高中数学选修2-2教案(完整版)-高中数学选修2-2目录

高中数学选修2-2教案
第二章 推理与证明
2.1合情推理与演绎推理
§2.1.1 合情推理与演绎推理（一）
【内容分析】：
归纳是重要的推理方 法，在掌握一定的数学基础知识（如数列、立体几何、空间向量等等）
后，对数学问题的探究方法加以总 结，上升为思想方法。
【教学目标】：
1、知识与技能：
（1）结合数学实例，了解归纳推理的含义
（2）能利用归纳方法进行简单的推理，
2、过程与方法：
通过课例，加深对归纳这种思想方法的认识。
3、情感态度与价值观：
体验并认识归纳推理在数学发现中的作用。
【教学重点】：
（1）体会并实践归纳推理的探索过程
（2）归纳推理的局限
【教学难点】：
引导和训练学生从已知的线索中归纳出正确的结论
【教学过程设计】：
教学环节 教学活动 设计意图
一、问题情景

学生阅读













1、哥德巴赫猜想：
观察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3,
18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97，猜测：任一偶数
（除去2，它本身是一素数）可以表示成两个素数之和. 1742年写信提出，
欧拉及以后的数学家无人能解，成为数学史上举世闻名的猜想. 1973年，< br>我国数学家陈景润，证明了充分大的偶数可表示为一个素数与至多两个素
数乘积之和，数学上把它 称为“1+2”.
2、费马猜想：
法国业余数学家之王—费马（1601-1665）在 1640年通过对
0123
F
0
?2
2
?1?3
，
F
1
?2
2
?1?5
，
F
2
?2
2
?1?17
，
F
3
?2
2
?1?257
，
引入课题


通过阅读
教材感受
归纳推理
的魅力
从哥德巴
赫猜想引
出归纳推
4
理概念
F
4
?2
2
?1?65537
的观察，发现其结果都是素数，于是提出猜想：对所有
2
n
的自然数
n
，任何形如
F
n
? 2?1
的数都是素数. 后来瑞士数学家欧拉，发

5
现
F
5
?2
2
?1?4294967297?641?6700417
不是素数， 推翻费马猜想.

3、四色猜想：
1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯. 格思里来到一家科研单位搞
地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着< br>色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界
关注的问题.1976 年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台
不同的电子计算机上，用1200个小时，作了 100亿逻辑判断，完成证明.
① 概念：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象
都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归
纳推理. 简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.
② 归纳练习：(i)由铜、铁、铝、金、银能导电，能归纳出什么结论？
(ii)由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和180度，能归纳出
什么结论？
(iii)观察等式：
1?3?4?2
2
,1?3?5?9?3
2
,1?3?5?7?9?16?4
2
，能得出怎样的结
1

二、概念教
学

高中数学选修2-2教案
论？
③ 讨论：(i)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，是否
属归纳推理？
(ii)归纳推理有何作用？ （发现新事实，获得新结论，是做出科学发现
的重要手段）
(iii)归纳推理的结果是否正确？（不一定）
三、例题讲解

四、课堂训练
五、小结

板书分析
过程，提
问
通项公式.
（分析思路：试值n=1，2，3，4 → 猜想
a
n
→如何证明：将递推 公式变
a
2
,a
3
,a
4
等几项的
形，再 构造新数列）
计算结果
思考：证得某命题在n＝n
0
时成立；又假设在n ＝k时命题成立，再证
设问：能
明n＝k＋1时命题也成立. 由这两步，可以归纳出什么结论？ （目的：渗
直接解出
透数学归纳法原理，即基础、递推关系）
a
n
吗？


1、已知
f(1)?0,af(n)?bf(n?1)?1,

n?2,a?0,b?0
，推测
f(n)
的表达式.
根据学生
基础情

0 0
2、三角形的内角和是180,凸四边形的 内角和是360,凸五边形的内角和是
况，决定
0
是当堂引
540 , …… 由这些结论猜想凸n边形的内角和公式。
0
导学生证
解析：凸n边形的内角和公式是(n-2)×180.
明结论或

者是
22?122?222?3
3、由
?,
?
,
?
,......
归纳猜想出一个一般结论。
课外完
33?133?233?3
成。
bb?m

解析：猜想：
?
(a,b,m均为正实数）。
aa?m


1．归纳推理的几个特点 1）规律性
1）归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提2）探索性
所包容的范围. 3）观察、
2）归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象 ,因而结试验的不
论具有猜测性. 确定性
3）归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础
之上. 指出对归
注：归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析的基础上.提出带有纳推理的
规律性的结 论 结果进行
2．归纳推理的一般步骤： 检验是必
1)对已有的资料进行观察、分析、归纳、整理； 要的
2)猜想
3)检验 归纳推理

例1：已知数列
?
a
n
?
的第1项
a
1
?2
，且
a
n?1
?
a
n
(n?1,2,)
，试归纳出
1?a
n

【练习与测试】：
（基础题）
1）数列
2,5,11,20,x,47,
…中的
x
等于（ ）
A．
28
B．
32
C．
33
D．
27

2）从
1?1,2?3 ?4?3,3?4?5?6?7?5
中得出的一般性结论是_____________。
3 )定义
A?B,B?C,C?D,D?A
的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、( 4)，那么下图中的（A）、（B）所对应
2

222

高中数学选修2-2教案
的运算结果可能是（ ）.



（1） （2） （3） （4） （A） （B）
A.
B?D,A?D
B.
B?D,A?C
C.
B?C,A?D
D.
C?D,A?D

4)有10个顶点的凸多面体，它的各面多边形内角总和是________．
5)在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝， 第二件首饰是由6颗珠宝(图中圆圈
表示珠宝)构成如图1所示的正六边形， 第三件首饰如图2， 第四件首饰如图3， 第五件首饰如图4， 以后每
件首饰都在前一件上，按照这种规律增加一定数量的 珠宝，使它构成更大的正六变形，依此推断第6
件首饰上应有_______________颗珠宝， 第
n
件首饰所用珠宝总数为_________________颗.
6)已知
a
n?1
?
n
a
n
（n=1.2. …）
a
1
?1
试归纳这个数列的通项公式
n?1


答案：
1）B
5?2?3,11?5?6,20?11?9,
推出
x?20?12,x?32

2）
n?n?1?...?2n?1?2 n?...?3n?2?(2n?1),n?N
注意左边共有
2n?1
项
3）B
0
4）（n-2）360
2
5） 91,1+5+9+…4n+1=2n+3n+1
6） a
1
=1,a
2
=
2*
111
a
3
=… a
n
=
23n

（中等题）
1）观察下列的图形中小正方形的个数，则第
n
个图中有 个小正方形.




2）-1 ．3 ．-7 ．15 ．( ) ，63 ， ， ， 括号中的数字应为（ ）
A.33 B.-31 C.-27 D.-57
3)设平面内有n条直线（n ≥ 3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用表示 n条直
线交点的个数，则
f
（4 ）=( )
A.3 B.4 C.5 D.6
4 )顺次计算数列:1,1+2+1,1+2+3+2+1,1+2+3+4+3+2+1,的前4项,由此猜测< br>a
n
?1?2?3?...?(n?1)?n?(n?1)?...?3?2?1
的结果.
答案：
1）1+2+3+4+…+(n+1)=
1
(n?1)(n?2)

2
2345
2）B 正负相间，3＝1+2，7＝3+2，15＝7+2，15+2＝31，31+2＝63
3）C
2222
4）依次为，1，2，3，4，所以a
n
=n
3

高中数学选修2-2教案

（难题）
1)．迄 今为止，人类已借助“网格计算”技术找到了630万位的最大质数。小王发现由8个质数组成的数列41，43 ，
47，53，61，71，83，97的一个通项公式，并根据通项公式得出数列的后几项，发现它们 也是质数。小王欣喜万分，
但小王按得出的通项公式，再往后写几个数发现它们不是质数。他写出不是质 数的一个数是（ ）.
A．1643 B．1679 C．1681 D．1697
2) 考察下列一组不等式：
2
3
?5
3
?2
2
?5?2?5
2
,

2
4
?5
4
?2
3
?5?2?5
3
,

2
4
?54
?2
3
?5?2?5
3
,

2
5< br>?5
5
?2
3
?5
2
?2
2
?5< br>3
,
.
将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等 式成为推广不等式的特例，则推广的不等式
可以是 .

答案：
2
1）C 41，43，47，53，61，71，83，97的一个通项公 式为a
n
=n+n+41,a
40
=1681,而1681＝41
?
41不是质数
nnn-mmmn-m
2）a+b>ab+ab n,m
?N
, n>m


§2.1 合情推理与演绎逻辑（二）

【内容分析】：
类比是重要的推理方法，在掌握一定的 数学基础知识（如数列、立体几何、空间向量等等）
后，对数学问题的探究方法加以总结，上升为思想方 法。
【教学目标】：
1、知识与技能：
（1）结合数学实例，了解类比推理的含义
（2）能利用类比方法进行简单的推理，
2、过程与方法：
通过课例，加深对类比这种思想方法的认识。
3、情感态度与价值观：
体验并认识类比推理在数学发现中的作用。
【教学重点】：
（1）体会并实践类比推理的探索过程
（2）类比推理的局限
【教学难点】：
引导和训练学生从已知的线索中归纳出正确的结论
【教学过程设计】：
教学环节 教学活动 设计意图
一、问
题情景


学生阅
读


1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发明了锯
2.仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明了潜水艇 引入课题
3.科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许多类似的特征;
1)火星也绕太阳运行、饶轴自转的行星; 通过阅读教
2)有大气层,在一年中也有季节变更; 材体会类比
3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存,等等. 科学家猜想;火星推理的思维
上也可能有生命存在. 过程
4．利用平面向量的本定理类比得到空间向量的基本定理.

4

高中数学选修2-2教案
二、概
念教
学


由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象
也具 有这些特征的推理. 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.
类比练习：
(i)圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于半径. 由此结论如何
类比到球体？
(ii)平面内不共线的三点确定一个圆，由此结论如何类比得到空间的结论？
由圆的一些特征，类比得到球体的相应特征. （教材73探究 填表）
小结：平面→空间，圆→球，线→面.
讨论：以平面向量为基础学习空间向量，试举例其中的一些类比思维.

三、例例2：类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质. （得到如下表格）
题讲解
类比角度 实数的加法 实数的乘法

若
a,b?R,
则
a?b?R
若
a,b?R,
则
ab?R

运算结果
a?b?b?a
ab?ba

运算律
(a?b)?c?a?(b ?c)(ab)c?a(bc)
类比推
理――联
想――普遍
联系






乘法的逆运算是除法，使得
分析探索过
加法的逆运算是减法，使得方
1
逆运算
程
程
a?x?0
有唯一解
x??a

方程
ax?1
有唯一解
x?

a

单位元
a?0?a

a?1?1




例3、类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.

0
思维：直角三角形中，
?C?90
，3条边的长度
a,b,c
，2条直角边
a,b
和1条斜边
c
；

→3个面 两两垂直的四面体中，4个面的面积
S
1
,S
2
,S
3和

?PDF??PDE??EDF?90
0
，

S

3个“直角面”
S
1
,S
2
,S3
和1个“斜面”
S
. → 拓展：三角形到四面体的类比.

例4、（可作为研究性学习材料）
2222
四、课例:(2001年上海)已知两个 圆①x+y=1:与②x+(y-3)=1,则由①式减去②式可得
堂训练 上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广,即要求得到一
个更一般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例。
解析：类比猜想 1)圆心 2）半径
推广的命题为：
222222
设圆的方程为 (x-a)+(y-b)=r① 与 (x-c)+(y-d)=r②（a≠c或b≠d),则由
①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程。

五、小类比推理的几个特点 1）联想
结 1）类比是从已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,是以旧有的认识为2）探索性
基础,类比出新的结果. 3）不确定性
2）类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性. 指出类比推
3）类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有发现的功能. 理的结果不
一定可靠
练习P
93
1，2.3，4.5 P
94
1

【练习与测试】：
（基础题）
1）已知扇形的弧长为
l
,半径为r，类比三角形的面积公式S＝
1
ah
，可知扇形的面积公式为_____ ____
2
2)类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的 下列哪些性质，你认为比较恰当的
是（ ）
5

高中数学选修2-2教案
①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等 ；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都
相等；③各个面都是全等的正三角形，同一 顶点上的任两条棱的夹角都相等
A．①；B．①②； C．①②③； D．③
3)由“ 正三角形的两腰相等”可以类比推出正棱锥的类似属性是
4）定义运 算a
?
b=
?
(a?b)
1
5）三角形的面积公式为S＝< br>ah
（a,h分别表示三角形的边和该边上的高），类比四面体的体积V＝
2
0
2
6）在三角形ABC中，
?C?90,CD?AB
于D，则有
A C?AD?AB
，类比此性质，给出空间四面体的一个猜
想，并判断该猜想是否正确。

答案：
1）s=
?
a
?
b
(a?b)
则对x
?
R，函数f(x)=1
?
x的解析式为__________。
1
lr

2
?
1
?
x
(1?x)

2）C
3）正棱锥的侧棱长相等
4）f(x)=1
?
x＝
?
(1?x)
1
5） 四面体的体积V＝
Sh
（S,h分别表示四面体的底面积和该面上的高）
3
2
6）在棱锥S－ABC中，
SC?平面SAB,SO?平面ABC于O
，则
S
?SAB
＝S
?OAB
?S
?CAB


（中等题）
1）a,b为实数，则由
a?b?0?a?0
或
b?0
，类比向量运算中
a?b?0
可以得出什么结论？
2）若三角形的内切圆半 径为r三边的长分别为a,b,c,则三角形的面积
s?
1
r(a?b?c)
根据类比思想，若四面体
2
的内切球半径为r，四个面的面积分别为
s
1,s
2
,s
3
,s
4
，则此四面体的体积V＝____ _____
a
2
?b
2
3) 在
?ABC
中， 若
AB?AC,AC?b,BC?a
，则
?ABC
的外接圆半径
r?
，将此结论拓展到空间，可得
2
出的正确结论是：在四面体
S?ABC
中，若
SA、SB、SC
两两垂直，
SA?a,SB?b,SC?c
，则四 面体
S?ABC
的
外接球半径
R?
_______．
4)六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体. 如图1在平行四
2222
边形
ABC
D中，有
AC
+
BD
=2(
AB
+
AD
)，那么在图2所示的平行六面体
2222
ABCD
—
A
1
B
1
C
1
D
1
中，有
AC< br>1
+
BD
1
+
CA
1
+DB
1=（ ）.


