人教版高中数学集合教案

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1.1.1 集 合
教学目标: 1、理解集合的概念和性质.
2、了解元素与集合的表示方法.
3、熟记有关数集.
4、培养学生认识事物的能力.
教学重点: 集合概念、性质
教学难点: 集合概念的理解
教学过程:
集合概念
观察下列实例
（1）数组1、3、5、7.
（2）到两定点距离等于两定点间距离的点.
（3）满足3x-2>x+3的全体实数.
（4）所有直角三角形.
（5）高一·六班全体男同学.
1、 定义：
集合：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）.
元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素.
由此上述例中集合的元素是什么？
例（1）的元素为1、3、5、7，
例（2）的元素为到两定点距离等于两定点间距离的点，
例（3）的元素为满足不等式3x-2> x+3的实数x，
例（4）的元素为所有直角三角形，
例（5）为高一·六班全体男同学.
一般用大括号表示集合，{ … }如{我校的篮球队员}，{太平洋、大西洋、
印度洋、北冰洋}。则上几例可表示为……
为方便，常用大写的拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员} ，B={1，
2，3，4，5}
2、集合元素的三个特征
问题及解释
（1）A={1，3}，问3、5哪个是A的元素？
（2）A={所有素质好的人}，能否表示为集合？
（3）A={2，2，4}，表示是否准确？
（4）A={太平洋，大西洋}，B={大西洋，太平洋}，

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是否表示为同一集合？
（1）确定性；（2）互异性；（3）无序性.
3、元素与集合的关系：隶属关系
?
元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于
?
（
?
也可表示为 ）两种。
如A={2，4，8，16}，则4∈A，8∈A，32
?
A.
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a
属于集A 记作 a?A ，相反，a不属于集A 记作 a?A （或a
?
A）
注：1、集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q……
元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q……
2、“∈”的开口方向，不能把a∈A颠倒过来写。
4、常用数集及记法
4、常见数集的专用符号
N：非负整数集（自然数集）.
N*或N
+
正整数集，N内排除0的集.
Q：有理数集.
R：全体实数的集合。
注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0。
（2）非负整数集内排除0的集。记作N
*
或N
+
。Q、Z、R等其它数集 内排除0
的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z
*
请回答：已 知a+b+c=m，A={x|ax
2
+bx+c=m}，判断1与A的关系。

1.1.2 集合间的基本关系
教学目标：1.理解子集、真子集概念；
2.会判断和证明两个集合包含关系；
3.理解“
?
”、“?”的含义；
≠
4.会判断简单集合的相等关系；
5.渗透问题相对的观点。
教学重点：子集的概念、真子集的概念
教学难点：元素与子集、属于与包含间区别、描述法给定集合的运算
教学过程：
观察下面几组集合，集合A与集合B具有什么关系？
(1) A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}.
(2) A={x|x>3},B={x|3x-6>0}.
(3) A={正方形}，B={四边形}.
(4) A=
?
，B={0}.

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（5）A={银川九中高一（11）班的女生}，B={银川九中高一（11）班的学生}。
1.子集
定义：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集
合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作A
?
B
（或B
?
A）,即若任意x
?
A,有x
?
B，则A
?B(或A
?
B)。
这时我们也说集合A是集合B的
子集
（subset）。
如果集合A不包含于集合 B，或集合B不包含集合A,就记作A?B（或B?A），
即:若存在x
?
A,有x< br>?
B，则A?B(或B?A)
说明：A
?
B与B
?
A是同义的，而A
?
B与B
?
A是互逆的。
规定:空集
?
是任何集合的子集，即对于任意一个集合A都有
?
?
A。
例1．判断下列集合的关系.
(1) N_____Z; (2) N_____Q; (3) R_____Z; (4) R_____Q;
(5) A={x| (x-1)
2
=0}， B={y|y
2
-3y+2=0};
(6) A={1,3}， B={x|x
2
-3x+2=0};
(7) A={-1,1}， B={x|x
2
-1=0};
（8）A={x|x是两条边相等的三角形} B={x|x是等腰三角形}。
问题3：观察（7）和（8），集合A与集合B的元素，有何关系？
2.集合相等
定义：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素
（即A
?
B），同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素（即B
?
A），则称
集合A等于集合B，记作A=B。如：A={x|x=2m+1，m
?
Z }，B={x|x=2n-1，n
?
Z}，
此时有A=B。
问题4：（1）集合A是否是其本身的子集？（由定义可知，是）
（2）除去
?
与A本身外，集合A的其它子集与集合A的关系如何？
3.真子集：
由“包含”与“相等”的关系，可有如下结论：
(1)A
?
A (任何集合都是其自身的子集)；
(2)若A
?
B，而且A
?
B（ 即B中至少有一个元素不在A中），则称集合A是
集合B的
真子集
（proper subset），记作A
?
B。（空集是任何非空集合的真
≠
子集）
(3)对于集合A，B，C，若A?B，B?C，即可得出A?C；对A
?
B，B
?
C，同样
≠≠
?
有A
≠
C, 即：包含关系具有“传递性”。
4.证明集合相等的方法：

