空间向量 高中数学教案

空间向量
考纲导读
1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和 数乘．
2．了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算．
3 ．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间的距离公
式．
证明平行与垂直
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理解空间向
定义、加法、减法、数乘运算
空间向量 数量积
坐标表示：夹角和距离公式
求空间角
量的夹角的概念；
掌握空间向量的< br>数量积的概念、性
质和运算律；了解
求距离
空间向量的数量
积的几何 意义；掌
握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直.
第1课时 空间向量及其运算
基础过关
空间向量是平面向量的推广．在空间，任意两个向量都可以通过平 移转化为平面向量．因此，空间向量的加减、
数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广．
本节 知识点是：
1．空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积；
(1) 向量：具有 和 的量．
(2) 向量相等：方向 且长度 ．
(3) 向量加法法则： ．
(4) 向量减法法则： ．
(5) 数乘向量法则： ．
3．共线向量
2．线性运算律
(1) 加法交换律：a＋b＝ ．
(2) 加法结合律：(a＋b)＋c＝ ．
(3) 数乘分配律：
?
(a＋b)＝ ．
(1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相 或 ．
(2) 共线向量定理：对空间任意两个向量a、b(b
?
0)，a∥b等价于存在 实数
?
，使 ．
(3) 直线的向量参数方程：设直线l过定 点A且平行于非零向量a，则对于空间中任意一点O，点P在l上等价于存在
t?R
，使 ．
4．共面向量
(1) 共面向量：平行于 的向量．
(2) 共面向量定理：两个向量a、b不共线，则向量P与向量a、b共面的充要条件是存在 实数对(
x,y
)，使
P ．
共面向量定理的推论： ．
5．空间向量基本定理
(1) 空间向量的基底： 的三个向量．
(2) 空间向量基本定理：如果a，b，c三个向量不共面，那么对空间中任意一个向量 p，存在一个唯一的有序实数组
x,y,z
，

使 ．
空间向量基本定理的推论：设O，A，B，C是不共面的的四点，则对空间中任意一点P，都存在唯一 的有序实数组
x,y,z
，
使 ．
6．空间向量的数量积
(1) 空间向量的夹角： ．
(2) 空间向量的长度或模： ．
(3) 空间向量的数量积：已知空间中任意两个向量a、b，则a·b＝ ．
空间向量的数量积的常用结论：
(a) cos〈a、b〉＝ ；
(b) ?a?
2
＝ ；
(4) 空间向量的数量积的运算律：
(a) 交换律a·b＝ ；
(b) 分配律a·(b＋c)＝ ．
(c) a
?
b
?
．
例
典型例题
1．已知正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，点F是侧面CDD
1
C
1
的中心，若

AF?AD?xAB?yAA
1
，求x－y的值.
解：易求得
x?y ?,?x?y?0
1
2
变式训练1. 在平行六面体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，M为AC与BD的交点，若A
1
B
1
?
a，
A
1
D
1< br>?
b，
A
1
A?
c，则下列向量中与
B
1< br>M
相等的向量是 ( )
A．?
1
a＋
1
b＋c B．
1
a＋
1
b＋c
2222
A
B
1

C
1

C．
1
a?
1
b＋c
22
D．?
1
a?
1
b＋c
22
A
D
B
C
解：A
例2. 底面为正三角形的斜棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中，D为AC的中点，
求证：AB
1
∥平面C1
BD.
证明：记
AB?a,AC?b,AA
1
?c,
则
AB
1
?a?c,DB?AB?AD?a?
1
b,
2DC
1
?DC?CC
1
?
1
b?c
2
∴
DB?DC
1
?a?c?AB
1
,∴
AB
1,DB,DC
1
共
面.
∵B
1
?
平面C
1
BD, AB
1
平面C
1
BD.
变式训练2：正方体A BCD－EFGH中，M、N分别是对角线AC和BE上的点，且AM＝EN．
(1) 求证：MN∥平面FC；
(2) 求证：MN⊥AB；
(3) 当MA为何值时，MN取最小值，最小值是多少？
解：(1) 设
NBMC
??k,则MN?(k?1)BC?kBF.
EBAC
(2)
MN?AB?(k?1)BC?AB?kBF?AB?0.
(3) 设正方体的边长为a,也即
AM?
2
1
?a
AC时
，
MN
2
2
min
例3. 已知四面体ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD， G、H分别是△ABC和△ACD的重心．
求证：(1) AD⊥BC； (2) GH∥BD．

