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教学目标
(1)正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念;
(2)能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件;
(3)培养学生的逻辑思维能力及归纳总结能力;
(4)在充要条件的教学中,培养等价转化思想.
教学
建议
(一)教材分析
1.知识结构
首先给出推断符号“
知识.
2.重点难点分析
本节的重点与难点是关于充要条件的判断.
(1)充分但不必要条件、必要但不充分条件
、充要条件、既不充分也不必要条件是重要的数学概念,
主要用来区分命题的条件
和结论
之间的因果关系.
”,并引出充分条件与必要条件的意义,在此基础上讲述了充要条件的初步
(2)在判断条件
和结论
之间的因果关系中应该:
①首先分清条件是什么,结论是什么;
②然后尝试用条件推结论,再尝试用结论推条件.
推理方法可以是直接证法、间接证法(即反证法),
也可以举反例说明其不成立;
③最后再指出条件是结论的什么条件.
(3)在讨论条件
和条件
的关系时,要注意:
①若
,但
,则
是
的充分但不必要条件;
②若
,但
,则
是
的必要但不充分条件;
③若
,且
,则
是
的充要条件;
④若
,且
,则
是
的充要条件;
⑤若
,且
,则
是
的既不充分也不必要条件.
(4)若条件
以集合
的形式出现,结论
以集合
的形式出现,则借助集合知识,有助于充
要条件的理解和判断.
①若
,则
是
的充分条件;
显然,要使元素
,只需
就够了.类似地还有:
②若
,则
是
的必要条件;
③若
,则
是
的充要条件;
④若
,且
,则
是
的既不必要也不充分条件.
(5)要证明命题的条件是充要条件,就既要证明原
命题成立,又要证明它的逆命题成立.证明原命
题即证明条件的充分性,证明逆命题即证明条件的必要性
.由于原命题
逆否命题,逆命题
当我们证明某一命题有困难时,可以证明该命题的逆否命题成立,从而得出原命题成立.
(二)教法建议
1.学习充分条件、必要条件和充要条件知识,要注意与前面有
关逻辑初步知识内容相联系.充要条
件中的
,
与四种命题中的
,
要求是一样的.它们可以是简单命题,也可以是不能判断真假的
则
”形式的复合命题.
否命题,
语句,也可以是含有逻辑联结词或“若
2.由于这节课概念性
、理论性较强,一般的
教学
使学生感到枯燥乏味,为此,激发学生的学习兴趣
是关键.
教学
中始终要注意以学生为主,让学生在自我思考、相互交流中去结概念“下定义”,去体会概
念的本质属性.
3.由于“充要条件”与命题的真假、命题的条件与结论的相互
关系紧密相关,为此,
教学
时可以从
判断命题的真假入手,来分析命题的条件对于结论
来说,是否充分,从而引入“充分条件”的概念,进而
引入“必要条件”的概念.
4.教材中对“充分条件”、“必要条件”的定义没有作过多的解释说明,为了让学生能理解定义的
合理
性,在
教学
过程中,
教师
可以从一些熟悉的命题的条件与结论之间的关系来认
识“充分条件”的概念,
从互为逆否命题的等价性来引出“必要条件”的概念.
充要条件
教学
目标:
(1)正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念;
(2)能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件;
(3)培养学生的逻辑思维能力及归纳
总结
能力;
(4)在充要条件的
教学
中,培养等价转化思想.
教学
重点难点:关于充要条件的判断
教学
用具:幻灯机或实物投影仪
教学
过程设计
1.复习引入
练习:判断下列命题是真命题还是假命题(用幻灯投影):
(1)若
,则
;
(2)若
,则
;
(3)全等三角形的面积相等;
(4)对角线互相垂直的四边形是菱形;
(5)若
,则
;
(6)若方程
(学生口答,
教师
板书.)
有两个不等的实数解,则
.
(1)、(3)、(6)是真命题,(2)、(4)、(5)是假命题.
置疑:对于命题“若
,则
”,有时是真命题,有时是假命题.如何判断其真假的?
答:看
能不能推出
,如果
能推出
,则原命题是真命题,否则就是假命题.
对于命题“若
,则
”,如果由
经过推理能推出
,也就是说,如果
成立,那么
是
一定
成立.换句话说,只要有条件
件,记作
2.讲授新课
(板书充分条件的定义.)
.
就能充分地保证结论
的成立,这时我们称条件
成立的充分条
一般地,如果已知
,那么我们就说
是
成立的充分条件.
提问:请用充分条件来叙述上述(1)、(3)、(6)的条件与结论之间的关系.
(学生口答)
(1)“
,”是“
”成立的充分条件;
(2)“三角形全等”是“三角形面积相等”成立的充分条件;
(3)“方程
件.
的有两个不等的实数解”是“
”成立的充分条
从另一个角度看,如果
有
,亦即
是
成立,那么其逆否命题
也成立,即如果没有
,也就没
成立的必须要有的条件,也就是必要条件.
(板书必要条件的定义.)
提出问题:用“充分条件”和“必要条件”来叙述上述6个命题.
(学生口答).
(1)因为
,所以
是
的充分条件,
是
的必要条件;
(2)因为
,所以
是
的必要条件,
是
的充分条件;
(3)因为“两三角形全等”
“两三角形面积相等”,所以“两三角形全等”是“两三角形面
积
相等”的充分条件,“两三角形面积相等”是“两三角形全等”的必要条件;
(4)因为“四边形的对角线互相垂直”
“四边形是菱形”,所以“四边形的对角线互相垂直
”
是“四边形是菱形”的必要条件,“四边形是菱形”是“四边形的对角线互相垂直”的充分条件;
(5)因为
,所以
是
的必要条件,
是
的充分条件;
(6)因为“方程
程
的有两个不等的实根”
的有两个不等的实根”
的有两个不等的实根”是“
“
“
”,所以“方程
”,而且“方
”充分条件,而且是必要条件.
总结
:如果
条件,记作
是
.
的充分条件,
又是
的必要条件,则称
是
的充分必要条件,简称充要
(板书充要条件的定义.)
3.巩固新课
例1 (用投影仪投影.)
B
A是B的什
B是
么条件
的什么条
件
是有理数
是实数
、
是奇数
是偶数
是4的倍数
是6的倍数
(学生活动,
教师
引导学生作出下面回答.)
①因为有理数一定是实数,但实数不一定是有理数,所以
要非充分条件;
是
的充分非必要条件,
是
的必
②
一定能推出
,而
不一定推出
,所以
是
的充分非必要条件,
是
的必要非充分条件;
③
、
是奇数,那么
是
一定是偶数;
是
是偶数,
、
不一定都是奇数(可能都为
偶数),所以
的充分非必要条件,
的必要非充分条件;
④
表示
或
,所以
是
成立的必要非充分条件;
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