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高中数学教案选修2-2《1.3.3最大值与最小值》

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-17 12:06
tags:高中数学教案

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教学目标:
1.使学生理解函数的最大值和最小值的概念,掌握可导函数f (x)在闭区间
上所有点(包括端点a,b)处的函数中的最大(或最小)值必有的充分条件;
2.使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤 .

教学重点:
利用导数求函数的最大值和最小值的方法.

教学过程:
一、问题情境
1.问题情境.
函数极值的定义是什么?
2.探究活动.
求函数f(x)的极值的步骤.
二、建构数学
1.函数的最大值和最小值. 观察图中一个定义在闭区间上的函数f(x)的图象.图中f(x
1
)与f(x
3
)是极小值,
f(x
2
)是极大值.函数f(x)在上的最大值是f(b), 最小值是f(x
3
).

一般地,在闭区间上连续的函数f(x)在上必有最大值与最小值.
说明:
(1) 在开区间(a,b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值.如函数
1
f(x)=在(0,+∞)内连续,但没有最大值与最小值;
x
(2)函数的最值是比较整个定义域 内的函数值得出的;函数的极值是比较极


值点附近函数值得出的.
(3)函数 f(x)在闭区间上连续,是f(x)在闭区间上有最大值与最小值的充分
条件而非必要条件.
(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可
能不止一个,也可能没有 一个.
2.利用导数求函数的最值步骤:
由上面函数f(x)的图象可以看出,只要把连续 函数所有的极值与定义区间端
点的函数值进行比较,就可以得出函数的最值了.
设函数f(x)在上连续,在(a,b)内可导,则求f(x)在 上的最大值与最小值的
步骤如下:
(1)求f(x)在(a,b)内的极值;
(2)将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较得出函数f(x)在上的最值.
三、数学运用
例1 求函数f(x)=x
2
-4x+3在区间内的最大值和最小值.
例2 求函数f(x)=
1
x+sinx在区间上的最值.
2
注 在实际问题中, 若函数只有一个极值点,那么只要根据实际意义判定是
最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值比 较.
练习
设f(x)=ax
3
-6ax
2
+b在区间[ -1,2]上的最大值为3,最小值为-29,且
a>b,求a,b的值.
四、回顾小结 < br>(1)函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中:导数等于零的点,导数
不存在的点,区间端 点;
(2)函数f(x)在闭区间上连续,是f(x)在闭区间上有最大值与最小值的充分
条 件而非必要条件;
(3)闭区间上的连续函数一定有最值;开区间(a,b)内的可导函数不一定有< br>最值,若有惟一的极值,则此极值必是函数的最值.
五、课外作业
1.课本第33页第2,3,4题.


2.补充.
求函数y=
1
4
1
3
1
2
x+x+x在区间 上的最值.
432

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