高中数学数列经典教案

数列教案

一、数列的概念
（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；
数列中的每个数都叫这个数列的项。记 作
a
n
，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位
置的叫第2 项，……，序号为
n
的项叫第
n
项（也叫通项）记作
a
n
；
数列的一般形式：
a
1
，
a
2
，
a
3
，……，a
n
，……，简记作
?
a
n
?
。
例：判断下列各组元素能否构成数列
（1）a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9;
(2)2010年各省参加高考的考生人数。

（2）通项公式的定义：如果 数列
{a
n
}
的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就
叫这个数列的通项公式。
例如：①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，…
②：
1，，，，
…
数列①的通项公式是
a
n
=
n
（
n
?
7，
n?N
?
），
数列②的通项公式是
a
n
=
说明：
①
?
a
n
?
表示数列，
a
n
表示数列中的第
n
项，
a
n
=
f
?
n
?
表示数列的通项公式；
② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，
a
n
=
(?1)
=
?
n
1111
2345
1
（
n?N
?< br>）。
n
?
?1,n?2k?1
(k?Z)
；
?
?1,n?2k
③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，……

（3）数列的函数特征与图象表示：
序号：1 2 3 4 5 6
项 ：4 5 6 7 8 9
上面每一项序号与这 一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列
实质上是定义域为正整 数集
N
?
（或它的有限子集）的函数
f(n)
当自变量
n< br>从1开始依次取值时对应的一系列
函数值
f(1),f(2),f(3),
…… ，
f(n)
，……．通常用
a
n
来代替
f
?
n
?
，其图象是一群孤立点。
例：画出数列
a
n
?2n?1
的图像.

（4） 数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关
系分： 单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。
例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？
（1）1，2，3，4，5，6，… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, …
(3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, … (4)a, a, a, a, a,…

(n?1)
?
S
1
（5）数列{
a
n
}的前
n
项和
S
n
与通项
a
n
的关系：
a
n
?
?

S?S(n≥2)
n?1
?
n
2
例：已知数列
{a
n
}
的前 n项和
s
n
?2n?3
，求数列
{a
n
}
的通项公式
练习：
1．根据数列前4项，写出它的通项公式：
1 27

（1）1，3，5，7……；
2
2
?13
2
?14
2
?15
2
?1
（2），，，；
35
2 4
1
11
1
（3）
?
，，
?
，。
1*2
2*3
3*4
4*5
（4）9，99，999，9999…
（5）7，77，777，7777，…
(6)8, 88, 888, 8888…
n
2
?n?1
(n?N
?
)
2．数 列
?
a
n
?
中，已知
a
n
?
3< br>（1）写出
a
1,
，
a
2
，
a
3< br>，
a
n?1
，
a
n
2
；
（2）
79
2
是否是数列中的项？若是，是第几项？
3


3．（2003京春理14，文15）在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相 应年龄的统计数据如下表.
观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（_____）内。

4、由前几项猜想通项：
根据下面的图形及相应的点数，在空格及括号中分别填上适当的图形和数，写出点数的通项公式.



（1）

（4）
（7）
（ ）
（ ）
5.观察下列各图，并阅读下面的文字，像这样，10条直线相交，交点的个数最多是（ ），其通项公式
为 .
A．40个 B．45个 C．50个 D．55个



2条直线相
交，最多有1

个交点

3条直线相
交，最多有3
个交点
4条直线相
交，最多有6
个交点
二、等差数列
题型一、等差数列 定义：一般地，如果一个数列从第
2
项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这< br>个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母
d
表示。用递推公 式表示为
2 27

a
n
?a
n?1
?d (n?2)
或
a
n?1
?a
n
?d(n?1)
。
例：等差数列
a
n
?2n?1
，
a
n
?a
n?1
?

题型二、等差数列的通项公式：a
n
?a
1
?(n?1)d
；
说明：等差数列（通常 可称为
AP
数列）的单调性：
d
?0
为递增数列，
d?0< br>为常数列，
d?0
为递减数列。
，则a
12
等于（ ） 例：1.已知等差数列
?
a
n
?
中，
a
7?a
9
?16，a
4
?1
A．15 B．30 C．31 D．64
2.
{a
n
}
是首项
a
1
?1
，公差
d?3
的等差数列，如果
a
n
?20 05
，则序号
n
等于
（A）667 （B）668 （C）669 （D）670
3.等差数列
a
n
? 2n?1,b
n
??2n?1
，则
a
n
为
b
n
为 （填“递增数列”或
“递减数列”）
题型三、等差中项的概念：
定义：如果
a
，
A
，
b
成等差数列，那么
A
叫做
a
与
b
的等差中项。其 中
A?
a?b
2


a
，A
，
b
成等差数列
?
A?
a?b
2
即：
2a
n?1
?a
n
?a
n?2
（
2a
n
?a
n?m
?a
n?m
）
例： 1．（06全国I）设
?
a
n
?
是公差为正数的等差数列，若
a
1
?a
2
?a
3
?15
，
a
1
a
2
a
3
?80
，则
a
11
? a
12
?a
13
?
（
A．
120
B．
105
C．
90
D．
75

