高中数学映射教案

2.1 映射
教学目标

1．了解映射的概念，象与原象的概念，和一一映射的概念．
（1）明确映射是特殊的对应即由集合 ，集合 和对应法则
f
三者构成的一个整体，知道映射的特殊之处在于必须是多对一和一对一的对应；
（2）能准确使用数学符号表示映射， 把握映射与一一映射的区别；
（3）会求给定映射的指定元素的象与原象，了解求象与原象的方法．
2．在概念形成过程中，培养学生的观察，比较和归纳的能力．
3．通过映射概念的学习，逐步提高学生对知识的探究能力．

教学建议

教材分析

（1）知识结构

映射是一种特殊的对应，一一 映射又是一种特殊的映射，而且函数也是特殊的映射，它
们之间的关系可以通过下图表示出来，如图：< br>

由此我们可从集合的包含关系中帮助我们把握相关概念间的区别与联系．

（2）重点，难点分析

本节的教学重点和难点是映射和一一映射概念的形成与认识．

①映射的概念是比较抽象的 概念，它是在初中所学对应的基础上发展而来．教学中应特
别强调对应集合

中的唯一这点要求的理解；

映射是学生在初中所学的对应的基础上学习的，对应本身就是由三部分构成的整体，包
括集 合A和集合B及对应法则f，由于法则的不同，对应可分为一对一，多对一，一对多
和多对多． 其中 只有一对一和多对一的能构成映射，由此可以看到映射必是“对B中之唯

一”，而只要是 对应就必须保证让A中之任一与B中元素相对应，所以满足一对一和多对一
的对应就能体现出“任一对唯 一”．

②而一一映射又在映射的基础上增加新的要求，决定了它在学习中是比较困难的．

教法建议

（1）在映射概念引入时，可先从学生熟悉的对应入手， 选择一些具体的 生活例子，然
后再举一些数学例子，分为一对多、多对一、多对一、一对一四种情况，让学生认真观察，
比较，再引导学生发现其中一对一和多对一的对应是映射，逐步归纳概括出映射的基本特征，
让 学生的认识从感性认识到理性认识．

（2）在刚开始学习映射时，为了能让学生看清映射 的构成，可以选择用图形表示映射，
在集合的选择上可选择能用列举法表示的有限集，法则尽量用语言描 述，这样的表示方法让
学生可以比较直观的认识映射，而后再选择用抽象的数学符号表示映射，比如：< br>
，

．

这种表示方法比较简明，抽象，且能看到三者之间的关系．除此之外，映射的一般表示
方法为

，从这个符号中也能看到映射是由三部分构成的整体，这对后面认识函数
是三件事构成的整体是 非常有帮助的．

（3）对于学生层次较高的学校可以在给出定义后让学生根据自己的理解 举出映射的例子，
教师也给出一些映射的例子，让学生从中发现映射的特点，并用自己的语言描述出来， 最后
教师加以概括，再从中引出一一映射概念；对于学生层次较低的学校，则可以由教师给出一
些例子让学生观察，教师引导学生发现映射的特点，一起概括．最后再让学生举例，并逐步
增加要求向一 一映射靠拢， 引出一一映射概念．

（4）关于求象和原象的问题，应在计算的过程中总 结方法，特别是求原象的方法是解方
程或方程组，还可以通过方程组解的不同情况(有唯一解，无解或有 无数解)加深对映射的认
识．

（5）在教学方法上可以采用启发，讨论的形式， 让学生在实例中去观察，比较，启发学
生寻找共性，共同讨论映射的特点，共同举例，计算，最后进行小 结，教师要起到点拨和深
化的作用．

教学设计方案

2.1
映射

教学目标(1)了解映射的概念，象与原象及一一映射的概念．
(2)在概念形成过程中，培养学生的观察，分析对比，归纳的能力．
(3)通过映射概念的学习，逐步提高学生的探究能力．

教学重点难点：:映射概念的形成与认识．

教学用具：实物投影仪

教学方法：启发讨论式

教学过程：

一、引入

在初中，我们已经初步探讨了函数的定 义并研究了几类简单的常见函数．在高中，将利
用前面集合有关知识，利用映射的观点给出函数的定义． 那么映射是什么呢?这就是我们今天
要详细的概念．

二、新课

在前一章集合的初步知识中，我们学习了元素与集合及集合与集合之间的关系，而映射
是重点研究两个集 合的元素与元素之间的对应关系．这要先从我们熟悉的对应说起(用投影仪
打出一些对应关系，共6个)


我们今天要研究的是一类特殊的对应，特殊在什么地方呢?
提问1：在这些对应中有哪些是让A中元素就对应B中唯一一个元素?
让学生仔细观察后由学生回 答，对有争议的，或漏选，多选的可详细说明理由进行讨论．最
后得出(1)，(2)，(5)，(6) 是符合条件的(用投影仪将这几个集中在一起)
提问2：能用自己的语言描述一下这几个对应的共性吗？
经过师生共同推敲，将映射的定义引出．(主体内容由学生完成，教师做必要的补充)

(板书)

一．映射

1．定义:一般地，设

一个元素，在集合

两个集合，如果按照某种对应法则

，对于集合

中的任何
及

到

中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应(包括集合

的对应法则)叫做集合

到集合

的映射，记作

．
定义给出之后，教师应及时强调映射是特殊的对应，故是三部分构成的一个整体，从映
射的符号表示中也可看出这一点，它的特殊之处在于元素与元素之间的对应必须作到“任一
对唯 一”，同时指出具有对应关系的元素即

叫

的原象．

(板书)

2．象与原象
可以用前面的例子具体说明谁是谁的象，谁是谁的原象．
提问3：下面请同学根据自己对映射的理解举几个映射的例子，看对映射是否真正认识了．
(开始 时只要是映射即可，之后可逐步提高要求，如集合是无限集，或生活中的例子等)
由学生自己评判．之后 教师再给出几个(主要是补充学生举例类型的不足)

中元素

对应

中元素

，则

叫

的象，

(1)

(2)

(3)

(4)

，

，

．

除以3的余数．

，

．

{高一1班同学}，

{入学是数学考试成绩}，

对自己的考试成绩．

在学生作出 判断之后，引导学生发现映射的性质(教师适当提出研究方向由学生说，再由
老师概括)

(板书)3．对概念的认识

(1)

与

是不同的，即

与

上有序的．

(2)象的集合是集合B的子集．

(3)集合A，B可以是数集，也可以是点集或其它集合．

在刚才研究的基础上，教师再 提出(2)和(4)有什么共性，能否把它描述出来，如果学生
不能找出共性，教师可再给出几个例子， (用投影仪打出)

如：

(1)
(2)


{数轴上的点}，

实数与数轴上相应的点对应．
(3)

{中国，日本，韩国}，

{北京，东京，汉城}，

相应国家的首都．
引导学生在元素之间的对 应关系和元素个数上找共性，由学生提出两点共性集合A中不
同的元素对集合B中不同的元素;②B中所 有元素都有原象．
那么满足以上条件的映射又是一种特殊的映射，称之为一一映射．

(板书)4．一一映射

（1）定义:设A，B是两个集合，

是集合A到集合B的映射，如果在这个映
射下 对于集合A中的不同元素，在集合B中又不同的 象，而且B中每一个元素都有原象，那
么这个映射叫做A到B上的一一映射．
给出定义后 ，可再返回到刚才的例子，让学生比较它与映射的区别，从而进一步明确“一
一”的含义．然后再安排一 个例题．
例1 下列各表表示集合A(元素a)到集合B(元素b)的一个映射，判断这些映射是 不是A
到B上的一一映射．


其中只有第三个表可以表示一一映射，由此例点明一一映射的特点

(板书)(2)特点:两 个集合间元素是一对一的关系，不同的对的也一定是不同的(元素个数相
同);集合B与象集C是相等的 集合．
对于映射我们现在了解了它的定义及特殊的映射一一映射，除此之外对于映射还要求能求出指定元素的象与原象．

(板书)5．求象与原象．

例2 (1)从R到

的映射

的4在R中的原象是_____．
(2)在给定的映射

_____， 点

(3)
在

，则R中的-1在

下，则点

下的原象是______．
中的象是_____；

在

下的象是
中
是集合A到集合B的映射，

，则A
中 元素

的象是_____，B中象0的原象是______， B中象-6的原象是______．
由学生先回答第(1)小题，之后让学生自己总结一下，应用什么方法求象和原象，学生找
到方法后，再 在方法的指导下求解另外两题，若出现问题，教师予以点评，最后小结求象用
代入法，求原象用解方程或 解方程组．
注意：所解的方程解的情况可能有多种如有唯一解，也可能无解，可能有无数解，这与
映射的定义也是相吻合的．但如果是一一映射，则方程一定有唯一解．

三、小结

1．映射是特殊的对应

2．一一映射是特殊的映射．
3．掌握求象与原象的方法．

四、作业:略

五、板书设计



扩展资料

逆映射

在本节中我们介绍了映射与一一映射的概念 ，并将以此为基础学习函数的概念．对于一
一映射还可以进一步做一点研究．

如图：

图（1） 图（2）

容易看出，图中(1)表示的映射是在

射是在

的作用下集合

到集合

作用下，

到

上的一一映射，图(2)所示的映
的作用下的象与原上的一一映射，在映射

象，分别是在映射

定义:设

使

在

的作用下的原象与象，由此引出一个新概念称为逆映射．

是集合

到集合

上的一一映射，如果对于

中每一个元素

，
的逆映射，记作

中的原象

和它对应，这样得到的映射称为映射

．

由定义不难看出只有一一映射才有逆映射，若

也是一一映射，刚才图中(1)(2)， 就是

是一一映射，则

的逆映射．

对于逆映射，它 对于我们后面所学的反函数概念的理解有很大的帮助，也可以帮助我们
认清反函数与原来函数之间的关系 ．

探究活动

（1）

们建立一个由

{整数}，

到

{偶数}， ，试问

与

中的元素个数哪个多?为什么?如果我
的映射对应法则

乘以2，那么这个映射是一一映射吗?

答案：两个集合中的元素一样多，它们之间可以形成一一映射．

（2）设

若将集合

若集合

改为

改为

，

，问最多可以建立多少种集合

呢?结论是什么？如果将集合

，

改为

改为

到集合

的不同映射?
，结论怎样?
，结论怎样?

个元素，集合B 从以上问题中，你能归纳出什么结论吗?依此结论，若集合A中含有

中含有

个元素，那么最多可以建立多少种集合

射?

到集合

的不同映

答案：若集合A含有m个元素，集合B含有n个元素，则不同的映射

个．

习题精选

有

（1）设集合

映射的是( )．

，

，从

到

的对应法则

不是








（2） 已知映射

在

中和它对应的元素是

，其中集合

，则集合

，且对任意

，
中元素的个数最少是___________．

（3）设集合

的映射的是( )．

，

．下列四个图象中，表示从

到

（4）已知从

到

的映射

，则

的原象是__________．

（5）已知从

到

的映射是

到

，从

到

的映射是

，其中

，则从

的映射是___________．

（6）已知集合

且

，

是由

到

，

的一一映射，求

的值．

答案：(1)


； (2) 4； (3)

； (4)

或

； (5)

； (6)

典型例题

例1 下列集合

的一一映射?

(1)

，对应法则

．

到集合

的对应中，判断哪些是

到

的映射? 判断哪些是

到

(2)

，

，

，

，

．

(3)

(4)

(5)

，

，

，对应法则

，

．

，对应法则

除以2得的余数．

，对应法则

取正弦．

(6)

法则

作等边三角形的内切圆．

，

，对应
分析：解决的起点是读懂各对应中的法则含义，判断的依据是映射和一一映射的概念 ，
要求对“任一对唯一”有准确的理解，对问题考虑要细致，周全．

解：(1)是映射，不是一一映射，因为集合

中有些元素(正整数)没有原象．

(2)是映射，是一一映射．不同的正实数有不同的唯一的倒数仍是正实数，任何一个正数
都存在倒数．

(3)是映射，是一一映射，因为集合

都可以是集合

中角的正弦值．

中不同元素对应集合

中相同的元素．

中的角的正弦值各不相同，且集合

中每一个值
(4)是映射，不是一一映射，因为集合

(5)不是映射，因为集合

中的元素(如4)对应集合

中两个元素(2和-2)．

(6 )是映射，是一一映射，因为任何一个等边三角形都存在唯一的内切圆，而任何一个圆
都可以是一个等边 三角形的内切圆．边长不同，圆的半径也不同．

说明：此题的主要目的在于明确映射构成的三要素的要求，特别是对于集合

及对应法则

有哪些具体要求，包括对法则

到集合

，集合

是数学符号语言给出时的理解．

例2 给出下列关于从集合

的映射的论述，其中正确的有_________．

(1)

中任何一个元素在

中必有原
象;


(2)

(3)

(4)

(5)

中不同元素在

中的象也不同 ;

中的象是唯一的;

中可以有不同的象;

中任何一个元素在

中任何一个元素在

中某一元素在

与

中的原象可能不止一个;

(6)集合

(7)记号

一定是数集；

与

的含义是一样的．

分析：此题是对抽象的映射概念的认识，理论性较强，要求较 高，判断时可以让学生借
助具体的例子来帮助．

解： (1)不对 (2)不对 (3)对 (4)不对 (5)对 (6)不
对 (7)不对

说明：对此题的判断可以将映射中隐含的特点都描述出来，对映射的认识更加全面，准
确．

例3 (1)
下，

，

，

，

，

．在

的作用
的原象是多少?14的象是多少?

{偶数}，映射

把集合A中的元素

映射到集合B中 (2)设集合

的元素

，则在映射

下，象20的原象是多少？

(3)

是从


到

的映射，其中

的象是多少?

，

中元素

，
的原象是多少?