222222
A．2（
AB
+
AD
+
AA
1
） B．3（
AB
+
AD
+
AA
1
）
22222
C．4（
AB
+
AD
+
AA
1
） D．4（
AB
+
AD
）

答案：
1）
a?b?0

?a?0或b?0
或
a?b

1
3
a
2
?b
2
?c
2
3）
2
4）C



2）V＝
r(S
1
?S
2
?S
3
?S
4
)

6

高中数学选修2-2教案
（难题）
1
(a
1?a
2
???a
n
)
，则数列
?
b
n
?
也是等差数列。类比上述性质，若数列
?
c
n
?
n
是各项都为正数的等比数列，对于
d
n
?0
，则
d
n
=
n
a
1
a
2
a
3
... a
n
时，数列
?
d
n
?
也是等比数列。
1）若数列
?
a
n
?
是等差数列，对于
b
n
?
22
2）如图，已知命题：若矩形ABCD的对角线BD与边AB和BC所成角分别为?、?
，则
cos
?
?cos
?
?1,
若把它
推广到长方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，试写出相应命题形式：
______________________________________________ ____________________ .

答案：
1）
d
n
=
n
a
1
a
2
a
3
...a
n


2）长方体ABCD—A
1< br>B
1
C
1
D
1
中，BD与同一顶点三个侧面所成角分 别为
?、?
、
?
，则
cos
?
?cos
?
?cos
?
?2



222
§2.1 合情推理与演绎推理（三）

【学情分析】：
合情推理（归纳推理和类比推理）的可 靠性有待检验，在这种情形下，提出演绎推理就显得水到渠成了．通过
演绎推理的学习，让学生对推理有 了全新的认识，培养其言之有理、论证有据的习惯，加深对数学思维方法的认识．
【教学目标】：
（1）知识与技能：
了解演绎推理的含义、基本方法；正确地运用演绎推理、进行简单的推理．
（2）过程与方法：
体会运用“三段论”证明问题的方法、规范格式．
（3）情感态度与价值观：
培养学生言之有理、论证有据的习惯；加深对数学思维方法的认识；提高学生的数学思维能力．
【教学重点】：
正确地运用演绎推理进行简单的推理．
【教学难点】：
正确运用“三段论”证明问题．
【教学过程设计】：
教学环节 教 学 活 动
归纳推理：从特殊到一般
类比推理：从特殊到特殊
从具体问题出发――观察、分析比较、联想――归纳．类比――提出猜
想．
设计意图
一、复习：
合情推理
复习旧知识
二、
问题情境
观察与思考：（学生活动）
1．所有的金属都能导电，
铜是金属，
所以，铜能够导电．
2．一切奇数都不能被2整除，
（2100+1）是奇数，
所以，（2100+1）不能被2整除．
7
创设问题情景，引入新知

高中数学选修2-2教案
三、
学生活动

四、
建构数学—
—概念形成
3．三角函数都是周期函数，
tan
?
是三角函数，
所以，tan
?
是周期函数． < br>提出问题：像这样的推理是合情推理吗？如果不是，它与合情推理有何
不同（从推理形式上分析） ？

1．所有的金属都能导电 ←————大前提
铜是金属， ←-----小前提
所以，铜能够导电 ←――结论
2．一切奇数都不能被2整除 ←————大前提
100
（2+1）是奇数，←――小前提
100
所以，（2+1）不能被2整除。 ←―――结论
3．三角函数都是周期函数， ←——大前提
tan
?
是三角函数， ←――小前提
所以，tan
?
是周期函数。←――结论

演绎推 理的定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，
这种推理称为演绎推理（或逻辑推理）．
注：
1．演绎推理是由一般到特殊的推理．（与合情推理的区别）
2．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
（1）大前提——已知的一般原理；
（2）小前提——所研究的特殊情况；
（3）结论——据一般原理，对特殊情况做出的判断．
三段论的基本格式：
大前提：M是P
小前提：S是M
结 论：S是P
3．用集合的观点来理解“三段论”推理：
若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么S中所有
元素也都具有性质P．

学生探索，
发现问题，
总结特征
构建新知，
概念形成

巩固新知，
加强认识
五、
数学运用
例1、把P78中的问题（2）、（5）恢复成完全三段论的形式．
解：（2）因为太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，（大前提）
而冥王星是太阳系的大行星， （小前提）
因此冥王星以椭圆形轨道绕太阳运行． （结论）
（5）∵两直线平行，同旁内角互补， （大前提）
而∠A
、
∠B是两条直线的同旁内角， （小前提）
∴∠A+∠B＝180°． （结论）

例2、如图；在锐角三角形ABC中，AD⊥BC， BE⊥AC， D，E是垂
足，求证：AB的中点M到D、E的距离相等．
解：（1）因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，——大前提
在△ABC中，AD⊥BC，即∠ADB=90°，————小前提
所以△ABD是直角三角形————结论．
（2）因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，————大前提
1．运用新知；
2．板书解题详细步骤，
规范学生的解题格式．














8

高中数学选修2-2教案
而DM是直角三角形ABD斜边AB上的
中线，——小前提
所以DM=
E
1
AB．————结论
2
C
D
同理EM=AB．
所以DM=EM.
注：在演绎推理中，只要前提和推理形
式是正确的，结论必定是正确的.
思考：分析下面的推理：
x
A
M
B
因为指数函数
y?a
是增函数，————大前提
?
1
?
而
y?
??
是指数函数，————小前提
?
2
?
?
1
?
所以
y?
??是增函数. ————结论
?
2
?
（1）上面的推理形式正确吗？（2）推理的结论正确吗？
提示：推理形式正确，但大前提是错误的（因为指数函数
y?a
（0＜a
＜1＝是减函 数＝，所以所得的结论是错误的.

例3、证明函数
f(x)??x
2?2x
在
?
??,?1
?
上是增函数.
板演：证明方法（定义法、导数法） → 指出：大前题、小前题、
结论.
1．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
（1）大前提——已知的一般原理；
（2）小前提——所研究的特殊情况；
（3）结论——据一般原理，对特殊情况做出的判断．
三段论的基本格式为：
大前提：M是P
小前提：S是M
结 论：S是P
2．合情推理与演绎推理的区别和联系：
（1）推理形式不同（归纳是由特殊到 一般的推理；类比是由特殊到特殊
的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理）；
（2）合情推理为演绎推理提供方向和思路；演绎推理验证合情推理的正
确性．

x
x










通过错例分析，加深理解
x
六、
小结与反思






对比分析，
提高认识

【练习与测试】：
1．下面的推理过程中，划线部分是（ ）．
因为指数函数
y?a
是减函数，而
y?2
是指数函数，所以
y?2
是减函数.
A．大前提 B．小前提 C．结论 D．以上都不是
2．小偷对警察作如下解释：是我的录象机，我就能打开它．看，我把它打开了，所以 它是我的录象机．请问这一
推理错在哪里？（ ）
A．大前提 B．小前提 C．结论 D．以上都不是
3．因为相似三角形面积相等，而△ ABC与△A
1
B
1
C
1
面积相等，所以△ABC与△A< br>1
B
1
C
1
相似.上述推理显然不对，
这是因为（ ）．
A．大前提错误 B．小前提错误 C．结论错误 D．推理形式错误
4．请判断下面的证明，发生错误的是（ ）．
∵一个平面内的一条直线和另一个平面内的两条直线平行，则着两个平面平行，
9

xxx

高中数学选修2-2教案
又∵直线
l?
平面
?
，直线
m?
平面
?
，直线
n?
平面?
，且
l
∥
m
，
∴
?
∥
?
.
A．大前提错误 B．小前提错误 C．结论错误 D．以上都错误
5．函数
y?f
?
x
? ?
x?R
?
为奇函数，
f
?
1
?
?
A．0 B．1 C．
6．下面给出一段证明：
∵直线
l?
平面
?
，
又∵
?
∥
?
，
∴
l
∥
?
.
这段证明的大前提是 ．
7．如图，下面给出一段“三段论”式的证明，写出这段证明的大前提和结论．
∵ ．（大前提）
又∵PA⊥BC，AB⊥BC
，
PA∩AB=A． （小前提）
∴ ．（结论）
P
1
．
,f
?
x?2
?
? f
?
x
?
?f
?
2
?
，则
f?
5
?
?
（ ）
2
5
D．5
2
A
B
C

8．用“三段论”证明：通项公式为< br>a
n
?c?dn
的数列
?
a
n
?
是 等差数列.
9．用“三段论”证明：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C，则AB=DC．
10．将课本第89页例6的证明改成用“三段论”书写．
11．证明函数f(x)=－x
2
+2x在［1，+∞］上是减函数．
12．设a＞0,b＞0,a+b=1,求证：
111
???8
．
abab

参考答案
1～5：BADAC
6．两个平行平面中一个平面的任意一条直线平行于另一个平面
7．如果一条直线和某一平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线就和该平面垂直； BC⊥平面PAB
8．证：如果数列
?
a
n
?
满足：a
n?1
?a
n
?d
（常数），那么数列
?
a
n
?
是等差数列 （大前提）
∵数列
?
a
n?
中有
a
n?1
?a
n
?c?d(n?1)?(c?d n)?d
（常数）， （小前提）
∴通项公式为
a
n
?c?dn
的数列是等差数列． （结论）
9．证：过点D作DE∥AB，交BC于点E．
∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形． （大前提）
又∵四边形ABED中DE∥AB，AD∥BE， （小前提）
∴四边形ABED是平行四边形． （结论）
∵平行四边形的对边相等． （大前提）
又∵四边形ABED是平行四边形， （小前提）
∴AB＝DE． （结论）
∵两直线平行，同位角相等． （大前提）
又∵AB∥DE， （小前提）
∴∠DEC＝∠B． （结论）
10

高中数学选修2-2教案
∵两个角若分别和第三个角相等，那么这两个角相等． （大前提）
又∵∠B＝∠C，∠DEC＝∠B （小前提）
∴∠DEC＝∠C． （结论）
∵三角形中等角对等边． （大前提）
又∵
△
DEC中有∠DEC＝∠C， （小前提）
∴DE＝DC． （结论）
∵两条线段若分别和第三条相等，那么这两线段相等． （大前提）
又∵AB＝DE，DE＝DC （小前提）
∴AB=DC． （结论）
10．证：函数
y?f(x)
若满足：在给定区间内任取自变量的两个值x
1
、x
2
，若x
1
＜x
2
，则有
f(x
1
)
＜
f(x
2
)
，则
y?f( x)
在该给定区间内是增函数． （大前提）
任取x
1
、x
2
∈（－∞，1］，且x
1
＜x
2
，则
2
f(x
1
)－f(x
2
)＝（－x
1+2x
1
）－（－x
2
2
+2x
2
）＝（x< br>2
－x
1
）（x
1
+x
2
－2）
又∵x
1
＜x
2
≤1，∴x
2
－x
1
＞0 ，x
1
+x
2
＜2，即x
1
+x
2
－2＜ 0，
∴f(x
1
)－f(x
2
)＝（x
1
－x< br>2
）（2－（x
1
+x
2
））＜0，即f(x
1) ＜f(x
2
) ． （小前提）
2
∴函数f(x)=－x+2x在［1，+∞］上是减函数． （结论）
11．证：任取x
1
、x
2
∈［1，+∞］，且x
1
＜x
2
，则
f(x
1
)－f(x
2
)＝（－x
1
2
+2x
1
）－（－x
2
2
+2x
2
）＝（x
1
－x
2
）（2－（x
1
+x
2
））
又∵1≤x
1
＜x
2
，∴x
1
－x
2
＜0，x
1
+x
2
＞2，即2－（x< br>1
+x
2
）＜0，
∴f(x
1
)－f(x
2
)＝（x
1
－x
2
）（2－（x
1
+x
2
））＞0，即f(x
1
)＞f(x
2
) ．
2
∴函数f(x)=－x+2x在［1，+∞］上是减函数．
12．证：∵a+b=1，且a＞0,b＞0,
11111a?b
?
11< br>??
a?ba?b
?
??????2
?
?
?
?2
?
?
?
ababababb
??
ab
??a

ba
?
ba
??
ba
?
?2?
2??
?
?4?2
?
?
?
?4?2?2?? 4?4?8

ab
?
ab
??
ab
?