2.设数列
{a
n
}
是单调递增的等差 数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ）
A．1 B.2 C.4 D.8

题型四、等差数列的性质：
（1）在等差数列
?
a
n
?
中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；
（2 ）在等差数列
?
a
n
?
中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列；
（3）在等差数列
?
a
?a
m
n
?
中，对 任意
m
，
n?N
?
，
a
n
?a
m
?(n?m)d
，
d?
a
n
n?m
(m?n)；
（4）在等差数列
?
a
n
?
中，若
m，
n
，
p
，
q?N
?
且
m?n?p? q
，则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
；
题型五、等差数列的前
n
和的求和公式：
S
n
?
n(a
1
?a
n
)
n(n?1)1
2
? na
1
?
2
d
?
2
n
2
?（a< br>d
1
?
2
）n
。
(
S
2
n
?An?Bn(A,B为常数)
?
?
a
n
?
是等差 数列 )
递推公式：
S
(a
1
?a
n
)n
(a
m
?a
n?(m?1
n
?
2
?
)< br>)n
2


例：1.如果等差数列
?
an
?
中，
a
3
?a
4
?a
5
?12
，那么
a
1
?a
2
?...?a
7
?

（A）14 （B）21 （C）28 （D）35
2.（2009湖南卷文）设
S< br>n
是等差数列
?
a
n
?
的前n项和，已知
a
2
?3
，
a
6
?11
，则
S
7< br>等于( )
A．13 B．35 C．49 D． 63
3.（2009全国卷Ⅰ理） 设 等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
，若
S
9
?72
,则
a
2
?a
4
?a
9
=
3 27
）

4.（2010重庆文）（2）在等差数列
?
a
n
?
中，< br>a
1
?a
9
?10
，则
a
5
的值为 （ ）
（A）5 （B）6 （C）8 （D）10

5.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和 为390，则这个数列有（ ）
A.13项 B.12项 C.11项 D.10项
6.已知等差数列
?
a
n
?
的前
n< br>项和为
S
n
，若
S
12
?21，则a
2?a
5
?a
8
?a
11
?

7.（2009全国卷Ⅱ理）设等差数列
?
a
n
?
的前n
项和为
S
n
，若
a
5
?5a
3则
8．（98全国）已知数列｛
b
n
｝是等差数列，
b
1
=1，
b
1
+
b
2
+…+
b
1 0
=100.
（Ⅰ）求数列｛
b
n
｝的通项
b
n
；

9.已知
?
a
n
?
数列是等差数列，
a
1 0
?10
，其前10项的和
S
10
?70
，则其公差
d
等于( )
S
9
?

S
5
A．?
2
3
1
2
1
B．?
C. D.
3
3
3
10.（2009陕西卷文）设等差数列

?
a
n
?
的前n项和为
s
n
,若
a
6?s
3
?12
,则
a
n
?

S
n
11．（00全国）设｛
a
n
｝为等差数列，
S
n
为数列｛
a
n
｝的前
n
项和，已知
S
7
＝7，
S
15
＝75，
T
n
为数列｛｝
n
的前
n
项和，求
T
n
。





12.等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和记为
S
n
，已知
a
10
?30 ，a
20
?50

①求通项
a
n
；②若
S
n
=242，求
n




13.在等差数列
{a
n
}
中，（ 1）已知
S
8
?48,S
12
?168,求a
1
和 d
；（2）已知
a
6
?10,S
5
?5,求a
8< br>和S
8
；(3)
已知
a
3
?a
15
?40,求S
17







题型六.对于一个等差数列：
4 27

S
奇
a
?
n
；
S
偶a
n?1
S
n
（2）若项数为奇数，设共有
2n?1
项 ，则①
S
奇
?
S
偶
?a
n
?a
中
；②
奇
?
。
S
偶
n?1
（1）若项数 为偶数，设共有
2n
项，则①
S
偶
?
S
奇
?nd
； ②

题型七.对与一个等差数列，
S
n
,S< br>2n
?S
n
,S
3n
?S
2n
仍成等差数列 。
例：1.等差数列{
a
n
}的前
m
项和为30，前2< br>m
项和为100，则它的前3
m
项和为（ ）
A.130 B.170 C.210 D.260
2.一个等差数列前
n< br>项的和为48，前2
n
项的和为60，则前3
n
项的和为 。
3．已知等差数列
?
a
n
?
的前10项和为100，前 100项和为10，则前110项和为
4.设
S
n
为等 差数列
?
a
n
?
的前
n
项和，
S
4
?14，S
10
?S
7
?30，则S
9
=
5．（06全国II）设
S
n
是等差数列｛
a
n
｝ 的前
n
项和，若
S
3
1
S
＝，则
6
＝
S
6
3
S
12
D．A．
11
3
B． C．
38
10
1