，则

中元素

分析：通过此题让学生不仅会求指定元素象与原象，而且明确求象与原象的方法．

解：(1)由 ，解得

，故

的原象是6;

又

(2)由

解得

，故14的象是

或

，又

．

，故

即20的原象是5．

(3)

的象是

，由

解得

，故

的原象是1．
说明：此题主要作用在于明确利用代入法求指定元素的象，而求原象则需解方程或方程
组．在本题中 第(2)小题和第(3)小题在求象时，对

和

的制约条件都是两条，应解 方程组，
且还可以对方程组解的情况进行讨论(无解，有唯一解，无数解)．其中第(3)小题集合
中
的元素应是二元数(有序数对)，计算出的象必须写成有序数对的形式，所以求原象时 必须先
认清集合的特征．

2.2 函数
教学目标

1．理解函数的概念，了解函数的三种表示法，会求函数的定义域．

（1）了解函数是特 殊的映射，是非空数集A到非空数集B的映射．能理解函数是由定义
域，值域，对应法则三要素构成的整 体．

（2）能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法，和图象法．了解每种 方法
的优点．

（3）能正确使用“区间”及相关符号，能正确求解各类函数的定义域．

2．通过函数概念的学习，使学生在符号表示，运算等方面的能力有所提高．

（1）对函数记号

的区别与联系；

（2）在求函数定义域中注意运算的合理性与简洁性．

3．通过函数定义由变量观点向映射观点的过渡，是学生能从发展的角度看待数学的学习．

教学建议

1．教材分析

（1）知识结构

有正确的理解，准确把握其含义，了解

(

为常数)与


（2）重点难点分析

本小节的重点是在映射的基础上理解函数的 概念．，主要包括对函数的定义，表示法，
三要素的作用的理解与认识．教学难点是函数的定义和函数符 号的认识与使用．

①由于学生在初中已学习了函数的变量观点下的定义，并具体研究了几 类最简单的函数，
对函数并不陌生，所以在高中重新定义函数时，重要的是让学生认识到它的优越性，它 从根
本上揭示了函数的本质，由定义域，值域，对应法则三要素构成的整体，让学生能主动将函
数与函数解析式区分开来．对这一点的认识对于后面函数的性质的研究都有很大的帮助．

②在本节中首次引入了抽象的函数符号

不能接受

，学生往往只接受具体的函数解析式，而
下对应

，所以应让学生从符号的含义认识开始，在符号中，

在法则

，不是

与

的乘积，符号本身就是三要素的体现．由于

所代表的对应法则不一
本定能用 解析式表示，故函数表示的方法除了解析法以外，还有列表法和图象法．此外

身还指明了谁是谁的函数，有利于我们分清函数解析式中的常量与变量．如

，它应表示以

为自变量的二次函数，而如果写成

就不能准确了解谁是变量，谁是常量，当

为变量时，它就不代表二次函数．

2．教法建议

，则我们
（1）高中对函数内容的学习是初中函数内容的 深化和延伸．深化首先体现在函数的定义
更具一般性．故教学中可以让学生举出自己熟悉的函数例子，并 用变量观点加以解释，教师
再给出如：

是不是函数的问题，用变量定义解释显得很勉 强，而如果从集合与映射的
观点来解释就十分自然，所以有重新认识函数的必要．

（2）对函数是三要素构成的整体的认识，一方面可以通过对符号

的了解与使用来
强 化，另一方面也可通过判断两个函数是否相同来配合．在这类题目中，可以进一步体现出
三要素整体的作 用．

（3）关于对分段函数的认识，首先它的出现是一种需要，可以给出一些实际的例子 来说
明这一点，对自变量不同取值，用不同的解析式表示同一个函数关系，所以是一个函数而不
是几个函数，其次还可以举一些数学的例子如

这样的函数，若利用绝对值的定义它就
可以写成

函数．

，这就是一个分段函数，从这个题中也可以看出分段函数是一个
教学设计方案

2.2 函数

教学目标：

1．理解函数的概念，了解函数三要素．

2．通过对函数抽象符号的认识与使用，使学生在符号表示方面的能力得以提高．

3．通过函数定义由变量观点向映射观点得过渡，使学生能从发展与联系的角度看待数学
学习．

教学重点难点：重点是在映射的基础上理解函数的概念；

难点是对函数抽象符号的认识与使用．

教学用具：投影仪

教学方法：自学研究与启发讨论式．

教学过程：

一、复习与引入

今天我们研究的内容是函数的概念．函数并不象前面学习的集合 ，映射一样我们一无所
知，而是比较熟悉，所以我先找同学说说对函数的认识，如函数是什么?学过什么 函数?

(要求学生尽量用自己的话描述初中函数的定义，并试举出各类学过的函数例子)

学生举出如

出定义之后教师也举一个例子，问学生．

提问1．

是函数吗?

等，待学生说完定义后教师打出投影片，给
(由学生讨论，发表各自的意见，有的认为它不是函数，理由是没有两个变量，也有的认
为是函数，理由 是可以可做

．)

教师由此指出我们争论的焦点，其实就是函数定义的 不完善的地方，这也正是我们今天
研究函数定义的必要性，新的定义将在与原定义不相违背的基础上从更 高的观点，将它完善
与深化．

二、新课

现在请同学们打开书翻到第50 页，从这开始阅读有关的内容，再回答我的问题．(约2-3
分钟或开始提问)

提问2．新的函数的定义是什么?能否用最简单的语言来概括一下．

学生的回答往往是把 书上的定义念一遍，教师可以板书的形式写出定义，但还要引导形
式发现定义的本质．

(板书)2．2函数

一、函数的概念

1．定义：如果A，B都是非空的数集，那么A到B的映射

数，记作

．其中原象集合A称为定义域，象集C

就叫做A到B的函
称为值域．

问题3：映射与函数有何关系?(函数一定是映射吗?映射一定是函数吗?)

引导学生发现，函数是特殊的映射，特殊在集合A，B必是非空的数集．

2．本质：函数是非空数集到非空数集的映射．(板书)

然后让学生试回答刚才关于

是不是函数的问题，要求从映射的角度解释．

满足映射观点 此时学生可以清楚的看到

下的函数定义，故是一个函数，这样解释就很自然．

教师继续把问题引向深入，提出在映射的观点下如何解释

从映射角度看可以是
域是

，值域是

．

是个函数?

其中定义

从刚才的分析可以看出，映射观点下的 函数定义更具一般性，更能揭示函数的本质．这
也是我们后面要对函数进行理论研究的一种需要．所以我 们着重从映射角度再来认识函数．

3．函数的三要素及其作用(板书)

函数是映射，自然是由三件事构成的一个整体，分别称为定义域．值域和对应法则．当
我们 认识一个函数时，应从这三方面去了解认识它．

例1 以下关系式表示函数吗?为什么?

(1)

； (2)

．

解：(1)由

表示函数．

有意义得

，解得

．由于定义域是空集，故它不能
(2) 由

有意义得

，解得

．定义域为

，值域为

．

由以上两题可以看出三要素的作用

(1)判断一个函数关系是否存在．(板书)

例2 下列各函数中，哪一个函数与

是同一个函数．

(1)

．

解：先认清


； (2)

(3)

； (4)

，它是

．

(定义域)到

(值域)的映射，其中

再看(1)定义域为

且

，是不同的； (2)定义域为

，是不同的；

(4)

而(3)定义域是

，值域是

，法则是不同的；

，法则是乘2减1，与

完全相同．

求解后要求学生明确判断两个函数是否相同应看定义域和对应法则完 全一致，这时三要
素的又一作用．

(2)判断两个函数是否相同．（板书）

下面我们研究一下如何表示函数，以前我们学习 时虽然会表示函数，但没有相系统研究
函数的表示法，其实表示法有很多，不过首先应从函数记号

4．对函数符号

首先让学生知道

的理解(板书)

与

的含义是一样的，它们都表示

是

的函数，其中

说起．

是自变量， 是函数值，连接的纽带是法则

素构成的整体．下面我们举例说明．

例3 已知函数

分析：首先让学生认清

计算．

试求

，所以这个符号本身也说明函数是三要
(板书)

的含义，要求学生能从变量观点和映射观点解释，再进行
含义1：当自变量

取3时，对应的函数值即

；

含义2：定义域中原象3的象

应表示原象

的象，即

计算之后，要求学生了解

只是

中一个特殊值．

与

，根据求象的方法知

．

的区别， 是常量，而

．而
是变量，
最后指出在刚才的题目中

是用一个具体的解析式表示的，而以后研究的函数

不一定能用一个解析式表示，此时 我们需要用其他的方法表示，具体的方法下节课再进
一步研究．

三、小结

1. 函数的定义

2. 对函数三要素的认识

3. 对函数符号的认识

四、作业：略

五、板书设计

2．2函数 例
1． 例3．

一. 函数的概念

1. 定义

2. 本质 例
2． 小结：

3. 函数三要素的认识及作用

4. 对函数符号的理解

扩展资料

关于复合函数

高中数学对函数的研究主要类型有常见函数(七类 )，由上述常见函数构成的复合函数，
由常见函数做四则运算而得到的函数及实际生产生活中产生的函数 ．其中重点是前两类．常
见函数在课本中都将系统研究，而复合函数在课本中没有给出定义，所以在这里 我们对复合
函数做点介绍．

一般来说，如果

关于

的函数

在复合函数

是

的函数，而

又是

的函数，即

叫做

和
，那么

的复合函数．，其中

叫做中间变量．

，

是通过中中，自变量是

，

是中间变量，因变量是

间变量与自变量

间接建立起函数关系的．如

与二次函数

复合而成，如果给出函数

就可以看作反比例函数

，

，它们就可以复合
成一个以

为自变量

为因变量的函数关系即

．在刚才形成这个
复合函数的函数关系的过程实际上 就是一个换元的过程，而且处理复合函数的很多问题都需
要用换元法去处理．有了复合函数的概念，下列 问题我们就都可以解决了．

1．已知函数

2．已知函数

3．已知函数

求

的定义域为

，求

，求

．

．

的定义域．

扩展资料

函数史话

设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则

，对于集合A中任何一个元素，在集合B
当
就
中都有惟一的元素和它对应，这样的对应叫做从集合A到集合B的映射，记作

集合A，B都是非空的数的集合，且B的每一个元素都有原象时，这样的映射

叫定义域A到值域B上的函数．

笛卡儿引入变量后，随之而来的便是函数的概念．他指出
y
和

是变量（“未知量和未
定的量”）的时候，也注意到
y
依赖于而变

．这正是函数思想的萌芽．但是他没有使用“函
数”这个词．

“函数” 这个词用作数学的术语，最早是莱布尼茨，但其含义和现在不同，他指的是关
于曲线上某点的一些线段的 长（如横坐标、纵坐标、弦、切线、法线等）．

1718年，瑞士数学家 约翰·贝努利给出函数的一个定义，同时第一次使用了“变量”这
个词．他写道“变量的函数就是变量和 变量以任何方式组成的量．”

“函数”这个概念随着数学的不断发展而变化．历史上每个阶段，都有它相应的定义．

18世纪，欧拉曾经前后给出函数的三种定义：

1．将函数定义为“解析表示式”他写道 ：“变量的函数是一个解析表达式，它是由这个
变量和一些常量以任何方式组成的．”

2．将函数定义为“由曲线确定的关系”：“在

与

之间的关系．”

平面上徒手画出来的曲线所表示的
y
3．将函 数定义为“变量之间的依赖变化”．他说：“如果某些变量，以这样一种方式依
赖于另一些变量，即当后 面这些变量变化时，前面这些变量也随之而变化，则前面的变量称
为后面变量的函数．”

用现代的眼光去看，这三种定义都有一定的局限性．第1种、第3种两种定义容易理解，
所 以现在仍然被一些通俗的读物所采用，缺点在于过分狭窄，因为许多函数是没有解析表达
式的，也有些函 数并不随自变量

的变化而变化．第2个定义意义不够明确且局限于表达方
式．不管怎 样，欧拉定义对后世的影响很大．

1837年，德国数学家秋里赫勒进一步给出函数的定义：“对于在某区间上的每一个确定
的

值，
y
都有一个或多个确定的值，那么
y
叫做

的函数．”这已经相当接近现在许多教
科书所采用的定义．

19世纪7 0年代，康托的集合论出现之后，函数便明确地定义为集合间的对应关系．这是
目前一般教科书所用的“ 集合对应”定义．

采用“集合对应”定义以后，摆脱了“变量”一词．

“变量”一词的意义至今尚不清楚．“自变量”这个提法本身也是有缺点的，因为变量
必定 依赖于时间而变，也就是它必定是时间的函数，不可能脱离时间而“自变量”．对于函
数采用了“集合对 应”定义以后，摆脱了“变量”与“自变量”等名词，定义函数无需再依
赖于时间了．而变量这个词．许 多学者主张废弃不用，有人主张将“自变量”“因变量”改
为“第一值”“第二值”．

我国“函数”一词，是《代微积拾级》中首先使用的，这本书把函数定义为：“凡此变
数中 含彼变数，则此为彼之函数．”这里“函”是包含的意思．这定义大致相当于欧拉的解
析表达式定义，在 一个式子中“包含”着变量

