高中数学 基本不等式精品教学设计

《基本不等式》教学设计
教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修5
课题：3.4 基本不等式（第一课时）
课时：1课时
一.教学内容分析
《基本不等式》是高中 教材人教A版必修五第三章第三节的内容，是《不等
式》这一章中继一元二次不等式、简单线性规划之后 ，从几何背景（赵爽的弦图）
中抽离出的基本结论，是证明其他不等式成立的重要依据，也是求解最值问 题的
有力工具之一.就本章的编写而言，教材讲究从直观性上学习，注重每个数学模
型引领数学 思想的教材编排暗线，并且都体现出遵循从几何背景入手，强调数形
结合思想.本节内容在此基本上渗透 不等式的证明方法（比较法、综合法、分析
法），并且会在后续学习选修2-3中推理与证明和选修4- 5中不等式选讲时再次
得到加强.
基本不等式的学时安排是3课时，它涉及基本不等式的推导 教学和求解最值
问题两大部分.本节课是基本不等式教学的第一课时，其主要学习任务是通过赵
爽弦图中面积的直观比较、抽象概括，提炼出不等式
a
2
?b
2
?2 ab(a,b?R)
.在此
基础上，通过演绎替换、证明探究、数形结合及实际应用等四种不同 的角度引导
学生认识基本不等式.其中基本不等式的证明是从代数、几何多方面展开，既有
逻辑 推理，又有直观的几何解释，使学生充分运用数形结合的思想方法，进一步
培养其抽象概括能力和推理论 证能力.这就使得不等式的证明成为本节课的核心
内容.
因此，我认为本节课的教学重点为： 应用数形结合的思想理解基本不等式，
并从不同角度探索基本不等式的证明过程.
二．教学目标设置
《课程标准》对本节课的要求有以下两条：①探索并了解基本不等式的证明
过程；②会用基本不等式解决简单的最值问题.根据《课标》要求和本节教学内
容，并考虑学生 的接受能力，我将本节课的教学目标确定为：
（1）通过观察图形，抽象出基本不等式，培养学生的抽象概括能力和逻辑
推理能力；
（2）让学生经历基本不等式的证明过程，理解基本不等式的几何背景，体
会数形结合的数学思想.
（3）通过运用基本不等式解决简单的最大（小）值问题，加深学生对基本
不等式的理解，认识 数学的对称性与完整性.

1

三．学生学情分析
学生在 此之前已经具备了平面几何的基本知识，掌握了不等式的基本性质和
比较法证明不等式.同时，高二学生 具备了良好的图形分析能力、抽象概况能力
以及一定层次上的交流沟通能力.这些都为学习本节内容奠定 了基础.
在学习本节课前尽管学生已经学习了函数的最值问题以及不等式的性质和
解法，但对 于用不等式模型来解决问题及基本不等式的各种几何背景学生还是有
一些困难，一时很难接受；从重要不 等式到基本不等式的简洁结构使得变量范围
是从全体实数变化为正实数，很不好理解；对于变量存在和或 者积为定值也需仔
细观察，在整体的变化过程中取最值是整体与局部的数学思想容易忽视.另外，
教材中提出探究基本不等式的几何解释需要学生具备良好的逻辑推理能力，而且
图形中线段间的关系也 比较隐蔽，不易被发现.因此，我以为本节课的教学难点
为：从不同角度探索基本不等式的证明，能利用 基本不等式的模型求解函数最
值.
四．教学策略分析
本节课采用探究式课堂教学模 式，即在教学过程中，在教师的引导下，以学
生的自主探究与合作交流为前提，以问题为导向设计教学情 境，以“基本不等式
的发现与证明”为基本研究内容，为学生提供自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步提高学生发现问题、
探索问题、解决问题 的能力.
五、教学过程设计
1.创设情境
【课前预习】赵爽利用弦图证明勾股定理的过程.
（请学生在学案上课前完成：
S
大正方形
?4S
直角三角形
?S
小正方形
< br>1
2
?c
2
?4?ab?
?
a?b
?
?a
2
?b
2
.）
2
【引言】右图是在北京召开的第24届国际
数学家大会的会标，会标是根据我国古 代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗
使它看上去像个风车，代表了中国人民的友好好客.
【思考1】赵爽利用弦图最先完成了勾股定理的证明，你还记得这个证明过
程吗？
（请学生表述推导过程，教师课件展示.）
【过渡】在弦图中，由面积间的相等关系，得到了 勾股定理这一经典等式.
然而，相对关系与不等关系是相对存在的.在弦图中存在着怎样的不等关系呢？