2.2直接证明与间接证明
§2.2.1 综合法和分析法(1)
【学情分析】：
前一阶段刚刚学习了人们在日常活动和科学研究中经常使用的两种推理——合情推理和演
绎推理 。数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明。这是数学区别于其他学科的显
著特点。本节学习 两类基本的证明方法：直接证明与间接证明。
在以前的学习中，学生已经接触过用综合法、分析法和反 证法证明数学命题，但他们对这
些证明方法的内涵和特点不一定非常清楚，逻辑规则也会应用不当。本部 分结合学生已学过的
数学知识，通过实例引导学生分析这些基本证明方法的电教过程与特点，并归纳出操 作流程框
图，使他们在以后的学习和生活中，能自觉地、有意识地运用这些方法进行数学证明，养成言< br>之有理、论证有据的习惯。
【教学目标】：
（1）知识与技能：结合已学过的数学实 例，了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法；
了解综合法、分析法的思考过程、特点
（2）过程与方法：能够运用综合法、分析法证明数学问题
（3）情感态度与价值观：通过本 节课的学习，感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养
成言之有理，论证有据的习惯
【教学重点】：
了解综合法、分析法的思考过程、特点；运用综合法、分析法证明数学问题。
【教学难点】：
根据问题特点，选择适当的证明方法证明数学问题。
11

高中数学选修2-2教案
【教学过程设计】：

教学环
教学活动
节
一、
1. 比较
a
2
?b
2
与2ab的大小关系.

提出
22
生：
a?b?2ab
。
问题
2.
设计意图
通过复习导入新课
通过典型数学实例，概括综合
法的特点 已知:a,b?0,求证:
222
a(b?c)+b(c?a)?4abc
2
生：讨论、交流完成，对比解答
二、 综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义 、公
综合理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证
法定明的结论成立，这种证明 方法叫做综合法。（也形象地称为
义 “顺推证法”或“由因导果法”）
阅读课本P85倒数第3行：流程框图




更直观了解综合法的证明
过程
三、
1. 例1．在
ABC
中，三个内角A，B，C的对边分别为a,b,c，
应用
且 A，B，C成等差数列，a,b,c成等比数列，求证：
ABC
为等边三角形。[几何画板]

证明：由A，B，C成等差数列，有2B=A+C ①
强调分析过程和思考过程，尤
∵A，B，C为
ABC
的内角
其是本题的文字语言与符号
∴A+B+C=π ②
语言的转换（2B=A+C），隐含
?
由①②得
B?
③
条件的显性化（A+B+C=π），
3
通过寻找条件和结论间的联
2
由a,b,c成等比数列，有
b?ac
④
系，就可直接从已知条件和余< br>22222
∵
b?a?c?2accosB?a?c?ac

弦定理出发，证明问题。
22

由④，得
a?c?ac?ac

2
例题起到运用综合法证题
即
(a?c)?0

的示范作用，注意规范化表
因此 a=c 从而有 A=C ⑤
达。
?
由②③⑤，得
A?B?C?

3
所以
ABC
为等边三角形。
四、 1. P89.1
练习 2. 补充：
巩固
1yx
???4
[几何画板] 已知:xy>0,求证：
xy?
xyxy
xy
,?0

yx
1xy
?xy??2,??2
xyyx

1yx
则xy????4
xyxy
证明：
?xy?0?
（学生板演练习）
及时讲评学生板演过程中出
现的问题


12

高中数学选修2-2教案
五、
a?b
师：要证明
?ab
成立，需要什么条件？
提出
2
问题
生：需要：
a?b?2ab

师：要证明
a?b?2ab
成立，只需证什么条件？
生：需要：
a?b?2ab?0

师：要证明
a?b?2ab?0
成立，需要什么条件？
2
生：需要：
(a?b)?0

师：
(a?b)?0
是否成立？
生：是的
师：上面的分析过程，即
2

给出分析法的实例。详细的板
书推导利于学生总结归纳出
分析法的思考过程和特点




引导学生概括出分析法的特
点
a?b
?ab
?
a?b?2ab
?

2
a?b?2ab?0
?
(a?b)
2
?0

六、 分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使
分析它成立的充分条件，直至最后， 把要证明的结论归结为判
法定定一个明显成立的的条件（已知条件、定理、定义、公理
义 等）为止。这种证明的方法叫做分析法。（也形象地称为“逆
推证法”或“执果索因法”）
阅读课本P97.流程框图
七、
1. 例2．求证：
3?5?4

应用
证明：∵
3?5
和4都是正数
∴为了证明





更直观了解分析法的证明
过程
3?5?4


例题示范分析法的思路、证明
展开得：
8?215?16 即 15?4

步骤，加深对分析法的认识
只需证 15<16

∵15<16显然成立，∴原式成立

2. 师：综合法与分析法有什么样的思维关系？

生：讨论交流，总结归纳

“综合法”与“分析法”的思维是互逆的关系，综合法

是从条件出发，产生与目标相 关的联想，从而实现问题的
通过讨论交流，比较2种证明
解决；而分析法是从结论出发，寻找结 论成立须满足的条
方法的差异，提升对综合法与
件在具体处理问题时，两种思维一般同时进行， 即综合法
分析法的认识。老师要提醒并
离不开目标的指引，分析法离不开条件的环境。
强调分析法的证明过程易出
综合法和分析法各有优缺点。分析法思考自然，容易
现不完整情况
找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综

合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考。

实际证明时先用分析法探求证明途径，然后用综合法叙述。
正因为分析法在证明过程中
3. 上面的例2可以用综合法完成证明（要在草稿纸上先分
易出现步骤的不完善，所以告
析好）
诉学生可以将用分析法证明
例题证明
的问题以综合法的形式呈现，
∵15<16
这样也可以培养学生的逻辑
∴
15?4

性思维
22
只需证明
(3?5)?4

∴
215?8 即 8?215?16

22
则
(3?5)?4

∵

3?5
和4都是正数
13

高中数学选修2-2教案
∴
3?5?4
成立
八、
练习 P89.2
巩固


综合法和分析法的思考过程、特点； 分析法证明问题时需
要注意的地方；综合法与分析法的关系。[几何画板]
九、
知识
小结
通过小结总结所学，突出重
点，强调难点
1．P91.习题2.2A组2
十、
课后
2. P91.习题2.2B组2
作业
2. 阅读课本
学生在用分析法证明问题时，往 往缺少必要的叙述环
节，直接从还应证式出发推证。教学中应强调证明格式，
对于普通班，可以 要求学生将草稿纸上的分析过程倒过来
写，只用综合法的方式证题，这样会清晰得多。


十
一、
设计
反思

【练习与测试】：

1．命题“对任意角
?
,cos
?
?sin
?< br>?cos2
?
都成立”的证明过程如下：
“
cos
??sin
?
?(cos
?
?sin
?
)(cos
?
?sin
?
)?cos
?
?sin
?
?cos 2
?
”，该过程应用了（ ）
A. 分析法 B. 综合法 C. 综合法与分析法结合使用 D. 间接证法
答案：B
解：因为是利用三角公式和乘法公式直接推出结论，故选B。

2. 已知
0?
?
?
证明：
sin
4
44222222
44< br>?
2
，求证：
sin
?
?cos
?
?1。
44
?
?cos
4
?
?(sin
2
?
?cos
2
?
)
2
?2sin
2
?< br>cos
2
?
?1?sin
2
2
?

14
1
2

高中数学选修2-2教案





而
0?
?
?
4
?
2
，故
0?2
?
?
?
,sin2
??0

4
∴
sin
?
?cos
?
?1 ?
1
2
sin2
?
?1
求证式成立。
2
3. 求证：
123
???2

log
5
19log
3
19log
2
19
1
证明：因为
l og
a
b?
，
log
b
a
23
所以左边=
log
19
5?2log
19
3?3log
1 9
2?log
19
5?log
19
3?log
19
2


23
=
log
19
(5?3?2) ?log
19
360?log
19
361?2



所以
123
???2
成立
log
5
1 9log
3
19log
2
19
a?blga?lgb

?
22
a?b
证明：当
a,b?0,有?ab

2
a?b
上式两端取对数得：
lg?lgab

2
a?blg(ab)lga?lgb
从而
lg

??
222
4．求证：如果
a,b?0,则lg
所以，命题得证。

a
2
?b
2
?22
5．设a>b>0且ab= 1，求证：
a?b
a
2
?b
2
(a?b)
2
?2ab2
??(a?b)?
证明：
a?ba?b(a?b)




∵a>b>0， ∴a-b>0
因此有
(a?b)?
22
?2(a?b)?22

(a?b)(a?b)
所以，命题得证。
6．已知：
a,b,c?R且a?b?c?1,证明:(-1)(-1)(-1)?8






111
abc
b+ca?ca+b
证明：∵a+b+c=1 ∴左式=
abc
?
又∵
a,b,c?R
∴
b?c?2bc,a?c?2ac,a?b?2ab

?
即
左式?
2bc2ac2ab
?8
成立。
abc
§2.2.1 综合法和分析法(2)
【学情分析】：
15

高中数学选修2-2教案
前两节课分别学习了综合法与分析法的思 考过程、特点。本节是在前两节课的基础上继续
运用综合法与分析法证明数学问题。在解决问题时，往往 会将这两种直接证明的方法结合起来
使用，本节课的例4就是运用这种证明方式。
【教学目标】：
（1）知识与技能：进一步了解直接证明的两种基本方法——综合法与分析法的思考过程、特点
（2）过程与方法：进一步运用综合法、分析法证明数学问题
（3）情感态度与价值观：通过 本节课的学习，感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养
成言之有理，论证有据的习惯
【教学重点】：
运用综合法、分析法证明数学问题。
【教学难点】：
根据问题特点，选择适当的证明方法证明数学问题或将两种方法结合使用；分析法证明问
题的正确格式
【教学过程设计】：

教学环
教学活动
节
一、 综合法和分析法的思考过程、特点
复习 综合法与分析法的关系
回顾
设计意图


一、 综合法和分析法的思考过程、特点
复习 综合法与分析法的关系
回顾


二、 1. 例3．如图所示，SA⊥平面ABC，AB⊥
S
应用 过A作SB的垂线，垂足为E，过E作SC
垂线，垂足为F。求证：AF⊥SC。
F
证明：要证 AF⊥SC
只需证 SC⊥平面AEF，
E
只需证 AE⊥SC（因为
A
________________）
B
只需证 AE⊥平面SBC，
只需证 AE⊥BC（因为________________）
只需证 BC⊥平面SAB，
只需证 BC⊥SA（因为________________）
由SA⊥平面ABC可知，上式成立。
所以，AF⊥SC。
尝试让学生用口头叙述例3的综合法证明过程。
2. 例4．已知
?
,
?
?k
?
?
C
?
，且
2
sin
?
?cos
?
?2sin
?
， ①
sin
?
cos
?
?sin
2
?
， ②
16

BC，

的
给学生独立思考的
时间， 再师生共同讨
论分析：线线垂直与
线面垂直的相互转
化（线线垂直
?
线面
垂直
?
线线垂直）

高中数学选修2-2教案
1?tan
2
?
1?tan
2
?
?
求证：
2
1?tan
?
2(1?tan
2
?
)
分 析：通过观察，首先应从已知条件中消去
?
，得到一个关于
sin
?
与sin
?
的关系式，而求证式中出现的是切函数，所以可以将切函
数转化为弦函数， 正余弦的转化因有二次，不成问题。
证明：因为
(sin
?
?cos
?
)?2sin
?
cos
?
?1
，
所以将①②代入上式，可得

4sin
?
?2sin
?
?1
③
22
2
1?tan
2
?
1?tan
2
?
?
另一方面，要证：成立
22
1?tan
?
2(1?tan
?
)
sin
2
?
sin
2
?
1?
2
1?
2
cos
?
cos
?
?
即证 ，
22
sin
?
sin
?
1?
2
2(1 ?
2
)
cos
?
cos
?
1
2222即证
cos
?
?sin
?
?(cos
?
?sin
?
)

2
1
22
即证
1?2sin
?
?(1?2sin
?
)

2
22
即证
4sin
?
?2sin
?
?1

由于上式与③相同，于是问题得证。
从例4可以看到，在解决问题时，我们经常把综合法和分 析法结
合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论得到中间结论Q；根据
结论的结构特点去转 化条件得到中间结论P。若由P可以推出Q成立，
就可以证明结论成立。
阅读P100上方
三、
练习 P89.3
巩固

分析要到位，通过本
例进一步熟悉综合
法与分析法的证题
思路特点

















更直观了解综合法
与分析法的结合运
用
及时讲评学生板
演过程中出现的问
题
综合法和分析法的思考方向恰好相反， 一般来说，分析法作为思考
过程比较自然，容易找到证题路径；而综合法作为证明过程，形式
简 洁、条理清晰、易于表达，令人产生严谨、完善的感觉。但在思
四、
维成分中，纯粹的分析法和纯粹的综合法是很少的，往往是在分析
知识
中有综合，在综合中又有分析。
小结

1. P91.习题2.2 A组3.4.
五、
课后
2. P91.习题2.2 B组3.
作业

17

高中数学选修2-2教案
学生在做证明题时，往往格式会不规范，最易范的错误是从求证式
六、
直接证起，要注意纠正。本节的作业A组第4题要稍做提示。
设计
反思

【练习与测试】：

4. 用分析法证明：欲使①A>B，只需②CA．充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件
答案：B
解：由分析法的证题思路知：②
?
①，但①不一定推出②，故选B。

2．
M?5?3,N?6?2,则( )

A．M≥N B. M>N C. M≤N D. M答案：B
22
解：M>N
?
(5?3)?(6?2)
?
8?215?8?46
?
15 ?26
?
15?24

∵15<24显然成立，∴选B


112

??
2a2ba?b
a?b2
?
证明：要 证原式成立，只需证，因为
a,b?R

?
2aba?b
222
所以只需证
(a?b)?4ab即证a?2ab?b?4ab

222
要证上式成立，只需证
a?2ab?b?0,即(a?b)?0

3. 若
a,b?R,证明:
?