9
题型八．判断或证明一个数列是等差数列的方法：
①定义法：
a
n?1
?a
n
?d(常数）（n?N
?
）
?
?< br>a
n
?
是等差数列
②中项法：
2a
n?1
?a
n
?a
n?2
③通项公式法： < br>（n?N
?
)
?
?
a
n
?
是等差数 列
a
n
?kn?b(k,b为常数)
?
?
a
n< br>?
是等差数列
(A,B为常数)
?
?
a
n
?
是等差数列
④前
n
项和公式法：
S
n
?An
2
?Bn





例：1.已知数列
{a
n
}
满足
a
n< br>?a
n?1
?2
，则数列
{a
n
}
为 （ ）
A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断

2.已知数列
{a
n
}
的通项为
a
n
?2n?5
，则数列
{a
n
}
为 （ ）
A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断
2
3.已知一个数列
{a
n
}
的前n项和< br>s
n
?2n?4
，则数列
{a
n
}
为（ ）
A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断
2
4.已知一个数列
{a
n
}
的前n项和< br>s
n
?2n
，则数列
{a
n
}
为（ ）
A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断
5.已知一个数列
{a
n
}
满足
a
n?2
?2a
n?1
?a
n
?0
，则数列
{a
n
}
为（ ）
A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断
5 27

6. 数列
?
a
n
?
满足
a
1
=8，
a
4
?2，且a
n?2
?2a
n?1
?a
n
?0
（
n?N
?
）
①求数列
?
a
n
?
的通项公式；







2
7．（01天津理，2）设
S
n
是数列{
a
n
}的前
n
项和，且
S
n< br>=
n
，则{
a
n
}是（ ）
A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列
C.等差数列，而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列




题型九.数列最值
（1）
a
1
?0
，
d?0
时，
S
n
有最大值；
a
1
?0< br>，
d?0
时，
S
n
有最小值；
2
（2）< br>S
n
最值的求法：①若已知
S
n
，
S
n的最值可求二次函数
S
n
?an?bn
的最值；
可用二次函数 最值的求法（
n?N
?
）；②或者求出
?
a
n
?< br>中的正、负分界项，即：
若已知
a
n
，则
S
n最值时
n
的值（
n?N
?
）可如下确定
?
?< br>a
n
?0
?
a
n
?0
或
?
。
a?0a?0
?
n?1
?
n?1
例：1．等差 数列
?
a
n
?
中，
a
1
?0，S
9
?S
12
，则前 项的和最大。
2．设等 差数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
，已知

a
3
?12，S
12
?0，S
13
?0

①求出公差
d
的范围，
?，S
12
中哪一个值最大，并说明理由。 ②指出
S
1
，S
2
，






*
3．（02上海）设｛
a
n
｝（
n
∈N）是等差数列，
S
n
是其前
n
项的和，且
S< br>5
＜
S
6
，
S
6
＝
S
7< br>＞
S
8
，则下列结论错误的
．．
是（ ）
A.d＜0 B.a
7
＝0 C.S
9
＞S
5
D.S
6
与S
7
均为S
n
的最大值
6 27

4．已知数列
?
a
n
?
的通项


n?98
n?99
（
n?N
?
），则数列
?
a
n
?
的前30项中最大项和最小项分别是
5 .已知
{a
n
}
是等差数列，其中
a
1
?31，公差
d??8
。
（1）数列
{a
n
}
从哪一项开始小于0？
（2）求数列
{a
n
}
前
n
项和的最大值，并求出对应
n
的值．

6.已知
{a
n
}
是各项不为零的等差数列， 其中
a
1
?0
，公差
d?0
，若
S
10< br>?0
,求数列
{a
n
}
前
n
项和的最大值．
7.在等差数列
{a
n
}
中，
a
1?25
，
S
17
?S
9
，求
S
n的最大值．




题型十.利用
a
n?
?
(n?1)
?
S
1
求通项．
?
S
n
?S
n?1
(n?2)
1.数列
{a
n
}
的前
n
项和
S
n
?n
2
?1
．（1）试写出数列的前5项；（2）数列
{a
n
}
是等差数列吗？（3）你 能写出数
列
{a
n
}
的通项公式吗？

2
2．已知数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S< br>n
?n?4n?1，
则

3.（2005湖北卷）设数列
{a
n
}
的前n项和为S
n
=2n，求数列
{a
n
}
的通项公式；
2

4.已知数列
?
a
n
?
中，
a
1
?3，
前
n
和
S
n
?
①求证 ：数列
?
a
n
?
是等差数列
②求数列
?
a
n
?
的通项公式
5.（2010安 徽文）设数列
{a
n
}
的前n项和
S
n
?n
2
，则
a
8
的值为（ ）
（A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）64

7 27
1
(n?1)(a
n
?1)?1

2

等比数列
等比数列定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数．．．．．．
列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母
q
表示
(q?0)
，即：
a
n?1
：
a
n
?q(q?0)
。

一、递推关系与通项公式
递推关系：a
n?1
?a
n
q
通项公式：a
n
?a
1
?q
n?1< br>
推广：a
n
?a
m
?q
n?m
1． 在等 比数列
?
a
n
?
中,
a
1
?4,q?2< br>，则
a
n
?

