人教版高中数学《不等式》全套教案

2?当
x?y?s
(定值)时，
xy?
s1
∴
xy?s
2

24
1
2
s

4
∵上式当
x?y
时取“=” ∴当
x?y
时有
(xy)
max
?
注意强调：1?最值的含义（“
≥
”取最小值，“
≤”取最大值）
2?用极值定理求最值的三个必要条件：
一“正”、二“定”、三“相等”
五、例题
1．证明下列各题：
⑴
lgx?log
x
10?2

(x?1)

证：∵
x?1
∴
lgx?0

log
x
10?0

于是
lgx?log
x
10?2lgxlg
x
10?2

⑵若上题改成
0?x?1
，结果将如何？
解：∵
0?x?1

lgx?0

log
x
10?0

于是
(?lgx)?(?log
x
10)?2

从而
lgx?log
x
10??2

⑶若
a?b?1
则
ab?
1

4
1

4
1

4
解：若
a,b? R
?
则显然有
0?ab?
若
a,b
异号或一个为0则
ab?0
∴
ab?
2．①求函数
y?x
2
(1? x)
的最大值
(0?x?1)

②求函数
y?x(1?x
2
)
的最大值
(0?x?1)

解：①∵
0?x?1
∴
1?x?0
∴当
x2
?1?x
即
x?
时
23
xx
??1?x
24
xx4
22
< br>y?4??(1?x)?4?(
即
x?
时
y
max
?

)
3
?
327
22327

②∵< br>0?x?1
∴
0?1?x
2
?1

∴
y
2
?x
2
(1?x
2
)
2
?
1
?2x
2
?(1?x
2
)(1?x
2
)

2
12x
2
?(1?x
2
)?(1?x
2
)
3
4
?()?

2327
22
∴当
2x?1?x,x?
3
23
4
时
y
2
max
?

y
max
?

3
9
27
3．若
x??1
，则
x
为何值时
x?
1
有最小值，最小值为几？
x?1
1
?0

x?1
解：∵
x??1
∴
x?1?0

∴< br>x?
11
1
x?1??1?2(x?1)??1?2?1?1
=
x?1x?1
x?1
11
)
min
?1
即
x?0
时
(x?
x?1x?1
当且仅当
x?1?
六、小结：1．四大平均值之间的关系及其证明
2．极值定理及三要素
七、作业：P12 练习3、4 习题6.2 4、5、6
补充：下列函数中
x
取何值时，函数取得最大值或最小值，最值是多少？
1?
y?x(2?3x)

x?
11
时
y
max
?

33
2?
y?1?4x?
1

x?1,y
min
??2

5?4x
6
3
,y
min
?1?6

x??
2
x
3?
x?0
时
y?1?2x?
第五教时
教材：极值定理的应用
目的：要求学生更熟悉基本不等式和极值定理，从而更熟练地处理一些最值问题。
过程：
八、复习：基本不等式、极值定理

3
九、例题：1．求函数
y?2x
2
?,(x?0)
的最大值，下列解法是否正确？为什
x
么 ？
2
解一：
y?2x?
31112
?2x
2
? ??3
3
2x
2
???3
3
4

xxxxx
∴
y
min
?3
3
4

3
3
12
3
2
3
2
解二：
y?2x?? 22x??26x
当
2x?
即
x?
时
xx
2
x
2
3

y
min< br>?26?
12
?23
3
12?2
6
324

2
答：以上两种解法均有错误。解一错在取不到“=”，即不存在
x
使得2x
2
?
12
?
；解二错在
26x
不是定值（ 常数）
xx
2
正确的解法是：
y?2x?
3333393
?2x
2
???3
3
2x
2
???3
3
?
3
36

x2x2x2x2x22
3
6
33
当且仅当
2x?
即
x?
时
y
min
?
3
36

2
2x2
2
x
2
?2x?2
2．若
?4?x?1
，求的最值
2x?2
x
2
?2x? 21(x?1)
2
?11111
???[(x?1)?]??[?(x?1)?] 解：
2x?22x?12x?12?(x?1)
∵
?4?x?1
∴
?(x?1)?0

1
?0

?(x?1)
从而
[?(x?1)?
111
]?2

?[?(x?1)?]??1

?(x?1)2?(x?1)
x
2< br>?2x?2
)
min
??1
即
(
2x?2
y
2
?1
，求
x1?y
2
的最大值 3．设
x?R
且
x?
2
?
2

1y
2
解： ∵
x?0
∴
x1?y?2?x(?)

22
22< br>1y
2
y
2
13
2
又
x?(?)?(x?) ??

22222
2
1332
2
∴
x1?y?2(?)?

224
2
即
(x1?y)
max
?
32

4
4．已知
a,b,x,y?R
?
且
ab
??1< br>，求
x?y
的最小值
xy
abayxb
?
解：x?y
?(x?y)?1?(x?y)(?)?a?b?

xyxy

?a?b?2
ayxb
x
?
即
?
xy
y< br>ayxb
??(a?b)
2

xy
当且仅当
a
2
时
(x?y)
min
?(a?b)

b
十、关于应用题
1．P11例（即本章开头提出的问题）（略）
2．将 一块边长为
a
的正方形铁皮，剪去四个角（四个全等的正方形），作成
一个无盖的铁盒 ，要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最大
容积是多少？
解：设剪去的小正方形的边长为
x

a
2
则其容积为
V?x(a?2x),(0?x?)

2
V?
1
?4x?(a?2x)?(a?2x)

4
14x?(a?2x)?(a?2x)
3
2a
3
?[]?

4327
当且仅当
4x?a?2x
即
x?
a
时取“=”
6

a
2a
3
即当剪去的小正方形的边长为时，铁盒的 容积为
6
27
十一、 作业：P12 练习4 习题6.2 7
补充：
1．求下列函数的最值：
4
1?
y?2x
2
?,(x?R
?
)
(min=6) < br>x
a
2a
3
2?
y?x(a?2x),(0?x?)
(
max?
)
2
27
2
2．1?
x?0
时求
y?
669
?3x
2
的最小值，
y?< br>2
?3x
的最小值
(9,
3
4)

x2
x
1x
?log
3
(3x)
的最大值(5) 2?设
x?[,27]
，求
y?log
3
927
3?若0?x?1
, 求
y?x
4
(1?x
2
)
的最 大值
(
423
,x?)

273
4?若
x,y?R
?
且
2x?y?1
，求
11
?
的最小值
( 3?22)

xy
3．若
a?b?0
，求证：
a?
1
的最小值为3
b(a?b)
4．制作一个容积为
16
?
m
3
的圆柱形容器(有底有盖)，问圆柱底半径和
高各取多少时，用料最省？（不计加工时的损耗及接缝用料）
(R?2m,h?4m)

第六教时
教材：不等式证明一（比较法）
目的：以不等式的等价命题为依据，揭示 不等式的常用证明方法之一——比较法，
要求学生能教熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。
过程：
一、复习：
1．不等式的一个等价命题
2．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断——结论

二、作差法：（P13—14）
1． 求证：x
2
+ 3 > 3x
3333
证：∵(x
2
+ 3) ? 3x = x
2
?3x?()
2
?()
2
?3?(x?)
2
??0

2224
∴x
2
+ 3 > 3x
2． 已知a, b, m都是正数，并且a < b，求证：
a?ma
?

b?mb
证：
a?mab(a?m)?a(b?m)m(b?a)

???
b?mbb(b?m)b(b?m)
∵a,b,m都是正数，并且a 0 , b ? a > 0
∴
a?ma
m(b?a)
?

