高中数学立体几何详细教案-知识讲解

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【中学数学教案】








立体几何教案

一， 空间直线与直线的关系
a ，相交
b ，平行
c ，异面
a , 相交直线

b, 平行公理：
空间中平行于同一条直线的两条直线平行

c, 异面直线：
1，求异面直线所成角问题
注：利用平行公理找角，利用余弦定理计算，结果要锐角或直角
异面直线所成角的范围
?
0
,
90
?

?
0

㈠ 平移法利用平行公理把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角
例：正方体
A BCD?
AB
C
D
中，E，F分别是
B
B
和CC
中点，则直线AE
11
1
11
1
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和BF所成角的余弦值

㈡ 补形法
补形：底面是直角三角形的直三棱柱可以补成一个长方体
例：在 直三棱柱
A
1
B
1
C
1
?ABC
中，?BCA?
90
，点
1
11
?
D
,
F
11
分别是
AB
,
A
C
中点，BC=CA=
C
C
，则
B
D
与A
F
所成角的余弦值
111
1
A、
3030
15
1
B、 C、 D、
1015
10
2

2，求异面直线之间的距离问题

和两条异面直线垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线，

公垂线夹在两条异面直线之间的长度叫做异面直线的距离。





二， 空间直线和平面关系

a , 直线与平面平行
b , 直线与平面垂直
c , 直线与平面斜交——射影定理和三垂线定理

a, 线面平行
1， 判定定理： 若平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平
面平行。

2， 性质定理：若一条直线和一个平面平行，则过这条直线的平面和这个已知平面的交
线必和这条直线平行。

b, 线面垂直
1， 判定定理： I, 若一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线和这
个平面垂直。

II, 若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个
平面。

2， 性质定理： I，若两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行。
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II，过一点能且仅能做一条直线与一个平面垂直。

c, 射影定理
1，射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长。

2，相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长。

3，垂线段比任何一条斜线段都短。

d, 三垂线定理
1，平面内的一条直线，若和斜线在平面内的射影垂直，则这条直线和斜线垂直。

2，平面内的一条直线，若和平面的斜线垂直，则这条直线和斜线在平面内的射影垂直。








三， 空间平面和平面的关系
a, 面面平行 b, 面面垂直 c, 面面斜交

a , 面面平行
1， 判定定理：I， 如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个
平面平行。

II， 垂直于同一条直线的两个平面平行。

III 如果一个平面上的两条相交直线分别和另一个平面上的两条直线平
行，那么这两个平面平行。

2， 性质定理： I， 如果两个平行平面分别和第三个平面相交，那么它们的两条交线平
行。
II， 夹在两个平行平面间的平行线段的长相等。
III，如果两个平行平面中，有一个平面和一条直线垂直，那么另一个平
面也和这条直线垂直。

b, 面面垂直
1，定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂直。

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2，判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

3，性质定理：I， 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线
垂直于另一个平面。
II， 如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二
个平面的直线，在第一个平面内。
III，如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于
第三个平面。

c, 二面角
定义：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面，
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角。
这条直线叫做二面角的棱。

二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的
两条射线，两条线所成的角叫做二面角的平面角。






空间直线，平面的做题方法。
一、 空间平行关系转化图及相关定理



面面平行判定定理推论


线面平行面面平行

判定定理
平行
??????
判定定理
????
公理

线线平行
????
线线平行线面平行面面平行
??????????

线面平行面面平行
性质定理基本性质

面面平行性质定理


I，线面平行的判定方法
行
?
利用线线平行证线面平
①平行关系转画图
?

行
?
利用面面平行证线面平
②向量法（后面讲）
③线面平行定义:直线与平面没有公共点

II，线线平行关系的判定
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常见的线线平行的判断方法有
?平行公理
?
①平行关系转画图
?
从线面平行到线线平行

?
从面面平行到线面平行
?
②三角形，平行四边形（菱形，矩形，正方形）梯形中位 线性质
在找三角形中位线是常常利用平行四边形（菱形，矩形，正方形）对角线互相平分
③利用平行线分线段成比例定理推论找平行线
平行于三角形一边，截其它两边或两边的延长线，所得的对应线段成比例
A
D
E
DE∥BC
ADAE
⑴
?
DBEC
ADAEDE
⑵
??
ABACBC
注：反之任取一组比例式可推得DE
∥BC
C B

D E
A
DE∥BC
DAEADE

??
ACABBC
注：反之任取一组比例式可推知
DE∥BC

C B

④向量法（后面讲）
⑤垂直于同一平面的两条直线平行
例 如图所示：已知E，F，G，M分别是四面体的棱AD，CD，BD，BC的中点，求证：
AM||面EFG
A
E
B
M
G
N
N
C

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设计说明：可以通过面面平行证线面平行
例 已知正方体ABCD-
求证：EF||平面
BC
法一：
D
F
A
B
M
本题证明从线线平行到线面平
行。在找线线平行时应用平行线
分线段成比例定理推论
C
AB
C
D
，棱长为a,E,F分别在
A
B，BD上，且
B
E?BF

11
1
1
1
1
C
B

1
1
D
A

1
1

E
C

1
B

1

法二：
D
F
A
B
G
法二也是从线线平行到线面平行，
做平行线构造平行四边形证线线
平行
C
D
A

1
1

E
H
C

1
B

1

III 面面平行关系的判定
面面平行判定方法
行
?
利用线面平行证面面平
①平行关系转画图
?