2． 在等比数列
?
a
n
?
中,
a
7
?12,q?
3
2
,则
a
19
?_____.

3.（07重庆文） 在等比数列{
a
n
}中，
a
2
＝8，
a
1
＝64，，则公比q为（ ）
（A）2 （B）3 （C）4 （D）8 < br>4.在等比数列
?
a
n
?
中，
a
2
??2
，
a
5
?54
，则
a
8
=

5.在各项都为正数的等比数列
{a
n
}
中，首项
a
1
?3
，前三项和为21，则
a
3
?a
4?a
5
?
（ ）
A 33 B 72 C 84 D 189

二、等比中项：若三个数
a,b,c
成等比 数列，则称
b
为
a与c
的等比中项，且为
b??ac，注：b?ac
是成等
比数列的必要而不充分条件.
例：1.
2?3
和
2?3
的等比中项为( )
2
(A)1

(B)?1

(C)?1

(D)2

2.（2009重 庆卷文）设
?
a
n
?
是公差不为0的等差数列，
a
1
?2
且
a
1
,a
3
,a
6
成等 比数列，则
?
a
n
?
的前
n
项
和
S
n
=（ ）
n
2
5nn
2
3 n
n
2
7n
?
C．
?

?
A． B．
3324
44
三、等比数列的基本性质，
D．
n?n

2
?
1.（1）
若m?n?p?q， 则a
m
?a
n
?a
p
?a
q
(其中m,n ,p,q?N)

n?m
?
（2）
q
a
n
2
，a
n
?a
n?m
?a
n?m
(n?N
?
)

a
m
（3）
?
a
n
?为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列.
8 27

（4 ）
?
a
n
?
既是等差数列又是等比数列
?
?
a
n
?
是各项不为零的常数列.
2
例：1．在等比数列
?
a
n
?
中,
a
1
和
a
10是方程
2x?5x?1?0
的两个根,则
a
4
?a
7< br>?
( )
2
5
11

(C)?

(D)

(A)?

(B)
2
2
22
2. 在等比数列
?
a
n
?
，已知
a
1
?5
，
a
9
a10
?100
，则
a
18
= 3.在等比数列
?
a
n
?
中，
a
1
? a
6
?33，a
3
a
4
?32，a
n
?a
n?1

①求
a
n

②若
T
n< br>?lga
1
?lga
2
???lga
n
,求T
n






4.等比数列
{an
}
的各项为正数，且
a
5
a
6
?a
4
a
7
?18,则log
3
a
1
?log
3
a
2
?L?log
3
a
10
?
（ ）
A．12 B．10 C．8 D．2+
log
3
5

5.（2009广东卷理）已知等比 数列
{a
n
}
满足
a
n
?0,n?1,2,L2n
a?a?2(n?3)
，则当
n?1
时，
52n?5
，且
log
2
a
1
?log
2
a
3?L?log
2
a
2n?1
?
（ ）
22
2
(n?1)(n?1)
n(2n?1)
n
A. B. C. D.
2.前
n
项和公式
(q?1)
?
na
1
?
n
S
n
?
?
a
1
(1?q)
a
1
?a
n
q
?
?
1?q
?
1?q
(q?1)

例：1.已知等比数列
{a
n
}
的首 相
a
1
?5
，公比
q?2
，则其前n项和
S
n
?

2.已知等比数列
{a
n
}
的首相
a
1
?5
，公比
q?
和
S
n
?

3.设等比数列
{a
n
}的前n项和为
S
n
，已
a
2
?6,
6a
1
?a
3
?30
，求
a
n
和
S
n

4．（2006年北京卷）设
f(n)?2?2?2?2?L?2
A．< br>1
，当项数n趋近与无穷大时，其前n项
2
2
n
(8?1)

7
(n?N)
，则
f(n)
等于（ ）
2
n ?1
2
n?3
2
n?4
B．
(8?1)
C．
(8?1)
D．
(8?1)

7
77
47103n?10
5．（1996全国文，21）设等比数列｛
a
n
｝的前
n
项和为
S
n
，若
S
3
＋
S6
＝2
S
9
，求数列的公比
q
；


9 27

6．设等比数列
{a
n
}
的公 比为q，前n项和为S
n
，若S
n+1
,S
n
，S
n+2
成等差数列，则q
的值为 .