?0
即：
b?mb
b(b?m)
变式：若a > b，结果会怎样？若没有“a < b”这个条件，应如何判断？
3． 已知a, b都是正数，并且a ? b，求证：a
5
+ b
5
> a
2
b
3
+ a
3
b
2

证：(a
5
+ b
5
) ? (a
2
b
3
+ a
3
b
2
) = ( a
5
? a
3
b
2
) + (b
5
? a
2
b
3
)
= a
3
(a
2
? b
2
) ? b
3
(a
2
? b
2
) = (a
2
? b
2
) (a
3
? b
3
)
= (a + b)(a ? b)
2
(a
2
+ ab + b
2
)
∵a, b都是正数，∴a + b, a
2
+ ab + b
2
> 0
又∵a ? b，∴(a ? b)
2
> 0 ∴(a + b)(a ? b)
2
(a
2
+ ab + b
2
) > 0
即：a
5
+ b
5
> a
2
b
3
+ a
3
b
2

4． 甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m
行走，另一半时间以速度n行走；有 一半路程乙以速度m行走，另一
半路程以速度n行走，如果m ? n，问：甲乙两人谁先到达指定地点？
解：设从出发地到指定地点的路程为S，
甲乙两人走完全程所需时间分别是t
1
, t
2
，
则：< br>t
1
t
m?
1
n?S,
22
SS
? ?t
2
2m2n
可得：
t
1
?
2SS(m?n)
,t
2
?

m?n2mn
2SS(m?n)S[4mn?(m?n)
2
]S(m?n)< br>2
????
∴
t
1
?t
2
?

m?n2mn2(m?n)mn2mn(m?n)
∵S, m, n都是正数，且m ? n，∴t
1
? t
2
< 0 即：t
1
< t
2
从而：甲先到到达指定地点。

变式：若m = n，结果会怎样？
三、作商法
5． 设a, b ? R，求证：
ab?(ab)
证：作商：
+
ab
a?b
2
?a
b
b
a

a?b
2
a
a< br>b
b
(ab)
a?b
2
?a
a?b
2
b
b?a
2
a
?()
b

a
当a = b时，
()
b
a?b
2
?1

a?ba
?0,()
2b
a?b
2
a
当a > b > 0时，
?1,
b
?1

a?b
2
a
当b > a > 0时，
0??1,
b
a?ba
?0,()
2b
?1

∴
ab?(ab)
四、小结：作差、作商
五、作业： P15 练习
ab
a?b
2
（其余部分布置作业）
作商法步骤与作差法同，不过最后是与1比较。
P18 习题6.3 1—4

第七教时
教材：不等式证明二（比较法、综合法）
目的：加强比商法的训练，以期达到熟练技巧，同时要求学生初步掌握用综合法
证明不等式。
过程：
二、比较法：
a) 复习：比较法，依据、步骤
比商法，依据、步骤、适用题型
b) 例一、证明：
y?2
x
2
? 4x?3
在
[2,??)
是增函数。
x
1
2
?4 x
1
?3
y
1
2
x
2
2
?4x< br>2
?x
1
2
?4x
1
?
2
?2?2
(x
2
?x
1
)(x
1
?x
2
? 4)
证：设2
≤
x
1
2
, 则
y
2
2
x
2
?4x
2
?3
∵x
2< br> ? x
1
> 0, x
1
+ x
2
? 4 > 0 ∴
x
又∵y
1
> 0， ∴y
1
> y
2
∴
y?2
2
y
1
?2
0
?1

y
2
?4x?3
在
[2,??)
是增函数

三、综合法：
定义：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所 要证明的
不等式，这个证明方法叫综合法。
i. 已知a, b, c是不全相等的正数，
求证：a(b
2
+ c
2
) + b(c
2
+ a
2
) + c(a
2
+ b
2
) > 6abc
证：∵b
2
+ c
2

≥
2bc , a > 0 , ∴a(b
2
+ c
2
)
≥
2abc
同理：b(c
2
+ a
2
)
≥
2abc , c(a
2
+ b
2
)
≥
2abc
∴a(b
2
+ c
2
) + b(c
2
+ a
2
) + c(a
2
+ b
2
)
≥
6abc
当且仅当b=c,c=a,a=b时取等号，而a, b, c是不全相等的正数
∴a(b
2
+ c
2
) + b(c
2
+ a
2
) + c(a
2
+ b
2
) > 6abc
ii. 设a, b, c ? R，
22
1?求证：
a?b?
2
(a?b)

2
2?求证：
a
2
?b
2
?b
2
?c
2< br>?c
2
?a
2
?2(a?b?c)

3?若a + b = 1, 求证：
a?
11
?b??2

22
a2
?b
2
a?b
2
a
2
?b
2
a?ba?b
?()?0
∴ 证：1?∵
?||?
22
222
22
∴
a?b?
2
(a?b)

2
2
(b?c)
，
2
c
2
?a
2
?
2
(c?a)

2
22
2?同理：
b?c?
三式相加：
a
2
?b
2
?b
2
?c
2
?c
2
?a
2
?2(a?b?c)

3?由幂平均不等式：
111
(a?? b?)?
222
11
(a?)?(b?)
22
?
2
(a?b?1)
?
2
2
?1

2
∴
a?
11
?b??2

22
iii.
111
(a?b?c)(??)?9
a , b, c?R, 求证：1?
abc

2?
(a?b?c)(
1119
??)?

a?bb?cc?a2
3?
abc3
???

b?cc?aa?b2
a?b?c?3
3
abc
, 证：1?法一：
1111
???3
3
, 两式相乘即得。
abcabc
法二：左
?
a?b?ca?b?ca?b? cba
a
?
b
?
c
?3?(
a
?
b
)?(
c
a
?
a
c
)?(
cb
b
?
c
)


≥
3 + 2 + 2 + 2 = 9
2?∵
a?b
2
?
b?c
2
?
c?a
2
?
3
3
2
(a?b)(b?c)(c?a)


1
a?b
?
1
b?c
?
1
c?a
?3
3
1
( a?b)(b?c)(c?a)

两式相乘即得
3?由上题：
(a? b?c)(
1
a?b
?
119
b?c
?
c?a)?
2

∴
1?
c
a?b
?1?
a< br>b?c
?1?
b9
c?a
?
2

即：
abc
b?c
?
c?a
?
a?b
?
3
2

三、小结：综合法
四、作业： P15—16 练习 1，2
P18 习题6.3 1，2，3








边

补充：
a
2
2
b
2
2
+
1．已知a, b?R且a ? b，求证：
()?()?a
2
?b
2
（取差）
ba
sin
2．
设??R，x, y?R，求证：
x
2< br>1111
?
?y
cos
2
?
?x?y
（取商 ）

a?b
3
a
3
?b
3
)?
3．
已知a, b?R，求证：
(

22
+
22
证：∵a, b?R
+
∴
(a?b)
2
?0
∴
a?ab?b?ab

∴
a
3
?b
3
? (a?b)(a
2
?ab?b
2
)?ab(a?b)

∴
3(a
3
?b
3
)?3ab(a?b)

∴
4(a
3
?b
3
)?a
3
?3ab(a?b) ?b
3
?(a?b)
3

a?b
3
a
3< br>?b
3
)?
∴
(

22
4．
设a>0, b>0，且a + b = 1，求证：
(a?
1
2
1 25
)?(b?)
2
?

ab2

证：∵
ab?
a?b111
?
∴
ab?
∴
?4

224ab
22
11< br>?
11
???
a??b?
?
1??
???
1 1
ab
?
?2
?
ab
?
∴
(a ?)
2
?(b?)
2
?2
?
ab22
????????
????
a?b
?
1
???
2
?1?
??
1?
?
1?425
??
abab
?< br>?2
??
?2
?
?2
?