，那么这个式子就是

的函数．

函数这个概念已成为数学中最重要的几个概念之一，而变量这个词却逐渐被新的词所代
替．

（2）函数值域的两种基本求解方法

由函数值域的定义，函数值 的集合叫做函数的值域，因此函数的值域可由定义域直接推
算．例如：

切实数，所以

的值域为

，

中，因为


为大于等于1的一
，即函数的值域为

另一方面我们可以从方程的角度理解函数的值域，如果我们将函数

于自变量

的方程，

在值域中任取一个值

，

对应的自变量

看做是关
一定为方程

取某值

在定义域中的一个解，即方程

，方程

在定义域内有解

，则

在定义域内有解；另一方面若

一定为

对应的函数值．从方程的角度，
的取值范围，如

变形函数的值域即为使关于

的方程

得

，方程在定义域

在定义域内有解的

内有解的条件为

，

即为函数的值域．

基于上述对函数值域概念的理解，求函数值域问题可通过直接推算和方程讨论两种方法
解决．

例1 求函数

的值域．

分析：此题是关于

的一次分式函数，这种题目可通过求关于

的方程在定义域内有解
的条件来求 得值域，也可以经过变形（分离常量），观察得出结果．

解法1：把函数看成是

的方程，变形得


（

），进一步整理得

方程在定义域

内有解的条件即为：


∴ 所求的值域为

．

解法2：将原函数变形为

∵

∴


∴

，即函数值域为

．

例2 求函数

的值域．

解：易得函数的定义域为R．

由函数解析式：


当

∴

时，方程


．在定义域R内无解．

当

时，有


∵

，所以当且仅当

时

有实数解．

∴


综上所述，函数的值域是


例3 对于定义域为实数集R的函数

（

为常数），回答下列下列问题：

（1）若

则

；

的值域．

（2）当

取由（1）所确定的值时，求

解：（1）由

得

，∴


（2）当

时，所给函数变为

定义域为R

由解析式得：


当

当

时，

∴

属于函数的值域．

时，若方程有实数解，则


，

）．

解得：

（

故函数

的值域为


直接推算的方法要注意对函数式的化简，方程讨论的方法要在定义域内进行．

探究活动

函数在数学及实际生活中有着广泛的应用，在我们身边就存在着很多与 函数有关的问题
如在我们身边就有不少分段函数的实例，下面就是一个生活中的分段函数．
夏天，大家都喜欢吃西瓜，而西瓜的价格往往与西瓜的重量相关．某人到一个水果店去
买西瓜，价格表上 写的是：6斤以下，每斤0．4元．6斤以上9斤以下，每斤0．5元，9斤
以上，每斤0．6元．此人 挑了一个西瓜，称重后店主说5元1角，1角就不要了，给5元吧，
可这位聪明的顾客马上说，你不仅没 少要，反而多收了我钱，当顾客讲出理由，店主只好承
认了错误，照实收了钱．
同学们，你知 道顾客是怎样店主坑人了呢?其实这样的数学问题在我们身边有很多，只要你注
意观察，积累，并学以至 用，就能成为一个聪明人，因为数学可以使人聪明起来．

答案：
若西瓜重9 斤以下则最多应付4.5元,若西瓜重9斤以上,则最少也要5.4元,不可能出现
5.1元这样的价钱 ,所以店主坑人了．

习题精选

(1)在下列四组函数中，

与

表示同一函数的是( )．




．



(2)设

为

，则

，

的图象可以是( )．

，函数

的定义域为

，值域

(3)给定映射


，在映射

的顶点坐标是__________．

下象

的原象是

，则函数

(4)求下列函数的定义域

①

； ②

；

③

．

(5)已知

(6)求下列函数的值域：

①

②

③

；
，则


；

；
④

(7)已知函数

等于( )．


满足

．

，且

，那么









(8)已知函数

_______．

的定义域为

．则

的值分别为
(9)已知

(10)半径为

，且

的圆内接等腰梯形

，它的下底

，则实数

的值为_____．

的端点是⊙直径，上底

在圆周上， 写出这个梯形周长

答案：

和腰长

之间的函数式，并求它的定义域．

(1)B； (2)B； (3)

；

(4)①

②

③

； (5)2；

(6)①

②

③

④

； (7)B； (8)

； (9)

；(10)

典型例题

，

．

例1 判断下列各组的两个函数是否相同，并说明理由．

(1)

与

；

(2)

与


(3)

与

；

(4)

与

；

(5)

与

．

分析：判断两个函数是否相同，应着眼于两个函数的定 义域和对应法则的比较，而求定
义域时应让原始的解析式有意义，而不能进行任何非等价变换，对应法则 的判断需判断它的
本质是否相同而不是从表面形式上下结论．

解：(1)不同，因为它们定义域不同．

(2)不同，前者的定义域是

或

，后者的定义域是

．

(3)相同，定义域均为非零实数，对应法则都是自变量取倒数后加1．

(4)不同，定义域是相同的，但对应法则不同．

(4)相同，将

利用绝对值定义去掉绝对值结果就是

．

说明 ：此题的目的在于强化函数是三要素构成的整体，且三要素中值域是由定义域和对
应法则共同确定的，判 断时可以只考虑定义域和对应法则是否相同，同时提醒学生，认识函
数对应法则必须认清它的本质，而不 是从表面上做判断．

例2 已知集合

那么集合

中所含元素个数为( )．

，

，

0
1或2

1 0或
1
分析：此题是以集合语言表述的问题，解决问题的第一步在于集合语言的翻译与理解，
然后 结合函数概念在运动变化过程中进行研究，求解时，可以先从形的角度，再从数的角度
提高认识．

解：从函数观点看，两个集合的交集中所包含的元素的个数，从数的角度即在

中，令

，看有几个相应的

与之对应；从形的角度即

的图象与直线

于是当

时，有一个交点，当

有几个公共点，由于

是不确定的，

时，则没有交点，所以应选

．

说明：此题目的在于进一步认 识函数概念本质，纠正只注意对应法则而忽视定义域作用
的毛病，而且还应从数和形两角度认识问题，解 决问题．

例3 求下列函数的定义域，要求把结果写成区间形式．

(1)

； ；

(3)

； (4)

；

(5)

分析：求定义域即使

限制因素对定义域的影响．

； (6)

，(

为圆的半径)

的解析式有意义，其中要注意有实际背景的问题和人为

解：(1)使

有意义应满足

．

故函数的定义域为

．

(2)使

有意义应满足

． 故函数定义域为

．

(3)使

有意义应满足

．故函数定义域为

．


．

(4)分段函数的定义域为

(5)由于

，所以

或

．

故定义域为

(6)从

义域为

．

有意义的角度对

没有限制，但由于

使圆的半径，应使非负数，故函数定
．

说明：此题的目的一方面掌握求 定义域的基本方法，熟悉用区间表示集合，另一方面包
含对分段函数定义域的认识及有人为限制的问题求 定义域应注意的问题．

例4 画出下列函数的图象

(1)

且

； (2)

；

(3)

； (4)

．

分析：对于常见函数由于其特征学生很熟悉，故一般只要选几个关键点，但要注意人 为
限制的定义域对图象的影响．对分段函数可先处理为若干段常见函数，在转折点的取舍上格
外 注意．

解：如图所示：


例5 某商场饮料促销，规定 一次购买一箱在原价48元的基础上打9折，一次购买两箱
可打8．5折，一次购买三箱可打8折，一次 购买三箱以上均可享受7．5折的优惠．若此饮
料只整箱销售且每人每次限购10箱，试用解析法写出顾 客购买的箱数

与所支付的费用

之间的函数关系，并画出其图象．

分析：阅读理解题意是解此题的第一步，其次注意题目的限制条件对定义域的制约．

解：由题意可得，

．如图：

说明：一方面提高应用意识，另一方面体会函数图象的特点可以是一群孤立的点．

例6 若

分析：既然求

观点看，把

与
解：另

和

的方程．

得

．由此消去

，另

，解得

，得

=1．

求

，当然应在已知中令

都当作未知数而要求得

的值．

得

，从方程的
的值，还须再找出另一个

说明：把抽象函数记号与方程思想融与一体，深刻体会两者之间的关系是此题的主要目
的．

2.3 函数单调性与奇偶性
教学目标

1.了解函数的单调性和奇偶性的概念,掌握有关证明和判断的基本方法.
(1)了解并区分增函数,减函数,单调性,单调区间,奇函数,偶函数等概念.
(2)能从数和形两个角度认识单调性和奇偶性.
(3)能借助图象判断一些函数的单调性,能 利用定义证明某些函数的单调性;能用定义判
断某些函数的奇偶性,并能利用奇偶性简化一些函数图象的 绘制过程.
2.通过函数单调性的证明,提高学生在代数方面的推理论证能力;通过函数奇偶性概 念的
形成过程,培养学生的观察,归纳,抽象的能力,同时渗透数形结合,从特殊到一般的数学思想.
3.通过对函数单调性和奇偶性的理论研究,增学生对数学美的体验,培养乐于求索的精神,
形成科学,严谨的研究态度.

教学建议

一、知识结构

（1）函数单调性的概念。包括增函数、减函数的定义，单调区间 的概念函数的单调性的
判定方法，函数单调性与函数图像的关系.

（2）函数奇 偶性的概念。包括奇函数、偶函数的定义，函数奇偶性的判定方法，奇函数、
偶函数的图像.

二、重点难点分析

(1)本节教学的重点是函数的单调性,奇偶性概念的形成与认识.教学的难点是领悟函数
单调性, 奇偶性的本质,掌握单调性的证明.

(2)函数的单调性这一性质学生在初中所学函数中 曾经了解过,但只是从图象上直观观察
图象的上升与下降,而现在要求把它上升到理论的高度,用准确的 数学语言去刻画它.这种由
形到数的翻译,从直观到抽象的转变对高一的学生来说是比较困难的,因此要 在概念的形成上
重点下功夫.单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容,学生在代数 论证
推理方面的能力是比较弱的,许多学生甚至还搞不清什么是代数证明,也没有意识到它的重要
性,所以单调性的证明自然就是教学中的难点.

三、教法建议

（1 ）函数单调性概念引入时,可以先从学生熟悉的一次函数,,二次函数.反比例函数图象
出发,回忆图象 的增减性,从这点感性认识出发,通过问题逐步向抽象的定义靠拢.如可以设计
这样的问题:图象怎么就 升上去了?可以从点的坐标的角度,也可以从自变量与函数值的关系
的角度来解释,引导学生发现自变量 与函数值的的变化规律,再把这种规律用数学语言表示出
来.在这个过程中对一些关键的词语(某个区间 ,任意,都有)的理解与必要性的认识就可以融
入其中,将概念的形成与认识结合起来.

（2）函数单调性证明的步骤是严格规定的,要让学生按照步骤去做,就必须让他们明确每
一步的必要性,每一步的目的,特别是在第三步变形时,让学生明确变换的目标,到什么程度就
可以断号 ,在例题的选择上应有不同的变换目标为选题的标准,以便帮助学生总结规律.

函数的奇偶性概念引入时,可设计一个课件,以

的图象为例,让自变量互为相反数,
观察对应的函数值的变化规律,先从具体数值

开始,逐渐让

在数轴上动起
来,观察任意性,再让学生把看到的用数学表达 式写出来.经历了这样的过程,再得到等式

时,就比较容易体会它代表的是无数多个等式,是 个恒等式.关于定义域关于
原点对称的问题,也可借助课件将函数图象进行多次改动,帮助学生发现定义 域的对称性,同
时还可以借助图象(如

件而不是充分条件.

)说 明定义域关于原点对称只是函数具备奇偶性的必要条

函数的奇偶性教学设计方案

教学目标

1.使学生了解奇偶性的概念,回 会利用定义判断简单函数的奇偶性.

2.在奇偶性概念形成过程中,培养学生的观察,归 纳能力,同时渗透数形结合和特殊到一
般的思想方法.

3.在学生感受数学美的同时,激发学习的兴趣,培养学生乐于求索的精神.

教学重点,难点

重点是奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断

难点是对概念的认识

教学用具

投影仪,计算机

教学方法

引导发现法

教学过程

一. 引入新课

前面我们已经研究了函数的单调性,它是反映函数在某一个区间上函数值随自变 量变化
而变化的性质,今天我们继续研究函数的另一个性质.从什么角度呢?将从对称的角度来研究函数的性质.

对称我们大家都很熟悉,在生活中有很多对称,在数学中也能发现很多 对称的问题,大家
回忆一下在我们所学的内容中,特别是函数中有没有对称问题呢?

(学生可能会举出一些数值上的对称问题,

对称问题,此时教师可以引导学生把函数具体化,如

和

等,也可能会举出一些图象的
等.)

结合图象提出这些对称是我们在初中研究的关于

轴对称和关于原点对称问题,而我们
还曾研究过关于

轴对称的问题,你们举的例子中还没有这样的,能举出一个函数图象关于

轴对称的吗?

学生经过思考,能找出原因,由于函数是映射,一个

只能对一个

,而不能有两个不同
轴对称和的,故函数的图象不可能关于

轴对称.最终提出我们今天将重点研究图象关于

关于原点对称的问题,从形的特征中找出它们在数值上的规律.

二. 讲解新课

2.函数的奇偶性(板书)

教师从刚才的图象中选出

,用计算机打出,指出这是关于

轴对称的图象,然后
问学生初中是怎样判断图象关于

轴对称呢?(由学生回 答,是利用图象的翻折后重合来判定)
此时教师明确提出研究方向:今天我们将从数值角度研究图象的这 种特征体现在自变量与函
数值之间有何规律?

学生开始可能只会用语言去描述: 自变量互为相反数,函数值相等.教师可引导学生先把
它们具体化,再用数学符号表示.(借助课件演示 令


比较

得出等式
,再令

,得到

,详见课件的使用)进而再提出会
不等呢?(可用课件帮助演示让

动起来观察,不会在定义域内存在

,使

与

发现结论,这样的

是不存在的)

从这个结论中就可以发现对定义域内任意一个

,都有

生用完整的语言给出定义,不准确的地方教师予以提示或调整.

(1) 偶函数的定义:如果对于函数

那么

成立.最后让学
的定义域内任意一个

,都有

,
就叫做偶函数.(板书)

(给出定义后可让学生举几个例子,如

的初步认识)

等以检验一下对概念
提出新问题:函数图象关于原点对称,它的自变量与函数值之间的数值 规律是什么呢?(同
时打出

或

的图象让学生观察研究)

学生可类比刚才的方法,很快得出结论,再让学生给出奇函数的定义.

(2) 奇函数的定义: 如果对于函数

,那么

的定义域内任意一个

,都有

就叫做奇函数.(板书)

(由于在定义形成时已经有了一定的认识,故可以先作判断,在判断中再加深认识)

例1.

判断下列函数的奇偶性(板书)

(1)

; (2)

;

(3)

;

;

(5)

; (6)

.

(要求学生口答,选出1-2个题说过程)

解: (1)

是奇函数.(2) 是偶函数.

(3)

,

是偶函数.