证明：(1) AD⊥BC
?
所以AD⊥BC．
AD?BC?0
．因为AB
?
CD
?AB?CD?0
，
AC ?BD?AC?BD?0
，而
AD?BC?(AB?BD)?(BD?DC)?0
．< br>(2) 设E、F各为BC和CD的中点．欲证GH∥BD，只需证GH∥EF，
GH?GA?A H
＝(
EA?AF
)＝
2
3
2
EF
． < br>3
变式训练3：已知平行六面体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
，E、F、G、H分别为棱
A
1
D
1
,D
1
C
1
,C
1
C和AB
的中点． 求证：E、F、G、H
四点共面．
解：
HG?HC?CG
＝
HC?G C
1
＝
HC?GF?FC
1
＝
A
1
F?F C
1
?GF
＝
2EF?GF
，
所以
EF,EG,E H
共面，即点E、F、G、H共面．
例4. 如图，平行六面体AC
1
中，A E＝3EA
1
，AF＝FD，AG＝
1
GB
，过E、F、G的平面与 对角线AC
1
交于点P，求AP:PC
1
2
的值．
解：设< br>AP?mAC
1
4
3
C
1
D
1
4
3
B
1
A
1
B
G
∴
AP?3mAG?mAE?2mAF
C
E
P
又∵E 、F、G、P四点共面，∴
3m?m?2m?1
∴
m?
3
∴AP︰PC
1
＝3︰16
19
D
F A
变式训练4： 已知空间四边形OABC中，M为BC的中点，N为AC的中点，P为OA的中点，Q为OB的中点，若AB＝OC，求证
PM?QN
．
1
2
法二：
PM
·
QN
＝(
PQ
＋
QM
)·(
QM
＋
MN
)
证明：法一：
OM?(OB?OC)
?PM?PO?OM?
1
(AB?OC)
2
＝
(AB?OC)
·
(OC?BA)< br>1
2
1
2
＝
(OC?AB)
＝0
故
PM?QN
1
4
22
小结归纳
1．立体几何中有关垂直和平行的一 些命题，可通过向量运算来证明．对于垂直，一般是利用a⊥b
?
a·b＝0进行证
明 ．对于平行，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明．
2．运用向量求解距离问题，其一般方法是 找出代表相应距离的线段所对向量，然后计算这个向量对应的模．而计算
过程中只要运用好加法法则，就 总能利用一个一个的向量三角形，将所求向量用有模和夹角的已知向量表示出来，从
而求得结果．
3．利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便．其一般方法是将所求的角转化为求两个 向量的
夹角，而求两个向量的夹角则可以利用公式cosθ＝
a?b
．
a b
4．异面直线间的距离的向量求法：已知异面直线l
1
、l
2
，A B为其公垂线段，C、D分别为l
1
、l
2
上的任意一点，
n
为
与
AB
共线的向量，则｜
AB
｜＝
|CD?n|
.
|n|
5．设平面α的一个法向量为
n
，点P是平面α外一点，且Po
∈α，则点P到平面α的距离是d＝
|P
o
P?n|
|n|< br>.

第2课时 空间向量的坐标运算
基础过关
设a＝
(a
1
,a
2
,a
3
)
，b＝
(b1
,b
2
,b
3
)
(1) a±b＝
(2)
?
a＝ ．
(3) a·b＝ ．
(4) a∥b
?
；a
?
b
?
．
(5) 设
A?(x< br>1
,y
1
,z
1
),B?(x
2
,y
2
,z
2
)

则
AB
＝ ，
AB?
．
AB的中点M的坐标为 ．

典型例题
例1. 若
a
＝(1,5,－1)，
b
＝(－2,3,5)
（1）若(k< br>a
+
b
)∥(
a
－3
b
)，求实数k的值；
（2）若(k
a
+
b
)⊥(
a
－3
b)，求实数k的值；
（3）若
ka?b
取得最小值，求实数k的值．
解：(1)
k??
；
(2)
k?
1068
； (3)
k??

327
1
3
ruuur
uuuru uuruuuruuuruuur
uuu
变式训练1. 已知
O
为原点，向量
OA?
?
3,0,1
?
,OB?
?
?1,1,2< br>?
,OC?OA,BC
∥
OA
，求
AC
．
uuuruuur
解：设
OC?
?
x,y,z
?
,BC?< br>?
x?1,y?1,z?2
?
，
ruuuruuur
uuu ruuur
uuuruuuruuur
uuu
∵
OC?OA,BC
∥
OA
，∴
OC?OA?0
，
BC?
?
OA
?
?
?R
?
，
?
3x?z?0,
?
x? 1?3
?
,
?
?
?
3x?z?0,
∴
?< br>，即
?