显然成立，所以原不等式成立。
?2
1
2
2
3
1
3
3
4. 若
a,b?R,求证:(a+b)>(a+b)

证明： ∵
a,b?R

?
(a+b))>((a+b))?(a+b)>(a+b)
∴
(a+b) >(a+b)?(
?a
6
+3a
4
b
2
+3a2
b
4
+b
6
>a
6
+2a
3
b
3
?b
6
?3a
2
b
2
(a
2
?b
2
)?2a
3
b
3

?3(a
2
?b
2
)?2ab
，显然成立， 所以原式成立。

5．若
a?3,求证:a-a-1
证法一：若证原不等式成立，只要证
a+a-3
要证此不等式成立，只要证
2
1
2
2
3
1
33
2
1
2
2
63
1
3
3
62 23332
a?2a(a-3)+(a-3)<(a-2)+2(a-1)(a-2)+(a-1)成立



即
2a(a-3)<2(a-1)(a-2)

22
要证上式成立，只要证
a?3a?a?3a?2

即证 0<2 显然成立，所以不等式成立。
证法二：若证原不等式成立，只要证



1

a ?a?1
即证：
a+a-1，而此式显然成立，所以原式成立。
18
<
1
成立
a-2?a-3

高中数学选修2-2教案
6．若
a,b?R
?
,且2c?a?b,求证:|a?c|?c
2
?ab

证明：要证
|a?c|?c
2
?ab
只需证：
a?c?2ac?c?ab



只需证：
a?2ac?ab?0 即证 a(a+b-2c)<0
因为a>0
所以因需证a+b-2c<0 即证：a+b<2c 显然成立，所以求证式成立。
?
2
222
112

??
2a2ba?b
a?b2
?
证明：要证原式成立，只需证，因为
a,b?R

?
2aba?b
222
所以只需证
(a?b)?4ab即证a?2ab?b?4ab

7. 若
a,b?R,证明:








要证上式成立，只需证
a?2ab?b?0,即(a?b)?0

显然成立，所以原不等式成立。
222
§2.2.2反证法
【学情分析】：
前面我们学习了两种直接证明问题的方法——综合法和分析法。在以前的学习 中，学生已
经接触过用反证法证明数学命题，本节课进一步熟悉运用反证法证明某些直接证明较难解决的
数学问题。
【教学目标】：
（1）知识与技能：结合已学过的数学实例，了解间接 证明的方法——反证法；了解反证法的思
考过程、特点
（2）过程与方法：能够运用反证法证明数学问题
（3）情感态度与价值观：通过本节课的学 习，感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养
成言之有理，论证有据的习惯
【教学重点】：
了解反证法的思考过程、特点；运用反证法证明数学问题。
【教学难点】：
运用反证法证明数学问题。
【教学过程设计】
：

教学环
教学活动
节
一、 问题1、任找370个人，他们中生日有没有相同的呢？
提出 问题2、将9个球分别染成红色或白色，无论怎样染，至
问题 少有5个球是同色的，你能证明这个结论吗？
思考：通过以上几个练习，大家已经初步体会到反证法< br>的作用，你能不能总结一下应用反证法的概念及其步骤？


设计意图

从实际生活的例子出发，使学生对反证法的
基本方法和步骤有一个更深刻的认识。
二、
反证
法定
义
1：反证法的概念：
假设原命题不成 立，经过正确的推理,最后得出矛盾，因
此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的的证明方法叫< br>反证法．
2：反证法的基本步骤： 1）:假设命题结论不成立，即
假设结论的反面成 立；2）:从这个假设出发，经过推理论证，
得出矛盾；3）:从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的 结
论正确.
19

高中数学选修2-2教案
3：应用反证法的情形：1）：直接证明困难；2）：需分成
很多类进行讨论； 3）：结论为“至少”、“至多”、“有无
穷多个”类命题； 4）：结论为 “唯一”类命题；

三、
应用
例1、已知直线
a,b
和平面
?< br>，如果
a?
?
,b?
?
，且
a||b
，求证
a||
?
。
解析：让学生理解反证法
的严密性和合理性；
证明：因为
a||b
,
所以经过直线a , b 确定一
个平面
?
。
因为
a?
?
，而
a?
?
，
所以
?
与
?
是两个不同的平面．
因为
b?
?
，且
b?
?
，
所以
??
?b
.

下面用反证法证明直线a与平面
?
没有公共点．假设直
线a 与平面
?
有公共点
P
，则
P?
??
?b
，即点
P
是直
线 a 与b的公共点，这与
a||b
矛盾．所以
a||
?
.
点评：用反证法的基本步骤：
第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；
第二步 作出与所证不等式相反的假定；
第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推
出矛盾结果；
第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定
不正确，于是原证不等利

直观了解 反证法的证明过程。否定结
论，推出矛盾。提醒学生：使用反证
法进行证明的关键是在正确的推 理
下得出矛盾。这个矛盾可以是与已知
条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、
公理、定 理、事实矛盾等。

进上步熟悉反证法的证题思路及步
骤。
例2、求证：
2
不是有理数
引导学生结合思考题和例题归纳
解析： 直接证明一个数是无理数比较困难，我们采用反
出反证法所适用的题型特点和一般
证法．假设< br>2
不是无理数，那么它就是有理数．我们知道，
步骤。培养学生的归纳能力。
m
*
任一有理数都可以写成形如（
m,n
互质，
m?Z,n?N
”
n
的形式．下面我们看看能否由此推出矛盾．
证 明：假设
2
不是无理数，那么它就是有理数．于是，
存在互质的正整数
m,n
，使得
2?
22
m
，从而有
m?2n
,
n
因此，
m?2n
，
所以 m 为偶数．于是可设
m?2k
( k 是正整数），从
而有
4k
2
?2n
2
，即
n
2
?2k
2

所以n也为偶数．这与 m , n 互质矛盾！
由上述矛盾可知假设错误，从而
2
是无理数．
点评：反证法是 一种间接证法，它是先提出一个与命题
的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推
20

高中数学选修2-2教案
理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确
的一种方法。

四、
归纳
五、
练习
巩固
1. 通过思考题和例题，我们发现反证法适用于什么
样的题目？
（1）要证的结论与条件之间的联系不明显，直
接由条件推出结论的线索不够清晰；
（2）如果从正面证明，需要分成多种情形进行
分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很
少的几种情形。
2. 归纳一下反证法的证题一般步骤：
（1）否定命题的结论；
（2）进行合逻辑的推理；
（3）导出任何一种矛盾；
（4）肯定原命题的结论。
1. P91.练习1.2
2. 补充：
用反证法证明
（1）如果
x?

1
,那么x
2
?2x?1?0
.
2
六、
知识
小结
（2）求证：过直线外一点，有且只有一条直线
和这条直线平行。

反证法的证题步骤：
（1）否定命题的结论；
（2）进行合逻辑的推理；
（3）导出任何一种矛盾；
（4）肯定原命题的结论。
反证法的适宜题型： （1）对于起始命题、基本命题、特殊命题，由
于可以用到的定理、公式甚少或不易找出直接证明< br>通过小结总结所学，突出重点，强调
的关系，用反证法有时会骤得较好的效果；
难点
（2）命题的结论中含“不”、无”等（称为否
定形式命题），往往可以考虑反证法；
（3）命题用反面结论较易推出矛盾，适宜使用
反证法；
（4）命题结论中含“至多”、“至少”、“超过”、
“不超过”等词，往往可以考虑反证法；
（5）惟一性的命题，直接证不如反证法更易于
入手。
P102习题2.2 A组1

通过讲评可以及时发现学生解题中
存在的问题，予以更正。




七、
课后
作业
21

高中数学选修2-2教案
八、
设计
反思
反证 法学生并不陌生，在初中就已有所接触。通过
本节课的学习进一步明确其步骤，寻找矛盾点，哪
些题型是适用于反证法证的。感觉学生应该容易接
受。

【练习与测试】：
1．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程
ax
2
?bx?c?0(a?0)有 有理根,
则a、b、c中至少有一个是偶数时，
下列假设中正确的是（ ）
A. 假设a、b、c都是偶数 B. 假设a、b、c都不是偶数
C. 假设a、b、c至多有两个是偶数 D. 假设a、b、c至多有两个是偶数
答案：B
解：反证法的假设，恰好与结论相反，“至少有一个”的否定是“一个也没有”。选B。
< br>n
3
?(2k?1)
3
?
2．用反证法证明命题“若整数n的 立方是偶数，则n也是偶数”如下：假设n是奇数，则n=2k+1(k∈Z)，
__________ ___________________________，这与已知
n
3
是偶数矛 盾，所以n是偶数。
答案：
2(4k
3
?6k
2
?3k)?1

解：和的立方公式展开
n
3
?(2k?1)
3
?8 k
3
?12k
2
?6k?1?2(4k
3
?6k
2
?3k)?1

答案为
2(4k
3
?6k
2
?3k)?1
。

3．已知平面
?
和不在这个平面内的直线a都垂直于平面
?
，求证：直线
平面
?
。
证明：假设a不平行
?
，则a与
?
必有公共点，设为点A，过点A在平面
作直线c⊥b，由
?
⊥?
知，c⊥
?
，而a⊥
?
，则a∥c。这与a、c相交
A相矛盾，因此，假设错误，即a∥
?
。

4. 已知函数
f(x)?a
x
?
?
a∥
a
?
内
于点
b
x?2
（1）证明：函数
f(x)在 (-1,+?)
(a?1)
。
x?1
c
?
上为
增函数；（2）用反证法证明方程f(x)=0没有负根。
x?2x?1?33

??1?
x?1x?1x?1
3
当x≠-1 时
g'(x)?0
∴在
(?1,??)
上g(x)为增函数。 ∵a>1时，
a
x
在< br>g'(x)?
2
(x?1)
(??,??)
上为增函数，∴
f (x)在(-1,+?)
上为增函数。
x?2
（2）设存在
x
0
<0 (x
0
?-1)< br>，满足
f(x
0
)?0
，则
a
x
0
=-
0
,且0x
0
<1

x
0?1
x?2
1
所以
0<-
0
<1,即?x
0< br>?2
，与假设矛盾，故方程f(x)=0没有负根。
x
0
?12
证明：（1）令
g(x)?

5．设< br>a,b,c?R,且满足a?b?c?2,a
2
?b
2
?c
2
?2
。证明：a,b,c都是不大于
证明：假设结论不正确，可设
c?0或c ?


4
的非负数。
3
4

3
1
(a?b?c)
2

2
22
（1） 若c<0，由
a?b?c?2故a
2
?b
2
?c
2
?

高中数学选修2-2教案


即
a
2< br>?b
2
?c
2
?2ab?2bc?2ac又得(a?b)
2< br>?c
2
?2c(a?b)

∵c<0，由上式可得(a+b)<0，从而a+b+c<0与题设a+b+c=2矛盾。
（2）若< br>c?
4
。又由
(a?b)
2
?c
2
?2c( a?b)?2c(2?c)?4c?2c
2

3
4
∴
(a? b)
2
?4c?3c
2
?0
。这是不可能的，因此
c?也是不可能的。
3
44
综合两种情况知必有
0?c?
。同理可证
0?a,b?