3.若数列
?
a
n
?
是等比数列，
S
n< br>是其前n项的和，
k?N
*
，那么
S
k
，
S
2k
?S
k
，
S
3k
?S
2k
成 等比数列.
如下图所示：
????????????
S
?
3k< br>????????????
a
1
?a
2
?a
3
???a
k
?a
k?1
???a
2k
?a
2k? 1
???a
3k

???????????????????????
S
k
S
2k
?S
k
S
3k
?S
2k
例：1.（2009辽宁卷理）设等比数列{
a
n
}的前n 项和为
S
n
，若
S
6
S
3
=3 ，则
S
9
S
6
=
78
A. 2 B.
3
C.
3
D.3
2.一 个等比数列前
n
项的和为48，前2
n
项的和为60，则前3
n项的和为（ ）
A．83 B．108 C．75 D．63
3.已知数列
?
a
n
?
是等比数列，且
S
m
?10，S
2m
?30，则S
3m
?


4.等比数列的判定法
（1）定义法：
a
n?1
?q（ 常数）?
?
a
n
?
为等比数列；
a
n
2
（2）中项法：
a
n?1
?a
n
?a
n?2
(a
n
?0)?
?
a
n
?
为等比数列； n
（3）通项公式法：
a
n
?k?q(k,q为常数）?
?a
n
?
为等比数列；
n
?
?
a
n
?
为等比数列。 （4）前
n
项和法：
S
n
?k(1?q)（k,q为常数）
S
n?k?kq
n
（k,q为常数）?
?
a
n
?
为 等比数列。
n
例：1.已知数列
{a
n
}
的通项为
a
n
?2
，则数列
{a
n
}
为 （ ）
A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断
2.已知数列
{a
n
}
满足
a
n?1
?a
n
?a
n?2
2
(a
n
?0)
，则数列< br>{a
n
}
为 （ ）
A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断
n?1
3.已知一个数列
{a
n
}
的前n项和
s
n
?2?2
，则数列
{a
n
}
为（ ）
A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断



(n?1 )
?
S
1
5.利用
a
n
?
?
求通 项．
S?S(n?2)
n?1
?
n

10 27

例：1.（2005北京卷）数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
，且
a
1
=1，
a
n?1< br>?
的值及数列{
a
n
}的通项公式．

1S
n
，
n
=1，2，3，……，求
a
2
，a
3
，
a
4
3
*
2.（2005山东卷）已知 数列
?
a
n
?
的首项
a
1
?5,
前
n
项和为
S
n
，且
S
n?1
?S
n
?n?5(n?N)
，证明数
列
?
a
n
?1< br>?
是等比数列．






四、求数列通项公式方法
（1）．公式法（定义法）
根据等差数列、等比数列的定义求通项
例：1已知等差数列
{a
n
}
满足：
a
3
?7,a
5
?a
7
?26< br>， 求
a
n
；




2.已知 数列
{a
n
}
满足
a
1
?2,a
n
?a
n?1
?1(n?1)
，求数列
{a
n
}
的 通项公式；


?
3.数列
?
a< br>n
?
满足
a
1
=8，
a
4
?2，且 a
n?2
?2a
n?1
?a
n
?0
（
n?N
），求数列
?
a
n
?
的通项公式；




4. 已知数列
{a
n
}
满足
a
1
?2,



5. 设数列
{a
n
}
满足
a
1
?0
且



11 27
1
a
n?1
?
1?2
，求数列
?
a
n
?
的通项公式；
an
11
??1
，求
{a
n
}
的通项公式
1?a
n?1
1?a
n

6. 已知数列
{a
n
}
满足
a
n?1
?





7. 等比数列
{a
n
}
的各项均为正数，且
2a
1
?3a
2
?1
，
a< br>3
?9a
2
a
6
，求数列
{a
n
}
的通项公式




8. 已知数列
{a
n
}
满足
a
1
?2,a
n
?3a
n?1
(n?1)
，求数列
{a
n
}
的通项公式；




9. 已知数列
{a
n
}
满足a
1
?2，a
2
?4且a
n?2
?a
n
?a
n?1
（
n?N
?
），求数列
?
a
n
?
的通项公式；
2
2
2a
n
,a
1
?1
，求数列
{a
n
}
的通项公式。
a
n
?2




10. 已知数列{a
n
}
满足
a
1
?2，
且
a
n?1
?5




11. 已知数列
{an
}
满足
a
1
?2，
且
a
n?1?5?2
式；





12.数列已知数 列
?
a
n
?
满足
a
1
?



12 27
n?1
n?1
?2(a
n?5
n
)
（
n?N
?
），求数列
?
a
n
?
的通项公式；
?2?3(a
n
?5?2
n< br>?2)
（
n?N
?
），求数列
?
a
n
?
的通项公
1
,a
n
?4a
n?1
?1(n?1 ).
则数列
?
a
n
?
的通项公式=
2

（2）累加法
1、累加法 适用于：
a
n?1
?a
n
?f(n)

a
2
?a
1
?f(1)
若
a
n?1
?a
n
?f(n)
(n?2)
，则
a
3
?a
2
?f(2)
L

L
a
n?1
?a
n
?f(n)

两边分别相加得
a
n?1
?a
1
?
例：1.已知数列{a
n
}
满足
a
1
?