?
?22
???
2
?
?
2
?
????
?? ??
22
第八教时
教材：不等式证明三（分析法）
目的：要求学生学会用分析法证明不等式。
过程：
一、介绍“分析法”：从求证的 不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条
件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题 。
二、
例一、求证：
3?7?25

证： ∵
3?7?0,25?0
综合法：
22
只需证明：
(3?7)?(25)
∵21 < 25
展开得：
10?221?20
∴
21?5

即：
221?10
∴
221?10

∴
21?5
∴
10?221?20

22
即： 21 < 25（显然成立） ∴
(3?7)?(25)

∴
3?7?25
∴
3?7?25

例二、设x > 0，y > 0，证明不等式：
(x?y)?(x?y)

证一：（分析法）所证不等式即：
(x
2
?y
2
)
3
?(x
3
?y
3
)
2

即：
x
6
?y
6
?3x
2
y
2
(x
2
?y
2
)?x
6
?y
6
?2x
3
y
3

即：
3x
2
y
2
(x
2
?y
2
) ?2x
3
y
3

22
1
2
3
1
3
3

只需证：
x
2
?y
2
?
2
xy

3
∵
x
2
?y
2
?2xy?1
2
2
xy
成立
3
1
3
3
∴
(x
2
?y
2
)?(x
3
?y)
< br>证二：（综合法）∵
(x
2
?y
2
)
3
?x
6
?y
6
?3x
2
y
2
(x
2< br>?y
2
)?x
6
?y
6
?6x
3
y
3


?x
6
?y
6
?2x
3
y
3
?(x
3
?y
3
)
2

∵x > 0，y > 0， ∴
(x
2
?y
2
)?(x
3
?y)

例三、已知：a + b + c = 0，求证：ab + bc + ca
≤
0
证一：（综合法）∵a + b + c = 0 ∴(a + b + c)
2
= 0
a
2
?b
2
?c
2
展开得：
ab?bc?ca??

2
1
2
1
3
3
∴ab + bc + ca
≤
0
证二：（分析法）要证ab + bc + ca
≤
0 ∵a + b + c = 0
故只需证 ab + bc + ca
≤
(a + b + c)
2

即证：
a
2
?b
2
?c< br>2
?ab?bc?ca?0

1
222
即：
[(a?b)?(b?c)?(c?a)]?0
（显然）
2
∴原式成立
证三：∵a + b + c = 0 ∴? c = a + b
∴ab + bc + ca = ab + (a + b)c = ab ? (a + b)
2
= ?a
2
?b
2
?ab
b
2
3b
2
]?0
=
?[(a?)?
24
例四、（课本例）证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指
横截面）的周长 相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水
管流量大。
l
?
l
?
证：设截面周长为l，则周长为l的圆的半径为，截面积为
?
??
，
2?< br>?
2?
?
l
?
l
?
周长为l的正方形边长为 ，截面积为
??

4
?
4
?
2
2
?
l
??
l
?
问题只需证：
?
??
>
??

?
2?
? ?
4
?
22

?l
2
l
2
即 证：
2
>
16
4?
两边同乘
411
?
，得：
2
?4
l
因此只需证：4 > ? （显然成立）
?
l
??
l
?
∴
?
??
>
??
也可用比较法（取商）证，也不困难。
?
2?
??
4
?
三、
作业： P18 练习 1—3 及 习题6.3 余下部分

22
补充作业：
?
1．已知0 < ? < ?，证明：
2sin2??cot

2
略证：只需证：
4sin?cos??
1?cos?
∵0 < ? < ? ∴sin? > 0
sin?
故只需证：
4sin
2
?cos??1?cos?

即证：
4(1?cos?)(1?cos?)cos??1?cos?
∵1 + cos? > 0
只需证：
4(1?cos?)cos??1

即只需证：
4cos
2
??4cos??1?0

即：
(2cos??1)
2
?0
（成立）
2．
已知a > b > 0，?为锐角，求证：
asec??btan??a
2
?b
2
略证：只需证：
(asec??btan?)
2
?a
2
?b2

即：
a
2
tan
2
??b< br>2
sec?
2
?2abtan?sec??(atan??bsec?)
2
?0
（成
立）

3．
设a, b, c是的△AB C三边，S是三角形的面积，求证：
c
2
?a
2
?b
2?4ab?43S

略证：正弦、余弦定理代入得：
?2abcosC?4ab?23absinC

即证：
2?cosC?23sinC

即：
3sinC?cosC?2

?
即证：
sin(C?)?1
（成立）

6
第九教时
教材：不等式证明四（换元法）
目的：增强学生“换元”思想，能较熟练地利用换元手段解决某些不等式证明问
题。
过程：
四、提出课题：（换元法）
五、
三角换元：

例一、求证：
?
11
?x1?x
2
?

22
2
证一：（综合法）
?
x?(1?x)
?
1
2222
?
∵
|x1?x|?|x|1?x?x(1?x)?
?
?
22
??
即：
|x1?x
2
|?
111
∴
??x1?x
2
?

222
22
证二：（换元法） ∵
?1?x?1
∴令 x = cos? , ??[0, ?]
2
则
x1?x?cos?sin??
1
sin2?

2
11
?x1?x
2
?

22
∵
?1?sin??1
∴
?
例二、已知x > 0 , y > 0，2x + y = 1，求证：
11
??3?22

xy
?
11
?
11
2xy
??3?22

?
证一：
?
即：
?(2x?y)?3???3?22
?< br>xy
?
xy
yx
??
证二：由x > 0 , y > 0，2x + y = 1，可设
x?
1
2
sin?,
2
y ?cos
2
?

则
1121
22
????2(1?cot?)?(1?tan?)

22
xy
sin?cos?
?3?(2cot
2
??tan
2
?)?3?22

22
例三：若
x
2
?y
2
?1
，求证：
|x?2xy?y|?2

证：设
x?rsin?,y?rcos?,(0?r?1)
，
则|x
2
?2xy?y
2
|?|r
2
cos
2< br>??2r
2
cos?sin??r
2
sin
2
?|< br>
?
??
?r
2
|cos2??sin2?|?2r
2
cos
?
2??
?
?2r
2
?2

4
??
例四：若x > 1，y > 1，求证：
xy?1?(x?1)(y?1)

证：设
x?sec2
?,
?
y?sec
2
?,(0??,??)

2
则
1?(x?1)(y?1)?1?tan?tan??
co s(???)1
??xy

cos?cos?cos?cos?
例五：已知：a > 1, b > 0 , a ? b = 1，求证：
0?
1
?
1
??
1
?
?a ???b???1

????
a
?
a
??
b
?
证：∵a > 1, b > 0 , a ? b = 1 ∴不妨设
?
a?sec
2
?,b?tan
2
?,(0???)

2
1
?
1
??
1
?
1
?
1
??
1
?
则
?a???b???sec??tan??
????

??? ?
2
a
?
sec?
??
tan?
?
a??
b
?
sec?
?
1tan
2
?sec2
?
??sin?