前三个题做完,教师做一次小结,判断奇偶性,只需验证

与

之间的关系, 但
对你们的回答我不满意,因为题目要求是判断奇偶性而你们只回答了一半,另一半没有作答,
以第(1)为例,说明怎样解决它不是偶函数的问题呢?

学生经过思考可以解决问题，指出只要举出一个反例说明


与

不 等.如
即可说明它不是偶函数.(从这个问题的解决中让学生再次认识到定义中任意
性的重要)

从(4)题开始,学生的答案会有不同,可以让学生先讨论,教师再做评述.即第(4) 题中表面
成立的

=

不能经受任意性的考验,当

时,由于

,故

不存
在,更谈不上与

相等了,由于任意性被破坏,所以它不能是奇偶性.

教师由此引导学生,通过刚 才这个题目,你发现在判断中需要注意些什么?(若学生发现不
了定义域的特征,教师可再从定义启发, 在定义域中有1,就必有-1,有-2,就必有2,有

,就
必有

,有

就必有

,从而发现定义域应关于原点对称,再提出定义域关 于原点对称
是函数具有奇偶性的什么条件?

可以用(6)辅助说明充分性不成立,用(5)说明必要性成立,得出结论.

(3) 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件.(板书)

由学生小结判断奇 偶性的步骤之后,教师再提出新的问题:在刚才的几个函数中有是奇函
数不是偶函数,有是偶函数不是奇 函数,也有既不是奇函数也不是偶函数,那么有没有这样的
函数,它既是奇函数也是偶函数呢?若有,举 例说明.

经学生思考,可找到函数

都只能写成这样呢?能证明吗?

例2.

已知函数

来完成)

证明:




=

=

,即

.然后继续提问:是不是具备这样性质的函数的解析式
既是奇函数也是偶函数,求证: .(板书) (试由学生
既是奇函数也是偶函数,

,且

.

.

,




证后,教师请学生记住结论的同时,追问这样的函数应有多少个呢?学生开始可能认为只
有一个,经教师 提示可发现, 只是解析式的特征,若改变函数的定义域,如

,,

,它们显然是不同的函数,但它们都

,

是既是奇函数也是偶函数.由上可知函数按其是否具有奇偶性可分为四类

(4) 函数按其是否具有奇偶性可分为四类: (板书)

例3.

判断下列函数的奇偶性(板书)

(1)

; (2)

; (3)

.

由学生回答,不完整之处教师补充.

解: (1)当

(2)当

时,

时,
为奇函数,当

时, 既不是奇函数也不是偶函数.

时, 是偶函数.

既是奇函数也是偶函数,当

(3) 当

时,

于是

,

当

综上

时,

,于是

=

,

是奇函数.

检验

, 教师小结 (1)(2)注意分类讨论的使用,(3)是分段函数,当

并不能说明

均有

三. 小结

1. 奇偶性的概念

2. 判断中注意的问题

四. 作业 略

五. 板书设计

2.函数的奇偶性 例
1. 例3.

(1) 偶函数定义

(2) 奇函数定义

(3) 定义域关于原点对称是函数 例
2. 小结

具备奇偶性的必要条件

(4)函数按奇偶性分类分四类

扩展资料

复合函数的单调性与奇偶性

具备奇偶性,因为奇偶性是对函数整个定义域内性质的刻画,因此必须

成立,二者缺一不可.

复合函数的性质与构成它的函数的性质密切相关,其规律可列表如下:

1.若函数

的奇偶性得到

函数


的定义域都是关于原点对称的,那么由

的奇偶性的规律是:

奇偶性

奇函数

奇函数

奇函数

奇函数

偶函数

偶函数

偶函数

奇函数

偶函数

偶函数

偶函数

偶函数



即当且仅当

2. 若函数

调性规律是:

函数


和

在区间

都是奇函数时,复合函数

上是单调函数,函数

在区间

在

是奇函数.

或

上也是单调函数,那么复合函数

上是单调函数,其单
单调性

增函数

增函数

增函数

增函数

减函数

减函数

减函数

增函数

减函数

减函数

减函数

增函数



即

,

增减性相同时, 为增函数,增减性相反时,
为减函数.

选自《名师一点通高中代数》

辽宁教育出版社 蒋佩锦编著

探究活动

(1)

定义域为

能试证明之吗?

的任意函数

都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和,你

(2) 判断函数

在

上的单调性,并加以证明.

在此基础上试利用这个函数的单调性解决下面的问题:

设

为三角形的三条边,求证:

习题精选

.

一、选择题

(1)下列说法正确的是( ).



奇函数的图象一定过原点

偶函数的图象一定与

轴相交






在其定义域内是增函数

是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称

上为增函数的是( ).


(2)下列函数中,在区间










(3)函数




对任何常数

对任何常数

对任何常数

,

,

,

为常数),则( )

是既不是奇函数也不是偶函数

是奇函数

是偶函数

只有当

时, 是奇函数

参考答案:

(1)D (2)D (3)B

二、填空题

(1)
是____函数(填增或减).


在

都是减函数,则

在

上
(2)函数

则

.

,当

时,是增函数,当

时是减函数,
(3）已知

_______.

是常数),且

,则

的值为
(4)若函数

_______.

参考答案

在

上是减函数,则

的取值范围是
(1)减 (2)13 (3)1 (4)

三、解答题

（１）断下列函数的奇偶性:


①

; ②

;

③

; ④

,

;

⑤

.

（２）设

在

上是奇函数,当

时,

,试问当

时,
的表达式是什么?

（３）已知函数

（４）设函数

奇函数,且

与

,试判断函数的奇偶性,并加以证明.

的定义域是

,求

和

且

,

是偶函数, 是
的解析式.

（５）若

(

为常数)是奇函数,求

的值.

（６）若

与
参考答案


是偶函数,定义域为

的大小.

,且在

上是减函数,试比较

(1)①偶函数 ②既不是奇函数也不是偶函数 ③奇函数 ④既是奇函数也是偶函
数 ⑤偶函数

(2)

(3) 奇函数


(4)

(5) –1

(6)当

时，

，当

典型例题（例1～例4）

时，


例1 给出下列函数的图象,指出函数的单调区间,并指明其单调性.

分析：通过图象直观观察其升降来判断其增减性,但必须注意区间端点的取舍要合理.

解：图（1）中

上是减函数,在
的单调区间有

和

,

,

,

.其中在

和

上是增函数.

图（2）中

上都是减函数.

的单调区间有

和

,其中在

和

说明：图（1）中

和

不在定义域内,因此写单调区间时在这两个点上必须
写成“开”而其余端 点写成“开”或“闭”均可.图（2）中虽在两个区间上均为减区间,但不
能把两个区间并起来.

例2 用函数单调性定义证明:

(1)

为常数)在

上是增函数.

(2)

在

上是减函数.

分析:虽然两个函数均为含有字母系数的函 数,但字母对于函数的单调性并没有影响,故
无须讨论.

证明: (1)设

是

上的任意两个实数,且

,

则

=



由

得

,由

得

,

.



,

,

即

即

.

.

于是



在

是

上是增函数.

上的任意两个实数,且

,

(2) 设

则

由


于是

即

得

,由

.又

,

.

得



.


在

上是减函数.

说明:由(1)中所得结论可知二次函数的单调区间只与对称轴的位置和开口方向有关,与
常数

无关.若函数解析式是分式,通常变形时需要通分,将分子,分母都化成乘积的形式便于
判断符 号.

例3 函数

在

上是减函数,求

的取值集合.

分析:首先需要对

前面的系数进行分类讨论,确定函数的类型,再做进一步研究.

解:当

当

解得

时,函数此时为

时,

为一次函数,若在

.

,是常数函数,在

上是减函数,则有

上不具备增减性.

,
.故所求

的取值集合为

说明:此题虽比较简单,但渗透了对分类讨论的认识与使用.

例4 下列函数是否具有奇偶性.

(1)

; (2)

;

(3)

分析:根据定义,检验

与

; (4)

的关系,同时注意定义域.

.

解: (1)

.

是奇函数.

(2)

(3)由于定义域

(1) 的定义域为

同时成立, 故

不关于原点对称,故

且

. 是偶函数.

既不是奇函数也不是偶函数.

和

,是关于原点对称的,且有

既是奇函数又是偶函数.

例5 已知函数

.判断

的奇偶性,并加以证明.

分析 :这是一个分段函数,且每一段的解析式都比较熟悉,所以在判断其奇偶性时可以借
助函数图象观察图象 的对称性而得出结论,但要证明则只能依靠定义.

解: 为奇函数.下面给出证明.当

时,

;

当

时,
综上

为奇函数.

和

时均有

成立,


说明:根据定义进行证明时,必须分别证明

二者缺一不可.

例6 若函数

分析:欲求

的依据是

是

在

上是奇函数,试确定

的解析式.

的值,根据方程思想只需找出关于

上的奇函数.

的两个独立条件列方程,而列方程
解:在

得

中,由

,得

,

得

,由



.

说明:由奇函数的定义得到

的制约条件时,应利用一般与特殊的思想让

取某两个
特殊值即可.这个想法是建立在对奇函数定义中恒等关系的理解.

例7 已知函数

,在

求证:

上

与

是增函数而

在

的定义域都是

是减函数,

上为减函数.

,值域分别是

与

分析：证明的依据应是减函数的定义.

证明：设

则

是

上的任意两个实数,且

,

是

上的增函数,

,

的值域为

.

,

是

上的减函数,且

即

的值域为

,

,

.







.

又



即

在

上为减函数.



说明：此题涉及抽象函数的有关证明,要求较高,此外在

的变形中涉及到

增减项的技巧,它也应是源于单调性只能比较同一个函数的某两个函数值,必须构造出
与

的差和

与

的差.

2.4 反函数
教学目标

（1）了解反函数的概念及互为反函数的图象间的关系,会求一些简单函数的反函数.

①能从函数三要素角度认识函数与它的反函数之间的关系,深化对函数概念的理解.

②会在给定函数

析式.

的解析式及反函数存在的条件下,求反函数

的解
③不仅能从数量的对应关系认识反函数还能从图象的对应关系了解反函数的概念,并能
利用

与

的关系解决一些求值问题.

（2）通过反函数概念的学习 ,培养学生分析问题,解决问题的能力及抽象概括的能力,并
能在反函数的求解过程中,把握函数与方程 的思想.

反函数的学习过程也是函数概念和函数性质在认识上的深化和使 用,因此反函数的学习
可以帮助学生体会函数理论的指导作用,发展应用意识,树立辨证唯物主义的世界 观.

教学建议

一、知识结构

本节的主要内容有： 反函数的定义，反函数的符号，反函数的求法，互为反函数的函数
图像间的关系.

二、重点难点分析

(1)反函数是研究两个函数的相互关系的一项重要内容,学 生掌握了反函数的知识,有助
于进一步了解函数的概念,获得比较系统的函数知识,并为以后学习互为反 函数的指数函数与
对数函数以及三角函数与反三角函数奠定了基础.

(2)本节的教学重点是反函数的概念的形成与认识.教学难点是掌握反函数的求法.

( 3)课本上给出的反函数的定义比较长,也比较抽象,学生阅读理解起来会感到有困难,因
此重点自然应 放在概念的理解上,而且概念中的描述实际上就是求反函数的过程,使得求反函
数问题也有法可依,可以 帮助学生体会求反函数步骤的合理性.求反函数虽有明确的步骤,主
要是解一个方程和求一个值域,但解 的方程的类型各不相同,求解时怎样根据条件进行解的取
舍,是学生遇到的难题,同时求函数值域也是多 数同学感到困难的课题,所以求反函数就成为
本节的一个难点.

三、教法建议

（1）反函数概念的建立是本节的关键,而由于概念自身难度较大 ,故引入时多采用从具体
函数例子出发,抓住反函数也是函数这个关键,引导学生从函数三要素角度认识 它与原来函数
的关系.用学生最熟悉的知识,最明显的事例,帮助学生找到研究角度和方法,再逐步抽象 概括
出反函数的定义.

（2）在本节中对反函数概念是否理解的另一个标准就是 能否求出指定函数的反函数.求
反函数是一种技能性的训练,依照概念,形成了明确的操作步骤,教学中 ,当学生了解了反函数
的概念,并步一定真能把握如何求反函数,教师可以放手让学生去尝试,调整,当 求解中出现问
题,再和学生一起研究解决.如

,反解

时,正负的选取问题,

反解后要求原来函数的值域当作反函数的定义域的问题,象这 样的典型问
题,让学生先暴露出来,再去解决它,给学生留下的印象或者说在理解上会更深刻.

（3）关于互为反函数的两个函数图象的关系教材中不要求证明,只要求了解这个结论,虽
然要求低,但它却很重要.一方面它从形的角度揭示了互为反函数的两个函数之间的关系,使
得对反函数 的认识能从数和形两方面把握并解决相关的问题,另一方面在后面研究对数函数
时也必须依靠这一结论才 能简洁画出对数函数的图象.

反函数教学设计方案

教学目标

1.使学生了解反函数的概念,初步掌握求反函数的方法.

2.通过反函数概念的学习,培养学生分析问题,解决问题的能力及抽象概括的能力.

3.通过反函数的学习,帮助学生树立辨证唯物主义的世界观.

教学重点,难点

重点是反函数概念的形成与认识.

难点是掌握求反函数的方法.

教学用具

投影仪

教学方法

自主学习与启发结合法

教学过程

一. 揭示课题

今天我们将学习函数中一个重要的概念----反函数.

1.4. 反函数(板书)

(一)反函数的概念(板书)

二.讲解新课

教师首先提出这样一个问题:在函数

中,如果把

当作因变量,把

当作自
的允变量,能否构成一个函数呢?(让学生思考后回 答,要讲明理由)可以根据函数的定义在

许取值范围内的任一值,按照法则

学生画出函数的图象,从形的角度解释“任一

都有唯一的

与之相对应.(还可以让
对唯一

”)

有反函数,而且把 学生解释后教师指出不管从哪个角度,它都是一个函数,即

这个函数称为

的反函数.那么这个反函数的解析式是什么呢?