?
f(n)

k?1
n
1
,
2
a
n?1
?a
n
?
1
4n
2
?1
，求数列
{a
n
}
的通项公式。
，a
1
?1
，求数列
{a
n
}
的通项公式。 2. 已知数列
{a
n
}
满足
a
n?1
?a
n
?2n?1



n
3. 已知数列
{a
n
}
满足
a
n?1
?a
n
?2?3?1，a
1
?3
，求数列
{a
n
}
的通项公式。





2n?1
4. 设数列
{a
n
}< br>满足
a
1
?2
，
a
n?1
?a
n< br>?3?2
，求数列
{a
n
}
的通项公式

13 27

（3）累乘法
适用于：
a
n?1
?f(n)a
n

若
a
n?1< br>aa
a
?f(n)
，则
2
?f(1)，
3
? f(2)，LL，
n?1
?f(n)

a
n
a
1< br>a
2
a
n
n
a
n?1
两边分别相乘得，?a
1
?
?
f(k)

a
1
k?1
n
例：1. 已知数列
{a
n
}
满足
a
n?1
?2(n?1)5?a
n
，a
1< br>?3
，求数列
{a
n
}
的通项公式。


2.已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
?


3.已知
a
1
?3
，
a
n?1
?



（4）待定系数法
适用于
a
n?1
?qa
n
?f(n)

解题基本步骤：
1、确定
f(n)



2、设等比数列
?
a
n
?
?
1
f(n)
?
，公比为

14 27
2
n
，
a
n?1
?a
n
，求
a
n
。
3
n?1
3n?1
a
n

(n?1)
，求
a
n
。
3n?2

3、列出关系式
a
n?1
?
?
1
f(n?1)?< br>?
2
[a
n
?
?
2
f(n)]



4、比较系数求
?
1
，
?
2



5、解得数列
?
a
n
?
?
1
f(n)
?
的通项公式





6、解得数列
?
a
n
?
的通项公式
例：1. 已 知数列
{a
n
}
中，
a
1
?1,a
n?2a
n?1
?1(n?2)
，求数列
?
a
n
?
的通项公式。



2.（2006，重庆,文,14）在数列
?
a
n
?
中，若
a
1
?1,a
n ?1
?2a
n
?3(n?1)
，则该数列的通项
a
n
?
_______________

*
3.（2006.
< br>福建.理22.本小题满分14分）已知数列
?
a
n
?
满足< br>a
1
?1,a
n?1
?2a
n
?1(n?N).求数列
?
a
n
?
的通
项公式；




n
4.已知数列
{a
n
}
满足
a
n?1
?2a
n
?3?5，a
1
?6
，求数列
?
a
n
?
的通项公式。
15 27

解：设
a
n?1
?x?5




n?1
?2(a
n
?x?5
n
)

n
5. 已知数列
{a
n
}
满足
a
n? 1
?3a
n
?5?2?4，a
1
?1
，求数列
{a
n
}
的通项公式。
解：设
a
n?1
?x?2




n?1
?y?3(a
n
?x?2
n
?y)

6.已知数列
?
a
n
?
中，
a
1
?


5
11
n?1
,
a
n?1?a
n
?()
，求
a
n

6
32
2
7. 已知数列
{a
n
}
满足< br>a
n?1
?2a
n
?3n?4n?5，a
1
?1，求数列
{a
n
}
的通项公式。
22
解：设
a
n?1
?x(n?1)?y(n?1)?z?2(a
n
?xn?yn?z)






n?1
8. 已知数列
{a
n
}
满足
a
n?1
?2a
n
?4?3，a
1
?1
，求数列
?
a
n
?
的 通项公式。

递推公式为
a
n?2
?pa
n?1
?qa
n
（其中p，q均为常数）。
先把原递推公式转化为
a
n? 2
?sa
n?1
?t(a
n?1
?sa
n
)

其中s，t满足
?


16 27
?
s?t?p

?
st??q

9. 已知数列
{a
n
}
满足
a
n?2
? 5a
n?1
?6a
n
,a
1
??1,a
2
?2
，求数列
{a
n
}
的通项公式。










（5）递推公式中既有
S
n

分析：把已知关系通过
a
n
?
?