行
?
利用线线平行证面面平
②向量法（后面讲）
③垂直于同一直线的两个平面平行
④面面平行的定义：两个平面没有公共点

例 三棱柱ABC-
AB
C
，D是BC上一点，且
A
B< br>||平面
A
C
D
，
D
是
B
C
中点，
11
1
1
1
1
1
1
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求证：平面
A
B
D
||平面A
C
1
D

11
例1如图所示正方体ABCD-
AB
C
D
11
1
1
的棱长都是a,M,N分别是下底面棱
AB
,
B
C

111
1
的中点，P是上底面棱AD上一点，AP=
CD上，则PQ=
D
Q
C
a
，过P，M，N的平面交上底面于P，Q，Q在
3
P
A B
D
A

1
1

C

1
N
M
B

1
答案：
22
a

3
二 ，空间垂直关系转化图及相关定理




?
线面垂直的判定定理
????????
面面垂直的判定定理
?????? ?
线线垂直线面垂直面面垂直

?????????????
线面垂直定义面面垂直的性质定理



典型例题
I， 线面垂直的判定与性质
线面垂直与面面垂直是今后我们要研究的主要问题。问题的关键是线线垂直。
线线垂直的判定方法
①空间线面垂直证线线垂直
②利用三垂线定理
③向量法
④利用勾股定理算垂直
线面垂直的判定方法
①空间垂直关系转化图
?
直
?
利用线线垂直证线面垂

直
?
利用面面垂直证线面垂
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②向量法
例1如图所示，AB圆O的直径，C为圆O上一点，
AP?面ABC
，
AF?CP
AE?BP
于E，
于F，
求证：
BP?平面AEF

P
E
本题通过线线垂直证明 线面垂直，在找
线面垂直条件时采用了三垂线定理和圆
的直径对直角的性质
F
C
A O B







练习：如图已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，若
?P DA?45

求证：
MN?面PCD

P
?
Q
A
M
B C
N
D
提示：取PD中点Q，证AQ与 面
PCD垂直，从而利用“线面垂直的
性质定理”证MN与面PCD垂直

例2、直三棱柱
求证：
AB
C
?ABC
中，M为AC中点
11
1
1
A
C?平面
BMC

1
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A

1
A
2
2 2
C

1
B
C
B

1

设计说明：
①牢牢把握直（正）棱柱，正棱锥的结构特征对于研究空间 几何问题（空间平行关系的判定
与性质及空间垂直关系的判定与性质）有很大帮助。
②在三视图的环境下证明线面，面面关系是几何证明的一个重点
练习：⑴如图所示，直三棱柱 ABC-
是
AB
C
中，
B
C
?
A
C
，
A
C
?
A
B
，M，N
11
1
1
1
1
11
1
AB
，AB的中点，
11
⑴求证:
C
M?面
A
AB
B

1
11
⑵求证：
A
B?AM

1
⑶求证： 平面
AM
C
1
?面N
B
1
C

A

1
M
C

1
B

1
A
N
B
C

练习：如图，在直三棱柱A BC-
⑴求证:
⑵若
A
AB
C
中，AB=BC=
B
B
，D为AC的中点
11
1
1
B
C||面
A
BD

1 1
C
?面
A
BD
求证：
B
C
?面ABBA

1
11
1
11
⑶在⑵的条件下，设AB=1，求 三棱锥B-
A
C
D
的体积
1
1
II，面面垂直的判定与性质
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面面垂直的判定方法
①空间垂直关系转化图：利用线面垂直证面面垂直
②向量法
例1如图，
? ABC
为正三角形，
EC?平面ABC
，BD||CE，且CE=CA=2BD，M是 EA的中点，
求证：⑴DE=DA
⑵平面BDM
?
平面ECA
⑶平面DEA
?
面ECA
E
D
M
C B
取AC中点N,证明DN||BN再
证BN
?
面ECA，利用线面垂
直的性质定理知DM
?
面ECA
最后利用线面垂直证面面垂直
A





例2已知
?BCD
中，
?BCD?
分别是AC，AD上动点，且
90
?
，BC=CD=1，
AB?面BCD
，
?ADB?
60
，E，F
?
AEBF< br>??
?
?
0?
?
?1
?

ACAD
求证：⑴不论
?
为何值时，总有平面BEF
?
面ABC
⑵当
?
为何值时，平面BEF
?
面ACD
A
E
F
C
B
第二问是存在性问题
当BEF
?
面ACD时
由一问可知
EF?面ABC
又∵< br>BE?ABC
∴
EF?BE
∵BEF
?
面ACD，
B E?BEF

D

面BEF?面ACD?EF
∴
BE?面 ACD
∵
AC?ACD
∴
BE?AC

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利用射影定理求AE从而求
?

设计说明：
①本题是存在性问题，解决存在性问题可以把结论当已知探索使得已知成立的充分性条件
②解决与空间几何有关的存在性问题最好用向量法
练习：1、如图，在矩形ABCD中，AB =2BC，P，Q分别为线段AB，CD的中点，EP
?
面ABCD
⑴求证：DP
?
面EPC
⑵问在EP上是否存在F，使平面AFD
?
面BFC
E
问题⑴利 用线线垂直证线面垂
直，在寻找线线垂直条件
DP?AC
时采用“算垂直”的
方法
B C
P Q
A D

2、如图所示在四棱锥P- ABCD中，底面ABCD是
?DAB?
PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD
⑴若G为AD的中点，求证：
BG?面PAD

⑵求证：
AD?PB

60
，且边长为a的菱形，侧面
?< br>⑶若E为BC中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面
DEF?面ABCD
，并证明你 的结
论
分析：问题⑶是存在性问题，可以把结论当已知找条件，寻找的过程可省略。但本题要 求证
明即把条件当已知证结论
1、 如图所示，在四棱柱ABCD-
⑴求证:
AB
C
D
中，已知DC=
D
D
=2AD=2AB，AD< br>?
DC，AB||DC
11
1
1
1
D
C?A
C