?
2
sec?
sec?tan?
∵
0???
?
1
?
1
??
1
?
, ∴0 < sin? < 1 ∴
0??a???b???1

????
2
a
?
a
??
b
?
???
)或x = sin
2
? (
????
)。
222
小结：若0
≤
x
≤
1，则可令x = sin? (
0???
若
x
2
?y
2
?1
，则可令x = cos? , y = sin? (
0???2?
)。
若
x
2
?y
2
?1
，则可令x = sec?, y = tan? (
0???2?
)。
若x
≥
1，则可令x = sec? (
0???
?
)。
2
若x?R，则可令x = tan? (
?
??
???
)。
22

六、代数换元：
2
例六：证明：若a > 0，则
a?
11
?2?a??2

a
a
2
证：设
x?a?
1
,
a
y?a
2
?
21
,(a?0,x?2,y?2)

2
a
2
1
?
?
2
1
?
?
22
a?
2
??2
则
x?y?
?
a?
?
?
?
??
a
a
??
??
x?y?a?
11
?a
2< br>?
2
?2?2
（ 当a = 1时取“=” ）
a
a
x
2
?y
2
2
??2?2
∴
x?y?
x?y
2?2
即
y?2?x?2
∴原式成立
七、小结：
还有诸如“均值换元”“设差换元”的方法，有兴趣的课后还可进一步学
习。
八、
作业：

1．若
a
2
?b
2
?1
，求证：
asinx?bcosx?1

2．
若|a| < 1，|b| <1，则
|ab?(1?a)(1?b)|?1

3．
若|x|
≤
1，求证：
(1?x)?(1?x)?2

4．
若a > 1, b > 0 , a ? b = 1，求证：
0?
nnn
22
1
?
1
??
1
?
?a???b???1

????
a
?
a
??
b
?
5．
求证：
0?1?x?x?1

6．
已知|a|
≤
1，|b|
≤
1，求证：
|a1?b
2
?b1?a
2
|?1

第十教时
教材：不等式证明五（放缩法、反证法）
目的：要求学生掌握放缩法和反证法证明不等式。
过程：
九、简要回顾已经学习过的几种不等式证明的方法
提出课题：放缩法与反证法
十、
放缩法：

例
1?
一、若a, b, c, d?R
+
，求证：
abcd
????2

a?b?db?c?ac?d?bd?a?c
证：记m =
abcd
???

a?b?db?c?ac?d?bd?a?c
∵a, b, c, d?R
+

∴
m?
abcd
????1

a?b?c?da?b?c?ac?d ?a?bd?a?b?c
abcd
????2

a?ba?bc?dd?c

m?
∴1 < m < 2 即原式成立
例二、当 n > 2 时，求证：
log
n
(n?1)log
n
(n?1)?1

证：∵n > 2 ∴
log
n
(n?1)?0,log
n
(n?1)?0

∴
?
log
n
(n?1)
?
?
log(n?1)?log
n
(n?1)
?
log
n
(n ?1)log
n
(n?1)?
?
n
?
??

?
22
??
??
?
log
n
n
2
?

?
??
?1

?
2
?
2
2
2
2
∴n > 2时,
log
n
(n?1)log
n
(n?1)?1

例三、求证：
1111
???
?
??2

2222
123n
证：
1111
???

n
2
n(n?1)n?1n
∴
1111111111< br>???
?
??1?1????
?
???2??2

2222
223n?1nn
123n
十一、 反证法：
例四、设0 < a, b, c < 1，求证：(1 ? a)b, (1 ? b)c, (1 ? c)a,不可能同时大于
111
, (1 ? b)c >, (1 ? c)a >,
444
1

4
证：设(1 ? a)b >

则三式相乘：ab < (1 ? a)b
?
(1 ? b)c
?
(1 ? c)a <
1
①
64
2
1
?
(1?a)?a
?
?
又∵0 < a, b, c < 1 ∴
0?(1?a)a?
?

?
24
??
同理：
(1?b)b?
11
,
(1?c)c?

44
1
与①矛盾
64
以上三式相乘： (1 ? a)a
?
(1 ? b)b
?
(1 ? c)c
≤
∴原式成立
例五、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证：a, b, c > 0
证：设a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0
又由a + b + c > 0, 则b + c = ?a > 0
∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 与题设矛盾
又：若a = 0，则与abc > 0矛盾， ∴必有a > 0
同理可证：b > 0, c > 0
十二、
作业：证明下列不等式：

1．
设x > 0, y > 0,
a?
x?yxy
?
,
b?
，求证：a < b

1?x?y1?x1?y
放缩法：
x?yxyxy
????

1?x?y1?x?y1?x?y1?x1?y
2．
lg9
?
lg11 < 1

?
lg9?lg11
??
lg99
??
2
?

lg9?lg11?
??
?
??
?
??
?1

2
???
2
??
2
?
3．
log
n
(n?1)log
n
(n?1)?1

2 22
?
log
n
(n
2
?1)
??
log
n
n
2
?

log
n
(n?1)lo g
n
(n?1)?
??
?
??
?1

22
????
22
4．若a > b > c, 则
114
???0

a?bb?cc?a
2
??
1 1124
??
??2?2?

?
(a?b)?(b?c)?
a?bb?c(a?b)(b?c)a?c
??
1111
?
? ??
?
??1(n?R,n?2)
5．
2
nn?1n?2
n

11111n
2
?n
?1
左边
??2
?
2
?
?
?
2
??
n
n< br>n
nnn
2
6．
1111
???
?
??1< br>
2n?1n?22n
11
?n?中式??n?1

2nn?1

7．已知a, b, c > 0, 且a
2
+ b
2
= c
2
，求证：a
n
+ b
n
< c
n
(n
≥
3, n?R
*
)
?
a
??
a
??
b
??
b
?
?
a< br>??
b
?
∵
??
?
??
?1
，又a, b, c > 0, ∴
??
?
??
,
??
?
??

?
c
??
c
??
c
??
c
?
?c
??
c
?
?
a
??
b
?
∴
??
?
??
?1

?
c
??
c
?
nn
22n2n2
8．设0 < a, b, c < 2，求证：(2 ? a)c, (2 ? b)a, (2 ? c)b,不可能同时大于1
仿例四
9．若x, y > 0，且x + y >2，则
1?y
1?x
和中至少有一个小于2
x
y
反设< br>1?y
1?x
≥
2，
≥
2 ∵x, y > 0，可得x + y
≤
2 与x + y >2矛盾
x
y
第十一教时
教材：不等式证明六（构造法及其它方法）
目的：要求学生逐步熟悉利用构造法等方法证明不等式。
过程：
十三、 构造法：
1．构造函数法
例一、已知x > 0，求证：
x?
1
?
x
1
x?
1
x
?
5

2
11
证：构造函数
f(x)?x?(x?0)
则
x??2
， 设2
≤
?xx
由
f(? )?f(?)???
?
11
?
(???)(???1)11

?(??)?(???)?
?
?
?
?
??
????
?
??
?
显然 ∵2
≤
? 0, ?? ? 1 > 0, ?? > 0 ∴上式 >
0

∴f (x) 在
[2,??)
上单调递增，∴左边
?f(2)?
x
2
?1 0
x
2
?9
10

3
5

2
例二、求证：
y??
t
2
?1
证：设
t?x?9(t?3)
则
f(t)?y?

t
2
用定义法可证：f (t)在
[3,??)
上单调递增
t?1t
2
?1(t
1
?t
2
)(t
1
t
2
?1)
???0
令：3
≤
t
1
2
则
f(t
1)?f(t
2
)?
1
t
1
t
2
t1
t
2
22
∴
y?
x
2
?1033
?110
?f(3)??