33
1
2
6. 求证：抛物线
y?x?1
上不存在关于直线y+x=0对称的两点。
2
证明 ：假设抛物线上存在关于直线y+x=0对称的两点A(a,b)和B(-b,-a)，（
a??b，且a,b∈R），则
1
2
?
b?a?1
?
1
?
2
，两式相减得
b?a?(a?b)(a?b)
,
?< br>1
2
?
?a?(?b)
2
?1
?
2
?
11
2
由于
a??b
，则
a?b?0,所以(a?b) ?1,即a?2?b
，代入
b?a?1
得
22
b
2
?2b?2?0,因??2
2
?4?2??4?0
，故方程无实根，
1< br>2
这与b为实数相矛盾，故抛物线
y?x?1
上不存在关于直线y+x=0对称 的两点。
2

2.3数学归纳法
§2.3 数学归纳法(1)
【学情分析】：
数学归纳法是一种特殊的直接证明的方法，在证明一些与正整数n（n取无限 多个值）有关
的数学命题时，数学归纳法往往是非常有用的研究工具，它通过有限个步骤的推理，证明n 取
无限多个正整数的情形。
【教学目标】：
（1）知识与技能：理解“归纳法”和 “数学归纳法”的含意和本质；掌握数学归纳法证题的两
个步骤一个结论；会用“数学归纳法”证明与正 整数有关的数学命题。
（2）过程与方法：初步掌握归纳与推理的方法；培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质。
（3）情感态度与价值观：培养学生对于数学内在美的感悟能力。
【教学重点】：
借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤(特别要注意递推步骤中归纳
假设的运用和 恒等变换的运用)，运用它证明一些与正整数有关的数学命题。
【教学难点】：
如何理解数学归纳法证题的有效性；递推步骤中如何利用归纳假设。
【教学过程设计】：

教学环节
教学活动
设计意图
23

高中数学选修2-2教案
一、
提出
问题
1. 问题1：盒子里有八个乒乓球，如何证明里面的球全为白
色？
以试验的方式，从盒子中先取5 次球，观察颜色并猜想其余球
的颜色，判断猜想是否正确（完全归纳法）？
2.考察部分对 象，得到一般结论的方法，叫做不完全归纳法。
不完全归纳法得到的结论不一定正确。
考察全部对象，得到一般结论的方法，叫做完全归纳法。完全
归纳法得到的结论一定正确。
3. 举2个小例子说明不完全归纳法不一定正确。
小明的爸爸有3个儿子，老大说：“我叫 1毛”，老二说：“我
叫2毛”，老三说————？（我声明，我不叫3毛，我叫小明）。
因为矩形与正方形的对角线都相等且互相平分，所以说所有
四边形的对角线都相等且互相平分。
4. 问题2：请大家回忆，课本是如何得出等差数列的通项公式
的？
（板书）归纳出的结论——正确。
二、
数学归纳
法原理


通过实际例子了解
不完全归纳法与完
全归纳法的概念












a
n
5. 问题3：对于数列{a
n
}，已知
a
1
?1,a
n?1
?
（n=1,2,……），
复习回顾
1?a
n

1
求出
a
2
,a
3< br>,a
4
，我们猜想其通项公式为
a
n
?
。这个结论正 确

n

吗？
提出问题，引发思
生：讨论、交流。
考
6. 提出问题：很多时候用完全归纳法证明结论是否正确是不合

适的，我们借助不完全归纳法去发现或猜想结论，那么如何解

决不完全归纳法存在的问题呢？ （只有经过严格的证明，不完

全归纳得出的结论才是正确的。）

通过一系列的问题
引出新课

1. 由多米诺骨牌引入数学归纳法
[投影]多米诺骨牌游戏
提出两个问题：若第 一块不倒，出现什么情况？若中间某
电脑多媒体课件能
块倒下，不能使其下一块倒下，出现什么 情况？所以多米诺骨
够强化对学生感观
牌游戏能进行下去要满足两个条件。
的刺激，它创设生
（1）第一块骨牌倒下；
动、形象、直观的
（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒
教学情景，可以极
下。
大 提高学生的学习
2．参照多米诺骨牌的原理，我们设想：在证明某些与正整数有
兴趣，加大一节 课
关问题时，先证明当n取第一个值n
0
(例如n
0
=1或2)时，命题
的信息容量，帮助
成立（即骨牌的第一块能倒），然后假设只要由n=k ( k∈N* ，
学生理解和掌握知
k≥ n
0
)时命题成立，就能推出n=k+1时命题也成立（即只要
识
某一块倒下，就能使其下一块也倒下），那么就证明这个命题成

立（所有骨牌都能倒 下）。我们称这种证明方法叫做数学归纳法。
（严谨，一而二，二而三，……以至无穷）
数学归纳法的适用范围、原理
24

高中数学选修2-2教案
三、
应用
给出问题3的数学归 纳法的证明，将每一步骤标号。引导
学生总结出数学归纳法的证题思路和步骤。
数列{an
}中，已知
a
1
?1,a
n?1
?
a
n
（n=1,2,……），则猜想其通项
1?a
n


1

公式为
a
n
?
。

n

证明：（1）当n=1时，
a
1
?1,
猜想式成立
通过此 例引导学生
1
（2）假设当n=k时猜想成立，即
a
k
?
，
总结数学归纳法的
k
证题步骤。
那么当n=k+1时，

a
k
1
详细的板书推导利
根据已知
a
k?1
?
及假设
a
k
?
，
1?a
k
k
于学生总结归纳出
数学归纳法的证题
1
步骤及更进一步地
a
k1
k
所以
a
k?1
?
即当n=k+1时猜想也成立。
理解原理
??
1?a
k
1?
1
k?1

k
四、
归纳
五、
应用
由（1）（2）可以断定，等式对一切n∈N*都成立
强调:要用到归纳假设；列出证明n=k+1成立时的目标
明确数学归纳法的“起动步骤”和 “递推步骤”这“两个培养学生的归纳能
步骤”以及“一个结论”。 力
用数学归纳法证明命题的具体步骤是：
(1)（归纳奠基）证明当n取第一值n
0
(例如n
0
=1，n
0
=2
等)时命题成立；
(2)（归纳递推）假设n=k(k∈N* 且k≥n
0
)时命题成立，
证明当n=k+1时命题也成立。
在完成了这两个步骤以后，就可以断定命题对从n
0
开始的
所有的自然数n都正确。
强调：
（1）上面的证明第一步是递推基础，第二步是递推的依据，
两者缺一不可。
（2）第一步要证明，n=k+1时也要证明，且过程中一定要
用到假设。
阅读课本：P93倒数第5行至P94例1上方。 培养阅读习惯
例1 用数学归纳法证明
1?3?5???(2n?1)?n
2

板书解答过程，注意解题规范，严 防出现“依次类推”式
的不完全归纳法；强调n=k成立必须应用在证明n=k+1成立的
过程 中，不可应用等差数列求和公式证明n=k+1成立。
证明：
2
（1）当n=1时，左式=1，右式=1，等式成立。
（2）假设当n=k时，等式成立
即
1?3?5???(2k?1)?k
成立
则当n=k+1时
2
左式?[1?3?5???(2k?1)]?[2(k?1)?1]
?k
2
?(2k?1)
?(k?1)
2
所以当n=k+1时等式也成立
综合（1）（2）知，等式对于任意n∈N*都成立。
25





保证学生及时地在
充分理解的基础上
掌握数学归纳法的
解题方法及步骤

高中数学选修2-2教案
演示此求证式的含义
六、
练习
巩固
P95. 练习1.
实物投影学生解答过程，及时点评。
（学生板演练习）
通过讲评可以及
时发现学生解题中
存在的问题，予以
更正。
七、
知识
小结
适用：与正整数有关的命题
重点：两个步骤、一个结论；
注意：递推基础不可少，
归纳假设要用到，
结论写明莫忘掉
通过小结总结所
学，突出重点，强
调难点
1. P96习题2.3
十、
课后
作业
A组 1（2）
2. P96习题2.3 B组1
通过作业反馈，了
解对所学知识掌握
的效果，以利课后
解决学生尚有 疑难
的地方
十一、
设计
反思
本节课让学生对数学归纳法的原 理及证题步骤有一个初
步的认识，所选例题及练习均是较基础和简单的。在教学过程
中要强调： 用数学归纳法证明命题时，难在第二步。即在假设
n=k命题成立时，推出n=k+1时命题也成立。要 顺利地完成这
一步，主要依赖于观察、归纳、恒等变形等方面的能力。在推
导证明中必须运用到 “归纳假设”，否则不是数学归纳法。


【练习与测试】：

1．在用数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证（ ）
A. n=1时成立 B. n=2时成立
C. n=3时成立 D. n=4时成立
答案：C
解：由于多边形最少是三角形，故选C。

2. 某个与正整 数n有关的命题，如果当
n?k(k?N
*
)
时该命题成立，则一定可推得当 n=k+1时该命题也成立。现
已知n=5时，该命题不成立，那么应有（ ）
A. 当n=4时，该命题成立 B. 当n=6时，该命题成立
C. 当n=4时，该命题不成立 D. 当n=6时，该命题不成立
答案：C
26

高中数学选修2-2教案
解：n=6时命题成立与否不能确定，排除B、D； 假设n=4时，该命题成立，由已知得n=5时该命题成立，与已知条
件矛盾，故选C。
< br>n?2
1?a
2n?1
3．用数学归纳法证明：
1?a?a??a?( a?1)
，在验证n=1时，左端计算所得的项为
1?a
_____________ __________________。
2
答案：1+a+a
2
解：由 题意可知等式左端共有n+2项，∴当n=1时，左端有3项为1+a+a。

4. 数列 {a
n
}中，已知
a
1
?2,a
n?1
?
a
n
（n=1,2,……），计算
a
2
,a
3
,a
4
，猜想
a
n
的表达式并用数学归
1?a
n
纳法证明。
22
解：
a?
2
,a?
3
?
2
,a?
5
?
2

23
2
5
4
2
73
1?1?
35
猜想：
a
n
?
2

2n?1
证明：（1）当n=1 时，
a
1
?
2
?2,
猜想式成立
2?1
2
（2）假设当n=k时猜想成立，即
a
k
?
，
2k?1
a
k
2
及假设
a
k
?
，
1?a
k
2k?1
2
a
k
22
所以
a
k?1
?

?
2k?1
??
1?a
k
1?
2
2k?12(k?1)?1
2k?1
根据已知
ak?1
?
那么当n=k+1时，
即当n=k+1时猜想也成立。
由（1）（2）可以断定，等式对一切n∈N*都成立

5．用数学归纳法证明：n边形的内角和为
(n?2)?180?

证明：（ 1）当n=3时，三角形内角和为
180?
，满足
(3?2)
。
?18?0
（2）假设当n=k时，命题成立，即k边形的内角和为
(k?2)?180?

则当n=k+1时，相当于多出了一个三角形，内角增加了
180?
，
所以k+1边形的内角和为
(k?2)?180??180??[(k?1)?2]?180?

即当n=k+1时，命题成立 。
综合（1）（2），命题对于任意
n?3,n?N
成立。

3
6. 若n为正整数，求证：n+5n能被整除。
证明：（1）当n=1时，命题显然成立；
3
（2）假设当n=k时，命题成立，则k+5k能被6整除
3323
则当n=k+1时，（k+1）+5(k+1)= k+3k+3k+1+5k+5=(k+5k)+3k(k+1)+6
3
由假设知 k+5k能被6整除，而k(k+1)是2的倍数，即3k(k+1)为6的倍数，
3
第三项6也能被6整除，因此，(k+5k)+3k(k+1)+6能被6整除。
综合(1)(2)知，原命题成立。


27

高中数学选修2-2教案
§2.3 数学归纳法(2)
【学情分析】：
数学归纳法是一种特殊的直接证明的方法，在证明一些与正整数n（n取无限 多个值）有关
的数学命题时，数学归纳法往往是非常有用的研究工具，它通过有限个步骤的推理，证明n 取
无限多个正整数的情形。本节课是在上节课的基础上进上步熟悉数学归纳法的证题原理及步骤。
【教学目标】：
（1）知识与技能：理解“归纳法”和“数学归纳法”的含意和本质；掌握数 学归纳法证题的两
个步骤一个结论；会用“数学归纳法”证明与正整数有关的数学命题。
（2）过程与方法：初步掌握归纳与推理的方法；培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质。
（3）情感态度与价值观：培养学生对于数学内在美的感悟能力。
【教学重点】：
进一步巩固对数学归纳法的基本思想的认识，掌握它的基本步骤(特别要注意递推步骤中归
纳假设的运用 和恒等变换的运用)，运用它证明一些与正整数有关的数学命题。
【教学难点】：
如何理解数学归纳法证题的有效性；递推步骤中如何利用归纳假设。
【教学过程设计】：

教学环
教学活动
节
一、 数学归纳法的主要步骤及其适用范围
复习 (1)（归纳奠基）证明当n取第一值n
0
(例如n
0
=1，n
0
=2等)时命
回顾 题成立；
(2)（归纳递推）假设n=k(k∈N* 且k≥n
0
)时命题成立，证明当
n=k+1时命题也成立。
那那么，对n≥n
0
的一切自然数n命题都成立。
数学归纳法多用于证与正整数有关的数学问题。
二、 1. 例2 用数学归纳法证明
应用
n(n?1)(2n?1)
222
设计意图

1?2???n?
6
(n?N
*
)

证明：（1）当n=1时，左边=1,
右边=
1?(1?1)(2?1?1)
?1
，所以等式成立。
6
（2）假设当n=k时等式成立，即
1
2
?2
2
???k
2
?
k(k?1)(2k?1)

6
那么，当n=k+1时，
k(k?1)(2k?1)
?(k?1)
2
6k(k?1)(2k?1)?6(k?1)
2
(k?1)(2k
2
?7k ?6)
??

