）两曲线

C
1
: y f ( x),C : y
2
(x)
的交点的横坐标必为方程

f (x) (x)
的实根
王新敞
四、课堂练习：
1．如果曲线
C
上的点满足方程
F
（
x
,
y
)=0，则以下说法正确的是（
A. 曲线
C
的方程是
F
(
x
,
y
)=0
B. 方程
F
(
x
,
y
)=0 的曲线是
C
C.坐标满足方程
F
(
x
,
y
)=0 的点在曲线
C
上
D.坐标不满足方程
F
（
x
,
y
)=0 的点不在曲线
C
上
分析：判定曲线和方程的对应关系，必须注意两点：
程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”
点和解一一对应，才能说曲线的方程，方程和曲线
王新敞
）
（1）曲线上的点的坐
，称为完备性，只有
标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”称为纯粹性；（2）以这个方
解：由已知条件，只能说具备纯粹性，但不一定具备完备性
2. 判断下列结论的正误，并说明 由理.
. 故选D
王新敞
（1）过点
A
（3，0）且垂直于
x
轴的直线的方程为
(2) 到
x
轴距离为 2 的点的直线方程为
(3) 到两坐标轴的距离乘积 于等
线
AD
的方程为
x
=0
王新敞
x
=0;
y
=-2;
xy
=1; 1 的点的轨迹方程为
(4) △
ABC
的顶点
A
（0，-3 ），
B
（1，0），
C
（-1 ，0），
D
为
BC
中点，则中
分析： 判断所给问题的正误， 主要依据是曲线的方程及方程的曲线的定义，
即考查曲线上的点的纯粹性和完备性 .
王新敞
解：（1）满足曲线方程的定义. ∴结论正确
（2）因到
x
轴距离为 2 的点的直线方程还有一个；
y
=2，即不具备完备性 .
∴结论错误 .
（3）到两坐标轴的距离的乘积于等
即
xy
=± 1.
∴所给问题不具备完备性
王新敞
1 的点的轨迹方程应为｜
x
｜· ｜
y
｜=1,
∴结论错误
王新敞
（4）中线
AD
是一条线段，而不是直线，
∴
x
=0(-3 ≤
y
≤ 0),
∴所给问题不具备纯粹性
∴结论错误 .
3. 方程（ 3
x
-4
y
-12) ·［
l
og
2
(
x
+2
y
)-3 ］=0 的曲线经过点
A
（0，-3 ）、
B
（0，
.
7

4）、
C
（
,
）、
D
（4，0）中的（
3 4
A.0 个 B.1 个

5
）
C.2 个 D.3 个
5 7

分析：方程表示的两条直线
数大于 0，
∴
x
+2
y
＞0
王新敞
3
x
-4
y
-12=0 和
x
+2
y
-9=0 ，但应注意对数的真
解：由对数的真数大于

0，得
x
+2
y
＞0.
5

7

∴
A
(0,-3) 、
C
(


) 不合要求
,
3 4
王新敞
将
B
（0，4）代入方程检验，不合要求
将
D
（4，0）代入方程检验，合乎要求
故选B.

4. 已知点
A
（-3 ， 0），
B
（ 0，
.
.
5
），
C
（4，-
35


），
D
（3sec θ,
3
5
tan
2
θ),
其中在曲线

5x 9
y
2

45
上的点的个数为（
C.3
）
D.4
.
A.1 B.2
分析：由曲线上的点与方程的解的关系，只要把点的坐标代入方程，若满
足这个方程，说明这是这个方程的解，这个点就在该方程表示的曲线上

解：将点
A
（-3 ，0）、
B
（0
，

5
）、
C
（4，-
35


）、
D
（3secθ,
3
5
tan
2
y
2
2
2
y
45
检验，只有点
A
和点
B
满足方程 . θ)
代入方程

5x
故选
B
.
9 45 5x 9
5. 如果两条曲线的方程
F
1
(
x
,
y
)=0 和
F
2
(
x
,
y
)=0 ，它们的交点
M
（
x
0
,
y
0
) ，求
证：方程
F
1
(
x
,
y
)+ λ
F
2
(
x
,
y
)=0 表示的曲线也经过
M
点. （ λ为任意常数）
分析：只要将
M
点的坐标代入方程 .
F
1
(
x
,
y
)+ λ
F
2
(
x
,
y
)=0 ，看点
M
的坐标是否满足方程即可
王新敞
证明：∵
M
(
x
0
,
y
0
) 是曲线
F
1
(
x
,
y
)=0 和
F
2
(
x
,
y
)=0 的交点，
∴
F
1
（
x
0
,
y
0
)=0,
F
2
(
x
0
,
y
0
)=0.
∴
F
1
(
x
0
,
y
0
)+λ
F
2
(
x
0
,
y
0
)=0( λ∈R)
∴
M
(
x
0
,
y
0
) 在方程
F
1
(
x
,
y
)+ λ
F
2
(
x
,
y
)=0 所表示的曲线上 .
评述：方程
F
1
(
x
,
y
)+λ
F
2
(
x
,
y
)=0 也称为过曲线
F
1
(
x
,
y
)=0 和
F
2
(
x
,
y
)=0 的
交点的曲线系方程
王新敞
五、小结： “曲线的方程”、“方程的曲线”的定义．在领会定义时，要牢
记关系 (1) 、 (2) 两者缺一不可，它们都是“曲线的方程”和“方程的曲线”的
必要条件．两者满足了，“曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充分性．只
有符合关系 (1) 、(2) ，才能将曲线的研究转化为方程来研究，即几何问题的研

6 7

究转化为代数问题．这种“以数论形”的思想是解析几何的基本思想和基本方
法
王新敞
六、课后作业：
2
1．点 A(1，-2) 、B(2 ，-3) 、C(3，10)
是否在方程

x
形上？
王新敞
xy
2
y
1 0
的图

2
2．(1) 在什么情况下，方程

y ax
2
的曲线经过原点？
bx c

(2) 在什么情况下，方程

( )
2
2
(x a) y b r
的曲线经过原点？
2

2

3．证明以 C(a，b) 为圆心， r 为半径的圆的方程为

(x a)
( )
2
y b r
．

4．证明动点 P(x ，y) 到定点 M(-a ，0) 的距离等于 a(a ＞0) 的轨迹方程是

x

2
y
2
ax

0

2
王新敞
作业答案：
2
1．点 A(1，-2) 、C(3，10)
在方程

x
-3) 不在图形上
王新敞
xy y
2 1 0
的图形上；点

B(2，
2．(1)c=0 ，

(2)

a

2
b
2
r

2

王新敞
3、4．仿照课本例子，分两种情况易证
王新敞
七、板书设计 （略）
王新敞
八、课后记：
王新敞

7 7