2
33
x?9
2．构造方程法：
例三、已知实数a, b, c，满足a + b + c = 0和abc = 2，求证：a, b, c中至
少有一个不小于2。
证：由题设：显然a, b, c中必有一个正数，不妨设a > 0，
?
b?c??a
2
2
则< br>?
bc?
2
即b, c是二次方程
x?ax??0
的两个实根。
?
a
a
?2
∴
??a?
8
?0
即：a
≥
2
a
1sec
2
??tan??
?3(??k??,k?Z)
例四、求证：
?
3
sec
2
??tan?
2
sec
2
??tan?
2
证：设
y?
则：(y ? 1)tan? + (y + 1)tan? + (y ? 1) = 0
2
sec??tan?
当 y = 1时，命题显然成立
当 y
?
1时，△= (y + 1)
2
? 4(y ? 1)
2
= (3y ? 1)(y ? 3)
≥
0
1
∴
?y?3
3

综上所述，原式成立。（此法也称判别式法）
3．构造图形法：
例五、已知0 < a < 1，0 < b < 1，求证：
a
2
?b< br>2
?(a?1)
2
?b
2
?a
2
?(b?1 )
2
?(a?1)
2
?(b?1)
2
?22

证：构造单位正方形，O是正方形内一点
D
1?b
O
C

O到AD, AB的距离为a, b，
则|AO| + |BO| + |CO| + |DO|
≥
|AC| + |BD|
其中
|AO|?a
2
?b
2
，
|BO|?(a?1)
2
?b
2


|CO|?(a?1)
2
?(b?1)
2


|DO|?a
2
?(b?1)
2
又：
|AC|?|BD|?2

∴
a
2
?b< br>2
?(a?1)
2
?b
2
?a
2
?(b?1 )
2
?(a?1)
2
?(b?1)
2
?22

十四、
作业：证明下列不等式：

1x
2
?x?1
?3
5．
?
2
3x?x?1
x
2
?x?1
令
y?
2
，则 (y ? 1)x
2
+ (y + 1)x + (y ? 1) = 0
x?x?1
用△法，分情况讨论
6．已知关于x的不等式(a
2
? 1)x
2
? (a ? 1)x ? 1 < 0 (a?R)，对任意实数x
恒成立，求证：
?
5
?a?1
。
3
?
a
2
?1?0
分a ? 1 = 0和
?
讨论
??0
?
2
1
?
?
1
?
25
?
?
7．若x > 0, y > 0, x + y = 1，则
?
x?
?
?

y??
??
x< br>?
?
y
?
4
?
左边
?
xy11??xy??2?xy?
yxxyxy
2
令 t = xy，则
1
?
x?y
?
0?t?
??
?

4
?
2
?
11117
f(t)?t?
在
( 0,]
上单调递减 ∴
f(t)?f()?

t444
8．若0?a?
11
(k?2,k?N
*
)
，且a
2
< a ? b，则
b?

kk?1
111
?
，< br>f(a)
在
(0,)
上单调递增
k22
令
f(a) ?a?a
2
，又
0?a?

111k?1k?11
?< br>∴
b?a?a
2
?f()??
2
?
2
?2

kk
kkk?1
k?1
9．记
f(x)?1?x< br>2
，a > b > 0，则| f (a) ? f (b) | < | a ? b|
构造矩形ABCD, F在CD上，
使|AB| = a, |DF| = b, |AD| = 1,
则|AC| ? |AF| < |CF|
D
F
C
A
B
10． 若x, y, z > 0，则
x2
?y
2
?xy?y
2
?z
2
?yz?z2
?x
2
?zx

作?AOB = ?BOC = ?COA = 120?, 设|OA| = x, |OB| = y, |OC| = z
第十二教时
教材：不等式证明综合练习
目的：系统小结不等式证明的几种常用方法，渗透“化归”“类比”“换元”等数
学思想。
过程：
十五、 简述不等式证明的几种常用方法
比较、综合、分析、换元、反证、放缩、构造
十六、 例一、已知0 < x < 1, 0 < a < 1，试比较
|log
a
(1?x)|和 |log
a
(1?x)|
的
大小。
解一：
|log
a
(1?x)|
2
? |log
a
(1?x)|
2
?
?
log
a
(1?x)?log
a
(1?x)
??
log
a
(1?x)?log
a
(1?x)
?

2

?log
a
(1?x)log
a
1?x

1?x
1?x1?x
?1
∴
log
a
(1?x
2
)log
a
?0

1?x1?x
∵0 < 1 ? x
2
< 1,
0?
∴
|log
a
(1?x)|? |log
a
(1?x)|

解二：
log
a
(1? x)
11?x
?log
1?x
(1?x)??log
1?x
(1?x)?log
1?x
?log
1?x
2

log
a
(1?x)1?x
1?x
2

?1?log
1?x
(1?x)

2
∵0 < 1 ? x
2
< 1, 1 + x > 1, ∴
?log
1?x
(1?x)?0

2
∴
1?log
1?x
(1?x)?1
∴
|log
a
(1?x)|? |log
a
(1?x)|

解三：∵0 < x < 1, ∴0 < 1 ? x < 1, 1 < 1 + x < 2,
∴
log
a
(1?x)?0,log
a
(1?x)?0

2
∴左 ? 右 =
log
a
(1?x)?log< br>a
(1?x)?log
a
(1?x)

2
∵0 < 1 ? x
2
< 1, 且0 < a < 1 ∴
log
a
(1?x)?0

∴
|log
a
(1?x)|? |log
a
(1?x)|

变题：若将a的取值范围改为a > 0且a ? 1，其余条件不变。
例二、已知x
2
= a
2
+ b
2
，y
2
= c
2
+ d
2
，且所有字母均为正，求证：xy
≥
ac +
bd
证一：（分析法）∵a, b, c, d, x, y都是正数
∴要证：xy
≥
ac + bd
只需证：(xy)
2
≥
(ac + bd)
2

即：(a
2
+ b
2
)(c
2
+ d
2
)
≥
a
2
c
2
+ b
2
d
2
+ 2abcd
展开得：a
2
c
2
+ b
2
d
2
+ a
2
d
2
+ b
2
c
2
≥
a
2
c
2
+ b
2
d
2
+ 2abcd

即：a
2
d
2
+ b
2
c
2
≥
2abcd 由基本不等式，显然成立
∴xy
≥
ac + bd
222222222222
证二：（综合法）xy =
a?bc?d?ac?bc?ad?bd

< br>≥
a
2
c
2
?2abcd?b
2
d
2
?(ac?bd)
2
?ac?bd

证三：（三角代换法）
∵x
2
= a
2
+ b
2
，∴不妨设a = xsin?, b = xcos?
y
2
= c
2
+ d
2
c = ysin?, d = ycos?
∴ac + bd = xysin?sin? + xycos?cos? = xycos(? ? ?)
≤
xy
例三、已知x
1
, x
2
均为正数， 求证：
1?x
1
?1?x
2
2
22
?
x? x
2
?
?1?
?
1
?