?
S
1
,n?1
转化为数列
?
a
n
?
或
S
n
的递推关系，然后采用相应的方法求解。
S?S,n?2
n?1
?n
1
S
n
，
n
=1，2，3，……，求
a2
，
a
3
，
a
4
的值
3
1. （2005北京卷）数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
，且
a
1
=1，
a
n?1
?
及数列{< br>a
n
}的通项公式．




*2.（2005山东卷）已知数列
?
a
n
?
的首项
a< br>1
?5,
前
n
项和为
S
n
，且
S< br>n?1
?S
n
?n?5(n?N)
，证明数列
?
a< br>n
?1
?
是等比数列．







17 27

3．已知数列
?
an
?
中，
a
1
?3，
前
n
和
S
n
?
①求证：数列
?
a
n
?
是等差数列
②求数列
?
a
n
?
的通项公式








1
(n?1)(a
n
?1)?1

2
4. 已知 数列
{a
n
}
的各项均为正数，且前n项和
S
n
满 足
S
n
?
列
{a
n
}
的通项公式。









（6）根据条件找
n?1
与
n
项关系
例1.已知数列{a
n
}
中，
a
1
?1,a
n?1
? C?
1
(a
n
?1)(a
n
?2)
，且
a
2
,a
4
,a
9
成等比数列，求数
6
15 1
，若
C?,b
n
?
，求数列
{b
n
}< br>的通项公式
a
n
2a
n
?2
1n?1
a? 1,a?(1?)a?
1n?1n
{a}
n2
n
2.（2009全 国卷Ⅰ理）在数列
n
中，
b
n
?
a
n
n< br>，求数列
{b
n
}
的通项公式 （I）设




18 27

（7）倒数变换法 适用于分式关系的递推公式，分子只有一项
例：1. 已知数列
{a
n
}
满足
a
n?1
?







（8）对无穷递推数列
消项得到第
n?1
与
n
项的关系
例：1. （2004年 全国I第15题，原题是填空题）已知数列
{a
n
}
满足
2a
n
,a
1
?1
，求数列
{a
n
}
的通项 公式。
a
n
?2
a
1
?1，a
n
?a< br>1
?2a
2
?3a
3
?L?(n?1)a
n?1(n?2)
，求
{a
n
}
的通项公式。

2 .设数列
?
a
n
?
满足
a
1
?3a
2
?3
2
a
3
?…?3
n?1
a
n?












（9）、迭代法
3(n?1)2
例：1.已知数列
{a
n
}
满足
a
n?1
?a
n
， a
1
?5
，求数列
{a
n
}
的通项公式。
n
n
，
a?N
*
．求数列
?
a
n
?
的通项；
3
19 27

3(n?1)2
解 ：因为
a
n?1
?a
n
，所以
n
a
n< br>?a
3n?2
n?1
n?1
?[a
]
3(n?1)? 2
n?2
3n?2
n?1
n?2
]?a
3
2
(n?1)?n?2
(n?2)?(n?1)
n?2
?[a
?
L
?a
3(n?2)?2
n?3
3
2
(n ?1)?n?2
(n?2)?(n?1)
n?3
3(n?3)?(n?2)?(n?1 )
3(n?2)(n?1)n?2
?a
n?3

3
n ?1
?2?3
LL
(n?2)?(n?1)?n?2
1?2?
LL< br>?(n?3)?(n?2)?(n?1)
1
n?1
n(n?1)
?n! ?2
2
?a
1
3
又
a
1
?5
，所以数列
{a
n
}
的通项公式为
a
n
?5
（10）、变性转化法
3
n?1
?n!?2
n(n?1)
2
。
1、对数变换法 适用于指数关系的递推公式
n5
例： 已知数列
{a< br>n
}
满足
a
n?1
?2?3?a
n
，
a
1
?7
，求数列
{a
n
}
的通项公式。 n5
解：因为
a
n?1
?2?3?a
n
，a
1
?7
，所以
a
n
?0，a
n?1
?0
。
两边取常用对数得
lga
n?1
?5lga
n
?nlg3? lg2







2、换元法 适用于含根式的递推关系
例： 已知数列
{a
n
}
满足
a
n?1
?
1
(1?4a
n
?1?24a
n
)，a
1
?1
，求数列
{a
n
}
的通项公式。
16
1
2
(b
n
?1)

24
解 ：令
b
n
?1?24a
n
，则
a
n
?






20 27

五、数列求和
1．直接用等差、等比数列的求和公式求和。
?
na(q?1)
S
n(a?a
2
?
n?1)
2
d

S
?
1
1n
)
n(
n
??na
1
n
?
?
a
?
1
(1?q
n
)
?
1?q
(q?1)
公比含字母时一定要讨论
(理)无穷递缩等比数列时，
S?
a
1
1?q

例 ：1.已知等差数列
{a
n
}
满足
a
1
?1,a< br>2
?3
，求前
n
项和
{S
n
}




2. 等差数列{
a
n
}中，
a< br>1
=1,
a
3
+
a
5
=14，其前
n
项和
S
n
=100,则
n
=（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
3.已知等比数列
{a
n
}
满足
a
1
?1,a
2
?3
，求前
n
项和
{S
n
}






4.设
f(n)?2?2
4
?2
7
?2
10
?L?2
3n?10
(n?N)
，则
f(n)
等于（ ）
A.
2
(8
n
?1)
B.
2
(8
n?1
?1)
C.
2
(8< br>n?3
?
D.
2
7
7
1)

7
(8
n?4
7
?1)


2．错位相减 法求和：如：
?
a
n
?
等差,
?
b
n?
等比,求a
1
b
1
?a
2
b
2???a
n
b
n
的和.