11
⑵设E是DC上一点，试确定E的位置，使
D
E||面
A
BD
，并说明理由
11
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D
A

1
1

B

1
C

1
D
A
一、折叠问题
B
C

例如图，四边形ABCD中，AC||BC，AD=AB，
?BCD?
45
?
，
?BAD?
90
，将
?ABD
沿
?
对角线BD折起，记折起后点的位置为P，且使平面PBD
?
面BCD
P
A
E
B
C B
F

⑴求证：平面
PBC?面PDC

⑵在折叠前的正方形ABCD中，做AE< br>?BD
于E，过E作
EF?BC
于F，求在折起后的图形
中
? PFE
的正切值
设计说明：对于折叠问题，关键是抓住图形折叠前后的不变量及重要的折叠条件


D
E
D
C
空间直角坐标系及空间向量法
一， 空间直角坐标系
1、右手系：伸出右手，弯曲四指使得四指与掌面垂直，大拇指向上垂直翘起，四指的 方向
为x轴，手掌向里的方向为y轴，大拇指的方向为z轴，三轴的公共点为z轴
2、卦限：数轴上原点把数轴分成正负半轴。在坐标平面上，x轴，y轴把平面分成四个象限，
在空间三个坐标平面把空间分成八个卦限
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z
Ⅲ Ⅱ
Ⅳ Ⅰ
y
Ⅶ Ⅵ
Ⅷ Ⅴ
x

注:建系时最好建成右手系，并且尽量把图形放在第一卦限，在坐标轴或坐标平面上的点越< br>多越好，关于坐标平面对称的点越多越好
一、空间直角坐标系上点的坐标：
求一个点的坐标就是找该点在x轴，y轴，z轴上的坐标分量
已知正方体
AB
C
D
?ABCD
棱长为2，如图所示以正方体的中心O为原点建立空间
11
1
1
直角坐标系

z


1

P M



H
1

L

O

D
I

E

N


x

A
1、 在轴上点的坐标：
D
C

1
K
A
G
J
C
y
B

1
F
B
P?x轴
P（x,0,0）
P?y轴
P（0,y,0）
P?z轴
p（0,0，z）
2、 在坐标平面上点的坐标
P?xoy平面上
，P（x,y,0）
P?yoz平面上
,P（0,y,z）
P?xoz平面上
,P（x,0,z）
3、已知
A
?
x< br>,
y
,
z
?
,
B
?
x
,< br>y
,
z
?
1
1
1
2
2
2< br>?
?
?
xx
2
,
则AB中点
P
1< br>?
2
?
y
?
y
z
?
z
,< br>1212
2
?
?

?
?
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4、与P（x,y,z）关于定点A（a,b,c）对称点的
5、关于坐标平面对称点的坐标
与P（x,y,z）关于xoy平面对称点的坐标
与P（x,y,z）关于xoz平面对称点的 坐标
P
?
2a?x,2a?y,2a?z
?

1
P
?
x,y,?z
?

1
P
?
x,?y,z
?

1
6、若P点在 xoy面的射影为L点，则P点与A点的x,y轴分量相同，P点z轴分量为P点
到面xoy的距离
二、空间向量的坐标运算
注：空间向量的加法，减法，数乘的几何意义；两个向量的共线条件 ；向量的内积运算公式
与平面向量完全相同
空间向量的坐标运算公式
?
x
,
y
,
z
?
,B
?
x
,
y
,
z
?
则
AB
?
?
x
?
x
,
y
?
y
,
z
?
z
?

若已知
a
?
x
,
y
,
z
?< br>，
b
?
x
,
y
,
z
?
< br>加减法:
a
?
b
?
?
x
?
x
,
y
?
y
,
z
?
z
?

数乘：
?
a
?
?
?
x
,
?
y< br>,
?
z
?

若
A
?
1
1< br>1
2
2
2
21
21
21
??
11
1
2
2
2
??
12
12
12
?
1
1
1
内积：
a
?
b
?
xx
?
yy
?
z
?
z

12
1212
2
??
模
a
?
?
?
?
?
?
a
?
?
??
2
?
2
x
2
1
?
y
2
1
?
z
1

2
其它一些常用公式
?
??
?
?
a
?< br>b
?
?
??
??
a
1
?
b
?
2
?
??
??
??
?
?2
a
?
b

?
a
?
b
??
a
?
b
?
?
????
2
12
??
a
?
2
?
b

?
2
a
?
b
?
x
?
x
?
y
?
y
?
z
?
z
2
1
?
?0

???
设直线a的方向向量为
a
，直线b的方向向量为
b

a
?
?
b
?a||b

三、直线的方向向量与平面的法向量
注：直线的方向向量与平面的法向量都不取零向量
1、 直线的方向向量：在直线上或与直线平行的向量叫做直线的方向向量
2、 平面的法向量：和平面上两条不共线向量都垂直的向量叫做平面的法向量
下面介绍平面法向量的求法
例：已知：已知
设
a
?
?
1,1,0
?
,
b
?
?
0,1,1
?
，求
a
与
b
的法向量
n

?????
n
?
x,y,z
?

?
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?????
n
?< br>a
?
n
?
a
?
0

n
?
b
?
n
?
b
?
0

∴
?
?????
?
x?y?0

y?z?0
?
由于x每给一个值，就各有一个与之对应的y值和z值，由此说明一个平面的法向量有无穷
多个，这和常识也是相符的，我们只需取其中一个法向量即可
令x=1,y=-1,z=1
∴



n
?
1,?1,1
?