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（1） 证明集合A，B中的元素完全相同；（具体数据）
（2） 分别证明A
?
B和B
?
A即可。（抽象情况）
对于集合A，B，若A
?
B而且B
?
A，则A=B。
（III） 例题分析：
例2．判断下列两组集合是否相等？
（1）A={x|y=x+1}与B={y|y=x+1}; (2)A={自然数}与B={正整数}
例3．(教材P
8
例3)写出{a，b}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集.
例4．解不等式x-3>2，并把结果用集合表示。
结论：一般地，一个集合元素若为n个， 则其子集数为2
n
个，其真子集数为
2
n
-1个，特别地，空集的子 集个数为1，真子集个数为0。
(IV) 课堂练习
1. 课本P
8
，练习1、2、3;
2. 设A={0，1}，B={x|x
?
A}，问A与B什么关系？
3. 判断下列说法是否正确？
（1）N
?
Z
?
Q
?
R； （2）
?
?
A
?
A；
（3）{圆内接梯形}
?
{等腰梯形}； （4）N
?
Z；
（5）
?
?
{
?
}； （6）
?
?
{
?
}
4.有三个元素的集合A，B，已知A ={2，x，y}，B={2x，2，2y}，且A=B，
求x，y的值。

1.1.3集合的基本运算
教学目的：（1）理解两个集合的并集与交集的的含义，会求两个简单集合的并
集与交集；
（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补
集；
（3）能用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽
象概念的作用。
教学重点：集合的交集与并集、补集的概念；
教学难点：集合的交集与并集、补集“是什么”，“为什么”，“怎样做”；
【知识点】
1. 并集
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合
A与B的并集（Union）
记作：A∪B 读作：“A并B”
即： A∪B={x|x∈A，或x∈B}
Venn图表示：

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说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素
B
A
组成的集合（重复元素只看成一个元素）。

说明：连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线

来表示。

问题：在上图中我们除了研究集合
A∪B
A与B 的并集外，它们的公共部分（即
问号部分）还应是我们所关心的，我们称其为集合A与B的交集。
2. 交集
一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与
B的交集（intersection）。
记作：A∩B 读作：“A交B”
即： A∩B={x|∈A，且x∈B}
交集的Venn图表示

说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素
组成的集合。

拓展：求下列各图中集合A与B的并集与交集

B
A B
B
A(B) A A

B A

说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，不能说两个
集合没有交集
3. 补集
全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，
那么就称这个集合为全集（Universe），通常记作U。
补集：对于全集U的一个子集A，由全 集U中所有不属于集合A的所有元
素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集（complement ary set）,简称
为集合A的补集，
记作：C
U
A
即：C
U
A={x|x∈U且x∈A}

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补集的Venn图表示
U
A
C
U
A

说明：补集的概念必须要有全集的限制
4. 求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算 结果仍然还是集合，区分
交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集
合语言表达，增强数形 结合的思想方法。
5. 集合基本运算的一些结论：
A∩B
?
A，A∩B
?
B，A∩A=A，A∩
?
=
?
,A∩B=B∩A
A
?
A∪B，B
?
A∪B，A∪A=A，A∪
?
=A,A ∪B=B∪A
（C
U
A）∪A=U，（C
U
A）∩A=
?

若A∩B=A，则A
?
B，反之也成立
若A∪B=B，则A
?
B，反之也成立
若x∈（A∩B），则x∈A且x∈B
若x∈（A∪B），则x∈A，或x∈B

¤例题精讲：
【例1】设集合
U?R,A?{x|?1?x?5},B?{x|3? x?9},求AB,?
U
(AB)
.
解：在数轴上表示出集合A、B

【例2】设
A?{x?Z||x|?6}
，
B?
?
1,2,3
?
,C?
?
3,4,5,6
?
，求：
（1）
A(BC)
； （2）
A?
A
(BC)
.

【例3】已知集合
A?{x|?2?x?4}
，
B?{x|x?m }
，且
AB?A
，求实数m
的取值范围.

*
且 x?N}
【例4】已知全集
U?{x|x?10,
，
A?{2,4,5,8}
，
B?{1,3,5,8}
，求

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C
U
(AB)
，
C
U
(AB)
，
(C
U
A)(C
U
B)
，
(C
U
A)(C
U
B)
，并比较它们的关系.