2
??
2
证一：（分析法）由于不等式两边均为正数，平方后只须证：

1?x
1
?1?x
2
?21?x
1< br>4
22
222
1?x
2
2
x?x
2
?2x
1
x
2
?1?
1

4
22
即：
(1?x
1
)(1?x
2
)?1?x
1
x2

再平方：
(1?x
1
)(1?x
2< br>)?1?2x
1
x
2
?x
1
x
2

化简整理得：
x
1
?x
2
?2x
1< br>x
2
（显然成立）
∴原式成立
证二：（反证法）假 设
1?x
1
?1?x
2
2
22
22
222 2
?
x?x
2
?
?1?
?
1
?

2
??
2

化简可得：
x
1?x
2
?2x
1
x
2
（不可能）
∴原式成立
证三：（构造法）构造矩形ABCD，
使AB = CD = 1, BP = x
1
, PC = x
2
当?APB = ?DPC时，AP + PD为最短。
D
C
22
A
P
M
B
取BC中点M，有?AMB = ?DMC, BM = MC =
∴ AP + PD
≥
AM + MD
即 ：
1?x
1
?1?x
2
1?x
1
?1?x
2
2
22
22
x
1
?x
2

2< br>2
?
x?x
2
??
x
1
?x
2?
?1?
?
1
?1?
???

?
2
??
2
?
2
2
∴
十七、
?
x?x
2
?
?1?
?
1
?

2
??
作业： 2000版 高二课课练 第6课

第十三教时
教材：复习一元一次不等式
目的：通过复习要求学生能熟练地解答一元一次和一元二次不等式 ，尤其是对含
有参数的一元一次和一元二次不等式，能正确地对参数分区间讨论。
过程：
十二、 提出课题：不等式的解法（复习）：一元一次与一元二次不等式
板演：1．解不等式：
2(x?1)?
x?27x
??1

(x?2)

32
?
x??1
?
?
10?2x?11?3x
2．解不等式组：
?
（
?
x?2??1?x?1
）
?
5x?3?4x?1
?
x?1
?
3．解不等式：
?x< br>2
?5x?6

(2?x?3)

2
4．解不等式：
x?4x?4?0

(x?R,x?2)

2
5．解不等式：
x?2x?3?0

(???8?0,x?
?
)

十三、 含有参数的不等式
例一、解关于x的不等式
a(x?ab)?b(x?ab)

解：将原不等式展开，整理得：
(a?b)x?ab(a?b)

讨论：当
a?b
时，
x?
ab(a?b)

a?b
当
a?b
时，若
a?b
≥
0时
x?
?
；若
a?b
<
0时
x?R

当
a?b
时，
x?
ab(a?b)

a?b
例二、解关于x的不等式
x
2
?x?a(a?1)?0

解：原不等式可以化为：
(x?a?1)(x?a)?0

若
a?? (a?1)
即
a?
1
则
x?a
或
x?1?a

2
111
则
(x?)
2
?0

x?,x?R

222
1
则
x?a
或
x?1?a

2若
a??(a?1)
即
a?
若
a??(a?1)
即a?
1
2
ax?bx?c?0
{x|x??2或x??}
例三 、关于x的不等式的解集为
2
求关于x的不等式
ax
2
?bx?c? 0
的解集．
解：由题设
a?0
且
?
b5c
??
，
?1

a2a
bc
x??0

aa
2
2
从而
ax?bx?c?0
可以变形为
x?
2
即：
x?
51
x?1?0
∴
?x?2

22
例四、关于x的不等式
ax
2
? (a?1)x?a?1?0
对于
x?R
恒成立，
求a的取值范围．s
解：当a>0时不合 a=0也不合
∴必有：
?
a?0
?
a?0

?
?2
?
2
??(a?1)?4a(a?1)?03a?2a?1?0
??< /p>

?
a?0
1
?
?
?a??

3
?
(3a?1)(a?1)?0
例五、若函数
f (x)?kx
2
?6kx?(k?8)
的定义域为R，求实数k的
取值范围
解：显然k=0时满足 而k<0时不满足
?
k?0
?0?k?1

?
2
?
??36 k?4k(k?8)?2
∴k的取值范围是[0,1]
十四、 简单绝对不等式
例六、（课本6.4 例1）解不等式
|x
2
?5x?5|?1

解集为：
{x|1?x?2或3?x?4}

十五、 小结
十六、 作业：6.4 练习 1、2 P25 习题6.4 1
补充：1．解关于x的不等式：
1?
x?2x?3
?1?
2
2?
2x
2
?ax?2?0

k
k
11
?
a??12
?x?}
，求a, b (
?
)
23
?
b??2
2
2．不等式
a x?bx?2?0
的解集为
{x|?
3．不等式
ax
2
?4 x?a?3
对于
x?R
恒成立，求a的取值 (a>4)
4．已知
A?{x|x
2
?x?2?0}
,
B?{x|4x?p?0}
且B?A, 求p的取值
范围 (p
≥
4)
5．已知
y?ax?2a?1
当-1
≤x≤
1时y有正有负，求a的取值范围
1

(?1?a?)

2
第十四教时
教材：高次不等式与分式不等式
目的：要求学生能熟练地运用列表法和标根法解分式不等式和高次不等式。
过程：
十七、 提出课题：分式不等式与高次不等式

x
2
?3x?2
?0
十八、 例一(P22-23) 解不等式
2
x?2x?3
略解一（分析法）
?< br>x
2
?3x?2?0
?
x?1或x?2
?
?
??1?x?1或2?x?3

?
2
?
x?2x?3?0
?
?1?x?3
?
x
2
?3x?2?0
?
?1?x? 2
?
?
?
?
或
?
2
x??1或x?3< br>x?2x?3?0
?
?
∴
?1?x?1或2?x?3

解二：（列表法）原不等式可化为
注意：按根的由小到大排列
解三：（标根法）作数轴；标根；画曲线，定解


-2 -1 0 1 2 3 4
(x?1)(x?2)
?0
列表（见P23略）
(x?3)( x?1)
小结：在某一区间内，一个式子是大于0（还是小于0）取决于这个式子的
各因式在此 区间内的符号；而区间的分界线就是各因式的根；上述的列
表法和标根法，几乎可以使用在所有的有理分 式与高次不等式，其中最
值得推荐的是“标根法”
例二 解不等式
x
3
?3x
2
?2x?6

解：原不等式化为
(x?3)(x?2)(x?2)?0

∴原不等式的解为
x?2或?3?x??2

例三 解不等式
(x
2
?4x?5)(x
2
?x?2)?0

解：∵
x
2
?x?2?0
恒成立
2
∴原不等式等价于
x?4x?5?0
即-1例四 解不等式
(x?2)
2
(x?1)
3
(x?1)(x?2)?0

解：原不等式等价于
(x?1)(x?1)(x?2)?0
且
x??2,x?1

∴原不等式的解为
{x|1?x?2或?2?x??1或x??2}

若原题 目改为
(x?2)
2
(x?1)
3
(x?1)(x?2)?0
呢？

例五 解不等式
(x?5)(x?2)(x?1)(x?4)??80

解：原不等式等价于
(x
2
?x?20)(x
2
?x?2)?80?0

即：
(x
2
?x)
2
?22(x
2
?x)?12 0?0

(x
2
?x?12)(x
2
?x?10)?0

( x?4)(x?3)(x?
?1?41
2
)(x?
?1?41
2)?0

∴
?4?x??
1?41< br>2
或
?1?41
2
?x?3

十九、 例六 解不等式
16
x?1
?x?1

解：原不等式等价于
(x?5)(x?3)
x?1
?0

∴原不等式的解为：
?3?x?1或x?5

2x
2
例七 k为何值时，下式恒成立：
?2kx?k
4x
2
?6x?3
?1
解：原不等式可化为：
2x
2
?(6?2k)x?(3?k)
4x
2
?6x?3
?0