2

【思考2】观察变化的弦图，你能在图中找出面积
间的不等关系吗？
（教师利用几何画板改变弦图中两直角边的长度，展示
运动变化的弦图，请学生观察并归纳：
生1：
S
大正方形
?4S
直角三角形
，得
a
2
?b
2
?2ab
；
生2：
S
小正方形
?0
，得
?
a?b
?
?0
.）
2
a< br>b
【设计意图】介绍国际数学家大会以及赵爽的相关背景，体现数学的文化
价值，渗透爱 国主义教育.课前完成利用弦图证明勾股定理的过程，一方面展现
了赵爽证明的构图巧妙、精致，是数与 形的完美统一，让学生对弦图的认识清
晰、完整；另一方面为提出弦图中面积间的不等关系做铺垫，体会 相对关系与
不等关系的辩证统一.同时，通过运动变化将直观的面积关系转化为隐含的数值
关系 .
【归纳】对于两直角边
a、b
，有
a
2
?b
2
?2ab
.
【思考3】上式中何时等号成立？
(请学生说明：当
a?b
时,
a
2
?b
2
?2ab
；当
a?b
，
a
2
?b
2
?2 ab
.教师归纳:
当且仅当
a?b
时，等号成立.)
【探究1】上 式对正实数是成立的，那么对任意实数
a、b
，上式都成立吗？
请证明自己的结论.
（请学生自主探究完成证明，学生比较自然的想到用“比较法”证明.教师
利用投影仪展示学生 的完整证明过程.强调
a?b
和
a?b
两种情况，说明“当且
仅当” 的含义.）
【归纳】由图形中面积间的不等关系，我们发现了两实数间的这一事实：对
任意实 数
a、b
，有
a
2
?b
2
?2ab
，当且 仅当
a?b
时，等号成立.
【设计意图】思考2请学生讨论等号成立的条件，了解“ 当且仅当”的含
义，由于此时学生还没有学习简易逻辑的相关知识，无需从“充分必要条件”
的 角度加以说明.探究1给学生提供思维发展的空间，让学生从对知识的直观感
知上升到理性证明，既体现 了数学知识发生发展的过程及其严谨性，又巩固了
证明不等式的基本方法，为后续证明基本不等式做铺垫 .在此过程中给学生提供
了一种研究思路：由图形中的不等关系可以获得相应实数间的一些不等式，渗< br>透数形结合思想.
2.基本不等式

a?b
?ab(a?0,b?0)

2
3

【过渡】实际上，在不同的图形中上述不等式有不同的体现，我们再看这样
一个情境.
【探究 2】如图，取正方形对角线上任意一点，分
别作正方形两邻边的垂线，切分出两个正方形和两个矩
形，设切分出的两正方形边长分别为
a、b
，问：切分出
的两正方形面积和与两矩形 面积和的大小关系？
（请学生自主探究完成，并说明：
生1：
S
1
?S
2
?a
2
?b
2
，
S
3
? S
4
?2ab
，由不等式
a
2
?b
2
?2ab

a
S
1
S
4
S
3
b
S
2
得： S
1?S
2
?S
3
?S
4
，当且仅当
a?b
时，等号 成立.
生2：由正方形的对称性，将切分出的两矩形及较小的正方形分别向较大的
正方形翻折，并没有将较大的正方形完全覆盖，故：
S
1
?S
2
?S
3
?S
4
）
【引申】若设切分出的两正方形的面积分别为
a、b
, 根
据上述不等关系，又可以得到怎样的不等式呢？
(请学生说明：若两正方形的面积分别为< br>a、b
，则其边长
分别为
a、b
，得：
a?b?2ab
?
a?0,b?0
?

当且仅当
a=b
时，等号成立.)
【归纳】由图形中面积间的不等关系，我们又可以得到不等式
a?b?2a?b
?< br>a?0,b?0
?
，当且仅当
a=b
时，等号成立.
ab
【设计意图】从学生比较熟悉的图形背景中再一次认识不等式
a
2
?b
2
?2ab，既可以根据已知的不等式探究图形中面积间的不等关系，又可以
运用“割 补法”在图形中体现不等式
a
2
?b
2
?2ab
.进而提出 引申问题，自然地
由不等式
a
2
?b
2
?2ab
过 渡到
a?b?2ab
?
a?0,b?0
?
，为基本不等式的产生构< br>造几何背景，并在图形中揭示不等式
a
2
?b
2
?2ab与不等式
a?b?2ab
?
a?0,b?0
?
的内在联系. < br>【思考4】回顾不等式
a?b?2ab
?
a?0,b?0
?
（ ①）的生成过程中，你发

4

现它与不等式
a
2< br>?b
2
?2ab
（②）有怎样的联系呢？
（请学生说明：
a
2
?b
2
?2ab
?a
2
?b
2
?2ab?4ab
生1：
2
?
?
a?b
?
?4 ab,a?0,b?0
?a?b?2ab
生2：因为
a?0,b?0
，在②式 中用
a
代替
a
，
b
代替
b
即得①式. < br>生3：在②式中用
a
代替
a
2
，
b
代替b
2
即得①式.）
【设计意图】激发学生的思维，使其从多角度发现不等式a
2
?b
2
?2ab
与不
等式
a?b?2ab
?
a?0,b?0
?
的内在联系，认识到它们是对同一个事实的两种不
同描述，其本质是一致的.同时也能促进学生形成对学习进行反思的意识与习
惯.
a?b< br>?ab(a?0,b?0)
，称为基本不等式，
2
本节课我们就来研究基本不等 式.（引入课题并板书）
【说明】通常我们把上式写作
【思考5】你能否证明基本不等式？
（请学生思考完成.
a?b1
?ab?
22
生1：（比较法）a?b
??ab
2
?
a?b
?
2
?0

当且仅当
a?b
时，等号成立；
a?b?0
生2：（综合法）
?a?b?2ab
当且仅当
a?b
时，等号成立;
??
2

5