由学生回答出应为

.教师再提出

它作为函数是没有问题的,但不太
表示因变量,故它又可以改写成

和

是同一函数吗?

符合我们的表示习惯,按习惯用

表示自变量,用

,改动之后带来一个新问题:
由学生讨论,并说明理 由,要求学生能从函数三要素的角度去认识,并给出解释,让学生真
正承认它们是同一函数.并把

有反函数吗？是哪个函数?

叫做

的反函数.继而再提出:
学生很快会意识到

是

的反函数,教师可再引申为

与

是互为反函数的.然后利用问题再引申:是不是所有的函数都有反函数呢?如果有 ,
请举出例子.在教师启发下学生可以举出象

变量,在

允许取值范围内一个

这样的函数,若将

当自变量,

当作因
时,对应

可能对两个

(可画图辅助说明,当

),不能构成函数,说明此函数没有反函数.

通过刚才的例子,了解了什么是反函数,把对

的反函数的研究过程一般化,概< br>括起来就可以得到反函数的定义,但这个数学的抽象概括,要求比较高,因此我们一起阅读书
上相 关的内容.

1. 反函数的定义:(板书)(用投影仪打出反函数的定义)

为了帮助学生理解,还可以把定义中的

解释每一步骤,如得

对概念作点深入研究.

2.对概念得理解(板书)

教师先提 出问题:反函数的“反”字应当是相对原来给出的函数而言,指的是两者的关系
你能否从函数三要素的角 度解释“反”的含义呢?(仍可以

学生很容易先想到对应法则是“反”过来的,把

与

与

为例来说)

换成某个具体简单的函数如

.给出定义后,再,再判断它是个函数,最后改写为

的位置换位了,教师再追问它们 的
的互换还会带来什么变化?启发学生找出另两个要素之间的关系.最后得出结论:

定义域和值域分别由

的值域和定义域决定的.再把结论从特殊发展到 一般,概括
为:反函数的三要素是由原来函数的三要素决定的.给出的函数确定了,反函数的三要素就已
经确定了.简记为“三定”.

(1)“三定”(板书)

然后要求学生把刚才的三定具体化,也就是“反”字的具体体现.由学生一一说出反函数
的定义域是原来 函数的值域,反函数的值域是原来函数的定义域,反函数的对应法则就是把原
来函数对应法则中

与

的位置互换.(用投影仪打出互换过程)如图


最后教师进一步明确“反”实际体现为“三反”, “三反”中起决定作用的是 与
的位置的反置,正是由于它的反置,才把它的范围也带走了,引起了另外两“反”.

(2)“三反”(板书)

此时教师可把问题再次引向深入,提出:如果一个函数存在反函 数,应怎样求这个反函数
呢?下面我给出两个函数,请同学们根据自己对概念的理解来求一下它们的反函 数.

例1. 求

的反函数.(板书)

(由学生说求解过程,有错或不规范之处,暂时不追究,待例2解完之后再一起讲评)

解:由

得

, 所求反函数为

.(板书)

例2. 求

,

的反函数.(板书)

解:由

得

,又

得

,

故所求反函数为

.(板书)

求完后教师 请同学们作评价,学生之间可以讨论,充分暴露表述中得问题,让学生自行发
现,自行解决.最后找代表 发表意见,指出例2中问题,结果应为

,

.

教师可先明知故问

,与

,

有什么不同?让学
从生明确指出两个函数定义域分别是

和

,所以它们是不同的函数.再追问

何而来呢?让学生能从三定和三反中找出理由,是从原来函数的值域而来.

在此 基础上,教师最后明确要求,由于反函数的定义域必是原来函数的值域,而不是从自
身解析式出发寻求满 足的条件,所以求反函数,就必须先求出原来函数的值域.之后由学生调
整刚才的求解过程.

解: 由

得

,又

得

,

又

的值域是

,

故所求反函数为

,

.

(可能有的学生会提出例1 中为什么不求原来函数的值域的问题,此时不妨让学生去具体
算一算,会发现原来函数的值域域求出的函 数解析式中所求定义域时一致的,所以使得最后结
果没有出错.但教师必须指出结论得一致性只是偶然, 而不是必然,因此为规范求解过程要求
大家一定先求原来函数的值域,并且在最后所求结果上注明反函数 的定义域,同时让学生调整
例的表述,将过程补充完整)

最后让学生一起概括求反函数的步骤.

3.求反函数的步骤(板书)

(1) 反解:

(2) 互换

(3) 改写:

对以上环节教师可稍作解释,然后提出再通过下面的练习来检验是否真正理解了.

三.巩固练习

练习:求下列函数的反函数.

(1)

黑板写)

解答过程略.

(2)

.(由两名学生上
教师可针对学生解答中出现的问题,进行讲评.(如正负的选取,值域的计算,符号的使用)

四.小结

1. 对反函数概念的认识:

2. 求反函数的基本步骤:

五.作业

课本第68页习题2.4第1题中4,6,8,第2题.

六.板书设计

2.4反函数 例1. 练
习.

一. 反函数的概
念 (1) (2)

1. 定义

2. 对概念的理解 例2.

(1) 三定(2)三反

3. 求反函数的步骤

(1)反解(2)互换(3)改写

扩展资料
反函数

反函数是研究两个函数相互关系的一项重要内容,它从数量关系和图象的对应关系两方
面刻画了两个函数 之间的关系.一个函数是否存在反函数是由它自身的性质决定的,而且它若

有反函数,则 它的反函数的性质也与这个函数的性质密切相关.如奇函数若存在反函数,则反
函数也是奇函数.请同学 们仿照刚才例6的证明,来证明这一结论.再如函数与其反函数再相应
的区间内也具有相同的单调性,这 一点也是可以证明的.由于它们在性质上的一致性,为我们
研究函数的性质增加了一种手段,如果一个函 数存在反函数,当我们研究这个函数性质时,就
可以在两者之中择其较简的来进行研究.

探究活动

一个函数是否具有反函数与它的奇偶性有关吗?与单调性有关吗?请同学们研究如下问题:
(1) 如果一个函数是奇函数,是否一定存在反函数?
(2) 如果一个函数是偶函数是否一定没有反函数?
(3) 如果一个函数是单调函数,是否一定有反函数?
(4) 如果一个函数不是单调函数,是否一定没有反函数?

习题精选

一、选择题

(1)在同一坐标系中,图象表示同一曲线的是( ).




与

与







与

与




(2)若函数存在反函数,则

的方程



为常数)( ).

有且仅有一实根

没有实根


至少有一实根
至多有一实根

(3)点

在函数

( ).

的图象上,则下列各点中必在其反函数图象上的是

参考答案

(1)C (2)C (3)D

二、填空题

(1)求下列函数的反函数:

①

②

;

③

; ④

.

(2)函数

的反函数是_____________________.

(3)

,则

的值为_________.

(4)要使函数

_____________.

在

上存在反函数,则

的取值范围是
(5)若函数

参考答案

有反函数,则实数

的取值范围是_____________.

(1)①

; ②

;

③

; ④

;

(2)

(3)

(4)

或

(5)

且

.

三、解答题

(1)已知函数

(2)函数

参考答案

与

的图象关于直线

对称,求

的值.

对称,求常数

的值.

的图象关于直线

(1)

(2)


典型例题（例1～例3）

例1 给出下列函数:

(1)

; (2)

;

(3)

; (4)

;

(5)

.

其中不存在反函数的是__________________.

分析:判断一个函数是否有反函数,从概念上讲即看对函数值域内任意一个

,依照这函
数的对应法则,自变量

总有唯一确定的值与之对应,由于这种判 断难度较大,故通常对给出
的函数的图象进行观察,断定是否具有反函数.

解: (1) ,(2)都没有问题,对于(3)当

对于(4)

时,

和

时,

和

时,

,且

和

.

.

.对于(5)当

故(3),(4),(5)均不存在反函数.

说明:从图象上观察,只要看在相应的区间内是否单调即可.

例2 求下列函数的反函数:

(1)

(2)

;

(3)

.

分析:求反函数时,通常先由给定的解析式

函数的值域,再把

与

互换.

中解出

,再求出原来的
解: (1)由

.

得

,又

得值域是

.

(2)由

变形得

.

又

得值域是

,


(3)由

得



; 由

得

.

又

是 ,

(

的值域是

,而

的值域


.

说明:在求解方程时,一定要注意题目中对

的限制条件的使用,分段函数存在反函数时,也应分段求解它的反函数,一般情况下,它的反函数仍然是个分段函数.

例3 已知函数

,求

的值.

分析: 符号

的意义即反函数

在

时的值,故可先求

,再求

的值,但如果真正搞清了反函数与原来函数的关系,就会知道它的另一层含义 即当原
来函数的函数值为4时相应的自变量的取值.

解: 令

,解此方程得

,再考虑到

,故

.

说明:此题意在要求学生不仅能在定义中理解互为反函数的两个函数之间的关系,还能从
符 号角度认识它们之间的关系,也正是基于这种理解才找到了更为简捷的方法.(此法对于求
反函数比较复 杂的题目尤为适用)

典型例题（例4～例6）

例4 已知函数

的所有取值可能.

与其反函数

是同一个一次函数

,试指出

分析:此题可以有两种求解思路:一是求解

比较,让对应系数相等,列出关于

用点的坐标满足解析式来列方程.

的反函数的解析式,与

的方程,二是利用两个函数图象的对称性,找对称点,利
解：由

于是

又

于是

由(1)得

当

或

代入(2)解得

知点

在图象上,则点

定在

的图象上,

(1)

过点

,则点

也在

的图象上,

(2)

,当

.

时,代入(2),此时(2)恒成立即

;

综上, 的所有取值可能有

或

.

说明:此 题是反函数概念与方程思想的综合.在这个题目中特殊点的选取一般是考虑计算
简单方便,而且这种取特 殊点列方程的方法在其他地方也有应用,故对此种方法要引起重视.
另外此题在最后作答时,要求写出< br>
的所有取值可能即要把

的取值与

的取值搭配在一
起,所以解方程组时要特别小心这一点.

例5.已知函数

分析: 由于已知是

,再由

求出

,所求是

,

,求

的反函数.

找到

的反函数,因此应首先由

的表达式,再求反函数.

解:令

,



,则

,

,


.于是有

.

由

得

,由于

,


又

,


.

,

的值域是



的反函数是

.

说明:此题涉及对抽象函数符号的认识与理解 ,特别是在换元过程中,相应变量的取值范
围也要随之发生改变,这一点是学生经常忽略的问题.

例6.设定义域和值域都是

有

的函数

的反函数为

,且对于任意

都
,

求证:

对任意

也成立.

分析:由函数

的性质推证其反函数的性质,应首先要把

的问题转化成

的问题,转化的依据是对互为反函数的两个函数关系的理解.

证明:令

,其中

,那么

.

则有

由于


(1)

对任意

.由于

成立,

,则

.


故有

,即

.

说明:使用抽象函数符号进行简单的证明,是提高研究函数性质理论层次的一种要求,对
于 较好的学生应适当做一些这样的题目.

2.5 指数
教学目标

1．理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质．
(1) 理解
n
次方根，
n
次根式的概念及其性质，能根据性质进行相应的根式计算．
(2) 能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新
的写法，能正确进行根式与分数指数幂的互化．
(3) 能利用有理指数运算性质简化根式运算．
2．通过指数范围的扩大，使学生能理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转化，认
识 到符号化思想的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力．
3．通过对根式与分数指数幂的关系的认识，使学生能学会透过表面去认清事物的本质．

教学建议

教材分析

（1）本节的教学重点是分数指数幂的概 念及其运算性质．教学难点是根式的概念和分数
指数幂的概念．

（2）由于分数指数幂的概念是借助

次方根给出的，而

次根式，

次方根又是学生
刚刚接触到的概念，也是比较陌生的．以此为基础去学习认识新知识自然是比较 困难的．且

次方根，分数指数幂的定义都是用抽象字母和符号的形式给出的，学生在接受理解 上也是比
较困难的．基于以上原因，根式和分数指数幂的概念成为本节应突破的难点．

（3）学习本节主要目的是将指数从整数指数推广到有理数指数，为指数函数的研究作好
准 备．且有理指数幂具备的运算性质还可以推广到无理指数幂，也就是说在运算上已将指数
范围推广到了实 数范围，为对数运算的出现作好了准备，而使这些成为可能的就是分数指数
幂的引入．

教法建议

（1）根式概念的引入是本节教学的关键．为了让学生 感到根式的学习是很自然也很必要
的，不妨在设计时可以考虑以下几点：

①先以 具体数字为例，复习正整数幂，介绍各部分的名称及运算的本质是乘方，让它与
学生熟悉的运算联系起来 ，树立起转化的观点．

②当复习负指数幂时，由于与乘除共同有关，所以出现了分式，这 样为分数指数幂的运
算与根式相关作好准备．

③在引入根式时可先由学生知道的平方根和立方根入手，再大胆写出

次方根等于16．指出2和-2是它的四次方根后再把指数换成

，写成

等于

，在语言描述的同时，也把数学的符号语言自然的给出．

即谁的四
即谁的

次方
（2）在

次方根的定义中并没有将

次方根符号化原因是结论的多样性，不能乱表示，
所以需要先研究规律，再把它符号化．按这样的研究思路学生对

次方根的认识逐层递进，
直至找出运算上的规律．

教学设计示例

课题 根式

教学目标：

1．理解

次方根和

次根式的概念及其性质，能根据性质进行简单的根式计算．

2．通过对根式的学习，使学生能进一步认清各种运算间的联系，提高归纳，概括的能力．

3．通过对根式的化简，使学生了解由特殊到一般的解决问题的方法，渗透分类讨论的思
想．

教学重点难点：

重点是

次方根的概念及其取值规律．

难点是

次方根的概念及其运算根据的研究．

教学用具：投影仪

教学方法：启发探索式．

教学过程：

一.

复习引入

今天我们将学习新的一 节指数．指数与其说它是一个概念，不如说它是一种重要的运算，
且这种运算在初中曾经学习过，今天只 不过把它进一步向前发展．

下面从我们熟悉的指数的复习开始．能举一个具体的指数运算的例子吗?