?
一、向量法分析空间线线，线面，面面的位置关系
?
l
，
m
分别为直线l,m的方向向量;
n
1
,
n
2
分 别为平面
?
,
?
的法向量
?
??
㈠线线平行：
1、 文字语言：两直线的方向向量平行则线线平行
2、 图形语言：
?
?
l

?
在这里强调
l
l
?
?
m
?
l
||
m
?
?
?R
?

m
?
0
,
l
?
0
时，这是不可以的

??
????
???
但反之不对,当
m

这样写正确：
m

?
l
?
??
?||
m
?
m
?
0
?
??
?
3 、符号语言：
?
l
?
?
m
?
l
||m
?l||m
?
?
?R
?

???
? 存在唯一的实数
?
满足
l
?
?
m






㈡线面平行：
1、 文字语言：如果直线的方向向量与平面的法向量垂直，则线面平行
2、 图形语言：
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?
l

l
?
n
1

?


3、 符号语言：
?
?
?
l
n
1
?0?
l
?
n< br>1
?l||
?

?
?

㈢面面平行：
1、 文字语言：如果两个平面的法向量共线则面面平行
2、 图形语言：
?
n
1
?


?
n
2

?


3、 符号语言：
????
n
1
?
?
n
2
?
n
1
||
n
2
?
?
||
?


㈣线线垂直：
1、 文字语言：两直线的方向向量垂直则线线垂直
2、 图形语言：
?
l

l
m

?
m

????
3、 符号语言：
?
ln
?0?
l
?
m
?l?m



㈤线面垂直：
1、 文字语言：如果直线的方向向量与平面内的两条不共线向量垂直则线面垂直
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2、 图形语言：
l
?
b

?

?
l

a


??????
?
3、 符号语言：
a
,
b
??
且
a
与
b
不共线，
a
?
l
?0,
b
?
l
?0?l?
?

㈥面面垂直：
1、 文字语言：如果两个平面的法向量垂直则面面垂直
2、 图形语言：
??
?

?
n
2

?
n
1

?


3、 符号语言： ????
n
1
?
n
1
?0?
n
1?
n
2
?
?
?
?

二、空间角
㈠空间角的范围
?
0
,
90
?
2、异面直线所成角的范围
?
0
,
90
?

3、线面角的范围
?
0
,
90
?
4、斜线与平面所成的角范围
?
0
,
90
?

5、二面角的范围
?
0
,
180
?
6、向量夹角范围
?
0
,
180
?

7、直线的倾斜角范围
?
0
,
180
?

1、线线角的范围
???
0
?
0
?
0
?
0
?
0
??
㈡空间角的定义：
1、 异面直线所成角的定义：略
2、 斜线与平面所成角的定义：斜线与平面所成的角等于斜线与它在这个平面上的射影所成
的角
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m
l
如图l为平面
?
的垂线，m为
平面
?
的斜线，n为斜线m在
平面
?上的射影
m,
?
?m,n

n
?

注：求线面角关键找与斜线有
交点的平面的垂线

注：在用定义法求线面角 时常会用到空间垂直关系相关定理（特别是线面垂直的判定定理，
线面垂直定义，面面垂直性质定理）， 三垂线定理及推论，直（正）棱柱的结构特征，正棱
锥的结构特征，正棱锥的判定方法
例：已知正三棱柱ABC
成角的正弦值
答案：
AB
C
的侧 棱长与底面边长相等，则
A
B
与侧面
AC
C
A
所< br>11
1
1
1
1
6

4
练习：⑴在长 方体ABCD-
AB
C
D
11
1
1
中，AB=BC =2
A
A
?1
，则
B
C
1
与平面
1
B
B
1
D
1
D
所成角的正弦值
答案：
10

5
?
⑵正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成角为
答案：
45

3、 二面角的定义：在二个平面内各引一条与交线垂直的直线 ，这两条垂线所成的角就是这
两个平面所成的二面角的平面角
?

n
?

m
m?
?
,n?
?
,
?< br>?
?
?l,m,n?l
?
,
?
?m,n

l

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二面角的求法： ⅰ）定义法：在用定义法求二面角时常会用到空间平行及垂直关系相关定理，三垂线定理及
推论，直 （正）棱柱的结构特征，正棱锥的结构特征，正棱锥的判定方法
利用定义计算二面角常常使用余弦定理。
例1已知已知正四棱锥的体积是12，底面对角线长
26
，则侧面与底面所成的二面角等于
答案：
?

3
ⅱ）平移交线法，截面法与截面法
例2已知正三棱柱ABC-
AB
C
的底面边长是2，高为1，过顶点A做一平面
?
，与侧
11
1< br>面
BC
C
B
1
交于EF，且EF||BC，若平面
?
与底面ABC所成二面角大小为x
?
0?x?
1
?
?
?
?
?
,
6
?
四边形BCEF的面积为y,则函数y=f （x）的图象大致是：答案：C
?

6
A B
?

6
C
?

6
D
?

6




A N

B


M

E



1


1



图1

法一：平移交线法如图1
C
F
A
G
B
M
E
C
F
A
C

1
B
A

1
B

1
C

1
图2
∵EF||BC，
EF?面ABC，BC?面ABC

∴EF||面ABC
设
面AEF?面ABC?l

又∵
EF?面AEF

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∴EF||l
取EF中点M，BC中点N
则AN
?
EF，AN
?
EF
则
?MAN
就是面AEF与面ABC所成的二面角的平面角
注：在本题中很 难找到面AEF与面ABC的交线，故在图形中找一条与交线平行的直线EF，
在这两个平面内引EF的 垂线，从而找到二面角的平面角
注：求空间角时，空间角大多是特殊角，对于非特殊角题目一般要求求 空间角的某个三角函
数值。若题目特别强调用反三角函数表式，利用下面公式
公式一：若sin
?
?m?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?