66
(k?1)(k?2)(2k?3)
?
6
(k?1)[(k?1)?1][2(k?1)?1]
?
6
即当n=k+1时等式也成立。
1
2
?2
2
???k
2< br>?(k?1)
2
?
综合(1)(2)可知，等式对任何
n?N
都成立。
2. 例3
*
详细板书证明过
程

强调：在证明
n=k+1时一定要用
到假设，整理过程
中如何减少运算
量 ，将待证目标式
摆到草稿纸上，对
应目标化简整理。










进一步巩固数学
归纳法的证题步
骤及思路。
28

高中数学选修2-2教案
1
已知数列
1
,
1
,
1
,
?
,
,?
，计算S
1
，S
2
，S
3
，S
4
，根据
1?44?77?10 (3n?2)(3n?1)
计算结果，猜想S
n
的表达式，并用数学归纳法进行证明。
11112
解：
S
1
??;S
2
???
；
1?4444?77
213314

S
3
???;S
4
???

77?10101010?1313
n
猜想：
S
n
?

3n?1
1
证明：（1）当n=1时，左边=
S
1
?

4
11
右边=
?
，猜想成立。
3?1?14
（2）假设当n=k时猜想成立，即
1111k

???
?
??< br>1?44?77?10(3k?2)(3k?1)3k?1
那么，
1111
???
?
?
(3k?2)(3k?1)

1?44?77?10
1
?
[3(k?1)?2][3(k?1 )?1]
k1
??
3k?1(3k?1)(3k?4)



3k
2
?4k?1(3k?1)(k?1)

?
(3k?1 )(3k?4)(3k?1)(3k?4)
k?1
?
3(k?1)?1
所以，当n=k+1时猜想也成立。
*
综合(1)(2)知，猜想对任何
n?N
都成立。
三、 P91. 练习2.
练习
巩固

?

1. 适用：与正整数有关的命题
重点：两个步骤、一个结论；
注意：递推基础不可少，
归纳假设要用到，
四、 通过小结总结所
结论写明莫忘掉
知识 学，突出重点，强
2. 数学归纳法两个步骤是一个统一的整体，缺一不可，注意在第二步
小结 调难点
中将归纳假设当做已知条件使用，而且必须运用到“归纳假设”，否则
就不是数学归纳法。
3. 数学归纳法用步骤（1）和（2）的证明代替了无穷多个命题的证明，
这里体现了有穷和 无穷的辩证关系。
29

高中数学选修2-2教案
1. P91习题2.3
五、
课后
2. P91习题2.3
作业
A组 2
B组2.3.
通过作业反馈，了
解对所学知识掌
握 的效果，以利课
后解决学生尚有
疑难之处
数学归纳法的步骤非常清晰，但学生在应用 的过程中容易出现如下问
题：如何由n=k时成立的归纳假设去推得n=k+1时结论依然成立，要通过仔细观察与分析前后原式发生的变化，不能轻易下结论；归纳假
六、
设是数学归纳法 解题成功与否的关键，一定要利用上；为充分利用归
、“添”项的方法“凑”出归纳假设中成立
设计
纳假设，往往要利用“拆”
反思
的因子。在教学过程中应给以强调。


【练习与测试】：

5. 使用数学归纳法证明
n?2(n?N)
，若不等式成立，则n的取值范围是（ ）
A.
n?2
B.
n?3
C.
n?4

答案：D
解：当n取第一个值5时，命题成立。

2．用数学归纳法证明“
D.
n?5

2n
111
??
?
??1(n?N*)
”，要证明第一步时，左边的式子
n?1n?23n?1
= 。
答案：

3．当
n?N
时，求证：
()?n
。
证明：（1）当n=1时，左式=
*
11113
???
。
23412
3
2
n
33
，右式=1，
?1
，原不等 式成立。
22
3
k
（2）假设当n=k时，原不等式成立，即
() ?k

2
3
k?1
33
k
3k
则当n=k +1时，左式=
()?()?k?k?

22222
3
k?2,?上 式?k?1,即()
k?1
?k?1

2
所以n=k+1时结论成立
*
综合（1）（2）原不等式对于任意
n?N
均成立。

4. 用数学归纳法证明：“
(n?1)(n?2)
?
(n?n)?2?1? 3?5?
?
?(2n?1)
成立，（
n?N
）”，第二步从n=k到
n=k+1时，左式有什么变化？
答案：左端增加了两项（2k+1）、（2k+2），还少了一项（k+1）。
解：当n=k时，左式=
(k?1)(k?2)(k?3)?(k?k)

n
*
当n
?
k
?1
时
,
左式
?(< br>k
?1?1)(
k
?1?2)
?
(
k
?1?
k
?1)(
k
?1?
k
)(
k
?1?k
?1)
?(k?2)(k?3)
?
(k?k)(2k?1)(2k?2)

30

高中数学选修2-2教案
5．已知f(x)是定义在（ -∞，+∞）上的不恒为零的函数，且对定义域内的任意x,y,f(x)都满足
f(xy)?yf(x )?xf(y)
。
（1）求
f1
（2）判断f(x)的奇偶性，并说明理由； （3）证明：
f(a
n
)?na
n?1
f(a).(n?N
*
,a为不为零的常数)
。
,)((1)f?
的值；
解：（1）∵ f(x)对任意x,y,f(x)都有
f(xy)?yf(x)?xf(y)

∴
令x?y?1,有f(11)?1f(1)?1f(1), ?f(1)=0


令x?y??1,有f[(?1)(?1)]?(?1)f(?1)?(?1)f(?1), ?f(-1)=0

（2）∵f(x)对任意x,y,f(x)都有
f(xy)?yf(x)?xf(y)

∴
令x?t,y??1,有f(?t)??f(t)?tf(?1),

将 f(-1)=0 代入得 f(-t)=-f(t)
∴函数f(x)是（-∞，+∞）上的歌奇函数。
证明：（3）用数学归纳法：
1
① 当n=1时，左边=f(a)=f(a)，右边=
1a
1?1
f(a)?f(a)
，等式成立。
② 假设当n=k时，等式成立，即
f(a
k
)?ka
k?1
f(a)
，则当n=k+1时，有
f(ak?1
)?f(aa
k
)?a
k
f(a)?af(a
k
)?a
k
f(a)?aka
k?1
f(a)?(k?1)a
k
f(a)

这表明当n=k+1时等式也成立。
综合①②可知，对任意 正整数，等式
f(a
n
)?na
n?1
f(a)
成立。

6. 是否存在实数a,b,c,使得等式
1?2
2
?2?3< br>2
???n(n?1)
2
?
并证明你的结论。
解：假设存在a,b,c使题设的等式成立，这时令n=1,2,3,有
n(n?1)
(an
2
?bn?c)
对任何正整数n都成立，
12

1
?
4?(a?b?c)
?
6
?
a?3
?
1
?
?
故
22?(4a?2b?c)
?
b?11

?
2
?
c?10
?
?
?
70?9a?3b?c
?
?
n(n?1)
（*）
(3n
2
?11n?10)
。
12
2
(3?11?10)?4
，左式=右式，所以（*）式成立。
12
于是，对n=1,2,3,下面等式成立，
1?2
2
?2?3
2
???n(n?1)
2
?
下面证明上式对任何正整数n都成立
证明：（1）当n=1时，左式
1?2
2
?4,右式?


（2）假设n=k时（*）式成立，即有

1?2
2
?2?32
???k(k?1)
2
?
k(k?1)
(3k
2?11k?10)

12
那么，当n=k+1时，
左式?[1?2< br>2
?2?3
2
???k(k?1)
2
]?(k?1)(k?2 )
2
k(k?1)
(3k
2
?11k?10)?(k?1)(k?2 )
2
12
k(k?1)
?(k?2)(3k?5)?(k?1)(k?2)< br>2
12
(k?1)(k?2)
?(3k
2
?5k?12k?2 4)
12
(k?1)(k?2)
?[3(k?1)
2
?11(k?1 )?10]
12
?




也就是说，（*）式对n=k+1也成立。
综合(1)(2)，当a=3,b=11,c=10时，题设对一切自然数n均成立。
31

高中数学选修2-2教案

第三章 数系的扩充与复数的引入
3.1数系的扩充和复数的概念
【课题】：3.1.1 数系的扩充和复数的概念
【学情分析】：
从小学接触自然数到扩充至整数范围,进入初中阶段后学生认识到数系从整数 到有理数再到实数的第二次扩充.
因为现实的需要,高中阶段要进一步实现从实数系到复数系的第三次扩 充.
学生初次接触复数，会产生一种“虚无缥缈”的感觉.所以要有意识地将实数与复数进行类比学习 ,学会复数问题
向实数问题转化的方法.

【教学目标】：
（1）知识目标：
理解复数产生的必然性、合理性；掌握复数的代数表示形式;掌握复数系下的数的分类.
（2）过程与方法目标：
从为了解决
x?1?0
这样的方程在实数系中无解 的问题出发,设想引入一个新数i,使i是方程
x?1?0
的根.
到将i添加到实数集 中去,使新引入的数i和实数之间能象实数系那样进行加、乘运算；掌握类比的方法，转化的方
法。
（3）情感与能力目标：
通过介绍数系扩充的简要进程，使同学们感受人类理性思维对数学的 发展所起的重要作用，体会数与现实世界
的联系。
22
【教学重点】：
复数的概念及其分类。
【教学难点】：
虚数单位i的引入。
【教学突破点】：
从解
x?1?0
方程的需要，引入虚数单位i.及虚数单位i与实数的融合。
2
【教法、学法设计】：
讲授、练习相结合。
【课前准备】：
课件
【教学过程设计】：
教学环
节
教学活动 设计意图
32

高中数学选修2-2教案
一、复习
引入

从解
方程的实
系后，这个二次方程恰好有两个解：
x??2
； 际出发，使
学生对数
2
2．同学们在解一元二次方程
ax?bx?c?0
的时候，会遇到判别
系的扩充
有一个更
2
式
??b?4ac ?0
的情况。这时在实数范围内方程无解。一个自然的
深刻的认
想法是能否把实数系扩 大，使这种情况下的方程在更大的数系内有解？ 识。



1．方程x?2?0
在有理数系没有解，但当把数的范围扩充到实数
2
二、讲1．复数的概 念：
授新课
①形如
a?bi(a,b?R)
的数叫复数。其中i叫虚数单 位。全体复数所
（1）复
数的概成集合叫复数集。
念
②复数通常用字母< br>z
表示。即z=
a?bi(a,b?R)
。其中
a
与
b
分别叫

做复数z的实部与虚部。
③
a?bi(a,b?R)< br>与
c?di(c,d?R)
相等的条件是
a?c
且
b?d.< br>



（2）复
数的分
类

2．复数的分类：
?
实数(b?0),

复数z
?
?
虚数(b?0)(当a?0时为纯虚数).

33

高中数学选修2-2教案
练习1：
三、运3. 说出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是复数：
用新
2?2 ,0.618,3i,0,i,i
2
,5?2i,3?2i,(1?3)i,2?2i.

知 ，
体验成4. 写出下列各复数的实部和虚部：
功
13

?3?2i,3?7i,?i,?8,?6i.

22
5. 求适合下列方程的
x
和
y
(x,y?R)
的值：
(1)(x?2y)?(2x?3y)i?3?3i;

(2)(3x?y?3)?(x?y?3)i.
答案:①实数有:
2?2,0.61 8,0,i
2
;
及时运
用新知识，
巩固练习，
让学生体验成功，为
了使学生
实现从掌
握知识到
运用知识
的转化，使知识教育
与能力培
养结合起
来，设计分
虚数有:
层练习
3i,i,5?2i,3?2i,(1?3)i,2?2i.
;复数有:全部.
② 实部及虚部依次为:
?3,2;3,7;
③
(1)x?
13
,;?8 ,0;0,?6.

22
39
,y??;(2)x?0,y??3.

77
34

高中数学选修2-2教案
四、师复数的分类及复数相等条件的运用：
m(m?2)
生互
例1.已知< br>m?R,
复数
z??(m
2
?2m?1)i,
当
m< br>为何值
动，继
m?1
续探究
时: (1)
z?R;
(2)
z
是虚数; (3)
z
是纯虚数.


让学生
进行数的
分类的探
究, 对于
较为正确
的分类，并< br>分析:涉及复数的分类概念,应分别应用复数.
?
当且仅当b?0时为实数,
?
?
当且仅当b?0时为虚数,
a?bi
?
?
当且仅当a?0 ,b?0时为纯虚数,
?
当且仅当a?0,b?0时为零.
?
解:(1)当m
2
?2m?1?0且m?1?0,
即m??1?2时,z为实数.
(2)当m ?2m?1?0且m?1?0.
即m??1?2且m?1时,z为虚数.
m(m?2)
(3)当?0且m
2
?2m?1?0,
m?1
即m?0或?2时,z为纯虚数 .
例2.已知
x
是虚数,
y
是纯虚数,且满足
(2x?1) ?(3?y)i?y?i,
求
2

能说出特
征的都将
给予肯 定，
重视个体
差异，体现
多元评价
的思想，发
挥评价的
激励 作用，
保护学生
的自尊心，
增强学生

的自信心.
然后教师
给出规范
的分类。
x,y.


分析:因x?R,y是纯虚数,所以可设y?bi(b?R且b?0),代入原式,由复数相等的充要条件可得方程组,解之即得
所求结果.
解:
?
y是纯虚数,可设y?bi(b?R,b?0),则
(2x?1)?3i?b?bi?i,整理得(2 x?1?b)?3i?(b?i),
由复数相等的充要条件得
?
b?4,
?< br>2x?1??0,
?
?
??
3
,
b?1?3
x??
?
?
2
?
3
?x??,y?4i.
2


35

高中数学选修2-2教案
五、分探究活动：
层练练习2 ：
习，巩
22
①试问
x
取何值时，复数
(x?x?2)?(x?3x?2)i
是实数？是虚
固提高
数？是纯虚数？
②解方程
x?10x?40?0.