?
?
?
x?1,y?1,z?2
?
?
?
?
3,0,1
?
?
y?1?0,
?< br>?
z?2?
?
.
7211
,
?
?
。 解此方程组，得
x??,y?1,z?
101010

uuur
?< br>7
ruuuruuur
?
3711
?
21
?
uuu
,1,
?
。 ∴
OC?
?
?,1,
?
，
AC?OC?OA?
?
?
?
1010
??
10 10
?
例2. 如图，直三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
，底面
?ABC
中，CA＝CB＝1，
?BCA?90
?
，棱
AA
1
?2
，M、N分别A
1
B
1
、A
1
A是的
中点．
(1) 求BM的长；
(2) 求
cos?BA
1
,CB
1
?
的值；
(3) 求证：
A
1
B?C
1
N
．
A
1

M
C
A
C
1

N
z
B
1

B
y

解：以C为原点建立空间直角坐标系
O?xyz
.
(1) 依题意得B（0，1，0），M（1，0，1）．
?BM?(1?0)
2
?(0?1)
2
?(1?0)
2
?3
.
(2) 依题意得A
1
（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B
1
（0，1，2）. < br>?cos?BA
1
,CB
1
??
BA
1
?C B
1
BA
1
?CB
1
?
30
.
10
11
22
11
22
(3) 证明：依题意得C
1
（0，0，2），N
(,,2),?A
1
B?(?1,1,?2),C1
N?(,,0)
.
变式训练2. 在四棱锥P－ABCD中， 底面ABCD 为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝
3
，BC＝1，PA＝2，E为PD的
中点 ．
(1) 在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离；
(2) 求(1) 中的点N到平面PAC的距离．
解：(1) 建立空间直角坐标系A－BDP，则A、B、C、D、P、E的坐标分别是A(0, 0, 0)、B(
0)、P(0, 0, 2)、E(0,
∴
?
?
?NE?AP?0
?
?
NE?AC?0
1
2
P
·

E
3
D
3
C
, 1, 0)、D(0, 1,
B
, 0, 0)、C(
A
, 1)，依题设N(x, 0, z)，则
NE
＝(－x,
1
2
, 1－z)，由于NE⊥平面PAC，

1
?
?
z?1?0
(?x,,1?z)?(0,0,2)?0
?
??
2
即
?

?
?
1
?
(?x,
1
,1?z)?(3,1,0) ?0
?
?3x?
2
?0
?
?
2
?
?
3
?
x?
?
?
6
?
z?1
?< br>，即点N的坐标为(
3
6
, 0, 1)，
3
6
从而N到AB、AP的距离分别为1，.
(2) 设N到平面PAC的距离为d，则d＝
|NA?NE|

|NE|
331,0,1)?(?,,0)|
13
662
??3?
1212
31
|(?,,0)|
62
＝
|(
.
例3. 如图，在底面是 棱形的四棱锥
P?ABCD
中，
?ABC?60
?
,PA?AC?a ,
PB?PD?2a
，点E在
PD
上，且
PE
:
E D
＝2:1．
P
(1) 证明
PA?
平面
ABCD
；
(2) 求以AC为棱，
EAC
与
DAC
为面的二面角
?
的大小；
(3) 在棱PC上是否存在一点F，使
BF
∥平面
AEC
？证明你的结论．
解：（1）证明略；
（2）易解得
?
?30
?
；
B
C
A
E
D
（3）解 以A为坐标原点，直线
AD,AP
分别为y轴、z轴，过A点垂直于平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐
标系（如图）．由题设条件，相关各点的坐标为
所以
AE?
(0,a,a)
，
AC?
(
BP?
(?
2
3
1
3
3131
a,a,0)
，
AP?
(0,0,a),
PC?
(a,a,?a)

2222
3131
a,a,a)
，设点F是棱< br>PC
上的点，
PF?
?
PC?
(
?
a,?
a,?
?
a)
，其中
0?
?
?1
， 则
2222