例：1．求和
S?1 ?2x?3x
2
?L?nx
n?1
n


2.求 和：
S
1
n
?
a
?
23n
a
2< br>?
a
3
???
a
n


3.设{a
n
}
是等差数列，
{b
n
}
是各项都为正 数的等比数列，且
a
1
?b
1
?1
，
a
3
?b
5
?21
，
a
5
?b
3
?1 3
21 27
（Ⅰ）

求
{a
n
}，
{b
n
}
的通项公式；（Ⅱ）求数列
?
?
a
n
?
?
的前
n
项和
S
n
．
?
b
n
?









3．裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。
常见拆项：
1111111
???(?)

n(n?1)nn?1(2n?1)(2n?1)22n?12n?1

11111111
?(?)?[?]

n(n?2)2nn?2

n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)

n?n!?(n?1)!?n!

n11
i?1ii
C< br>n
??
?1
?C
n
?C
n?1
(n?1)! n!(n?1)!

数列
?
a
n
?是等差数列，数列
?
?
1
?
?
的前
n
项和
?
a
n
a
n?1
?



例：1.数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S< br>n
，若
a
n
?
A．1 B．
1
，则
S
5
等于（ ）
n(n?1)
51
1
C． D．
6630
2.已知数列
{a
n
}
的通项公式为
a
n
?



3.已知数列
{a
n
}
的通项公式为
a
n
?

1
，求前
n
项的和；
n(n?1)
1
n?n?1
，求前
n
项的和．
22 27

4.已知数列
{a
n< br>}
的通项公式为
a
n
＝



5．求
1?






6．已知
a?0,a?1
，数列
?
a
n
?
是首 项为a，公比也为a的等比数列，令
b
n
?a
n
?lga
n
(n?N)
，求数列
?
b
n
?
的前
n项和
S
n
。








4．倒序相加法求和
例：1. 求
S

?3CC?6??…3nC
nnnn






012nn
2.求证：
C
n
?3C
n
? 5C
n
?...?(2n?1)C
n
?(n?1)2

11 1
n?1
??
L
?
，设
T
n
?
， 求
T
n
．
a
1
?a
3
a
2?a
4
a
n
?a
n?2
2
1111
? ????,(n?N
*
)
。
1?21?2?31?2?3?41?2?3???n
12n




23 27

3．设数列
?
a
n
?
是公差为
d
，且首项为
a
0
?d
的等差数列，
01n
求和：
S
n?1
?a
0
C
n
?a
1
C
n
???a
n
C
n





综合练习：
1.设数列
{a
n
}
满足
a
1
?0
且
（1）求
{a
n
}
的通项公式
（2）设
b
n
?








2.等比数列
{a
n
}
的各项均为正数，且
2a
1
?3a
2
?1
，a
3
?9a
2
a
6

（1）求数列
{a
n
}
的通项公式
（2）设
b< br>n
?log
3
1
?log
3
2
?...?l og
3
n
，求数列
{










3.已知等差数列
{a
n}
满足
a
2
?0
,
a
6
?a
8
??10
.
(1)求数列
{a
n
}
的通项公式及
S
n

aa
a
11
??1

1?a
n?1
1?a
n
1?a
n?1
n
,
记
S
n
?< br>?
b
k
，证明：
S
n
?1

k?1
n
2
1
}
的前n项和
b
n
24 27

（2）求数列
{




a
n
}
的前n项和
2
n ?1
4.已知两个等比数列
{a
n
}
，
{b
n}
，满足
a
1
?a(a?0)
，
b
1
?a
1
?1
，
b
2
?a
2
?2
，
b
3
?a
3
?3

（1）若
a?1,
求数列
{a
n
}
的通项公式
（2）若数列
{a
n
}
唯一，求
a
的值




2n?1
5.设数列
{a
n
}满足
a
1
?2
，
a
n?1
?a
n?3?2

（1）求数列
{a
n
}
的通项公式
（2）令
b
n
?na
n
，求数列
{b
n
}
的前n项和
S
n









2
6.已知
a
1
=2，点(
a
n
,a
n+1
)在函数
f
(
x
)=< br>x
+2
x
的图象上，其中=1，2，3，…
（1） 证明数列｛lg(1+
a
n
)｝是等比数列；
（2） 设
T
n
=(1+
a
1
) (1+
a
2
) …(1+
a
n
)，求
T
n
及数列｛
a
n
｝的通项；
（3） 记
b
n
=









25 27
2
11
?
，求｛
b< br>n
｝数列的前项和
S
n
，并证明
S
n
+=1 .
3T
n
?1
a
n
a
n
?2