参考答案：①
?
?1,?2
?
;
2
通过 多角
度的练习，
并对典型
错误进行
讨论与矫
正，使学生
巩固 所学
?
xx?R,x??1,x??2
?
;
??
1.

内容，同时
完成对新
知的迁移。
②
x?5?15i

六、概采取师生互动的形式完成。
括梳即：学生谈本节 课的收获，教师适当的补充、概括，以本节知识目
理，形标的要求进行把关，确保基础知识的当堂落实。
成系统

（小
结）
七、布
置作业


采取师生
互动的形
式完成。




A组
1.写出下列复数的实部与虚部:


?5?5i,22
?i,?3,i,0.
22
2.求适合下列各方程的实数
x和y的值 :

(1)(3x?2y)?(5x?y)i?17?2i;

(2)(3x?4)?(2y?3)i?0;

n?4
2
?(n?3n?4)i,

2
m?3m?4

(1)m,n取什么整数值时,z是纯虚数;
3.已知复数z

?

(2)m,n取什么整数值时,z是实数.

36

高中数学选修2-2教案
B组
1.对于复数集C,实数集R,虚数 集M,纯虚数集P,下列关系正确的是(
?C,??
?
D.(MR)C
??
)

2.使复数z?x
2
?2x?3?
?
( log
1
x)
2
?log
1
x?2
?
i是 虚部为正数的非纯虚数,
?
22
?

则实数x的取值范围是___________.

参考答案：
A组．1. 五个复数的实部与虚部依次为:
?5,5;
2.
(1).x?1,y?7;
2 2
,?;?3,0;0,1;0,0.

22
(2)x?
43
,y??.

32
3.
(1).n?4,m?Z,m??1,m?4;


(1).n??4或n?1,m?Z,m??1,m?4;

B组. 1.A; 2.B; 3.
(0,)?(2,3)?(3,??)
.
1
4
【课题】：3.1.2 复数的几何意义
【学情分析】：
教学对象是高二的学生，学生已经学过代数、解析几何的相关知识,所以本节课要求学生通过类比实数的几何意义自己探索复数的几何意义，由于学生已经学过平面向量及其几何表示、坐标表示，得到用平面向量来表示 复数
就比较容易了.
【教学目标】：
（1）知识与技能：
了解复数的几何意义，会用复平面的点和向量来表示复数；
（2）过程与方法：
在解决问题中，通过数形结合的思想方法，加深对复数几何意义的理解；
（3）情感态度与价值观：
培养学生用联系的观点分析、解决问题的能力。
【教学重点】：
复数的代数形式和复数的向量表示.
【教学难点】：
复数的向量表示.
【课前准备】：
powerpoint课件
【教学过程设计】：

教学环节

教学活动
37
设计意图

高中数学选修2-2教案
一、问题引
入


二、学生活
动


我们知道，实数与数轴上的点一一对应 ，因此，实数可用数轴上的点来表
示，那么复数是否也能用点来表示呢？

问题1 复数相等的充要条件表明，任何一个复数
a?bi
都可以由一个有
序实数对（a，b） 惟一确定，而有序实数对（a，b）与平面直角坐标系中
的点是一 一对应的，那么，我们怎样用平面内的点来表示复数呢？

问题2 我们知道平面直角坐标系中的点A与以原点O为起点、 A为终点
的向量
OA
是一 一 对应的，那么复数能用平面向量来表示吗？


提出问题,激发学
生学习兴趣
从实数的集合一一
（用数轴上的点来
表示）类比联想提
出复数几何意义的
问题后，让学生尝
试、探索用直角坐
标系 中的点来表示
复数

三、建构数
学
师生共同活动： 师生共同讨 论,有
助于学生对复数的
1．在平面直角坐标系
xOy
中，以复数
z ?a?bi
的实部
a
为横坐标、虚
几何意义的理解

部< br>b
为纵坐标就确定了点
Z(a,b)
，我们可以用点
Z(a,b)来表示复数


z?a?bi
，这就是复数的几何意义。
2．建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面（也称为高斯平面），
x
轴叫做 实轴，
y
轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴

上的点都表示纯虚数。

3．因为复平面内的点
Z(a,b)
与 以原点
0
为起点、
Z
为终点的向量
OZ
一


一对应（实数0与零向量对应），所以我们也可以用向量
OZ
来表示复数


z?a?bi
，这也是复数的几何意义。


y


Z:a+bi




O
x






4． 根据上面的讨论，我们可以得到复数
z?a?bi
、复平面内的点


Z(a,b)
和平面向量
OZ
之间的关系（见下图）。今后，常把复数
z? a?bi


说成点
Z
或向量
OZ
（并且规定相等的向量表示同一个复数）。


38

高中数学选修2-2教案














用图形表示三者之
间的关系,使学生
加深印象.
复数
一一对应
z?a

?bi
一一对应
复平面内
的点
Z(a,b)
平面向量


OZ
一一对应
5．相对于复数的代数形式
z?a?bi
，我们把点
Z(a,b)
称为复数
z
的几
何形式，向量
OZ
称 为复数
z
的向量形式。并且规定，相等的向量表示同
一个复数。


四、数学运
用
运用1
（1）例1 在复平面内，分别用点和向量表示下列复数：
4，2+i，-i，-1+3i，3-2i.
（2）P118练习1(口答)
问题3 我们 知道任何一个实数都有绝对值，任何一个向量都有模(或绝对
值),它表示向量的长度.相应地,我们可 以给出复数的模(或绝对值）的概
念吗？
通过例题的讲解和
分析，提高学生分
析问题和解决问题
的能力。




向量
OZ
的模叫做复数
z?a? bi
的模（或绝对值），记作︱
z
︱或


22
z
︱
a?bi
︱。由模的定义可知︱︱=︱
a?bi
︱=
a? b
。



运用2
例2 实数m取什么值时，复平面内表示复数
培养学生思维的灵
z?(m
2
?8m ?15)?(m
2
?5m?14)i
的点
活性和深刻性。
（1）位于第四象限？ （2）位于第一、三象限？
（3）位于直线
y?x
上？

巩固知识，培养技
巩固练习： 能.

1.设
z?log
2(1?m)?ilog
2
(3?m)(m?R)
,

(1)若
z
是虚数,求
m
的范围;
39

高中数学选修2-2教案
(2)若
z
在复平面对应的点在第三象限,求
m
的范围.
2.在复平面内，
O
是原点，向量
oA
对应的复数是
2?i
.
(1)如果点A关于实轴的对称点为点B,求向量
OB
对应的复数;
(2)如果（1）中点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复
数.
五、小结 1.由实数用数轴上的点来表示,,类比联想到复数可用复平面上的点来表示,
进而得到复数的向量形式 ,这是由一维到二维的联想,同时实现了从”数”
到”形”的转化.
2．通过复数的几何意义的学习
,体会数形结合的思想.复数作为一种新的数
学语言 ,也将为我们今后用代数的方法解决几何问题提供了可能.









回顾反思

6. 作业
1、在复平面内，复数
i
?(1?3i)
2
对应的点位于 （ B ）
1?i
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2、复数
z?
?1?i
?1,
在复平面内，
z
所对应的点在 （ B ）
1?i
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
③ 在复平面内指出与复数
z
1
?1?2i,z
2
?2?3 i,z
3
?3?2i,z
4
??2?i
对应的点
Z
1
,Z
2
,Z
3
,Z
4
.试判断这四个点是否在 同一个圆上？并证明你的结论.
解：因为
︱
z
1
︱=
1
2
?2
2
?5
，︱
z
2
︱=
5
，︱
z
3
︱=
5
，︱
z
4
︱=
5
，
所以，
Z
1
,Z
2
, Z
3
,Z
4
这四个点都在以圆点为圆心，半径为
5
的圆上.
4、如果P是复平面内表示表示复数
a
+bi（a，b
?
R）的点， 分别指出在下列条件下点P的位置：
（！）
a
>0，b>0; (2)
a
<0,b>o; (3)
a
=0,b
?
0; (4)b<0.
解：（1）第一象限 （2）第二象限 （3）位于原点或虚轴的下半轴上
（4）位于实轴下方
5、如果复数
z
的实部为正数，虚部为3，那么 在复平面内，复数
z
对应的点应位于怎样的图形上？
解：平面直角坐标系中以（0，3）为端点的一条射线，但不包括端点（0，3）
40

高中数学选修2-2教案
6、已知复数
z
的虚部 为
3
，在复平面内复数
z
对应的向量的模为2，求该复数
z
.
解：由已知，设
z?a?
则
a
2
?
2
3i(a?R)

3?4.
解得
a??
1.
3i.
所以
z??1?
3.2复数代数形式的四则运算
§3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义
【学情分析】：
学生在建立了复数的概念以后,很重 要的一个问题就是建立复数集里的各种运算.由于实数是复数的一部分,在建
立复数运算时应当遵循的一 个原则是作为复数的实数,在复数集里运算时和在实数集里的运算应当是一致的.
复数兼备代数形式和 几何形式(点表示和向量表示),对复数代数形式的加减运算及其几何意义的学习有助于理
解复数两种表 示形式的统一,同时也提供了一个数形结合思想的载体.

【教学目标】：
（1）知识与技能：
了解复数代数形式的加减运算,了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.
（2）过程与方法：
从实数集中的相关概念以及运算出发，对比引出复数的加减法的定义，对 比复数的代数形式，复数的向量形
式同样具备其自身的加减法法则。培养学生类比、化归、数形结合的思 想方法。
（3）情感态度与价值观：
通过复数的代数形式的加减运算的学习，体会数集运算 定义的完备性与一致性，增加对数学逻辑美的认识。
【教学重点】：
复数代数形式的加减运算及其几何意义。
【教学难点】：
复数代数形式的加减运算几何意义。
【课前准备】：
powerpoint课件
【教学过程设计】：
教学环节 教学活动 设计意图
将实
数运算以
及其中的
概念提
出，让学
生对比思
考在复数
中相应的
运算 和概
念，引出
问题。
1．同学们在学实数的时候有绝对值的概念，在复数里
|a?bi|(b?0)
叫
做复数的模长，在实数集里有相反数的概念，那么复数
a? bi
还有没有相反复
数的概念呢？
2．实数与实数相加减得到的仍是实数，现在我们 学习了复数这个数集，
如果一个实数与一个纯虚数相加比如
（3）?（）i
等于多少呢 ？或者一个实数加
上一个虚数比如
(3)+(1+i)
又等于什么呢？

一、复习
引入

41

高中数学选修2-2教案
二、讲授新1．复数的加法：
课
①设
z
1
?a?bi,z
2
?c?di(a,b,c,d?R)< br>，规定
（１）复数
代数形式
z
1
?z
2
?( a?bi)?(c?di)?(a?b)?(c?d)i
。
的加法运
算
② 复数的加法运算满足交换律、结合律，即对任意复数
z
1
,z
2
,z
3
有


z
1
?z
2
?z
2
?z
1
(z
1
?z
2
)?z
3
?z
1
?(z
2
?z
3
)



（２）复数２．复数的减法
代数形式
①已知复数
a?bi
，根据加 法定义，存在惟一的复数
?a?bi
使
的减法运
(a?bi)?(?a?bi )?0
，
?a?bi
叫做
a?bi
的相反数
算
②设
z
1
?a?bi,z
2
?c?di(a,b,c,d?R)，规定

z
1
－z
2
?(a?bi)?(c?di)? (a?bi)?(?c?di)?(a?c)?(b?d)i



（３）复数３．复数加减法的几何意义
加减法的
已知复数
z
1?x
1
?y
1
i,z
2
?x
2
?y< br>2
i
及其对应的向量如图，
几何意义

oz
1?(x
1
,y
1
),oz
2
?(x
2
,y
2
),
且
oz
1
,oz
2
不共线，以
oz
1
和oz
2
为邻边作平行四
边形
oz
1
zz
2
，根据向量的加法法则，对角线
oz
所表示的向量
oz?oz
1
?oz
2
，
而
oz
1
?oz
2
所对应的坐标为
(x
1
?x
2
,y
1< br>?y
2
)
，正是两个复数之和
z
1
?z
2< br>所
对应的有序实数对。因此复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法
则，类似地 ，向量
z
2
z
1
所对应两个复数的差
z
1
?z
2
，作
oz?z
2
z
1
，则点
z也
对应复数
z
1
?z
2
。
'
z2
z
1
z
1
-z
2
z
'
z< br>
42

高中数学选修2-2教案

三、运用新
知 ，
体验成功

练习1：
7. 计算：
1.(1?i)?(1?i);
2.(2)?(?2?3i)

3.0?5?(?4i)
4.(?5?i)?(3?2i)
8. 写出下列各复数的相反数：
?3?2i,3?7i,
9. 计算：
13
?i,???8,?6i.