?
33
a(1?
?
)?a
?
1
?
2
?
2
31
12
?
1< br>BF?BP?PF?(a(
?
?1),a(1?
?
),a(1?
?
))
．令
BF?
?
1
AC?
?
2AE
得
?
a(1?
?
)?a
?
1
?a
?
2

23
22
?
2
1
?
a(1?
?
)?a
?
2
?
3
?
解得?
?,
?
1
??,
?
2
?
1
2
1
2
3113
，即
?
?
时，
BF??A C?AE
．亦即，F是PC的中点时，
BF,AC,AE
共面，又
BF?平面
AEC
，
2222
所以当F是PC的中点时，
BF
∥平面
AEC
．
例4. 如图，多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEFG 所截而得，其中AB＝4，BC＝1，BE＝3，CF＝4.
(1) 求
EF
和点G的坐标；
(2) 求GE与平面ABCD所成的角；
(3) 求点C到截面AEFG的距离．
解：(1) 由图可知：A(1，0，0)，B(1，4，0)，
E(1，4，3)，F(0，4，4) ∴
EF?(?1,0,1)

又∵
AG?EF
，设G(0，0，z)，则(－1，0，z)
＝(－1，0，1) ∴z＝1 ∴G(0，0，1)
(2)平面ABCD的法向量
DG?(0,0,1).

GE?(1,4,2)
，设GE与平面ABCD成角为
?
，则
F
Z
G
D
A
x
B
E
C
y
cos(
?
2
?
?
)?
DG?GE< br>|DG|?|GE|
?
221
21
∴
?
?arcsi n

221

21
(3)设
n
0⊥面AEFG，
n
0
＝(x
0
，y
0
，z0
)
∵
n
0
⊥
AG
，
n
0
⊥
AE
，而
AG
＝(－1，0，1)，
AE
＝(0 ，4，3)
?
x
0
?z
0
?
?x
0?z
0
?0
3
?
?
?
?n
0
?(z
0
,?z
0
,z
0
)
∴
?
3
4
?
4y
0
?3z
0
?0
?
y
0
??z
0
4
?
P
A
G
F
D
取z
0
＝4，则
n
0
＝(4，－3，4)
B < br>∵
CF?(0,0,4),?d?
|CF?n
0
|
|n
0
|
?
1641

41
E
C
即点C到截面AEFG的距离为
1641
．
41
变式训练4. 如 图四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且PG＝ 4，
AG?


1
GD
，BG⊥GC，GB＝GC＝2，E是BC的中点．
3
(2)求点D到平面PBG的距离； (1)求异面直线GE与PC所成的角的余弦值；
(3)若F点是棱PC上一点，且DF⊥GC，求
PF
的值．
FC
GC、GP
为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(2，0，0)，C(0，2，0)， 解： (1)以G点为原点，
GB、
GE?PC
P(0，0，4)，故E(1，1，0)，< br>GE
＝(1，1，0)，
PC
＝(0，2，4)。
cos?GE，P C???
|GE|?|PC|
210
，
?
10
2?20< /p>

∴GE与PC所成的余弦值为
10
．
10
(2)平面PBG的单位法向量n＝(0，±1，0) .
3333
3
AD?BC? (?，，0)
，∴点D到平面PBG的距离为
|GD?
n |＝.
4422
2
3333
(3)设F(0，y，z)，则
DF?(0，y，z)?(?，，0)?(，y?，z)
。 < br>2222
33
∵
DF?GC
，∴
DF?GC?0
，即
(，y?，z)?(0，2，0)?2y?3?0
，
22
3
3
∴
y?
, 又
PF?
?
PC
，即(0，，z－4)＝λ(0，2，－4)， ∴z=1，
2
2
∵
GD?
35
31
PF
3
故F(0，，1) ，
PF?(0，，
?
2
?3
。 < br>?3)，FC?(0，，?1)
，∴
PC
22
2
5
2
小结归纳
对于以下几类立体几何问题：(1) 共线与共面问题；(2) 平行与垂直问题；(3) 夹角问题；(4) 距离问题；(5) 探索
性问题．
运用向量来 解决它们有时会体现出一定的优势．用空间向量解题的关键步骤是把所求向量用某个合适的基底表示，本
节主要是用单位正交基底表示，就是适当地建立起空间直角坐标系，把向量用坐标表示，然后进行向量与向量的坐 标
运算，最后通过向量在数量上的关系反映出向量的空间位置关系，从而使问题得到解决．在寻求向量间 的数量关系时，
一个基本的思路是列方程，解方程．