以

称为幂．

教师还可引导学生回顾指数运算的由来，是从乘方而来，因此最初指数 只能是正整数，
同时引出正整数指数幂的定义．

数幂和负整数指数幂的定义，分别写出

追问这里

及
< br>．然后继续引导学生回忆零指
，同时
为例，是指数运算要求学生指明各部分的名称，其中 2称为底数，4为指数，

的由来．最后将三条放在一起，用投影仪打出整数指数幂的概念

2．5指数(板书)

1.

关于整数指数幂的复习

(1)

概念

既然是一种运算，除了定义之外，自然要给出它的运算规律，再来回顾一下关于整数指
数幂 的运算性质．可以找一个学生说出相应的运算性质，教师用投影仪依次打出：

(2)

运算性质：

;

;

．

复习后直接提出新课题，今天在此基础上把指数从整数范围推广到分数范围． 在刚才的
复习我们已经看到当指数在整数范围内时，运算最多也就是与分式有关，如果指数推广到分指数会与什么有关呢?应与根式有关．初中时虽然也学过一点根式，但不够用，因此有必要先
从根式 说起．

2.

根式(板书)

我们知道根式来源于开方，开方是乘方的逆运算，所以谈根式还是先从大家熟悉的乘方
说起．

如


如果给出了4和2进行运算，那就是乘方运算．如果是知道了16和2，求4即

求?

，

问题也就是： 谁的平方是16 ，大家都能回答是4和-4，这就是开方运算，且4和-4 有
个名字叫16的平方根．

再如


知3和8，问题就是谁的立方是8?这就是开方运算，大家 也知道结果为2，同时指出2
叫做8的立方根．

(根据情况教师可再适当举几个例子，如

含义，I再说出结果分别为

，要 求学生用语言描述式子的
和-2，同时指出它们分别称为9的四次方根和-8的立方根)

即一个数的

次方等于

，求这个数， 在以上几个式子会解释的基础上，提出

即开

次方，那么这个数叫做

的

次方根．

(1) 次方根的定义：如果一个数的

次方等于

(

的

次方根．

(板书)

，那么这个数叫做

对定义理解的第一步就是能把上述语言用数学符号表示，请同学们试试看．

由学生翻译为：若

的后面)

(

，则

叫做

的

次方根．(把它补在定义
翻译后教师在此基础上再次提出翻译的不够彻底，如结论中的

的

次方根就 没有用符
号表示，原因是什么?(如果学生不知从何入手，可引导学生回到刚才的几个例子，在符号表< br>示上存在的问题，并一起研究解决的办法)最终把问题引向对

的

次方根的取值规律的研
究．

(2) 的

次方根的取值规律： (板书)

先让学生看到

的

次方根的个数是由

的奇偶性决定的，所以应对

分奇偶情况讨
论

当

为奇数时，再问学生

的

次方根是个什么样的数，与谁有关，再提出对

的正
负的讨论，从而明确分类讨论的标准，按

的正负分为三种情况．

Ⅰ当

为奇数时

，

的

次方根为一个正数;

，

的

次方根为一个负数;

，

的

次方根为零． (板书)


当奇数情况讨论完之后，再用几个具体例子辅助说明

为偶数时的结论，再由学生总结
归纳

Ⅱ当

为偶数时

，

的

次方根为两个互为相反数的数;



，

的

次方根不存在;

，

的

次方根为零．


对于这个规律的总结，还可以先看

的正负，再分

的奇偶，换个角度加深理解．

有了这个规律之后，就可以用准确的数学符号去描述

次方根了．

(3)

的

次方根的符号表示 (板书)

可由学生试说一说，若学生说不好，教师可与学生一起总结，当

为奇数时，由于无论

为何值，

次方根都只有一个值，可用统一的符号

义：

为正数，则

则

为零．

只能表示其中一个且应表示是正的，另
，其含义为

为偶数时，正
表示，此时要求学生解释符号的含
为一个确定的负数，

为零，为一个确定的正数，

为负数， 则

当

为偶数时，

为正数时，有两个值，而

一个应与它互为相反数，故只需在前面放一个负号，写成

数的

次方根有两个分别为

和

．

为了加深对符号的认识，还可以提出这样的问题： 一定表示一个正数吗? 中的

一定是正数 或非负数吗?让学生来回答，在回答中进一步认清符号的含义，再从另一个角度
进行总结

数是，它有意义的条件是

．对于符号

;当

为奇数时，它有意义的条件时

．

，当

为偶
把

称为根式，其中

为根指数，

叫做被开方数．(板书)

(4)

根式运算的依据 (板书)

由于

是个数值，数值自然要进行 运算，运算就要有根据，因此下面有必要进一步研
究根式运算的依据．但我们并不过分展开，只研究一些 最基本的最简单的依据．

如

书)

应该得什么?有学生讲出理由，根据

次方根的定义，可得Ⅰ

=

．(板
再问：

应该得什么?也得

吗?

若学生想不清楚，可用具体例子提示学生，如

吗?

吗?让学
生能发现结果与

有关，从而得到Ⅱ

=

．(板书)

为进一步熟悉这个运算依据，下面通过练习来体会一下．

三．巩固练习

例1.

求值

(1)

． (2)

．

(3)

． (4)

．

(5)

要求学生口答，并说出简要步骤．

四．小结

1．

次方根与

次根式的概念

2．二者的区别

3．运算依据

五．作业 略

．(

六．板书设计

2．5指数 (2)取值规
律 (4)运算依据

1.

复习

2.

根式 (3)符号表
示 例1

(1)定义

典型例题（例1～例3）


例1．下列说法中正确的是( )．

(A)-2是16的四次方根 (B)正数的

次方根有两个

(C)

的

次方根就是

(D)


分析：从

次方根和

次根式的概念入手，认清各概念与各符号之间的关系．

解: (1)是正确的．由

可验证．

(2)不正确，要对

分奇偶讨论．

(3)不正确，

的

次方根可能有一个值，可能有两个值，而

的值它叫根式．

只表示一个确定
(4)正确，根据根式运算的依据，当

为奇数时，
数时，若

，则有

，综上，当

是正确的，当

为偶
成立．

时，无论

为何值均有

说明：此题主要目的是分清

次方根是什么和有几个，进一步明确根式进行简单运算的
依据．

例2．求下列各式的值．

(1)

．

; (2)

; (3)

; (4)

分析：依照根式运算的两条规律，进行运算即可．

解：(1) ．

(2) =

．

(3) =

．

(4) ．

说明：根式运算要注意分清

与

，此外对于

的运算可以记为

=

，这样先根据

的奇偶处理根式，再根据

的正负处理绝对值比较方便．

例3．求下列各式的值．

(1)

;

(2)

;

(3)

．

分析：依照分数指数幂的运算法则，并结合概念来完成运算．

解：(1)原式=

．

(2)原式=


=

．

(3)原式=


=


=

=

．

说明：在分数指数幂的运算中要注意把法则和概念结合起来，进行运算，并能根据具体
题目 选择最恰当的形式来完成运算．

典型例题（例4～例6）

例4．计算下列各式
(1)

;
(2)

．
分析：这种类型的题目属于混合运算，运算的关键是顺序，先乘方，再乘除，最后做加减．
解：(1)原式=


=

=

．

(2)原式=

．
说明：这类题目在运算上除了要注意运算顺序以外，还应注意将系数和字母分开计算．
例5．已知

，求

的值．
分析：一般根式的运算都化成分数指数幂的运算会比较方便．
解：原式=

=


当

时，原式=

．
值代入，而是先化简所求式，再代入求值． 说明：这种类型的求值问题，一般不是直接将

例6．设

，求

的值．
分析：这里首先应把

看作一个整体去寻求与已知条件的联系，再把已知利用乘法公式表示
成关于

的方程，解此方程即可．
解：由乘法公式

，又

．
故

，令

=

，则方程变形为


解方程得

或

．若

，则有

=-1，此时方程无解，故

舍去．

，即

=2．
说明：此种类型的求值题往往需要将指数式的变形与方程思想的应用结合起来．
扩展资料

有理指数幂的运算性质的证明

整数指数幂的运算性质我们在初中时就已经学过了 ．这些运算性质对于有理指数幂也同
样适用．书上并没有给出相应的证明，而这几条性质的证明，仍然是 依据根式定义和分数指
数幂的定义来证明的，有能力的同学不妨自己试证一下．下面我们给出运算性质中 第一条的
证明．

求证：


证明：设


根据分数指数定义




=

．

由根式定义可知

．

而

．




对于另外两条也可以用类似的方法加以证明．

习题精选

(1)式子


经过计算可得到 ( )．

(2)给出下列四个算式及运算结果：

①

②



③

④


其中正确的有 ( )

1个 2个 3个 4个


(3)要使式子

有意义，则

的取值范围是_______．

(4)若

，

，则

的值是____．

(5)

(6)化简

化成分数指数幂得___________．

①

;

②

(7)计算求值


①

②

;

③

．

(8)若

则

的值为__________．

(9)若

，则

的值为__________．

(10)已知

答案：

，求

的值．

(1)D (2)A (3)


(4)8 (5)

(6)①-1；②



(7)①

；②

；③

(8)2 (9)

(10)


2.6 指数函数
教学目标

1.使学生掌握指数函数的概念,图象和性质.

(1)能根据定义判断形如什么样的函数 是指数函数,了解对底数的限制条件的合理性,明
确指数函数的定义域.

(2) 能在基本性质的指导下,用列表描点法画出指数函数的图象,能从数形两方面认识指
数函数的性质.
(3)

能利用指数函数的性质比较某些幂形数的大小,会利用指数函数的图象画出形如

的图象.

2.

通过对指数函数的概念图象性质的学习,培养 学生观察,分析归纳的能力,进一步体会
数形结合的思想方法.

3.通过对指数函数的研究,让学生认识到数学的应用价值,激发学生学习数学的兴趣.使
学生善于从现 实生活中数学的发现问题,解决问题.

教学建议

教材分析

(1) 指数函数是在学生系统学习了函数概念,基本掌握了函数的性质的基础上进行研究
的,它是重要的基本初等函数之一,作为常见函数,它既是函数概念及性质的第一次应用,也是
今后学习 对数函数的基础,同时在生活及生产实际中有着广泛的应用,所以指数函数应重点研
究.

(2)

本节的教学重点是在理解指数函数定义的基础上掌握指数函数的图象和性 质.难点
是对底数

在

和

时,函数值变化情况的区分.

(3)指数函数是学生完全陌生的一类函数,对于 这样的函数应怎样进行较为系统的理论研
究是学生面临的重要问题,所以从指数函数的研究过程中得到相 应的结论固然重要,但更为重
要的是要了解系统研究一类函数的方法,所以在教学中要特别让学生去体会 研究的方法,以便
能将其迁移到其他函数的研究.

教法建议

(1)关于指数函数的定义按照课本上说法它是一种形式定义即解析式的特征必须是

的样子,不能有一点差异,诸如

,

等都不是指数函数.

(2)对底数

的限制条件的理解与认识也是认识指数函数的重要内容.如果有可 能尽量让
学生自己去研究对底数,指数都有什么限制要求,教师再给予补充或用具体例子加以说明,因< br>为对这个条件的认识不仅关系到对指数函数的认识及性质的分类讨论,还关系到后面学习对
数函数 中底数的认识,所以一定要真正了解它的由来.

关于指数函数图象的绘制,虽然是用列表 描点法,但在具体教学中应避免描点前的盲目列
表计算,也应避免盲目的连点成线,要把表列在关键之处 ,要把点连在恰当之处,所以应在列表
描点前先把函数的性质作一些简单的讨论,取得对要画图象的存在 范围,大致特征,变化趋势
的大概认识后,以此为指导再列表计算,描点得图象.

教学设计示例

课题 指数函数

教学目标

1.

理解指数函数的定义,初步掌握指数函数的图象,性质及其简单应用.

2.

通过指数函数的图象和性质的学习,培养学生观察,分析, 归纳的能力,进一步体会数
形结合的思想方法.

3.

通过对指数函数的研究,使学生能把握函数研究的基本方法,激发学生的学习兴趣.

教学重点和难点

重点是理解指数函数的定义,把握图象和性质.

难点是认识底数对函数值影响的认识.

教学用具

投影仪

教学方法

启发讨论研究式

教学过程

一.

引入新课

我们前面学习了指数运算,在此基础上,今天我们要来研究一类新的常见函数------- 指
数函数.

1.6.指数函数(板书)

这类函数之所以重点介绍的原因就是它是实际生活中的一种需要.比如我们看下面的问
题:

问题1:某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂

次后,得到的细胞分裂的个数

系式吗?

与

之间,构成一个函数关系,能写出

与

之间的函数关
由学生回答:

与

之间的关系式,可以表示为

.

问题2:有一根1米长的绳子,第一次剪去绳长一半,第二次再剪去剩余绳子的一半,……
剪了

次后绳子剩余的长度为

米,试写出

与

之间的函数关系.

由学生回答:

.

在以上两个实例中我们可以看到这两个函数与我们前面研究的函数有所区别,从形式 上
幂的形式,且自变量

均在指数的位置上,那么就把形如这样的函数称为指数函数.

一.

指数函数的概念(板书)

1.定义:形如

的函数称为指数函数.(板书)

教师在给出定义之后再对定义作几点说明.

2.几点说明 (板书)

(1) 关于对

的规定:

教师首先提出问题:为什么要规定底数大于 0且不等于1呢?(若学生感到有困难,可将问
题分解为若

数值不存在.

若

会有什么问题?如

,此时

,

等在实数范围内相应的函
对于

都无意义,若

则

无论

取何值,它总是1,对它没有研
且

.

究的必要.为了避免上述各种情况的发生,所以规定

(2)关于指数函数的定义域 (板书)

教师引导学生回顾指数范围,发现指数可以取有 理数.此时教师可指出,其实当指数为无
理数时,

也是一个确定的实数,对于无理指 数幂,学过的有理指数幂的性质和运算法则它都
.扩充的另一个原因是因适用,所以将指数范围扩充为实 数范围,所以指数函数的定义域为

为使她它更具代表更有应用价值.