22
1.(4?5i)?(4?2 i);
2.(?3?2i)?(4?6i);

3.(?3?2i)?(5?i)?( 4?7i);
4.(1?i)?(1?i)?(5?4i)?(?3?7i)
解：①2，
3i
，
5?4i
，
?2?i

②
3?2i,及时运
用新知
识，巩固
练习，让
学生体验
成功，为
了使 学生
实现从掌
握知识到
运用知识
的转化，
使知识教
育与能力
培养结合
起来，设
计分层练
习
13
?3?7i,??i,??8,6i.

22
③
3i< br>，
?7?8i
，
?4?6i
，
?8?13i

43

高中数学选修2-2教案
四、师生互
动，继续探
究

④ 计算：
让学生
(1?2i)?(2?3i)?(3?4i)?(4?5i)?
解：原式＝
?(1999?2000i)?(2000?2001i)

进行复数
代数形 式
(1?2?3?4??1999?2000)?(?2?3?4?5??2000?2001)i＝
加减运
算。
?1000?1000i
。
分析：复数的加减 法，相当于多项式中加减中的合并同类项的过程，两个复
数相加减，就是把实部与实部，虚部与虚部分别 加减。

例２．已知复数
z?a?bi(a,b?R)
，若
z＋z ?0
，证明复数
z
是纯虚数或０。
解：将
z?a?bi(a,b? R)
代入
z＋z?0
得，
(a?bi)?(a?bi)?0
，运算得 ：


2a?0,
所以
a?0
，所以
z?bi，当
b?0
时，
z?0
，当
b?0
时，
z为纯
虚数。
分析：本题是证明一个虚数数为纯虚数的等价条件。

例 ３．已知
z
1
??3?i,z
2
?5?3i
对应的向量分别 为
oz
1
和oz
2
，以
oz
1
,oz2
为
邻边作平行四边形
oz
1
cz
2
，求向量
oc,z
1
z
2
,z
2
z
1
对应 的复数。
解：由复数加减法的几何意义知：向量
oc
对应的复数为
z
1
?z
2
?(?3?i)?(5?3i)?2?2i
，
向量z
1
z
2
对应的复数
z
2
?z
1?(5?3i)?(?3?i)?8?4i
；向量
z
2
z
1对应的复
数
z
1
?z
2
??8?4i
。
五、分层练
习，巩固提
高

探究活动：
练习2 ：
①已知复数
z
满足
z?i?3?3?i,求z
？
②在复平 面内，复数
?3?i与5?i
对应的向量分别是
通过多角
度的练
习， 并对
典型错误
OA和OB,其中O是原点，求向量OA?OB,BA
对应的复数以及< br>A,B
两点
进行讨论
之间的距离。
解：①
6?2i

②2，
25

与矫正，
使学生巩
固所学内
容，同时
44

高中数学选修2-2教案
完成对新
知的迁
移。
六、概括梳
理，形成系
统
（小结）
七、布置作
业



采取师生互动的形式完成。
即：学生谈本节课的收获，教师 适当的补充、概括，以本节知识目标的
要求进行把关，确保基础知识的当堂落实。



1、 课后作业。
2、设计题可根据自己的喜好和学有余力的同学完成。
采取师生
互动的形
式完成。



1．计算
(3?i)?(2?i)
的结果为（ ）
A.1 B.
?i
C.
5?2i
D.
1- i

解：Ａ
2．已知复数
z满足z?i?3?3?i,则z
＝（ ）
A．0 B。
2i
C。 6 D。
6?2i

解：Ｄ
3．
|(3?2i)?(4?i)|
等于（ ）
A．
58
B．
10
C．2 D．
?1?3i

解：Ｂ
4．若
|z|?1,则复数z对应的点的轨迹是
（ ）.
A. 一个点 B. 两个点 C. 四个点 D. 一个圆
解：Ｄ
5．
|(3?2i)?(1?i)|
表示（ ）.
A. 点（3，2）与点（1，1）之间的距离
B. 点（3，2）与点（-1，-1）之间的距离
C. 点（3，2）到原点的距离
D.以上都不对
解：Ａ
6．在复平面 上复数
?1?i,0,3?2i
所对应的分别是Ａ，Ｂ，Ｃ，则平行四边形ＡＢＣＤ的对角线B D的长为 。
解：
BD?BA?BC?2?3i,?|BD|?4?9?13
。
45

高中数学选修2-2教案

§3.2.2 复数的乘法和除法
【学情分析】：
学生在建立了复数的概念以后,很重要的一个问题就是建 立复数集里的各种运算.由于实数是复数的一部分,在建
立复数运算是,应当遵循的一个原则是作为复数 的实数,在复数集里运算时和在实数集里的运算应当是一致的.
在学习了复数的加减法之后，学生对复 数的乘除法以及其与实数乘除法的区别的好奇心自然也呼之欲出。.

【教学目标】：
（1）知识目标：
能进行复数代数形式的乘除运算.
（2）过程与方法目标： < br>2
从实数的乘除运算及其运算律出发，对比引出复数的的乘除法定义及其运算律，通过
z ?z?|z|
实现实数与虚
数的转化，培养学生转化的思想。
（3）情感与能力目标：
通过复数的乘除法的学习，体会实虚数的矛盾和统一，加深对数学的情感认识。
【教学重点】：
i
的运算和分母实数化。
【教学难点】：
复数除法中的分母实数化。
【课前准备】：
powerpoint课件
【教学过程设计】：
教学环节 教学活动
1．根据虚数单位
i
的定义,
i
满足方程
x??1,即i ??1,i?i??1
,那
一、复习引
入

么
(2i)?(i)
呢,
(1?i)
呢？
2．实数与实数 相乘除得到的仍是实数，实数的乘除满足交换律、结合
律，乘法对加法的分配律，复数的乘除还满足这些 运算律吗？两个虚数相
乘能得到实数吗？

1．复数的乘法：
①设
z
1
?a?bi,z
2
?c?di(a,b,c,d?R)
，规定
2
22
设计意图
通过虚
数单位的定
提出问题，
通 过实数运
算的对比引
出复数乘除
法的定义。
二、讲授新
课
（１）复数
的乘法运算

z
1
z
2
?( a?bi)(c?di)?ac?adi?bci?bdi
2
?(ac?bd)?(ad?bc )i
。
②复数的乘法运算满足交换律、结合律和乘法对加法的分配律，即对
任意复数
z
1
,z
2
,z
3
有
46

高中数学选修2-2教案
z
1
?z
2
?z
2
?z
1
(z
1
?z
2
)?z
3
?z
1
?(z
2
?z
3
)
z
1< br>?(z
2
?z
3
)?z
1
?z
2
? z
1
?z
3
③实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立，即对 复
数
z,z
1
,z
2
和自然数n,m
有：

z
m
?z
n
?z
m?n
(z
m
)
n
?z
mn
(z
1
?z
2
)< br>n
?z
1
n
?z
2
n
④
i
（２）复数
的除法运算
4n?1

?i,i
4n?2
?? 1,i
4n?3
??i,i
4n
?1(n?Z)


'
２．复数的除法
①已知复数
z?a?bi
，
z?
1
'
叫做
z
的倒数。它满足
z?z?1

z

z
'
?
1a?bia?biabi
??
2
??

22222
a?bi(a?bi)?(a?bi)a?ba?ba?b
'

显然
z?
1z
?
2

z|z|

②设
z
1
?a?bi,z
2
?c?di(a,b,c,d?R)，规定

z
1
a?bi1c?di
??(a?bi)?()?( a?bi)?(
2
)
=
z
2
c?dic?dic?d
2
(ac?bd)?(bc?ad)iac?bdbc?ad
?
2
?
2
i

2222
c?dc?dc?d

三、运用新
知 ，
体验成功


练习1：
10. 计算：
及时运用
新知识，巩
固练习，让
学生体验成
功，为了使
学生实现从
掌握知识到
运用知识的
转化，使知
识教育与 能
力培养结合
起来，设计
分层练习
1.(1?i)
2
;< br>2.(1?i)
2
;
3.[（3?2i)?i];
4.i
23
,i
352
,i
1000
,i
2007
11.
若
?
??
12. 计算：
2

13
?i ,求
?
2
和1?
?
?
?
2

22
47

高中数学选修2-2教案
1.
2?i
;
7?4i
1
2.;
i
1
3.;
1?i
(1?i)
8
4.
(1?i)
8
解：①
2i
，
?2i
，
?7?62i
，
?i
，1，1，
?i

②
?
③

四、师生互
动，继续探
究

⑤ 求证：
让学生进
行复数乘除

法运算，并
得到一些复
13
?i
，0
22
18111
?i
，
?i
，
?i
，1
656522
(1)z?z?|z|
2
?|z|
2
(2)z ?(z)
解：
22
(3)z
1
?z
2
?z
1
?z
2
22
(1)设z?a?bi,则z?a?bi，于是z?z?(a? bi)(a?bi)?a
2
?abi?bai?b
数运算结
i?a
2
?b
2
?|z|
2
?|z|
2

论。

(2)设z?a?bi,则z
2
?(a?bi)
2
?a< br>2
?b
2
?2abi
(z)?(a?bi)?a?b?2abi于是z ?(z)
222222

(3)设z
1
?a?bi,z
2< br>?c?di,则z
1
?z
2
?(ac?bd)?(ad?bc)i?( ac?bd)?(ad

?bc)i
z
1
?z
2
? (a?bi)(c?di)?(ac?bd)?(ad?bc)i于是z
1
?z
2?z
1
?z
2

分析：（1）表明，两个共轭复数的乘积等于这个复数（或其共轭复数）模
的平方。

xy5
??,求x,y的值。

1?i1?2i1?3i
xy5??
解：可写
1?i1?2i1?3i
x(1?i)y(1?2i)5(1?3i )
??,即5x(1?i)?2y(1?2i)?5?15i
2510
例2．已知x,y?R,且
成
，即
?
5x?2y?5
?
x??1< br>。
(5x?2y)?(5x?4y)i?5?15i,?
?
,
?5x?4y?15y?5
??
48

高中数学选修2-2教案
分析：在进行复数除法运算时，通常把
(a?bi)?(c?di)写成

a?bi
,再通过分母实数化进行
化简整理．
c?di
例３．设< br>z
1
,z
2
为非零复数，问
A,B
A?z
1
?z
2
?z
2
?z
1
,B?z
1
?z
1
?z
2
?z
2
，
能否比较大小？若能，请指 出他们的大小关系．
解：设
z
1
?a?bi,z
2
?c ?di(a,b,c,d?R),则A?z
1
z
2
?z
1
z
2
?(a?bi)(c?di)?(a?bi)(c?di)?2(ac?bd)?R

B?z
1
z
1
?z
2
z
2
?a< br>2
?b
2
?c
2
?d
2
?R
，由于 A,B都是实数，所以可以比
较大小，又
B?A?a
2
?b
2
?c
2
?d
2
?2(ac?bd)?(a?c)
2
?(b ?d)
2
?0,所以A?B,
当且仅当
a?c,b?d
时，即
z
1
?z
2
时，取等号。
分析：复数比较大小，则复数必须是实数，
z?z
为实数．
五、分层练
习，巩固提
高

探究活动：
练习2 ：
①设复数
z?a?bi满足z?3?4i,求z
．
2
通过多角度< br>的练习，并
对典型错误
②已知
z
1
?1?2i,z
2
?3?4i,求满足
111
??的复数z
．
zz
1
z
2
进行讨论与
矫正，使学
③已知
z,w
为复数，
(1?3i)z
为纯虚数，
w?
z
且
|w|?52
，求< br>生巩固所学
2?i
内容，同时
完成对新知
的迁移。
采取师生互
动的形式完
成。


w

解：①
z?2?i
或
z??2?i

3
②
z?2?i

2
③
?
?7?i或?7?i
。
六、概括梳
理，形成系
统
（小结）
七、布置作
业


采取师生互动的形式完成。
即：学生谈本节课的收获，教师适当的补充 、概括，以本节知识目标
的要求进行把关，确保基础知识的当堂落实。



2、 课后作业。
2、设计题可根据自己的喜好和学有余力的同学完成。
49

高中数学选修2-2教案

3
1．若复数
z
满足方程
z?2?0
，则
z?
（ ）
2

A.
?22
B.
?22
C.
?22 i
D.
?22 i

解：Ｄ
(1?i)
10
2．复数等于（ ）
16(1?i)
A．
1?i
B。
?1?i
C。
1?i
D。
?1?i

解：Ｄ
3．
i
是虚数单位，
i
?
（ ）
1?i
11111111
A．
?i
B．
??i
C．
?i
D．
??i

2 2222222
2
1?3i
,求1?z?z
2
??z
200 3
的值。
解：Ａ
4．已知
z??
解：
1?z?z?2
?z
2003
1?3i
1(1?z
2004
)
,?z
3
?1,?z
2004
?(z
3
)
668
?1
，所以原式＝0。 ＝，又
z??
2
1?z
?23?i 2
2004
(4?8i)
2
?(?4?8i)
2
5．计算：
?()?
1?23i
1?i
11?7i
解：
i?1
。
6．已知
z?
a?i3
,(a?0),复数w?z(z?i)
的 虚部减去它的实部所得的差等于，求复数
w
的模
1?i2
a?1?(a?1 )ia?1a
2
?a
,?w?z(z?i)??i
， 解：
z?222
93
a
2
?aa?13
?9?5
。
? ?,?a
2
?4,a??2
，
a?0,?a?2,?|w|?
42< br>222





50