而
4x
2
?6x?3?0

∴原不等式等价于
2x
2
?(6?2k)x?(3?k)?0

由
??(6?2k)
2
?4?2?(3?k)?0
得1二十、 小结：列表法、标根法、分析法
二十一、 作业：P24 练习 P25 习题6.4 2、3、4
补充：
1．k为何值时，不等式
0?
3x2
?kx?6
x
2
?x?1
?6
对任意实数x恒成立< br>
(x?2)
4
(x?1)
3
2．求不等式
(3x?2)3
(x?2)
2
(x
2
?x?2)
的解集
(k??6)

2

({x|x??或x?1且x??2})

3
3．解不等式
1111
???

x?4x?5x?6x?3
9

x?(??,?6)?(?5,?)?(?4,?3)

2
(x?1)
2
?1
的x的整数解 (x=2) 4．求 适合不等式
0?
x?1
5．若不等式
x?ax?b1
??x?1,求
a,b
的值 的解为
2
x
2
?x?1x
2
?x?1

(a?4,b?2)

第十五教时
教材：无理不等式
目的：通过分析典型类型例题，讨论它们的解法，要求学生能正确地解答无理不
等式。
过程：
二十二、 提出课题：无理不等式 — 关键是把它同解变形为有理不等式组
?
f(x)?0
?
??定义域
二十三、
f(x)?g(x)型?
?
g(x)?0
?

?
?
f(x)?g(x)
?
例一 解不等式
3x?4?x?3?0

?
3x?4?0
解：∵根式有意义 ∴必须有：
?
?x?3

?
x?3?0
又有 ∵ 原不等式可化为
3x?4?x?3

两边平方得：
3x?4?x?3
解之：
x?
1
∴
{x|x?3}?{x|x?}?{x|x?3}

2
1

2

?
f(x)?0
?
f(x)?0
?
或
?
二十四、
f(x)?g(x)型?
?
g(x)?0

?
f(x)?[ g(x)]
2
?
g(x)?0
?
2
例二 解不等式
?x?3x?2?4?3x

解：原不等式等价于下列两个不等式组得解集的并集：
?
4?3x?0
?< br>?x
2
?3x?2?0
?
2
Ⅰ：
?
?x?3 x?2?0
Ⅱ：
?

4?3x?0
?
?< br>?x
2
?3x?2?(4?3x)
2
?

4
?
x?
?
3
4
64
?
解Ⅰ：
?
1 ?x?2??x?
解Ⅱ：
?x?2

3
53
?< br>6
?x?
3
?
52
?
∴原不等式的解集为
{ x|
6
?x?2}

5
?
f(x)?0
?
二十五、
f(x)?g(x)型?
?
g(x)?0

?
f(x)?[g(x)]
2
?
2
例三 解不等式
2x?6x?4?x?2

?
2x
2
?6x?4? 0
?
解：原不等式等价于
?
x?2?0

?
2x< br>2
?6x?4?(x?2)
2
?
?
x?2或x?1
?
?{x|2?x?10或0?x?1}


?
?
x? ?2
?
0?x?10
?
特别提醒注意：取等号的情况
二十六、 例四 解不等式
2x?1?x?1?1

1
?
2x?1?0
?
1
?
x??
?
?
?x??
解 ：要使不等式有意义必须：
?

2
2
?
x?1?0
?
?
x??1
原不等式可变形为
2x?1?1?x?1
因为两边均为非负
22
∴
(2x?1?1)?(x?1)
即
22x?1??(x?1)

1
∵x+1
≥
0 ∴不等式的解为2x+1
≥
0 即
x??

2
22
例五 解不等式
9?x?6x?x?3

?
9?x
2
?0
?
?3?x?3
?
?
?0?x?3
解：要使不等式有意义必须：
?
2
0?x?6
6x?x?0?
?
22
在0
≤
x
≤
3内 0
≤
9?x
≤
3 0
≤
6x?x
≤
3
22
∴
9?x
>3?
6x?x
因为不等式两边均为非负
2222
两边平方得：
9?x?9?6x?x?66x?x
即
6x?x
>x
因为两边非负，再次平方：
6x?x
2
?x
2
解之0综合 得：原不等式的解集为0例六 解不等式
3
2?x?x?1?1

解：定义域 x-1
≥
0 x
≥
1
原不等式可化为：
x?1?1?
3
x?2

两边立方并整理得：
(x?2)x?1?4(x?1)

在此条件下两边再平方, 整理得：
(x?1)(x?2)(x?10)?0

解之并联系定义域得原不等式的解为
{x|1?x?2或x?10}

二十七、 小结
二十八、 作业：P24 练习 1、2、3 P25 习题 6.4 5
补充：解下列不等式
1．
2x?3?3x?5?5x?6

(x?2)

2．
3x?3?x?3?3x?x?3

(x??3)

3．
4?1?x?2?x
(
?5?13
?x?1
)s
2
4．
(x?1)x
2
?x?2?0

(x?2或x??1)

5．
2?x?x?1?1

(?1?x?
1?5
)

2

第十六教时
（机动）

教材：指数不等式与对数不等式
目的：通过复习，要求学生能比较熟练地掌握指数不等式与对数不等式的解法。
过程：
二十九、 提出课题：指数不等式与对数不等式
强调：利用指数不等式与对数不等式的单调性解题
因此必须注意它们的“底”及它们的定义域
三十、 例一 解不等式
2
x
2
?2x?3
1
?()
3(x?1)

2
2
x
解：原不等式可化为：
2
?2x?3
?2
?3(x?1)
∵底数2>1
2
∴
x
2
?2x?3??3(x?1)
整理得：
x?x?6?0

解之，不等式的解集为{x|-3 例二 解不等式
3
x?1
?18?3
?x
?29

解：原不等式可化为：
3?3
2x
?29?3
x
?18?0

即：
(3
x
?9)(3?3
x
?2)?0
解之：
3
x
?9
或
3
x
?
2

3
∴x>2或
x?log
3
2
}
3
2
∴不等式的解集为{x|x>2或
3
x?log
3
例三 解不等式
log
x?3
(x?1)?2

?
x?1?0
?
x?1?0
??
解：原不等式等价于
?
x?3?1
或
?
0?x?3?1

?
x?1?(x?3)
2
?
x?1?(x?3)
2
??
解之得：4≤
5
∴原不等式的解集为{x|4≤
5}
例四 解关于x的不等式：
log
a
(4?3x?x
2
)?log
a
(2x?1)?log
a
2,(a?0,a?1)
< br>2
解：原不等式可化为
log
a
(4?3x?x)?log
a
2(2x?1)

1
?
x?
2x?1?0< br>?
?
2
1
??
2
?
?
?1?x?4 ??x?2

当a>1时有
?
4?3x?x?0
2
?
4?3x?x
2
?2(2x?1)
?
?3?x?2
?
?< br>?
（
其实中间一个不等式可省）
1
?
x?
?
2x?1?0< br>?
2
??
2
?
?
?1?x?4?2?x?4
当0?
4?3x?x?0
?
4?3x?x
2
? 2(2x?1)
?
x??3或x?2
?
?
?
∴当a>1时不 等式的解集为
1
?x?2
；
2
当02?x?4