,
?
,m?
?
?1,1
?
?
?
?
22
?
?
则< br>?
?arcsinm

公式二：若
cos
?
?m?
?
?
?
0,
?
?
,m?
?
?1,1
?
?

则
?
?arccosm

公式三：若
tan
?
?m?
?
?
?
?
?< br>?
?
?
?
??
?

,
?
, m为常实数?
?
?
22
?
?
则
?
?arc tanm

例：①
sin
?
?
1
?
??
,
?
?
?
0,
?
,求
?

3
?
2
?
②
cos
?
?
1
?
?
?
,
?
?
?
0,
?
,求< br>?

3
?
2
?
1
?
?
?< br>,
?
?
?
0,
?
,求
?

3
?
2
?
③
tan
?
?
通过本题引出下面 公式
常用公式：
arcsin?x??arcsinx
arccos?x?
?
?arccosx

tan?x??arctanx
练习：①
c os
?
??,
?
?
?
1
3
?
?< br>?
,
?
?
求
?

?
2
?< br>②
tan
?
??,
?
?
?
?
13
?
?
?
,0
?
求
?

2
??
三、向量法求空间角
㈠向量法求线线角：空间两条直线所成的角与它们方向向量所成的角相等或互补
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?
l

m
l
l,m ?
?
l
,
m
?
?
m
?

cosl,m?cos
l
,
m

?

?
l

m
l
l,m?
?
?
?
l
,
m
?
?
m
综上：
?

cosl,m??cos
l
,
m

??
?

|cosl,m|?cos
?
?
?
?
,由l,
?< br>?0,
?
则cosl,m?cos
lm
?
?
2
?
??
l
,
m
?
?
l
?
m??

lm
㈡向量法求线面角：空间直线与平面所成的角和直线的方向向量与平面 法向量所成的角互
余，或比向量角小
?

2
?
?
n
1

l
?
n
1
基线为
?
的垂线
l,
?
?
l

?
2
?
?
?
l
,
n
1
?
?

?

sinl,
?
?cos
l
,
n
1

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?
n
1

?
l
l,
?
?
?
?
l
,
n
1
?
?
2
?
l

sinl,
?
??cos
?

l
,
n
1
?


?
?
?
综上：
|sinl,
?
|?cos
l
,
n
由l,
?
?
?
0,
?
故sinl,
?
?| cos
1
?
2
?
?
?
?
?
l,
n
1
|

㈢空间向量的方法求二面角，方法一：内积法 如图所示，在两个平面
?
,
?
内以交线上的点为起点各引一条与交线垂直 的向量
m
,
n

??
?

n
l
?

?

m
?
?
,
n
?
?
,
?
?
?
?l,
m
,
n
?l
?
,
?
?
????
m
?

m
,
n
??


例：已知直角
?ABC< br>中，
?C?
90
,?B?
30
,
AB=4，D为AB 的中点，沿中线将
?ACD
??
折起使得AB=
13
，则二面角A- CD-B的大小为
B
B
F
D
E
A
E
A

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F
D
C

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对于折叠问题，关键是抓住图形折叠前后的不变量及重要的折叠条件
解：作
AE?CF,BF?CF

二面角A?CD?B等于
???< br>FB
,
EA
?
??

AB
?
AE
?
EF
?
FB

AB
?
?
2
??
?
?
?
?
?
AE
?
EF
?
FB
?
??
2
2
A E
?
?
?
EF
EF
3

2
?
?
2
?
FB
?
?
2

??????
?2
AE
?
FB
?2
EF
?
FB
?2
AE
?
EF
3

AE
?
?3,
?
?2,
FB
?
AE
?
FB
?
cos
??
AE
,
FB
?
AE
,FB
??
??
AE
?
FB
?
1
?0< br>
2
AEFB
??
??
又∵
?
?
0 ,
?
?

∴
AE
,
FB
?
EA< br>,
FB
?
??
?
3

∴
2
?

3
方法二：坐标法
?
?

n
n
1

m
?
n
2

?

m?
?
,n??
,
?
?
?
?l,m,n?l
??
?
,
?
?
?
?
n
1
,
n
1
??

l
cos
?
,
?
??cos
n< br>1
,
n
2

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?
?
n
1

??
?

n
n
2
m
?
,
?
?
?

n
1
,
n
1
??

cos
?,
?
?cos
n
1
,
n
2
l

综上：
??
cos
?
,
?
?cos< br>n
1
,
n
2
,
?
,
?
?< br>?
0,
?
?
??
?
?
|cos
n< br>1
,
n
2
|,
?
,
?
为锐角

?
cos
?
,
?
?
?
??
?
?cos
n
1
,
n
2
?
,
?为钝角
?
?
注：①求二面角是二面角一般为锐角或钝角很少求直角，零角或平角
②二面角的性质可以直观观察得到
四、空间向量方法求空间点到平面的距离

A
??
n

B
?
d
?
O,< br>?
?
?
OB
?
n
n
?

?