(3)关于是否是指数函数的判断(板书)

刚才分别认识了指数函数中底数,指数的要求 ,下面我们从整体的角度来认识一下,根据
定义我们知道什么样的函数是指数函数,请看下面函数是否是 指数函数.

(1)

, (2)

, (3)


(4)

, (5)

.

学生回答并说明理由,教师根据情况作点评,指出只有(1)和(3)是指数函数,其中(3)
可以写成

,也是指数图象.

最后提醒学生指 数函数的定义是形式定义,就必须在形式上一摸一样才行,然后把问题引
向深入,有了定义域和初步研究 的函数的性质,此时研究的关键在于画出它的图象,再细致归
纳性质.

3.归纳性质

作图的用什么方法.用列表描点发现,教师准备明确性质,再由学生回答.

函数
1.定义域 :
2.值域:



3.奇偶性 :既不是奇函数也不是偶函数

4.截距:在

轴上没有,在

轴上为1.

对于性质1和2可以两条合在一起说,并追问起什么作用.(确定图 象存在的大致位置)对
第3条还应会证明.对于单调性,我建议找一些特殊点.,先看一看,再下定论. 对最后一条也是
指导函数图象画图的依据.(图象位于

轴上方,且与

轴不相交.)

在此基础上,教师可指导学生列表,描点了.取点时还要提醒学生由于不具备对称性,故

的值应有正有负,且由于单调性不清,所取点的个数不能太少.

此处教师可利用 计算机列表描点,给出十组数据,而学生自己列表描点,至少六组数据.连
点成线时,一定提醒学生图象 的变化趋势(当

越小,图象越靠近

轴,

越大,图象上升的越
快),并连出光滑曲线.

二.图象与性质(板书)

1.图象的画法:性质指导下的列表描点法.

2.草图:

当画完第一个图象之后,可问学生 是否需要再画第二个?它是否具有代表性?(教师可提示
底数的条件是

为例.

此时画它的图象的方法应让学生来选择,应让学生意识到列表描点不是唯 一的方法,而图
象变换的方法更为简单.即

=

与

图象之间关于

轴对称,而此时

且

,取值可分为两段)让学生明白需再画第二个,不妨取

的图象已经有了,具备了变换 的条件.让学生自己做对称,教师借助计算机画图,在同
一坐标系下得到

的图象.


最后问学生是否需要再画.(可能有两种可能性,若学生认 为无需再画,则追问其原因并要
求其说出性质,若认为还需画,则教师可利用计算机再画出如

再找共性)

的图象一起比较,
由于图象是形的特征,所以先从几何角度看它们有什么特征.教师可列一个表,如下:

以上内容学生说不齐的,教师可适当提出观察角度让学生去描述,然后再 让学生将几何的
特征,翻译为函数的性质,即从代数角度的描述,将表中另一部分填满.

填好后,让学生仿照此例再列一个

的表,将相应的内容填好.为进一步整理性质 ,
教师可提出从另一个角度来分类,整理函数的性质.

3.性质.

(1)无论

为何值,指数函数

.

都有定义域为

,值域为

,都过点

(2)

时, 在定义域内为增函数,

时, 为减函数.

(3)

时,

,

时, .

总结之后,特别提醒学生记住函数的图象,有了图,从图中就可以能读出性质.

三.简单应用 (板书)

1.利用指数函数单调性比大小. (板书)

一类函 数研究完它的概念,图象和性质后,最重要的是利用它解决一些简单的问题.首先
我们来看下面的问题.

例1.

比较下列各组数的大小

(1) 与

; (2)

与

;

(3)

与1 .(板书)

首先让学生观察两个数的特点 ,有什么相同?由学生指出它们底数相同,指数不同.再追问
根据这个特点,用什么方法来比较它们的大 小呢?让学生联想指数函数,提出构造函数的方法,
即把这两个数看作某个函数的函数值,利用它的单调 性比较大小.然后以第(1)题为例,给出解
答过程.

解:
<

在

.(板书)

上是增函数,且



教师最后再强调过程必须写清三句话:

(1)

构造函数并指明函数的单调区间及相应的单调性.

(2) 自变量的大小比较.

(3)

函数值的大小比较.

后两个题的过程略.要求学生仿照第(1)题叙述过程.

例2.比较下列各组数的大小

(1)

(3)

与

与

; (2)

.(板书)

与



先让学生观察例2中各组数与例1中的区别, 再思考解决的方法.引导学生发现对(1)来说
可以写成

,这样就可以转化成同底的问题,再用例1的方法解决,对(2)来说

可以写成

,也可转化成同底的,而(3)前面的方法就不适用了,考虑新的转化方法 ,
由学生思考解决.(教师可提示学生指数函数的函数值与1有关,可以用1来起桥梁作用)

最后由学生说出

>1, <1,

>

.

解决后由教师小结比较大小的方法

(1)

构造函数的方法: 数的特征是同底不同指(包括可转化为同底的)

(2)

搭桥比较法: 用特殊的数1或0.

三.巩固练习

练习:比较下列各组数的大小(板书)

(1)

与

(2)

与

;

(3)

四.小结

与

; (4)

与

.解答过程略

1.指数函数的概念

2.指数函数的图象和性质

3.简单应用

五 .板书设计


典型例题（例1～例3）


例1.

求下列函数的定义域

(1)

; (2)



(3)

; (4)

.

分析:求定义域时要特别注意与指数式有关的式子有意义的条件.

解: (1)

(4)由

; (2)由

得

,当

得

时,

; (3)

;当

时,

;

.

和

说明:在这种题目中若遇到底数含有字母的不等式的求解时,注意分为

两种情况进行讨论,求解时,可借助相应的指数函数图象来帮忙.

例2.

比较下列各组数的大小:

(1)

和

; (2)

和

;

(3)

和

; (4)

和

,

.

分析:当两个幂形数底数相同时 ,要比较这两个数的大小可根据它们的特征构造相应的指
数函数,借助函数的单调性来比较大小.

解: (1)

在

上是减函数,又

,故

<

.

(2) =

,由

的单调性可得, >

即

>

.

(3)由

>1而

<1,可知

>

.

(4)当

时, <

,当

时, >

.

说明:此题中第(3) 小题的两个数不能看成某个指数函数的两个函数值,此时可以借助一
些特殊数如0或1来搭桥间接比较两 个数的大小,而(2)小题则可以通过指数运算化为底数相
同的两个幂,可构造指数函数来比较大小.< br>

例3.(1)指数函数①

②

满足不等式

,则它们的图象是 ( ).





分析:此题应首先根据底数的范围判断图象的升降性,再根据两个底数的 大小比较判断对
应的曲线.

解:由

断①②与

和

函数值分别为
可知①②应为两条递减的曲线,故只可能是

的对应关系,此时判断的方法很多,不妨选特殊点法,令

和

,由

可知应选

.

或

,进而再判
,①②对应的
(2)曲线

则

分别是指数函数

,

和

的图象,
与1的大小关系是 ( ).












分析:首先可以根据指数函数单调性,确定

令

,对应的函数值由小到大依次为

,故应选

.

,在

轴右侧

说明:这种类型题目 是比较典型的数形结合的题目,第(1)题是由数到形的转化,第(2)题
则是由图到数的翻译,它的主 要目的是提高学生识图,用图的意识.

典型例题（例4～例7）


例4 (1)函数

的图象一定过____________象限.

(2)函数

的图象一定过定点

,则

点的坐标是_________.

(3)函数

与___________的图象关于

轴对称.

分析:此题涉及有关图象变换,搞清图象平移和对称变换是解决此题的关键.

解: (1) =

,它可以看作是指数函数

图象,因此一定过第三象限和第四象限.

图象作关于

轴对称的
(2)
移3个单位而得到,且

的图象可以看作把

一定过点

,则

的图象向右平移一个单位再向上平
应过点

.

(3)图象与

关于

轴对称的函数为

.

说明:通过此题要求学生明确

与

及体现在图象上任意一点的坐标之间的变化规律.

两个函数图象之间的关系
例5. (1)函数

的单调递增区间是_______________.

(2)函数

的值域为___________.

分析:应利用换元法研究这类题目,而且要注意二次函数相关知识的配合使用.

解: (1)令

增函数,此函数是单调递增的.

,显然当

时,由

是
(2)令

,由

,得

.

则

.

当

即

时,

有最小值

,当

即

时,

有最大值57.


函数的值域为

.

说明:第(2)小题通过 换元把问题转化为闭区间上二次函数的值域问题,这种转化的方法
是处理类似问题非常重要的方法,应引 起关注,且换元时应注意中间变量的取值范围.

例6. 世界人口已超过56亿,若按千分之一的年增长率计算,则两年增长的人口相当于
一个( ).

分析:这是指数函数的应用问题,根据题意列出函数解析式后再进行相应的计算.

解: 两年增长的人口应为560000(1+1‰)

≈1120(万),所以应选

.

说明:与指数函数相关的应用问题较多,如放射性物质的蜕变,人口增长,利 率等,遇到类
似问题时,应能主动调动指数函数相关知识来解决.

例7.已知

简.

,试把

用含

的式子表示出来,并化
分析:此题涉及指数式的变换和分类讨论的使用.

解: 由

可知

,


=

,


当

时,若

,则

,此时

,

若

,则

,此时

.

当

时, .

当

时, 若

,则

,此时

,

若

,则

,此时

.

说明:此题中涉及对根式的化简,绝对值的概念及指数函数单调性的使用,特别是对

和

的讨论要分清楚.

扩展资料

富兰克林的遗嘱----关于指数效应

富兰克林是美国著名的科学家,一生为科 学和民主革命而工作.在他死后,只留下一千英
镑的遗产,可令人惊讶的是,他竟留下一份分配几百万英 镑的遗嘱,遗嘱的内容是这样的:

“……一千英镑赠给波士顿的居民,他们得把这钱按每 年5%的利率借给一些年轻的手工业
者去生息,这款子过了100年增加到131000英镑,,用10 0000英镑建立一所公共建筑物,剩下
的31000英镑继续生息100年,在第二个100年末,这 笔款增加到4061000英镑,其中1061000
英镑还是由波士顿的居民支配,而其余的3000 000英镑让马萨诸州的公众来管理,过此之后,我
不敢自作主张了!”

让我们按富兰克林非凡的设想实际计算一下,故事中实际上是指数函数

值的变化,
不难算得,当

时,值为1.05,当

时,值为1.158,当

时,值为131.501,这意
味着上面的故事中 在头一个100年末富兰克林的财产应当增加到131501英镑,,在第二个100
年末,他拥有的财 产就更多了为414421英镑,可见富兰克林的遗嘱在科学上是站得住脚的.

微薄的资 金,低廉的利率,在神秘的指数效应下,可以变得令人瞠目结舌,这就是富兰克林
的故事给人的启示.< br>
探究活动

(1)

对于

在如果将

和

的图象和

的图象大家都比较熟悉也能画出它的图象,现
的 图象画在同一坐标系中,你认为它们会有几个交点呢?为什么?

答案：有两个交点.

(2)

A先生从今天开始每天给 你10万元,而你承担如下任务:第一天给A先生1元,第二天
给A先生2元,,第三天给A先生4元, 第四天给A先生8元,依次下去,…,A先生要和你签定
15天的合同,你同意吗?又A先生要和你签定 30天的合同,你能签这个合同吗?

答案：15天的合同可以签,而30 天的合同不能签.

习题精选
(1)下列函数中指数函数的个数是 ( ).
①

②

③

④


0个 1个 2个 3个
(2)已知

的定义域为

,则

的定义域为__________.
(3)当

时,

,则

的取值范围是__________.
(4) 若

,则函数

的图象一定不在第_____象限.
(5) 已知函数

式为____________.
的图象过点

,又其反函数的图象过点(2,0),则函数

的解析
(6))函数

与

的图象大致是( ).