例五 解关于x 的不等式
5?log
a
x?1?log
a
x

解：原不等式等价于
?
1?log
a
x?0
?
5 ?log
a
x?0
?
2
Ⅰ：
?
5?log
a
x?(1?log
a
x)

或 Ⅱ：
?
logx?1?0
?
a
?
5?logx?0
a
?
解Ⅰ：
?1?log
a
x?1
解Ⅱ：
log
a
x??1
∴
log
a
x?1

当a>1时有0a
∴原不等式的解集为{x|01}或{x|x>a, 0例六 解不等式
x
log
a
x
x
4
x
?

a
2
解：两边取以a为底的对数：
2
当0(log
a
x)?
9
log
a
x?2

2
∴
(log
a
x?4)(2log
a
x?1)? 0

1
?log
a
x?4
∴
a
4
?x?a

2
9
log
a
x?2

2
2
当a >1时原不等式化为：
(log
a
x)?
∴
(log
ax?4)(2log
a
x?1)?0

∴
log
a
x?4或log
a
x?
∴原不等式的解集为
1
∴
x?a
4
或0?x?a

2
{x|a
4
?x?a,0?a?1}
或
{x|x?a
4
或0?x?a,a?1}

三十一、 小结：注意底（单调性）和定义域s
三十二、 作业： 补充：解下列不等式
1．
a
x
2
?2x
?a
x?4
,(a?0且a?1)< br>
(当a>1时
x?(??,?1)?(4,??)
当0x?(?1,4)
)
2
2．
log
1(x?3x?4)?log
1
(2x?10)

33
(-21
2
3．
()
x?3
?4
?x
(-12
4．
2
3
x
2
?x?22
1
?22

(?x?1)

2
5．当
0?a?1
，求不等式：
log
a
(log
a
x)?0
(a6．
a?1,0?b?1
，求证：
a
7．
log
a
log
b
(2x?1)
?1

1?x
?0,(a?0,a?1)
(-11?x
2x
8．
a?1
时解关于x的不等式
log
a
[a
2
?2
x
(a
x
?2
x?1
)?1]?0

(
a?2,x?log
a
2
；
1?a?2,x?log
a
2
；
a?2,x?
?
)
2
第十七教时
教材：含绝对值的不等式
目的：要 求学生掌握和、差的绝对值与绝对值的和、差的性质，并能用来证明有
关含绝对值的不等式。
过程：一、复习：绝对值的定义，含有绝对值的不等式的解法
当a>0时，
|x|?a??a?x?a
|x|?a?x?a或x??a

二、定理：
|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|

证明：∵
?|a|?a?|a|
?
?
??(|a|?|b|)?a?b?|a |?|b|

?|b|?b?|b|
?

?|a?b|?|a|?|b|
①
又∵a=a+b-b |-b|=|b|
由①|
a
|=|
a
+
b
-b
|
≤
|
a
+
b
|+|-
b
| 即|a|-|b|
≤
|a+b| ②
综合①②:
|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|

注意：1? 左边可以“加强”同样成立，即
|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|

2? 这个不等式俗称“三角不等式”——三角形中两边之和大于
第三边，两边之差小于第三边
3? a,b同号时右边取“=”，a,b异号时左边取“=”
推论1：
|a
1
?a
2
???a
n
|
≤
|a
1
|?|a
2
|???|a
n
|

推论2：
|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|

证明：在定理中以-b代b得：
|a|?|?b|?|a?(?b)|?|a|?|?b|

即：
|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|

三、应用举例
例一 至 例三见课本P26-27略
例四 设|a|<1, |b|<1 求证|a+b|+|a-b|<2
证明：当a+b与a- b同号时，|a+b|+|a-b|=|a+b+a-b|=2|a|<2
当a+b与a- b异号时，|a+b|+|a-b|=|a+b-(a-b)|=2|b|<2
∴|a+b|+|a-b|<2
例五 已知
f(x)?1?x
2
当a?b时 求证：
|f(a)?f(b)|?|a?b|

证一：
|f(a )?f(b)|?|a?1?b?1|?
|a
2
?b
2
|
a
2
?1?b
2
?1
22
a
2
?1?b2
?1
a?1?b?1
22

< br>??
|(a?b)(a?b)|
a
2
?b
2
?
|a?b||(a?b)|

|a|?|b|

?
(|a|?|b|)|a?b|
?|a?b|

|a|?|b|
证二：（构造法）
如图：
OA?f(a)?1?a
2

1
O
A
a
B
b

OB?f(b)?1?b
2


|AB|?|a?b|

由三角形两边之差小于第三边得：
|f(a)?f(b)|?|a?b|

四、小结：“三角不等式”
五、作业：P28 练习和习题6.5
第十八教时
教材：含参数的不等式的解法
目的：在解含有参数的不等式时，要求学生能根据参数的“位置”正确分组讨论，
解不等式。
过程：一、课题：含有参数的不等式的解法
二、例一 解关于x的不等式
log
解：原不等式等价于
logx?
a
x?log
x
a

a
(lo g
a
x?1)(log
a
x?1)
1
?0
即：
log
a
x
log
a
x
∴
log
a
x??1或0?log
a
x?1

若a>1
0?x?
1
或1?x?a

a
若0x?
1
或a?x?1

a
例二 解关于x的不等式
2
3x
?2
x
?m (2
x
?2
?x
)

解：原不等式可化为
2
4x
?(1?m)?2
x
?m?0

即：
(2
2x
?1)(2
2x
?m)?0
s
2x
当m>1时
1?2?m
∴
0?x?
1
log
2
m

2
当m=1时
(2
2x
?1)
2
?0
∴x?φ
1
2x
当0m?2?1
∴
log
2
m?x?0

2
当m
≤0
时 x<0

例三 解关于x的不等式
x
2
?4mx?4m
2
?m?3

解：原不等式等价于
|x?2m|?m?3

当
m?3?0
即
m??3
时
x?2m?m?3或x?2m??(m?3)

∴
x?3m?3或x?m?3

当
m?3?0
即
m??3
时
|x?6|?0
∴x??6
当
m?3?0
即
m??3
时 x?R
例四 解关于x的不等式
(cot
?
)
?x
2
?3x?2
?1,(0?
?
?
?
2
)

解：当
cot
?
?1
即??(0,
?
2
)时
?x?3x?2?0
∴x>2或x<1
4
当
cot
?
?1
即?=
?
时 x?φ
4
??
2
,)时
?x?3x?2?0
∴142
当
cot
?
?(0,1)
即??(
例五 满 足
3?x?x?1
的x的集合为A；满足
x
2
?(a?1)x?a? 0
的x
的集合为B 1? 若A?B 求a的取值范围 2? 若A?B 求a
的取
值范围 3? 若A∩B为仅含一个元素的集合，求a的值。
解：A=[1,2] B={x|(x-a)(x-1)
≤
0}
当a
≤
1时 B=[a,1] 当a
>
1时 B=[1,a]
当a>2时 A?B
当1
≤
a
≤
2时 A?B
当a
≤
1时 A∩B仅含一个元素
11
2
asinx?cosx??a?0,(0?a?1,0? x?
?
)
有相异两实根， 例六 方程
22
求a的取值范围
解：原不等式可化为
2acos
2
x?cosx?1?0

令：
t?cosx
则
t?[?1,1]

设
f(t)?2at
2
?t?1
又∵a>0