典例
一、向量法确定空间线线，线面，面面位置关系，求空间角及空间点到平面的距离
注：①应用向量法研究空间几何问题的关键是建系及确定空间点的坐标，
②在建系时最好建立 右手系（在原图形上找或作三条有公共点且两两垂直的线段做为坐标
轴），在坐标平面上的点越多越好， 关于原点或坐标平面对称的点越多越好
③在建系时会用到空间垂直关系相关定理（线面垂直的判定定理 ，线面垂直定义，面面垂直
的性质定理），线面角的定义，直（正）棱柱的结构特征，正棱锥的结构特征
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④确定空间点的坐标必要时时可以设参数表示空 间点的坐标，但参数用得越少越好如轴上点
的坐标可用一个参数表示;坐标平面上点的坐标可用两个参数 表示;已知线段两端点的坐标，
只需一个参数就可以表示该线段上任意点坐标（利用向量共线条件）如下 图
A C B
若已知A，B坐标设C（x,y,z）
AB
?
0
设
AC
?
?
AB
可求点C坐
标
?
??
?
?

例在四棱锥P-ABCD中，PA
?
平面ABCD，PB与底面所成的角为
角梯形，
?ABC??BAD?
45< br>，底面ABCD为直
?
90
?
，PA=BC=
1
AD

2
⑴求证：面PAC
?
面PCD
⑵在棱PD上是否存在一点E，使CE||面PAB？若存在确定E的位置，若不存在说明理由
（0,0,1）P
E（x,y,z）
A
B（1,0,0）
D（0,2,0）
C（1,1,0）

面PAB的法向量为
AD
?
0,2,0
?

AD
?
CE

?
?
?
要想CE||面PA B必须
∴
AD
?
CE
?0

?
?
?
∴y=1
?
??
?
?
?
?
0
?
?
PE
?
?
PD

PE
||
PD
?
PD
??
?
可求点E坐标
注：解决存在性问题，把结论当已知，从结论出发，找是结论成立的条件
练习1、如图，在直三棱柱ABC-
AB，BC的中点，M为
A
精品文档 < br>AB
C
11
中，
?ACB?
1
90
，AC= BC=a,D,E分别为棱
?
?
A
上的点，二面角M-DE- A为
1
30

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⑴证明：
AB
?
C
D

11
1
⑵求MA的长，并求点C到平面MDE的距离
A

1
C
B

1
1
（k,0,0）M
（0,-a,0）A
(
aa
,?,0
)D
22
C
B（a,0,0）

答案：
a

4
2、（07高考全国Ⅱ）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD
?
底面
ABCD，E，F分别为AB，SC的中点，
⑴证明：EF||面SAD
⑵设SD=2DC，求二面角A-EF-D的正切值
（0,0，k）S
F（
0,
1k

,
）
22
D
C（0,1,0）
（1,0,0）A
?
1
?
B（1,1,0）
E
?
1,,0
?

?
2
?

答案：
2

例2：07福建正三棱柱ABC-
⑴求证：
A
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AB
C
中，所有棱长为2，D为C
C
中点，
11
11
B
1
?面
A
1
BD

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⑵求二面角
A?
⑶求C到平面
A
D-B
的正弦值
1
1
A
BD
的距离
取AB的中点O，则CO
?
AB
又∵
面ABC?面A
∴O C
?
面
A
再取
C
，OC?面ABC，面ABC?面A
C
?AB

11
C

1
B
C
的中点F如图所示建立空间直角坐标系
1
1
C
A

1
D
B
F
O
A
C

1
B

1

答案：
102
,

42
注：本题在建系时使用了面面垂直性质定理及正棱柱的结构特征
练习1、（08全国Ⅰ）如图，四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC
?< br>底面BCDE，
BC=2，CD=
2
，AB=AC
⑴证明：AD
?
CE
⑵设CE与平面ABE所成的角为
取BC，DE中点O,F
证AO
?
面BCDE
45
，求二面角C-AD-E的余弦值
?
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A（0,0，k）
（-1,0,0）B
O
C（1,0,0）
E
?1,2,0

F
0,2,0

??
D1,2,0


?
?
?
?
答案：
?
10

10
2、 如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=
2
，AF=1，M是线段EF
的中点
⑴求证：AM||面BDE
⑵试在线段AC上确定一点P，使得PF与CD所成角是
60

?
E
M
F
C
B
D
A

答案：P
?
?
22
?
?
?
2
,
2< br>,0
?

??
例3（08湖南）四棱锥P-ABCD的底面是边长为1 的菱形，
?BCD?
60
，E是CD的中点，
?
PA
?底面ABCD，PA=2
证明：平面PBE
?
面PAB
如图所示建立空间直角坐标系
本题难点在于确定P点坐标，P点在xoy面上的射影是A点， 故P点和A点的x,y轴分量相
同，P点z轴分量为P点到xoy面的距离即为线段PA长
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P
?
0,?
?
?
?
3
?

,2
?
?
2
?
?
13
?
?
E< br>?
?
?
4
,
4
,0
?

? ?
?
3
?
?
C
?
0,
?
2
,0
?

??
?
?
?
1
?
?< br>?,0,0
?
D
?
2
?
O
?
3
?
?
0,?,0
?
??
A
2
??
B
?
,0,0
?