(7)函数

的最小值为____________.
(8)函数

的单调递增区间是____________.
(9)计算机成本不断降低,若每隔3年计算机价格降低

为( ).
,现在价格为8100元的计算机,则9年后的价格
2400元 900元 300
元 3600元
(10)已知

,试比较

的大小.
(11)已知关于

的方程

有两个实数解,则实数

的取值范围是_________.
(12)试比较

答案:
与

的大小,并加以证明.
(1)B (2)


(3) (4) 四 (5)
(6) D (7)


(8)

(9)A (10)

(11)

.
(12)当

时, >

,当

时, >

2.7 对数
教学目标

1．理解对数的概念，掌握对数的运算性质．
(1) 了解对数式的由来和含义， 清楚对数式中各字母的取值范围及与指数式之间的关
系．能认识到指数与对数运算之间的互逆关系．

(2) 会利用指数式的运算推导对数运算性质和法则，能用符号语言和文字语言描 述对数
运算法则，并能利用运算性质完成简单的对数运算．
(3) 能根据概念进行指数与对数之间的互化．
2．通过对数概念的学习和对数运算法则的探究及证明， 培养学生从特殊到一般的概括思
维能力，渗透化归的思想，培养学生的逻辑思维能力．
3 ．通过对数概念的学习，培养学生对立统一，相互联系，相互转化的思想．通过对数运
算法则的探究，使 学生善于发现问题，揭示数学规律从而调动学生思维的积极参与，培养学
生分析问题，解决问题的能力及 大胆探索，实事求是的科学精神．

教学建议

教材分析

(1) 对数既是一个重要的概念，又是一种重要的运算，而且它是与指数概念紧密相连
的 ．它们是对同一关系从不同角度的刻画，表示为当

．所以指数式

的底数，对数，真数的关系可以表示如下：

时，

中中的底数，指数，幂与对数式


(2) 本节的教学重点是对数的定义和运算性质，难点是对数的概念．

对数首先作为一种运算，由

引出的，在这个式子中已知一个数

和它的指数 求
幂的运算就是指数运算，而已知一个数和它的幂求指数就是对数运算(而已知指数和幂求这个
数的运算就是开方运算)，所以从方程角度来看待的话，这个式子有三个量，知二求一．恰好
可以构成以 上三种运算，所以引入对数运算是很自然的，也是很重要的，也就完成了对

的全面认识．此外对数作为一种运算除了认识运算符号“

”以外，更重要的是
把握运算法则，以便正确完成各种运算，由于对数与指数在概念上相通，使得对数法则的推
导应借助指 数运算法则来完成，脱到过程又加深了指对关系的认识，自然应成为本节的重点，
特别予以关注．

对数运算的符号的认识与理解是学生认识对数的一个障碍，其实

与+，

等符号
一样表示一种运算，不过对数运算的符号写在前面，学生不习 惯，所以在认识上感到有些困
难．

教法建议

（1）对于对数概念的学习，一定要紧紧抓住与指数之间的关系，首先从指数式中理解底
数

和真数

的要求，其次对于对数的性质

及零和负
数没有对 数的理解也可以通过指数式来证明，验证．同时在关系的指导下完成指数式和对数
式的互化．

（2）对于运算法则的探究，对层次较高的学生可以采用“概念形成”的学习方式通过对
具 体例子的提出，让形式的认识由感性上升到理性，由特殊到一般归纳出法则，再利用指数
式与对数式的关 系完成证明，而其他法则的证明应引导学生利用已证结论完成，强化“用数
学”的意识．

（3）对运算法则的认识，首先可以类比指数运算法则对照记忆，其次强化法则使用的条
件 或者说成立的条件是保证左，右两边同时都有意义，因此要注意每一个对数式中字母的取
值范围．最后还 要让学生认清对数运算法则可使高一级的运算转化为低一级的运算，这样不
仅加快了计算速度，也简化了 计算方法，显示了对数计算的优越性．

教学设计示例

对数的运算法则

教学目标

1．理解并掌握对数性质及运算法则，能初步运用对数的性质和运算法则解题．

2．通过 法则的探究与推导，培养学生从特殊到一般的概括思想，渗透化归思想及逻辑思
维能力．

3．通过法则探究，激发学生学习的积极性．培养大胆探索，实事求是的科学精神．

教学重点，难点

重点是对数的运算法则及推导和应用

难点是法则的探究与证明．

教学方法

引导发现法

教学用具

投影仪

教学过程

一. 引入新课

我们前面学习了对数的概念，那么什么叫对数呢?通过下面的题目来回答这个问题．

如果看到

这个式子会有何联想?

由学生回答(1)

(2) (3)

(4)

．

也就要 求学生以后看到对数符号能联想四件事．从式子中，可以总结出从概念上讲，对
数与指数就是一码事，从 运算上讲它们互为逆运算的关系．既然是一种运算，自然就应有相
应的运算法则，所以我们今天重点研究 对数的运算法则．

二．对数的运算法则(板书)

对数与指数是互为逆 运算的，自然应把握两者的关系及已知的指数运算法则来探求对数
的运算法则，所以我们有必要先回顾一 下指数的运算法则．

由学生回答后教师可用投影仪打出让学生看：

．

，

，

然后直接提出课题：若

是否成立?

由学生讨论并举出实例说明其不成立(如可以举

)，教师在肯定结论的正确性的同时再提出


而

可提示学生利用刚才的反例，把

32=2

，还可以让学生再找几个例子，

5改写成

应为

，而
．之后让学生大胆说出发现有什么规律?

由学生回答应有

成立．

现在它只是一个猜想，要保证其对任意

你学过哪些与之相关的证明依据呢?

都成立，需要给出相应的证明，怎么证呢?
学生经过思考后找出可以利用对数概念，性质及 与指数的关系，再找学生提出证明的基
本思路，即对数问题先化成指数问题，再利用指数运算法则求解． 找学生试说证明过程，教
师可适当提示，然后板书．

证明：设

则

，由指数运算法则

得




，

即

． (板书)

法则出来以后，要求学生能 从以下几方面去认识：

(1) 公式成立的 条件是什么?(由学生指出．注意是每个真数都大于零，每个对数式都有
意义为使用前提条件)．

(2)能用文字语言叙述这条法则：两个正数的积的对数等于这两个正数的对数的和．

(3)若真数是三个正数，结果会怎样?很容易可得

．

(条件同前)

(4)能否利用法则完成下面的运算：

例1：计算

(1)

(2)

(3)


由学生口答答案后，总结法则从左到右使用运算的级别降低了，从右到 左运算是升级运
算，要求运算从双向把握．然后提出新问题：



．

可由学生说出

．得到大家认可后，再让学生完成证明．

证明：设

则

，由指数运算法则得



．

教师在肯定其证明过程的同时，提出是否还有其它的证明方法?能否用上刚才的结论?

有的学生可能会提出把

看成

再用法则，但无法解决

计算问题，再
引导学生如何回避

的问题．经思考可以得到如下证法

．或证明如下

，再移项可得证．以上两种证明方法都体现了
化归的思想，而 且后面的证法中使用的拆分技巧“化减为加”也是会经常用到的．最后板书
法则2，并让学生用文字语言 叙述法则2．(两个正数的商的对数等于这两个正数的对数的差)

请学生完成下面的计算

(1)

(2)

．

计算后再提出刚才没有解决的问题即

并将其一般化改为
学生在说出结论的同时就可给出证明如下：

设

则

，

．教
师还可让学生思考是否还有其它证明方法，可在课下研究．

将三条 法则写在一起，用投影仪打出，并与指数的法则进行对比．然后要求学生从以下
几个方面认识法则

(1) 了解法则的由来．(怎么证)

(2) 掌握法则的内容．(用符号语言和文字语言叙述)

(3) 法则使用的条件．(使每一个对数都有意义)

(4) 法则的功能．(要求能正反使用)

三．巩固练习

例2．计算

(1)

(2)

(3)



(4)

解答略


(5)

(6)


对学生的解答进行点评．

例3．已知

，用

的式子表示

(1)

(2)

（3) ．

由学生上黑板写出求解过程．

四．小结

1．运算法则的内容

2．运算法则的推导与证明

3．运算法则的使用

五．作业略

六．板书设计

二．对数运算法则 例
1 例3

1. 内容

(1)

(2)

(3) 例
2 小结

2. 证明

3. 对法则的认识 (1)条件 (2)功能

典型例题

例1．求下列各式中的

．

(1)

; (2)

;

(3)

; (4)

;

(5)

．

分析：根据式中

的位置或转化成指数式计算或利用对数性质进行计算．

解： (1)

．

(2)

，得

．

(3)

，得

或

．

(4)由对数性质得

．

(5)由对数性质得

解得

．

证明：对数式的运算除了注意使各量都有意义为前提，还要注意指对之间的互化互助．

例2．已知

，求

的值．

的解 分析：根据复合函数的概念，结合换元法可以直接求值，当然也可以先求出

析式再求

的值．

解：法一令

则

，

．

．

法二由

，得

，

．

说明：此题以函数概念为背景，实际考察对数的运算法则的使用．

例3．计算

(1)

．

; (2)

(3)

分析：对数运算法则是解决这类运算的重要工具，除此之外还需用到有关指数幂的 运算
法则进行计算．

解：(1)原式=

．

(2)原式=

=


=

．

(3)原式=

．

说明：第(2)小题的运算除利用法则外，有一定的设计性，主导思想是减少 对数值的个
数．此提在减少量的思想指导下，只剩一种元“

”是最理想的状态．

例4．(1)已知

，则

=__________．

(2)设

，则

的值为_____．

(3)已知

则

的值为___________．

分析：此组小题主要将指对运算混合在一起，注意各自法则的正确使用．

解： (1)由性质得

又由性质得

，由定义得

．

．

(2)由已知得

．



=

．

(3)将其改写为指数式为

，

=

．

说明： 利用指数对数的对立统一性，注意运算形式的选择，以简化计算．

例5．已知

，

，试用

的式子表示

．

分析：求以

表示

的式子，实际上是寻找

以应将三个真数尽量化整并化小，便于寻找关系．

和

之间的关系所
解：

(1)



(2)

由(1)(2)解得

，

．



=

．

说明：本题的求解中，分解化简和方程思想的运用在处理很多问题中具有一般性．

例6．对于正整数

和实数

，

，

=

，求

的值．

，的到含有

的方程，转化条件可以利用指对互化来完 分析：可先从条件中化去

成．

解：在

中，两边取对数得

，

．

同理由

和

得

，又

=




为三种情况：

如果

如果

由

，得

得

即

．又

，可分
(舍去)

．

如果

，此时

无整数解．


说明：对所给条件两边同时取对数是化简条件向指数转化的重要手段，且这里对

况的讨论也要有主有次，抓住一个为主元，进行讨论即可．

例7．已知函数

，求实数

的值．

满足

情
．且对一切实数

都有

分析：这是一道函数与不等式结合的题目需确定

解：由

得

的类型，再根据条件求解．

(1)，

由

得

(2)

．将(1)中

．

恒成立”的问题的转化，必须保证其等价
代入得

(2)对任意

恒成立的条件是△=

解得

说明：此题中“对一切实数

都有

性．

扩展资料

对数换底公式

首先可以通过实例研究当一个对数式的底数改变时，整个对数式会发生什么变化?

如求


设

，写成指数式是

，取以

为底的对数得


即

．

在这个等式中，底数3变成

后对数式将变成等式右边的式子．

一般地

关于对数换底公式的证明方法有很多，这里可以仿照刚 才具体的例子计算过程证明对数
换底公式，证明的基本思路就是借助指数式．

换底公式的意义是把一个对数式的底数改变可将不同底问题化为同底，便于使用运算法
则．

如换底公式可以解决如下问题：

(1)

．

(2)

．(

探究活动


试研究如下问题．

（1）已知

（2）若

则

答案：

（1）证明略

（2）

或

．

习题精选

(1)下列各式中正确的个数是 ( )．

都是正数且至少有一个不为1，且

求证：

或


，
之间的关系是_____________________．

①


②


③

④


（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

(2)计算

①

②


③

④


(3)若

，

，则 ( )．

（A）


（B）


（C）


（D）


(4)若

，则

__________．

(5)已知

有意义，则

的取值范围是________．

(6)已知

_________．

，则

(7)已知

(8)已知

是△

，求

的三边且关于

的一元二次方程：

的值．

，有相等的实根，试判断△

的形状．

(9)某工 厂1983年生产种产品2万件，计划从1984年开始每年的产量比上一年增长20%．问
从哪一年开 始这家工厂生产这种产品的年产量开始．(已知

答案：

)

(1)B (2) ①

②

③1 ④

(3)A (4)


(5)

(9)1993年

(6)2 (7)

(8)直角三角形
2.8 对数函数
教学目标

1．掌握对数函数的概念，图象和性质，且在掌握性质的基础上能进行初步的应用．
(1) 能在 指数函数及反函数的概念的基础上理解对数函数的定义，了解对底数的要求，
及对定义域的要求，能利用 互为反函数的两个函数图象间的关系正确描绘对数函数的图象．
(2) 能把握指数函数与对数函 数的实质去研究认识对数函数的性质，初步学会用对数函
数的性质解决简单的问题．
2． 通过对数函数概念的学习，树立相互联系相互转化的观点，通过对数函数图象和性质
的学习，渗透数形结 合，分类讨论等思想，注重培养学生的观察，分析，归纳等逻辑思维能
力．
3．通过指数 函数与对数函数在图象与性质上的对比，对学生进行对称美，简洁美等审美
教育，调动学生学习数学的积 极性．

教学建议

教材分析
(1) 对数函数又是函数中 一类重要的基本初等函数，它是在学生已经学过对数与常用对
数，反函数以及指数函数的基础上引入的． 故是对上述知识的应用，也是对函数这一重要数
学思想的进一步认识与理解．对数函数的概念，图象与性 质的学习使学生的知识体系更加完
整，系统，同时又是对数和函数知识的拓展与延伸．它是解决有关自然 科学领域中实际问题
的重要工具，是学生今后学习对数方程，对数不等式的基础．
(2) 本节的教学重点是理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象性质．难点是利用指
数函数的图象和性质得 到对数函数的图象和性质．由于对数函数的概念是一个抽象的形式，
学生不易理解，而且又是建立在指数 与对数关系和反函数概念的基础上，故应成为教学的重
点．
(3) 本节课的主线是对数 函数是指数函数的反函数，所有的问题都应围绕着这条主线展

开．而通过互为反函数的两 个函数的关系由已知函数研究未知函数的性质，这种方法是第一
次使用，学生不适应，把握不住关键，所 以应是本节课的难点．

教法建议
(1) 对数函数在引入时，就应从学生熟悉 的指数问题出发，通过对指数函数的认识逐步
转化为对对数函数的认识，而且画对数函数图象时，既要考 虑到对底数 的分类讨论而且对每
一类问题也可以多选几个不同的底，画在同一个坐标系内，便于观察图 象的特征，找出共性，
归纳性质．
(2) 在本节课中结合对数函数教学的特点，一定要 让学生动手做，动脑想，大胆猜，要
以学生的研究为主，教师只是不断地反函数这条主线引导学生思考的 方向．这样既增强了学
生的参与意识又教给他们思考问题的方法，获取知识的途径，使学生学有所思，思 有所得，
练有所获，，从而提高学习兴趣．

教学设计示例

对数函数

教学目标

1. 在指数函数及反函数概念的基础上 ，使学生掌握对数函数的概念，能正确描绘对数函
数的图像，掌握对数函数的性质，并初步应用性质解决 简单问题．

2. 通过对数函数的学习，树立相互联系，相互转化的观点，渗透数形结合，分类讨论的
思想．

3. 通过对数函数有关性质的研究，培养学生观察，分析，归纳的思维能力，调动学生学
习的积极性．

教学重点，难点

重点是理解对数函数的定义，掌握图像和性质．

难点是由对数函数与指数函数互为反函数 的关系，利用指数函数图像和性质得到对数函
数的图像和性质．

教学方法

启发研讨式

教学用具

投影仪

教学过程

一. 引入新课