?< br>1
?
2
如图的多面体是底面为平行四边形的直四棱柱
ABCD?
后得到的图形，其中
?BAE??GAD?
⑴求证：
BD?AD
AB
C
D
，经平面AEFG所截
11
1
1
45
?，AB=2AD=2
?BAD?
60

?
C

1
⑵求平面AEFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值
答案：
21

如图，四棱锥P-ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥P D，底面ABCD为直角梯形，AD||BC，AB⊥
BC，AB=AD=PB=3，点E在棱PA上， 且PE=2EA，
⑴求异面直线PA与CD所成的角
⑵求证：PC||面EBD
⑶求二面角A—BE—D的大小（用反三角函数表示）
z
P（0,0,3）
E
y
C（0,6,0）
x
A（3,0,0）
D（3,3,0）

⑴本题重点不是建系也不是求空间角和分析空间线面关系 ，而是用向量法确定点的坐标
解：⑴C（0,y,0）,
CD
(3,3?y,0),
PD
(3,3,?3)

?
?
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?
?
CD⊥PD,∴
CD
?PD
?0
,∴y=6
?
C(0,6,0)
E（x,0,z）
PE
?2
EA

（x,0,z-3）=（6-2x,0,-2z）
?
?
x?6?2x?x?2

?
?
z?3??2z?z?1
E（2,0,z）
以下略
二、地球经纬度问题
例设地球半径为R，在
60
?
纬线圈上有A， B两地，它们在纬线圈上的弧长是
?
R
，则A，
1
2
B两底 的球面距离是
注：①A，B两地球面距离也称A，B两地最短距离，它等于A，B两点所在的大圆的劣弧长
②纬线圈与赤道面平行，纬线圈是小圆，赤道面是大圆，经线圈是半圆，0度经线是本初子
午线
③纬度：在纬线圈上任取一点和球心连线所得的地球半径与赤道面所成的线面角,
纬线圈与赤道面平行
r
?

R
o
O
'

o
为纬线圈的圆心，
O为球心，
O
'
O
与纬线
'
圈及赤道面垂直，
r为纬线圈的半径，R为
球的半径，
?
等于纬线圈的维度

④经度：经线所在的半平面与本初子午线（0度经线）所在的半平面所成的二面角
解：利用上图可知
r?
R
，作出纬圆如下图
2
l?r?
1R
?
R?
?
22
?
?
?

AB=2r=R

O
A
l
'

?

r
B
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作出通过A，B两点的大圆
R O
?

R
O为球心，
?
?
?
3

A
l
AB
?
?
3
R

B

二、顶点转移的方法求体积
已知正三棱柱
ABC?
为
A、
3
B、
AB
C
中， 底面边长为2，高为1，则点
B
到平面
A
BC
的距离
11< br>1
11
3
3
C、2 D、
2
2
C

1
D
A

1
B

1
C
A B

设
B
到面
A
BC
距离为
h
1
< br>11
1
A
到面
B
B
1
C
1
距离为
h
2

V
B
1
?
A
1BC
?
V
A
1
?B
B
1
C

11

?
3
h
1
S
?
ABC1
3
h
2
S
?
BBC
1
h
2
?
S
?
B
1
BC
∴
h
1
?

S
?
A
1
BC
d
?
A
1
,面
B
1
CB
?
?d
?
A
1
,面
C
1
CB
B
1
?

取
B
C
中点D，连
A
D

1
1< br>1
可证
A
D?面B
B
C
C
∴
AD?
h
11
1
1
2
?3

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S
?
B
1
?
BC
1
?1

2
S
矩形B
B
1
C
C
1
3
< br>2
S
?
A
1
?2
∴
h
1
?
BC
注：本题除了用顶点转移的方法求体积同时还涉及把点面距离转化为线面距离











空间几何体
一、空间几何体的分类
?
?
棱柱
?
?
多面体
?
棱锥
?
?
棱台
?
?
?
空间几何体
?

圆柱
?
?
?
旋转体
?
?
圆锥
?
?
圆台
?
?
?
二、 柱锥台的结构特征
1、棱柱：有两个平行的面，这两个平行的面叫做棱柱的底面，其它面叫做棱柱的侧 面，侧
面是平行四边形，相邻侧面的公共边是棱柱的侧棱，棱柱的侧棱平行且相等
棱柱的特征简记为：底面平行，侧面是平行四边形，侧棱平行且相等
2、棱锥：有一个面是多 边形（底面），其它各面（侧面）都是有公共顶点的三角形，相邻两
侧面的公共边叫侧棱。
注意：棱锥的侧棱相交于一点
3、棱台：用平行于棱锥底面的截面取截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台
注：棱台是用棱锥截出来的，所以棱台侧棱延长线相交于一点
多面体用顶点字母命名如棱柱ABC—
AB
C
，棱锥V- ABC，棱台ABC—
AB
C

11
1
11
1对于棱柱和棱台也可用对角线顶点字母命名如棱柱
注：在同一条棱上的字母对应着写
4、圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征：

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圆柱 圆锥
AC

1
圆台 球

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轴

轴

轴

轴


旋
转
示
意
图
直观图
三、棱柱分类及直棱柱与正棱柱的结构特征
1、棱柱的分类及直棱柱与正棱柱的结构特征 < br>侧棱与底面垂直的棱柱
?
????????直棱柱
棱柱
?
侧棱 与底面不垂直的棱柱

?????????斜棱柱
?
特别地：底面是正多边形的直棱柱是正棱柱
侧 面与底面垂直的四棱柱底面是矩形的直四棱柱
?
?????????直四棱柱???????? 长方体
四棱柱
?

侧面与底面不垂直的四棱柱
?
????? ????斜四棱柱
底面是正方形的直四棱柱是正四棱柱，显然正四棱柱是特殊的长方体，棱长都相等的长 方体
是正方体
?
正方体
?
?
?
正四棱柱
?
?
?
长方体
?
?
?
直四棱柱
?

注：重点掌握直棱柱与正棱柱的结构特征
?
侧棱与底面垂直
?
侧棱 与底面垂直
??
?
侧面与底面垂直
?
侧面与底面垂直
直棱柱 的结构特征
?
正棱柱的结构特征
?

侧面是矩形侧面 是全等的矩形
??
??
?
底面是多边形
?
底面是正多边形< br>想一想：能不能说出直三棱柱与正三棱柱与正四棱柱的的结构特征？
?
侧棱与底面垂直
?
侧棱与底面垂直
??
?
侧面与底面垂直
?
侧面与 底面垂直
直四棱柱结构特征
?
正四棱柱结构特征
?

侧面是矩形侧面是全等的矩形
??
??
?
底面是四边形
?< br>底面是正方形
四、正棱锥与正棱台的结构特征
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o

1
o

2









o

1
o

2








o

1

o


2







O

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?
?
?
1、正棱锥结构特征
?< br>?
?
?
底面是正多边形
侧棱都相等
侧面是全等的等腰三角形< br>定点在底面的投影是底面的中心

2、正棱锥的判定：底面是正三角形，侧棱长都相等的棱锥是正棱锥
棱长都相等的正三棱锥是正四面体，正四面体一定是正三棱锥，正三棱锥不一定是正四面体
正棱台的结构特征：上下底面为正多边形，侧面是全等的等腰三角形，侧棱延长后相交于一
点，
五、几何体的表面积
表面积=侧面积（所有侧面面积）+底面积（所有底面面积）
1、柱体（直棱柱，圆柱）的侧面积
底面周长为c,高为h
S
侧
?ch

直棱柱的高=侧棱=斜高
圆柱的高=母线

2、锥体的侧面积
正棱锥的底面正多边形边数为n,边长为a,周长为c,斜高为
h

'
S
侧
?
11
''
c
h
?na
h

22
注：对于一般的锥体侧面积=所有侧面的面积和
圆锥的侧面积
设圆锥的底面圆半径为r,周长为c，母线为l
3、台体的侧面积
正棱台的边数为n ,斜高为
S
侧
?
1
cl?
?
rl

2
h
'
，上下底面正多边形边长，周长，分别为
''
a
'
，a;
c
,c
'
S?
1
'
c?
c
2
??
h
?
1
?
na?n
a
?
h
2
'


'
圆台的上下底面半径,周长分别为< br>圆台的侧面积
S?
4、球的表面积
r
，r,
c
，c,母线为l
'
1
'
'
c?
cl?
?
r?
r
?l

2
2
??
??
S
球
?4
?
R

七、几何体的体积
1、柱体（直棱柱，圆柱）柱体的底面积为S，高为h,V=Sh
特别的底面半径为r,高为h的圆柱体积
V?
?
2、锥体（棱锥，圆锥）
R
h

2
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1
Sh

3
1
特别的底面半径为r,高为h的圆锥体积V?
?
3
设锥体底面面积为S，高为h则体积
V?
3、台体（棱 台，圆台）的体积
R
2
h

S
，S分别是台体上下底面面积，
h为台体的高
V?
'
1
''
hS?S
S
?
S

3
??
特别的上下底面半径分别为
r
，r，高为h的圆台体积 '2
'
V?
1
?
h
3
?
r
2
?r
r
?
r
'
?

4、球的体积设球的半 径为R，球的体积
V?
4
?
3
R
3


典型题：
一、截面问题（降维问题：把空间图形化成平面图形）
正棱柱，正棱锥，正棱台截面图
正棱柱
R
l
截面
图
l侧棱
长,h高
r
h
l
正棱锥 正棱台
h

1
h
h
h

1
l
22
R
r
R
,
r
R
,
R
1

h


斜高
R，r为底面正多边形半R，r为底面正多边形半
1
径与边心距 径与边心距
2
为上下底面正多边
为上下底面正形半径
r
,
r
12多边形半径

旋转体的截面图





圆柱

圆锥



圆台

球
直
观
图
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轴截面

h高l母线

r上底面圆半径

R下底面圆半径




l
h


R
等腰三角形


r


l

R


等腰梯形








圆




正三角形

正方形
正六边形
l
R
矩形
平面图
形
a,R， r，
h,S分
别为正
多边形
外接圆
半径，内
?
切圆 半
?
?
径,高及
6
面积




a
a

R
h
?


a
R
?

r

R r
?

12
r?h,R?h

33
?
?
?
4


?
?
?
3

二、空间几何体的侧面展开与平面图形的旋转问题
1、几何体的侧面展开
l


l




r
C
侧面展开图
?????

?

C
C?l
?
11
2
S?lC?
l
?

22
?
为弧度角
2三视图与斜二侧
四、三视图：三视图的原理是正投影
㈠三视图的含义
主视图从几何体的正前方看几何体的轮廓线的正投影围成的平面图形
左视图从几何体的正左方看几何体的轮廓线的正投影围成的平面图形
俯视图从几何体的正上方看几何体的轮廓线的正投影围成的平面图形
五、斜二测与直观图
㈠平面图形的直观图
1、建系①在原图形上以特殊点为原点，以特殊线段所在直线为坐标轴建 立平面直角坐标系，
让坐标系通过原图形的最多点
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②建立直观图坐标系：
x

o
'
'

?
xo
''
y
?
45
或
135

??
'
y


2、画图：先画在在轴上的线段，再画平行于 轴的线段，原图形中在x轴上或平行于x轴的
线段，画在直观图上平行于
段，画直观图时平行于
'
'
x
轴，线段的长度不变；原图形中在y轴或平行于y轴上的线
'
y
轴，长度变为原来的一半
例：已知正三角形的边长为a，求它的直观图面积
答案：
3
2

16
a

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